Extended Summary di: Frezza, F. & Tedeschi, N. "Deeply penetrating waves in lossy media". Opt. Lett. 2012, 37, 2616-2618 

1. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRIESTE
Dipartimento di Ingegneria e Architettura
Corso di Studi in Ingegneria Elettronica e Informatica
Onde a penetrazione profonda
in mezzi dissipativi
Tesi di Laurea Triennale
Laureando:
Fabio ZANCHETTA
Relatore:
prof. Massimiliano COMISSO
Correlatore:
prof. Giulia BUTTAZZONI
_____________________________________
ANNO ACCADEMICO 2019-2020

2. 1
Indice
1. Introduzione ……………………………………………………………………………………………………………………………………..….. 2
1.1. Onde piane non uniformi ……………………………………………………………………………………………….……………… 2
2. Studio …………………………………………………………………………………………………………………………………….……………… 3
3. Risultati ………………………………………………………………………………………………………………………………….……………… 5
4. Conclusioni ……………………………………………………………………………………………………………….…………………………… 5
5. Riferimenti Bibliografici ………………………………………………………………………………………………….……………………… 6

3. 2
1. Introduzione
La penetrazione profonda di onde elettromagnetiche in mezzi dissipativi è un aspetto di notevole importanza in
molteplici ambiti, ad esempio la scienza dei materiali, l’identificazione di oggetti sepolti o sommersi, l’interazione
con tessuti biologici.
Nei mezzi dissipativi le onde elettromagnetiche tendono ad attenuarsi. Difficilmente un’onda elettromagnetica
incidente sulla superficie di separazione tra due mezzi, di cui il secondo dissipativo, riesce a generare un’onda
trasmessa che si possa rilevare lontano dall’interfaccia. L’effetto di penetrazione profonda di un’onda
elettromagnetica non dipende solo dal mezzo considerato, ma anche dalla tipologia dell’onda incidente. Una
tipologia di particolari onde non uniformi con cui si ottiene questo effetto sono le onde leaky.
Nell’articolo in esame [1], Fabrizio Frezza e Nicola Tedeschi hanno ricavato l’angolo di incidenza per cui un’onda
elettromagnetica piana presenta o il vettore di fase o il vettore di attenuazione parallelo alla superficie di
separazione tra due mezzi dissipativi. Analizzando l’onda trasmessa nel secondo caso, con il vettore di
attenuazione parallelo alla superficie, per mezzo di considerazioni analitiche e simulazioni numeriche, gli autori
hanno evidenziato come lontano dall’interfaccia si trovi un’onda non attenuata. Successivamente viene
analizzato il caso in cui il mezzo in cui si propaga l’onda incidente sia non dissipativo, rilevando la presenza dello
stesso effetto.
1.1 Onde piane non uniformi
Un’onda elettromagnetica deve soddisfare al sistema di equazioni formato dall’ equazione di Helmoltz e dalla
equazione ausiliaria. In assenza di sorgenti un campo del tipo 𝐸̅(𝑟) = 𝐸0 𝑒−𝑘·𝑟
è soluzione del sistema e
quindi rappresenta un’onda elettromagnetica, dove 𝐸0 è un vettore complesso costante, 𝑟 è il vettore
posizione e 𝑘 = 𝑎 + 𝑗𝑏 prende il nome di vettore di propagazione (o numero d’onda) con 𝑎 e 𝑏 vettori reali
costanti detti rispettivamente vettore di attenuazione e vettore di fase. L’angolo che formano i due vettori è
𝜂 = 𝜉– 𝜁, dove 𝜉 e 𝜁 sono gli angoli rispetto all’asse x (vedi Fig.1).
Per un’onda di questo tipo le condizioni da rispettare si semplificano e diventano 𝑘 ∙ 𝑘 = 𝑘2
(condizione di
separabilità) e 𝑘 ∙ 𝐸 = 0 (condizione di divergenza nulla).
Un’onda piana è detta non uniforme nel caso in cui 𝑎 ⊥ 𝑏, in un mezzo non dissipativo, oppure 𝑎 ∦ 𝑏 e
𝑎 𝑏, in un mezzo dissipativo.

