Phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh trong dạy học chủ đề Quan hệ vuông góc trong không gian 6832205.pdf

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
PHẠM THU HÀ
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIAO TIẾP TOÁN HỌC
CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ
“QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN” (LỚP 11)
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
HÀ NỘI – 2015

2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
PHẠM THU HÀ
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIAO TIẾP TOÁN HỌC
CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ
“QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN” (LỚP 11)
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN HỌC)
Mã số: 60 14 01 11
Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. BÙI VĂN NGHỊ
HÀ NỘI – 2015

3. i
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên trong luận văn, tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô
giáo Trƣờng Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình giảng
dạy và hết lòng giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài.
Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS.
Bùi Văn Nghị trong suốt thời gian qua đã tận tình hƣớng dẫn tác giả nghiên cứu
hoàn thiện luận văn đúng thời hạn.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám Hiệu, các thầy
giáo, cô giáo và các em học sinh trƣờng Trung học phổ thông An Lão (Hải
Phòng) đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành bản luận văn.
Lời cảm ơn chân thành của tác giả cũng xin đƣợc dành cho gia đình,
ngƣời thân và các bạn học viên lớp Lý luận và Phƣơng pháp dạy học môn Toán
K9 - Trƣờng Đại học Giáo dục trong suốt thời gian qua đã cổ vũ, động viên và
đóng góp ý kiến.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn vẫn không tránh khỏi những
thiếu sót, tác giả mong đƣợc tiếp thu những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô
và các đồng nghiệp.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, tháng 10 năm 2015
Tác giả
Phạm Thu Hà

4. ii
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT
THPT : Trung học phổ thông
TNSP : Thực nghiệm sƣ phạm
Lớp TN : Lớp thực nghiệm
Lớp ĐC : Lớp đối chứng

5. iii
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN................................................................................................... i
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT ......................................................................ii
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ..................................... 5
1.1. Cơ sở lý luận .............................................................................................. 5
1.1.1. Năng lực và năng lực Toán học .............................................................. 5
1.1.2. Giao tiếp toán học ................................................................................... 9
1.1.3. Dạy học phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh ............... 17
1.2. Cơ sở thực tiễn ......................................................................................... 19
1.2.1. Vị trí và vai trò của chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian”
ở trƣờng THPT................................................................................................ 19
1.2.2. Thực trạng của việc dạy và học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong
không gian” ở trƣờng THPT hiện nay ............................................................ 20
CHƯƠNG 2: THIẾT KẾ MỘT SỐ TÌNH HUỐNG DẠY HỌC
“QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN” THEO HƯỚNG
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIAO TIẾP TOÁN HỌC ............................ 26
2.1. Dạy học khái niệm ................................................................................... 26
2.1.1. Một số vấn đề về dạy học khái niệm..................................................... 26
2.1.2. Thiết kế một số tình huống dạy học khái niệm theo hƣớng phát triển
năng lực giao tiếp toán học cho học sinh........................................................ 28
2.2. Dạy học định lý ........................................................................................ 42
2.2.1. Một số vấn đề về dạy học định lý ......................................................... 42
2.2.2. Thiết kế một số tình huống dạy học định lí theo hƣớng phát triển
năng lực giao tiếp toán học cho học sinh........................................................ 43
2.3. Dạy học quy tắc, thuật toán...................................................................... 47

6. iv
2.3.1. Một số vấn đề về dạy học quy tắc, thuật toán....................................... 47
2.3.2.Thiết kế tình huống dạy học quy tắc, thuật toán và các quy tắc tựa
thuật toán theo hƣớng phát triển năng lực giao tiếp toán học......................... 49
2.4. Dạy học giải toán ..................................................................................... 51
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................... 62
3.1. Mục đích, nhiệm vụ, đối tƣợng thực nghiệm sƣ phạm............................ 62
3.1.1 Mục đích................................................................................................. 62
3.1.2. Nhiệm vụ............................................................................................... 62
3.1.3. Đối tƣợng thực nghiệm sƣ phạm........................................................... 62
3.2. Giả thuyết thực nghiệm sƣ phạm và tiêu chí đánh giá kết quả thực
nghiệm sƣ phạm .............................................................................................. 63
3.3. Giáo án thực nghiệm sƣ phạm ................................................................. 63
3.3.1. Giáo án 1: Đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng.............................. 63
3.2.1. Giáo án 2: Khoảng cách....................................................................... 66
3.4. Tiểu kết chƣơng 3..................................................................................... 79
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ............................................................... 81
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 83
PHỤ LỤC....................................................................................................... 85

7. 1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Sự phát triển mạnh mẽ của xã hội và đất nƣớc đang đòi hỏi cấp bách
phải nâng cao chất lƣợng của giáo dục và đào tạo. Mục tiêu của giáo dục nƣớc
ta đã đặt ra trong luật giáo dục: “Mục tiêu giáo dục là đào tạo con ngƣời Việt
Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề
nghiệp, trung thành với lý tƣởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình
thành và bồi dƣỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng
yêu cầu của sự nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc” (Luật giáo dục Việt
Nam, năm 2005, chƣơng 1, điều 2). Để đạt mục tiêu giáo dục nhƣ trên, cùng
với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mới căn bản về phƣơng
pháp giáo dục.
Trong những năm gần đây, phong trào đổi mới phƣơng pháp dạy học đã
đƣợc đề cập nhiều hơn, đƣợc quan tâm nhiều hơn trong xã hội và trong ngành
giáo dục. Các lý thuyết về phƣơng pháp dạy học tích cực đã đƣợc nhiều
chuyên gia, các nhà giáo dục nghiên cứu vận dụng vào thực tiễn dạy học ở
trƣờng phổ thông. Tuy nhiên, việc áp dụng những phƣơng pháp tích cực đó
vào từng môn học, vào từng giờ giảng của giáo viên đặc biệt ở cấp Trung học
phổ thông vẫn còn những hạn chế; vẫn còn tình trạng giáo viên thuyết trình,
thầy đọc, trò chép là chủ yếu.
Định hƣớng xây dựng chƣơng trình và sách giáo khoa phổ thông sau
2015 của Bộ Giáo dục và Đào tạo là phát triển năng lực ngƣời học; việcdạy
học phải hƣớng tới và chú trọng phát triển năng lực cho học sinh.
Trong dạy học môn Toán, một trong những năng lực của học sinh đƣợc
nhiều nƣớc quan tâm là năng lực giao tiếp toán học (Mathematical
Communication). Theo Hội đồng Quốc gia Giáo viên Toán Hoa Kỳ (National
Council Teachers Mathmatics, 2000): Năng lực này thể hiện ở khả năng “trao
đổi suy nghĩ toán học rõ ràng và chính xác, phân tích và đánh giá những suy

8. 2
nghĩ và lời giải của các học sinh khác và sử dụng ngôn ngữ toán học để diễn
đạt những ý tƣởng toán học một cách chính xác”. [16]
Hình học không gian là môn học thuộc loại khó đối với học sinh. Bởi lẽ
việc nghiên cứu Hình học không gian chủ yếu dựa trên trí tƣởng tƣợng không
gian và hình biểu diễn các hình không gian trên mặt phẳng. Những khó khăn
nảy sinh trong quá trình học tập môn học này cần đƣợc học sinh bộc lộ, trao
đổi, giao tiếp. Vấn đề đặt ra: Làm thế nào để phát triển đƣợc năng lực giao
tiếp toán học cho học sinh?
Thực tiễn dạy học môn Toán ở trƣờng Trung học phổ thông hiện nay cho
thấy chƣa có sự quan tâm đúng mực đến việc phát triển năng lực giao tiếp
toán học cho học sinh. Hiện nay, ở nƣớc ta còn ít công trình nghiên cứu về
phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh.
Chính vì những lý do trên, đề tài đƣợc chọn là: Phát triển năng lực giao
tiếp toán học cho học sinh trong dạy học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong
không gian”(Lớp 11).
2. Lịch sử nghiên cứu
Đã có một số bài báo, luận văn nghiên cứu về vấn đề này, nhƣ:
- “Giáo dục toán học hƣớng vào năng lực ngƣời học”, Tạp chí khoa học
trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội, Tập 59- số 2A, tr. 3- 6, tác giả GS.TS. Bùi
Văn Nghị (2014)
- “Phát huy năng lực giao tiếp toán học của học sinh trong môi trƣờng
khảo sát Toán”, Tạp chí khoa học trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội, Tập 59-
số 2A, tr. 157- 167, tác giả Nguyễn Thị Duyến (2014).
- “Sử dụng nghiên cứu bài học để phát triển năng lực giao tiếp toán học
cho học sinh trung học cơ sở”, luận án Tiến sĩ ĐHSP TPHCM, tác giả Hoa
Ánh Tƣờng (2014).
Tài liệu nghiên cứu về giao tiếp toán học còn hạn chế. Một số bài báo,
luận văn trên đã nghiên cứu về dạy học phát triển năng lực giao tiếp toán học
cho học sinh, tuy nhiên chƣa có đề tài nào nghiên cứu về phát triển năng lực

9. 3
giao tiếp toán học cho học sinh trong dạy học chủ đề “Quan hệ vuông góc
trong không gian”.
3. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất đƣợc một số tình huống dạy học chủ đề “Quan hệ vuông góc
trong không gian” theo hƣớng phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học
sinh.
4. Đối tư ng nghiên cứu phạ vi nghiên cứu
4.1. i t ng nghi n c u: Là quá trình giao tiếp toán học trong dạy
học môn Toán ở trƣờng THPT.
4.2. Phạm vi nghi n c u: Giới hạn trong dạy học chủ đề “Quan hệ
vuông góc trong không gian”.
5. Câu hỏi nghiên cứu
Dạy học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” theo hƣớng
phát triển năng lực giao tiếp toán học có khả thi và hiệu quả hay không?
6. Giả thu t ho học
Nếu vận dụng những biện pháp và những tình huống đã đề xuất trong
luận văn về dạy học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” thì sẽ phát
triển đƣợc năng lực giao tiếp toán học cho học sinh, từ đó nâng cao đƣợc hiệu
quả dạy học môn Toán.
7. Nhiệ vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực giao tiếp toán học.
- Tìm hiểu thực trạng dạy và học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong
không gian”, năng lực giao tiếp toán học của học sinh THPT.
- Thiết kế một số tình huống dạy học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong
không gian” theo hƣớngphát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh.
- Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm.

