1. THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
1
10 KĨ THU T HAY DÙNG KHI GI I PHƯƠNG TRÌNH VÔ T
QUA 3 VÍ D MINH H A
Ví d 1: Gi i phương trình 2 2
1 2 1 2x x x x x− + + = − ( Rx∈ ) 2
( )t
Cách 1: (1. Bi n ñ i tương ñương)
Bi n ñ i phương trình tương ñương : 2 2
2 1 2 1x x x x x+ + = − + +
2 2
2 2 2 2 3 2
( 2 1) 0 (2 1) 0
4 ( 1) ( 2 1) 8 7 2 1 0
x x x x x x
x x x x x x x x
 − + + ≥ − − ≤ 
⇔ ⇔ 
+ + = − + + + − − =  
[ ]
2
1
; 0;1
2 1
( 1)(2 1) 0
1 1 33
( 1)(8 1) 0
161 33
16
x
x
x x x
x
x x x x
x
  
∈ −∞ − ∪  = −  − + ≤  ⇔ ⇔ ⇔= −  ++ − − = =  ± =

V y phương trình có nghi m 1x = − ho c
1 33
16
x
+
=
Cách 2: (2. Dùng h ng ñ ng th c)
Phương trình tương ñương : 2 2 2 2
2 1 ( 1) 4x x x x x x x− + + + + + =
( )
2
2 2
1 (2 )x x x x⇔ − + + =
2 2
2 2
1 2 1 (1)
1 2 1 3 (2)
x x x x x x x
x x x x x x x
 − + + = + + = −
 ⇔ ⇔
 − + + = − + + = 
2 2
0 0
(1) 1
11
x x
x
xx x x
− ≥ ≤ 
⇔ ⇔ ⇔ = − 
= −+ + = 
; 2 2 2
0
3 0 0 1 33
(2) 1 33 161 9 8 1 0
16
x
x x
x
x x x x x x
≥
≥ ≥  +
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =   ±
+ + = − − = =  

V y phương trình có nghi m 1x = − ho c
1 33
16
x
+
=
Cách 3: (3. ðưa phương trình v d ng ñ ng c p 2 2
0au buv cv+ + = ñ t o tích b ng vi c chia và ñ t n ph )
Bi n ñ i phương trình tương ñương : 2 2
2 1 2 1x x x x x+ + = − + + 2 2 2
2 1 3 ( 1)x x x x x x⇔ + + = − + + +
Nh n th y 0x = không là nghi m c a phương trình nên 2
1 0x x x+ + ≠ , chia c hai v c a phương trình
cho 2
1x x x+ + , khi ñó phương trình tương ñương:
2 2
2 2
3 1
2
1 1
x x x
x x x x x x
− + +
= +
+ + + +
2
2
3 1
2
1
x x x
xx x
− + +
⇔ = +
+ +
ð t
2
1
x
t
x x
=
+ +
, phương trình có d ng: 2
1
1
2 3 3 2 1 0 1
3
t
t t t
t t
= −
= − + ⇔ + − = ⇔
 =

22
2
2
1
11
1 1 3
31
x
x x xx x
x x x x
x x

= −  + + = −+ + ⇒ ⇔
  + + ==
+ +
…ti p t c như Cách 2 ta ñư c nghi m : 1x = − ho c
1 33
16
x
+
=

2. THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
2
Cách 4: (3. ðưa phương trình v d ng ñ ng c p 2 2
0au buv cv+ + = ñ t o tích b ng vi c ñ t n ph )
(Th c ch t ñây ch là cách trình bày khác c a Cách 3 – song cách trình bày này các em s th y rõ hơn tính ñ ng c p xu t
hi n phương trình trên)
Bi n ñ i phương trình tương ñương : 2 2
2 1 2 1x x x x x+ + = − + +
2 2 2
2 1 3 ( 1)x x x x x x⇔ + + = − + + +
ð t 2
1y x x= + + , khi ñó phương trình có d ng: 2 2
2 3xy x y= − +
2 2
3 2 0 ( )(3 ) 0x xy y x y x y⇔ + − = ⇔ + − =
3
y x
y x
= −
⇔  =
suy ra:
2
2
1
1 3
x x x
x x x
 + + = −

