1. 1
Induktansi dan Kapasitansi
1. Induktor
Induktor maupun kapasitor termasuk elemen pasif walaupun sewaktu induktor dan
kapasitor mendapatkan sumber DC, induktor dan kapasitor tersebut akan memberikan
daya kepada elemen pasif murni lainnya yaitu resistor.
Kita definisikan induktansi L dari induktor adalah
dt
di
L (1)
Satuan induktansi tersebut adalah henry (H), dan persamaan yang mendefinisikannya
memperlihatkan bahwa henry adalah pernyataan yang lebih pendek untuk volt-detik
per ampere.
Gambar 1: Tanda-tanda referensi untuk tegangan dan
arus diperlihatkan pada simbol rangkaian untuk sebuah
induktor:
dt
di
L .
Sebuah induktor ketika mendapatkan sumber DC maka induktor tersebut akan
terlihat seperti sebuah hubung singkat atau short circuit, sehingga induktor tersebut
dapat menyimpan arus yang tidak berhingga, memiliki tahanan yang besarnya nol
sehingga tegangannya akan nol juga.
Perubahan tiba-tiba di dalam arus induktor juga menghendaki perubahan tiba-
tiba di dalam energi yang tersimpan di dalam induktor, dan perubahan energi yang
tiba-tiba ini memerlukan tenaga tak berhingga pada saat itu; tenaga tak berhingga
bukanlah bagian dari dunia fisis yang riil. Untuk menghindari tegangan tak berhingga,
maka arus induktor tidak boleh meloncat segera dari satu harga ke harga yang lain,
sehingga dapat disimpulkan bahwa i(0-
) = i(0+
) = I0.
Tegangan pada induktor adalah:
dt
di
L (2)
+ υ −
i L
2. 2
Sedangkan arus yang mengalir pada induktor adalah:
kdt
L
ti
1
)( (3)
Jika batasan integralnya diketahui maka arus induktor adalah
t
x
dt
L
ti
1
)( (4)
Daya yang diserap diberikan oleh hasil perkalian arus-tegangan,
dt
di
Liip W
Energi yang tersimpan pada induktor adalah
2
2
1
)( LitwL (5)
Kita catat sekarang beberapa karakteristik sebuah induktor yang diakibatkan oleh
persamaan yang mendefinisikan :
1. Tak ada tegangan melintasi sebuah induktor jika arus yang melalui induktor
tersebut tidak berubah dengan waktu (sumber dc). Karena itu induktansi
adalah hubungan pendek bagi dc.
2. Sejumlah energi yang terbatas dapat disimpan dalam sebuah induktor
walaupun tegangan melintasi induktansi nol, misalnya bila arus yang
melaluinya adalah konstan.
3. Tak mungkin mengubah arus melalui sebuah induktor dengan jumlah
terbatas di dalam waktu nol, karena ini memerlukan tegangan tak terhingga
melintasi induktor. Sebuah induktor menentang perubahan tiba-tiba didalam
arus yang melaluinya dengan cara yang analog dengan sebuah massa yang
menolak perubahan kecepatan yang mendadak.
4. Induktor tak pernah menghilangkan energi, tetapi hanya menyimpannya.
Walaupun ini benar untuk model matematis, tetapi tak benar untuk induktor
fisis.
3. 3
1. Untuk rangkaian dari Gambar 2, carilah (a) i1; (b) i2; (c) i3.
Gambar 2: Lihat Contoh Soal 1.
Jawab
Gambar 3: Penyederhaan dari Gambar 2.
