Toán 9, đồ thị hàm số (nâng cao)

1. Đồ thị hàm số Thầy Hồng Trí Quang
1
I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Hệ trục tọa độ Oxy, cách biểu diễn tọa độ điểm
Chú ý :
Gốc tọa độ là điểm O có tọa độ O(0 ; 0)
Những điểm thuộc trục tung thì có hoành độ bằng 0, tức tọa độ dạng (0 ;y)
Những điểm thuộc trục hoành thì có tung độ bằng 0, tức tọa độ dạng (x ;0)
Nếu    ; ;B ;A A B BA x y x y thì độ dài đoạn AB là    
2 2
B A B AAB x x y y   
Bài 1. Biểu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ A(-3; 2), B(1; 4), C(-5; 0), D(0; 3), E(-1;-4)
LG
Bài 2. Vẽ tam giác ABO trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Biết O(0 ; 0) , A(2 ; 3), B(5 ; 3)
a) Tính diện tích tam giác ABO
b) Tính chu vi tam giác ABO
LG
E
B
D
C
A
-5 -3
-1
2
1
-2
-4
4
3
21O
y
x

2. Đồ thị hàm số Thầy Hồng Trí Quang
2
a)
1
.
2
ABOS AB OD  trong đó OD = 3; AB = 3
1 9
.3.3
2 2
ABOS  
b) xét tam giác AOD và tam giác BOD. Theo Pi-
ta-go ta có:
2 2 2 2
2 2 2 2
3 2 13
3 5 34
OA OD AD
OB OD BD
    
    
Chu vi: 3 13 34ABOC AB AO BO      
Bài 3. Cho hàm số   3y f x x    .
a) Tính f(0) ; f(1) ; f(-1) ; f(2) ; f(-2) ; f(8)
b) Biểu diễn các điểm có tọa độ (x; y) với x lần lượt là các giá trị 0; 1; -1; 2; -2; 8
c) Em có nhận xét gì về vị trí các điểm vừa vẽ
d) Vẽ đồ thị hàm số y = - x + 3
Tự luyện
Bài 4. Cho hàm số ( ) 2 4y f x x  
a) Em hãy tính f(-2), f(-1), f(0), f(1), f(2)
a) Biểu diễn các điểm có tọa độ (x; f(x)) với x lần lượt là các giá trị -2; -1; 0; 1, 2
c) Em có nhận xét gì về vị trí các điểm vừa vẽ?
d) Vẽ đồ thị hàm số 2 4y x 
Bài 5. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ tam giác ABC biết A(1; 2) , B(-1; 0) , C(2; 0)
a) Vẽ đường thẳng BC
b) Tính diện tích tam giác ABC
c) Tính chu vi tam giác ABC
II. Hàm số bậc nhất:  0y ax b a  
Mỗi hàm số  0y ax b a   là một phương trình đường thẳng. Gọi là đường thẳng  (Delta)
+) TXĐ R
+) Chiều biến thiên a > 0 hàm số đồng biến
E
D
y
x
5
3
2
1
BA
O

3. Đồ thị hàm số Thầy Hồng Trí Quang
3
a < 0 hàm số nghịch biến.
+) Đồ thị: là đường thẳng cắt trục tung tại điểm A( 0; b), cắt trục hoành tại điểm B(
a
b
 ; 0)
+) Nếu a = 0 thì y = b là đường thẳng song song với trục hoành.
+) Điểm ( ; )M MM x y thuộc (nằm trên) đường thẳng : y ax b   M My ax b  
Bài 6. Cho hàm số  2 2y m x   . Tìm m để
a) Hàm số trên là hàm số bậc nhất
b) Hàm số đồng biến, nghịch biến
c) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1 ; 4)
d) Tìm điểm thuộc đường thẳng : 2 2y x   mà có hoành độ bằng 1. Từ đó tìm m để đồ thị
của hàm số đã cho cắt đường thẳng 2 2y x  tại điểm có hoành độ bằng 1
LG
a) hàm số đã cho là hàm số bậc nhất 2 0 2m m    
b) hàm số đồng biến 2 0 2m m     . Vậy 2m 
hàm số nghịch biến 2 0 2m m     . Vậy 2m 
c) Vì đồ thị hàm số đi qua A(1 ; 4) nên  4 2 .1 2 2 2 0m m m       
Bài 7. Cho hai đường thẳng 1 : 2d y x  , 2 2:d y x  ,
a) Vẽ đồ thị hàm số 1 2,d d
b) Không dựa vào đồ thị, hãy tìm tọa độ giao điểm của 1 2,d d
c) Vẽ đồ thị hàm số 2y x 
d) *Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2m x 
Bài 8. Cho ba đường thẳng 1 : 2d y x  , 2
1 3
2
:
2
yd x  , 3 (2 ) 1: y m xd   
a) Tìm tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng 1d và 2d
b) Tìm m để đường thẳng 3d đi qua A.
c) Tìm m để ba đường thẳng đã cho đồng quy.