10. 4
8. Phư ng ph p nghiên cứu
8.1. Ph ơng pháp nghi n c u l lu n: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu
trong và ngoài nƣớc về năng lực giao tiếp toán học của học sinh.
8.2. Ph ơng pháp điều tra – quan sát: Sử dụng phiếu điều tra, kết quả
quan sát giờ dạy tại một số trƣờng THPT để phân tích thực trạng...
8.3. Ph ơng pháp thực nghiệm s phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm tại
một số trƣờng THPT để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
9. Luận cứ
9.1. Lu n c l thuyết
- Cơ sở lý luận về năng lực giao tiếp toán học .
9.2. Lu n c thực tế
- Kết quả điều tra thông qua phiếu hỏi dành cho giáo viên và học sinh
THPT khi dạy và học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian”.
- Kết quả thực nghiệm sƣ phạm.
10. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm ba chƣơng:
Chƣơng 1:Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chƣơng 2: Thiết kế một số tình huống dạy học phát triển năng lực giao
tiếp toán họccho học sinh
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm

11. 5
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. C sở lý luận
1.1.1. Năng lực và năng lực Toán học
1.1.1.1. Năng lực
Theo từ điển Tiếng Việt: Năng lực là điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên
s n có để thực hiện một hoạt động nào đó; là phẩm chất tâm lý và sinh lý tạo
cho con ngƣời khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lƣợng
cao.[10]
Theo Xavier Roegiers(1996): “Năng lực là sự tích hợp các kỹ năng tác
động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loạt tình huống cho trƣớc
để giải quyết những vấn đề do tình huống này đặt ra”. Năng lực đƣợc
hiểu nhƣ một hệ thống khả năng, sự thành thạo hay kỹ năng chuyên biệt cần
thiết hay đủ để đạt tới một mục đích nhất định. [15]
Trong [8], tác giả cho rằng: “Năng lực là những đặc điểm tâm lý cá nhân
của con ngƣời đáp ứng đƣợc yêu cầu của một loạt hoạt động nhất định và là
điều kiện cần thiết để hoàn thành có kết quả tốt đ p loại hoạt động đó”. Năng
lựcbao gồm sự vận dụng tổng hợp các tri thức, kĩ năng và hành vi ứng xử
trong thực hành.
Từ những quan niệm trên, chúng ta có thể định nghĩa năng lực nhƣ sau:
Năng lực là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của cá nhân, phù hợp với yêu cầu
của một hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động đó có hiệu quả.
Nhƣ vậy, năng lực chỉ tồn tại trong hoạt động. Khi con ngƣời chƣa hoạt
động thì năng lực vẫn còn tiềm ẩn. Năng lực chỉ có tính hiện thực khi cá nhân
hoạt động và phát triển trong chính hoạt động ấy. Tuy nhiên, năng lực con
ngƣời không phải là sinh ra đã có, nó không có s n mà nó đƣợc hình thành và
phát triển trong quá trình hoạt động và giao tiếp.
Năng lực và tri thức, kĩ năng, kĩ xảo không đồng nhất với nhaumà có
quan hệ biện chứng với nhau. Tri thức, kĩ năng, kĩ xảo trong một lĩnh vực nào

12. 6
đó là điều kiện cần thiết để có năng lực trong lĩnh vực ấy. Ngƣợc lại, năng lực
góp phần làm cho việc tiếp thu tri thức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo đƣợc dễ
dàng và nhanh chóng hơn.
Năng lực mỗi ngƣời dựa trên cơ sở tƣ chất nhƣng mặt khác điều chủ
yếu là năng lực đƣợc hình thành, rèn luyện và phát triển trong những hoạt
động tích cực của con ngƣời dƣới sự tác động của rèn luyện dạy học và giáo
dục. Vì thế, muốn hình thành và phát triển năng lực ở ngƣời học, phải tổ chức
cho ngƣời học có điều kiệntiếp xúc với tri thức, với thế giới đối tƣợng để có
thể biến những năng lực của loài ngƣời thành năng lực của chính mình.
Dựa vào các tiêu chí khác nhau, năng lực có thể phân chia thành nhiều
loại. Dựa trên mức độ chuyên biệt của năng lực, có thể chia năng lực thành
hai loại cơ bản là: năng lực chung và năng lực riêng biệt.
- Năng lực chung: là những năng lực cần cho nhiều hoạt động khác nhau,
chẳng hạn những thuộc tính về thể lực, về trí tuệ (quan sát, trí nhớ, tƣ duy,
tƣởng tƣợng, ngôn ngữ...). Đó là điều kiện cần thiết để giúp cho nhiều lĩnh
vực hoạt động có hiệu quả.
- Năng lực ri ng biệt: là những năng lực thể hiện độc đáo các phẩm chất
riêng biệt, có tính chuyên môn, nhằm đáp ứng yêu cầu của một lĩnh vực, hoạt
động chuyên biệt với kết quả cao nhƣ năng lực toán học, văn học, hội họa, âm
nhạc, thể thao... Hai loại năng lực chung và riêng luôn bổ sung, hỗ trợ cho
nhau.
1.1.1.2. Dự thảo ch ơng trình giáo dục phổ thông tổng thể
Tháng 8 năm 2015, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã công bố Dự thảo chƣơng
trình giáo dục phổ thông tổng thể. Chƣơng trình tổng thể là phƣơng hƣớng và
kế hoạch khái quát của toàn bộ chƣơng trình giáo dục phổ thông, trong đó quy
định những vấn đề chung của giáo dục phổ thông. [1]
Theo Dự thảo này, Chƣơng trình giáo dục phổ thông nhằm hình thành và
phát triển cho học sinh những năng lực chung chủ yếu sau:
- Năng lực tự học;

13. 7
- Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo;
- Năng lực thẩm mỹ;
- Năng lực thể chất;
- Năng lực giao tiếp;
- Năng lực hợp tác;
- Năng lực tính toán;
- Năng lực công nghệ thông tin và truyền thông (ICT).
Việc đánh giá mức độ đạt đƣợc các yêu cầu về phẩm chất chủ yếu và năng
lực chung của học sinh từng cấp học đƣợc thực hiện thông qua nhận xét các
biểu hiện chủ yếu của các thành tố trong từng phẩm chất và năng lực (nêu tại
các phụ lục 1, 2 kèm theo chƣơng trình tổng thể). Từng cấp học, lớp học đều có
những yêu cầu riêng, cao hơn và bao gồm cả những yêu cầu đối với các cấp
học, lớp học trƣớc đó về từng thành tố của các phẩm chất, năng lực.
Mỗi môn học đều đóng góp vào việc hình thành và phát triển các phẩm
chất chủ yếu và năng lực chung (trình bày tại phụ lục 3 kèm theo chƣơng trình
tổng thể). Các năng lực đặc thù môn học thể hiện vai trò ƣu thế của môn học
đƣợc nêu ở các chƣơng trình môn học.
1.1.1.3.Năng lực Toán học
a) Khái niệm
Năng lực toán học là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức
toán trong cuộc sống, khả năng vận dụng tƣ duy toán học để giải quyết thực
tiễn, khả năng phân tích, suy luận…
Năng lực toán học là khả năng (capacity) cá nhân để hình thành
(formulate), v n dụng (employ) và diễn giải (interpret) toán học trong những
ngữ cảnh khác nhau. Các khả năng này bao gồm lập luận một cách toán học
và vận dụng các khái niệm, thủ tục, sự kiện và công cụ toán học để mô tả, giải
thích và dự đoán các hiện tƣợng. Các khả năng này hỗ trợ cá nhân trong việc
nhận diện vai trò của toán học trong cuộc sống và trong việc đƣa ra các đánh

14. 8
giá có cơ sở, các quyết định cần thiết cho một công dân với các đặc tính xây
dựng, dấn thân và suy nghĩ phê phán. [12]
b) Các thành phần của năng lực toán học
* Theo Konmogorov (dẫn theo[3]), các thành phần của năng lực Toán
học bao gồm:
- Năng lực biến đổi khéo léo các biểu thức chữ phức tạp; năng lực tìm
đƣợc các con đƣờng giải các bài toán, nhất là các bài toán không có quy tắc
chuẩn; năng lực tính toán.
- Trí tƣởng tƣợng hình học.
- Suy luận logic theo các bƣớc đã đƣợc phân chia một cách đúng đắn kế
tiếp nhau; có kĩ năng quy nạp, khái quát vấn đề.
* Theo A.V.Cruchetxki (dẫn theo [8]), cấu trúc của năng lực toán học
bao gồm:
- Thu nhận thông tin: Tri giác hóa tài liệu toán; nắm bắt cấu trúc của
bài toán.
- Chế biến thông tin:
+ Năng lực tƣ duy logic trong phạm vi quan hệ số lƣợng, quan hệ
không gian, tƣ duy với các kí hiệu toán học.
+ Năng lực khái quát hóa các đối tƣợng , các quan hệ, các cấu trúc;
năng lực rút ngắn quá trình suy luận và tính toán.
+ Tính mềm dẻo của quá trình tƣ duy trong hoạt động Toán.
+ Khuynh hƣớng rõ ràng, giản đơn, tiết kiệm và hợp lí lời giải.
+ Năng lực thay đổi nhanh chóng và dễ dàng suy nghĩ theo dạng tƣơng
tự, dạng tƣ duy thuận chuyển sang nghịch; xem xét cách giải bài toán theo
nhiều khía cạnh khác nhau; năng lực phân chia trƣờng hợp.
- Lƣu trữ thông tin: Ghi nhớ các khái quát; các chứng minh; các
nguyên tắc giải.
Năng lực toán học gắn liền với hoạt động trí tuệ của học sinh, qua đó
giúp học sinh có thể nắm vững và vận dụng tốt những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo

15. 9
trong học tập môn toán ở trƣờng phổ thông. Ngoài ra, năng lực toán học còn
đƣợc thể hiện và phát triển thông qua các hoạt động của học sinh khi giải
quyết những nhiệm vụ nhận thức do giáo viên đề ra. Vì thế trong giờ học
toán, học sinh phải đƣợc bày tỏ những suy nghĩ, ý tƣởng toán học của mình,
biết sử dụng ngôn ngữ toán học để diễn đạt ý tƣởng chính xác và đƣợc thảo
luận, trao đổi ý kiến với giáo viên và các học sinh khác.
1.1.2. Giao tiếp toán học
1.1.2.1.Khái niệm giao tiếp toán học
Giao tiếp là hoạt động chuyển đổi thông tin giữa cá nhân này với cá nhân
khác bằng cách dùng lời nói, cử chỉ, điệu bộ… Giao tiếp là phƣơng thức để cá
nhân chia sẻ với cộng đồng những suy nghĩ, quan điểm, thái độ cũng nhƣ hiểu
biết của mình về những vấn đề mà họ quan tâm. Thông qua quá trình tƣơng
tác với cộng đồng, cá nhân ngày càng phát triển hiểu biết về thế giới xung
quanh mình.
Giao tiếp có thể có nhiều hình thức. Giao tiếp diễn ra khi học sinh đƣợc
phép có tiếng nói trong lớp học, làm cho học sinh nói trở thành một phần
quan trọng trong bài học của giáo viên. Điều này có thể xảy ra thông qua
tƣơng tác với giáo viên, thông qua làm việc theo nhóm nhỏ, hoặc đứng trƣớc
lớp để trình bày nhằm làm rõ một ý tƣởng đƣợc tìm thấy. Giáo viên có thể cho
học sinh thảo luận nhằm khuyến khích các em nói lên ý tƣởng của mình và
dành thời gian để các em thảo luận với ngƣời xung quanh; điều này đặc biệt
có lợi cho những học sinh kém tự tin khi chia sẻ trƣớc cả lớp. Nhƣ vậy, giao
tiếp trong lớp học toán là sự tƣơng tác giữa học sinh với học sinh, giữa học
sinh với giáo viên, thông qua hoạt động giao tiếp bằng lời nói, sử dụng ngôn
ngữ hàng ngày.
Theo [3]:Giao tiếp trong các lớp học toán là quá trình tích hợp các
phƣơng tiện biểu đạt của hoạt động giao tiếp thông thƣờng nhƣ nghe, nói,
đọc, viết và những phƣơng thức hoạt động mà học sinh tiến hành để khám phá
và kiến tạo sự hiểu biết về toán cho riêng mình nhƣ giải quyết vấn đề, suy

