Calculus www.clipvidva.com

คณิตศาสตร์ แคลคูลัส www.clipvidva.com

แคลคูลส
ั
ในบทเรื่องแคลคูลัสนี้ เป็นบทที่สาคัญมากๆ ในวิชาคณิตศาสตร์ ที่สามารถนาไปใช้ต่อได้ ในวิชา
คณิตศาสตร์ขั้นสูง และในเนื้อหาบทนี้ค่อนข้างไม่ยากมากเมื่อเทียบกับอื่นๆ วิชาฟิสิกส์ในระดับมหาลัยวิทยาลัย,
ดังนั้นขอให้น้องๆตั้งใจ ที่จะทาความเข้าใจกับเนื้อหาบทนี้ด้วยเพราะจะเป็นประโยชน์อันดีในการทาคะแนน
สอบในวิชา Pat1

0
1.1) หาลิมิตในรูปของ
0

1. ลิมิตและความต่อเนื่อง 1.2) หาลิมิตค่าสัมบูรณ์

1.3) หาลิมิตเป็นกรณี
2. อัตราการเปลี่ยนแปลง
1.4) ความต่อเนื่อง
แคลคูลัส
3.1) อนุพันธ์อันดับสูง
3. อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
3.2) การประยุกต์

4.1) ไม่จากัดเขต

4.2) จากัดเขต
4. การอินทิเกรต
4.3) พื้นที่ปิดล้อม
ด้วยเส้นโค้ง

1


1. ลิมต และความต่อเนือง
ิ ่
ทฤษฎีบทของลิมิต
กล่าวไว้ว่า ถ้า lim f(x) L และ limg(x) M แล้ว
x a x a

1. limc c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ
x a

2. lim x a
x a

3. lim x n an เมื่อ n N
x a

4. limcf(x) c L เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ
x a

5. lim(f(x) g(x)) lim f(x) limg(x) L M
x a x a x a

6. lim(f(x) g(x)) lim f(x) limg(x) L M
x a x a x a

f(x) lim f(x) L
7. lim x a
เมื่อ limg(x)  0
x a g(x) limg(x) M x a
x a

8. lim f(x) lim f(x) L
x a x a

9. lim n f(x) n lim f(x) n
L และ n L R
x a x a

ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim(x 2  x 5  9) (ถ้าลิมิตมีค่า)
x 1

ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim(2 x  4 2x 1 ) (ถ้าลิมิตมีค่า)
x 2

2


x3  x2
ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim (ถ้าลิมิตมีค่า)
x 1 x  1

0
1.1 การหาลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูปของ
0
f(x)
เมื่อโจทย์กาหนดให้หา lim ในขั้นแรกเลย สิ่งที่เราต้องทาคือ แทน x = a เข้าไปในฟังก์ชันแต่
x a g(x)

f(a) 0
ถ้าแทนค่าเข้าไปแล้วได้ว่า = เราจะมีวิธีแก้ปัญหาอยู่ วิธีคือ 2
g(a) 0
1.ต้องแยกตัวประกอบ เมื่อเจอพหุนามกาลัง 3 หรือมากกว่า 2,3
2.คูณคอนจูเกต เมื่อเจอรากที่ 3 หรือรากที่ 2

x2  x  2
ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim )ถ้าลิมิตมีค่า(
x 1 x 1

3


2x  1  3
ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim (ถ้ าลิมิตมีคา)
่
x 1 x 2  2x  3