4. Đồ thị hàm số Thầy Hồng Trí Quang
4
Bài 9. Cho ba điểm A(2; 5), B(-1; -1), C(4; 9). Giả sử đường thẳng d: y = ax + b đi qua A, B.
a) Giải hệ phương trình
2 5
1
a b
a b
 

   
Đs a = 2; b= 1.
b) Tìm phương trình đường thẳng AB Đs y = 2x + 1.
c) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. Gợi ý Chứng minh điểm C thuộc đường thẳng d.
Bài 10. Cho hàm số  1y m x m  
a) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm A có tung độ bằng 2. Gọi là đường thẳng 1d
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3. Gọi là đường thẳng 2d
c) Vẽ đồ thị của 2 đường thẳng 1d và 2d trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy.
d) Tìm tọa độ điểm B là giao điểm của 1d và trục hoành.
e) Tính diện tích và chu vi tam giác OAB.
g) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m.
LG
a) hàm số y = (m-1).x + m có tung độ gốc b = m
- vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2, nên m = 2
- hàm số có dạng: 2y x 
b) vì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3, nên tung độ của điểm này bằng
0, ta có :   
3
0 1 3 2 3
2
m m m m       
- hàm số có dạng :
1 3
2 2
y x 
x 0 -2
y = x + 2 2 0
x 0 -3
1 3
2 2
y x 
3
2
0

5. Đồ thị hàm số Thầy Hồng Trí Quang
5
Tự luyện
Bài 11. Cho hàm số :
1
2 (1)
1
m
y x m
m

  

a) Với gía trị nào của m thì (1) là hàm số bậc nhất? Đs 1m  
b) Với gía trị nào của m thì đths (1) đi qua điểm A(0; 1)? Đs 1m  
c) Với gía trị nào của m thì (1) là hs đồng biến? Đs m > 1 hoặc m < -1
Bài 12. Cho hàm số y = (2m – 1) x + m – 3.
1) Tìm m để đồ thi đi qua điểm A(2; 5)
2) Với m = 1, tìm tọa độ giao điểm của đồ thị và hai trục tọa độ Ox, Oy
Bài 13.
a) Vẽ đồ thị 2 hàm số sau trên cùng 1 hệ trục tọa độ :  1 2
2
2 (d ); 2 2
3
y x y x d    .
b) Gọi A; B là giao điểm của đường thẳng 1 2d ,d với trục hoành và giao điểm của 2 đường thẳng
là C. Tìm tọa độ giao điểm A, B, C. Đs A(-3 ; 0), B(-1 ; 0), C(0 ; 2)
c) Cho đường thẳng 3 : 5d y mx  . Tìm m để ba đường thẳng 1 2 3; ;d d d đồng quy.
d) Tính diện tích tam giác ABC. Đs S = 2
Bài 14. Cho ba điểm A(2; 0), B(-1; 3), C(4; -2).
a) Tìm phương trình đường thẳng BC y = -x + 2
b) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Bài 15. Cho hàm số 1 2: 2 1; : 1 2 ;d y x d y x     3 : | 2 1|d y x 
a) Vẽ đồ thị hàm số 1 2;d d
b) Vẽ đồ thị hàm số 3d
c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình | 2 1|m x 
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-15 -10 -5 5 10 15
g x  = x+2
f x  =
3
2 x+
3
2

6. Đồ thị hàm số Thầy Hồng Trí Quang
6
Bài 16. Cho hàm số  2
5 6 2y m m x    . Tìm m để
a) Hàm số trên là hàm số bậc nhất Đs
2 0
3 0
m
m
 

 
b) Hàm số đồng biến, nghịch biến Đs
3
2
m
m

 
c) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1 ; 4) Đs
1
4
m
m



Bài 17. Chuyên ngữ 2007 – 2008 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng:
1 : 1d y x   , 2 : 1d y x  , 3 2
3 :
1
3
d y ax a a     . Tìm a để 1d cắt 2d tại một điểm thuộc 3d
HD 3
1
4 1
a 

Bài 18. Chứng minh rằng đồ thị hàm số 3 2
2 (1 ) 3 2y mx mx m x m      luôn đi qua ba điểm
cố định. Chứng minh ba điểm cố định đó thẳng hàng.
Phần 3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho đường thẳng y ax b  thì a gọi là hệ số góc của đường thẳng.
Vị trí tương đối của 2 đường thẳng      ' ' ' '
: à : . 0d y ax b v d y a x b a a     , ta có:
' ' ' ' '
/ / ; ' ;d d a a b b d d a a b b        
' '
' ' . 1d d a a d d a a        
- Chú ý:
1. Trong trường hợp / / 'd d một số bạn rất hay quên điều kiện 'b b
2. Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và d’ là nghiệm của hệ phương trình
' '
y ax b
y a x b
 

 
Bài 19. Cho hai đường thẳng : 2 1 d': 2d y x và y x    
a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
Bài 20. Cho 2 hàm số:    3 1 à 1 2 5y m x v y m x      . Với gía trị nào của m thì đồ thị 2 hs
trên là 2 đường thẳng
a) Song song ; b) Cắt nhau ; c) Trùng nhau

7. Đồ thị hàm số Thầy Hồng Trí Quang
7
LG
Xét (1), ta có : a = m + 3 ; b = -1
Xét (2), ta có : a’
= 1 – 2m ; b’
= 5
a) (1) // (2)
'
'
3 1 2 2
3 2
1 5 3
a a m m
m m
b b
    
        
  
b) (1) cắt (2) ' 2
3 1 2 3 2
3
a a m m m m           
c) (1) trùng (2)
'
'
2
3 1 2
3
1 5
1 5
a a m m m
b b
       
    
     
không tồn tại m thỏa mãn
Bài 21. Cho hàm số (1 ) 2y xm m   , có đồ thị d. Tìm m để
a) Đường thẳng d song song với đồ thị y = -x + 4.
b) Vuông góc với đường thẳng x – y – 4 = 0
Bài 22. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm B(- 1; 3) và:
a) Có hệ số góc bằng
3
2
a 
b) Song song với đường thẳng 3x – 2y = 1.
c) Vuông góc với đường thẳng 3y – 2x +1 = 0
Bài 23. Cho hàm số  1y m x m   có đồ thị là đường thẳng d.
a) Tìm điểm M cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và gốc tọa độ.
c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d là lớn nhất.
Tự luyện
Bài 24. Cho hai đường thẳng : 2 1 d': 3 2d y x và y x    
a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
Bài 25. Cho 2 hàm số:  3 à 3 2 2y x m v y m x     . Với gía trị nào của m thì đồ thị 2 hs trên
là 2 đường thẳng
a) Song song ; b) Cắt nhau ; c) Trùng nhau
Bài 26. Cho hàm số (2 ) 1y xm m   , có đồ thị d. Tìm m để