16. 10
luậnvà kết nối. Giao tiếp toán học là quá trình tƣơng tác diễn ra trong các lớp
học toán mà ở đó học sinh trao đổi, thảo luận và tranh luận với bạn học hoặc
với giáo viên về các ý tƣởng toán học ở các mức độ nhận thức khác nhau
nhằm chia sẻ hiểu biết về toán của mình với những ngƣời xung quanh để phát
triển hiểu biết hoàn chỉnh hơn về kiến thức và kĩ năng toán cần học. Với quan
điểm này thì giao tiếp toán học của học sinh là hoạt động giao tiếp đặc thù
diễn ra trong quá trình học toán, biểu hiện sự kết nối giữa các hình thức giao
tiếp với phƣơng tiện biểu đạt mà học sinh thể hiện và phƣơng thức giao tiếp
trong quá trình khám phá toán.
Hội đồng Quốc gia Giáo viên Toán Hoa Kỳ (National Council Teachers
Mathmatics - NCTM) [17] cho rằng chuẩn giao tiếp toán học dành cho học
sinh Trung học phổ thông là có khả năng trao đổi suy nghĩ toán học rõ ràng
và chính xác, có khả năng phân tích và đánh giá những suy nghĩ và lời giải
của các học sinh khác và sử dụng ngôn ngữ toán học để diễn đạt những
t ởng toán học một cách chính xác.
Giao tiếp
toán học
Hoạt động giao
tiếp
Khám phá toán
Hình thức
giao tiếp
Phƣơng tiện
biểu đạt
Phƣơng thức
giao tiếp
Hình 1.1. Mô hình giao tiếp toán học

17. 11
Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày về giao tiếp toán học dành
cho học sinh Trung học phổ thông theo quan niệm trên của Hội đồng Quốc
gia Giáo viên Toán Hoa Kỳ vừa trình bày ở trên.
1.1.2.2.Các yếu t trong giao tiếp toán học của học sinh
Từ quan niệm trên, có thể thấy bayếu tố trong giao tiếp toán học của
học sinh là:
- Trao đổi suy nghĩ toán học rõ ràng, chính xác.
- Phân tích, đánh giá suy nghĩ lời giải của bạn.
- Sử dụng ngôn ngữ toán học (lời nói, hình vẽ, kí hiệu) để diễn đạt ý
tƣởng toán học một cách chính xác.
Ba yếu tố trên không tách rời mà có quan hệ mật thiết: khi ngƣời này
trao đổi về một nội dung toán học nào đấy thì những ngƣời khác sẽ có trách
nhiệm lắng nghe và phân tích, đánh giá; cả ngƣời nói và ngƣời nghe đều phải
sử dụng ngôn ngữ toán học (nói, viết, vẽ).
Ví dụ 1.1: Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’, điểm M di động
trên đoạn AB, điểm N thuộc đoạn ED’ với E là trung điểm của A’D’. Xác
định vị trí MN để đoạn MN ngắn nhất.
Khi quan sát tình huống này, chúng tôi đã ghi lại đƣợc một cuộc giao
tiếp toán học giữa các học sinh nhƣ sau:
(Hình 1.2)
E
A'
B'
C'
C
D
A B
D'
N
M

18. 12
Học sinh A: MN ngắn nhất khi MN là đƣờng vuông góc chung của AB
và ED’.
Học sinh B: Đƣờng vuông góc chung của AB và ED’ là đoạn nào?
Học sinh A: là AA’.
Học sinh C: Nhƣng N chỉ di động trên ED’ cơ mà?
Học sinh A: ....(lúng túng)
Học sinh C: kết luận không có vị trí thỏa mãn để MN ngắn nhất.
Học sinh D: Các đoạn MN có độ dài bị giới hạn thì phải có giá trị nhỏ
nhất chứ?
Học sinh A: thế thì MN ngắn nhất khi M trùng A và N trùng E.
Học sinh B: tại sao?
.... (Tất cả các học sinh cùng suy ngẫm xem AE có là đoạn ngắn nhất của
MN hay không? Vì sao?)
Cuối cùng cũng có một học sinh lập luận và chứng minh đƣợc AE là
ngắn nhất, nhƣ sau:
Ta có: ( )
Do đó: (1)
Lại có: (2)
(Đƣờng xiên nào có hình chiếu dài hơn thì dài hơn).
Từ (1) và (2) suy ra: Vậy AE là ngắn nhất.
Ví dụ trên chứng tỏ mối quan hệ mật thiết giữa các yếu tố trong giao
tiếp toán học của học sinh. Trong tình huống này, tất cả các học sinh trong
nhóm đều đƣợc trao đổi suy nghĩ, ý tƣởng của mình về bài toán. Các em thay
nhau phân tích, đánh giá ý tƣởng của bạn. Từ đó, chínhhọc sinh A đã tìm
đƣợc cách giải quyết bài toán và biết sử dụng lời nói, kí hiệu, hình vẽ để diễn
đạt ý tƣởng của mình đồng thờigiảng giải cho các bạn khác hiểu. Đây là cơ
hội cho các em thảo luận và đƣợc “giao tiếp toán học” một cách thoải mái, sôi
nổi trong giờ học Toán.Đồng thời liên quan đến giao tiếp, học sinh đƣợc rèn

19. 13
luyện, phát triển tƣ duy phản biện (có thái độ đúng mực, có tinh thần xây
dựng, biết lắng nghe).
1.1.2.3. Vai trò của giao tiếp toán học trong lớp học
Nhiều nhà giáo dục Toán cho rằng giao tiếp là một phần quan trọng và
nền tảng của giáo dục Toán.Giao tiếp toán học là một ý tƣởng chủ chốt quan
trọng không chỉ cải thiện học toán mà còn phát triển các khả năng cần thiết
cho xã hội.
Việc phát triển khả năng về lập luận toán của học sinh sẽ liên quan đến
sự phát triển trí tuệ và khả năng giao tiếp của học sinh. Khả năng học sinh thể
hiện kiến thức toán học bằng nhiều cách khác nhau là mộtdấu hiệu quan trọng
của sự kết nối các kiến thức toán học cho học sinh. Quá trình học sinh lập
luận có phân tích và có hệ thống giúp củng cố, tăng cƣờng kiến thức và hiểu
biết về toán sâu sắc hơn; những kỹ năng này đƣợc kết hợp trong giải toán để
giúp các em nhận biết, thiết lập, đánh giá cách trình bày.
Trong dạy học có sự trao đổi cả lớp thì giáo viên nắm quyền điều khiển,
nhƣng học sinh tham gia rất nhiều vào việc lập luận, đƣa ra cách hiểu riêng
của mình về những khái niệm và kĩ năng đang học. Một số học sinh cũng
tham gia bằng cách trình diễn kĩ năng các em đang học, trong khi các bạn
khác đánh giá cách trình diễn đó đạt yêu cầu hay chƣa. Toàn bộ buổi học nên
có không khí hợp tác và hỗ trợ, nhƣng với một tinh thần là tất cả học sinh đều
tham gia đóng góp xây dựng bài. [4]
1.1.2.4.Các hình th c giao tiếp trong lớp học Toán
a. Giao tiếp bằng lời
Học sinh:
- Đƣợc khuyến khích đặt câu hỏi, diễn giải hoặc làm sáng tỏ các ý
tƣởng đƣợc thể hiện bởi các bạn cùng lớp.
- Giải thích và trình bày cách học sinh phát hiện racâu trả lờicủa mình.
- Biện minh chocâu trả lờicủa mình và đề xuất mô hình mới hoặc kết
quả tƣơng tự.

20. 14
- Đặt câu hỏi cho bạn, tranh luận, phân tích và đánh giá kết quả của
bạn.
b. Giao tiếp bằng cách lắng nghe
Học sinh biết lắng nghe quan điểm của ngƣời khác để hiểu sâu sắc hơn
về vấn đề đƣợc trình bày, khi đó hiểu biết của các em đƣợc tăng lên và đồng
thời kết nối, bổ sung các khái niệm toán học thông qua nghe các cách lý luận
khác nhau về các giải pháp.
c. Giao tiếp bằng cách đọc
Học sinh:
- Phát biểu bằng ngôn từ theo cách hiểu của mình về những gì mình đã
đọc.
- Ghi chú các từ chƣa rõ, xác định, đánh dấu các từ khóa.
- Xác định các thông tin không liên quan và không phải là cần thiết để
giải quyết vấn đề và ghi lại thông tin cần thiết cho giải pháp.
- Đọc lại nội dung sau khi giải quyết một vấn đề để kiểm tra các giải
pháp của mình.
Ví dụ 1.2: Một pha giao tiếp bằng cách đọc
Sau khi giáo viên cho học sinh về nhà đọc trƣớc bài “Khoảng cách”,
vào giờ học giáo viên có thể đặt ra một số câu hỏi và yêu cầu học sinh hoạt
động để đánh giá kết quả đọc của học sinh khi tìm hiểu khoảng cách giữa hai
đƣờng thẳng chéo nhau nhƣ sau:
Giáo viên: Em hiểu thế nào là đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng
thẳng chéo nhau?
Nếu kí hiệu HK là đƣờng vuông góc chung của thì điều đó đƣợc
thể hiện bằng kí hiệu nhƣ thế nào?
Kết quả mong đợi: HK là đƣờng vuông góc chung của
)
Nếu chỉ viết có đƣợc không?

21. 15
(Không đƣợc vì HK khi đó không xác định, có rất nhiều đƣờng HK thỏa
mãn)
Thông tin có cần thiết hay không?
(Có cần thiết vì …)
Tất cả những yêu cầu trên giáo viên có thể viết trong phiếu học tập để
thuận lợi cho học sinh nghiên cứu, thảo luận và tiết kiệm thời gian.
d. Giao tiếp bằng cách viết
Học sinh:
- Thảo luận với bạn về ý tƣởng toán học trƣớc khi viết.
- Viết ra ý tƣởng toán học bằng cách sử dụng biểu diễn trực quan nhƣ:
hình ảnh, sơ đồ, bảng biểu, đồ thị, dãy số, phƣơng trình và ký hiệu.
- Sử dụng kiến thức toán học bằng cách viết ra để minh họa suy nghĩ
của mình và các giải pháp hiện tại.
- Theo dõi và viết lại những gì mình cho là quan trọng.
1.1.2.5. Ti u chuẩn về giao tiếp toán học
Để có cơ sở đánh giá năng lực giao tiếp toán học của học sinh, chúng tôi
dựa trên bốn tiêu chuẩn về giao tiếp toán học do Hội Giáo viên Toán của Hoa
Kỳ (NCTM, 2007) đề xuất nhƣ sau:
Ti u chuẩn 1: Tổ chức và củng cố tƣ duy toán học của học sinh thông
qua giao tiếp.
Học sinh hiểu đƣợc nội dung toán học một cách sâu sắc khi các em trình
bày phƣơng án giải toán của mình để giải quyết vấn đề, giải thích cho lập luận
của mình với bạn hoặc giáo viên, hoặc nêu câu hỏi về vấn đề còn khó hiểu với
các em. Giáo viên có thể hỗ trợ học sinh nắm bắt các khái niệm toán học mới
khi giáo viên tạo ra một tình huống, vẽ hình, sử dụng sơ đồ và các ký hiệu
toán học, đƣa ra lời giải thích và viết; khi đó, việc hiểu nhầm khái niệm có thể
đƣợc điều chỉnh và giải quyết.