3
x 6 2
ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim (ถ้ าลิมิตมีคา)
่
x 2 x 2

x 2x  9 
ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim   2  (ถ้าลิมิตมีค่า)
x 3  x  3 x x 6 

x3  x2  x
Pat1 มี.ค.54 จงหาค่าของ lim
x 0 x2

4


1.2 การหาลิมิตของฟังก์ชันที่มีค่าสัมบูรณ์

วิธีแก้ปัญหาเมื่อเจอฟังก์ชันที่มีค่าสัมบูรณ์คือ ต้องถอดค่าสัมบูรณ์ออกให้ได้ และอีกสิ่งที่เราต้องทาคือ
การหาลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวา แล้วดูว่าลิมิต 2 ข้างมันเท่ากันหรือไม่ ถ้าเท่ากัน แสดงว่า ลิมิตมีค่า แต่
ถ้าลิมิต 2 ข้างไม่เท่ากัน แสดงว่า ไม่มีลิมิต
ข้อควรรู้

x2  x  2
ตัวอย่าง จงหาค่าของ lim )ถ้าลิมิตมีค่า(
x 2 x 2

5


1.3 การหาลิมิตของฟังก์ชันที่แบ่งเป็นกรณี
ถ้าฟังก์ชันที่โจทย์กาหนดมาให้ มีการแบ่งเป็นหลายๆกรณี โดยที่ฟังก์ชันถูกแบ่งที่ตาแหน่ง x=a และ
โจทย์ก็สั่งให้เราหาค่าของ lim f(x) เราจะต้องแยกหาลิมิต 2 ทางนั่นคือ เราจะต้องหา lim f(x) และ
x a x a
lim f(x) แล้วดูว่าค่า 2 ค่านี้ เป็นอย่างไร
x a
1.ถ้า lim f(x) = lim f(x) = L เราจะได้ว่า lim f(x) = L และเราจะเรียกได้อีกอย่างหนึ่งว่า
x a x a x a

ฟังก์ชัน f มีลิมิตที่ x=a
2. lim f(x) ≠ lim f(x) เราจะได้ว่า lim f(x) ไม่มีค่า และเรา ) หรือจะบอกว่าหาค่าไม่ได้ ก็ได้(

จะเรียกได้อีกอย่างหนึ่งว่าฟังก์ชัน f ไม่มีลิมิตที่ x=a

1

{
;x 1
3x 1
ตัวอย่าง กาหนดให้ f(x)  จงหาค่าของ lim f(x)
2  5 x x 1
;x 1
x 1

{
3x 2 1;x 1
ตัวอย่าง กาหนดให้ f(x)  x 2 2x 3
จงหา lim f(x)
;x 1 x 1
x 1

6


1.4 หาความต่อเนื่อง
บทนิยาม f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ x=a ก็ต่อเมื่อ
1.f(a) หาค่าได้
2. lim f(x) หาค่าได้ นั่นคือ( lim f(x) = lim f(x) )
3. f(a)= lim f(x)
x a

ตัวอย่าง ฟังก์ชันต่อไปนี้ มีความต่อเนื่องที่ x = 2 หรือไม่
x3  8
ก. f(x) 
x 2

x 2 4

{
;x 2
x 2
ข. f(x) 
4;x 2

7

x 3

{
;x 3
2x 10  x 13
PAT1 มี.ค. 54 กาหนดให้ f(x)  โดยที่ a เป็นจานวนจริง ถ้า f เป็นฟังก์ชัน
a;x 3
ต่อเนื่องที่จุด x=3 แล้ว a เท่ากับเท่าใด

2. อัตราการเปลียนแปลง
่
ในฟังก์ชัน y=f(x) ใดๆเราพิจารณาหา “อัตราการเปลี่ยนแปลงค่าฟังก์ชัน” ได้ดังนี้
ที่จุด x=x1 จะได้ y=f(x1)
ที่จุด x=x2=x1+h จะได้ y=f(x1+h)
ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยของ y เทียบกับ x ในช่วง x1 ถึง x1+h ก็คือ
y f(x1  h)  f(x1 ) f(x1  h)  f(x1 )
 
x (x1  h)  (x1 ) h
หรือ “อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยของ y เทียบกับ x (ในช่วง x ถึง x+h ใดๆ)” คือ
f(x  h)  f(x) y
หรือ
h x
และเมื่อเราบีบช่วง h ให้แคบลงจนใกล้ 0 ก็จะได้อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุด x ที่กาหนด ฉะนั้น
“อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y (ที่จุดใดๆ)”คือ
f(x  h)  f(x) y
lim หรือ lim
h0 h h0 x

