単調減少な数列の級数問題

1. (1)単調減少な正数列{𝑎 𝑛}n∈Nが０に収束するなら級数𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − ⋯ + −1 𝑛−1
𝑎 𝑛 + ⋯は収束することを証明せよ。
(2) lim
n→∞ 0
1 𝑥 𝑛
1+𝑥
𝑑𝑥 = 0を示せ。
(3) 等式
1
1+𝑥
= 1 − 𝑥 + 𝑥2 − ⋯ + −1 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 +
−1 𝑛 𝑥 𝑛
1+𝑥
の両辺を0と1まで積分することにより、級数
1 −
1
2
+
1
2
− ⋯ +
−1 𝑛−1
𝑛
+ ⋯の値を求めよ。

2. (1)単調減少な正数列{𝑎 𝑛}n∈Nが０に収束するなら級数𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − ⋯ + −1 𝑛−1
𝑎 𝑛 + ⋯は収束することを証明せよ。
証明
𝑇𝑛 = Σi=1
n
−1 i−1
とすると、 −1 𝑖−1
= 𝑇𝑖 − 𝑇𝑖−1となる。また 𝑇𝑛 ≦ 1なので、Sn = Σi=1
N
−1 i−1
aiとすると、M>Nの時
𝑆 𝑀 − 𝑆 𝑁 = |Σi=𝑁+1
n
−1 i−1
|
=| 𝑇 𝑁+1 − 𝑇 𝑁 𝑎 𝑁+1 + ⋯ + 𝑇 𝑀 − 𝑇 𝑀−1 𝑎 𝑀| = | − TNaN+1 + TN+1 aN+1 − aN+2 + ⋯ + TM−1 aM−1 − aM + TMaM|
= TN aN+1 + |TN+1 aN+1 − aN+2 + ⋯ + TM−1 aM−1 − aM +|TM |aM|
≦𝑎 𝑁+1 + (𝑎 𝑁+1 − 𝑎 𝑁+2 )+…+ aM−1 − aM +aM=2𝑎 𝑁+1→０
よって{𝑆 𝑁}はコーシー列なので収束する。
コーシー列が収束することは[杉浦]解析入門１参照
(2) lim
n→∞ 0
1 𝑥 𝑛
1+𝑥
𝑑𝑥 = 0を示せ。
証明
1≦1+x≦2なので
０≦ 0
1 𝑥 𝑛
1+𝑥
𝑑𝑥 ≦ 0
1 𝑥 𝑛
1
𝑑𝑥 =
1
𝑛+1
→ 0 (n→∞ よってはさみ打ちの原理から lim
n→∞ 0
1 𝑥 𝑛
1+𝑥
𝑑𝑥 = 0
(3) 等式
1
1+𝑥
= 1 − 𝑥 + 𝑥2
− ⋯ + −1 𝑛−1
𝑥 𝑛−1
+
−1 𝑛 𝑥 𝑛
1+𝑥
の両辺を0と1まで積分することにより、級数
1 −
1
2
+
1
2
− ⋯ +
−1 𝑛−1
𝑛
+ ⋯の値を求めよ。
証明
1
1 + 𝑥
= 1 − 𝑥 + 𝑥2
− ⋯ + −1 𝑛−1
𝑥 𝑛−1
+
−1 𝑛
𝑥 𝑛
1 + 𝑥
左辺を積分すると 0
1 𝑥1
1+𝑥
𝑑𝑥 =log2 右辺はΣi=1
n
−1 i−1
/𝑖なので|log2-Σi=1
n
−1 i−1
/𝑖|= 0
1 −1 𝑛 𝑥 𝑛
1+𝑥
𝑑𝑥≦ 0
1 𝑥 𝑛
1+𝑥
𝑑𝑥 → 0(𝑛 → ∞
よって答えはlog2