8. Đồ thị hàm số Thầy Hồng Trí Quang
8
a) Đường thẳng d song song với đồ thị y = x + 2.
b) Vuông góc với đường thẳng x + y – 2 = 0
Bài 27. Tìm hàm số (d1): y = ax + b biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A(-2; -1) và
a) Có hệ số góc bằng 2a 
a) song song với 2x – y + 1 = 0
b) vuông góc với đường thẳng x + 2y + 3= 0
Bài 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (-2; 2) và đường thẳng (d1): y = -2(x+1)
a) Giải thích vì sao A nằm trên (d1).
c) Viết phương trình đường thẳng (d2) qua A và vuông góc với (d1).
d) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d2); C là giao điểm của (d1) với trục tung. Tìm tọa độ của B
và C.
Tính diện tích của tam giác ABC.
Bài 29. Cho hàm số ) 2( 1m xxy   có đồ thị là đường thẳng d.
a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m Đs M(1;2)
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d là lớn nhất. Đs m = -0,5
Bài 30. Cho hàm số  1y m x m   có đồ thị là đường thẳng d.
a) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đồ thị và trục hoành, trục tung. Tìm tọa độ A, B theo m?
b) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị hàm số luôn đi qua điểm cố định.
c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng d bằng 1.
d) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O tới đường thẳng là lớn nhất.
Bài 31. Lập phương trình đường thẳng d biết
a) d đi qua điểm A(-2;1) và có hệ số góc -2
b) d đi qua điểm (-3; 4) và song song với đường thẳng d’ y = 2x – 1
c) d đi qua điểm (-3; 4) và vuông góc với đường thẳng d’ y = -2x +3
d) d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 và song song với đường thẳng y = 2x – 1.
Đs a) y = -2x – 3; b) y = 2x + 10; c)
1
4;
2
y x  d) y = 2x – 4.
Bài 32. * Cho hai đường thẳng : 12 5 d': 3 3d y x m và y x m      .
a) Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm A.
b) Tìm m để A nằm trên trục tung

9. Đồ thị hàm số Thầy Hồng Trí Quang
9
c) Tìm m để A nằm bên trái trục tung
d) Tìm m để A nằm ở góc phần tư thứ nhất.
Bài 33. *Cho hàm số 2 2
4 4 4 4 1y x x x x ax       có đồ thị là (C).
a) Vẽ đồ thị các hàm số 1; 3 3; 5 1y x y x y x      
b) Xác định a để đồ thị (C) đi qua điểm B(1; 6). Vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2 2
4 4 4 4 1 1 2x x x x m x       

10. Đồ thị hàm số Thầy Hồng Trí Quang
10
HÀM SỐ  2
0y ax a  . ĐỒ THỊ HÀM SỐ  2
0y ax a 
A. Kiến thức cơ bản
1. Tính chất hàm số  2
0y ax a 
a) Tính chất:
Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0
Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến khi x > 0 và đồng biến khi x < 0
2. Tính chất đồ thị hàm số  2
0y ax a 
Đồ thị hàm số  2
0y ax a  là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy là
trục đối xứng. đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh O.
Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O(0;0) là điểm thấp nhất của đồ thị.
Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O(0;0) là điểm cao nhất của đồ thị.
Bài 34. Cho hàm số 2
5y x 
a) Lập bảng tính giá trị của y với các giá trị của x lần lượt bằng: -2; -1;
1
2
 ; 0;
1
2
; 1; 2
b) Với giá trị nào của x thì hàm số nhận giá trị tường ứng bằng: 0; -7,5; -0,05; 50; -120
LG
a) Bảng các giá trị tương ứng của x và y là:
x -2 -1 1
2

0 1
2
1 2
2
5y x  -20 -5 5
4

0 5
4
-5 -20
b)
+ Với y = 0 ta có: 2 2
5 0 0 0x x x     
+ Với y = -7,5 ta có: 2 2
5 7,5 1,5 1,5x x x      
+ Với y = -0,05 ta có: 2 2
5 0,05 0,01 0,1x x x       
+ Với y = -7,5 ta có: 2 2
5 50 10x x      pt vô nghiệm
+ Với y = -7,5 ta có: 2 2
5 120 24 2 6x x x       

11. Đồ thị hàm số Thầy Hồng Trí Quang
11
Bài 35. Cho hàm số  2 2
y m m x  . Tìm giá trị của m để:
a) Hàm số đồng biến với mọi x > 0
b) Hàm số nghịch biến với mọi x > 0
LG
Ta có:  2
. 1a m m m m   
a) Hàm số đồng biến với mọi x > 0
 
