йыбыйб

Шугаман статик загваруудын
шинжилгээ
Analysis of static linear model

АГУУЛГА 1. ҮЙЛДВЭРЛЭЛИЙН ТЕХНОЛОГИЙН ХОЛБООГ
ТОДОРХОЙЛОХ
Үйлдвэрийн газар хоёр үе шаттайгаар
бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг гэе. Нэгдүгээр үе
шатанд 𝑛 янзын түүхий эдийг ашиглан 𝑚
төрлийн хагас боловсруулсан бүтээгдэхүүн
гарган авдаг. Харин хоёрдугаар үе шатанд
дээрх 𝑚 төрлийн хагас боловсруулсан
бүтээгдэхүүнээрээ 𝑘 төрлийн эцсийн
бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг.

Үйлдвэрлэлд ашиглагдсан түүхий эдийн хэмжээг
𝑋 =
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥 𝑛
(8)
матрицаар, эдгээрээр үйлдвэрлэгдсэн хагас боловсруулсан
бүтээгдэхүүний хэмжээг
𝑌 =
𝑦1
𝑦2
⋮
𝑦 𝑚
(9)
матрицаар,

харин хагас боловсруулсан бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэх
технологийг
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
⋮
𝑎 𝑚1
⋮
𝑎 𝑚2
⋱
⋯
⋮
𝑎 𝑚𝑛
(10)
матрицаар тус, тус илэрхийлбэл, түүхий эдийг хагас
боловсруулсан бүтээгдэхүүн болгон хувиргаж буй үйл
явц нь (8), (9), (10) матрицуудын тусламжтай
𝑌 = 𝐴𝑋 (11)
гэж илэрхийлэгдэнэ.

Энд 𝑥𝑗, 𝑗 = 1, 𝑛 нь 𝑗-p төрлийн түүхий эдээс
үйлдвэрлэлд ашиглагдсан хэмжээ, 𝑦𝑖, 𝑖 = 1, 𝑚
үйлдвэрлэсэн 𝑖-p төрлийн хагас
боловсруулсан бүтээгдэхүүний хэмжээ,
𝑎𝑖𝑗, 𝑖 = 1, 𝑚, 𝑗 = 1, 𝑛 нь 𝑖-p хагас
боловсруулсан бүтээгдэхүүний нэгжийг
үйлдвэрлэхэд оролцох 𝑗-p түүхий эдийн
хэмжээ болно.

Үйлдвэрийн газрын эцсийн бүтээгдэхүүний хэмжээг
𝑍 =
𝑧1
𝑧2
⋮
𝑧 𝑘
(12)
матрицаар, хагас боловсруулсан бүтээгдэхүүнээс эцсийн
бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэх технологийг
𝐵 =
𝑏11 𝑏12 ⋯ 𝑏1𝑚
𝑏21 𝑏22 ⋯ 𝑏2𝑚
⋮
𝑏 𝑘1
⋮
𝑏 𝑘2
⋱
⋯
⋮
𝑏 𝑘𝑚
(13)
матрицаар илэрхийлбэл,

хагас боловсруулсан бүтээгдэхүүнээс эцсийн
бүтээгдэхүүн гарган авч буй үйл явц нь (9)(12)(13)
матрицуудын тусламжтай
𝑍 = 𝐵𝑌 (14)
гэж илэрхийлэгдэнэ.
Энд 𝑧𝑙, 𝑙 = 1, 𝑘 нь 𝑙-p эцсийн бүтээгдэхүүнээс
үйлдвэрлэсэн хэмжээ, 𝑏𝑙𝑖, 𝑙 = 1, 𝑘, 𝑖 = 1, 𝑚 нь 𝑙-p
бүтээгдэхүүний нэгжийг үйлдвэрлэхэд оролцож
буй 𝑖-p хагас боловсруулсан бүтээгдэхүүний
хэмжээ болно.