(ไม่สามารถแทนค่า h=0 ลงไปตรงๆได้ เพราะจะเป็น 0 0 จึงต้องใช้ลิมิตช่วยในการคานวณ)

8


ตัวอย่าง y  f(x)  2x 2  3x  4 ให้หาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x
ก.โดยเฉลี่ยในช่วง x=1 ถึง 4

ข.ที่จุดซึ่ง x=2

อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y=f(x) ที่จุด x ใดๆ เรียกอีกอย่างได้ว่า อนุพันธ์ สัญลักษณ์ที่ใช้แทน
dy d
อนุพันธ์ของ f(x) ได้แก่ , f(x) , f '(x) หรือ y '
dx dx
dy
ส่วนสัญลักษณ์ที่ใช้เจาะจงตาแหน่ง เช่น อนุพันธ์ที่จุดซึ่ง x=3 จะใช้ f '(3) หรือ
dx x 3
f(x  h)  f(x) dy
ฉะนั้น อนุพันธ์ f(x) ก็คือ lim = นั่นเอง และ ยังเรียกว่าเป็นค่า ความชัน ของ
h0 h dx
กราฟ y=f(x) ณ จุดนั้นๆด้วย

ตัวอย่าง ถ้า y  x  2x 2 เป็นสมการเส้นโค้ง ให้หา
ก.ความชันของเส้นโค้งนี่ที่จุด (2,-6)

9


ข.หาสมการความชันของเส้นโค้งนี้ ณ จุด x ใดๆ ( ตอบติดในรูป x )

3. อนุพนธ์ของฟั งก์ชน
ั ั
นิยาม ถ้า y=f(x) เป็นฟังก์ชันที่มีโดนเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจานวนจริง และ
f(x  h)  f(x) d
lim หาค่าได้ เรียกค่าลิมิตที่ได้นี้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x แทนด้วย f '(x), f(x) และ
h0 h dx
dy
dx
สูตรของอนุพันธ์
ให้ f, g เป็นฟังก์ชันของ x และ c เป็นค่าคงที่ใดๆ
dy
1. ถ้า y=c โดยที่ c เป็นค่าคงที่ใดๆ จะได้ว่า  0
dx
dy
2. ถ้า y=x แล้ว  1
dx
dy
3. ถ้า y  c  f(x) โดยที่ c เป็นค่าคงที่ใดๆจะได้ว่า  c  f '(x)
dx
dy
4. ถ้า y  f(x)  g(x) แล้ว  f '(x)  g'(x)
dx
dy
5. ถ้า y  x n โดยที่เป็นจานวนจริงใดๆ จะได้ว่า  nx n1
dx
dy
6. ถ้า y=f(x)g(x) แล้ว  f(x)g'(x)  g(x)f '(x)
dx
f(x) dy g(x)f '(x)  f(x)g'(x)
7. ถ้า y  โดยที่ g(x)  0 แล้วจะได้ว่า 
g(x) dx g(x) 2
dy
8. ถ้า y=(fog)(x)=f(g(x)) แล้วจะได้ว่า  f '(g(x))  g'(x)
dx

10


dy
ตัวอย่าง y  x 3  x 2  1 จงหา
dx

x3 dy
ตัวอย่าง ถ้า y  (x  1)(  9) จงหา
2

3 dx

x 2  3x  1
ตัวอย่าง ถ้า f(x)  3 จงหา f '(x) และ หา f '(1)
x 2

5
dy
ตัวอย่าง ถ้า y  (x  2x) 3 จงหา
2
dx

(x 2  1)(x 3  5x)
ตัวอย่าง ถ้า f(x)  จงหา f '(x)
(x  1)

11

1
dy
ตัวอย่าง ถ้า y  (x  3x  2 x ) 9  (x 4  5) 3 จงหา
2.5 3
dx

PAT1 ก.ค.52 ถ้า f,g และ h สอดคล้องกับ f(1)=g(1)=h(1)=1 และ f '(1)  g'(1)  h'(1)  2 แล้วค่าของ
(fg  h)'(1) เท่ากับเท่าไหร่

