1. Applicazioni del Teorema di Gauss
Simone Alghisi
Liceo Scientifico Luzzago
Ottobre 2011
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre 2011 1/8

2. Definizione.
Dato un campo elettrico E e una superficie A immersa in tale campo,
definiamo flusso del campo elettrico E attraverso la superficie A la
quantità scalare
ΦA E = E · A = EA cos ϕ ,
dove ϕ è l’angolo compreso tra i vettori E e A.
Osservazione.
Il vettore area A è definito nel modo seguente: esso è un vettore
perpendicolare alla superficie considerata e ha modulo pari all’area
della superficie stessa.
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre 2011 2/8

3. Definizione.
Dato un campo elettrico E e una superficie A immersa in tale campo,
definiamo flusso del campo elettrico E attraverso la superficie A la
quantità scalare
ΦA E = E · A = EA cos ϕ ,
dove ϕ è l’angolo compreso tra i vettori E e A.
Osservazione.
Il vettore area A è definito nel modo seguente: esso è un vettore
perpendicolare alla superficie considerata e ha modulo pari all’area
della superficie stessa.
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre 2011 2/8

4. Definizione.
Dato un campo elettrico E e una superficie A immersa in tale campo,
definiamo flusso del campo elettrico E attraverso la superficie A la
quantità scalare
ΦA E = E · A = EA cos ϕ ,
dove ϕ è l’angolo compreso tra i vettori E e A.
Osservazione.
Il vettore area A è definito nel modo seguente: esso è un vettore
perpendicolare alla superficie considerata e ha modulo pari all’area
della superficie stessa.
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre 2011 2/8

5. Teorema. (di Gauss)
Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale
al rapporto tra la somma delle cariche elettriche racchiuse da tale
superficie e la costante dielettrica nel vuoto ε0 , cioè
n
Qi
Qint i=1
ΦA E = = .
ε0 ε0
Ricordiamo che una superficie chiusa che racchiude almeno una
carica elettroca Q è detta superficie gaussiana.
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre 2011 3/8

6. Teorema. (di Gauss)
Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale
al rapporto tra la somma delle cariche elettriche racchiuse da tale
superficie e la costante dielettrica nel vuoto ε0 , cioè
n
Qi
Qint i=1
ΦA E = = .
ε0 ε0
Ricordiamo che una superficie chiusa che racchiude almeno una
carica elettroca Q è detta superficie gaussiana.
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre 2011 3/8

7. Osservazione.
Il Teorema di Gauss è utile per il calcolo dei campi elettrici di
distribuzioni di cariche con particolari simmetrie. É sufficiente trovare il
tipo di simmetria e la corrispondente superficie gaussiana attraverso la
quale calcolare il flusso del campo elettrico E.
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre 2011 4/8

8. Esercizio.
Determinare il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q.
Soluzione.
La simmetria dello spazio è sferica. Si sceglie come superficie
gaussiana una sfera S centrata nella carica Q. Suddividendo la
superficie della sfera S in tante piccole aree S1 , S2 , . . . , Sn e per ogni
superficie si calcola il relativo flusso, si ottiene
n
ΦS E = ES1 + ES2 + · · · + ESn = E · Si = E(4πr2 ) .
i=1
D’altra parte ΦS E = Q/ε0 , quindi
Q Q
E(4πr2 ) = ⇒ E= .
ε0 4πε0 r2
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre 2011 5/8

9. Esercizio.
Determinare il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q.
Soluzione.
La simmetria dello spazio è sferica. Si sceglie come superficie
gaussiana una sfera S centrata nella carica Q. Suddividendo la
superficie della sfera S in tante piccole aree S1 , S2 , . . . , Sn e per ogni
superficie si calcola il relativo flusso, si ottiene
n
ΦS E = ES1 + ES2 + · · · + ESn = E · Si = E(4πr2 ) .
i=1
D’altra parte ΦS E = Q/ε0 , quindi
Q Q
E(4πr2 ) = ⇒ E= .
ε0 4πε0 r2
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre 2011 5/8

10. Esempio.
Determinare il campo elettrico generato da una lastra infinita
uniformemente carica.
Soluzione.
Consideriamo come superficie gaussiana un cilindro C con asse di
simmetria perpendicolare al piano. Il campo elettrico E è
perpendicolare al piano di densità di carica (sperficiale) σ. Il flusso
sarà
ΦC E = ΦB1 E + ΦB2 E + ΦSlat E = ES + ES + 0 = 2ES .
D’altra parte
Qint σS
ΦC E = = .
ε0 ε0
Uguagliando i due membri si ha
σ
E= .
2ε0
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre 2011 6/8

11. Esempio.
Determinare il campo elettrico generato da una lastra infinita
uniformemente carica.
Soluzione.
Consideriamo come superficie gaussiana un cilindro C con asse di
simmetria perpendicolare al piano. Il campo elettrico E è
perpendicolare al piano di densità di carica (sperficiale) σ. Il flusso
sarà
ΦC E = ΦB1 E + ΦB2 E + ΦSlat E = ES + ES + 0 = 2ES .
D’altra parte
Qint σS
ΦC E = = .
ε0 ε0
Uguagliando i due membri si ha
σ
E= .
2ε0
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre 2011 6/8

12. Esempio.
Determinare il campo elettrico generato da una sfera S carica vuota
all’interno.
Soluzione.
La simmetria presente è sferica. Poichè all’interno non sono presenti
cariche, il campo elettrico sarà nullo dentro. Sulla superficie della sfera
avremo
Qint Q
ΦS E = 4πr2 E = ⇒ E= .
ε0 4πε0 r2
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre 2011 7/8

13. Esempio.
Determinare il campo elettrico generato da una sfera S carica vuota
all’interno.
Soluzione.
La simmetria presente è sferica. Poichè all’interno non sono presenti
cariche, il campo elettrico sarà nullo dentro. Sulla superficie della sfera
avremo
Qint Q
ΦS E = 4πr2 E = ⇒ E= .
ε0 4πε0 r2
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre 2011 7/8

14. Esempio.
Determinare il campo elettrico di una sfera piena di cariche di raggio R.
Soluzione.
La superficie gaussiana è una superficie sferica concentrica di raggio
r. Indichiamo con ρ la densità volumetrica di carica, cioè
Q Q
ρ= = 4 3.
V 3 πR
Si ha
Q Q
ΦS E = E · 4πr2 = ⇒ E= ,
ε0 4πε0 r2
Q
ρ 4 πr3 4
πR3
· 4 πr3
3 Q
E= 3 2 = 3
= r.
4πε0 r 4πε0 r2 4πε0 R3
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre 2011 8/8

15. Esempio.
Determinare il campo elettrico di una sfera piena di cariche di raggio R.
Soluzione.
La superficie gaussiana è una superficie sferica concentrica di raggio
r. Indichiamo con ρ la densità volumetrica di carica, cioè
Q Q
ρ= = 4 3.
V 3 πR
Si ha
Q Q
ΦS E = E · 4πr2 = ⇒ E= ,
ε0 4πε0 r2
Q
ρ 4 πr3 4
πR3
· 4 πr3
3 Q
E= 3 2 = 3
= r.
4πε0 r 4πε0 r2 4πε0 R3
Simone Alghisi (Liceo Scientifico Luzzago) Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre 2011 8/8