 + + =
… ti p t c như Cách 2 ta ñư c nghi m: 1x = − ho c
1 33
16
x
+
=
Cách 5: (4. ð t n ph hoàn toàn)
Bi n ñ i phương trình tương ñương : 2 2
1 2 2 1 0x x x x x+ − − + + =
Nh n th y 0x = không là nghi m c a phương trình nên chia c hai v cho 2
x ta ñư c:
2
2
1 1 2 1
2 0
x x
x x x
+ +
+ − − = (*)
+) V i 0x > : (*) 2 2
1 1 1 1
2 2 1 0
x x x x
⇔ + − − + + = . ð t 2
1 1
1t
x x
= + + ⇒ 2
2
1 1
1t
x x
+ = − ( 0)t ≥
Khi ñó phương trình có d ng: 2 2
1 2 2 0 2 3 0 3t t t t t− − − = ⇔ − − = ⇔ = ho c 1t = − (lo i)
Suy ra 2
2
1 1 1 33
8 8 1 0
16
x x x
x x
±
+ = ⇔ − − = ⇔ = , k t h p v i 0x > ta ñư c nghi m:
1 33
16
x
+
=
+) V i 0x < : (*) 2 2
1 1 1 1
2 2 1 0
x x x x
⇔ + − + + + = . ð t 2
1 1
1t
x x
= + + ⇒ 2
2
1 1
1t
x x
+ = − ( 0)t ≥
Khi ñó phương trình có d ng: 2 2
1 2 2 0 2 3 0 1t t t t t− − + = ⇔ + − = ⇔ = ho c 3t = − (lo i)
Suy ra 2
1 1
0 1 0 1x x
x x
+ = ⇔ + = ⇔ = − th a mãn 0x < .
V y nghi m c a phương trình là: 1x = − ho c
1 33
16
x
+
=
Cách 6: (5. Nhân bi u th c liên h p)
Bi n ñ i phương trình tương ñương : ( )2
2 1 1x x x x x+ + + = +
*) N u 2 2
2 2
0 0
1 0 1 1
11
x x
x x x x x x x
xx x x
− ≥ ≤ 
+ + + = ⇔ + + = − ⇔ ⇔ ⇔ = − 
= −+ + = 
Khi ñó thay 1x = − ta nh n th y nó là nghi m c a phương trình.
*) N u 2
1 0 1x x x x+ + + ≠ ⇔ ≠ − . Khi ñó phương trình tương ñương:

3. THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
3
( )( ) ( )2 2 2
2 1 1 ( 1) 1x x x x x x x x x x x+ + + + + − = + + + −
( )2
2 ( 1) ( 1) 1x x x x x x⇔ + = + + + − 2
2 1x x x x⇔ = + + − (vì 1x ≠ − )
2
1 3x x x⇔ + + = ⇔ …⇔
1 33
16
x
+
= (các em xem l i cách gi i phương trình này Cách 2)
V y nghi m c a phương trình là: 1x = − ho c
1 33
16
x
+
=
Chú ý: cách 6 , khi ta nhân v i m t bi u th c ch a bi n vào c hai v c a phương trình thì có hai cách trình bày:
+) Trư c khi nhân, ta xét tính b ng 0 và khác 0 c a bi u th c c n nhân ñ tránh tình hu ng th a nghi m.
+) T o ra phương trình h qu (dùng d u “⇒” ) và bư c cu i cùng ph i th l i nghi m
(ch dùng khi bài toán có “nghi m ñ p” – ñ vi c th l i nghi m không g p “khó khăn”) .
Ví d 2: Gi i phương trình ( )2 2 3
2 15 15 3 15 4x x x x x x− − + = − − − ( Rx∈ ) 2
( )t
ði u ki n: 0 15x≤ ≤
Bi n ñ i phương trình tương ñương: ( )2 2 2
(15 ) 3 . 15 4 2 15 0x x x x x x− − − − + − + =
Cách 1: (6. ð t hai n ph ñ ñưa phương trình v d ng tích và ñánh giá)
ð t
2
15u x
v x
 = −

=
( , 0)u v ≥ , khi ñó phương trình có d ng: 2 2
3 4 2( ) 0u uv v u v− − + + = (*)
Cách 1.1: Phân tích thành tích b ng kĩ thu t nhóm, tách ghép…
(*) 2 2
2 3 2( 2 ) 0u v uv u v⇔ + − + − =
( 2 ) ( 2 ) 2( 2 ) 0u u v v u v u v⇔ − − − + − =
( 2 )( ) 2( 2 ) 0u v u v u v⇔ − − + − =
( 2 )( 2) 0u v u v⇔ − − + = 2u v⇔ = ho c 2u v= −
Cách 1.2: S d ng phương pháp h ng s bi n thiên – ñ t o tích
(*) 2 2
(3 2) 2 4 0u v u v v⇔ − − + − =
2 2 2 2
(3 2) 4(2 4 ) 4 4 ( 2)u v v v v v v∆ = − − − = + + = +
Khi ñó
3 2 2
2
2
v v
u v
− + +
= = ho c
3 2 2
2
2
v v
u v
− − −
= = −
+) V i 2u v= , khi ñó: 2 2
15 2 15 4x x x x− = ⇔ − = (do có ðK)
2
4 15 0x x⇔ + − = 2 19x⇔ = − + ho c 2 19x = − − (lo i)
+) V i 2u v= − , khi ñó: 2
15 2x x− = − (2*)
V i ñi u ki n: 0 15 2 15 2 16 2 0x x≤ ≤ ⇒ − ≤ − < − = nên phương trình (2*) vô nghi m
V y phương trình có nghi m: 2 19x = − +

4. THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
4
Cách 2: (7. ð t n ph ñ ñưa phương trình v h )
ð t
2
15u x
v x
 = −

=
( , 0)u v ≥ suy ra 2 4
15u v+ = . Khi ñó phương trình ñưa v h :
2 2
2 4
3 4 2( ) 0
15
u uv v u v
u v
 − − + + =

+ =
2 2
2 4
2 3 2( 2 ) 0
15
u v uv u v
u v
 + − + − =
⇔ 
+ =
2 4 2 4
( 2 )( ) 2( 2 ) 0 ( 2 )( 2) 0
15 15
u v u v u v u v u v
u v u v
− − + − = − − + = 
⇔ ⇔ 
+ = + = 
2 4
2 4
2
(1)
15
2
(2)
15
u v
u v
u v
u v
 =

+ =
⇔  = −
 + =
*) T (1), suy ra: 2 4 4 2 2
4 15 4 15 0 2 19v v v v v+ = ⇔ + − = ⇔ = − + ho c 2
2 19v = − − (lo i) 2 19x⇒ = − +
*) T (2), k h p v i ñi u ki n 0u ≥ ta có: 2 0u v= − ≥
2v⇒ ≥ hay 2 4x x≥ ⇔ ≥ không th a mãn ñi u ki n 15 4x ≤ <
Nên h (2) vô nghi m
V y phương trình có nghi m: 2 19x = − +
Cách 3: (8. Phân tích thành tích)
( )2 2 3
2 15 15 3 15 4x x x x x x− − + = − − −
2 2 2 2
15 2 . 15 . 15 2 2 15 4 0x x x x x x x x⇔ − − − − − + + − − =
( ) ( ) ( )2 2 2 2
15 15 2 15 2 2 15 2 0x x x x x x x x⇔ − − − − − − + − − =
( )( )2 2
15 2 15 2 0x x x x⇔ − − − − + =
2
2
15 2
15 2
x x
x x
 − =
⇔
 − = −
… ti p t c làm như Cách 1
ta ñư c nghi m c a phương trình là: 2 19x = − +
Cách 4: (9. ð t n ph không hoàn toàn và phương pháp h ng s bi n thiên)
(M t cách trình bày khác c a Cách 1.2 )
ð t 2
15t x= − . Khi ñó phương trình có d ng: ( )2
3 . 4 2 0t x t x t x− − + + =
2
(3 2) 2 4 0t x t x x⇔ − − + − =
2 2
(3 2) 4(2 4 ) 4 4 ( 2)t x x x x x x∆ = − − − = + + = +
Suy ra:
3 2 2
2
2
3 2 2
2
2
x x
t x
x x
t x
 − + +
= =

 − − −
= = −

hay
2
2
15 2
15 2
x x
x x
 − =

 − = −
… ti p t c làm như Cách 1 ta ñư c nghi m c a
phương trình là: 2 19x = − +

5. THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
5
Ví d 3: Gi i phương trình 5 2
( 7 3) 1 3 11x x x x+ + = − − ( Rx∈ ) 2
( )t
(10. S d ng tính ñơn ñi u c a hàm s . )
ðK:
1
3
x ≤ (*) Bi n ñ i phương trình tương ñương: 6 3 3
( 6 9) ( 3) 1 3 1 3x x x x x+ + + + = − + −
( )
2
3 2 3
( 3) ( 3) 1 3 1 3x x x x⇔ + + + = − + − (2*)
+) Xét hàm s ñ c trưng: 2
( )f t t t= + v i 0t ≥
Ta có: '( ) 2 1 0f t t= + > v i 0t∀ ≥ , suy ra ( )f t ñ ng bi n v i 0t∀ ≥
Khi ñó (2*) ( )3
( 3) 1 3f x f x⇔ + = − 3 3
3 1 3 1 3 3 0x x x x⇔ + = − ⇔ − − + = (3*)
+) V i
1
3
x = không là nghi m c a phương trình, nên ta xét hàm s 3
( ) 1 3 3g x x x= − − + v i
1
3
x <
Ta có 2 3
'( ) 3 0
2 1 3
g x x
x
= + >
−
v i
1
3
x∀ < , suy ra ( )g x ñ ng bi n v i
1
3
x∀ < .
Khi ñó (3*) ( ) ( 1) 1g x g x⇔ = − ⇔ = − th a mãn ñi u ki n (*).
V y phương trình có nghi m 1x = − .
C M ƠN CÁC EM ðà ð C BÀI VI T NH NÀY !
CHÚC CÁC EM ð T K T QU TH T T T TRONG KỲ THI S P T I !!!