SlideShare a Scribd company logo

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

•
•
منتدى الرياضيات المتقدمة
منتدى الرياضيات المتقدمة

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

Education
1 of 137
Download to read offline
‫الريا�ضيات‬ ‫كتاب الطالب‬ ‫ال�صف الأول الثانوى‬ ‫الف�صل الدرا�سى الثانى‬ ‫للريا�ضيات تطبيقات عملية فى مجاالت متعددة منها �إن�شاء الطرق والكبارى وتخطيط المدن و�إعداد‬ ‫خرائطها التى تعتمد على توازى الم�ستقيمات و الم�ستقيمات القاطعة لها وفق تنا�سب بين الطول‬ ‫الحقيقى والطول فى الر�سم.‬ ‫وال�صورة لكوبرى ال�سالم الذى يربط بين �ضفتى قناة ال�سوي�س‬
‫�إعداد‬ ‫�أ/ عمر ف�ؤاد جاب اهلل‬ ‫�أ.د/ نبيل توفيق ال�ضبع‬ ‫�أ.د/ عفاف �أبو الفتوح �صالح ‬ ‫�أ / �سريافيم �إليا�س �إ�سكندر‬ ‫�أ.م.د/ ع�صام و�صفى روفائيل ‬ ‫�أ/ كمال يون�س كب�شة‬ ‫جميع الحقوق محفوظة ال يجور نشر أى جزء من هذا الكتاب أو تصويره أو تخزينه أو تسجيله‬ ‫بأى وسيلة دون موافقة خطية من الناشر.‬ ‫شركة سقارة للنشر‬ ‫�ش. م. م‬ ‫الطبعــة األولى 3102/4102‬ ‫رقم اإليــداع 9497 / 3102‬ ‫الرقم الدولى 8 - 200 - 607 - 779 - 879‬
‫المقدمة‬ ‫بسم ال� ل�ه الرحمن الرحيم‬ ‫يسعدنا ونحن نقدم هذا الكتاب أن نوضح الفلسفة التى تم فى ضوئها بناء المادة التعليمية ونوجزها فيمايلى:‬ ‫1 التأكيد عىل أن الغاية األساسية من هذه الكتب هى مساعدة املتعلم عىل حل املشكالت واتخاذ القرارات ىف حياته‬ ‫اليومية, والتى تساعده عىل املشاركه ىف املجتمع.‬ ‫2 التأكيد عىل مبدأ استمرارية التعلم مدى الحياة من خالل العمل عىل أن يكتسب الطالب منهجية التفكري العلمى، وأن‬ ‫يمارسوا التعلم املمتزج باملتعة والتشويق، وذلك باالعتماد عىل تنمية مهارات حل املشكالت وتنمية مهارات االستنتاج‬ ‫والتعليل، واستخدام أساليب التعلم الذاتى والتعلم النشط والتعلم التعاونى بروح الفريق، واملناقشة والحوار، وتقبل‬ ‫آراء اآلخرين، واملوضوعية ىف إصدار األحكام، باإلضافة إىل التعريف ببعض األنشطة واإلنجازات الوطنية.‬ ‫3 تقديم رؤى شاملة متماسكة للعالقة بني العلم والتكنولوجيا واملجتمع)‪ (STS‬تعكس دور التقدُّم العلمى ىف تنمية‬ ‫ ‬ ‫املجتمع املحىل، باإلضافة إىل الرتكيز عىل ممارسة الطالب الترصُّف الواعى الفعّال حِ يال استخدام األدوات التكنولوجية.‬ ‫4 تنمية اتجاهات إيجابية تجاه الرياضيات ودراستها وتقدير علمائها‬ ‫ ‬ ‫5 تزويد الطالب بثقافة شاملة لحسن استخدام املوارد البيئية املتاحة.‬ ‫ ‬ ‫6 االعتماد عىل أساسيات املعرفة وتنمية طرائق التفكري، وتنمية املهارات العلمية، والبعد عن التفاصيل والحشو،‬ ‫واإلبتعاد عن التعليم التلقينى؛ لهذا فاالهتمام يوجه إىل إبراز املفاهيم واملبادئ العامة وأساليب البحث وحل املشكالت‬ ‫وطرائق التفكري األساسية التى تميز مادة الرياضيات عن غريها.