Vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học khảo sát hàm số lớp 12 trung học phổ thông : Luận văn ThS. Giáo dục học: 60 14 10

1. i
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
KHOA SƢ PHẠM
THÂN VĂN KHOÁT
VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT
VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC KHẢO SÁT HÀM SỐ
LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC
HÀ NỘI – 2009

2. ii
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
KHOA SƢ PHẠM
THÂN VĂN KHOÁT
VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT
VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC KHẢO SÁT HÀM SỐ
LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC
Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MÔN TOÁN HỌC)
Mã số: 60 14 10
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. BÙI VĂN NGHỊ
HÀ NỘI – 2009

3. iv
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GV : Giáo viên
HS : Học sinh
KSHS : Khảo sát hàm số
PPDH : Phƣơng pháp dạy học
PPPH&GQVĐ : Phƣơng pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
SBT GTNC12 : Sách bài tập Giải tích 12 nâng cao
SGK GTNC12 : Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao
THPT : Trung học phổ thông
TNTHPT : Tốt nghiệp trung học phổ thông

4. v
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU............................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài.............................................................................................1
2. Giả thuyết khoa học.........................................................................................3
3. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.......................................................................................3
5. Phƣơng pháp nghiên cứu .................................................................................3
6. Cấu trúc luận văn.............................................................................................4
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ................................................5
1.1. Phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề ....................................5
1.1.1. Vài nét về lịch sử của phƣơng pháp phát hiện và giải quyết vấn đề ...........5
1.1.2. Những khái niệm cơ bản............................................................................6
1.1.3. Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề ......................................9
1.1.4. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toán và định hƣớng
đổi mới phƣơng pháp dạy học môn Toán trƣờng THPT hiện nay...............13
1.2. Phân tích chƣơng trình, nội dung và mục tiêu dạy học KSHS lớp 12 THPT..15
1.2.1. Giới thiệu chƣơng trình..............................................................................15
1.2.2. Nội dung....................................................................................................16
1.2.3. Mục tiêu ....................................................................................................17
1.3. Thực tiễn dạy học KSHS ở lớp 12 THPT......................................................17
1.3.1. Điều tra qua giáo viên................................................................................17
1.3.2. Điều tra qua học sinh .................................................................................19
Chương 2: VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN
ĐỀ TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ CHỦ ĐỀ CỦA KHẢO SÁT HÀM SỐ LỚP .21
2.1. Định hƣớng chung ........................................................................................21
2.2. Tính đơn điệu cúa hàm số.............................................................................22
2.2.1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số ........................................................22
2.2.2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một miền K................26
2.2.3. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phƣơng trình, bất phƣơng trình .32
2.2.4. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức ...............40
2.3. Cực trị hàm số ..............................................................................................45
2.3.1. Tìm cực trị của hàm số...............................................................................45
2.3.2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị.........................................49

5. vi
2.3.3. Đƣờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số ................57
2.4. Sự tƣơng giao của hai đồ thị hàm số .............................................................65
2.4.1. Sự tƣơng giao của đồ thị hàm bậc ba và trục hoành....................................66
2.4.2. Sự tƣơng giao của đồ thị hàm bậc bốn trùng phƣơng và trục hoành ...........84
2.4.3. Sự tƣơng giao của đồ thị hàm phân thức và đƣờng thẳng ...........................91
2.5. Sự tiếp xúc và phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số .............................99
2.5.1. Sự tiếp xúc.................................................................................................99
2.5.2. Phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số .................................................114
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ............................................................135
3.1. Mục đích, kế hoạch và tổ chức thực nghiệm .................................................135
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sƣ phạm...........................................................135
3.1.2. Kế hoạch thực nghiệm ...............................................................................135
3.1.3. Tổ chức thực nghiệm .................................................................................135
3.2. Nội dung và kết quả thực nghiệm .................................................................136
3.2.1. Nội dung....................................................................................................136
3.2.2. Kết quả thực nghiệm sƣ phạm....................................................................138
3.2.3. Ý kiến đánh giá của giáo viên ....................................................................139
3.2.4. Những kết luận ban đầu rút ra đƣợc từ kết quả của thực nghiệm sƣ phạm..141
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ....................................................................142
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................144

6. 1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay tốc độ phát triển khoa học kỹ thuật và công nghệ nhƣ vũ bão đòi
hỏi con ngƣời muốn đáp ứng đƣợc yêu cầu của xã hội phải có năng lực giải quyết
mọi vấn đề nảy sinh trong thực tế một cách nhanh nhạy và linh hoạt. Để làm đƣợc
điều đó thì năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cần phải đƣợc hình thành và rèn
luyện từ khi còn ngồi trên ghế nhà trƣờng.
Trong đƣờng lối xây dựng và phát triển đất nƣớc, Đảng và Nhà nƣớc ta rất
quan tâm đến sự nghiệp giáo dục, coi sự nghiệp giáo dục là quốc sách hàng đầu.
Nghị quyết Hội nghị lần thứ hai của BCH Trung ƣơng Đảng khoá VIII đã chỉ rõ con
đƣờng đổi mới giáo dục và đào tạo là: “Đổi mới mạnh mẽ các phƣơng pháp giáo
dục đào tạo, khắc phục lối giáo dục một chiều, rèn luyện thành nếp tƣ duy sáng tạo
của ngƣời học, phát triển phong trào tự học, tự đào tạo thƣờng xuyên và rộng khắp
trong toàn dân, nhất là thanh niên”.
Tuy đạt đƣợc đƣợc nhiều thành quả trong lĩnh vực giáo dục và đào tạo trong
thời kỳ đổi mới vừa qua, nhƣ hoàn thành phổ cập giáo dục tiểu học trong cả nƣớc,
nhƣng việc đổi mới phƣơng pháp giáo dục vẫn còn nhiều bất cập, tình trạng dạy học
kiểu “thầy đọc, trò chép”; thầy truyền đạt trò tiếp nhận, ghi nhớ một cách thụ động,
máy móc; dạy nhồi nhét “dạy kiểu luyện thi” vẫn thƣờng xảy ra. Vì vậy xảy ra tình
trạng học trò chỉ tiếp thu kiến thức do thầy giáo cung cấp một cách thụ động. Trƣớc
tình hình đó, trong định hƣớng phát triển giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Đại hội
đại biểu toàn quốc lần thứ IX đã nhấn mạnh: “Tiếp tục quán triệt quan điểm giáo
dục là quốc sách hàng đầu và tạo sự chuyển biến căn bản, toàn diện trong phát triển
giáo dục và đào tạo - Triển khai thực hiện hiệu quả Luật Giáo dục - Định hình qui
mô giáo dục và đào tạo; điều chỉnh cơ cấu đào tạo, nhất là cơ cấu cấp học, ngành
nghề và cơ cấu lãnh thổ, phù hợp với nhu cầu phát triển nguồn nhân lực phục vụ
phát triển kinh tế - xã hội, nâng cao trình độ đội ngũ giáo viên các cấp”, “Tiếp tục
đổi mới chƣơng trình nội dung, phƣơng pháp giảng dạy và phƣơng thức đào tạo đội
ngũ lao động có chất lƣợng cao, đặc biệt trong ngành kinh tế, kỹ thuật mũi nhọn,
công nghệ cao”.

7. 2
Thực hiện theo đƣờng lối, nghị quyết đó, trong những năm gần đây ngành
Giáo dục và Đào tạo đã có cuộc vận động đổi mới phƣơng pháp dạy học, trong đó
dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề đƣợc đề cập và quan tâm nhƣ một biện pháp
hữu hiệu để ngƣời học hoạt động tự giác, tích cực, độc lập và sáng tạo trong quá
trình học tập, góp phần nâng cao chất lƣợng giáo dục, đáp ứng nhu cầu ngày càng
cao của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nƣớc.
Phát huy tính tích cực của học sinh là hƣớng đổi mới đã đƣợc nhiều nhà sƣ
phạm nghiên cứu và vận dụng một cách có hiệu quả. Ở Việt Nam, từ cuối thập kỷ
60 của thế kỷ XX phƣơng pháp này đã đƣợc Phạm Văn Hoàn rất quan tâm trong
việc dạy học môn Toán. Đặc biệt gần đây, đã có nhiều công trình nghiên cứu áp
dụng phƣơng pháp dạy học này theo những phạm vi, chủ đề nội dung cho những đối
tƣợng học sinh khác nhau. Điển hình là công trình nghiên cứu của Nguyễn Bá Kim,
Trần Kiều, Nguyễn Hữu Châu và nhiều tác giả khác. Tuy nhiên ở trƣờng trung học
phổ thông hiện nay, việc vận dụng các phƣơng pháp dạy học hiện đại để góp phần
thực hiện đổi mới phƣơng pháp dạy học theo hƣớng vừa kể trên vào thực tiễn dạy
học môn Toán còn nhiều hạn chế, cần phải tiếp tục nghiên cứu để áp dụng một cách
cụ thể.
Mặt khác môn toán là môn học có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển
các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho họ tƣ duy trìu tƣợng, rèn luyện cho
học sinh năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề.
Trong chƣơng trình giải tích lớp 12 THPT, ứng dụng đạo hàm để khảo sát
hàm số giữ vai trò chủ đạo. Nó chiếm một khối lƣợng lớn kiến thức và thời gian học
của chƣơng trình và đặc biệt là luôn có mặt trong các đề thi Tốt nghiệp THPT và thi
tuyển sinh vào Đại học, cao đẳng. Bởi vậy việc nắm vững phƣơng pháp giải các bài
toán về khảo sát hàm số là rất cần thiết và bổ ích đối với học sinh lớp 12 THPT.
Thực tế dạy và học Toán ở trƣờng THPT cho thấy học sinh còn rất khó khăn
khi giải các bài toán về khảo sát hàm số, chẳng hạn nhƣ: xét tính đơn điệu của hàm
số, cực trị hàm số, sự tƣơng giao của hai đồ thị, sự tiếp xúc và phƣơng trình tiếp
tuyến của đồ thị hàm số…
Vì những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Vận dụng
phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học khảo sát hàm số lớp
12 trung học phổ thông”.

8. 3
2. Giả thuyết khoa học
Nếu vận dụng phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy học
một số chủ đề về khảo sát hàm số lớp 12 dựa trên những tƣ tƣởng chủ đạo của quan
điểm hoạt động thì sẽ góp phần rèn luyện cho học sinh năng lực phát hiện và giải quyết
vấn đề, đồng thời nâng cao chất lƣợng dạy và học nội dung này ở trƣờng THPT.
3. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng phƣơng án dạy học một số chủ đề của khảo sát hàm số lớp 12
THPT, cụ thể là: Tính đơn điệu của hàm số, cực trị hàm số, sự tƣơng giao của hai
đồ thị hàm số, sự tiếp xúc và phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số theo phƣơng
pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy và
học môn Toán ở trƣờng THPT.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận về phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
- Nghiên cứu mục tiêu, nội dung chƣơng trình dạy học khảo sát hàm số và
thực trạng dạy học nội dung này ở trƣờng phổ thông.
- Đề xuất phƣơng án dạy học ở một số chủ đề của khảo sát hàm số theo
phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề nhằm phát huy tính tích cực
học tập của học sinh.
- Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
5. Phương pháp nghiên cứu
* Nghiên cứu lý luận:
- Nghiên các cứu tài liệu lý luận (triết học, giáo dục học, tâm lý học và lý
luận dạy học bộ môn Toán).
- Nghiên cứu chƣơng trình, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao
có liên quan đến nội dung khảo sát hàm số
* Điều tra quan sát:
- Dự giờ, tổng kết rút kinh nghiệm việc dạy học nội dung này.
- Phỏng vấn, điều tra, thu thập ý kiến chuyên gia, giáo viên, học sinh về
thực trạng dạy học nội dung này ở trƣờng phổ thông; nhận thức về phƣơng pháp

9. 4
dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề của giáo viên và kỹ năng vận dụng phƣơng
pháp này vào dạy học.
* Tổng kết kinh nghiệm dạy toán từ những kinh nghiệm của bản thân và
đồng nghiệp.
* Thử nghiệm sƣ phạm nhằm bƣớc đầu kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả
của biện pháp đƣợc đề xuất trong luận văn.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận
văn gồm ba chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chƣơng 2: Vận dụng phƣơng pháp phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy
học một số chủ đề của khảo sát hàm số lớp 12.
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm.

10. 5
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
1.1.1. Vài nét về lịch sử của phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
- Về mặt thuật ngữ: Trong hệ thống các phƣơng pháp dạy học không truyền
thống (tức là những phƣơng pháp dạy học hiện đại) có một phƣơng pháp dạy học,
có tác giả gọi là “dạy học nêu vấn đề”; có tài liệu viết là “dạy học giải quyết vấn
đề”. Vì vậy cần có sự giải thích về khái niệm này. Theo Nguyễn Bá Kim, thuật ngữ
“dạy học nêu vấn đề” có nhƣợc điểm:
Một là, nó có thể dẫn tới suy nghĩ lầm rằng vấn đề thầy giáo nêu theo ý
mình chứ không phải nảy sinh từ lôgic bên trong của tình huống.
Hai là, nó có thể hiểu là kiểu dạy học này chỉ dừng nêu ra vấn đề chứ không
nói rõ vai trò của học sinh trong việc giải quyết vấn đề.
Thuật ngữ “dạy học giải quyết vấn đề” khắc phục đƣợc nhƣợc điểm thứ hai
nhƣng vẫn còn mắc nhƣợc điểm thứ nhất. Thuật ngữ “Phát hiện và giả quyết vấn
đề” khắc phục cả hai nhƣợc điểm trên nhằm nêu rõ hàm ý giúp học sinh phát hiện
và giải quyết vấn đề. Thuật ngữ “Phát hiện và giải quyết vấn đề” nói lên bản chất
của phƣơng pháp dạy học này rõ hơn so với những thuật ngữ khác. Vì vậy chúng
tôi đồng ý với thuật ngữ này nhƣ Nguyễn Bá Kim, đó là “Phƣơng pháp dạy học phát
hiện và giải quyết vấn đề”.
-Theo Lerner thì thuật ngữ “dạy học nêu vấn đề” ra đời chƣa đƣợc bao năm,
việc nghiên cứu tƣ tƣởng dạy học nêu vấn đề thật rầm rộ đƣợc bắt đầu chƣa lâu lắm,
nhƣng các tƣ tƣởng đó, dƣới những tên gọi khác nhau, đã tồn tại trong giáo dục học
hàng trăm năm nay rồi. Sớm hơn nữa, các hiện tƣợng “nêu vấn đề” đã đƣợc Xôcrat
(46- 399 trƣớc công nguyên) thực hiện trong các cuộc tọa đàm. Trong khi tranh
luận, ông không bao giờ kết luận trƣớc mà để mọi ngƣời tìm ra cánh giải quyết.
Trong những thập kỷ 60-70 của thế kỷ XX, phƣơng pháp dạy học này đƣợc
nhiều nhà khoa học giáo dục quan tâm, trên cả bình diện thực nghiệm rộng rãi ở
nhiều môn học khác nhau cho nhiều lứa tuổi học sinh phổ thông. Đặc biệt công
trình nghiên cứu của Ôkôn, Đanhilov, Xcatkin, Rubinstein, Macchuskin, Kudriavse
([30], [31], [32]). “Ở Việt Nam, trong thời kỳ này phƣơng pháp dạy học cũng có
những ảnh hƣởng và tác động đáng kể tới quá trình đổi mới phƣơng pháp dạy và
học ở nhà trƣờng phổ thông, bởi những công trình nghiên cứu của Phạm Văn Hoàn,
Nguyễn Bá Kim, Nguyễn Hữu Châu”([2], [3], [14], [20]). Đặc biệt trong những

11. 6
năm gần đây, trƣớc những thách thức mới của yêu cầu phát triển xã hội, trong bối
cảnh của cuộc cách mạng công nghệ thông tin trên thế giới, mục đích của nhà
trƣờng là phải đào tạo cho ngƣời học sinh, lực lƣợng lao động nòng cốt trong tƣơng
lai, có năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề mới một cách độc lập. Nhƣ vậy, phát
hiện và giải quyết vấn đề không chỉ phụ thuộc phạm trù phƣơng pháp dạy học, mà
còn trở thành một mục đích của quá trình dạy học ở trƣờng, đƣợc cụ thể hoá thành
một thành tố của mục tiêu là năng lực giải quyết vấn đề, giúp con ngƣời thích ứng
đƣợc với sự phát triển của xã hội, “giải quyết vấn đề” cũng trở thành nội dung học
tập của học sinh. Định hƣớng phát triển giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Trung
ƣơng Đảng khoá IX ([8]), đã nhấn mạnh “tiếp tục đổi mới chương trình, nội dung,
phương pháp giảng dạy, phương thức đào tạo,… nâng cao trình độ giáo viên các
cấp ”. Những điểm nói trên chính là nhấn mạnh đến năng lực giải quyết vấn đề, phù
hợp với xu thế hiện đại về cải cách phƣơng pháp dạy học của thế giới.
- Tóm lại: Phát hiện và giải quyết vấn đề là một phƣơng pháp dạy học có
hiệu quả và đƣợc coi nhƣ là một trong những hƣớng ƣu tiên trong định hƣớng về
đổi mới phƣơng pháp dạy học.
- Năng lực phát hiện và giải quyết vần đề là một trong những năng lực then
chốt, cần thiết cho mọi học sinh, đó là mục tiêu của quá trình dạy học.
1.1.2. Những khái niệm cơ bản
a) Vấn đề
Một vấn đề (đối với ngƣời học) đƣợc biểu thị bởi một hệ thống những mệnh
đề và câu hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thoả mãn các điều kiện sau:
- Câu hỏi còn chƣa đƣợc giải đáp (hoặc yêu cầu hành động còn chƣa
đƣợc thực hiện).
- Chƣa có một phƣơng pháp có tính chất thuật toán để giải đáp câu hỏi hoặc
thực hiện yêu cầu đặt ra ([19,tr.16]) đồng thời, theo Ôkôn ([32,tr.101]), trong mỗi
vấn đề phải có cái chƣa biết, cái đã biết, và phải có điều kiện quy định bởi mối liên
hệ giữa các yếu tố chƣa biết và đã biết đó.
Ví dụ: Bài toán tìm cực trị của hàm số 4 3
1
( ) 3
4
f x x x
   đƣợc đƣa ra ngay
sau khi học sinh mới học xong định nghĩa cực trị hàm số là một vấn đề, nhƣng nếu
bài toán đó đƣợc cho sau khi học sinh đã đƣợc biết về quy tắc tìm cực trị của hàm
số thì nó không còn là một vấn đề nữa.

12. 7
b) Tình huống gợi vấn đề
Tình huống gợi vấn đề, theo Nguyễn Bá Kim ([18, tr.116]) là một tình huống
gợi ra cho học sinh những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và
có khả năng vƣợt qua, nhƣng không phải là ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính
chất thuật toán, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động biến đổi
đối tƣợng hoạt động, điều chỉnh kiến thức sẵn có.
Nhƣ vậy, một tình huống gợi vấn đề cần thoả mãn các điều kiện sau:
+ Tồn tại một vấn đề
Tình huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với trình độ nhận thức, chủ
thể phải ý thức đƣợc một khó khăn trong tƣ duy hoặc hành động mà vốn hiểu biết
sẵn có chƣa đủ để vƣợt qua. Nói cách khác phải tồn tại một vấn đề, tức là có ít nhất
một phần tử của khách thể mà học sinh chƣa biết và cũng chƣa có trong tay thuật
giải để tìm phần tử đó.
+ Gợi nhu cầu nhận thức
Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn đề tuy hấp dẫn, nhƣng nếu học sinh
không thấy có nhu cầu tìm hiểu, giải quyết thì họ cũng không sẵn sàng giải quyết
vấn đề. Cần làm cho học sinh thấy rõ tuy họ chƣa có ngay lời giải, nhƣng có sẵn
một số kiến thức kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra, và nếu họ tích cực suy nghĩ
thì có nhiều hy vọng giải quyết đƣợc vấn đề.
+ Khơi dậy niềm tin ở khả năng bản thân.
Hay nói cách khác, trong tình huống gợi vấn đề chỉ nên chứa đựng khó khăn
đúng mức; học sinh sẽ sẵn sàng vƣợt khó và tự giải quyết vấn đề “nếu khó khăn
đúng mức” đƣợc thể hiện ở hai mặt sau:
- Một mặt, không để cho học sinh phát hiện ngay ra lời giải mà không cần tới
sự nỗ lực của tƣ duy.
- Mặt khác, tình huống gợi vấn đề phải cho trƣớc những dữ kiện nào đó để
làm tiền đề xuất phát cho sự tìm tòi của học sinh.
Sau đây là một ví dụ tình huống gợi vấn đề:
Ngay sau khi học sinh vừa đƣợc học về ý nghĩa hình học của đạo hàm và
cách viết phƣơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số, ta đƣa ra bài
toán: “Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
( ) 4 6 1
f x x x
   biết tiếp
tuyến đó đi qua điểm A(-1;-9)” thì đây là một tình huống gợi vấn đề vì nó thỏa mãn
các điều kiện kể trên.
+ Ở đây tồn tại một vấn đề vì khi chƣa đƣợc học phƣơng pháp giải các bài

13. 8
toán viết phƣơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trƣớc thì học sinh chƣa biết
thuật giải để trực tiếp giải các bài toán đó.
+ Vấn đề này gợi nhu cầu nhận thức và gợi đƣợc niềm tin ở khả năng bản thân,
bởi vì bài toán trên cũng liên quan đến cách viết phƣơng trình tiếp tuyến tại 1 điểm
thuộc đồ thị hàm số mà học sinh đã đƣợc biết, học sinh nghĩ rằng có thể tích cực suy
nghĩ dựa vào kiến thức đã biết đó thì sẽ có triển vọng giải đƣợc bài toán này.
Học sinh sẽ gọi điểm M(x0;f(x0)) là tọa độ tiếp điểm rồi viết phƣơng trình
tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm M, sau đó cho tiếp tuyến đó đi qua
điểm A(-1;-9).
c) Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề đƣợc hiểu là sự tổ chức quá trình dạy
học bao gồm việc tạo ra tình huống gợi vấn đề trong giờ học, kích thích ở học sinh
nhu cầu giải quyết vấn đề nảy sinh, lôi cuốn các em vào hoạt động nhận thức tự lực
nhằm nắm vững kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo mới, phát triển tính tích cực của trí tuệ
và hình thành cho các em năng lực tự mình thông hiểu và lĩnh hội thông tin khoa
học mới ([18], [30]).
Theo Ôkôn ([32, tr.103]) quá trình dạy học này gồm các hành động sau:
Bước 1: Tổ chức các tình huống có vấn đề, phát hiện vấn đề và đặt vấn đề để giải
quyết vấn đề.
Bước 2: Giúp đỡ học sinh những điều cần thiết để giải quyết vấn đề.
Bước 3: Kiểm tra cách giải quyết đó và nghiên cứu lời giải để hệ thống hoá, củng cố
những kiến thức đã tiếp thu đƣợc.
Tƣơng ứng với các bƣớc hành động đó của giáo viên, hành động học tập cơ
bản của học sinh là: phát hiện đƣợc vấn đề nảy sinh trong tình huống có vấn đề, học
sinh độc lập giải quyết vấn đề dƣới sự điều khiển của giáo viên, thực hiện sự liên
tƣởng nhớ lại liên kết chúng với nhau để củng cố các kiến thức đã học. Mục đích
cuối cùng là học sinh nắm vững đƣợc tri thức và học đƣợc cách thức “tự khám phá”
tri thức.
d) Đặc điểm của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, thầy giáo tạo ra những tình
huống vấn đề - điều khiển học sinh phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác tích cực để
giải quyết vấn đề và thông qua đó mà lĩnh hội đƣợc tri thức, rèn luyện kỹ năng và
đạt đƣợc những mục đích học tập khác. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có
đặc trƣng cơ bản sau:

14. 9
+ Học sinh đƣợc đặt vào tình huống gợi vấn đề chứ không phải là đƣợc
thông báo tri thức dƣới dạng có sẵn.
+ Học sinh hoạt động tích cực, chủ động, sáng tạo huy động hết tri thức và
khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứ không phải chỉ nghe thầy
giảng một cách thụ động.
+ Làm học sinh không những phát huy kỹ năng lĩnh hội đƣợc kết quả của
quá trình giải quyết vấn đề mà còn ở chỗ học sinh còn đƣợc học bản thân việc học.
1.1.3. Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
a) Các bước của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Điều quan trọng nhất của phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn
đề là việc điều khiển học sinh tự thực hiện hoặc hoà nhập vào quá trình nghiên cứu
vấn đề. Quá trình này có thể chia thành các bƣớc dƣới đây, trong đó bƣớc nào, khâu
nào do học trò tự làm hoặc có sự gợi ý của thầy hoặc chỉ theo dõi thầy trình bày là
tuỳ thuộc sự lựa chọn một cấp độ thích hợp.
Theo quan điểm của Nguyễn Bá Kim ([17,tr.192-196]) có thể phân chia quá
trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thành 4 bƣớc nhƣ sau:
Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề
- Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề thƣờng là do thầy tạo ra, có thể liên
tƣởng những cách suy nghĩ tìm tòi, dự đoán.
- Giải thích và chính xác hoá tình huống (khi cần thiết) để hiểu đúng vấn đề đƣợc
đặt ra.
- Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó.
Bước 2: Tìm giải pháp
-Tìm một cách giải quyết vấn đề. Việc này thƣờng đƣợc thực hiện theo sơ đồ dƣới
đây:
Bắt đầu
Phân tích vấn đề
Đề xuất và thực hiện hƣớng giải quyết
Hình thành giải pháp
Kết thúc
Giải pháp
PPPPPPPP
Ppháp
đúng

15. 10
Giải thích sơ đồ:
Khi phân tích vấn đề, cần làm rõ những mối liên hệ giữa cái đã biết và cái
phải tìm. Trong môn Toán, ta thƣờng dựa vào những tri thức toán đã học, liên tƣởng
tới những định nghĩa và những định lí thích hợp.
Khi đề xuất và thực hiện hƣớng giải quyết vấn đề, cùng với việc thu nhập, tổ
chức dữ liệu, huy động tri thức, thƣờng hay sử dụng những phƣơng pháp, kỹ thuật
nhận thức, tìm đoán, suy luận nhƣ: hƣớng đích, quy lạ về quen, đặc biệt hóa, chuyển
qua những trƣờng hợp suy biến, tƣơng tự hoá, khái quát hoá, xem xét những mối
liên hệ và phụ thuộc, suy xuôi, suy ngƣợc tiến, suy ngƣợc lùi... Phƣơng hƣớng đƣợc
đề xuất không phải là bất biến trái lại có thể phải điều chỉnh, thậm chí bác bỏ và
chuyển hƣớng khi cần thiết. Khâu này có thể đƣợc làm nhiều lần cho đến khi tìm ra
hƣớng đi hợp lý.
Kết quả của việc đề xuất và thực hiện hƣớng giải quyết vấn đề là hình thành
đƣợc một giải pháp.
Việc tiếp theo là kiểm tra giải pháp xem nó có đúng đắn hay không.
Nếu giải pháp đúng thì kết thúc ngay, nếu không đúng thì lặp lại từ khâu
phân tích vấn đề cho đến khi tìm đƣợc giải pháp đúng.
- Sau khi đã tìm ra một giải pháp, có thể tiếp tục tìm thêm những giải pháp
khác (theo sơ đồ trên), so sánh chúng với nhau để tìm ra giải pháp hợp lý nhất.
Bước 3: Trình bày giải pháp
Khi đã giải quyết đƣợc vấn đề đặt ra, ngƣời học trình bày lại toàn bộ từ việc phát
biểu vấn đề cho tới giải pháp. Nếu vấn đề là một đề bài cho sẵn thì có thể không cần
phát biểu lại vấn đề. Trong khi trình bày, cần tuân thủ các chuẩn mực đề ra trong
nhà trƣờng nhƣ ghi rõ giả thiết, kết luận đối với bài toán chứng minh, phân biệt các
phần: phân tích, cách dựng, chứng minh, biện luận đối với bài toán dựng hình,...
Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp
- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả.
- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tƣơng tự, khái quát hoá, lật ngƣợc
vấn đề,... và giải quyết nếu có thể.
Về dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, nhiều tài liệu hiện nay chỉ nói tới
việc nêu vấn đề. Nhƣ vậy là chƣa đầy đủ. Học trò còn phải tham gia vào quá trình
giải quyết vấn đề nữa.

16. 11
b) Kỹ thuật tạo tình huống gợi vấn đề
Để thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, điểm xuất là tạo ra tình
huống gợi vấn đề. Một số giáo viên nghĩ rằng dạy học phát hiện và giải quyết vấn
đề tuy hay nhƣng có vẻ ít cơ hội thực hiện do khó tạo đƣợc nhiều tình huống gợi
vấn đề. Để xoá bỏ ấn tƣợng không đúng đó, có thể nêu lên một số tình huống gợi
vấn đề rất phổ biến, rất dễ gặp và dễ thiết lập. Chẳng hạn, có thể tạo ra những tình
huống gợi vấn đề theo các cách thông dụng nhƣ sau:
(i) Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm (tính toán, đo đạc…)
Ví dụ: Khi học bài 1 “Tính đơn điệu của hàm số” ([27]) để dẫn đến định lý về mối
quan hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm, giáo viên có thể đƣa ra
tình huống gợi vấn đề nhƣ sau:
- Xét các hàm số sau và đồ thị của chúng:

2
2
x
y

 
1
y
x

O
O
x - 0 +
y’
y 0
- -
x - 0 +
y’
y +
0 0
-
+ Nhìn vào đồ thị hãy điền các khoảng đồng biến, nghịch biến vào mỗi bảng ở trên?
+ Các em hãy xét dấu đạo hàm của mỗi hàm số và điền vào bảng tƣơng ứng?

17. 12
.
2
2
x
y

 '
y x
   , .
1
y
x
 2
1
'
y
x
  
+ Từ đó hãy nêu ra nhận xét về mối quan hệ giữa tính đơn điệu của hàm số và dấu
đạo hàm của nó?
(ii) Lật ngƣợc vấn đề
Ví dụ: Sau khi học sinh học xong định lý về mối quan hệ giữa tính đơn điệu
của hàm số và dấu của đạo hàm:
“Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng I.
Nếu f’(x)>0 mọi x thuộc I thì hàm số f(x) đồng biến trên I
Nếu f’(x)<0 mọi x thuộc I thì hàm số f(x) nghịch biến trên I
Nếu f’(x)=0 mọi x thuộc I thì hàm số f(x) không đổi trên trên I”
Ta có thể lật ngƣợc vấn đề nhƣ sau:
“Khẳng định ngƣợc lại với định lý trên có đúng không? Nói cách khác, nếu hàm số
đồng biến (nghịch biến) trên I thì đạo hàm của nó có nhất thiết phải dƣơng (âm) trên
I không?”
(iii) Xem xét sự tƣơng tự
Xuất phát từ kiến thức đã biết để đặt vấn đề nghiên cứu kiến thức mới bằng cách
tƣơng tự hóa.
(iv) Khái quát hóa
(v) Giải bài tập mà ngƣời học chƣa biết thuật giải.
Ngƣời học có thể đứng trƣớc một tình huống gợi vấn đề nếu đƣợc yêu cầu
giải một bài tập mà ngƣời đó chƣa biết thuật giải bài toán.
(vi) Tìm các sai lầm trong lời giải
Giáo viên đƣa ra một lời giải (có thật hay hƣ cấu) để học sinh phát hiện sai
lầm cũng tạo ra một tình huống gợi vấn đề.
(vii) Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm.
Sau khi thấy đƣợc một sai lầm khi giải toán, học sinh cũng đƣợc đặt vào một
tình huống gợi vấn đề với nhiệm vụ mới là phát hiện nguyên nhân và sữa chữa sai lầm.
c) Những điểm cần chú ý khi vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là điều kiện là phƣơng tiện tốt để đạt
đƣợc mục đích quan trọng của nhà trƣờng trong quá trình đào tạo lớp ngƣời lao
động trẻ. Nhƣng thật là không đúng nếu vì thế mà kết luận rằng tất cả mọi phƣơng
pháp dạy và học đều phải trở thành phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.

18. 13
Một điều rõ ràng là không có một phƣơng pháp dạy học nào là vạn năng. Dạy
học phát hiện và giải quyết vấn đề là một trong những phƣơng pháp dạy và học hiện
đại, nó đòi hỏi phải có sự vận dụng thật sáng tạo trong những điều kiện dạy học, nội
dung dạy học, đối tƣợng dạy học và môi trƣờng sƣ phạm cụ thể.
+ Khi thực hiện dạy học theo phƣơng pháp phát hiện và giải quyết vấn đề, yêu cầu
giáo viên phải có sự chuẩn bị bài giảng hết sức công phu (bởi vì, để đạt đƣợc kết
quả cao của phƣơng pháp dạy học này, giáo viên phải chuẩn bị nhiều câu hỏi, nhiều
bài toán, nhiều tình huống có vấn đề… cho nhiều đối tƣợng học sinh).
+ Khi tiến hành dạy học ở những lớp có số học sinh đông, tạo tình huống có vấn
đề một cách thật khéo léo; nếu không thì sẽ có nguy cơ bị bỏ rơi một số lƣợng lớn
học sinh.
1.1.4. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toán và định hướng đổi
mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT hiện nay
a) Vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toán
Việc vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toán, theo
Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc [14] có nghĩa là phải tổ chức
việc dạy học toán sao cho các em luôn đứng trƣớc những tình huống có vấn đề
mang tính chất toán học phải giải quyết, phải luôn luôn tìm tòi và phát hiện ra vấn
đề sáng tạo và những con đƣờng để giải quyết những vấn đề đó (tự rút ra công thức
tự chứng minh định lý, tìm cách ghi nhớ một cách tích cực cần kiến thức cần lĩnh
hội tự tìm ra thuật toán giải bài toán điển hình, tự tìm ra cách giải hay và gọn những
bài toán lí thuyết hay thực hành …). Kết quả là học sinh lĩnh hội đƣợc kiến thức, kỹ
năng, kỹ xảo mới đồng thời học cách tự khám phá.
 Khi vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toán cần phải
chú ý khai thác sử dụng những khía cạnh sau đây:
- Khi dạy học khái niệm cần chú ý có hai con đƣờng hình thành khái niệm đó là
con đƣờng quy nạp và con đƣờng suy diễn. Nói chung, ngƣời ta thƣờng phối hợp
hai con đƣờng này trong quá trình hình thành khái niệm cho học sinh.
- Khi dạy học định lý, cần chú ý có hai con đƣờng để tiếp cần định lý là suy diễn
và suy đoán .
- Khi dạy học giải bài tập toán cần chú ý đến cả hai mặt suy diễn và suy lý. Nói
cách khác cần chú ý thực hiện cả hai mặt sau đây:
+ Dạy chứng minh.
+ Dạy tìm tòi.

19. 14
Khi thực hiện điều này cần chú ý hình thành và rèn luyện cho học sinh các thao
tác tƣ duy cơ bản, đặc biệt là các thao tác tƣơng tự hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá,
tổng quát hoá.
 Khi dạy theo phƣơng pháp phát hiện và giải quyết vấn đề cũng cần chú ý vận
dụng quan điểm “dạy học toán là dạy các hoạt động toán học”.
b) Định hướng đổi mới phương pháp dạy học
Nhƣ đã trình bày ở trên với tƣ tƣởng chủ đạo và cũng là mục đích của quá trình
dạy học là tích cực hoá hoạt động học tập của ngƣời học, khi tổ chức, hƣớng dẫn
cho học sinh tự tìm hiểu, tự phát hiện và giải quyết vấn đề trên cơ sở là họ phải tự
giác và đƣợc tự do, đƣợc tạo khả năng và đƣợc tạo điều kiện chủ động trong hoạt
động đó.
Đồng thời, khi thực hiện đổi mới phƣơng pháp dạy học cần phải tham khảo các
chọn lọc kinh nghiệm của thế giới đặc, biệt là phải bám sát các hƣớng đổi mới của
họ. Chẳng hạn nhƣ thực hiện các phƣơng pháp đổi mới dạy học sau:
+ Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
+ Dạy học hợp tác.
+ Dạy học sử dụng phiếu học tập.
+ Dạy học theo tƣ tƣởng của lý thuyết kiến tạo.
+ Dạy học với máy tính điện tử nói riêng và dạy học có tính áp dụng các thành
tựu của công nghề tin học nói chung.
Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có khả năng góp phần tích cực thực
hiện đổi mới phƣơng pháp dạy học theo hƣớng kể trên. Sử dụng phƣơng pháp dạy
học này không đòi hỏi phải có sự thay đổi lớn về cơ chế trƣờng lớp, bài học, cơ sở
vật chất hay trình độ giáo viên hiện nay. Phƣơng pháp dạy học này cũng tỏ ra phù
hợp khi vận dụng vào những tình huống cụ thể trong dạy học toán.
Vì vậy, có thể coi phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là một
trong những hƣớng quan trọng để đổi mới phƣơng pháp dạy học ở nƣớc ta hiện nay.
Luận văn của chúng tôi thực hiện theo hƣớng này, với việc áp dụng tinh
thần của phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề để dạy học nội dung
khảo sát hàm số cho học sinh lớp 12 THPT.