0 0
1 0 1 1
0 . 1 0
00 0
1 0 1
m m
m m m
a m m
mm m
m m
    
  
                  
  
     
vậy m > 1 hoặc m < 0 thì hàm số đồng biến với mọi x > 0
b) Hàm số nghịch biến với mọi x > 0
 
0 0
1 0 1 0 1
0 . 1 0 0 1
ô0 0
1 0 1
m m
m m m
a m m m
kh ng mm m
m m
    
  
                     
  
     
Bài 36. Cho hàm số 2
y ax
a) Tìm a biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm A (1; 1)
b) Với giá trị của a vừa tìm được, vẽ đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ
LG
a) tung độ của điểm A là: y = -2.1 + 3 = 1, do đó tọa độ của điểm A là A(1; 1)
vì đồ thị hs 2
y ax đi qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn hs, ta có: 2
1 .1 1a a   . Khi
đó hs có dạng: 2
y x
b) vẽ đồ thị 2 hs trên cùng mặt phẳng tọa độ

12. Đồ thị hàm số Thầy Hồng Trí Quang
12
c) pt hoành độ giao điểm của 2 đồ thị: 2
1 22 3 1; 3x x x x      
+ Với 1 11 2.1 3 1x y      tọa độ điểm A(1; 1)
+ Với  1 13 2. 3 3 9x y        tọa độ điểm B(-3; 9)
Bài 37. Chuyên toán SPHN 2015
Một xe tải có chiều rộng là 2,4m và chiều cao 2,5m muốn đi qua cái cổng hình Parabol. Biết
rằng khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là
2 5m (bỏ qua độ dầy của cổng).
1. Trong mặt phẳng Oxy, gọi Parabol (P) 2
y ax với a < 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải
muốn đi qua. Chứng minh 1a  
2. Hỏi xe tải có qua cổng không?
Vị trí tương đối giữa Prabol và đường thẳng
Cho Parabol: 2
axy  (P) và đường thẳng axy b  .
Hoành độ giao điểm của (P) và d là nghiệm của phương trình: 2
ax bx c 
2
ax 0bx c    (*)
+) Parabol (P) và đường thẳng d không có điểm chung khi và chỉ khi pt (*) vô nghiệm
+) Parabol (P) và đường thẳng d có đúng hai điểm chung (cắt nhau) khi và chỉ khi pt (*) có 2
nghiệm phân biệt
+) Parabol (P) và đường thẳng d tiếp xúc khi và chỉ khi pt (*) có nghiệm kép
Bài 38. Cho Parabol 2
xy  và đường thẳng d: 4 2y x m  . Tìm m để đường thẳng d với (P):
a) Tiếp xúc nhau
b) Cắt nhau.
14
12
10
8
6
4
2
-2
-15 -10 -5 5 10 15
g x  = -2x+3
f x  = x2

13. Đồ thị hàm số Thầy Hồng Trí Quang
13
c) Không giao nhau.
Bài 39. Trên (P): 𝑦 = 𝑥2
lấy hai điểm 𝐴(−1; 1), 𝐵(3; 9) và M là điểm thuộc cung AB.
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A, B.
b) Tìm phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d và tiếp xúc với (P).
c) Xác định vị trí của M để diện tích tam giác AMB đạt giá trị lớn nhất.
Tự luyện
Bài 40. Chứng minh rằng Parabol 2
xy  luôn có điểm chung với đường thẳng ( 1)y m x m  
khi m thay đổi
Bài 41. Cho (P): y = ax2
a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua A(1; 1). Hàm số này đồng biến, nghịch biến khi nào.
b) Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và cắt trục Ox tại điểm M có hoành độ m ( m ≠ 1). Viết
phương trình (d) và tìm m để (d) và (P) chỉ có một điểm chung.
Bài 42. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2
2xy   biết rằng:
a) Tiếp tuyến đó đi qua điểm A(1; 2)
b) Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng
1
x+2
3
y


c) Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 4x + 2
Đs b)
9
3x+
8
y  ; c) y = 4x + 2, (loại do trùng đt ban đầu)
Bài 43. *Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(0; 1), 21
x
4
y  . Giả sử điểm B(2b; -1) thay đổi
a) Viết phương trình đường trung trực của đoạn AB
b) Chứng minh rằng đường thẳng d tiếp xúc với (P)
c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và vuông góc với đường thẳng
1
2
2
y x

 
Bài 44. Trên (P): 𝑦 = 𝑥2
lấy hai điểm 𝑂(0; 0), 𝐵(3; 9) và M là điểm thuộc cung AB. Xác định vị
trí của M để diện tích tam giác AMB đạt giá trị lớn nhất.
Giao điểm của Parabol và đường thẳng
Cho Parabol: 2
axy  (P) và đường thẳng axy b  .