Түүхий эд хэрхэн эцсийн бүтээгдэхүүн болж
буй технологийг (11), (14) тэгшитгэлүүдийн
тусламжтай
𝑍 = 𝐶𝑋 ⇔ 𝑍 = 𝐵𝑌 = 𝐵𝐴𝑋 =
= 𝐵𝐴 𝑋 ⇔ 𝐶 = 𝐵𝐴 (15)
гэж хоёр үе шатны технологийи матрицын
үржвэрээр илэрхийлж болно.

Жишээ 5. Үйлдвэрийн газар 5 төрлийн түүхий
эд ашиглан 3 төрлийн хагас боловсруулсан
бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг ба түүнээсээ 2
төрлийн эцсийн бүтээгдэхүүн гарган авдаг.
Түүхий эдийг хагас боловсруулсан
бүтээгдэхүүн болгох технологи нь
𝐴 =
0.2 0.3 0.1 0.3 0.1
0.1 0 0.2 0.4 0.3
0 0.2 0.1 0.5 0.2
матрицаар

харин хагас боловсруулсан бүтээгдэхүүнээс
эцсийн бүтээгдэхүүн гаргах технологи нь
𝐵 =
0.1 0.4 0.5
0.3 0.3 0.4
матрицаар өгөгддөг бол

a) Түүхий эдээс эцсийн бүтээгдэхүүн гарган
авах технологийн матрицыг ол.
б) Үйлдвэрийн газар нэгдүгээр түүхий эдээс
100, хоёрдугаараас 300, гуравдугаараас 200,
дөрөвдүгээрээс 500, тавдугаараас 400
нэгжүүдийг тус, тус ашигласан бол эцсийн
бүтээгдэхүүний төрөл бүрээс хэдэн нэгжийг
үйлдвэрлэсэн бэ?

Бодолт. a) Өмнөх онолын хэсэгт тодорхойлсноор
түүхий эдийг эцсийн бүтээгдэхүүн болгон
хувиргаж буй технологи нь
𝐶 = 𝐵𝐴
=
0.1 0.4 0.5
0.3 0.3 0.4
∙
0.2 0.3 0.1 0.3 0.1
0.1 0 0.2 0.4 0.3
0 0.2 0.1 0.5 0.2
=
=
0.06 0.13 0.14 0.44 0.23
0.09 0.17 0.13 0.41 0.2
матрицаар илэрхийлэгдэнэ.

б) Бодлогын нөхцөлд өгснөөр түүхий эдийн
хэмжээ
𝑋 =
100
300
200
500
400
матрицаар тодорхойлогдох тул эдгээрээр
үйлдвэрлэх эцсийн бүтээгдэхүүний хэмжээ,
төрөл тус бүрээр

𝑍 = 𝐶𝑋
=
0.06 0.13 0.14 0.44 0.23
0.09 0.17 0.13 0.41 0.2
∙
100
300
200
500
400
=
385
371
гарна.

АГУУЛГА 2. НЭГ БА ХОЁР БҮТЭЭГДЭХҮҮНИЙ ТЭНЦВЭРТ
ҮНЭ ТОО ХЭМЖЭЭГ ТООЦОХ
Нэг бүтээгдэхүүний тэнцвэрт үнэ ба тоо
хэмжээг тооцох
Нэгэн бүтээгдэхүүний хувьд бусад хүчин зүйл
тогтмол байхад эрэлт нь 𝑞 𝑑
= 𝐷 𝑝 = 𝑎 − 𝛼𝑝,
𝑎, 𝛼 > 0, нийлүүлэлт нь 𝑞 𝑠 = 𝑆 𝑝 = −𝑏 −
𝛽𝑝, 𝑏, 𝛽 > 0 функцүүдээр тус, тус
илэрхийлэгддэг бол энэ бүтээгдэхүүний
тэнцвэрт үнэ, тоо хэмжээг олох бодлогыг авч
үзье.

