concetto di limite

1. LIMITI
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2. UN PO’ DI STORIA
Già attorno alla metà del XVIII secolo, la voce
limite appare nell'Encyclopedy di Diderot e
d'Alembert.
D'Alembert, che compila la voce assieme
all'Abbé de la Cappelle, sostiene la necessità di
porre la teoria del limite alla base del calcolo
differenziale, calcolo che era stato scoperto da
Leibniz e Newton alla fine del XVII secolo,
basato sull'uso degli infinitesimi.
2
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3. Cauchy
“1800”
Come data di nascita del concetto di limite si
considera il 1821, perché in quell'anno L. A. Cauchy
(1789 – 1857) pubblica il suo Cours d'analyse, cioè
l'opera che raccoglie le sue lezioni di analisi tenute
presso l'École Polytechnique di Parigi. Qui Cauchy dà
una definizione di limite in questi termini
Egli formulò una definizione, relativamente
precisa, di limite:
"Quando i valori successivi attribuiti a una variabile si avvicinano
indefinitamente a un valore fissato così che finiscono con il
differire da questo per una differenza piccola quanto si vuole, 3
quest'ultimo viene detto il limite di tutti gli altri ". .
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4. L’ultima parola nell’opera di
consolidamento delle fondamenta
dell’analisi matematica la scrissero il
matematico tedesco Karl Weierstrass
(1815 -1897) e i suoi allievi.
Weierstrass
Il matematico Weierstrass formalizza,con il concetto
di limite, il fatto che:
una serie infinita di termini può “tendere” a un numero
finito.
Su queste fondamenta , Weierstrass costruì l’edificio
dell’analisi matematica che resiste ancora ai nostri
4
giorni.
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5. APPROCCIO AL CONCETTO DI LIMITE
Consideriamo la seguente funzione:
Il dominio è dato da tutti i
x + x−2 2
numeri reali, escluso 1 cioè
y=
x −1 D: ( - ∞; 1 ) U ( 1; + ∞)
Vogliamo studiare il comportamento della
funzione nelle vicinanze del valore 1, sostituiamo
al posto della x valori vicini a 1
Scomponendo il numeratore: y =
( x − 1)( x + 2)
x −1
Quindi la funzione, per x ≠ 1, è equivalente
alla funzione di equazione y = x+2
5
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6. IL GRAFICO
Risulta facile costruire il grafico della
funzione y = x + 2 per x ≠ 1
y
•nel punto x=1 la funzione non esiste
3 •per x= 0 y= 2
•per valori di x molto vicini a 1 la
2 funzione si avvicina a 3.
o
1 x
Costruiamo una tabella con i valori che la
6
funzione assume quando la x si avvicina a 1
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7. TABELLA
x y
Nella funzione y = x + 2 per x ≠1
0,9 2,9
sostituiamo al posto della x valori, che
0,99 2,99
si avvicinano sempre di più a 1, per
0,999 2,999
difetto e per eccesso e costruiamo una
. .
tabella 0,9 1 1,1 .
. .
.
1 ∃
Dalla tabella si vede che avvicinandoci .
. .
.
. .
sia da sinistra che da destra a 1, il 1,0001 3,0001
corrispondente valore di y si avvicina 1,001 3,001
a 3 ( rispettivamente per difetto e per 1,01 3,01
eccesso) 1,1 3,1
In simboli lim f ( x ) = 3 si legge
x→1
7
Il limite per x che tende a 1 di f(x) è 3.
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8. Ritorniamo alla funzione di partenza
x2 + x − 2
lim =3
x →1 x −1
Osservando il grafico, consideriamo sull’asse y i punti
3-ε e 3+ε
dove ε è un numero positivo,
3+ε
f ( x) piccolo. In corrispondenza ad esso è
3 possibile trovare un intorno I(1). Se
3−ε
prendiamo un qualsiasi valore di x
2 appartenente a questo intorno,
o diverso da 1, il corrispondente
1 x valore f(x) è compreso tra
I(1)
3 - ε e 3 + ε ovvero:
3 − ε < f ( x) < 3 + ε f (x) − 3 < ε 8
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9. IL CONCETTO INTUITIVO DI
LIMITE y = f(x) ammette limite l per x
La funzione
tendente a x0 se tutte le x0 situate nelle
“immediate vicinanze” di x = x0 ( a parte
x=x0 stesso, di cui ci disinteressiamo)
hanno come corrispondente delle y che si
trovano nelle “immediate vicinanze” di y=l.
Scriveremo allora: lim f ( x) = l
x →c
9
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10. PER X CHE TENDE A UN VALORE
FINITO
 Si dice che una funzione y=f(x) ha per limite il
numero reale l per x che tende a x0 e si scrive:
lim f ( x) = l
x → x0
quando comunque si scelga un numero reale
positivo ε si può determinare un introno
completo di x0 tale che risulti
|f(x)–l|<ε
per ogni x appartenente ad I, diverso (al più) da
x0 .
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11. IL LIMITE FINITO DI UNA FUNZIONE
PER X CHE TENDE A UN VALORE
FINITO
lim f ( x) = l
x → x0
l+ε
l
l–ε
I
x0
∀ε > 0 ∃ I(x0) / ∀x ∈ I ⇒ |f(x) – l|< ε
11
Per ogni esiste tale che allora
appartenente
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12. IL LIMITE FINITO DI UNA FUNZIONE
PER X CHE TENDE ALL’INFINITO
 Si dice che una funzione y=f(x) ha per
limite il numero reale l per x che tende a x0
e si scrive:
lim f ( x) = l
x → +∞
quando comunque si scelga un numero
reale positivo ε si può determinare un
intorno I di + ∞ tale che risulti
|f(x)–l|<ε
per ogni x appartenente ad I.
12
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13. IL LIMITE FINITO DI UNA FUNZIONE
PER X CHE TENDE ALL’INFINITO
lim f ( x) = l
x → +∞
l+ε
y=l
l asintoto
l–ε orizzontale
c
∀ε > 0 ∃ c / ∀ x > c ⇒ |f(x) – l|< ε
13
Per ogni esiste allora
tale che
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14. IL LIMITE INFINITO DI UNA
FUNZIONE PER X CHE TENDE A UN
VALORE FINITO
 Si dice che una funzione y=f(x) tende a +∞
per x che tende a x0 e si scrive:
lim f ( x) = +∞
x → x0
quando per ogni numero reale M si può
determinare un intorno completo di x0 tale
che risulti
f(x)>M
per ogni x appartenente ad I, diverso da x0.
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15. PER X CHE TENDE A UN VALORE
FINITO
lim f ( x) = +∞
x → x0
x = x0
M asintoto
verticale
x0
∀ M > 0 ∃ I(x0) / ∀x ∈ I ⇒ f(x) > M
15
Per ogni esiste tale che allora
appartenente
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16. FUNZIONE PER X CHE TENDE
ALL’INFINITO
 Si dice che una funzione y=f(x) ha per
limite +∞ per x che tende a +∞ e si scrive:
lim f ( x) = +∞
x → +∞
quando per ogni numero reale M si può
determinare un intorno completo di +∞ tale
che risulti
f(x)>M
per ogni x appartenente ad I.
16
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17. IL LIMITE INFINITO DI UNA FUNZIONE
PER X CHE TENDE ALL’INFINITO
lim f ( x) = +∞
x → +∞
M
c
∀ M > 0 ∃ c / ∀ x > c ⇒ f(x) > M
17
Per ogni esiste allora
tale che
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18. LIMITE DESTRO O SINISTRO DI UNA
FUNZIONE IN UN PUNTO
Una funzione y=f(x) può non avere il limite in
un punto.
Può esistere, allora il limite destro o il limite
sinistro, cioè, il limite della funzione per
valori della x che si avvicinano da destra o
da sinistra.
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19. LIMITE DESTRO
Si dice che una funzione y = f(x), per x che
tende a x0 ha per limite destro il numero reale
l e si scrive: lim f ( x) = lx → xo +
se preso ε positivo, piccolo a piacere, è
possibile determinare un intorno destro H di,
x0 tale che:
∀ε > 0 ∃ I(x0+) / ∀x ∈ I ⇒ |f(x) – l|< ε
19
Per ogni esiste tale che allora
intorno appartenente
prof. Rosangela Mapelli destro