14. Đồ thị hàm số Thầy Hồng Trí Quang
14
Hoành độ giao điểm của (P) và d là nghiệm của phương trình: 2
ax bx c 
2
ax 0bx c    (*)
Bài 45. Cho hàm số 2
y ax
a) Xác định hệ số a, biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 2)
b) Vẽ đồ thị hàm số với giá trị của a vừa tìm được
c) Vẽ đường thẳng y = 2x – 2 trên cùng hệ trục tọa độ với Parabol 21
2
y x
d) Tìm tọa độ giao điểm của Parabol 21
2
y x và đường thẳng y = 2x – 2
LG
a) Vì đồ thị hs đi qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn hs, ta có: 2 1
2 .2
2
a a  
b) Với
1
2
a  ta có hàm số sau: 21
2
y x
Bảng giá trị
x -2 -1 0 1 2
21
2
y x
2 1
2
0 1
2
2
14
12
10
8
6
4
2
-2
-15 -10 -5 5 10 15
g x  = 2x-2f x  =
1
2 x2

15. Đồ thị hàm số Thầy Hồng Trí Quang
15
Pt hoành độ giao điểm của 2 đồ thị: 2
1 2
1
2 2 2
2
x x x x    
thay x = 2 vào 1 trong 2 hs ta được: y = 2.2 – 2 = 2. Vậy tọa độ giao điểm của 2 đồ thị là M(2; 2)
Tự luyện
Bài 46. Cho hàm số 2
y ax
a) Tìm a biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -2x + 3 tại điểm A có hoành độ bằng 1.
b) Với giá trị của a vừa tìm được, vẽ đồ thị 2 hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ
c) Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị Đs B(-3; 9)
Bài 47. Cho hàm số 2
y ax
a) Tìm a biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -3x + 4 tại điểm A có hoành độ bằng -2.
b) Với giá trị của a vừa tìm được, vẽ đồ thị 2 hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ
c) Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị Đs B(-2; 10)
Điều kiện của giao điểm
Bài 48. Cho Parabol 𝑦 = 𝑥2
(𝑃) và đường thẳng d: y = mx – m +1. Tìm m để d cắt (P) tại 2 điểm
phân biệt A, B có hoành độ 𝑥1, 𝑥2 thỏa mãn điều kiện
a) |𝑥1| + |𝑥2| = 4
b) 𝑥1 = 9𝑥2
Bài 49. Cho Parabol 2
xy  và đường thẳng d: 4 2y x m  . Tìm m để:
a) Đường thẳng d tiếp xúc với (P)
b) Giả sử d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để A, B nằm bên phải trục tung
c) Giả sử d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m để AB = 2.
Bài 50. Cho (P): 𝑦 = 𝑥2
. Đường thẳng d: y = 4 cắt (P) tại hai điểm A và B (𝑥 𝐴 < 𝑥 𝐵).
a) Đường thẳng Δ qua điểm A có hệ số góc m. Định m để Δ cắt (P) tại I, cắt Ox tại J sao
cho A là trung điểm của đoạn IJ.
b) Xét hình chữ nhật MNEF có hai điểm M, N thuộc đoạn AB; hai điểm E, F thuộc cung
AB của (P), xác định tọa độ các điểm M, N, E, F để chu vi MNEF lớn nhất.
Tự luyện
Bài 51. Cho hàm số 𝑦 = 𝑥2
có đồ thị (P) và đường thẳng d: 𝑦 = 𝑥 − 𝑚 + 1. Tìm m để đường
thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt ở bên phải trục tung.