20. 15
1.2. Phân tích chương trình, nội dung và mục tiêu dạy học khảo sát hàm số lớp
12 THPT
1.2.1. Giới thiệu chương trình
Từ năm học 2006 – 2007, Bộ GD&ĐT tiến hành thay SGK, bắt đầu từ lớp
10.Theo đó có hai bộ SGK mới thay cho một bộ SGK của chƣơng trình SGK chỉnh
lý hợp nhất năm 2000, đó là SGK dành cho chƣơng trình cơ bản và chƣơng trình
nâng cao. Đến năm học 2008 – 2009 bắt đầu thực hiện chƣơng trình SGK mới của
lớp 12. Trong chƣơng trình SGK Giải tích lớp 12 nâng cao, chƣơng “Ứng dụng đạo
hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số” đƣợc nghiên cứu ở Chƣơng I, chƣơng này
đƣợc phân chia làm 3 phần chính:
 Phần đầu cung cấp cho học sinh những khái niệm dùng để mô tả một số
tính chất của hàm số nhƣ: tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
hàm số, đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số.
 Phần thứ hai là khảo sát và vẽ đồ thị của một số loại hàm số thƣờng gặp.
 Phần thứ ba là một số bài toán liên quan đến khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
So với SGK 2000, nội dung của Chƣơng này đƣợc giảm nhẹ hơn ở chỗ không xét
tính lồi – lõm của đồ thị và chỉ nêu các ví dụ về khảo sát và vẽ đồ thị của 4 loại hàm
số: 3 2
y ax bx cx d
    , 4 2
y ax bx c
   ,
ax b
y
cx d



,
2
ax bx c
y
dx e
 


(Nhƣng do có
vai trò đặc biệt trong việc vẽ đồ thị, điểm uốn vẫn đƣợc SGK đề cập ở mức độ đơn
giản). Tuy nhiên, chƣơng trình lại nhấn mạnh hơn đến vấn đề tƣơng giao của 2 đồ
thị, tiếp tuyến của đồ thị và các vấn đề về đồ thị liên quan đến nghiệm của một
phƣơng trình.
Đáng chú ý ở chƣơng này là vấn đề đƣờng tiệm cận. Nhƣ đã biết, SGK Đại
số và Giải tích lớp 11 đã phân biệt các giới hạn tại + và tại -, cũng nhƣ các giới
hạn + và -. Điều đó dẫn đến những khác biệt ở Giải tích 12 so với SGK trƣớc
đây khi xét tiệm cận.
Chẳng hạn, khi xét tiệm cận ngang, trƣớc đây ta thƣờng chỉ phải tìm một giới hạn
nay ta phải xét cả hai giới hạn và
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang nếu chỉ cần một trong hai giới hạn đó là tồn tại và
hữu hạn. Cụ thể hơn, giả sử hai giới hạn đó lần lƣợt là y1, y2 thì khi y1  y2, đồ thị
hàm số sẽ có 2 tiệm cận ngang là y=y1 và y=y2; còn khi y1=y2 đồ thị có một tiệm
cận ngang y=y1.

21. 16
Điều đó cũng xảy ra tƣơng tự đối với tiệm cận xiên.
Cũng nhƣ vậy, khi xét tiệm cận đứng, ta phải xét tất cả các điểm x0 sao cho một
là + hoặc -.
trong các giới hạn
Để giúp học sinh trình bày lời giải bài toán khảo sát hàm số đƣợc thuận tiện, các tác
giả đã đƣa ra một sơ đồ khảo sát hàm số cải tiến hơn so với sơ đồ truyền thống. Cụ
thể là trong bƣớc thứ 2 (khảo sát sự biến thiên), việc tìm các giới hạn đặc biệt của
hàm số và tìm các đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số đƣợc tiến hành trƣớc sau đó
mới tính đạo hàm, khảo sát chiều biến thiên, cực trị và điểm uốn. Điều đó cho phép
bỏ qua việc lập riêng một bảng xét dấu của đạo hàm và học sinh chỉ cần lập duy
nhất một bảng biến thiên của hàm số.
1.2.2. Nội dung
Theo phân phối chƣơng trình môn Toán THPT (thực hiện từ năm học 2008 –
2009) phần Giải tích 12 nâng cao, học sinh đƣợc học với số tiết là 90. Trong đó
Chƣơng I: “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” có số tiết là 23, cụ
thể nhƣ sau:
§1. Tính đơn điệu của hàm số 2 tiết
Luyện tập 1 tiết
§2. Cực trị của hàm số 2 tiết
§3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 tiết
Luyện tập 2 tiết
§4. Đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ toạ độ 1 tiết
§5. Đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số 2 tiết
Luyện tập 1 tiết
§6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức 2 tiết
Luyện tập 1 tiết
§7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ 2 tiết
Luyện tập 1 tiết
§8. Một số bài toán thƣờng gặp về đồ thị 2 tiết
Luyện tập 1 tiết
Câu hỏi và bài tập ôn tập chƣơng I 2 tiết
Bài đọc thêm: Tính lồi, lõm và điểm uốn của đƣờng cong

22. 17
1.2.3. Mục tiêu
Trong chƣơng này,ta ứng dụng đạo hàm và giới hạn để xét một số tính chất quan
trọng của hàm số và đồ thị, từ đó khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Mục tiêu của chƣơng này là:
Kiến thức
Giúp học sinh nắm vững :
- Quan hệ giữa tính đơn điệu và dấu đạo hàm của hàm số;
- Khái niệm cực trị và các quy tắc tìm cực trị của hàm số;
- Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và cách tìm các giá trị đó;
- Định nghĩa và cách tìm các đƣờng tiệm cận của đồ thị;
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Kỹ năng
Giúp học sinh có kỹ năng thành thạo trong việc xét chiều biến thiên (tức là tính
đơn điệu) của hàm số, tìm cực trị của hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số trên một tập hợp số thực cho trƣớc, viết phƣơng trình các đƣờng tiệm
cận của đồ thị, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số, biết cách giải
một số bài toán thƣờng gặp về khảo sát hàm số.
1.3. Thực tiễn dạy học khảo sát hàm số ở lớp 12 THPT
1.3.1. Điều tra qua giáo viên
Chúng tôi sử dụng phiếu điều tra tình hình dạy học khảo sát hàm số ở lớp 12
THPT với nội dung nhƣ sau:
PHIẾU ĐIỀU TRA
Để giúp chúng tôi hoàn thành đề tài “Vận dụng phương pháp phát hiện và
giải quyết vấn đề trong dạy học khảo sát hàm số lớp 12 trung học phổ thông” xin
các thầy cô giáo vui lòng giúp đỡ.
Xin các thầy cô giáo tính dấu “۷” vào phƣơng án mà thầy cô cho là đúng
nhất, có 4 mức độ là:
A: Rất ít
B: Ít
C: Vừa phải
D: Nhiều

23. 18
Ý kiến thăm dò giáo viên A B C D
Thời lƣợng 23 tiết dành cho dạy học nội dung khảo sát
hàm số ở lớp 12 là nhƣ thế nào?
Thầy cô biết về phƣơng pháp dạy học phát hiện và giải
quyết vấn đề?
Các thầy cô có thƣờng xuyên sử dụng phƣơng pháp phát
hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học khảo sát hàm số ở
lớp 12 không?
Thời gian để thiết kế một bài dạy học bằng phƣơng pháp
phát hiện và giải quyết vấn đề?
Các thầy cô có thƣờng xuyên tập dƣợt, rèn luyện cho học
sinh cách phát hiện và giải quyết vấn đề không?
Qua thực tiễn điều tra cũng nhƣ tìm hiểu tình hình dạy học khảo sát hàm số ở
một số trƣờng THPT của huyện Việt Yên - Bắc Giang, đó là: Trƣờng THPT Việt
Yên số 1, Trƣờng THPT Việt Yên số 2, Trƣờng THPT Lý Thƣờng Kiệt với khoảng
30 giáo viên dạy Toán, chúng tôi có một số nhận xét sau:
+ Nội dung khảo sát hàm số đƣợc trình bày cho học sinh THPT ở SGK Giải
tích 12 nâng cao với thời lƣợng 23 tiết, thời gian nhƣ vậy là rất hạn chế so với nội
dung rất phong phú và đa dạng của các bài toán về khảo sát hàm số.
+ Nhiều giáo viên chƣa nắm đƣợc rõ PPPH&GQVĐ cũng nhƣ các bƣớc để
thực hiện phƣơng pháp dạy học này. Vì vậy việc vận dụng PPPH&GQVĐ vào thực
tiễn dạy học còn nhiều hạn chế, chƣa đúng quy trình, dẫn đến hiệu quả dạy học
chƣa cao.
+ Đa số GV chƣa thực sự quan tâm đến việc dạy học vận dụng
PPPH&GQVĐ. Họ nghĩ rằng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề tuy hay nhƣng
có vẻ ít cơ hội thực hiện do khó tạo đƣợc nhiều tình huống gợi vấn đề. Mặt khác do
sức ép của thời gian đứng lớp ít mà vẫn phải hoàn thành bài học theo đúng phân
phối chƣơng trình, do thói quen bảo thủ, tƣ duy lối mòn nên một số GV còn cho
rằng dạy học bằng PPPH&GQVĐ là mất thời gian, chỉ mang tính hình thức, phức
tạp không có hiệu quả bằng các PPDH truyền thống nhƣ thuyết trình, giảng giải…

24. 19
+ Có một số ít GV giỏi, tâm huyết với nghề cũng đã vận dụng
PPPH&GQVĐ vào dạy học giúp học sinh tích cực, sáng tạo nâng cao chất lƣợng
học tập.
+ Đa số các GV thiếu định hƣớng, chƣa hệ thống đƣợc đầy đủ các dạng bài
tập về khảo sát hàm số.
+ Nhiều GV chƣa chú trọng quan tâm đến việc dạy tri thức phƣơng pháp và
rèn luyện cách thức phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề cho học sinh.
1.3.2. Điều tra qua học sinh
Sau khi GV dạy theo đúng phân phối chƣơng trình, trong tiết cuối của bài 2:
“Cực trị của hàm số” (Chƣơng I-SGK GTNC12), chúng tôi tiến hành khảo sát thăm
dò học sinh bằng bài kiểm tra 15 phút nhƣ sau:
Đề bài: Cho hàm số
2
( 1) 1
1
x m x m
y
x
   


(m là tham số)
Tìm m để đồ thị hàm số trên có điểm cực đại và cực tiểu tạo với gốc tọa độ O một
tam giác thỏa mãn:
a) Tam giác đó vuông tại đỉnh O.
b) Tam giác đó nhọn tại đỉnh O.
Kết quả:
+ Câu a: Đa số học sinh làm đƣợc câu a, tìm đƣợc điều kiện để hàm số có cực trị,
tìm đƣợc tọa độ điểm cực trị A và B, từ đó tìm đƣợc điều kiện cần và đủ để tam giác
OAB vuông ở O (Sử dụng . 0
OAOB 

 

hoặc sử dụng định lý Pitago).
+ Câu b: Đa số học sinh không làm đƣợc câu b, các em chƣa định hƣớng đƣợc
hƣớng giải quyết bài toán. Một số rất ít học sinh sử dụng định lý cosin: “ΔOAB
nhọn ở O 
2 2 2
OA +OB -AB
osAOB=
2.OA.OB
C >0” nhƣng biến đổi khá dài và phức tạp, chƣa
đi đến kết quả cuối cùng. Chƣa có em nào phát hiện ra nhận xét: “ΔOAB nhọn ở O
 . 0
OAOB 

 

”.