Энэхүү бодлогын шийдийг графикаар
дүрслэн үзүүлье.

Бодлогод өгснөөр бид зах зээлийн тэнцвэрт
үнэ ба тоо хэмжээ болох 𝑝, 𝑞-г олох ёстой.
Үүний тулд өгсөн бүтээгдэхүүний зах зээлийн
тэнцвэрийг тооцсон дараахь тэгшитгэлүүдийн
системийг сонирхоё. Үүнд:
𝑞 𝑑 = 𝑎 − 𝛼𝑝
𝑞 𝑠
= −𝑏 − 𝛽𝑝
𝑞 𝑑 = 𝑞 𝑠
(16)

Сүүлийн тэгшитгэл нь тухайн бүтээгдэхүүний
эрэлт, нийлүүлэлт тэнцүү байх зах зээлийн
тэнцвэрийн нөхцөлийг илэрхийлж байгаа
болно. (16) системийг 𝑞 𝑑
, 𝑞 𝑠
, 𝑝 хувьсагчдын
хувьд дараахь хэлбэрээр бичье. Үүнд:
1 ∙ 𝑞 𝑑 + 0 ∙ 𝑞 𝑠 + 𝛼𝑝 = 𝑎
0 ∙ 𝑞 𝑑
+ 1 ∙ 𝑞 𝑠
− 𝛽𝑝 = −𝑏
1 ∙ 𝑞 𝑑
+ 1 ∙ 𝑞 𝑠
+ 0 ∙ 𝑝 = 0

(17) систем нь гурван хувьсагчтай, гурван тэгшитгэлийн
систем юм. Энэ системийн шийд нь тухайн бүтээгдэхүүний
тэнцвэрт үнэ, тоо хэмжээ болно. Системийн шийдийг
Крамерийн дүрмээр олбол
• 𝑞 𝑑
= 𝑞 𝑠
= 𝑞 =
𝑎 0 𝛼
−𝑏 1 −𝛽
0 −1 0
1 0 𝛼
0 1 −𝛽
1 −1 0
=
𝑎𝛽−𝛼𝑏
𝛼+𝛽
, 𝑝 =
1 0 𝑎
0 1 −𝑏
1 −1 0
1 0 𝛼
0 1 −𝛽
1 −1 0
=
𝑎+𝑏
𝛼+𝛽
гарна.

Жишээ 6. Нэгэн бүтээгдэхүүний эрэлт 𝑞 𝑑
=
600 − 3р, харин нийлүүлэлт 𝑞 𝑠 = −120 +
𝑝 функцүүдээр илэрхийлэгдэж байсан бол
а) Тэнцвэрт үнэ, тоо хэмжээг ол.
б) Бүтээгдэхүүний үнэ хэдээс давбал эрэлт
үүсэхээ болих вэ?
в) Үнэ хэдээс бага байхад бүтээгдэхүүн
нийлүүлэгдэхгүй вэ?

Бодолт. Өгөгдсөн бүтээгдэхүүний зах зээлийн
тэнцвэрийг тодорхойлох тэгшитгэлийн систем нь
1 ∙ 𝑞 𝑑
+ 0 ∙ 𝑞 𝑠
+ 3𝑝 = 600
0 ∙ 𝑞 𝑑
+ 1 ∙ 𝑞 𝑠
− 𝑝 = −120
1 ∙ 𝑞 𝑑
+ 1 ∙ 𝑞 𝑠
+ 0 ∙ 𝑝 = 0
болно. Үүнээс тэнцвэрт үнэ, тоо хэмжээг
Крамерийн дүрмээр олбол
𝑞 = 60, 𝑝 = 180
гарна.