20 Ω
10 Ω
12 Ω
25 Ω
100 Ω
20 V2 A
i1
i2
i3
(a)
20 Ω
10 Ω25 Ω100 Ω 20 V2 A
i1 i3
(b)
20 Ω
3
2
6 Ω
20 V2 A
i3
(c)
ix iy
20 Ω 0,4 H
10 Ω
0,2 H
12 Ω
25 Ω
0,1 H
100 Ω
20 V2 A
i1
i2
i3
0,3 H
4. 4
3
2
6
3
20
15
100
100
15
100
10
100
4
100
1
10
1
25
1
100
11
10)25100(
p
p
p
R
R
R
Dengan analisis mesh
Definisi arus Aix 2
Dengan mempergunakan KVL pada mesh iy,
N
n
n
1
0
Ai
i
ii
iii
y
y
yy
xyy
4
1
3
2
6
20
3
1
13
3
2
26
02
3
2
62020
3
2
6
0
3
20
2020
3
20
A
ii y
4
1
4
1
3
A
iiii yxRp
4
1
2
4
1
2
3
2
6
Karena tahanan 100 Ω, 25 Ω dan 10 Ω paralel berarti memiliki tegangan yang
sama yaitu sebesar :
V
Ri
15
3
2
6
4
1
2
3
2
6
5. 5
A
R
i 6,0
5
3
25
15
25
3
2
6
1
sedangkan arus i2 = 0 karena tidak dialiri oleh arus.
2. Kapasitor
Elemen rangkaian pasif berikutnya adalah kapasitor. Kita definisikan kapasitansi C
dengan hubungan tegangan-arus
dt
d
Ci
(6)
di mana υ dan i memenuhi konvensi untuk sebuah elemen pasif, seperti yang
diperlihatkan dalam Gambar 4. Dari (8), kita dapat menentukan satuan kapasitansi
sebagai ampere detik per volt, atau coulomb per volt, tetapi sekarang kita akan
mendifinisikan farad (F) sebagai satu coulomb per volt.
Gambar 4: Tanda-tanda referensi arus dan tegangan
diperlihatkan pada simbol rangkaian untuk sebuah
kapasitor sehingga
dt
d
Ci
.
Sebuah kapasitor ketika terhubung dengan sumber DC, maka kapasitor tersebut akan
terlihat sebagai sebuah rangkaian terbuka, yang artinya kapasitor tersebut memiliki
tegangan yang tak berhingga, tahanan yang tak berhingga akan tetapi tidak dapat
dilalui oleh arus (arusnya sama dengan nol)
Tegangan kapasitor dapat dinyatakan
kdti
C
t
1
)( (7)
Bila batasannya diketahui maka tegangannya adalah:
t
dti
C
t
1
)( (8)
Daya yang diberikan kepada kapasitor adalah
dt
d
Cip
i
+ υ -
C
6. 6
sehingga energi yang disimpan di dalam medan listriknya adalah
2
2
1
)( CtwC (9)
Beberapa di antara karakteristik penting sebuah kapasitor sudah jelas
sekarang, yaitu :
3. Kombinasi Induktansi dan Kapasitansi
Bila beberapa induktor dirangkai secara seri maka kita dapat mengganti dengan
sebuah induktor yang ekivalen Leq dengan cara penurunan sebagai berikut,
dt
di
LLL
dt
di
L
dt
di
L
dt
di
L
N
N
Ns
)( 21
21
21
Gambar 5: (a) Rangkaian yang terdiri dari N induktor
seri. (b) Rangkaian ekivalen yang dikehendaki, di mana
Neq LLLL 21 .
1. Arus melalui kapasitor adalah nol jika tegangan yang melintasinya tak berubah
terhadap waktu (sumber dc). Karena itu maka kapasitor adalah rangkaian terbuka
bagi dc.
2. Sejumlah energi yang terbatas dapat disimpan dalam kapasitor walaupun arus
melalui kapasitor adalah nol, seperti ketika tegangan melintasinya adalah konstan.
3. Tidak mungkin mengubah tegangan melintasi kapasitor dengan jumlah terbatas di
dalam waktu nol, karena ini memerlukan arus tak terhingga melalui kapasitor.
Kapasitor menolak perubahan tiba-tiba di dalam tegangan yang melintasinya dengan
cara yang analog dengan sebuah pegas yang akan menolak perubahan yang tiba-tiba.
4. Kapasitor tidak pernah menghilangkan energi, tetapi hanya menyimpannya.
Walaupun ini benar untuk model matematis, hal ini tak benar untuk kapasitor fisis.
