高校数学の幾何学の問題です． この問題を解くには，「数学Ⅱ」まで学習していると望ましいです．

1. 高校数学幾何学の問題
ΔABCがあり，AC=BC=1,
∠ACB= 휋
2
である．点Pは線分
BC上を動き，点Qは∠APQ=
휋
2
をみたすようにして線分AB上
を動く．このとき，線分AQの
長さの最小値を求めよ．
A
B
P
C
Q
1
1

2. 次のスライド以降では3通りの解法を述べたい
と思う．
解法を見る前に一度自分で考えてみよう．

3. 解法1
方針： ∠PAC = 휃とおいて，三角比を用い
てAQを表し，AQの最小値を求める．
【解答例】
∠PAC = 휃とおく0 ≤ 휃 ≤ 휋
4
．すると，
cos 휃 =
1
AP
である．また，∠QAP =
휋
4
− 휃 なので，
cos 휋
4 − 휃 =
AP
AQ
である．ゆえに，
A
B
P
C
Q
휋
4 − 휃
1
1
휃

4. cos 휃 cos 휋
4 − 휃 =
1
AQ
が成り立つ．
1
AQ
の値が最大となるとき，AQは最小となることに注意せよ．
1
AQ
= cos 휃 cos
휋
4
− 휃
=
1
2
cos 휃 +
휋
4
− 휃 + cos 휃 −
휋
4
− 휃
=
1
2
1
2
+ cos 휃 −
휋
4
（cf. 積和公式）

5. よって，휃 =
휋
4
のとき1
AQ
は最大値1
2
1
2
+ 1 =
2+1
2 2
をとる．
ゆえに，휃 =
휋
4
のとき， AQ は最小値2 2
2+1
= 4 − 2 2 をとる．
（解法1終わり）

6. 解法2
方針：PC=푥, AQ=푦 とおいて，푦 を푥 の
式で表し， 푦 の最小値を求める．
【解答例】
PC=푥, AQ=푦 とおく（0 ≤ 푥 ≤ 1）．ピタ
ゴラスの定理より，
AP = 푥2 + 1
PQ = 푦2 − 푥2 − 1
である．
BP = 1 − 푥 , BQ = 2 − 푦, ∠PBQ =
휋
4
であるので，ΔPBQに余弦定理を適用
して，
1 − 푥
A
B
P
C
Q
1
푦
푥
2 − 푦

7. 푦2 − 푥2 − 1
= 2 − 푦
2
+ 1 − 푥 2 − 2 2 − 푦 1 − 푥 cos
휋
4
これを整理すると，
푦
2
=
푥2 + 1
푥 + 1
を得る．（もし「数学Ⅲ」の知識があるなら，これを微分して増減
表をかいて푦 の最小値を求めてもよい．）
ゆえに，
푦
2
=
푥 + 1 푥 − 1 + 2
푥 + 1
= 푥 − 1 +
2
푥 + 1
= −2 + 푥 + 1 +
2
푥 + 1
≥ −2 + 2 푥 + 1
2
푥 + 1
= −2 + 2 2
（相加平均≧相乗平均より）

8. 等号は푥 + 1 =
2
푥+1
のとき，すなわち푥 = 2 − 1のとき成り
立つ（ 0 ≤ 2 − 1 ≤ 1 ）.
ゆえに푦 = AQ の最小値は
2 −2 + 2 2 = 4 − 2 2
である．
（解法2終わり）

9. 解法3
【解答例】
ΔAPQの外接円をΓとする． ∠APQ=
휋
2
なので，AQはΓの直径となる．AQの最
小値を考えているので， Γをできるだけ
小さくしたいが，あまり小さくしすぎると，
線分BCとΓが共有点をもたなくなってし
まう．点Pは線分BCとΓの共有点なので
これはまずい．AQの長さが最小のとき，
Γは点Pにおいて線分BCに接している．
（これ以上AQを小さくすると， Γと線分
BCが離れてしまう．）
A
B
1 O
P
C
Q
1
Γ

10. このとき， Γの半径を푟とすると，
AQ = 2푟, OP = 푟 である． Γは点Pで線
分BCに接しているので，∠OPB =
휋
2
であ
る．よってΔBPOは直角二等辺三角形
であり，BO = 2푟 である．ゆえに，
2 = AB = 푟 + 2푟 = 1 + 2 푟
∴ 푟 = 2 − 2
ゆえにAQの最小値は
2푟 = 4 − 2 2
である．
（解法3終わり）
A
B
1 O
P
C
Q
1
Γ