‬ ‫وفى �ضوء ما �سبق روعى فى هذا الكتاب ما يلى:‬ ‫‪ ‬تقسيم الكتاب إىل وحدات متكاملة ومرتابطة لكل منها مقدمة توضح أهدافها ودروسها ومخطط تنظيمى لها‬ ‫ ‬ ‫واملصطلحات الواردة بها باللغة العربية واإلنجليزية ومقسمة إىل دروس يوضح الهدف من تدريسها للطالب تحت‬ ‫عنوان سوف تتعلم، ويبدأ كل درس من دروس كل وحدة بالفكرة األساسية ملحتوى الدرس وروعى عرض املادة‬ ‫العلمية من السهل إىل الصعب ويتضمن مجموعة من األنشطة التى تتناول الربط باملواد األخرى والحياة العملية والتى‬ ‫تناسب القدرات املختلفة للطالب وتراعى الفروق الفردية بينهم وتؤكد عىل العمل التعاونى، وتتكامل مع املوضوع.‬ ‫‪ ‬كما قدم ىف كل درس أمثلة تبدأ من السهل إىل الصعب وتشمل مستويات تفكري متنوعة، مع تدريبات عليها تحت‬ ‫عنوان حاول أن تحل وينتهى كل درس ببند «تحقق من فهمك».‬ ‫‪ ‬تنتهى كل وحدة بملخص للوحدة يتناول املفاهيم والتعليمات الواردة بالوحدة.‬ ‫ ‬ ‫وأخير ًا ..نتمنى أن نكون قد وفقنا فى إنجاز هذا العمل لما فيه خير لأولادنا، ولمصرنا العزيزة.‬ ‫وال� �له من وراء القصد، وهو يهدى إلى سواء السبيل‬
‫خريطة الكتاب للفصل الدراسى الثانى‬ ‫اسم‬ ‫الوحدة‬ ‫الدروس املتضمنة بالوحدة‬ ‫1 - 1 :تنظيم البيانات فى‬ ‫1‬ ‫مصفوفات‬ ‫املفاهيم‬ ‫املتضمنة‬ ‫مصفوفة - عنصر - مصفوفة‬ ‫صف - مصفوفة عمود - مصفوفة‬ ‫مربعة - مصفوفة صفرية -‬ ‫العمليات العقلية‬ ‫واملهارات الذهنية‬ ‫املتضمنة‬ ‫تفكري ناقد صـ8، صـ01‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫متماثلة - مصفوفة شبه متماثلة‬ ‫جمع المصفوفات - طرح‬ ‫تفكري جربى (اثناء عرض‬ ‫الدرس)‬ ‫1 - 3 : ضرب المصفوفات‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫تفكري ناقد صـ91‬ ‫1 - 4 : المحددات‬ ‫محدد - محدد الدرجة الثانية -‬ ‫محدد الدرجة الثالثة - القطر‬ ‫الرئيس للمحدد - القطر اآلخر‬ ‫1 - 5 :المعكوس الضربى‬ ‫للمصفوفة‬ ‫2 - 1: المتبانيات الخطية‬ ‫‬ ‫الخطية‬ ‫معكوس ضربى للمصفوفة-‬ ‫مصفوفة الوحدة - معادلة‬ ‫مصفوفية - مصفوفة المتغيرات-‬ ‫مصفوفة الثوابت‬ ‫متباينة خطية - مستقيم حدى -‬ ‫مستقيم حدى منقط - مستقيم‬ ‫حدى متصل - متباينة خطية فى‬ ‫2‬ ‫الربمجة‬ ‫للمحدد مصفوفة المعامالت‬ ‫املتجهات‬ ‫الربط بالرياضيات صـ 7‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 03‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 24‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ 31‬ ‫الربط باالحصاء صـ 41‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ 71‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 81‬ ‫الربط بالسياحة صـ 02‬ ‫الربط بالهندسة صـ 51‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 43‬ ‫تطبيقات حياتية صـ 24‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 24‬ ‫مجهول واحد - متباينة خطية فى‬ ‫مجهولين‬ ‫2 - 2: حل أنظمة من المتباينات نظام متباينات خطية-منطقة الحل تفكري جربى‬ ‫‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫رسم بيانى‬ ‫الخطية بيانيًا‬ ‫2 - 3: البرمجة الخطية والحل األمثل برمجة خطية - قيود محدودة -‬ ‫‬ ‫غير محدودة حل أمثل‬ ‫3‬ ‫صـ 01.‬ ‫الربط بالتجارة صـ 31‬ ‫1 - 2 : جمع وطرح المصفوفات‬ ‫املصفوفات‬ ‫والحياة العلمية‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 7،‬ ‫الربط بالطاقة صـ 7‬ ‫مصفوفات متساوية - مصفوفة‬ ‫المصفوفات‬ ‫الرتابط والتداخل‬ ