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量子アニーリングを用いたクラスタ分析

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量子アニーリングを用いたクラスタ分析

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Googleの栗原賢一さん、東京大学の宮下精二先生との共同研究論文 "Quantum Annealing for Clustering"の解説スライドです。

論文は以下からダウンロードできます。
Quantum Annealing for Clustering
http://www.cs.mcgill.ca/~uai2009/papers/UAI2009_0019_71a78b4a22a4d622ab48f2e556359e6c.pdf

以下は日本語の解説です。
量子アニーリング法を用いたクラスタ分析
http://www.shutanaka.com/papers_files/ShuTanaka_DEXSMI_10.pdf

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Quantum Annealing for Clustering
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量子アニーリングを用いたクラスタ分析

  1. 1. 量量⼦子アニーリングを⽤用いた クラスタ分析 Kenichi Kurihara, Shu Tanaka, and Seiji Miyashita “Quantum Annealing for Clustering”, UAI2009 QuantumAnnealing Simulated annealing Hybrid annealing
  2. 2. 本研究の概要 量量⼦子アニーリングを、クラスタ分析に適⽤用した。 ✔  量量⼦子アニーリングをモンテカルロ法により実装した。 ✔  量量⼦子アニーリングの効率率率が、シミュレーテッドアニーリングの       効率率率よりも良良いことを、具体的な問題を通じて観測した。 シミュレーテッドアニーリング     組合せ最適化問題の最適解を得る⼿手法。熱揺らぎを徐々に弱める     (温度度を徐々に下げる)ことにより、最適解を⽣生成する。 量量⼦子アニーリング     シミュレーテッドアニーリングの量量⼦子版。量量⼦子揺らぎを徐々に     弱めることにより、最適解を⽣生成する。 クラスタ分析     データ列列をグループ分けする⽅方法。     様々な分野における応⽤用がある。
  3. 3. 物理理学の知⾒見見を活かした 組合せ最適化問題解法
  4. 4. 組合せ最適化問題 多数の選択肢から、ベストな解を選ぶ問題 巡回セールスマン問題      ✔  各点を⼀一度度だけ通過      ✔  全ての点を回る      ✔  コストを最⼩小にする条件 全ての選択肢を試す?      点が少ない:簡単      点が多い  :困難      選択肢の数:N!      (10点:106   通り、20点:1018 通り)
  5. 5. 組合せ最適化問題 都市数 巡回経路路数 計算時間(京を利利⽤用として) 5 12 10-‐‑‒15 秒 10 2x105 2x10-‐‑‒11 秒 15 4x108 4x10-‐‑‒8 秒 20 6x1016 6秒 25 3x1023 359⽇日 30 4x1030 1401万年年 多変数実関数の最⼩小値(最⼤大値)を取る条件を求める問題 x = argminxf(x) x = (x1, · · · , xN ) 多数の選択肢から、ベストな解を選ぶ問題 巡回セールスマン問題を総当り戦で調べた場合
  6. 6. 組合せ最適化問題 問題の サイズ 解の候補 指数関数的増⼤大 多変数実関数の最⼩小値(最⼤大値)を取る条件を求める問題 x = argminxf(x) x = (x1, · · · , xN ) 多数の選択肢から、ベストな解を選ぶ問題
  7. 7. 組合せ最適化問題とイジング模型 磁性体の物理理と、情報科学のビット表現は等価 00010110 スピン ビット ピクセル
  8. 8. Ising  モデル H = i,j Jij z i z j z i = ±1 強磁性相互作⽤用 基底状態が簡単に分かる 強磁性 反強磁性 基底状態が簡単に分からない ランダムスピン系 反強磁性相互作⽤用 並進対称性   フーリエ変換:基底状態の解析 最適化問題の汎⽤用的解法   シミュレーテッドアニーリング   交換法 相互作⽤用による協調または競合を 最も端的に表現する理理論論模型
  9. 9. シミュレーテッドアニーリング シミュレーテッドアニーリング   温度度を徐々に下げる z i = ±1 つながっている   スピン(ビット)間の 相互作⽤用 スピン(ビット)に   働く強制⼒力力   (磁場) Hopt. = i,j Jij z i z j i hi z i ✔  モンテカルロ法   ✔  変分ベイズ法 絶対ゼロ度度 S.  Kirkpatrick,  C.  D.  Gelatt,  and  M.  P.  Vecchi,  Science,  Vol.  220,  671  (1983) 温度度   (熱ゆらぎ効果)
  10. 10. 量量⼦子アニーリング 温度度   (熱ゆらぎ効果) シミュレーテッドアニーリング   温度度を徐々に下げる 量量⼦子ゆらぎ効果 z i = ±1 つながっている   スピン(ビット)間の 相互作⽤用 Hopt. = i,j Jij z i z j i hi z i 量量⼦子アニーリング   量量⼦子効果を徐々に弱める ✔  モンテカルロ法   ✔  変分ベイズ法   ✔  シュレディンガー⽅方程式   ✔  実験 スピン(ビット)に   働く強制⼒力力   (磁場) 絶対ゼロ度度 S.  Kirkpatrick,  C.  D.  Gelatt,  and  M.  P.  Vecchi,  Science,  Vol.  220,  671  (1983) T.  Kadowaki  and  H.  Nishimori,   Phys.  Rev.  E  Vol.  58,  5355  (1998).