б) Бүтээгдэхүүний үнэ хэдээс давбал эрэлт
үүсэхээ болихыг тодорхойлохын тулд
эрэлтийн тоо хэмжээг тэгтэй тэнцүүлэн
эрэлтийн функцээс үнийг олох шаардлагатай.
Өөрөөр хэлбэл 𝑞 𝑑 = 600 − 3𝑝 = 0 ⟹ 𝑝 =
200 -aac давбал уг бүтээгдэхүүн дээр эрэлт
үүсэхгүй.

в) Үнэ хэдээс бага байхад бүтээгдэхүүн
нийлүүлэгдэхгүй байхыг тогтоохын тулд
нийлүүлэлтийн тоо хэмжээг тэгтэй тэнцүүлэн
нийлүүлэлтийн функцээс тодорхойлно. Үүнд:
𝑞 𝑠
= −120 + 𝑝 = 0 ⇒ 𝑝 = 120
Нэг үгээр хэлбэл энэ бүтээгдэхүүний үнэ 120
нэгжээс бага бол уг бүтээгдэхүүн
нийлүүлэгдэхгүй.

Хоёр бүтээгдэхүүний тэнцвэрт үнэ ба тоо хэмжээг
тооцох
Нэг зах дээр нийлүүлэгдэж буй хоёр бүтээгдэхүүний
эрэлт, нийлүүлэлт бусад хүчин зүйл тогтмол байхад
тухайн хоёр бүтээгдэхүүний үнээс хамаарсан дараахь
функцүүдээр илэрхийлэгддэг болог. Үүнд:
𝑞1
𝑑
= 𝑎0 − 𝑎1 𝑝1 + 𝑎2 𝑝2
𝑞1
𝑠
= −𝑏0 + 𝑏1 𝑝1 + 𝑏2 𝑝2
𝑞2
𝑑
= 𝛼0 + 𝛼1 𝑝1 − 𝛼2 𝑝2
𝑞2
𝑠
= −𝛽0 + 𝛽1 𝑝1 + 𝛽2 𝑝2

Энд бүх коэффициентүүд эерэг байна Мөн
𝑞𝑖
𝑑
-нь i-p бүтээгдэхүүний эрэлт, 𝑞𝑖
𝑠
нь 𝑖-p
бүтээгдэхүүний нийлүүлэлт, 𝑝𝑖-нь 𝑖-р
бүтээгдэхүүний нэгжийн үнэ болно. Эрэлтийн
функцэд тухайн бүтээгдэхүүний өөрийн нь
үнийн өмнөх коэффициентийг xacax
тэмдэгтэй авсан нь бусад хүчин зүйл тогтмол
байхад эрэлт үнээс урвуу хамаардгийг
илтгэнэ.

Харин нөгөө бүтээгдэхүүний үнээс шууд
хамаарахаар авсан нь энэ хоёр бүтээгдэхүүн
харилцан бие, биенээ оролдог шинжтэй
бүтээгдэхүүн гэдгийг илэрхийлнэ. Хэрэв нэг
бүтээгдэхүүний эрэлтийн функц дэх нөгөө
бүтээгдэхүүний үнийн коэффициент сөрөг
байвал энэ хоёр бүтээгдэхүүн бие, биетэйгээ
хамт хэрэглэгддэг хослох бүтээгдэхүүнүүд
болно.

Нийлүүлэлтийн функцийн үнийн өмнөх
коэффициентүүд эерэг байгаа нь аль ч
барааны үнэ нэмэгдсэн үйлдвэрлэгч
нийлүүлэлтээ ихэсгэх талтай гэдгийг
илэрхийлнэ.
Бүтээгдэхүүн тус бүрийн эрэлт, нийлүүлэлт
тэнцүү байх нөхцөлийг ашиглан эдгээр
бүтээгдэхүүний тэнцвэрт үнийг тодорхойльё.