22. 16
Viết công thức, kí hiệu toán học ra giấy cũng có thể giúp học sinh củng
cố suy nghĩ của các em bởi vì nó đòi hỏi các em phải suy nghĩ về công việc
của mình và làm rõ những ý tƣởng phát triển trong bài học.
Ti u chuẩn 2: Thể hiện tƣ duy toán học của học sinh mạch lạc và rõ ràng
với các bạn, với giáo viên và những ngƣời khác.
Phản ánh và giao tiếp đƣợc gắn bó với nhau trong quá trình học toán.
Với sự quan tâm đúng mực và có kế hoạch của giáo viên, giao tiếp với mục
đích để phản ánh có thể trở thành một phần tự nhiên trong lớp học toán. Học
sinh có thể tìm hiểu để giải thích câu trả lời của mình và mô tả phƣơng án giải
quyết của các em. Học sinh cần có cơ hội để kiểm tra ý tƣởng của mình trên
cơ sở kiến thức đƣợc chia sẻ trong lớp học để xem liệu các em có thể hiểu và
có đủ sức thuyết phục. Kiến thức của các em đƣợc khắc sâu hơn khi học sinh
diễn giải, lắng nghe, đặt câu hỏi, vàgiải thích ý tƣởng của ngƣời khác về bài
học.
Ti u chuẩn 3: Phân tích, đánh giá tƣ duy và phƣơng án giải toán của bạn.
Khi học sinh nhìn nhận một vấn đề có thể là độc đáo so với quan điểm
của học sinh khác cần một môi trƣờng học tập tốt để học sinh chia sẻ và phân
tích, cách làm sáng tạo của học sinh có thể trở thành đối tƣợng của cuộc thảo
luận và phản ánh.
Ti u chuẩn 4: Sử dụng ngôn ngữ toán học để thể hiện chính xác những ý
tƣởng.
Khi học sinh thể hiện sự hiểu biết toán học của mình trong các lớp học,
các em bắt đầu bằng cách sử dụng ngôn ngữ hàng ngày quen thuộc. Giáo viên
có thể giúp học sinh thấy rằng một số từ đƣợc sử dụng trong ngôn ngữ hàng
ngày đƣợc sử dụng trong toán học có ý nghĩa khác và chính xác hơn. Điều
quan trọng là cung cấp cho học sinh kinh nghiệm, giúpcác em đánh giá cao
hiệu quả và độ chính xác của ngôn ngữ toán học. Bắt đầu từ các lớp trung
học, học sinh cần phải hiểu rõ các định nghĩa toán học và nên sử dụng chúng
trong việc giải toán.

23. 17
1.1.3. Dạy học phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh
Trong dạy học, giáo viên cần phải tạo cơ hội để học sinh giao tiếp, trao
đổi toán học một cách thƣờng xuyên, sử dụng nhiều sự biểu diễn và lời giải.
Nói và viết bằng ngôn ngữ toán học giúp học sinh ngẫm nghĩ những suy nghĩ
của bản thân họ và cải tiến những ý tƣởng của họ. Khả năng giao tiếp đƣợc
phát triển tốt nhất thông qua việc luyện tập, vì vậy giáo viên dạy toán có hiệu
quả cung cấp nhiều cơ hội cho học sinh có thể trao đổi những ý tƣởng toán
học khi làm việc theo nhóm hoặc khi làm việc cả lớp, trong khi nói và viết.
Ngƣời giáo viên cần “tạo ra một môi trƣờng học tập tin tƣởng và tôn trọng lẫn
nhau, trong đó học sinh có thể bình luận, thảo luận những ý tƣởng toán học,
chứ không có những chỉ trích mang tính cá nhân đối với các bạn khác”
(Pugalee, 2001). Ngƣời thầy cần dạy học sinh biết cách phê bình, bình luận,
lập luận toán học theo những chuẩn mực đƣợc đặt ra. Việc giao tiếp, trao đổi
toán học nên bắt đầu từ những điều cụ thể và từ đời sống hàng ngày.Những
chƣơng trình máy tính nhƣ Geometer’s Sketchpad, GeoGebra, Cabri... có thể
hỗ trợ học sinh phát hiện, phán đoán, kiểm chứng những kết quả hình học.
Làm việc theo nhóm cũng rất hữu ích cho quá trình học tập của học sinh. Các
em có thể học ở nhau, học với nhau, giúp học sinh thấy đƣợc, kiểm nghiệm
đƣợc nhiều phƣơng án, phƣơng pháp khác nhau để giải quyết một vấn đề. Nó
cũng giúp học sinh thấy đƣợc nhiều cách biểu diễn, nhiều lời giải một bài
toán. Từ đó giúp các em lựa chọn, quyết định xem sự biểu diễn và lời giải nào
phù hợp nhất trong một tình huống cụ thể.
Trong hình học không gian, có nhiều cách diễn đạt khác nhau vềmộtkhái
niệm, định lí hay bài toán; có thể diễn đạtbằng lời nói, bằng kí hiệu hay bằng
hình vẽ. Đó là cơ hội để giáo viên thiết kế các hoạt động học tập giúp học sinh
phát triển năng lực giao tiếp toán học. Với những bài toán phải xác định dựa
trên hình biểu diễn, sau đó mới có thể tính toán đƣợc nhƣ: xác định giao tuyến
của hai mặt phẳng, xác định giao điểm của đƣờng thẳng và mặt phẳng, xác
định thiết diện, xác định hình chiếu vuông góc của một điểm trên một mặt

24. 18
phẳng, xác định đƣờng vuông góc chung, xác định góc trong không
gian,...giáo viên cần tăng cƣờng rèn luyện cho học sinh làm quen với việc
biểu diễn bằng lời nói, hình vẽ và kí hiệu đặc biệt là kĩ năng vẽ hình, xác định
hình cho chính xác. Với những bài toán có nhiều cách giải nhƣ bài tính
khoảng cách từ một điểm A đến mặt phẳng (P),...giáo viên nên tạo cơ hội cho
học sinh đƣợc giao tiếp, trao đổi ý tƣởng toán học, tranh luận bài toán một
cách tự tin, thoải mái trong giờ học.
Dạy học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” sẽ giúp học sinh
phát triển đƣợc năng lực giao tiếp toán học. Bởi những tri thức, kĩ năng, kĩ
xảo ở đây đòi hỏi ngƣời học phải biết sử dụng từ ngữ, hình vẽ, kí hiệu để diễn
đạt một cách chính xác, đồng thời ngƣời học cũng cần đƣợctranh luận, trao
đổi ý tƣởng, suy nghĩ về nội dung đƣợc họcmột cách rõ ràng hơn.Khi học sinh
đƣợc thử thách để suy nghĩ tìm tòi và lý giải một vấn đề nào đó và trình bày
kết quả bằng cách viết hoặc nói, tranh luận thì kiến thức của học sinh sẽ vững
vàng và việc học sẽ hiệu quả hơn. Vì thế, giáo viên nên tìm tòi, lựa chọn
những nội dung phù hợp để thiết kế các tình huống dạy học nhằm phát triển
năng lực giao tiếp toán học cho học sinh.
Ví dụ 1.3: Học sinh sử dụng ngôn ngữ trong hình học không gian (biết
diễn đạt bằng lời nói, kí hiệu, hình vẽ) để phát biểu tính chất về mối liên hệ
giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đƣờng thẳng và mặt phẳng.
- Học sinh biết diễn đạt bằng lời nói: Mặt phẳng nào vuông góc với một
trong hai đƣờng thẳng song song thì cũng vuông góc với đƣờng thẳng còn lại.
- Học sinh viết đƣợc kí hiệu
( )
} ( )
Hình 1.3
P
b a

25. 19
- Học sinh biết vẽ hình minh họa: (Hình 1.3)
1.2. C sở thực tiễn
1.2.1. Vị trí và vai trò của chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian”
ở trường THPT
1.2.1.1. Vịtrí của chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” ở tr ờng
THPT
Chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” đƣợc giới thiệu trong
chƣơng III: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian,
(SGK), Hình học 11 THPT (cả ban nâng cao và ban cơ bản). Nội dung của
chủ đề gồm 4 bài:
§2. Hai đƣờng thẳng vuông góc
§3. Đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng
§4. Hai mặt phẳng vuông góc
§5. Khoảng cách
1.2.1.2. Vai trò củachủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” ở tr ờng
THPT
Chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” là kiến thức trọng tâm
của chƣơng trình học kì 2 môn Toán lớp 11, đồng thời cũng là chủ đề quan
trọng trong chƣơng trình toán phổ thông vì:
- Việc học và giải bài tập của chủ đề này góp phần phát triển tƣ duy, trí
tƣởng tƣợng không gian, phát triển năng lực toán học cho học sinh.
- Chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” giúp học sinh mở
rộng kiến thức về hình học không gian, thấy đƣợc sự phát triển toán học thông
qua thực tế và dùng toán học để phục vụ thực tế.
- Kiến thức của chủ đề này thƣờng xuất hiện trong các câu hỏi thi phần
hình học không gian ở kì thi tốt nghiệp, thi tuyển sinh Đại học- Cao đẳng và
thi THPT Quốc gia.

26. 20
1.2.2. Thực trạng của việc dạy và học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong
không gian” ở trường THPT hiện nay
Để nắm đƣợc thực trạng việc dạy và học chủ đề này, chúng tôi đã tiến
hành dự giờ, thảo luận trực tiếp và lấy ý kiến của giáo viên và học sinh thông
qua phiếu điều tra (xem phụ lục 1).
1.2.2.1. i t ng điều tra
Gồm có 31 giáo viên Toán và 140 học sinh (thuộc 4 lớp 11) năm học
2014 – 2015 của hai trƣờng (trƣờng THPT An Lão và trƣờng THPT Kiến An,
thuộc thành phố Hải Phòng).
1.2.2.2. Mục đích điều tra
- Tìm hiểu về những thuận lợi, khó khăn của giáo viên, học sinh khi
dạy và học chủ đề“quan hệ vuông góc trong không gian”.
- Mức độ đổi mới phƣơng pháp dạy học của giáo viêntheo định hƣớng
phát triển năng lực học sinh.
- Nhận thức của giáo viên, học sinh về năng lực giao tiếp toán học.
- Tìm hiểu nguyện vọng của học sinh khi học chủ đề “Quan hệ vuông
góc trong không gian”.
1.2.2.3. Tổ ch c điều tra
* i với học sinh
Chúng tôi tiến hành điều tra bằng phiếu thăm dò ý kiến của học sinh.
* Đối với giáo viên
Chúng tôi tiến hành điều tra bằng phiếu thăm dò ý kiến giáo viên và trực
tiếpthảo luận, dự giờ, quan sát một số giờ dạy của giáo viên.
1.2.2.4. Nội dung điều tra
Điều tra những thuận lợi, khó khăn của giáo viên và học sinh khi dạy
học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian”; nhận thức của giáo viên
và học sinh về năng lực giao tiếp toán học.

27. 21
1.2.2.5. ánh giá kết quả
Dựa trên kết quả thu thập đƣợc từ các phiếu điều tra ( xem phụ lục 1,
phụ lục 2) và thực tế dạy học tại trƣờng THPT, chúng tôi đi đến một số kết
luận sau:
a) Thuận lợi và khó khăn trong dạy học chủ đề “Quan hệ vuông góc
trong không gian” ở trƣờng THPT
Thuận lợi
Với giáo viên
- Hiện nay các phƣơng tiện dạy học cũng đƣợc trang bị nhiều hơn giúp
tiết kiệm thời gian cũng nhƣ thực hiện tốt hơn các ý đồ sƣ phạm của giáo viên
trong quá trình tổ chức học tập.
Với học sinh
- Nhiều kiến thức liên quan đã đƣợc học từ các lớp dƣới. Một số ví dụ
sinh động liên quan đến thực tiễn đời sống tạo hứng thú cho học sinh trong
quá trình học tập.
- Kết quả phiếu hỏi học sinh (xem phụ lục 1) cho thấy 50% học sinh
nhận định bài tập trong sách giáo khoa là phù hợp, 21.4% học sinh cho rằng
bài tập dễ. Điều đó chứng tỏ bài tập trong sách giáo khoa rất phù hợp, vừa sức
với học sinh. Các bài tập đƣợc trình bày từ dễ đến khó giúp học sinh học tập
dễ dàng hơn, đa số bài tập đều vận dụng kiến thức cơ bản là có thể giải quyết
đƣợc, không có nhiều bài tập đòi hỏi tƣ duy ở trình độ cao.
Khó khăn
Với giáo viên
- Do áp lực về chƣơng trình, thi cử,...nên giáo viên chƣa tạo nhiều cơ
hội để các học sinh đƣợc trao đổi, bày tỏ quan điểm của mình trong giờ học
hình học không gian (có 35.5% giáo viên cùng nhận định). Vì thế, giờ học
hình không gian chƣa tạo đƣợc nhiều hứng thú, tích cực cho học sinh.
- Có 89.3% giáo viên cho rằng thời lƣợng dành cho giờ luyện tập ít nên
khó khăn cho việc hƣớng dẫn học sinhlập làm bài tập. Do đó, giáo viên chƣa

28. 22
rèn luyện một cách thƣờng xuyên cho học sử dụng ngôn ngữ toán học chính
xác để trình bày, lập luận trong giải toán.
Với học sinh
- Kết quả phiếu điều tra cho thấy có 21.4% học sinh cảm nhận khi học
chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” là rất khó và 64.3% học sinh
nhận định là khó. Đây làchủ đềtrọng tâm và khó của chƣơng trình học kì 2
môn Toán, lớp 11 THPT.
- Có 64.3% học sinh nhận định chƣa thành thạo khi vận dụng lý thuyết
vào giải bài tập trong sách giáo khoa. Các khái niệm, tính chất, định lý trong
phần lý thuyết thƣờng trừu tƣợng gây khó khăn cho học sinh trong quá trình
vận dụng vào bài tập.Học sinh thƣờng lúng túng khi tiếp cận các khái niệm
này cũng nhƣ khi giải các dạng bài tập vận dụng tƣơng ứng.
- Trí tƣởng tƣợng không gian hạn chế nên học sinh gặp nhiều khó khăn
khi vẽ hình và đặc biệt học sinh yếu có tâm lí “sợ” học hình không gian(có
25% học sinh gặp khó khăn khi vẽ hình biểu diễn). Đặc thù của môn học đòi
hỏi học sinh có tƣ duy trừu tƣợng cao, có khả năng liên tƣởng, tƣởng tƣợng,
hình dung, phán đoán. Các khái niệm, định lí đƣợc phát biểu dƣới dạng bằng
lời, chẳng hạn nhƣ cách xác định góc, cách xác định khoảng cách,... nhƣ vậy
đòi hỏi học sinh phải nắm chắc kiến thức, có kĩ năng vẽ hình, cách biểu diễn
hình trong không gian trên mặt phẳng. Vì thế không ít học sinh phán đoán sai
hình, nhận định sai hƣớng giải bài toán nhƣ: hai đƣờng thẳng chéo nhau thì
các em vẽ thành cắt nhau.
- Kết quả cho thấy có 46.4% học sinh nhận định hiểu bài nhƣng lúng
túng khi lập luận, trình bày lời giải. Điều đó chứng tỏ năng lực giao tiếp toán
học của học sinh còn hạn chế (khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học còn yếu).
- Có 14.3% học sinh nhận định còn nhầm lẫn kiến thức áp dụng trong
mặt phẳng và không gian. Nhiều học sinh vẫn hay nhầm lẫn giữa các khái
niệm, các định nghĩa, các tính chất, các công thức trong hình học với nhau
nhƣng ít có cơ hội đƣợc chia sẻ, giúp đỡ từ bạn bè, thầy cô. Chẳng hạn nhƣ:

29. 23
trong hình học phẳng có tính chất "hai đƣờng thẳng phân biệt cùng vuông góc
với một đƣờng thẳng thì chúng song song với nhau" các em thƣờng lấy tính
chất đó vận dụng vào các bài toán trong không gian,... nên các em thƣờng
mắc sai lầm trong chứng minh.
- Có 89.3% học sinh nhận định giờ luyện tập còn ít. Một số học sinh
đƣợc hỏi (14.3%) cho rẳng phải tổng hợp nhiều kiến thức để giải toánnên gặp
khó khăn khi làm bài tập thuộc chủ đề này.
b) Nhận thức của giáo viên và học sinh về năng lực giao tiếp toán học và
đổi mới phƣơng pháp dạy học với chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không
gian”
Với giáo viên
- Giáo viên giảng dạy chủ yếu theo phƣơng pháp thuyết trình (có 48.4%)
nênchƣa phát huy đƣợc tính chủ động, sáng tạo của học sinh trong việc nắm
bắt kiến thức. Giáo viên chƣa chú trọng thiết kế các tình huống để gợi động
cơ và tạo cơ hội cho học sinh thảo luận bài học.
- Hầu hết, các thầy cô đều nhận định phải đổi mới phƣơng pháp dạy học
hình học không gian theo hƣớng phát triển năng lực học sinh (có 48.4% giáo
viên thích và 25.8% giáo viên rất thích).
- Tuy nhiên, đổi mới dạy học theo hƣớng phát triển năng lực giao tiếp
toán học cho học sinh là vấn đề mớivới giáo viên (có 19.4% giáo viên chƣa
biết, có 48.4% giáo viên có nghe nói, có 25.8% giáo viên có tìm hiểu chút ít
và 6.4% giáo viên biết rõ). Điều này chứng tỏ nhiều giáo viên vẫn còn mơ hồ,
chƣa thực sự hiểu rõ về năng lực giao tiếp toán học của học sinh.
- Có 51,6% giáo viên chƣa chú trọng rèn luyện cho học sinh sử dụng
ngôn ngữ toán học để diễn đạt chính xác. Nhƣ vậy, khi dạy học chủ đề này,
giáo viên chƣa chú trọng phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh.
- Giáo viên cũng tỏ ra băn khoăn, lo ngại trƣớc một số khó khăn khi dạy
học theo hƣớng phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học sinh nhƣ: lớp
học dễ ồn ào, thời gian đảm bảo cho một tiết học, quản lý học sinh đặc biệt

30. 24
học sinh yếu, lƣời... Đây là vấn đề giáo viên cần quan tâm và có biện pháp
khắc phục cho giờ dạy học đạt hiệu quả.
Với học sinh
- Khi học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian”, học sinh ít có
cơ hội thảo luận, chủ yếu nghe giáo viên giảng giải và hƣớng dẫn làm bài tập
nên các em không hứng thú khi học (35.7% học sinh cho rằng thầy cô không
thiết kế tình huống cho HS thảo luận, 44.3% học sinh cho rằng thỉnh thoảng
nhƣng không nhiều).
- Đa số học sinh thích học chủ đề này nếuthầy cô thiết kế tình huống và
tạo cơ hội cho các em đƣợc thảo luận (46.4% học sinh thích và 28.6% rất
thích học theo hƣớng này).
- Trong lúc thảo luận, em có mạnh dạn nêu ý kiến của mình không:
+ Không bao giờ: 2.1%
+ Thỉnh thoảng: 50%
+ Thƣờng xuyên: 33.6%
+ Rất thƣờng xuyên: 14.3%
Trong thảo lu n, các em đã mạnh dạn n u kiến nh ng ch a th ờng
xuyên. Nh v y, trong dạy học nếu thiết kế tình hu ng t t sẽ tạo cơ hội cho
các em đ c thể hiện quan điểm cá nhân, đ c khẳng định mình, đ c tranh
lu n tạo không khí học t p sôi nổi và phát triển kĩ năng giao tiếp t t hơn.
- Có 75% học sinh đều mong muốn giờ học chủ đề “Quan hệ vuông góc
trong không gian” đƣợc thảo luận, không khí học tập sôi nổi, thoải mái.
Từ những phân tích trên, chúng tôi nhận thấy thực trạng dạy và học
chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” hiện nay của giáo viên và học
sinh bên cạnh những thuận lợi còn có những khó khăn và tồn tại. Nhận thức
của giáo viên và học sinh về năng lực giao tiếp toán họccòn mơ hồ, chƣa hiểu
rõ bản chấtmặc dù giáo viên đã tìm hiểu và học sinh có mong muốn đƣợc thay
đổi cách dạy và học.

31. 25
Thực tiễn trên đã đặt ra yêu cầu cấp thiết là chúng ta phải chú trọng đổi
mới phƣơng pháp, phải có biện pháp thích hợp, thiết kế những tình huống dạy
học phù hợp để phát triển năng lựcgiao tiếp toán học cho học sinh khi dạy
họcchủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian”. Có nhƣ thế học sinh mới
trở thành những chủ thể tích cực trong học tập cũng nhƣ trong đời sống xã
hội, phát triển toàn diện và đóng góp sức mình cho đất nƣớc.
1.3. Tiểu t chư ng 1
Chƣơng này trình bày kết quả nghiên cứu khái quát về năng lực, năng
lực toán học, giao tiếp toán học. Ngoài chức năng và nhiệm vụ giúp học sinh
lĩnh hội tri thức thì dạy học phát triển năng lực giao tiếp toán học còn giúp
học sinh nâng cao khả năng làm việc tập thể, tạo sự tự tin cho bản thân học
sinh trong học tập, trong giao tiếp xã hội.
Chủ đề“Quan hệ vuông góc trong không gian” (lớp 11) là một chủ đề
khó đối với học sinh.Để góp phần khắc phục khó khăn cho học sinh khi học
chủ đề này, giáo viên cần phải tạo điều kiện cho học sinh trao đổi, thảo luận
và giao tiếp toán học.
Kết quả tìm hiểu thực tiễn dạy học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong
không gian”(lớp 11) ở trƣờng THPT cho thấyhầu nhƣ giáo viên Toán chƣa
quan tâm tới việcthiết kế các tình huống dạy học đểphát huytính tích cực, chủ
động trong học tập của học sinh;chƣa phát triển đƣợc năng lực giao tiếp toán
học cho học sinh.
Tổng quan về lí luận đã trình bày ở chƣơng này sẽ là những cơ sở khoa
học, những định hƣớng cho việc thiết kế các tình huống dạy học ở chƣơng
2.Ngƣợc lại, những tình huống dạy học ở chƣơng 2 sẽ là những ví dụ minh
họa cho những lí luận ở chƣơng này.

32. 26
CHƯƠNG 2
THIẾT KẾ MỘT SỐ TÌNH HUỐNG DẠY HỌC “QUAN HỆ VUÔNG
GÓC TRONG KHÔNG GIAN” THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG
LỰC GIAO TIẾP TOÁN HỌC
Theo tác giả [7, tr.339], những tình huống dạy học điển hình trong môn
Toán gồm có: Dạy học khái niệm; Dạy học định lý; Dạy học quy tắc, thuật
toán; Dạy học giải bài tập.
Chƣơng này trình bày về thiết kế một số tình huống dạy học “Quan hệ
vuông góc trong không gian” theo hƣớng phát triển năng lực giao tiếp toán
học, theo các tình huống điển hình nói trên.
2.1. Dạ học h i niệ
2.1.1. Một số vấn đề về dạy học khái niệm
a) Vị trí và y u cầu của việc dạy học khái niệm
Trong dạy học toán, việc hình thành một cách vững chắc cho học sinh
một hệ thống khái niệm là rất quan trọng. Đó là nền tảng của toàn bộ kiến
thức toán học của học sinh, là tiền đề để xây dựng cho họ khả năng vận dụng
hiệu quả các kiến thức đã học, đồng thời có tác dụng góp phần phát triển trí
tuệ và thế giới quan duy vật biện chứng cho học sinh.
Việc dạy học các khái niệm trong chủ đề “Quan hệ vuông góc trong
không gian” phải dần dần làm cho học sinh đạt đƣợc các yêu cầu sau:
- Nắm vững các đặc điểm đặc trƣng cho một khái niệm.
- Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tƣợng
cho trƣớc có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết
thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tƣợng thuộc phạm vi một
khái niệm cho trƣớc.
- Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm.
- Biết vận dụng các khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt
động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn.