  11. 11. 量量⼦子アニーリング Hopt. = i,j Jij z i z j i hi z i 最適化問題のハミルトニアン  (⾏行行列列を使って表現) z i = ±1 Hopt. = i,j Jij ˆz i ˆz j i hiˆz i ˆz i = 1 0 0 1 ˆz i | = + | , ˆz i | = | ˆz i | = 1 0 0 1 1 0 = 1 0 = + | 2N x2N の対⾓角⾏行行列列
  12. 12. 量量⼦子アニーリング 量量⼦子ゆらぎ効果の導⼊入  (⾮非対⾓角項の導⼊入) Hq = i ˆx i ˆx i = 0 1 1 0 ˆx i | = | , ˆx i | = | スピンを反転   (ビット反転) ˆx i の固有状態: | = 1 2 (| + | ) , | = 1 2 (| | ) 重ね合わせ状態の実現 量量⼦子⼒力力学的遷移
  13. 13. 量量⼦子アニーリング 量量⼦子ゆらぎ効果の導⼊入  (⾮非対⾓角項の導⼊入) Hq = i ˆx i ˆx i = 0 1 1 0 ˆx i | = | , ˆx i | = | スピンを反転   (ビット反転) 量量⼦子⼒力力学的遷移 Hq の基底状態: | · · · | = 1 2 (| + | + | + | ) 全てのビット表現が、等確率率率で重ね合わさった状態
  14. 14. 量量⼦子アニーリング 量量⼦子ゆらぎ効果の導⼊入  (⾮非対⾓角項の導⼊入) Hq = i ˆx i ˆx i = 0 1 1 0 ˆx i | = | , ˆx i | = | スピンを反転   (ビット反転) 量量⼦子⼒力力学的遷移 最適化問題のハミルトニアン  (⾏行行列列を使って表現) Hopt. = i,j Jij ˆz i ˆz j i hiˆz i ˆz i = 1 0 0 1
  15. 15. 量量⼦子アニーリング H(t) = A(t)Hopt. + B(t)Hq 最適化問題の   ハミルトニアン 量量⼦子ゆらぎ効果 A(t) B(t) 時刻  t 1 0 0 最適化問題のハミルトニアン量量⼦子ゆらぎ効果
  16. 16. クラスタ分析
  17. 17. クラスタ分析 与えられたデータ全集合を、部分集合に分割する問題 ・新聞記事のカテゴリー分類   ・グループの検出   ・スペクトルの分離離 given:  N個の⽂文書・K個のトピック   ・⽂文書  i  において、vi  個の単語   ・⽂文書  i  中の単語  j  (wij)  はトピック  k  に属する   ・各⽂文書は  K  個のトピックの混合分布  θi   ・トピック  k  は対応する単語分布  φk  (wij を⽣生成) ure 2: Illustrative explanation of QA. The left figure ws m independent SAs, and the right one is QA algo- hm derived with the Suzuki-Trotter (ST) expansion. σ notes a clustering assignment. he me nt ta ts. o- ed er cluster 1; cluster 2; cluster 3; cluster 4; σ1 (local optimum) σ2 (local optimum) ure 2: Illustrative explanation of QA. The left figure ws m independent SAs, and the right one is QA algo- m derived with the Suzuki-Trotter (ST) expansion. σ otes a clustering assignment. e e t a s. - d r cluster 1; cluster 2; cluster 3; cluster 4; σ1 (local optimum) σ2 (local optimum) adds another dimension to simulated annealing (SA) to control a model. QA iteratively decreases T and Γ whereas SA decreases just T. Figure 2: Illustrative explanation of QA. shows m independent SAs, and the right o rithm derived with the Suzuki-Trotter (ST denotes a clustering assignment. globally optimal solutions like σ1 and σ2, where the majority of data points are well-clustered, but some of them are not. Thus, a better clustering assignment