4. 3
2. Studio
La geometria del problema è rappresentata in Fig. 1. Il piano yz coincide con
la superficie di separazione tra il mezzo 1 e il mezzo 2. Si è considerata
un’onda elettromagnetica 𝐸̅(𝑟) = 𝐸0 𝑒 𝑗(𝑘 𝑖·𝑟 − 𝜔𝑡)
, con 𝑘𝑖 = 𝑗𝛼̅1 + 𝛽̅1.
In precedenti studi cui fanno riferimento gli autori, è stato correttamente
risolto il problema elettromagnetico della trasmissione di un’onda piana non
uniforme attraverso la superficie di separazione di due mezzi non dissipativi,
evidenziando come per due particolari angoli di incidenza, 𝜉1
𝜉
e 𝜉1
𝜁
, l’onda
trasmessa presenti l’angolo di trasmissione, rispettivamente del vettore di
fase e del vettore di attenuazione, pari a π∕2.
Partendo dalla legge di Snell generalizzata e dalla condizione di separabilità per l’onda trasmessa si è giunti ad un
sistema che permette di ricavare i due angoli 𝜉1
𝜉
e 𝜉1
𝜁
.
𝛽1 sin 𝜉1 = 𝛽2 sin 𝜉2 (1)
𝛼1 sin 𝜁1 = 𝛼2 sin 𝜁2 (2)
𝛽2
2
− 𝛼2
2
= Re(𝑘2
2
) (3)
2𝛽2 𝛼2 cos 𝜂2 = Im(𝑘2
2
) (4)
Inserendo (1) e (2) nella (4) sorprendentemente si giunge alla stessa condizione sia se si vuole ricavare 𝜉1
𝜉
,
imponendo 𝜉2 = π∕2, che se si impone 𝜁2 = π∕2 per ricavare 𝜉1
𝜁
, ottenendo
2𝛽1 𝛼1 sin 𝜉1 sin 𝜁1 = Im(𝑘2
2
) (5)
L’ambiguità è stata spiegata osservando che la condizione (5) assume l’uno o l’altro significato in base al valore
assunto della parte reale di 𝑘𝑖𝜏, ovvero la componente tangente all’interfaccia del vettore d’onda complesso
incidente. Nell’articolo si osserva come se Re(𝑘𝑖𝜏) ≥ Re(𝑘2
2
) la (5) fornisce 𝜉1
𝜉
, viceversa si ottiene 𝜉1
𝜁
.Vengono
poi ricavate le espressioni analitiche degli angoli di incidenza rielaborando (5), ricordando che la discriminazione
sul significato del risultato dipende da 𝑘𝑖𝜏.
tan 𝜉± =
tan 𝜂1 ± √tan2 𝜂1− 4𝜒(𝜒−1)
2(𝜒−1)
(6)1
𝜉± = {
𝜉1
𝜉
𝑠𝑒 Re(𝑘𝑖𝜏) ≥ Re(𝑘2
2
)
𝜉1
𝜁
𝑠𝑒 Re(𝑘𝑖𝜏) ≤ Re(𝑘2
2
)
(7).
Viene quindi esposta una interpretazione fisica dei risultati ottenuti per via analitica. All’angolo di incidenza
𝜉1
𝜉
corrisponde una onda trasmessa il cui vettore di fase è parallelo all’interfaccia, e i cui piani a fase costante sono
ortogonali ad esso.
Più interessante è il caso del vettore di fase incidente con angolo 𝜉1
𝜁
. L’onda trasmessa presenta un piano ad
ampiezza costante ortogonale alla superficie di separazione, si verifica quindi la presenza di un’onda in un mezzo
dissipativo che non è attenuata nella direzione in cui il mezzo si estende.
1
𝜒 =
Im(𝑘2
2)
Im(𝑘1
2)
Se 𝜒 = 1 la (6) perde di significato, vale allora tan 𝜉± =
1
𝜂1
Figura 1. Geometria del problema.