+
-
+ υ1 - + υ2 -
+
υN
-
i
LNυs
+
-
i
Leqυs
(a) (b)
7. 7
atau, ditulis lebih singkat,
N
n
n
N
n
n
N
n
ns L
dt
di
dt
di
L
111
Tetapi untuk rangkaian ekivalen kita peroleh
dt
di
Leqs
sehingga induktansi ekivalen adalah
Neq LLLL 21 atau
N
n
neq LL
1
Bila beberapa induktor dirangkai secara paralel maka dapat diturunkan menjadi:
N
eq
LLL
L
111
1
21
Khusus untuk dua induktor yang paralel,
21
21
LL
LL
Leq
dan kita perhatikan bahwa induktor-induktor paralel berkombinasi persis seperti
tahanan-tahanan paralel.
Gambar 6: (a) Kombinasi paralel dari N induktor. (b)
rangkaian ekivalen, di mana
N
eq
LLL
L
111
1
21
.
Sedangkan untuk mencari kapasitansi yang ekivalen dengan N kapasitor yang seri,
kita gunakan rangkaian dari Gambar 7a dan ekivalennya Gambar 7b untuk
menuliskan
Leq
+
υ
-
isL1 L2 LN
i1 i2 iN
+
υ
-
is
(a) (b)
8. 8
υs
N
n
n
t
t
N
n n
N
n
t
t
n
n
N
n
ns
tdti
C
tdti
C
1
0
1
1
0
1
)(
1
)(
1
0
0
dan
)(
1
0
0
tdti
C
s
t
t
eq
s
Gambar 7: (a) Rangkaian yang mengandung N
kapasitor seri. (b) Ekivalen yang diinginkan,
N
eq
CCC
C
111
1
21
Akan tetapi, hukum tegangan Kirchhoff memberikan kesamaan dari υs(t0) dengan
menjumlahkan tegangan-tegangan kapasitor pada t0; jadi
N
eq
CCC
C
111
1
21
dan kapasitor-kapasitor seri berkombinasi sebagai konduktansi seri, atau tahanan-
tahanan paralel.
Akhirnya, rangkaian dari Gambar 8 memungkinkan kita menghasilkan nilai
kapasitansi yang ekivalen dengan N kapasitor paralel sebagai
Neq CCCC 21
+
-
i C1 C2
CN
+ υ1 - + υ2 -
+
υ2
-
υs
(a)
+
-
i
CNυs
(b)
9. 9
dan kita tak perlu heran memperhatikan bahwa kapasitor paralel berkombinasi sama
seperti tahanan seri, yakni, dengan menjumlahkan saja semua kapasitansi satu per
satu.
Gambar 8 : (a) Kombinasi paralel dari N kapasitor. (b)
Rangkaian ekivalen, di mana Neq CCCC 21 .
Soal Contoh
2. (a) Carilah Leq di dalam Gambar 9a. (b) Carilah Ceq di dalam Gambar 9b.
Gambar 9: Lihat Contoh Soal 5.
Jawab
i1 i2 iN
C1 C2 CNis
+
υ
-
(a)
Ceqis
+
υ
-
(b)
1 H
2 H
3 H5 H
4 H
Leq
(a)
1 μF
2 μF4 μF
3 μF5 μFCeq
(b)
11. 11
2. Tentukan nilai Lek !
3. Carilah tegangan pada rangkaian berikut.
Referensi :
[1] Charles K. Alexander & Matthew N.O. Sadiku. (2007). Fundamentals of
Electric Circuit. 4th
ed., New York, NY: McGraw Hill
[2] Mohamad Ramdhani. (2008). Rangkaian Listrik. Bandung: Erlangga
[3] William H. Hyat & Jack E. Kemmerly. (1993). Rangkaian Listrik. 4th
ed.,
Jakarta: Erlangga.
[4] William H. Hyat Jr, Jack E. Kemmerly & Steven M Durbin. (2005).
Rangkaian Listrik. 6th
ed., Jakarta: Erlangga.
(a) (b)