25. 20
Kết luận:
Qua kết quả làm bài của học sinh ở bài kiểm tra trên ta thấy rằng: Câu a của
đề bài là một câu cơ bản, thƣờng gặp trong SGK,SBT nên học sinh dễ dàng làm
đƣợc. Còn câu b thực chất cũng tƣơng tự câu a nhƣng chỉ đòi hỏi tƣ duy uyển
chuyển, sáng tạo một chút. Điều đó cho thấy, tình hình vận dụng phƣơng pháp dạy
học phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy học nói chung và dạy học khảo sát hàm
số nói riêng còn nhiều bất cập, học sinh còn gặp nhiều khó khăn khi giải các bài
toán về khảo sát hàm số, mà nguyên nhân chủ yếu là do học sinh không nắm vững
cả về kiến thức và phƣơng pháp tƣ duy, chƣa biết cách phát hiện và giải quyết vấn
đề. Chính vì thế mà trong quá trình dạy học giáo viên phải có ý thức rèn luyện cho
học sinh, tạo điều kiện cho học sinh tập dƣợt cách gợi vấn đề và giải quyết vấn đề
thì mới khắc phục đƣợc tình trạng nói trên. Điều đó sẽ đƣợc thể hiện cụ thể trong
Chƣơng 2 và trong ý tƣởng thực nghiệm.

26. 21
Chương 2:VẬN DỤNG PHƢƠNG PHÁP PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN
ĐỀ TRONG DẠY HỌC MỘT SỐ CHỦ ĐỀ CỦA KHẢO SÁT HÀM SỐ LỚP 12.
2.1. Định hướng chung
Chƣơng này trình bày việc vận dụng phƣơng pháp phát hiện và giải quyết vấn
đề trong dạy học khảo sát hàm số theo các chủ đề. Trong từng chủ đề việc phát hiện
và giải quyết vấn đề đƣợc gợi mở, nảy sinh, bổ sung theo sự phát triển của các tình
huống khai thác bài toán. Mỗi chủ đề sẽ đƣợc dạy trong các tiết luyện tập, ôn tập, phù
hợp với lí thuyết và theo phân phối chƣơng trình của Bộ giáo dục và đào tạo.
Trong mỗi chủ đề chúng tôi tiến hành qua các bƣớc:
- Gợi vấn đề và phát hiện vấn đề
Trƣớc hết chúng tôi lựa chọn đƣa ra các tình huống có vấn đề, sau đó hƣớng dẫn
học sinh từng bƣớc tìm cách giải quyết vấn đề. Sau mỗi tình huống giáo viên giúp
học sinh phát hiện, mô tả các bƣớc giải quyết vấn đề.
- Đề xuất và trình bày giải pháp
Từ các tình huống đã nêu, giáo viên hƣớng dẫn học sinh phát hiện và đƣa ra
phƣơng pháp giải quyết vấn đề .
- Nghiên cứu sâu giải pháp
Gợi ra một số vấn đề liên quan khác bằng cách: Từ một số ví dụ, một số dạng
toán liên quan yêu cầu học sinh khái quát hoá, đề xuất phƣơng pháp giải quyết từng
dạng toán đó, cũng có khi là củng cố cách giải quyết vấn đề đã nêu.
- Chọn lọc một số bài tập cho học sinh vận dụng.
Các bài tập ở đây giúp học sinh tự luyện tập, vận dụng theo cách giải quyết vấn
đề đã có ở trên, đồng thời phát hiện và giải quyết vấn đề mới nảy sinh.
Trong quá trình xây dựng, lựa chọn bài tập chúng tôi chủ yếu dựa vào sách
giáo khoa, sách bài tập và một số đề thi đại học, cao đẳng, đề thi tốt nghiệp trong
những năm gần đây theo mức độ từ dễ đến khó, từ cơ bản đến nâng cao nhằm:
. Phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh.
. Rèn luyện cho học sinh thói quen và các kĩ năng phát hiện, xây dựng, vận
dụng các phƣơng pháp giải quyết vấn đề. Qua đó học sinh dần hình thành và phát
triển khả năng phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề.
. Củng cố kiến thức, rèn luyện các kĩ năng giải toán.

27. 22
2.2. Tính đơn điệu của hàm số
Nội dung về tính đơn điệu của hàm số học sinh đã đƣợc học ở Bài1 “Tính
đơn điệu của hàm số” thuộc Chƣơng I-SGK GTNC12 (SGK mới thực hiện từ năm
2008). Trong bài này học sinh đƣợc ôn lại về định nghĩa hàm số đồng biến và
nghịch biến, học sinh đƣợc biết điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng,
nửa khoảng hoặc trên một đoạn. Trƣớc đó học sinh đã biết cách xét dấu của tam
thức bậc hai, biết cách giải phƣơng trình, bất phƣơng trình chứa căn thức, các tính
chất của bất đẳng thức.
Sau đây chúng tôi trình bày về việc vận dụng phƣơng pháp phát hiện và giải
quyết vấn đề thông qua một số dạng toán thƣờng gặp về tính đơn điệu của hàm số.
2.2.1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
* Để học sinh phát hiện và giải quyết đƣợc những vấn đề trong dạng toán tìm
các khoảng đơn điệu của hàm số chúng tôi tiến hành theo thứ tự các bƣớc nhƣ đã
trình bày ở phần định hƣớng chung,cụ thể là:
- Gợi vấn đề và phát hiện vấn đề
- Đề xuất và trình bày giải pháp
- Nghiên cứu sâu giải pháp
- Chọn lọc một số bài tập cho học sinh vận dụng.
Hoạt động 1: Gợi vấn đề và phát hiện vấn đề
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:
a) 2
( ) 3 6
y f x x x
    b) y=  
2 1
x x
a)(?) Trƣớc khi tìm các khoảng đơn điệu của hàm số ta phải làm gì ?
( !) Ta cần tìm ĐKXĐ của hàm số y=f(x)
. ĐKXĐ: x R
  ,
2
2
3 3 6
'( )
3 6
x x
f x
x
 


: xác định với x R
  .
. '( ) 0
f x  2
2 2
3 0
3 6 3 1
3 6 9
x
x x x
x x





 
       
 
(?) Các em đã biết quy tắc nào để xét dấu f’(x) mà trong đó f’(x) là một biểu thức
chứa căn chƣa?
(!) Ở đây f’(x) không phải là một nhị thức bậc nhất, cũng không là một tam thức bậc
hai hoặc là tích của chúng,do đó ta chƣa có quy tắc nào xét dấu biểu thức này .
(?)Vậy ta phải xét dấu f’(x) nhƣ thế nào?

28. 23
(!)Ta có thể dựa vào tính liên tục của hàm số f’(x) trên R:
Do hàm số f’(x) liên tục trên R nên f’(x) giữ nguyên một dấu trên mỗi khoảng
( ; 1)
  và ( 1; )
  .
Ta có: '( 2) 1 2 0
f     '( ) 0
f x
  với ( ; 1)
x
    .
'(0) 1 0
f   '( ) 0
f x
 
với ( 1; )
x
    .
Do đó ta có bảng biến thiên nhƣ sau:
Vậy hàm số đồng biến trên ( 1; )
  ,
nghịch biến trên( ; 1)
  .
* Từ bài toán trên, giáo viên yêu cầu học sinh nêu cách xét dấu biểu thức f’(x) có
chứa căn ?
(!) Để xét dấu biểu thức f’(x) có chứa căn ta có thể dựa vào tính liên tục của nó trên
TXĐ D=R của hàm số đó.
b) . ĐKXĐ: x R
 
Ta có :
2
2
2
1 1
1
1 1
x x x
y x x
x x x





  
   
  
víi
víi
1
'
1
x
y
x






 

2x+1 víi
2x-1 víi
(?)Ở đây y’ đƣợc cho bởi 2 biểu thức, các em đã biết cách xét dấu biểu thức y’ nhƣ
vậy chƣa?
(!) Chƣa
(?) Vậy ta phải xét dấu y’ nhƣ thế nào?
(!)Ta sẽ xét dấu từng biểu thức của y’ trong khoảng xác định của nó.
Nhận thấy:
y’=0
1
2
x
 
Với 1
2
x   ' 0
y 
Với
1
2
x   ' 0
y 
Lập bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên
1
2
( ;1)và(1; )
 , nghịch biến trên
1
2
( ; )
 .
* Từ bài toán trên, giáo viên yêu cầu học sinh nêu cách xét dấu f’(x) đƣợc cho bởi
nhiều biểu thức ?
(!) Để xét dấu f’(x) đƣợc cho bởi nhiều biểu thức ta sẽ xét dấu từng biểu thức của
y’ trong từng khoảng xác định của nó .

29. 24
Hoạt động 2: Đề xuất và trình bày giải pháp
(?) Từ các ví dụ và nhận xét nêu trên, hãy nêu phƣơng pháp giải quyết bài toán tìm
các khoảng đơn điệu của hàm số?
(!) Phương pháp giải quyết vấn đề:
Để tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y=f(x) ta có thể làm nhƣ sau:
Bước 1: Tìm ĐKXĐ của hàm số.Tính y’ và tìm ĐKXĐ của y’.
Bước 2: Giải phƣơng trình y’= 0.
Bước 3: Xét dấu y’ .
Để xét dấu y’ thông thƣờng ta sử dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất hoặc
tam thức bậc hai, phƣơng pháp khoảng, giải trực tiếp các bất phƣơng trình f’(x)>0,
f’(x)<0,…Tuy nhiên, trong trƣờng hợp phức tạp ta có thể xét dấu hàm số f’(x) dựa
vào tính liên tục nhƣ sau: “Nếu hàm số f’(x) liên tục trên tập xác định của nó thì
giữa 2 điểm tới hạn kề nhau x1và x2 hàm số f’(x) giữ nguyên một dấu” (Điểm tới
hạn là điểm thuộc tập xác định của hàm số y=f(x) mà tại đó f’(x)=0 hoặc f’(x)
không xác định).
Trong trƣờng hợp f’(x) đƣợc cho bởi nhiều biểu thức ta sẽ xét dấu từng biểu thức
của f’(x) trong từng khoảng xác định của nó .
Từ đó lập bảng biến thiên của hàm số và suy ra kết luận.
Hoạt động 3: Nghiên cứu sâu giải pháp
*Vận dụng phƣơng pháp giải quyết vấn đề ở trên để giải các bài toán sau:
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:
a)
ln
x
y
x
 b)
2
1
1
y x
x
  

(?) Hãy thực hiện theo các bƣớc của phƣơng pháp giải quyết vấn đề đã nêu ở trên?
(!) Lời giải:
a) . ĐKXĐ: 0, 1
x x
   TXĐ: D = (0, +){1}
2
ln 1
'
ln
x
y
x

 : xác định với x D
 
. ' 0
y  ln 1 0
x
   x e
  .
. Xét dấu y’:
(?)Ở đây y’ không phải là một nhị thức bậc nhất, cũng không là một tam thức bậc
bậc hai hoặc là tích của chúng,vậy ta xét dấu y’ nhƣ thế nào?
(!) Xét dấu y’ dựa vào tính liên tục của nó trên TXĐ D.

30. 25
Do hàm số f’(x) liên tục trên D nên f’(x) giữ nguyên một dấu trên mỗi khoảng
(0; 1), (1; e) và( ; )
e  .
Ta có:
1
' 2 0
e
f  
 
 
   '( ) 0
f x
  với (0;1)
x
  .
 
' 2 0
e
f    '( ) 0
f x
  với (1; )
x e
  .
 