can be constructed by picking up well-clustered data points from many sub-optimal clustering assignments. Note an assignment constructed in such a way is lo- cated between the sub-optimal ones by the proposed quantum effect Hq so that QA-ST can find a better assignment between sub-optimal ones. 2 Preliminaries First of all, we introduce the notation used in this paper. We assume we have n data points, and they are assigned to k clusters. The assignment of the i- th data point is denoted by binary indicator vector ˜σi. For example, when k is equal to two, we denote the i-th data point assigned to the first and the sec- ond cluster by ˜σi = (1, 0)T and ˜σi = (0, 1)T , re- cluster 1; cluster 2; clu σ1 (local optimum) σ2 σ∗ (global optimum)
  18. 18. 量量⼦子アニーリング
  19. 19. モンテカルロ法 古典ハミルトニアン(KN x  KN ⾏行行列列) Hc = diag E( (1) ), · · · , E( (KN ) ) 状態更更新確率率率 pSA(˜i| ˜i) = e E( ) ˜i e E( ) ˜i = {˜j|j = i} 確率率率分布関数 pSA( ; ) = |e Hc | |e Hc | |e Hc | = e E( ) Hc が対⾓角⾏行行列列だから シミュレーテッドアニーリング+モンテカルロ   逆温度度  β  を増加させる
  20. 20. 量量⼦子アニーリング+モンテカルロ法 H = Hc + Hq 量量⼦子ハミルトニアン(KN x  KN ⾏行行列列) Hq = N i=1 x i x = (EK 1K) EK 1K :KxK の単位⾏行行列列 :全要素が1の     KxK ⾏行行列列 x = 0 0 x = 0 0 0 x = 0 0 0 0 K=2 K=3 K=4 Ising模型における 横磁場と等価 ⾮非対⾓角項導⼊入=量量⼦子効果の導⼊入 Hc = diag E( (1) ), · · · , E( (KN ) )
  21. 21. 量量⼦子アニーリング+モンテカルロ法 H = Hc + Hq 量量⼦子ハミルトニアン(KN x  KN ⾏行行列列) Hq = N i=1 x i x = (EK 1K) EK 1K :KxK の単位⾏行行列列 :全要素が1の     KxK ⾏行行列列 Hc = diag E( (1) ), · · · , E( (KN ) ) 確率率率分布関数 pQA( ; , ) = |e H | |e H| H  が⾮非対⾓角⾏行行列列であるため   計算が困難 Suzuki-‐‑‒Trotter  分解
  22. 22. 量量⼦子アニーリング+モンテカルロ法 Suzuki-‐‑‒Trotter分解:  d  次元量量⼦子系を  d+1  次元古典系に m:Trotter数 pQA( 1; , ) = 2 · · · m pQA ST( 1, 2, · · · , m; , ) + O 1 m pQA ST( 1, 2, · · · , m; , ) = 1 Z m j=1 pSA( j; /m)es( j , j+1)f( , ) s( j, j+1) = 1 N N i=1 (˜j,i, ˜j+1,i) f( , ) = log a + b b a = e m b = 1 K a(a K 1) ˜j,i:j  番⽬目のレイヤーの  i  番⽬目の        要素のクラス状態
  23. 23. 量量⼦子アニーリング+モンテカルロ法 ter (6) (8) (9) σ1 = σ′ 2 σ2 Figure 4: σ1 and σ2 give the same clustering but have different cluster labels. Thus, s(σ1, σ2) = 0. After cluster label permutation from σ2 to σ′ 2, s(σ1, σ′ 2) = 1. The purity, ˜s, gives ˜s(σ1, σ2) = 1 as well. カテゴリー分割のみを考えている          左右の状態は同じ 状態(⾊色)の置換を⾏行行い、ドメインウォールを防ぐ。   各ステップでこの操作を⾏行行う。