5. 4
Figura 2. Modulo del vettore di Poynting per un’onda incidente
con angolo 𝜉1= 𝜉1
𝜁
.
Figura 3. Modulo del vettore di Poynting per un’onda non
uniforme (linea continua) incidente all’angolo critico 𝜉𝑐, e per
un’onda uniforme incidente allo stesso angolo.
Alla spiegazione viene affiancata la valutazione numerica (Fig. 2) del modulo del vettore di Poynting, per un’onda
polarizzata TE incidente con angolo 𝜉1= 𝜉1
𝜁
sulla superficie di separazione tra due mezzi dispersivi di permittività
𝜖1 = 2+𝑗0.3 e 𝜖2 = 5+𝑗0.03, alla lunghezza d’onda di 1550nm per differenti valori di 𝜂1.
Il campo è stato calcolato utilizzando il software Comsol, con il metodo degli elementi finiti nel dominio della
frequenza. Il modulo del vettore di Poynting nel primo mezzo è attenuato, con delle oscillazioni dovute all’onda
riflessa, mentre nel secondo mezzo è costante. L’onda trasmessa può quindi propagarsi indefinitamente nella
direzione ortogonale all’interfaccia.
A questo punto viene posta l’importante domanda sulla possibilità di ottenere il medesimo effetto (onda a
penetrazione profonda nel mezzo dissipativo) nel caso di una interfaccia tra un mezzo non dissipativo e uno
dissipativo. La risposta è che è possibile, a patto che l’onda nel mezzo non dissipativo sia non uniforme, con il
vettore di fase e il vettore di attenuazione ortogonali tra loro, come ad esempio un’onda leaky.
L’onda non uniforme nel mezzo non dissipativo è definita dal modulo del vettore di fase 𝛽1, il modulo del vettore
di attenuazione si ricava dalla condizione di separabilità che si riduce a 𝛽1
2
-𝛼1
2
= 𝑘1
2
. Inserendo questa relazione
nella (5) si ottiene la seguente:
𝛽1 𝛼1 sin(2𝜉1) = Im(𝑘2
2
) (8)
Nuovamente l’equazione fornisce entrambi gli angoli 𝜉1
𝜉
e 𝜉1
𝜁
, distinti dal valore di Re(𝑘𝑖𝜏). Invertendo (8):
𝜉𝑐 =
1
2
arcsin [
Im(𝑘2
2
)
𝛽1 𝛼1
] (9)
Questa equazione pone il seguente limite inferiore al valore di 𝛽1, dovendo essere l’argomento dell’arcoseno
minore o uguale dell’unità:
𝛽1 ≥
𝑘1
√2
√1 + √1 + [
2Im(𝑘2
2
)
𝑘1
2
] (10)
L’angolo critico 𝜉𝑐 vale π∕4 se la precedente è un’equazione e decresce rapidamente in funzione di 𝛽1.
Si osserva come, all’aumentare di 𝛽1, sia 𝜉𝑐 che il relativo angolo di trasmissione tendono a zero. Allo stesso tempo
il coefficiente di trasmissione di Fresnel tende a 1 e l’ampiezza dell’attenuazione aumenta in entrambi i mezzi.
In Fig. 3 viene rappresentato il modulo del vettore di Poynting per un’onda non uniforme incidente sulla superficie
di separazione tra il vuoto (mezzo 1) e lo stesso mezzo 2 di Fig. 2, e per un’onda uniforme incidente con lo stesso
angolo. L’onda non uniforme considerata nella simulazione, effettuata sempre con Comsol, presenta il minimo
valore di 𝛽1. Nuovamente le oscillazioni nel mezzo 1 sono dovute all’onda riflessa. Inoltre l’aumento in ampiezza
dell’onda non uniforme, tipico delle onde leaky, è correlato alla direzione del vettore di attenuazione, dato che nel
caso considerato 𝜁1=𝜉1+𝜂1= 3π∕4.
A sostegno delle considerazioni analitiche, si osserva anche nella simulazione come l’ampiezza dell’onda
trasmessa resti costante se l’onda incidente è non uniforme.

6. 5
Figura 4. Parte reale del campo elettrico per un’onda non uniforme
incidente con angolo critico 𝜉𝑐 = 5.91°.
3. Risultati
L’analisi dell’angolo di incidenza che porta ad avere il vettore di attenuazione trasmesso parallelo alla superficie
di separazione tra due mezzi, di cui il secondo dissipativo, ha permesso di ricavare delle condizioni sui parametri
dell’onda incidente in modo da ottenere un’onda trasmessa non attenuata in direzione ortogonale all’interfaccia.
Uno svantaggio dell’utilizzo di onde non uniformi è che si attenuano nel mezzo di propagazione. Inoltre l’onda è
molto più stretta in entrambi i mezzi se le perdite sono considerevoli. Nella Fig.4 si nota come il campo non sia
attenuato in direzione x ma sia stretto in direzione y. Viene evidenziato il comportamento dell’angolo critico che
diventa di soli 5,91° per un aumento dell’1% di 𝛽1.
4. Conclusioni
Le tesi sostenute dagli autori sono confermate sia dalla valutazione analitica del problema elettromagnetico che
dalle simulazioni software, sebbene solo il caso di onde piane non uniformi teoriche sia stato considerato. Risulta
quindi necessario uno studio futuro prendendo in esame sorgenti più realistiche di onde piane non uniformi come
delle antenne leaky-wave.
Risulta inoltre necessario un approfondimento sulla direzione del vettore di attenuazione nel caso di onda non
uniforme nel mezzo non dissipativo, che viene assunto dagli autori pari a 90° ma che in realtà può assumere i
valori ±90°. Questo studio è stato effettuato, tra gli altri, dagli stessi Frezza e Tedeschi [2], dimostrando che l’unico
valore ammissibile è +90°, poichè un angolo di -90° produrrebbe un’onda trasmessa attenuata.

7. 6
5. Riferimenti Bibliografici
[1] Frezza, F. & Tedeschi, N. "Deeply penetrating waves in lossy media". Opt. Lett. 2012, 37, 2616-2618.
[2] Baccarelli, P., Frezza, F., Simeoni, P., Tedeschi, N. "An Analytical Study of Electromagnetic deep Penetration
Conditions and Implications in Lossy Media through Inhomogeneous Waves". Materials, 2018, 11,
1595.