2 1
4
' 0
e
f   '( ) 0
f x
 
với ( ; )
x e
   .
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên
( ; )
e  , nghịch biến trên
(0;1) và (1; )
e .
a) . ĐKXĐ: 1
x
   .
Ta có
2
1 1
2 1
1
1 2
1 1, 1
1
x x
x
y x
x
x x x
x







  

   

    

víi
víi
   
 
2 2
2
2
1 1
1 1
'
2
1 1, 1
1
x
x x
y
x x
x









 
 
 
    

2
x +2x-1
= víi
víi
. Xét dấu y’:
y’ đƣợc cho bởi 2 biểu thức,
ta sẽ xét dấu từng biểu thức của y’
trong khoảng xác định của nó.
Ta thấy ' 0
y  1
x
 
' 0
y  1, 1
x x
   
Lập bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên (1; )
 ,
nghịch biến trên ( ; 1)
  và ( 1;1)
 .
* Một số bài tập vận dụng:
[1] Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau:
a) 3 2
2 1
y x x x
    b) 4 2
2 5
y x x
  

31. 26
c)
2
8 9
5
x x
y
x
 


d) 4 3
1
5
2
y x x x
   
e) 2
2 3
y x x
   f)
2
3
1
x
y
x



[2] Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) 4 3 2
1 2 1
7
4 3 2
y x x x
    b) 5 4 3
10
2 5 1
3
y x x x
   
c) 2
4 2 1
y x x x
    d) 3 3
3 2
y x x
  
[3] Chứng minh rằng
a) Hàm số
2
2 3
2 1
x x
y
x



đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b) Hàm số 2
8
y x x
   nghịch biến trên R.
c) Hàm số 3
cos 4
y x x x
    đồng biến trên R.
d) Hàm số os2 2 3
y c x x
   nghịch biến trên R.
2.2.2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một miền K
* Ở đây ta chỉ xét đến các loại hàm số thƣờng gặp trong chƣơng trình môn
toán THPT, đó là: hàm bậc ba, hàm bậc bốn trùng phƣơng, hàm số
ax b
y
cx d



, hàm
số
2
ax bx c
y
dx e
 


.
Sau đây là một số ví dụ cụ thể, vận dụng phƣơng pháp phát hiện và giải
quyết vấn đề, giáo viên hƣớng dẫn học sinh tìm tòi lời giải, từ đó giúp học sinh phát
hiện đƣợc phƣơng pháp giải quyết các bài toán xác định tham số để hàm số đơn
điệu trên một miền K.
Hoạt động 1: Gợi vấn đề và phát hiện vấn đề
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sau đồng biến trên R.
3 2 2
1
( ) (2 ) 1
3
f x x mx m x m
     
(?) Dựa vào mối quan hệ giữa sự biến thiên của hàm số và dấu của đạo hàm, các em
có thể đề xuất phƣơng hƣớng giải quyết bài toán này nhƣ thế nào?
(!) Ta cần tìm điều kiện để 2
'( ) 2 2
f x x mx m
    0
 với x R
  .
(vì dấu bằng xảy ra tại nhiều nhất hai điểm x thuộc R)
(?)Điều kiện tƣơng đƣơng là gì?
(!)Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai,ta có:

32. 27
2
'( ) 2 2 0
f x x mx m
     với x R
  .
 2
' 2 0
m m
      2 1
m
  
Vậy 2 1
m
  
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số
2 2
( 1) 4 4 2
( )
( 1)
x m x m m
f x
x m
    

 
đồng biến
trên (0; )
 .
* Chúng tôi xây dựng tình huống gợi vấn đề ở đây là: Tìm sai lầm trong lời giải bài
toán.
* Có học sinh đã giải bài toán này nhƣ sau:
ĐKXĐ: 1
x m
  
2 2
2
2( 1) 3 4 1
'( )
( 1)
x m x m m
f x
x m
    

 
: xác định với 1
x m
   .
Hàm số y=f(x) đồng biến trên (0; )
  (0; )
   
f'(x) 0 víi x
2 2
( ) 2( 1) 3 4 1 0 (0; )
g x x m x m m
          
víi x
g(x) là một tam thức bậc hai có 2
' 4 6
m m
  
+ Nếu ' 0
  
3
0
2
m
  thì ( ) 0
g x  với R
 
x ( ) 0 0
g x
   
x
Do đó
3
0
2
m
  thoả mãn
+ Nếu
3
' 0 0
2
m m
     
Khi đó phƣơng trình g(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt là x1< x2
1 2
( ) 0 ( ; ] [x ; )
g x x G
      
x
Điều kiện để ( ) 0
g x  với (0; )
x
   là:
(0; ) G
  1 2
' 0
0 0
0
x x P
S





 
    


2
2
4 6 0
2 7
3 4 1 0 0
3
2( 1) 0
m m
m m m
m







 

      
 
Vậy
3
2
2 7
3
m

  .
(?) Các em có đồng ý với lời giải ở trên không?
* Hầu hết học sinh đã cho rằng lời giải trên là đúng, không phát hiện đƣợc sai lầm
trong lời giải đó. Vấn đề ở đây là học sinh đã bỏ qua bƣớc cơ bản trong lời giải bài
toán, đó là: Tìm điều kiện để hàm số đã cho xác định trên (0; )
 .
* Lời giải đúng nhƣ sau:
Muốn hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; )
 thì trƣớc tiên ta cần tìm điều

33. 28
kiện để hàm số xác định trên (0; )
 .
ĐKXĐ: 1
x m
  
Hàm số đã cho xác định trên (0; )
 1 0 1(*)
m m
    
Sau đó tìm điều kiện để cho (0; )
   
f'(x) 0 víi x nhƣ ở trên ta đƣợc
3
(**)
2
2 7
3
m

  .
Từ (*) và (**) suy ra 1
2 7
3
m

  .
* Nhƣ vậy bài toán trên đã dẫn đến một tình huống có vấn đề, thông qua đó học
sinh tập dƣợt đƣợc phƣơng pháp phát hiện và giải quyết vấn đề.
Hoạt động 2: Đề xuất và trình bày giải pháp
(?) Từ các ví dụ trên hãy nêu phƣơng pháp giải quyết các bài toán xác định tham số
để hàm số y = f(x)  
2
0
ax bx c
ad
dx e
 
 

(mẫu số chứa tham số) đơn điệu trên một
miền K cho trƣớc.
(!) Phương pháp giải quyết vấn đề
Bước 1: Tìm ĐKXĐ của hàm số y=f(x). Tính f’(x) và điều kiện xác định của nó.
Bước 2: Tuỳ theo yêu cầu bài toán mà ta sẽ đƣa ra điều kiện thích hợp:
Hàm số y=f(x) đồng biến trên miền K

)
e
K
d
K K
  
  
  
 


    
H¯m sè y = f(x) x²c ®Þnh trªn miÒn K
f'(x) 0 x (DÊu b´ng chØ x°y ra t³i h ÷ u h³n ®iÓm x
Hàm số y=f(x) nghịch biến trên miền K

)
e
K
d
K K
  
  
  
 


    
H¯m sè y = f(x) x²c ®Þnh trªn miÒn K
f'(x) 0 x (DÊu b´ng chØ x°y ra t³i h ÷ u h³n ®iÓm x
Bước 3: Giải các điều kiện và kết luận.
Hoạt động 3: Nghiên cứu sâu giải pháp
Ví dụ 3 (Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên R) Cho hàm số:
2 3 2
( 1) 2 ( 2)
m x mx m m
y
x m
    


Tìm m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
(!) Lời giải:
. ĐKXĐ: x m
 

34. 29
2 3 2
2 2
( 1) 2 ( 1) 2 ( )
'
( ) ( )
m x m m x m m g x
y
x m x m
     
 
 
:xác định x m
 
(?)Tìm điều kiện để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó ?
.(!) Hàm số y=f(x) nghịch biến trên các khoảng xác định của nó  ' 0
y  , x m
 
 2 3 2
( ) ( 1) 2 ( 1) 2 0
g x m x m m x m m
        với x m
 
Ta xét 2 trƣờng hợp:
Trƣờng hợp 1: 1
m  
Khi đó ( ) 2 0 1
g x x R m
       không thoả mãn
Trƣờng hợp 2: 1
m  
Khi đó
1 0
( ) 0
' 2( 1) 0
m
g x x m
m





 
   
    
: vô nghiệm.
Vậy không có giá trị m thoả mãn.
Chú ý: Các bài toán dạng này thƣờng dẫn đến việc áp dụng nội dung định lí thuận
về dấu của tam thức bậc hai.
Ta cần nhớ các kết quả sau:
. 2 0
( ) ax 0 ( 0)
' 0
a
f x bx c x R a






       
 
. 2 0
( ) ax 0 ( 0)
' 0
a
f x bx c x R a






       
 
Ví dụ 4 (Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng có chứa vô cực)
Tìm m để hàm số
2
6 2
2
mx x
y
x
 


nghịch biến trên (1; )
 .
(!) Lời giải:
. ĐKXĐ: 2
x
   .
2
2 2
4 14 ( )
'
( 2) ( 2)
mx mx g x
y
x x
 
 
 
: xác định 2
x
   .
(?)Nêu điều kiện để hàm số y=f(x) nghịch biến trên (1; )
 ?
. Hàm số y=f(x) nghịch biến trên (1; )
 ' 0 (1; )
y x
     .
2
( ) 4 14 0 (1; )
g x mx mx x
       
(?)Đến đây ta có thể sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai và cách xét dấu các
nghiệm của một phƣơng trình bậc hai không?
(!)Không, vì g(x) chƣa phải là một tam thức bậc hai nên ta cần
xét các trƣờng hợp sau:
Trƣờng hợp 1: m = 0

35. 30
Khi đó ( ) 14 0 0
g x x R m
      loại.
Trƣờng hợp 2: m > 0
Khi đó đồ thị hàm số y=g(x) là một parabol có bề lõm quay lên trên nên miền
nghiệm (nếu có) của bất phƣơng trình ( ) 0
g x  có độ dài hữu hạn, dó đó không thể
xảy ra ( ) 0 (1; ) 0
g x x m
      không thoả mãn.
Trƣờng hợp 3: m < 0
Khi đó g(x) là một tam thức bậc hai có 2
' 4 14 0
m m
    với 0
m
  .
Phƣơng trình g(x)=0 luôn có 2 nghiệm phân biệt x1<x2.
1 2
( ) 0 ( ; ] [ ; )
g x x x x G
      
Do đó: ( ) 0 (1; )
g x x
   
1 2
(1; ) 1
G x x
     
. Đặt 1 1
t x x t
     .
Ta có: 2 2
( ) ( 1) 4 ( 1) 14 6 5 14 ( )
g x m t m t mt mt m t

          .
. Phƣơng trình g(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn 1 2 1
x x
  .
 Phƣơng trình có 2 nghiệm t1, t2 thoả mãn 1 2 0
t t
  .

2
' 4 14 0
5 14 14
0
5
6
0
m m
m
P m
m
m
S
m









   

    
  
Vậy
14
5
m  
Chú ý: Các bài toán tìm điều kiện để hàm số y=f(x) đơn điệu trên miền I thƣờng
dẫn đến việc so sánh 2 nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai   2
g x ax bx c
   với
số R
  . Điều này cần sử dụng đến nội dung định lí đảo về dấu của tam thức bậc
hai, nhƣng định lí này đã bị cắt bỏ trong chƣơng trình SGK lớp 10 mới (thực hiện từ
năm 2006). Để khắc phục đƣợc điều này ta có thể đƣa về việc xét dấu các nghiệm
của 1 tam thức bậc hai bằng cách đặt -
t x 
 , ví dụ 5 ở trên là một ví dụ minh hoạ.
Tuy nhiên, một số bài toán có thể đƣợc giải bằng phƣơng pháp hàm số. Sau
đây là một số ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 5: Tìm m để hàm số
2
8
( )
8( )
x x
f x
x m



đồng biến trên (1; )
 .
(!) Lời giải:

36. 31
. ĐKXĐ: x m
  
2
2
2 8
'( )
8( )
x mx m
f x
x m
 


: xác định x m
  
. Hàm số y=f(x) đồng biến trên
f(x) 1; )
(1; )
f'(x) 0, x (1; )






 
   
x²c ®Þnh trªn (
2
1( 1)
( ) 2 8 0 x (1; )
m m
g x x mx m





    

      
. Đến đây ta cần tìm các giá trị 1
m   sao cho
2
( ) 2 8 0 x (1; )
g x x mx m
      
Lập bảng biến thiên của g(x) trong (1; )

'( ) 2 2
g x x m
 
'( ) 0 1
g x x m
    
 Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra:
( ) 0 x (1; )
g x    
1
1 6 0
6
m m
    
Vậy
1
1
6
m
   .
Ví dụ 6 (Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng )
Tìm m để hàm số 3 2
1
( ) ( 1) ( 3) 4
3
f x x m x m x
       đồng biến trên (0;3).
(!) Lời giải:
. ĐKXĐ: x R
 
2
'( ) 2( 1) 3
f x x m x m
      : xác định với x R
 
. Hàm số y=f(x) đồng biến trên (0;3)
2
'( ) 2( 1) 3 0 (0;3)
f x x m x m x
         
2
(2 1) 2 3 (0;3)
m x x x x
      
2
2 3
( ) (0;3)
2 1
x x
m g x x
x
 
    

(Vì 2 1 0 (0;3)
x x
    )
 Đƣờng thẳng y = m luôn nằm ở phía trên đồ thị hàm số trong(0;3).