3.1 อนุพันธ์อันดับสูง
dy
สมมติ f(x)  y  x 3  2x 2  x  5 ดังนั้นจะหาอนุพันธ์ได้เป็น f '(x)   3x 2  4x  1
dx
และหากเราหาอนุพันธ์ของ f '(x) ต่อไปอีก จะเรียกว่าเป็นอนุพันธ์ อันดับสูง
d2 y
เช่น อนุพันธ์อันดับสอง คือ f ''(x) = 2 =6x-4
dx
d3 y
อนุพันธ์อันดับสาม คือ f '''(x) = 3 =6
dx
(4) d4 y
อนุพันธ์อันดับสี่ คือ f (x) = 4 =0
dx
dn y
การเขียนสัญลักษณ์ อนุพันธ์อันดับที่ n จะเป็น n หรือ f (n) (x) แต่อันดับที่หนึ่ง สอง และสาม
dx
นิยมใช้เครื่องหมายขีด เป็น f '(x) , f ''(x) , f '''(x)

12

3
ตัวอย่าง ถ้า f(x)  (2x  1) ให้หาค่า f ''(4)และf (4) )1(
2

Pat1 มี.ค.54 กาหนดให้ g(x) = x 2  2x  5 และ f(x) = x 3  x ค่าของ (f 'og')(1)  (g'of ')(0) เท่ากับ
เท่าใด

PAT1 ต.ค.53 กาหนดให้ f(x)  x 2  5x  6 ค่าของ f(f '(f ''(2553))) เท่ากับเท่าใด

3.2 ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลดและค่าสุดขีด
ความหมายของฟังก์ชันเพิ่มคือ เมื่อ x เพิ่มขึ้นแล้ว f(x) ก็จะเพิ่มขึ้นด้วยหรือกล่าวว่า ความชันเป็น
บวก ส่วนฟังก์ชันลดนั้น เมื่อ x เพิ่มขึ้น f(x) กลับลดลง หรือกล่าวว่า ความชันเป็นลบนั่นเอง ดังนั้นเมื่อ
พิจารณาถึงอนุพันธ์ f '(x) ซึ่งเป็นค่าความชันของกราฟ จะได้กฎว่า
ช่วงที่ f '(x) > 0 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และ ช่วงที่ f '(x) < 0 เป็นฟังก์ชันลด
และเนื่องจากตาแหน่งที่ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากเพิ่มไปลด หรือจากลดไปเพิ่มจะต้องมีการวกกลับของ
กราฟ ซึ่งทาให้เกิดจุดยอด (จุดสุดขีด) ขึ้นสามารถหาโดย f '(x) = 0
เราเรียกค่า x ณ ตาแหน่งที่ f '(x) = 0 ว่า ค่าวิกฤต

13


จุดสุดขีดมี 2 แบบคือจุดสูงสุดและจุดต่าสุด ถ้าความชันเปลี่ยนจากลดไปเพิ่ม จะเกิดจุดต่าสุด และถ้า
ความชันเปลี่ยนจากเพิ่มไปลด ก็จะเกิดจุดสูงสุด