33. 27
- Biết phân loại khái niệm và nắm đƣợc mối quan hệ của một khái niệm
với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm.
b) Các con đ ờng hình thành khái niệm
Theo tác giả [7, tr.345], khái niệm đƣợc hình thành bằng ba con đƣờng:
con đƣờng suy diễn, con đƣờng quy nạp và con đƣờng kiến thiết.
c) Các hoạt động dạy học khái niệm
Thông thƣờng, mỗi khái niệm đều đƣợc giáo viên tổ chức dạy gồm
phần chính là dạy định nghĩa khái niệm và dạy củng cố khái niệm, và tuỳ
theo độ khó của khái niệm, đối tƣợng học sinh, để lựa chọn cách dạy cho hợp
lí.
- Hoạt động định nghĩa khái niệm: Ban đầu, ở mức độ thấp, cần tuân
thủ nguyên tắc: từ trực quan sinh động đến tƣ duy trừu tƣợng để hình thành
khái niệm cho học sinh. Sau khi học sinh đã có một vốn kiến thức khá hơn thì
thực tiễn ban đầu cho việc hình thành khái niệm không chỉ còn dựa vào trực
quan sinh động nữa, mà còn có thể dựa vào các khái niệm đã có.
- Hoạt động củng c khái niệm: Trong dạy học khái niệm ta cần giúp
học sinh củng cố kiến thức bằng cách luyện tập thông qua các hoạt động:
- Nhận dạng và thể hiện khái niệm,
- Hoạt động ngôn ngữ,
- Khái quát hoá, đặc biệt hoá, hệ thống hoá khái niệm đã học.
Dạy học khái niệm có thể bằng nhiều phƣơng pháp khác nhau. Hoạt
động dạy học khái niệm nhằm phát triển năng lực giao tiếp toán học cho học
sinh có thể diễn đạt tóm tắt nhƣ sau: Giáo viên thiết kế tình huống, chuẩn bị
các hoạt động, câu hỏi, kích thích học sinh hoạt động, tạo cơ hội cho học sinh
trao đổi suy nghĩ và diễn đạt đƣợc ý tƣởng toán học của mình.Trong quá trình
này, học sinh có thể trình bày quan niệm nhận thức của mình, có thể tranh
luận để đi đến thống nhất ý kiến. Trên cơ sở đó, giáo viên có thể gợi ý, phân
tích các ý kiến, uốn nắn nhận thức cho học sinh. Từ đó, giáo viên thể chế hóa

34. 28
định nghĩa, phát biểu định nghĩa. Cuối cùng là các hoạt động củng cố khái
niệm, thông thƣờng là thông qua các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.
2.1.2. Thiết kế một số tình huống dạy học khái niệm theo hướng phát triển
năng lực giao tiếp toán học cho học sinh
Tình huống 1.1: Dạy học khái niệm hai đường thẳng vuông góc
(1 tiết)
a)Mục ti u
Giúp học sinh nắm đƣợc:
Về kiến th c
- Khái niệm góc giữa hai đƣờng thẳng.
- Khái niệm và điều kiện hai đƣờng thẳng vuông góc với nhau.
Về kĩ năng
- Xác định đƣợc góc giữa hai đƣờng thẳng.
- Biết chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc với nhau.
Về t duy
- Rèn luyện tƣ duy logic, trừu tƣợng hóa.
Về thái độ
- Có tinh thần hợp tác, tích cực tham gia bài học.
b) Chuẩn bị
- Giáo viên:Chuẩn bị một số hình minh họa
- Học sinh:Đọc bài trƣớc ở nhà.
c) Triển khai
Hoạt động 1: Tiếp cận khái niệm góc giữa hai đƣờng thẳng, hai đƣờng
thẳng vuông góc (20 phút)
- Hình thức tổ chức: Hợp tác giữa giáo viên và học sinh(học tập có sự
trao đổi cả lớp).
- Tiến trình trao đổi, thảo luận diễn ra nhƣ sau:
Giáo viên: Góc giữa hai đƣờng thẳng cùng thuộc một mặt phẳng đƣợc
xác định nhƣ thế nào?

35. 29
Học sinh: Hai đƣờng thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng tạo nên hai
cặp góc đối đỉnh bằng nhau. Đó là góc của hai đƣờng thẳng.
Giáo viên: Lấy góc tù hay góc nhọn?
Học sinh: Lấy góc nhọn ạ.
Giáo viên: Trong trƣờng hợp hai đƣờng thẳng vuông góc thì sao?
Học sinh: Ta đƣợc góc 90 độ ạ.
Giáo viên: Trƣờng hợp hai đƣờng thẳng cùng phƣơng thì sao?
Học sinh: Ta lấy góc 0 độ ạ.
Giáo viên: Bây giờ ta xét hai đƣờng thẳng trong không gian. (Giáo viên
dùng 2 thƣớc kẻ minh họa).Theo các em, để xác định góc giữa hai đƣờng
thẳng trong không gian này ta làm thế nào?
Học sinh: suy ngẫm, trao đổi và nêu ý kiến cá nhân.
Giáo viên: Ta sẽ vận dụng cách xác định góc giữa hai đƣờng thẳng trong
mặt phẳng và xác định tƣơng tự.
Học sinh:….
Giáo viên: Vậy có thể quan niệm: hai đƣờng thẳng vuông góc trong
không giannhƣ thế nào?
Học sinh:…
Cuộc trao đổi, đàm thoại nhƣ trên có thể trở thành cuộc đàm thoại tập
thể chứ không chỉ là đàm thoại giữa giáo viên và học sinh. Giáo viên có thể
viết các câu hỏi dẫn dắt suy nghĩ của học sinh theo diễn biến trên trong phiếu
học tập và cho học sinh trao đổi, thảo luận với nhau. Qua đó, học sinh sẽ tiếp
cận khái niệm một cách dễ dàng, chính xác và đầy đủ hơn.
Hoạt động 2: Củng cố khái niệm (25 phút)
- Hình thức tổ chức: Thảo luận nhóm, thi giải toán nhanh.
- Tiêu chí thi đua: Điểm tối đa cho mỗi nhóm là 30 điểm.
+ Trình bày bảng phụ (15 điểm) trong đó bài 1 đƣợc 5 điểm, bài 2 đƣợc
5 điểm, lấy 3 ví dụ trở lên đƣợc 5 điểm.
+ Hoạt động nhóm sôi nổi, tích cực, hiệu quả: 5 điểm.

36. 30
+ Điểm thuyết trình: 10 điểm.
- Nội dung phiếu học tập:
Phi u học tập
Bài toán 1: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a. Gọi M, N lần lƣợt là
trung điểm của BC và AD, 3
MN a
 . Tính góc giữa hai đƣờng thẳng AB và
CD.
Bài toán 2: Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’.
Nhóm 1: Nêu các đƣờng thẳng vuông góc với AB.
Nhóm 2: Nêu các đƣờng thẳng vuông góc với AC.
Nhóm 3: Nêu các đƣờng thẳng vuông góc với BD.
Sau đó, mỗi nhóm lấy ví dụ hình ảnh thực tế minh họa hai đƣờng thẳng
vuông góc trong không gian.
- Tiến trình hoạt động:
+ Giáo viên có thể chia lớp thành 4 hoặc 6 nhóm (có thể 2 bàn là một
nhóm quay vào nhau thảo luận)
+ Giáo viên phát phiếu học tập, nêu yêu cầu cho các nhóm.
+ Các nhóm vẽ hình, thảo luận, trình bày vào bảng phụ (10 phút).
+ Đại diện nhóm thuyết trình (8 phút).
+ Các nhóm khác nhận xét, phản biện (4 phút)
+ Giáo viên tổng kết bài học, đánh giá
hoạt động nhóm. (3 phút)
- Dự kiến tình huống trả lời bài 1
Cách 1: Gọi  là góc giữa AB và CD
Gọi I là trung điểm của BD. Ta có:
/ / , / /
IM CD IN AB.
Suy ra  bằng góc giữa IM và IN
2a
2a
M
I
N
B
D
C
A
Hình 2.1

37. 31
Xét tam giác IMN có: , 3
IM IN a MN a
   .
Áp dụng định lí cosin trong tam giác MNI ta có :
̂
Vậy: 0 0 0
180 120 60
   
Cách 2. Sử dụng véc tơ
+ Gọi I và J lần lƣợt là trung điểm của BD và AC thì JNIM là hình bình
hành và NJ = MI = a.
Góc giữa AB và CD bằng góc giữa NI và NJ
+ Trong hình bình hành JNIM có:
NJ NI NM
 
uuu
r uur uuuu
r
Bình phƣơng hai vế ta tính đƣợc:
̂
Vậy góc giữa AB và CD bằng 0
60
Hình 2.2
- Dự kiến tình huống trả lời bài 2
+ Các nhóm tự vẽ hình lập phƣơng, đọc kết quả từ hình vẽ.
Nhóm 1 : BC, AD, A’D’, B’C’, AA’, BB’, CC’, DD’.
Nhóm 2 : BD, B’D’, AA’, BB’, CC’ , DD’.
Nhóm 3 : AC, A’C’, AA’, BB’, CC’,DD’.
+ Mỗi nhóm tự lấy ví dụ
d) Phân tích- ánh giá
- Trong hoạt động 1, bằng hình ảnh trực quan là hai chiếc thƣớc kẻ và
các câu hỏi đàm thoại phát hiện, giáo viên tạo ra tình huống cho học sinh
tranh luận khi quan niệm về góc giữa hai đƣờng thẳng trong không gian. Từ
đó, học sinh hiểu rõhơn định nghĩa và biết cách xác định góc giữa hai đƣờng
thẳng trong không gian .
- Trong hoạt động 2, học sinh sẽ có cơ hội thảo luận, hợp tác để hoàn
thành nhiệm vụ của nhóm đồng thời củng cố, khắc sâu khái niệm vừa học. Bài
2a
2a
J
M
I
N
B
D
C
A

38. 32
toán 1 là tình huống học sinh trao đổi các cách giải (có thể nêu 2 cách tính và
từ đó học sinh đƣợc hiểu rõ độ lớn của góc giữa hai đƣờng thẳng không phụ
thuộc vào vị trí chọn điểm để xác định). Bài toán 2 là cơ hội để học sinh thảo
luận, phân tích những ý tƣởng của nhau để đƣa ra câu trả lời chính xác đồng
thời biết cách liên hệ bài học với thực tế.
Tình huống 1.2: Dạy học khái niệm đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng
a) Mục ti u
Giúp học sinh nắm đƣợc:
Về kiến th c
-Định nghĩa đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng.
- Điều kiện để đƣờng thẳng vuông góc mặt phẳng.
Về kĩ năng
- Biết cách chứng minh đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng và áp
dụng vào giải một số bài toán
Về t duy
- Rèn luyện tƣ duy logic, trừu tƣợng hóa.
Về thái độ
- Có tinh thần hợp tác, tích cực tham gia bài học.
b) Chuẩn bị
- Giáo viên: máy chiếu, hình minh họa.
- Học sinh: Đọc bài trƣớc ở nhà.
c) Triển khai
Giáo viên đặt vấn đề: Ta đã biết khái niệm hai đƣờng thẳng vuông góc
với nhau trong không gian, vậy quan niệm thế nào là đƣờng thẳng vuông góc
với mặt phẳng? Cụ thể, thế nào là một cái cọc thẳng vuông góc với mặt sân,
hay một mặt phẳng nào đấy?
Câu trả lời có thể là: Cái cọc thẳng đƣợc gọi là vuông góc với mặt sân
khi nó cùng phƣơng với chiếc dây dọi. Bởi vì chiếc dây dọi, theo sức hút của