  24. 24. 類似⽅方法との⽐比較 1 2 ... m 1 2 ... m 1 2 ... m 1 2 ... m 1 2 ... m 1 2 ... m 1 2 ... m 時間 シミュレーテッドアニーリング S.  Kirkpatrick,  C.  D.  Gelatt,  and  M.  P.  Vecchi,  Science,  Vol.  220,  671  (1983) 熱揺らぎの効果を⽤用いて、安定状態を得る⽅方法。   温度度を徐々に下げる。
  25. 25. 類似⽅方法との⽐比較 1 2 ... m 1 2 ... m 1 2 ... m 1 2 ... m 1 2 ... m 1 2 ... m 1 2 ... m MCS 交換法 熱揺らぎの効果を⽤用いて、安定状態を得る⽅方法。   互いに異異なる独⽴立立なm個のレプリカを⽤用意し、   レプリカ間の状態を交換する。 K.  Hukushima  and  K.  Nemoto,  J.  Phys.  Soc.  Jpn.  Vol.  65,  1604  (1996).
  26. 26. 類似⽅方法との⽐比較 MCS 1 2 ... m 1 2 ... m 1 2 ... m 1 2 ... m 1 2 ... m 1 2 ... m 1 2 ... m 量量⼦子揺らぎの効果を⽤用いて、安定状態を得る⽅方法。   モンテカルロ法を⽤用いた場合:   並列列度度mの擬並列列化をすることに相当。 量量⼦子アニーリング K.  Kurihara,  S.  Tanaka,  and  S.  Miyashita,  UAI2009  (2009年年出版)   K.  K.  Pudenz  et  al.  のarXiv:1408.4382のQuantum  Annealing  Correction  (QAC)も類似概念念とみなせる
  27. 27. 量量⼦子・熱同時アニーリング 以下のスケジュールを検討 逆温度度: 量量⼦子揺らぎ項: = 0rt Trotter数  m  は  50  に固定 pQA ST( 1, 2, · · · , m; , ) = 1 Z m j=1 pSA( j; /m)es( j , j+1)f( , ) s( j, j+1) = 1 N N i=1 (˜j,i, ˜j+1,i) f( , ) = log a + b b a = e m b = 1 K a(a K 1) = 0e rt エネルギーが低い解=良良い解
  28. 28. 量量⼦子・熱同時アニーリング 温度度(熱ゆらぎ)Simulated Annealing QuantumAnnealing 量量⼦子ゆらぎ 最適解を得る経路路:f* 温度度を速く下げて、   その後量量⼦子項を速く弱める 効率率率が悪い経路路:f2
  29. 29. 数値計算結果 40 60 80 100 6.754 6.758 6.762 x 10 5 iteration minjE(σj) 40 60 80 100 6.756 6.758 6.76 6.762 6.764 6.766 6.768 x 10 5 iteration Ej[E(σj)] 40 60 80 100 0.6 0.8 1 iteration Ej[˜s(σj,σj+1)] MNIST with MoG rβ = 1.05 QA rΓ =1.02; f2 QA rΓ =1.05; f2 QA rΓ =1.10; f∗ QA rΓ =1.20; f∗ SA 40 60 80 100 1.78 1.8 1.82 1.84 1.86 x 10 5 iteration minjE(σj) 40 60 80 100 1.8 1.82 1.84 1.86 1.88 x 10 5 iteration Ej[E(σj)] 40 60 80 100 0 0.5 1 iteration Ej[˜s(σj,σj+1)] Reuters with LDA rβ = 1.05 QA rΓ =1.02; f2 QA rΓ =1.05; f2 QA rΓ =1.10; f∗ QA rΓ =1.20; f∗ SA 9.6 x 10 5 minjE(σj) 9.6 x 10 5 Ej[E(σj)] 0.5 1 j[˜s(σj,σj+1)] NIPS with LDA rβ = 1.05 QA rΓ =1.02; f2 QA rΓ =1.05; f2 QA rΓ =1.10; f∗ MNIST(⼿手書き⽂文字認識識5000字を30個のクラスに分類) 全レイヤー中   エネルギー最⼩小 全レイヤー   エネルギー平均 レイヤー間   類似度度(相関関数) スケジュール  f*  の場合に、 SAよりも良良い解が得られた CPU  time(QA):  21.7hours CPU  time(SA):  22.0hours 良良い解