หมายเหตุ
1. f '(x) =0 ไม่ได้เป็นจุดสูงสุดหรือต่าสุดเสมอไป อาจเป็นเพียงจุดเปลี่ยนเว้าเท่านั้น ซึ่งเราสามารถ
พิจารณาโดยละเอียดได้จาก อัตราการเปลี่ยนแปลงของความชัน หรือ f ''(x) ณ จุดนั้นๆ
หาก f ''(x) > 0 แสดงว่าความชันกาลังมีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ (เปลี่ยนจากลบเป็นศูนย์และเป็นบวก) จึง
เกิดจุดต่าสุดและหาก f ''(x) < 0 แสดงว่าความชันกาลังน้อยลงเรื่อยๆ (เปลี่ยนจากบวกเป็นศูนย์และเป็นลบ)
จึงเกิดจุดสูงสุด
แต่หาก ณ จุดนั้น f ''(x) =0 อาจะเป็นจุดเปลี่ยนความเว้าหรือจุดสูงสุดหรือจุดต่าสุดก็ได้
2.เราใช้ความรู้เรื่องค่าสูงสุดของฟังก์ชัน ในการคานวณโจทย์ปัญหาที่เป็นเหตุการณ์ จริง เช่น มีฟังก์ชัน
กาไร P(x) แล้วหาค่า x ที่ทาให้ได้กาไรมากที่สุด ดังจะได้ศึกษาจากตัวอย่างถัดไป
พิจารณากราฟต่อไปนี้ เพื่อทาความเข้าใจเรื่อง สัมพัทธ์ และ สัมบูรณ์

ฟังก์ชันหนึ่งๆ หากมีการวกกลับของกราฟ ณ จุดใด ก็จะเรียกจุดนั้นว่าจุดสุดขีดสัมพัทธ์ (แปลว่าเทียบ
กับจุดข้างเคียง จึงมีได้หลายจุด) และหากจุดใดมีค่าฟังก์ชันมากที่สุดหรือน้อยที่สุดของกราฟแล้ว จะเรียกจุด
นั้นว่าจุดสุดขีดสัมบูรณ์ด้วย (สูงสุดกับต่าสุด มีได้อย่างละ 1 จุด)
จุดสูงสุดสัมพัทธ์ ได้แก่ จุดA, C, E
จุดสูงสุดสัมบูรณ์ คือ จุด C เท่านั้น
จุดต่าสุดสัมพัทธ์ ได้แก่ จุดB, D
จุดต่าสุดสัมบูรณ์ ไม่มี


14


ตัวอย่าง f(x) เป็นฟังก์ชันพหุนามกาลังสาม ซึ่งหารด้วย x+1 แล้วเหลือเศษ 6 สัมผัสกับเส้นตรง
12x+y+7=0 ณ จุดตัดแกน y และค่าวิกฤตค่าหนึ่งเป็น 1
ก.ให้หาฟังก์ชัน f(x) นี้

ข.ฟังก์ชันนี้มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์และต่าสุดสัมพัทธ์เป็นเท่าใด

ค.ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันลดในช่วงใดได้บ้าง

PAT1ต.ค.52 กาหนดให้ y  f(x) เป็นฟังก์ชันซึ่งมีค่าสูงสุดที่ x=1 ถ้า f ''(x)  4 ทุก x และ
f(-1)+f(3)=0 แล้ว f มีค่าสูงสุดเท่าใด

15


ตัวอย่าง ต้องการสร้างถังรูปทรงกระบอกเพื่อเก็บน้ามัน ปริมาตร 16π ลูกบาศก์เมตร โดยสิ้นเปลือง
วัสดุก่อสร้าง (รวมฝาบนและล่าง) ให้น้อยที่สุด ถังใบนี้จะต้องมีรัศมีหน้าตัดเท่าใด

PAT1ก.ค.53 โรงงานผลิตตุ๊กตาแห่งหนึ่ง มีต้นทุนในการผลิตตุ๊กตา x ตัว โรงงานจะต้องเสียค่าใช้จ่าย
x 3  450x 2  60,200x  10,000 บาท ถ้าขายตุ๊กตาราคาตัวละ 200 บาท โรงงานจะต้องผลิตตุ๊กตากี่ตัว
จึงจะได้กาไรมากที่สุด

4. การอินทิเกรต

4.1 การอินทิกรัลไม่จากัดเขต
การกระทาที่ตรงข้ามกับกระบวนการหาอนุพันธ์ เราเรียกว่า การอินทิเกรต (Integration)
d
นั่นคือ ถ้า F(x)  f(x) แล้ว (การหาอนุพันธ์)
dx
จะได้ว่า  f(x)dx  F(x) (การอินทิเกรต)
สัญลักษณ์  เรียกว่าเครื่องหมายอินทิกรัล และเรียก f(x) ว่าตัวถูกอินทิเกรต(Integrand)
ทุกสิ่งที่หาอนุพันธ์ได้ตรงตามค่าที่ต้องการ จะเรียกได้ว่า ปฏิยานุพันธ์ (Antiderivative) เช่น
d
F1 (x)  x 2 , F2 (x)  x 2  1 ต่างก็เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x)=2x เนื่องจากล้วนทาให้ F(x)  f(x)
dx

