Dokumen ini menjelaskan tentang Transformasi Laplace, termasuk definisi, teorema, dan sifat-sifatnya. Transformasi Laplace digunakan untuk mengubah fungsi waktu menjadi fungsi frekuensi dan memiliki syarat konvergensi untuk eksistensinya. Selain itu, dijelaskan berbagai contoh dan metode dalam menentukan transformasi dari berbagai fungsi.

1. BAB III
TRANSFORMASI LAPLACE
1. Transformasi Laplace
Definisi
Misalkan F(t) suatu fungsi dari t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t)
dinotasikan dengan L{F(t)} dan didefinisikan oleh:
L {F(t)} = ∫
∞
−
`
0
)( dttFe st
= f(s)
Karena L{F(t)} adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga ( ∞ )
maka
L{F(t)} = ∫
∞
−
`
0
)( dttFe st
= ∫
−
∞→
p
st
p
dttFeLim
0
)(
Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk
beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada.
Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya F(t),
G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf
kecil yang bersangktan sehingga L{F(t)} = f(s), L{G(t)} = g(s), L{Y(t)} = y(s) dan
seterusya.
Teorema
Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap
interval 0 ≤≤ t N dan eksponensial berorde γ untuk t > N, maka transformasi
Laplace f(s) ada untuk setiap s > γ
III - 1

2. Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa
fungsi sederhana.
Nomor F(t) L{F(t)} = f(s)
1. 1
,
1
s
s > 0
2. T
,
1
2
s
s > 0
3. t 2
3
2
s
, s > 0
4. t n
n = 0,1,2,3,….
1
!
+n
s
n
, s > 0
5. e at
,
1
as −
s > 0
6. sin at
,22
as
a
+
s > 0
7. cos at
,22
as
s
+
s > 0
8. sinh at
,22
as
a
−
s > a
9. cosh at
,22
as
s
−
s > a
Contoh
Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi berikut:
1. F(t) = 1
L {F(t)} = L{1}
= ∫
∞
−
0
)1( dte st
= ∫
−
∞→
p
st
p
dteLim
0
=
p
st
p
e
s 0
1
lim 





− −
∞→
= 



+− ∞−∞→ 0
11
lim
sesep
III - 2

3. =
s
1
2. F(t) = t
L{F(t)} = ∫
∞
−
0
st
e t dt
= ∫
−
∞→
p
st
p
tdte
0
lim
= )(
1
.lim
0
st
p
p
ed
s
t −
∞→ ∫ −
= dtete
s
p
stst
p ∫
−−
∞→
−−
0
lim
1
=
p
stst
p
e
s
te
s 0
1
lim
1






+− −−
∞→
= 





−−
ss
1
0
1
o
= 2
1
s
3. F(t) = e at
L{F(t)} = dtee atst
∫
∞
−
0
= dteLim
p
tas
p ∫
−−
∞→
0
)(
= [ ]ptas
p
e
as
0
)(
lim
1 −−
∞→−
= 





−
−− −∞−∞→ 0)()(
11
lim
)(
1
asasp eeas
=
as −
1
4. F(t) = sin at
III - 3

4. L{F(t)} = dte st
∫
∞
−
0
atsin
= ∫ −−
∞→
p
st
p
atd
a
eLim
0
)(cos
1
=
p
stst
p
eatd
a
eat
a
Lim
00
)(cos
1
.cos
1








+− ∫
∞
−−
∞→
=
p
p
stst
p
dteat
a
s
eat
a
Lim
0
.cos.cos
1








−+− ∫
∞
−−
∞→
=
p
stst
p
atd
a
e
a
s
eat
a
Lim
00
)(sin
1
..cos
1








−− ∫
∞
−−
∞→
=
pp
ststst
p
edatate
a
s
eat
a
Lim
00
2
)(.sinsin(.cos
1








−−− ∫
−−−
∞→
=
pp
ststst
p
seatate
a
s
eat
a
Lim
00
2
).sinsin(.cos
1








−−−− ∫
−−−
∞→
=
pp
ststst
p
seat
a
s
ate
a
s
eat
a
Lim
00
2
2
2
).sinsin.cos
1








−−−− ∫
−−−
∞→
=
p
stst
p
eat
a
s
eat
asa
a
Lim
0
222
2
.sin.cos
1






−−
+
−−
∞→
= 22
sa
a
+
5. F(t) = cos at
L{F(t)} = dte st
∫
∞
−
0
atcos
= ∫
−
∞→
p
st
p
atd
a
eLim
0
)(sin
1
=
p
stst
p
eatd
a
eat
a
Lim
00
)(cos
1
.cos
1