  30. 30. 数値計算結果 40 60 80 100 6.754 6.758 6.762 x 10 5 iteration minjE(σj) 40 60 80 100 6.756 6.758 6.76 6.762 6.764 6.766 6.768 x 10 5 iteration Ej[E(σj)] 40 60 80 100 0.6 0.8 1 iteration Ej[˜s(σj,σj+1)] MNIST with MoG rβ = 1.05 QA rΓ =1.02; f2 QA rΓ =1.05; f2 QA rΓ =1.10; f∗ QA rΓ =1.20; f∗ SA 40 60 80 100 1.78 1.8 1.82 1.84 1.86 x 10 5 iteration minjE(σj) 40 60 80 100 1.8 1.82 1.84 1.86 1.88 x 10 5 iteration Ej[E(σj)] 40 60 80 100 0 0.5 1 iteration Ej[˜s(σj,σj+1)] Reuters with LDA rβ = 1.05 QA rΓ =1.02; f2 QA rΓ =1.05; f2 QA rΓ =1.10; f∗ QA rΓ =1.20; f∗ SA 40 60 80 100 9.4 9.6 x 10 5 iteration minjE(σj) 40 60 80 100 9.4 9.6 x 10 5 iteration Ej[E(σj)] 40 60 80 100 0 0.5 1 iteration Ej[˜s(σj,σj+1)] NIPS with LDA rβ = 1.05 QA rΓ =1.02; f2 QA rΓ =1.05; f2 QA rΓ =1.10; f∗ QA rΓ =1.20; f∗ SA 9.4 9.45 9.5 x 10 5 minjE(σj) 9.4 9.5 9.6 x 10 5 Ej[E(σj)] 0.4 0.6 0.8 j[˜s(σj,σj+1)] NIPS with LDA rβ = 1.02 QA rΓ =1.02; f2 QA rΓ =1.05; f∗ QA rΓ =1.10; f∗ REUTERSの1000記事を20トピックに分割 全レイヤー中   エネルギー最⼩小 全レイヤー   エネルギー平均 レイヤー間   類似度度(相関関数) スケジュール  f*  の場合に、 SAよりも良良い解が得られた CPU  time(QA):    9.9hours CPU  time(SA):  10.0hours 良良い解
  31. 31. 数値計算結果 40 60 80 100 iteration 40 60 80 100 iteration 40 60 80 100 iteration SA 40 60 80 100 1.78 1.8 1.82 1.84 1.86 x 10 5 iteration minjE(σj) 40 60 80 100 1.8 1.82 1.84 1.86 1.88 x 10 5 iteration Ej[E(σj)] 40 60 80 100 0 0.5 1 iteration Ej[˜s(σj,σj+1)] Reuters with LDA rβ = 1.05 QA rΓ =1.02; f2 QA rΓ =1.05; f2 QA rΓ =1.10; f∗ QA rΓ =1.20; f∗ SA 40 60 80 100 9.4 9.6 x 10 5 iteration minjE(σj) 40 60 80 100 9.4 9.6 x 10 5 iteration Ej[E(σj)] 40 60 80 100 0 0.5 1 iteration Ej[˜s(σj,σj+1)] NIPS with LDA rβ = 1.05 QA rΓ =1.02; f2 QA rΓ =1.05; f2 QA rΓ =1.10; f∗ QA rΓ =1.20; f∗ SA 90 120 150 180 9.35 9.4 9.45 9.5 x 10 5 iteration minjE(σj) 90 120 150 180 9.4 9.5 9.6 x 10 5 iteration Ej[E(σj)] 90 120 150 180 0.2 0.4 0.6 0.8 iteration Ej[˜s(σj,σj+1)] NIPS with LDA rβ = 1.02 QA rΓ =1.02; f2 QA rΓ =1.05; f∗ QA rΓ =1.10; f∗ QA rΓ =1.20; f∗ SA e 6: Comparison between SA and QA varying annealing schedule. rΓ, f2 and f∗ in legends corres The left-most column shows what SA and QA found. QA with f∗ always found better results th NIPSの1684記事を20トピックに分割 全レイヤー中   エネルギー最⼩小 全レイヤー   エネルギー平均 レイヤー間   類似度度(相関関数) スケジュール  f*  の場合に、 SAよりも良良い解が得られた CPU  time(QA):  62.5hours CPU  time(SA):  62.8hours 良良い解