16


เห็นได้ว่า รูปทั่วไปของปฏิยานุพันธ์ของ f(x) = 2x คือ x2+c เมื่อ c เป็นค่าคงที่ใดๆ ซึ่งเราจะเรียก
“รูปทั่วไปของปฏิยานุพันธ์” นี้ว่า อินทิกรัลไม่จากัดเขต (Indefinite Integral) ของ f(x) และเขียนสัญลักษณ์
เป็น  f(x)dx

สูตรการหาอินทิกรัล
x n1
.1 x dx 
n
 c ,n  1
n 1
2. cf  x  dx  c f  x dx , c R
3.   u  v  dx  udx  vdx

ตัวอย่าง ให้หาค่าอินทิกรัลต่อไปนี้
ก.  (x 3  2x 2  3)dx

ข.  (4t 3  3t 2  2t  1)dt

ค.  6(x  2)(x  1)dx

17


2  x
ตัวอย่าง ถ้า F'(x) = และ F(-1)=1 จะได้ฟังก์ชัน F(x) เป็นอย่างไร
x3

dy
ตัวอย่าง ถ้า  5x 4  3x 2  4x และ –y(1) = y(-1) แล้ว ให้หาค่าของ y(0)
dx

ตัวอย่าง ถ้าเส้นโค้ง y=f(x) ผ่านจุด (0,1) และ (4,c) เมื่อ c เป็นจานวนจริงและความชันเส้นโค้งนี้ที่จุด
(x,y) ใดๆ มีค่าเท่ากับ x  1 แล้ว c มีค่าเท่าใด

ตัวอย่าง กาหนดให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่ง f(2)  1,f '(1)  3,และf '')x(  3 ทุกๆค่า x แล้ว f(0) มี
ค่าเท่าใด

18



ตัวอย่าง ในเวลา t วินาที รถไฟวิ่งด้วยความเร่ง a ฟุตต่อวินาที2 โดย a  12t 2  6t  10 หากเมื่อ
เวลาเริ่มต้นพบว่าระยะทางเป็น 10 ฟุต และความเร็วเป็นศูนย์ ให้หาระยะทางเมื่อเวลาผ่านไป 5 วินาที

ตัวอย่าง ถ้ากาลังคนของบริษัทแห่งหนึ่งที่มีในปัจจุบันทาให้ได้ผลผลิต 3,000 ชิ้นต่อวัน และเมื่อมีคน
เพิ่ม x คน จะมีอัตราการเปลี่ยนแปลงผลผลิต 80-6 x ชิ้นต่อวัน ถามว่าเมื่อเพิ่มคน 25 คน บริษัทแห่งนี้จะ
ได้ผลผลิตกี่ชิ้นต่อวัน

4.2 การอินทิกรัลจากัดเขต
ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a,b] ถ้า F เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์บนช่วง [a,b] โดยที่
F'(x)  f(x) แล้ว
b
 f(x)dx  F(b)  F(a)
a
b
b
เรียก  f(x)dx ว่า อินทิกรัลจากัดเขตของฟังก์ชัน f บน [a,b] ใช้สัญลักษณ์ F(x) a แทน F(b)-F(a)
a

19


ตัวอย่าง จงหาค่าอินทิกรัลต่อไปนี้
3
ก.  (x 3  2)dx
1

0
ข.  (t 2  t)(t  1)dt
3

a 2
ตัวอย่าง ถ้ากาหนดฟังก์ชัน f(x)  x  4x ให้หาค่า a ที่ทาให้  f(x)dx =
2

a 3

1
2
PAT1 ก.ค.52 ถ้า f '(x)  3x  x  5 และ f(0)=1 แล้ว  f(x)dx มีค่าเท่ากับเท่าใด
1