−∫
∞
−−
∞→
=
p
p
stst
p
dteat
a
s
eat
a
Lim
0
.cos.cos
1








−∫
∞
−−
∞→
III - 4

5. =
p
stst
p
atd
a
e
a
s
eat
a
Lim
00
)(sin
1
..cos
1








− ∫
∞
−−
∞→
=
pp
ststst
p
edatate
a
s
eat
a
Lim
00
2
)(.sinsin(.cos
1








−− ∫
−−−
∞→
=
pp
ststst
p
seatate
a
s
eat
a
Lim
00
2
).sinsin(.cos
1








−−−− ∫
−−−
∞→
=
pp
ststst
p
seat
a
s
ate
a
s
eat
a
Lim
00
2
2
2
).sinsin.cos
1








−+− ∫
−−−
∞→
=
p
stst
p
eat
a
s
eat
asa
a
Lim
0
222
2
.sin.cos
1






−
−
−−
∞→
= 22
sa
a
−
2. Syarat cukup Transformasi Laplace ada
Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang
berhingga 0 Nt ≤≤ dan eksponensial berordeγ untuk t > N, maka
transformasi Laplace-ny f(s) ada untuk semua s > γ .
Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah
CUKUP untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi
transformasi Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak
dipenuhi.
3. Sifat-sifat Transformasi Laplace
Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, diantaranya
adalah
1) Sifat linear
III - 5

6. Jika c 1 dan c 2 adalah sebarang konstanta, sedangkan F )(1 t dan F )(2 t
adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace-nya masing-
masing )(1 sf dan )(2 sf , maka:
L{c )(11 tF +c )(2 tF } = c )(11 sf + c )(2 sf
Bukti:
L{c )(11 tF +c )(2 tF } = ∫
∞
−
+
0
2211 )}()({ dttFctFce st
= ∫∫
∞
−
∞
−
+
0
21
0
11 )()( dttFcedttFce stst
= ∫∫
∞
−−
+
0
2
0
211 )()( dttFecdttFec st
p
st
= )()( 2211 sfcsfc +
Contoh
1. L{5t-3} = L{5t} – L{3}
= 5 L{t} – 3 L{1}
= 5
ss
1
3
1
2
−
=
ss
35
2
−
2. L{6 sin 2t – 5 cos 2t} = L{6 sin 2t} – L{5 cos 2t}
= 6 L{sin 2t} – 5 L{cos 2t}
= 6
4
2
5
4
2
22
−
−
+ ss
=
4
10
4
12
22
−
−
+ ss
Dengan menggunakan sifat linear di atas tentukan Transformasi dari fungís-
fungsi berikut ini.
III - 6

7. a. F(t) = 2t2
e-t
b. F(t) = 6 sin 2t – cos 2t
c. F(t) = (sin t – cos t)2
d. F(t) = cosh 3t – ½ sinh t
e. F(t) = (2t + 2)3
f. F(t) = (sin t – 3)2
2) Sifat translasi atau pergeseran pertama
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{e )}(tFat
= f(s-a)
Bukti
Karena L{F(t)} = dttFe st
∫
∞
−
0
)( = f(s), maka
L{e )}(tFat
= ∫
∞
−
0
)( dttFee atst
= ∫
−−
p
tas
dttFe
0
)(
)(
= f(s-a)
Contoh:
1. Tentukan L{F(t)} = e-3tF(t) jika L{F(t)} = f(s)
2. Tentukan L {F(t)} = e2tF(t) jika L{F(t)} = f(s/a)
3. Sifat translasi atau pergeseran kedua
Jika L{F(t)} = f(s) dan G(t) =