  32. 32. 数値計算結果 40 60 80 100 iteration 40 60 80 100 iteration 40 60 80 100 iteration SA 40 60 80 100 9.4 9.6 x 10 5 iteration minjE(σj) 40 60 80 100 9.4 9.6 x 10 5 iteration Ej[E(σj)] 40 60 80 100 0 0.5 1 iteration Ej[˜s(σj,σj+1)] NIPS with LDA rβ = 1.05 QA rΓ =1.02; f2 QA rΓ =1.05; f2 QA rΓ =1.10; f∗ QA rΓ =1.20; f∗ SA 90 120 150 180 9.35 9.4 9.45 9.5 x 10 5 iteration minjE(σj) 90 120 150 180 9.4 9.5 9.6 x 10 5 iteration Ej[E(σj)] 90 120 150 180 0.2 0.4 0.6 0.8 iteration Ej[˜s(σj,σj+1)] NIPS with LDA rβ = 1.02 QA rΓ =1.02; f2 QA rΓ =1.05; f∗ QA rΓ =1.10; f∗ QA rΓ =1.20; f∗ SA e 6: Comparison between SA and QA varying annealing schedule. rΓ, f2 and f∗ in legends corres The left-most column shows what SA and QA found. QA with f∗ always found better results th how QA’s performance for each problem like this . However, it is worth trying to develop QA- algorithms for different models, e.g. Bayesian rks, by different quantum effect Hq. The pro- algorithm looks like genetic algorithms in terms ning multiple instances. Studying their relation- s also interesting future work. Tadashi Kadowaki and Hidetoshi Nishimori. Qua nealing in the transverse Ising model. Physica E, 58:5355 – 5363, 1998. S. Kirkpatrick, C. D. Gelatt, and M. P. Vecchi. O tion by simulated annealing. Science, 220(45 680, 1983. Percy Liang, Michael I. Jordan, and Ben Tas permutation-augmented sampler for DP mixtu NIPSの1684記事を20トピックに分割 全レイヤー中   エネルギー最⼩小 全レイヤー   エネルギー平均 レイヤー間   類似度度(相関関数) スケジュール  f*  の場合に、 SAよりも良良い解が得られた CPU  time(QA):  62.5hours CPU  time(SA):  62.8hours 良良い解
  33. 33. 量量⼦子・熱同時アニーリング 温度度(熱ゆらぎ)Simulated Annealing QuantumAnnealing 量量⼦子ゆらぎ 最適解を得る経路路:f* 温度度を速く下げて、   その後量量⼦子項を速く弱める 効率率率が悪い経路路:f2
  34. 34. まとめ 量量⼦子アニーリングを、クラスタ分析に適⽤用した。 ✔  量量⼦子アニーリングをモンテカルロ法により実装した。 ✔  量量⼦子アニーリングの効率率率が、シミュレーテッドアニーリングの       効率率率よりも良良いことを、具体的な問題を通じて観測した。 シミュレーテッドアニーリング     組合せ最適化問題の最適解を得る⼿手法。熱揺らぎを徐々に弱める     (温度度を徐々に下げる)ことにより、最適解を⽣生成する。 量量⼦子アニーリング     シミュレーテッドアニーリングの量量⼦子版。量量⼦子揺らぎを徐々に     弱めることにより、最適解を⽣生成する。 クラスタ分析     データ列列をグループ分けする⽅方法。     様々な分野における応⽤用がある。
  35. 35. Thank you ! Kenichi Kurihara, Shu Tanaka, and Seiji Miyashita “Quantum Annealing for Clustering”, UAI2009

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