NPC April Fool's Contest Wrapping potato chips is fun

1. 楽しいポテトチップスの袋詰め
(Wrapping potato chips is fun) 解説
@okuraofvegetabl

2. 問題概要
 ２つの自然数 N,K が与えられる。
 １≦N,K≦３*１０^６
 １≦A1＜A2…Ak-1＜Ak≦N
 A(奇数)＝奇数、A(偶数)＝偶数
 を満たす数列Aの数(mod １０^９+７)を求めたい。
 ぽてち先生は韓国に行っている。

3. 考察(1)
 自明な場合
- KがNより大きいとき、条件を満たす数列が
存在しないのは明らか
- 逆に、NがK以上のとき、条件を満たす数列が
少なくとも一つ存在する
(A1=１,A2=２…,AK=K)

4. 考察(2)
 N,Kがそれぞれn,kのときのmodをとる前の解を
f(n,k)と表すことにする。
 nとkの偶奇が異なるとき、
- Akの偶奇はkと同じでn以下なのでnは使われない
- f(n,k)=f(n-1,k)
- したがってn,kの偶奇が一致する場合のみ考えればよい

5. 考察(2)
 N＝Kのとき
- 解は (A1=１,A2=２…,AK=K) の１通りのみ。
- ゆえにf(n,k)=１
- 先程の考察を考慮すると、N＝K+１のときも
- f(n,k)=１

6. 考察(3)
 今後は、n,kの偶奇は一致しているとします。
 f(n,k)をA1が１の時とそうでない時に分けて考えてみると
…

7. A1が1のとき
 ２以上n以下の整数からA2,A3…Akを条件を満たすように
選ぶ方法の数
- この問題は１以上n-１以下の整数からA1A2…Ak-1を
条件を満たすように選ぶ問題に帰着できる。
- したがってf(n-１,k-１)に等しい

8. A1が1でないとき
 ３以上n以下の整数からA1,A2…Akを条件を満たすように
選ぶ方法の数
- A1は奇数なので少なくとも３以上だから
- この問題は１以上n-２以下の整数からA1A2…Akを
条件を満たすように選ぶ問題に帰着できる。
-したがってf(n-２,k)に等しい

9. 考察(4)
 以上より、
f(n,k)=f(n-１,k-１)+f(n-２,k) (n≧３)

10. ん?、これは漸化式…

11. DPだ！！

12. え、でもちょっと待てよ、

13. １≦N,K≦３*１０^６
(絶望)

14. とりあえず埋めてみる
K＼N １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
１ １ １ ２ ２ ３ ３ ４
２ × １ １ ３ ３ ６ ６
３ × × １ １ ４ ４ １０
４ × × × １ １ ５ ５

15. とりあえず埋めてみる
K＼N １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
１ １ １ ２ ２ ３ ３ ４
２ × １ １ ３ ３ ６ ６
３ × × １ １ ４ ４ １０
４ × × × １ １ ５ ５

16. とりあえず埋めてみる
K＼N １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
１ １ １ ２ ２ ３ ３ ４
２ × １ １ ３ ３ ６ ６
３ × × １ １ ４ ４ １０
４ × × × １ １ ５ ５
勘のいい方ならもうお気づきかもし
れませんが…

17. パスカルの三角形っぽい

18. パスカルの三角形

19. パスカルの三角形

20. 考察(5)
 出てくる数字がパスカルの三角形にもある
-> nCrの形で表せるのでは？
- 実際、あの表を手で書いてみて
パスカルの三角形との対応を考えると
f(n,k) = (n+k)/2Ｃk だとわかる。

21. 証明(1)
 実は、今までの漸化式などは全く考える必要がなかった。
 まず、A０=０、Ak+１=n+１とする。
 ここで、階差数列 Bi = Ai+1-Ai (０≦i≦k) を考える。
任意のBiは奇数で、定義より、
B０+B1+…+Bk = Ak+1 - A０ = n+１ である。
 Ci=(Bi – １)/２ (０≦i≦k)とおくと、
C０+C1+…+Ck = {(n+１)-(k+１)}/２ = (n-k)/２

22. 証明(2)
 各Ciには非負整数を好きな順で入れられるので、
f(n,k)は、総和が(n-k)/２となる要素数がk+１個の
非負整数列(重複可)の数と一致する。
この場合の数は(n-k)/２個の○と
(k+１)-１=k個の｜を並べる場合の数に対応する。
 ゆえに f(n,k) = {(n-k)/２+k} Ｃk = (n+k)/２ Ｃk

23.  nＣr = n!/(n-r)!/r!
 これであとは普通に計算するだけですが、
注意すべきことが一つだけあります。
(ある程度問題を解いている方にはあたりまえだろ、
といわれてしまいそうですが…)

24. MODがらみの計算
 ある値のmod hoge を出力せよという問題は多々ありま
す。
 hogeが素数の時（本問）、足し算、引き算、掛け算は
普通に計算して逐一modをとれば問題ありません。
 では割り算をしたいときはどうすればいいのでしょうか…

25. MODで割り算
 MODのからむ計算で、xで割り算をしたいときは、
1/xと等価な数(逆元,x^-1)を掛けてやることで、
正しく値を求めることができます。
 本問ではmod 素数なので、
フェルマーの小定理よりx^(p-1)≡１(mod p)
で、xの逆元はx^(p-2)(mod p)となります。

26. 逆元
 しかし本問では、n回も割り算をしないといけないので、
累乗に繰り返し２乗法を用いても間に合わないかも
知れません。
 実は、xの逆元は１…x-１の逆元から簡単に求めることがで
きて、１からxまでの逆元はＯ(x)で列挙することができま
す。
 xの逆元をinv[x]で表すと、
inv[x]=MOD-(MOD/x)*inv[MOD%x]%MOD

27. 計算量
 １から(N+K)/２までの逆元の列挙でＯ（N+K）
 {(N+K)/２}!と{(N-K)/２}!、K!の逆元を求めるのにＯ(N+K)
 あわせてＯ（N+K)

28.  Submit数 １８
 AC数 ９
 FA ＩＨ１９９８０４１２(ＨＩＲ１８０) (１:２３)