39. 33
Trái Đất, đƣợc xem là vuông góc với mặt đất. Vậy khi mặt phẳng không song
song với mặt đất, chẳng hạn một bức tƣờng, thì quan niệm về một đƣờng
thẳng vuông góc với mặt phẳng bức tƣờng nhƣ thế nào? Trong trƣờng hợp
này, không thể dùng dây dọi đƣợc. Ta phải thay đổi lại quan niệm.
Thế nào là một cái cọc xiên góc (không vuông góc) với mặt sân?(Khi có
một đƣờng thẳng nằm trong sân không vuông góc với nó). Vậy ngƣợc lại, một
đƣờng thẳng đƣợc gọi là vuông góc với một mặt phẳng khi nó vuông góc với
mọi đƣờng thẳng nằm trong mặt phẳng ấy.Quan niệm này giải quyết đƣợc vấn
đề nói trên.
Để kiểm tra xem một đƣờng thẳng có vuông góc với một mặt phẳng cho
trƣớc hay không, ta phải làm thế nào?
Để trả lời câu hỏi này, ta suy nghĩ về một số câu hỏi sau:
- Một mặt phẳng đƣợc xác định khi biết mấy đƣờng thẳng trong nó: một,
hai hay ba đƣờng thẳng và những đƣờng thẳng đó phải nhƣ thế nào?
- Để có một cái cọc di động đƣợc, luôn vuông góc với mặt sân, ngƣời ta
phải đóng chân đế cho nó.Có thể chân đế của nó chỉ là những đoạn thẳng.
Những đoạn thẳng này phải vuông góc với cái cọc thì chân đế của nó cần ít
nhất mấy đoạn thẳng?
- Một đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ít nhất nó phải vuông
góc với mấy đƣờng thẳng trong mặt phẳng đó: một, hai hay ba đƣờng thẳng
và những đƣờng thẳng đó phải nhƣ thế nào?
Ta có một mệnh đề: Một đƣờng thẳng vuông góc với một mặt phẳng khi
nó vuông góc với hai đƣờng thẳng cắt nhau trong mặt phẳng đó. Để chứng
minh mệnh đề này đúng…Theo cách này, với sự giúp đỡ của giáo viên, học
sinh tự kiến thiết nên khái niệm về đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng và
điều kiện để một đƣờng thẳng vuông góc với một mặt phẳng.
d) Phân tích- ánh giá
Xuất phát từ tình huống thực tế, bằng các câu hỏi đàm thọai phát
hiện, giáo viên hƣớng dẫn học sinh tiếp cận khái niệm rất dễ dàng, thoải mái.

40. 34
Trong mỗi câu hỏi đặt ra ở trên, học sinh có thể bày tỏ cách hiểu của mình và
trao đổi, thống nhất để đi đến khái niệm về đƣờng thẳng vuông góc với mặt
phẳng. Việc giáo viên cho học sinh vẽ hình, ghi kí hiệu, diễn đạt bằng lời một
khái niệm sẽ giúp học sinh phát triển năng lực giao tiếp toán học (biết sử dụng
ngôn ngữ toán học chính xác).
Tình huống 1.3: Dạy học khái niệm khoảng cách
Giáo viên có thể xây dựng hệ thống câu hỏi (đƣa vào phiếu học tập cho
học sinh thảo luận) nhằm giúp học sinh tiếp cận các định nghĩa khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Phi u học tập
? Trong hình học phẳng,
khoảng cách giữa 2 điểm là gì ?
Độ dài đó có duy nhất không ? Tại
sao?
? Từ ngoài mặt phẳng ( ), kẻ
đƣợc bao nhiêu đoạn thẳng tới
mp( )?
? Độ dài các đoạn có bằng nhau
không? Đoạn nào là đoạn ngắn nhất?
? Có bao nhiêu đoạn thẳng qua có độ dài bằng ? (duy nhất). Tại
sao? Từ đó đƣa ra định nghĩa khoảng cách từ 1 điểm tới 1 mặt phẳng.
P
a
a'
H40
A
A'
B
B'
P
Q
Hình 2.5
A
A'
B
B'
P
Hình 2.3
A
B
D
C
E
Hình 2.4

41. 35
? Thế khoảng cách từ mp( ) đến điểm là gì?
? Từ điểm ngoài mp(P), dựng đƣợc bao nhiêu đƣờng thẳng song song
với ( ) cho trƣớc? (nhiều đƣờng thẳng ví dụ đƣờng thẳng a)
? Em cho biết khoảng cách từ 1 điểm B trên đƣờng thẳng a đến ( ) là gì
( ( )).
? Khoảng cách giữa các điểm trên a đến (P) bằng nhau không? Tại sao?
? So sánh ? Muốn vậy xem không ?
? Chứng minh .
? Từ các câu trả lời trên rút ra kết kuận gì?
? Vậy khoảng cách từ 1 mp đến 1 đƣờng thẳng song song với nó là gì?
Nó khác với độ dài đƣờng vuông góc hạ từ 1điểm bất trên đƣờng thẳng đó
đến mặt phẳng không?
Tƣơng tự, em hãy xây dựng định nghĩa khoảng cách giữa 2 mặt phẳng
? Hãy xem vị trí tƣơng đối của 2 đƣờng thẳng đối với 2 mặt
phẳng ( ) và ( ) nhƣ thế nào ?
? Do ( ) ( ) ta kết luận gì về quan hệ ?
? Phát biểu định nghĩa khoảng cách 2 mặt phẳng song song ?
Nhận xét: Nhƣ vậy trong giảng dạy bài mới, bằng cách đặt những câu
hỏi gợi mở, dẫn dắt học sinh tìm và giải quyết vấn đề không những có tác
dụng khắc sâu kiến thức mà có thể tạo cho HS thói quen xem xét đối tƣợng
một cách có phê phán, lật đi lật lại vấn đề, chống cách tiếp thu kiến thức một
cách thụ động.
Tình huống 1.4: Dạy học khái niệm đường vuông góc chung của hai
đường thẳng chéo nhau và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a) Mục ti u
Về kiến th c
- Học sinh nắm đƣợc khái niệm và sự tồn tại đƣờng vuông góc chung
của hai đƣờng thẳng chéo nhau. Hiểu đƣợc khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng
chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung vì đó là số đo nhỏ nhất.

42. 36
Về kĩ năng
- Biết các cách xác định khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau.
Về t duy
- Rèn luyện tƣ duy logic, phân tích, tổng hợp, hội thoại có phê phán.
Về thái độ
- Giúp học sinh phát triển năng lực giao tiếp, có tinh thần hợp tác.
b) Chuẩn bị
- Giáo viên: Chuẩn bị phiếu học tập, máy chiếu, sử sụng phần mềm.
- Học sinh: Đọc bài trƣớc ở nhà.
c) Triển khai
Hoạt động 1: Tiếp cận khái niệm đƣờng vuông góc chung của hai
đƣờng thẳng chéo nhau ( 20 phút)
- Hình th c tổ ch c: Hợp tác nhóm nhỏ, hợp tác giữa giáo viên và học
sinh.
- Nhiệm vụ học t p: Hợp tác nhóm, thảo luận phiếu học tập số 1.
Phi u học tập số 1
Cho 2 đƣờng thẳng a, b chéo nhau nằm trên hai mặt phẳng song song với
nhau (P) và (Q).
1) Có bao nhiêu đƣờng thẳng vuông góc với cả hai đƣờng thẳng a và b.
2) Có bao nhiêu đƣờng thẳng cắt đƣờng thẳng a và vuông góc với cả hai
đƣờng thẳng a và b.
3) Có bao nhiêu đƣờng thẳng
vuông góc và cắt cả hai đƣờng thẳng
đó. Nêu cách vẽ đƣờng thẳng đó.
4) Nêu cách dựng đƣờng thẳng
vuông góc và cắt cả hai đƣờng thẳng
chéo nhau bất kì.
Hình 2.6
P
a
Q
b

43. 37
- Tiến trình hoạt động
+ Giáo viên phát phiếu học tập số 1 cho từng cá nhân và nhóm.
+ Cá nhân tìm hiểu nhiệm vụ và trả lời những phần mình biết (thời gian
5 phút)
+ Thảo luận trong nhóm: các thành viên trao đổi suy nghĩ về nội dung
phiếu học tập số 1.Sau đó, các nhóm tự phân tích, đánh giá và thống nhất ý
kiến.
+ Mỗi nhóm cử đại diện trình bày trƣớc lớp kết luận của nhóm mình.
+ Giáo viên đề nghị đại diện các nhóm phát biểu kết luận, toàn lớp cùng
giáo viên rút ra kết luận.
+ Hợp thức hoá khái niệm, khắc sâu khái niệm (dùng CNTT để minh
họa cho kết luận, trao đổi giữa các nhóm và giáo viên): đƣờng vuông góc
chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau.
- Dự kiến các tình hu ng trong thảo lu n nhóm
+ Học sinh cho rằng: không có, có một, có nhiều và có vô số đƣờng
thẳng có tính chất trên.
+ Dự kiến câu hỏi gợi ý khi cần thiết: Nhận xét vị trí của hai đƣờng
thẳng a và b? Một đƣờng thẳng vuông góc với đƣờng thẳng của một mặt
phẳng sẽ có khả năng có mối quan hệ gì với mặt phẳng đó?
- Kết lu n vấn đề
1) Có vô số đƣờng thẳng vuông góc với cả hai
đƣờng thẳng a,b. Đó là tất cả các đƣờng thẳng
vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).
Hình 2.7
P
a
Q
b
d d d d

44. 38
2) Có vô số đƣờng thẳng vuông góc với cả hai
đƣờng thẳng a, b và cắt đƣờng thẳng a. Đó
là tất cả các đƣờng thẳng vẽ từ một điểm bất
kỳ trên đƣờng thẳng a và vuông góc với mặt
phẳng(Q).
3) Có duy nhất đƣờng thẳng d vuông góc và
cắt cả hai đƣờng thẳng đó. Hình 2.8
Cách vẽ d:
- Dựng a’ là hình chiếu vuông góc của a trên
mặt phẳng (Q).
- Tìm B là giao điểm của b và a’
- Từ B dựng đƣờng thẳng d vuông góc với
mặt phẳng (Q). Khi đó, d là đƣờng thẳng thỏa
mãn tính chất trên. Qua phép dựng thì d là
đƣờng thẳng duy nhất. Hình 2.9
4) Cách dựng đƣờng thẳng vuông góc và cắt
cả hai đƣờng thẳng chéo nhau a, b bất kỳ.
- Dựng mặt phẳng (Q) đi qua đƣờng thẳng b và
song song với a.
- Dựng a’ là hình chiếu vuông góc của a trên
mặt phẳng (Q).
- Tìm B là giao điểm của a và a’
- Từ B, dựng đƣờng thẳng d vuông góc với mặt Hình 2.10
phẳng(Q). Qua phép dựng thì đƣờng thẳng trên
là duy nhất.
- Khắc sâu khái niệm:
P
a
Q
b
N
d d
P
d
M
P
a
Q
b
a
’
N
N
’
M
M
’
A
B
d
a
Q
b
a
’
N
N
’
M
M
’
A
B
d