37. 32
Lập bảng biến thiên của g(x) trong
(0;3).
2
2
2 2 8
'( ) 0 (0;3)
(2 1)
x x
g x x
x
 
   

Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên 
12
7
m  .
* Một số bài tập vận dụng:
[1] Với giá trị nào của a hàm số 3
ax
y x
  nghịch biến trên R
[2]Tìm các giá trị của tham số a để hàm số 3 2
1
( ) ax 4 3
3
f x x x
    đồng biến trên
R.
[3] Với các giá trị nào của m, hàm số 2
1
m
y x
x
  

đồng biến trên mỗi khoảng
xác định của nó.
[4] Tìm m để hàm số 3 2
1
(3 2)
3
m
y x mx m x

    đồng biến trên R.
[5] Tìm m để hàm số
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
 


đồng biến trên tập xác định.
[6] Tìm m để hàm số 3 2
1
(3 1) ( 3) 4 3
3
y x m x m x m
       đồng biến trên(1; )
 .
[7] Cho hàm số
2
2 3
1
x x m
y
x
 


. Tìm m để hàm số đồng biến trên (3; )
 .
[8] Cho hàm số 3 2
1
(2 1) 2
3
y x mx m x m
      . Tìm m để hàm số nghịch biến
trên (2;0).
[9] Cho hàm số
2
(3 1) 5 1
x m x m
y
x m
   


.Tìm m để hàm số đồng biến trên (0;1).
[10] Cho hàm số 3 2
1 1
(2 1) (3 2) 5 2
3 2
y x m x m x m
      
a) Tìm m để hàm số nghịch biến trên (0;1).
b) Tìm m để hàm số nghịch biến trong một khoảng có độ dài lớn hơn 1.
2.2.3. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình
Tính đơn điệu của hàm số là một trong những công cụ rất hữu hiệu để giải
các phƣơng trình và bất phƣơng trình. Tuy nhiên đây là phần kiến thức nâng cao đối
với học sinh phổ thông, vì vậy để học sinh phát hiện đƣợc phƣơng pháp giải
phƣơng trình, bất phƣơng trình bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số, trƣớc

38. 33
tiên ta cần giới thiệu cho học sinh biết 2 tính chất cơ bản về tính đơn điệu của hàm
số bằng cách từng bƣớc hƣớng dẫn để họ phát hiện đƣợc 2 tính chất này.
* Tính chất 1: Xét phƣơng trình f(x)=g(x) xác định trên tập D R
 .
(?) Nếu trên tập D, hai hàm số f(x) và g(x) có tính đơn điệu ngƣợc nhau thì các em
có nhận xét gì về số nghiệm (nếu có) của phƣơng trình f(x) = g(x)?
(!) Có thể giả sử f(x) là hàm đồng biến trên D còn g(x) là hàm nghịch biến trên D.
Khi đó đồ thị hàm f(x) là một đƣờng đi lên từ trái sang phải còn đồ thị hàm g(x) là
một đƣờng đi xuống từ trái sang phải, do đó nếu chúng cắt nhau ( tức là phƣơng
trình f(x) = g(x) có nghiệm) thì chỉ cắt nhau tại một điểm duy nhất, tức là phƣơng
trình f(x) = g(x) chỉ có một nghiệm duy nhất.
(?)Từ đó các em hãy nêu tính chất tổng quát?
Tính chất 1: Xét phƣơng trình f(x)=g(x) xác định trên tập D R
 .
Nếu trên tập D, hai hàm số f(x) và g(x) có tính đơn điệu ngƣợc nhau hoặc f(x) là
hàm đơn điệu còn g(x) là hàm hằng mà x=x0 là một nghiệm của phƣơng trình thì
x=x0 sẽ là nghiệm duy nhất của phƣơng trình.
* Tính chất 2: Giả sử hàm số f(x) đơn điệu trên tập D R
 .
(?) Với ,
u v D
 , nếu ( ) ( )
f u f v
 thì các em hãy so sánh u và v?
(!) Nếu f(x) là hàm đồng biến trên D thì theo định nghĩa ta có :
( ) ( )
f u f v u v
  
Nếu f(x) là hàm nghịch biến trên D thì: ( ) ( )
f u f v u v
  
(?) Với ,
u v D
 , nếu ( ) ( )
f u f v
 thì các em hãy so sánh u và v?
(!) Từ hai ý trên ta có: ( ) ( )
f u f v u v
  
(?)Từ đó các em hãy nêu tính chất tổng quát?
Tính chất 2: Giả sử hàm số f(x) đơn điệu trên tập D R
 .
Khi đó với ,
u v D
 ta có:
. ( ) ( )
f u f v u v
  
. ( ) ( )
u v
f u f v
u v





 

nÕu f(x) l¯ h¯m ®ång biÕn trªn D
nÕu f(x) l¯ h¯m nghÞch biÕn trªn D
a) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình
* Để giúp học sinh phát hiện đƣợc phƣơng pháp giải quyết các bài toán về sử
dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phƣơng trình, ta sẽ xuất phát từ một số ví dụ
cụ thể sau đây

39. 34
Hoạt động 1: Gợi vấn đề và phát hiện vấn đề
Ví dụ 1: Giải phƣơng trình: 5 3
3
x x x
   .
(?) Trƣớc khi giải phƣơng trình ta phải làm gì?
(!) TXĐ: D R

(?) Đặt 5 3
( )
f x x x
  , ( ) 3
g x x
 
Các em có nhận xét gì về tính đơn điệu của hai hàm số f(x) và g(x)?
(!) Ta có: 4 2
'( ) 5 3 0
f x x x x D
     Hàm số f(x) đồng biến trên D.
'( ) 1 0
g x x D 
     Hàm số g(x) nghịch biến trên D.
Do đó hai hàm số f(x) và g(x) có tính đơn điệu ngƣợc nhau trên D.
(?) Có thể nhẩm đƣợc một nghiệm của phƣơng trình không? Từ đó suy ra kết luận?
(!) Ta thấy x = 1 là một nghiệm của phƣơng trình (1).
Vậy theo tính chất 1 thì x=1 là nghiệm duy nhất của phƣơng trình đã cho.
* Giáo viên giúp học sinh mô tả, phát hiện các bƣớc giải bài toán trên:
Bƣớc 1: Tìm TXĐ của phƣơng trình: D R
 .
Bƣớc 2: Xét tính đơn điệu của hai hàm số là vế trái và vế phải của phƣơng trình trên
D và chỉ ra rằng chúng có tính đơn điệu ngƣợc nhau trên D:
Hàm số 5 3
( )
f x x x
  đồng biến trên D.
Hàm số ( ) 3
g x x
  nghịch biến trên D.
Bƣớc 3: Nhẩm đƣợc một nghiệm x = 1 của phƣơng trình. Từ đó kết luận x = 1 là
nghiệm duy nhất của phƣơng trình.
Ví dụ 2: Giải phƣơng trình:
2
1 2
2 2 ( 1)
x
x x
x


   (1)
(?) Trƣớc tiên hãy tìm TXĐ của phƣơng trình?
(!) TXĐ: D=R.
(?) Hãy đƣa phƣơng trình về dạng có thể sử dụng đƣợc tính chất 2:
( ) ( )
f u f v
 ?
(!) Phƣơng trình (1) 
2
1 2
2 2 ( ) ( 1)
x x x
x x x
 
    

2
1 2
2 ( 1) 2 ( )
x x x
x x x
 
    
 2
( 1) ( )
f x f x x
   , trong đó ( ) 2 ( )
t
f t t t R
   .
(?) Xét tính đơn điệu của hàm ( ) 2t
f t t
  trên R?
(!) Ta có: '( ) 2 ln2 1 0
t
f t    với t R
  .
Hàm số f(t) đồng biến trên R.
(?) Do đó theo tính chất 2, 2
( 1) ( )
f x f x x
   tƣơng đƣơng với điều gì?

40. 35
(!) 2
( 1) ( )
f x f x x
    2
1
x x x
    2
( 1) 0
x  1
x
 
Vậy phƣơng trình có 1 nghiệm là x=1.
* Giáo viên hƣớng dẫn học sinh mô tả các bƣớc giải bài toán trên:
Bƣớc 1: Tìm TXĐ của phƣơng trình D=R.
Bƣớc 2: Đƣa phƣơng trình đã cho về dạng f(u)=f(v) với ,
u v R
 đồng thời chứng
minh rằng hàm số ( ) 2t
f t t
  đơn điệu trên R.
Bƣớc 3: Từ đó: ( ) ( )
f u f v
  u=v.
Giải u=v để tìm đƣợc nghiệm của phƣơng trình đã cho.
Hoạt động 2: Đề xuất và trình bày giải pháp
(?) Từ các ví dụ và nhận xét ở trên, hãy nêu phƣơng pháp chung để giải các bài toán
về sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phƣơng trình?
(!) Phương pháp giải quyết vấn đề:
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phƣơng trình, ta có thể triển khai
theo 2 hƣớng sau đây:
Hƣớng thứ nhất: Thực hiện theo các bƣớc:
Bước 1: Tìm TXĐ của phƣơng trình, giả sử TXĐ là D.
Chuyển phƣơng trình đã cho về dạng: ( ) ( )
f x g x
 .
Bước 2: Xét tính đơn điệu của hai hàm số f(x) và g(x) trên tập D.
Chứng minh rằng chúng có tính đơn điệu ngƣợc nhau hoặc f(x) là hàm đơn
điệu còn g(x) là hàm hằng trên D.
Bước 3: Nhẩm đƣợc 1 nghiệm x = x0 của phƣơng trình.Từ đó nêu kết luận.
Hƣớng thứ hai: Thực hiện theo các bƣớc:
Bước1: Tìm TXĐ của phƣơng trình.
Bước 2: Đƣa phƣơng trình đã cho về dạng: ( ) ( )
f u f v
 với ,
u v K
 .
Đồng thời chứng minh rằng hàm số f(t) đơn điệu trên tập K.
Bước 3: Từ đó,giải u = v để tìm đƣợc nghiệm của phƣơng trình đã cho.
Hoạt động 3: Nghiên cứu sâu giải pháp
Ví dụ 3: Giải các phƣơng trình sau:
a) 2
2 5 2 1 1 3
x x x x
       (1)
b) 2 2
(2 1)(2 4 4 4) 3 (2 9 3) 0
x x x x x
        (2)

41. 36
a) . TXĐ:
2
2 5 0
2 1 0
1 0
x x
x
x





  
 
 
 1
x  [1; )
D
  
(?)Hàm số y=f(x) có đơn điệu trên D không?
(!) Đặt 2
( ) 2 5 2 1 1
f x x x x x
      
.Ta có :
2
1 1 1
'( ) 0
2 1 2 1
2 5
x
f x
x x
x x

   
 
 
với {1}
x D
 
Hàm số f(x) đồng biến trên D.
. Ta thấy x = 1 là một nghiệm của phƣơng trình.
Vậy phƣơng trình đã cho chỉ có 1 nghiệm duy nhất là x = 1.
b) . TXĐ:
2
2
4 4 4 0
9 3 0
x x
x





    
   
:lu«n ®óng víi x R
:lu«n ®óng víi x R
D R
 
. Biến đổi: (2)  2 2
)
(2 1)(2 4 4 4 3 (2 9 3)
x x x x x
 
     
 2 2
(2 1) ( 3 )
2 (2 1) 3 2 ( 3 ) 3
x x
x x
 
 
 
 
   
  
     
 (2 1) ( 3 )
f x f x
   , trong đó  
2
( ) 2 3
f t t t
   với t R

Ta có:
2
2
2
'( ) 2 3 0
3
t
f t t t R
t
      

Hàm số y = f(t) đồng biến trên R.
. Do đó: (2 1) ( 3 )
f x f x
    2 1 3
x x
   
1
5
x   .
Vậy phƣơng trình đã cho có 1 nghiệm là
1
5
x   .
* Một số bài tập vận dụng:
[1] Giải các phƣơng trình sau:
a) 9 5 2 4
x x
    b) 5 7 16 14
x x x x
      
c) 3
7
2
log (1 ) log
x x
  d) 3
3 2
3log (1 ) 2log
x x x
  
e) 2 2
15 3 2 8
x x x
    
[2] Giải các phƣơng trình sau:
a)
2 2
sin cos
2 2 cos2
x x
x
  b)
2
2
3 2
1
log 3 2
2 2 3
x x
x x
x x
 