Зах зээлийн тэнцвэрийн нөхцөл
𝑞1
𝑑
= 𝑞1
𝑠
𝑞2
𝑑
= 𝑞2
𝑠
гэж илэрхийлэгдэх ба үүнээс тэнцвэрт
үнүүдийг тодорхойлох шугаман тэгшитгэлийн
систем

𝑎0 − 𝑎1 𝑝1 + 𝑎2 𝑝2 = −𝑏0 + 𝑏1 𝑝1 + 𝑏2 𝑝2
𝛼0 + 𝛼1 𝑝1 − 𝛼2 𝑝2 = −𝛽0 + 𝛽1 𝑝1 + 𝛽2 𝑝2
буюу
(𝑏1 + 𝑎1)𝑝1 + (𝑏2 − 𝑎2)𝑝2 = 𝑏0 + 𝑎0
(𝛽1−𝛼1)𝑝1 + (𝛽2+𝛼2)𝑝2 = 𝛽0 + 𝑎0
(18)
болно.

Дээрх (18) гэсэн хоёр хувьсагчтай, хоёр
шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийг
Крамерийн дүрмээр олбол тэнцвэрт үнүүд
• 𝑝1 =
𝑏0+𝑎0 𝑏2−𝑎2
𝛽0+𝛼0 𝛽2+𝛼2
𝑏1+𝑎1 𝑏2−𝑎2
𝛽1−𝛼1 𝛽2+𝛼2
, 𝑝2 =
𝑏1+𝑎1 𝑏0+𝑎0
𝛽1−𝛼1 𝛽0+𝛼0
𝑏1+𝑎1 𝑏2−𝑎2
𝛽1−𝛼1 𝛽2+𝛼2
гэж тодорхойлогдоно.

Жишээ 7: Нэг зах дээр нийлүүлэгдэж буй хоёр төрлийн
бүтээгдэхүүний эрэлт, нийлүүлэлтүүд
•
𝑞1
𝑑
= 120 − 2𝑝1 + 𝑝2
𝑞1
𝑠
= −60 + 3𝑝1
𝑞2
𝑑
= 300 + 𝑝1 − 10𝑝2
𝑞2
𝑠
= −100 + 10𝑝2
функцүүдээр өгөгдсөн бол:
а) Эдгээр бүтээгдэхүүнүүдийн тэнцвэрт үнэ ба тоо хэмжээг
ол.
б) Ямар шинж чанартай бүтээгдэхүүнүүд болохыг тогтоо.
в) Эдгээр бүтээгдэхүүнийг нийлүүлэгчийн хувьд юу хэлж
чадах вэ ?

• Бодолт. a) Тэнцвэрт үнүүдийг тодорхойлох тэгшитгэлийн
системийг бичвэл
𝑞1
𝑑
= 𝑞1
𝑠
𝑞2
𝑑
= 𝑞2
𝑠 ⇒
120 − 2𝑝1 + 𝑝2 = −60 + 3𝑝1
300 + 𝑝1 − 10𝑝2 = −100 + 10𝑝2
буюу
5𝑝1 − 𝑝2 = 180
−𝑝1 + 20𝑝2 = 400
болно. Үүнээс тэнцвэрт үнүүд
𝑝1 ≈ 39.6, 𝑝2 ≈ 21.6
гэж олдоно.

б) Нэг бүтээгдэхүүний үнэ өсөхөд нөгөө
бүтээгдэхүүний нь эрэлт өсөхийг эрэлтийн
функцүүдээс тогтоож болно. Тиймээс эдгээр нь
харилцан бие, биенээ оролдог бүтээгдэхүүнүүд
болно.
в) Нэг бүтээгдэхүүний нийлүүлэлт нь нөгөө
бүтээгдэхүүний үнээс огт хамаарахгүй байгаа нь
тухайн бүтээгдэхүүнийг нийлүүлэгч нар нь тус,
тусдаа бие даасан монополиуд байна.

йыбыйб

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (15)

Similar to йыбыйб

Similar to йыбыйб (9)

More from Ч. Билгүүн

More from Ч. Билгүүн (15)

йыбыйб