45. 39
+ Định nghĩa đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau:
là đƣờng thẳng vuông góc và cắt cả hai đƣờng thẳng chéo nhau đó.
+ Sự tồn tại: có duy nhất một đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng
thẳng chéo nhau cho trƣớc.
Hoạt động 2: Tiếp cận khái niệm khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng
chéo nhau (25 phút)
- Nhiệm vụ học t p: Thảo luận nhóm
Phi u học tập số 2
1) Em quan niệm nhƣ thế nào về khái niệm khoảng cách giữa hai đƣờng
thẳng
2) Em hãy nhận định tính đúng đắn của các ý kiến sau và giải thích :
“ Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau là
ý kiến1) Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ tƣơng ứng trên hai
đƣờng thẳng đó.
ý kiến 2) Độ dài đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau
đó
ý kiến 3) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song tƣơng ứng chứa hai
đƣờng thẳng đó.
ý kiến 4) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng bất kỳ lần lƣợt chứa hai
đƣờng thẳng chéo nhau đó
ý kiến 5) Khoảng cách giữa đƣờng thẳng thứ nhất với mặt phẳng song
song với nó và chứa đƣờng thẳng thứ hai.
ý kiến 6) Khoảng cách giữa đƣờng thẳng thứ hai tới mặt phẳng chứa
đƣờng thẳng thứ nhất và song song với đƣờng thẳng thứ hai
ý kiến 7) Khoảng cách từ một điểm trên đƣờng thẳng này tới mặt phẳng
song song với nó và chứa đƣờng thẳng kia.
3) Nêu các cách xác định và tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng
chéo nhau.
- Tiến trình hoạt động

46. 40
+ Giáo viên phát phiếu học tập cho học sinh, từng nhóm làm việc và trả
lời vào phiếu chung của nhóm để nộp cho giáo viên chấm.
+ Cả lớp cùng giáo viên kết luận về khái niệm khoảng cách giữa hai
đƣờng thẳng chéo nhau.
1) Quan niệm về khái niệm khoảng cách giữa 2 đƣờng thẳng là: độ dài
ngắn nhất nối 2 điểm tƣơng ứng trên 2 đƣờng thẳng đó. Số đo đó phải là duy
nhất, đặc trƣng cho vị trí cụ thể của 2 đƣờng thẳng đã cho.
2) Nhận định ý kiến đã đƣa ra về định nghĩa khoảng cách giữa 2 đƣờng
thẳng chéo nhau:
ý kiến 1: Không đúng vì có nhiều số đo khác nhau của các đoạn thẳng
nhƣ vậy
ý kiến 2: Đúng, vì số đo đoạn vuông góc chung là duy nhất và là số nhỏ
nhất so với độ dài các đoạn thẳng nối 2 điểm bất kỳ trên 2 đƣờng thẳng đó.
Hình 2.11
ý kiến 3: đúng vì số đo khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó bằng số đo
đoạn vuông góc chung
ý kiến 4: Không đúng vì: có nhiều cặp mặt phẳng bất kỳ đi qua hai
đƣờng thẳng chéo nhau đó và khoảng cách giữa chúng khác nhau
ý kiến 5: Đúng vì: khoảng cách đó bằng độ dài đoạn vuông góc chung
ý kiến 6: Đúng vì giống ý kiến 5 do vai trò hai đƣờng thẳng chéo nhau
và hai mặt phẳng đó là nhƣ nhau.
a’
Q
B M
’
H
b
P
a
A M

47. 41
ý kiến 7: Đúng, vì khoảng cách đó bằng khoảng cách giữa đƣờng thẳng
thứ nhất với mặt phẳng song song với nó và chứa đƣờng thẳng thứ hai.
- Kết lu n: Có 4 cách xác định và tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng
chéo nhau:
Cách 1: Tìm đƣờng vuông góc chung, rồi tính độ dài đoạn vuông góc
chung đó.
Cách 2: Tìm khoảng cách giữa đƣờng thẳng này với mặt phẳng song
song với nó và chứa đƣờng thẳng kia.
Cách 3: Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song tƣơng ứng
chứa 2 đƣờng thẳng đó.
Cách4: Tìm khoảng cách từ một điểm trên đƣờng thẳng này tới mặt
phẳng song song với nó và chứa đƣờng thẳng kia.
d) Phân tích- ánh giá
- Khi cho học sinh thực hiện các hoạt động trong tình huống trên, các em
bị cuốn hút vào mục tiêu kiến thức thông qua một tình huống phải đánh giá
tính đúng sai ý kiến một học sinh khác.
- Các hoạt động trong phiếu học tập thay đổi về hình thức từ đánh giá
tính đúng sai đến trình bày cách hiểu về định lý học sinh từ suy nghĩ độc lập
cá nhân đến thảo luận nhóm ngoài ý kiến của mình phải lắng nghe thêm ý
kiến của bạn khác, đặt câu hỏi tranh luận khi cần. Do đó học sinh phải có sự
thích nghi phù hợp với các hoạt động.
- Đây là tình huống học sinh có nhiều cơ hội để giao tiếp toán học, có
nhiều ý kiến tranh luận trƣớc khi đƣa ra kết luận chính xác.

48. 42
2.2. Dạ học định lý
2.2.1. Một số vấn đề về dạy học định lý
a) Vị trí và y u cầu của việc dạy học định l
Trong Toán học, việc dạy học định lý nhằm cung cấp cho học sinh một
hệ thống kiến thức cơ bản của bộ môn, là cơ hội rất thuận lợi để phát triển ở
học sinh khả năng suy luận và chứng minh, góp phần phát triển ở học sinh
khả năng suy luận và chứng minh, góp phần phát triển trí tuệ. Việc dạy học
định lý cần đạt đƣợc các yêu cầu:
- Nắm đƣợc nội dung các định lý và những mối liên hệ giữa chúng,
từ đó có khả năng vận dụng các định lý vào hoạt động giải toán cũng nhƣ
những ứng dụng khác.
- Làm cho học sinh thấy đƣợc sự cần thiết phải chứng minh định lý một
cách chặt chẽ, suy luận chính xác (tuy nhiên phù hợp với nhận thức của học
sinh ở độ tuổi THPT)
- Hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học, từ chỗ hiểu
chứng minh, trình bày lại đƣợc chứng minh, nâng lên đến mức độ biết cách
suy nghĩ để tìm ra chứng minh theo yêu cầu của chƣơng trình phổ thông.
Thông qua việc học tập những định lý Toán học, học sinh biết nhìn nhận nội
dung môn Toán dƣới góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề ở mức độ yêu cầu
của chƣơng trình phổ thông.
b) Các con đ ờng dạy học định l
Dạy học định lý có thể thực hiện theo hai con đƣờng:
- Con đƣờng có khâu suy đoán, bao gồm: gợi động cơ; dự đoán và phát
biểu định lý; chứng minh định lý; vận dụng định lý;củng cố định lý.
- Con đƣờng suy diễn, bao gồm: gợi động cơ; suy luận lôgíc dẫn tới
định lý; phát biểu định lý; vận dụng định lý; củng cố định lý.
Sự khác biệt căn bản giữa hai con đƣờng đó là ở chỗ: theo con đƣờng có
khâu suy đoán thì việc dự đoán phát hiện trƣớc việc chứng minh định lí, còn ở
con đƣờng suy diễn thì hai việc này nhập lại thành một bƣớc. Việc lựa chọn
Tải bản FULL (96 trang): https://bit.ly/3fQM1u2
Dự phòng: fb.com/KhoTaiLieuAZ

49. 43
con đƣờng nào không phải tuỳ tiện mà còn phụ thuộc nội dung định lý và điều
kiện cụ thể về đối tƣợng học sinh.
c) Dạy học định l theo h ớng phát triển năng lực giao tiếp toán học
Trong các con đƣờng dạy học định lý nêu trên, thì con đƣờng có khâu
suy đoán là cơ hội cho học sinh đƣợc thể hiện năng lực giao tiếp toán học. Cụ
thể, con đƣờng đó diễn ra theo các bƣớc sau:
- Gợi động cơ học tập định lý, có thể bằng cách đƣa ra một tình
huống cụ thể, kích thích học sinh chú ý, tìm hiểu.
- Cho học sinh quan sát các đối tƣợng thoả mãn các điều kiện hoặc kết
luận của định lý;
- Tổ chức cho học sinh tiến hành các phép kiểm tra, so sánh, phân loại
các đối tƣợng nhằm làm bộc lộ quy luật ẩn chứa bên trong các đối tƣợng.
Trong quá trình thực hiện, tuỳ theo mức độ giáo viên có thể định hƣớng cho
học sinh đi đến các dự đoán thông qua việc xem xét các trƣờng hợp đặc biệt:
+ Dự đoán và phát biểu định lý dƣới dạng một mệnh đề;
+ Chứng minh mệnh đề đó đúng để nó trở thành định lý;
+ Củng cố và vận dụng định lý trong các bài tập.
2.2.2. Thiết kế một số tình huống dạy học định lí theo hướng phát triển
năng lực giao tiếp toán học cho học sinh
Tình huống 2.1: Dạy học định lý về điều kiện để đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng
Định lý: Nếu một đƣờng thẳng vuông góc với hai đƣờng thẳng cắt nhau
cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
a) Mục ti u
Về kiến th c
- Giúp học sinh dự đoán và phát biểu nội dung định lý bằng suy đoán
thông qua khái quát hóa một tình huống cụ thể.
Về kĩ năng
- Biết các cách chứng minh đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Tải bản FULL (96 trang): https://bit.ly/3fQM1u2
Dự phòng: fb.com/KhoTaiLieuAZ

50. 44
Về t duy
- Rèn luyện tƣ duy logic, phân tích, tổng hợp, hội thoại có phê phán.
Về thái độ
- Tích cực, hợp tác, liên hệ tốt với thực tế.
Về năng lực
- Giúp học sinh phát triển năng lực giao tiếp toán học.
b) Chuẩn bị:Học sinh đã học khái niệm đƣờng thẳng vuông góc với
đƣờng thẳng, đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng.
c) Triển khai
- Hoạt động tiếp c n: Nếu đƣờng thẳng d vuông góc với hai đƣờng
thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đƣờng thẳng d có
vuông góc với mặt phẳng (P) hay không
PHIẾU HỌC TẬP
Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’.
a/ Phải chăng AA' vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
b/ AA' có vuông góc với các cạnh AB, DC và BD không?
c/ Nếu trong mặt phẳng (ABCD ) lấy đƣờng thẳng a bất kỳ thì đƣờng thẳng
này có vuông góc với đƣờng thẳng AA' không?
d/ Đƣờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) chứa hai đƣờng thẳng song
song a và b nên đƣờng thẳng d vuông góc với a và b. Ngƣợc lại, nếu đƣờng
thẳng d vuông góc với hai đƣờng thẳng song song a và b nằm trong mặt
phẳng (P) thì kết luận đƣờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) là đúng
hay sai?
e/Cần ít nhất bao nhiêu đƣờng thẳng trong mặt phẳng (P) vuông góc với
đƣờng thẳng d thì đƣờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) và hai đƣờng
thẳng đó phải có điều kiện gì?
6832205