20. LIMITE SINISTRO
Si dice che una funzione y = f(x), per x che
tende a x0 ha per limite destro il numero reale
l e si scrive: lim f ( x) = l x → xo −
se preso ε positivo, piccolo a piacere, è
possibile determinare un intorno destro H di,
x0 tale che:
∀ε > 0 ∃ I(x0-) / ∀x ∈ I ⇒ |f(x) – l|< ε
20
Per ogni esiste tale che allora
intorno appartenente
prof. Rosangela Mapelli
sinistro

21. ESERCIZI
∀ε > 0 ∃ δ > 0 / ∀x con 1 < x < 1 + δ ⇒ |f(x) – 2|< ε lim f ( x) = 2
x →1+
∀M > 0 ∃ I(-4) / ∀x ∈ I(-4), x ≠ - 4 ⇒ f(x) < - M lim f ( x) = −∞
x → −4
∀ε > 0 ∃ δ > 0 / ∀x con |x| < δ, x ≠ 0 ⇒ |f(x) – 3|< lim f ( x) = −3
x →0
ε
∀ε > 0 ∃ δ > 0 / ∀x con – 2 - δ < x < - 2 ⇒ |f(x) +5|< ε lim f ( x) = −5
x → −2 −
∀ε > 0 ∃ c > 0 / ∀x > c ⇒ |f(x) < ε lim f ( x) = 0
x → +∞
∀M > 0 ∃ c > 0 / ∀x con x > c ⇒ f(x) < -M lim f ( x) = −∞
x → +∞ 21
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