<
>−
at
atatF
,0
),(
maka
L{G(t)} = e )(sfas−
Bukti
III - 7

8. L{G(t)} = dttGe st
∫
∞
−
0
)(
= ∫ ∫
∞
−−
+
a
a
stst
dttGedttGe
0
)()(
= ∫ ∫
∞
−−
−+
a
a
stst
dtatFedte
0
)()0(
= ∫
∞
−
−
a
st
dtatFe )(
Misal u = t-a mak t = u+a dan du = dt, sehingga
∫
∞
−
−
a
st
dtatFe )( = ∫
∞
+−
0
)(
)( duuFe aus
= e ∫
∞
−−
0
)( duuFe suas
= e )(sfas−
4. Sifat pengubahan skala
Jika L{F(t)} = f(s), maka L{F(at)} = 





a
s
f
a
1
Karena L{F(t)} = dttFe st
∫
∞
−
0
)( maka
L{F(at)} = ∫
∞
−
0
)( dtatFe st
Misal u = at, du = a dt atau dt =
a
du
Sehinga L{F(at)} = ∫
∞
−
0
)( dtatFe st
= ∫
∞






−
0
)(
a
du
uFe a
s
u
= ∫






−
duuFe
a
a
s
u
)(
1
III - 8

9. = 





a
s
f
a
1
5. Transformasi Laplace dari turunan-turunan
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{F’(t)} = sf(s) – F(0)
Karena Karena L{F(t)} = dttFe st
∫
∞
−
0
)( = f(s), maka
L{F’(t)} = dttFe st
∫
∞
−
0
)('
= ∫
∞
−
0
)(tdFe st
=
p
stst
edtFtFe
00
)()()( 







−∫
∞
−−
= -F(0) + s ∫
∞
−
0
st
e F(t)dt
= sf(s) – F(0)
Jika L{F’(t)} = sf(s) – F(0) maka L{F’’(t)} = s )(')0()(2
sFsFsf −−
Bukti
L{F”(t)} =
∫
∞
−
0
)(" dttFe st
= ∫
∞
−
0
))('( tFde st
= 







−∫
∞
−−
0
)()(')(' stst
edtFtFe e
= 







+ ∫
∞
−−
0
)(')(' dtetFstFe stst
= ( ))]0()([)(' FssfstFe st
−+−
III - 9

10. = s )0(')0()(2
FsFsf −−
Dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika
L{F(t)} = f(s) maka
L{F )}()(
tn
= s )0()0(...)0(')0()( )1()2(21 −−−−
−−−−− nnnnn
FsFFsFssf
6. Tansformasi Laplace dari Integral-integral
Jika L{F(t)} = f(s) maka L
s
sf
duuF
)(
)(
1
0
=






∫
7. Perkalian dengan t n
Jika L{F(t)} = f(s) maka L{t )}(tFn
= (-1) )(sf
ds
d
n
n
n
= (-1)f )()(
sn
Bukti.
Karena f(s) = dttFe st
∫
∞
−
0
)( maka menurut aturan Leibnitz untuk menurunkan
dibawah tanda integral, diperoleh:
ds
df
= f’(s) =
ds
d
dttFe st
∫
∞
−
0
)(
= dttFe
s
st
)(
0
−
∞
∫∂
∂
= ∫
∞
−
−
0
)( dttFte st
= - ∫
∞
−
0
)}({ dtttFe st
= -L{tF(t)}
Jadi L{tF(t)} = - )(' sf
ds
df
−=
III - 10

11. 8. Sifat pembagian oleh t
Jika L{F(t)} = f(s) maka L ∫
∞
=






0
)(
)(
duuf
t
tF
Bukti:
Misal G(t) =
t
tF )(
maka F(t) = t G(t).
Dengan menggunakan definis transformasi Laplace untuk kedua bagian,
maka diperoleh bentuk L{F(t)} = L{t G(t)} atau f(s) = - )}({ tGL
ds
d
atau
f(s) = -
ds
dg
.
Selanjutnya dengan mengintegralkan diperleh
∫ f(s) = ∫ -
ds
dg
.
g(s) = - ∫∞
s
duuf )(
= ∫
∞
s
duuf )(
Jadi L =






t
tF )(
∫
∞
s
duuf )(
III - 11