  
 
c)
2 2
2 2 2 4 2 2
5 5 2
x mx x mx m
x mx m
    
    (ĐHNT,2000)

42. 37
d) 2 3
log sin 2log tan
x x
 e)
2
1- cos
2
x
x

[3](BT 1.11-tr12-SBT GTNC12) Cho hàm số 2
( ) 2 2
f x x x
 
a) CMR hàm số f đồng biến trên nửa khoảng [2; )
 .
b) CMR phƣơng trình 2
2 2 11
x x  có 1 nghiệm duy nhất.
[4](BT 1.12-tr12-SBT GTNC12) Cho hàm số 2
( ) sin cos
f x x x
  .
a) CMR hàm số đồng biến trên đoạn 0;
3

 
 
 
và nghịch biến trên đoạn ;
3


 
 
 
b) CMR với  
1;1
m
   , phƣơng trình 2
sin cos
x x m
  có 1 nghiệm duy nhất
thuộc đoạn [0; ]
 .
[5] Tìm ;
2 2
x
 
 
 
 
  thoả mãn:
tanx tan
sinx sin 2
y x y
y





  
 
[6](K.B,2004) Xác định m để phƣơng trình sau có nghiệm:
2 2 4 2 2
( 1 1 2) 2 1 1 1
m x x x x x
         
[7](K.D,04) Chứng minh rằng phƣơng trình sau có nghiệm duy nhất:
5 2
2 1 0
x x x
   
[8]Chứng minh rằng 0
a
  hệ có nghiệm duy nhất:
x
e ln(1 ) ln(1 )
y
e x y
y x a





    
 
[9] Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm thực:
4 2
3 1 1 2 1
x m x x
    
[10]Tìm m để phƣơng trình sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt:
4 4
2 2 2 6 2 6
x x x x m
     
b) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình
* Tƣơng tự nhƣ ở trên, trƣớc tiên ta cũng xuất phát từ một số ví dụ cụ thể để
giúp học sinh phát hiện đƣợc phƣơng pháp giải quyết các bài toán về sử dụng tính
đơn điệu của hàm số để giải bất phƣơng trình.
Hoạt động 1: Gợi vấn đề và phát hiện vấn đề
Ví dụ 1: Giải bất phƣơng trình:
2
2
2 2
3 5
log 2
2 2 3
x x
x x
x x
 
  
 
(1)
(?) Trƣớc tiên, hãy tìm tập xác định của bất phƣơng trình.
(!) TXĐ:
2
2
3 5
0
2 2 3
x x
x x
 

 
luôn đúng x R D R
    .

43. 38
(?) Hãy biến đổi bất phƣơng trình (1) về dạng áp dụng đƣợc nội dung tính chất 2:
( ) ( )
f u f v
 , trong đó f(t) là hàm đơn điệu trên R.
(!) Ta có: phƣơng trình (1)
 2 2 2 2
2 2
log ( 3 5) log (2 2 3) (2 2 3) ( 3 5)
x x x x x x x x
          
 2 2 2 2
2 2
log ( 3 5) ( 3 5) log (2 2 3) (2 2 3)
x x x x x x x x
          
 2 2
( 3 5) (2 2 3)
f x x f x x
     ,trong đó 2
( ) log
f t t t
  với (0; )
t  .
(?) Hãy xét tính đơn điệu của hàm số y=f(t) trên (0; )
 ?
(!) Ta có:
1
'( ) 1 0 (0; )
ln2
f t t
t
      Hàm số đồng biến trên (0; )
 .
(?) Từ đó áp dụng tính chất 2 ta có điều gì?
(!) 2 2
( 3 5) (2 2 3)
f x x f x x
    
2 2
3 5 2 2 3
x x x x
      (do 2
3 5 0 x
x x
    và 2
2 2 3 0 x
x x
    )
 2
2 0
x x
    1 2
x x
   
Vậy 1 2
x x
    .
Hoạt động 2: Đề xuất và trình bày giải pháp
(?) Từ ví dụ trên, hãy nêu phƣơng pháp chung để giải các bài toán về sử dụng tính
đơn điệu của hàm số để giải bất phƣơng trình?
(!) Phương pháp giải quyết vấn đề:
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phƣơng trình, ta có thể làm nhƣ
sau:
Bước 1: Tìm TXĐ của bất phƣơng trình.
Bước 2: Đƣa bất phƣơng trình đã cho về dạng: ( ) ( )
f u f v
 với ,
u v K

Đồng thời CMR hàm số f(t) đơn điệu trên tập K.
Bước 3: Từ đó suy ra rằng:
( ) ( )
u v
f u f v
u v





 

nÕu f(t) l¯ h¯m ®ång biÕn trªn K
nÕu f(t) l¯ h¯m nghÞch biÕn trªn K
Giải u v
 (hoặcu v
 ) để tìm đƣợc nghiệm của bất phƣơng trình đã cho.
Hoạt động 3: Nghiên cứu sâu giải pháp
Ví dụ 2: Giải bất phƣơng trình: 5 4
log (3 ) log
x x
  (1)
. ĐKXĐ: 0
x 
(?) Đƣa bất phƣơng trình đã cho về dạng: ( ) ( )
f u f v
 ?
(!) Đặt 4
log 4t
t x x
  

44. 39
Khi đó bất phƣơng trình trở thành:
5
log (3 2 )
t
t
  3 2 5
t t
  
3 2
1
5 5
t
t
 
 
 
  
( ) (1)
f t f
  , trong đó
3 2
( )
5 5
t
t
f t
 
 
 
  với t R
 .
(?) Xét tính đơn điệu của hàm số f(t) trên R
(!) Ta thấy
1 2
( ) 3
5 5
t t
f t
   
   
   
  là hàm nghịch biến trên R.
. Do đó: ( ) (1)
f t f
 1
t
 
1
t  4
log 1
x
  0 4
x
  
Vậy nghiệm của bất phƣơng trình là 0 4
x
  .
Ví dụ 3 (ĐHBKHN,00) Tìm m để bất phƣơng trình sau có nghiệm:
 
3
3 2
3 1 1
x x m x x
     (1)
. ĐKXĐ: 1
x 
Với điều kiện đó, nhân cả hai vế của (1) với  
3
1 0
x x
   ta đƣợc:
(1)       
3 3 3
3 2
3 1 1 1 1
x x x x m x x x x
         
  
3
3 2
( ) 3 1 1
f x x x x x m
      
. Bất phƣơng trình (1) có nghiệm  ( )
m Minf x

[1; )

Đặt  
3
3 2
( ) 3 1, ( ) 1 ( ) ( ). ( )
g x x x h x x x f x g x h x
       
Ta có: 2
'( ) 3 6 0
g x x x
   [1; )
x
    g(x) đồng biến trên [1; )
 .
 
2 1 1
'( ) 3 1 . 0
2 2 1
h x x x
x x
 
 
 
    

[1; )
x
  
 h(x) đồng biến trên [1; )

Mặt khác: 3 2
( ) 3 1 0 [1; )
g x x x x
      
 
3
>0
( ) 1 [1; )
h x x x x
     
Do vậy hàm số ( ) ( ). ( )
f x g x h x
 đồng biến trên [1; )

( ) (1) [1; )
f x f x
     ( ) (1) 3
Minf x f
  
[1; )

Vậy (1) có một nghiệm ( ) 3
m Minf x m
    .
[1; )


45. 40
* Một số bài tập vận dụng
[1] Giải các bất phƣơng trình sau:
a) 3
1 5 7 4
x x
    b) 7 3
log log (2 )
x x
 
c)
2
3 3 2
4 2
0
x
x
x

 

 d)  
2
3 1
2
3
1
log 3 2 2 2
5
x x
x x
 
 
 
 
    
[2] Giải các bất phƣơng trình
a) 2 2
1 2 4 3 1 6
x x x x
      b) 3
( 5) 3 8 4
x x x x
   
[3] (ĐHQGHN,99) Tìm m để bất phƣơng trình sau có nghiệm:
2 2 2
sin os sin
2 3 .3
x c x x
m
 
[4] Tìm số m lớn nhất để bất phƣơng trình sau nghiệm đúng với x R
 
 
sinx cos 1 sin2 sin cos 2
m x x x x
     
2.2.4. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức
* Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức quan trọng trong chƣơng
trình môn toán THPT, nó xuất hiện trong rất nhiều phân môn nhƣ: số học, đại số,
hình học, giải tích... Do vậy, bài tập về bất đẳng thức rất phong phú và đa dạng về
cả nội dung và phƣơng pháp giải quyết vấn đề. Để chứng minh một bất đẳng thức ta
có thể xuất phát từ nhiều kiến thức khác nhau và đƣợc giải bằng nhiều phƣơng pháp
khác nhau, một trong những phƣơng pháp tiện dụng và rất có hiệu quả là phƣơng
pháp sử dụng đạo hàm nói chung và phƣơng pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số
nói riêng.
Để giúp học sinh phát hiện đƣợc phƣơng pháp giải quyết các bài toán về sử
dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, ta có thể khai thác các
hoạt động từ một số ví dụ cụ thể sau đây.
Hoạt động 1: Gợi vấn đề và phát hiện vấn đề
Ví dụ 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau: x
y
y
x  với e x y
 
a) (?) Hãy nhắc lại nội dung tính chất 2 về tính đơn điệu của hàm số?
(!) Cho hàm số f(x) đơn điệu trên tập D R

Khi đó với ,
u v D
 ta có:
( ) ( )
u v
f u f v
u v





 

nÕu f(x) l¯ h¯m ®ång biÕn trªn D
nÕu f(x) l¯ h¯m nghÞch biÕn trªn D
(?) Hãy đƣa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng có thể áp dụng đƣợc tính chất 2:
( ) ( )
f u f v
 (tức là mỗi vế của bất phƣơng trình là một hàm số của biến u và v)?

46. 41
(!) Ta có: x
y
y
x  x
ln ln y
y
x
  (vì 2 vế đều dƣơng)
ln ln y
y x x
 
ln ln y
x
x y
  (do 0
y x e
   )
( ) ( )
f x f y
  , trong đó
ln
( )
t
f t
t
 với ( ; )
t e
 
(?) Bây giờ ta xét tính đơn điệu của hàm số f(t) trên ( ; )
e  ?
(!) Ta có: 2
1 ln
'( )
t
f t
t

 xác định với ( ; )
t e
  
Do t e
 ln 1 '( ) 0 ( ; )
t f t t e
      
Hàm số f(t) nghịch biến trên( ; )
e 
(?) Từ đó hãy chứng minh rằng: ( ) ( )
f x f y
 với e x y
  và suy ra kết luận của
bài toán?
(!) Theo giả thuyết e x y
  , ( ; )
x y e
   và x y

Mà hàm số f(t) nghịch biến trên ( ; )
e  ( ) ( )
f x f y
 
Vậy x
y
y
x  với e x y
  (đpcm).
* Giáo viên giúp học sinh mô tả, phát hiện các bƣớc giải bài toán trên:
Bƣớc 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:
( ) ( )
f x f y
 với , ( ; )
x y e
 
Bƣớc 2: Xét tính đơn điệu của hàm số f(t) trên ( ; )
e  .
Ta đã chứng minh đƣợc f(t) nghịch biến trên ( ; )
e  .
Bƣớc 3: Từ giả thiết chỉ ra rằng x<y và , ( ; )
x y e
 
Do đó ( ) ( )
f x f y
  đpcm
Hoạt động 2: Đề xuất và trình bày giải pháp
(?) Từ ví dụ và nhận xét trên, hãy nêu phƣơng pháp giải quyết các bài toán sử dụng
tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức?
(!) Phương pháp giải quyết vấn đề
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, ta thực hiện
theo các bƣớc sau:
Bước 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:
f(u)>f(v) với ,
u v K
 .
Bước 2: Xét tính đơn điệu của hàm số f(t) trên K.
Chứng minh hàm f(t) đồng biến hoặc nghịch biến trên K.
Bước 3: Từ giả thiết chỉ ra rằng :
u>v nếu f(t) là hàm đồng biến trên K,