20

1
2
PAT1 ต.ค.52 ถ้า f '(x)  x  1 และ  f(x)dx  0 แล้ว f(1) มีค่าเท่ากับเท่าใด
0

4.3 พื้นที่ใต้โค้ง
กาหนดให้ฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องบน [a,b] พื้นที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ f(x) จาก x=a ถึง x=b
หมายถึง พื้นที่ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วยกราฟของ f แกน X เส้นตรง x=a และเส้นตรง x=b

ทฤษฎีบท กาหนดให้ฟังก์ชัน f ต่อเนื่องบน [a,b] และ A เป็นพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งของ f จาก
x=a ถึง x=b จะหาได้จากสูตรต่อไปนี้
b
1.ถ้า f(x)  0 สาหรับทุก x ในช่วง [a,b] และ A   f(x)dx
a
b
2.ถ้า f(x)  0 สาหรับทุก x ในช่วง [a,b] และ A    f(x)dx
a

ตัวอย่าง พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง y=3-x กับแกน x ในช่วง x=0 ถึง 4

21


ANet 50 พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y  x 3  2x 2  2x กับแกน x ในช่วง x=0 ถึง 4

ตัวอย่าง ให้หาพื้นที่ที่ล้อมด้วยโค้ง f(x)  x 2  1 กับแกน x ในช่วงที่กาหนดให้ต่อไปนี้
ก.ในช่วง x=1 ถึง 2

ข.ในช่วง x=-1 ถึง 1

ค.ในช่วง x=-2 ถึง 0

22


ตัวอย่าง พื้นที่ปิดล้อมด้วยโค้ง y  x 2  3x  2 จาก x=0 ถึง 2 เฉพาะส่วนที่อยู่เหนือแกน x
เท่ากับเท่าใด

ตัวอย่าง ให้ f(x)  x 2  c โดย c เป็นค่าคงตัว ซึ่ง c  4 ถ้าพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y=f(x)
จาก x=-2 ถึง x=1 เท่ากับ 24 ตารางหน่วย แล้ว c มีค่าเท่าใด

ตัวอย่าง กาหนดฟังก์ชัน y=f(x) มีกราฟเป็นเส้นตรงตัดแกน x ที่จุด (-1,0) และผ่านจุด (3,6) แล้ว ค่า
3
ของ  f(x)dx เท่ากับเท่าใด
1

23


3
ตัวอย่าง เมื่อ f(x) เป็นกราฟเส้นตรงที่ผ่านจุด (3,5) และ (2,2) ให้หาค่า  f(x)dx
2

ANET 49 กาหนดให้ กราฟของ y=f(x) มีความชันที่จุด (x,y) ใดๆ เป็น 2x+2 และ f มีค่าต่าสุดสัมพัทธ์
เท่ากับ -3 พื้นที่ปิดของอาณาบริเวณที่ปิดล้อมด้วยกราฟของ y=f(x) แกน X เส้นตรง x=-1 และเส้นตรง x=0
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

24


เอกสารอ้างอิง
คณิต มงคลพิทักษ์สุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, สานักพิมพ์ Science Center, 2554.
ชัยรัตน์ เจษฎารัตติกร, “เอกสารประกอบคาสอนโครงการ Band Summer Camp 2010”
สมัย เหล่าวานิชย์, รศ., “ตะลุยคลังข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ สาระการเรียนรู้พื้นฐานและ
เพิ่มเติม”, สานักพิมพ์ไฮเอ็ด พับบลิชชิ่ง.
http://kruaun.wordpress.com/testbank/pat1/
http://th.wikipedia.org/wiki/แคลคูลัส

25

Calculus www.clipvidva.com

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Calculus www.clipvidva.com

Similar to Calculus www.clipvidva.com (14)

Calculus www.clipvidva.com