16. Đồ thị hàm số Thầy Hồng Trí Quang
16
Bài 52. Chuyên ngữ 2006 – 2007
Cho Parabol (P)
2
2
x
y

 , và đường thẳng d đi qua I(0; -2) có hệ số góc k
a) Viết phương trình đường thẳng d. Chứng minh rằng đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm
phân biệt A, B khi k thay đổi.
b) Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành. Chứng minh tam giác
IHK vuông tại I
c) (thêm) Tìm k để diện tích tam giác IHK nhỏ nhất
d) Smin = 64 khi k = 0
Bài 53. Ams 2005 – 2006 Cho đường thẳng d: 2
2 0x y a   và Parabol (P): 2
y ax (a > 0).
a) Tìm a để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Chứng minh rằng khi đó A, B nằm bên phải
trục tung
b) Gọi ;A Bx x là hoành độ của A và B. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4 1
.A B A B
T
x x x x
 

HD GTNN T
1
2 2;
2
T a 
Bài 54. Cho các hàm số 𝑦 = 𝑥2
; 𝑦 = −𝑥 + 2
a) Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đồ thị hai hàm số đã cho và tọa độ trung điểm I của
đoạn AB, biết rằng A có hoành độ dương
b) Xác định tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥2
sao cho tam giác AMB cân tại M.
A(1; 1), B(-2; 4), nên
1 5
;
2 2
I
 
 
 
, b) Tọa độ M là
1 13 7 13 1 13 7 13
; ; ;
2 2 2 2
M M
      
      
   
Bài 55. Cho Parabol (P) 2
y x , và đường thẳng d: y = mx + 1
a) Chứng minh rằng với mọi m thì đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b) Gọi 1 1 2 2( ; ), ( ; )A x y B x y là tọa độ các giao điểm của d và (P). Tìm GTLN của biểu thức:
HD khi m = 0
Bài 56. Cho Parabol
2
x
2
y  và đường thẳng d: 2y mx m   .

17. Đồ thị hàm số Thầy Hồng Trí Quang
17
a) Tìm m để d và (P) cùng đi qua điểm có hoành độ x = 4.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
c) Giả sử   1 1 2 2; ;x y x y là tọa độ các giao điểm của d và (P). Chứng minh rằng:
  1 2 1 22 2 1y y x x   
Bài 57. Cho hàm số 𝑦 = 𝑥2
có đồ thị (P), đường thẳng d: 𝑦 = (2𝑚 + 2)𝑥 − 𝑚2
− 2𝑚. Tìm m
để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ 𝑥1, 𝑥2 sao cho 2𝑥1 + 𝑥2 = 5.
Bài 58. Cho hàm số 𝑦 = 𝑥2
(P) và 𝑦 = 𝑥 + 𝑚 (d) (m là tham số)
a) Tìm m để đồ thị (P) và đường thẳng d có hai giao điểm phân biệt A, B.
b) Xác định m để 𝐴𝐵 = √3
c) Tìm đường thẳng Δ vuông góc với d và tiếp xúc với (P)
Bài 59. Cho điểm M (1; -2) và (P):
2
4
x
y


a) Chứng minh rằng đường thẳng d qua M có hệ số góc m cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,
B khi m thay đổi.
b) Gọi 𝑥 𝐴, 𝑥 𝐵 lần lượt là hoành độ của A, B. Xác định m để 𝑥 𝐴
2
. 𝑥 𝐵 + 𝑥 𝐵
2
. 𝑥 𝐴 đạt giá trị nhỏ
nhất.
c) Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A, B trên trục hoành và S là diện tích hình thang
AA’B’B. Xác định m để 𝑆 = 4(8 + 𝑚2
√𝑚2 + 𝑚 + 2)
Bài 60. Cho (P): 𝑦 = 𝑥2
và A(3;0)
a) M là điểm thuộc (P) có hoành độ 𝑥 𝑀 = 𝑎. Xác định a để đoạn AM nhỏ nhất.
b) Chứng minh rằng nếu AM nhỏ nhất, thì đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến của
(P) tại M

18. Đồ thị hàm số Thầy Hồng Trí Quang
18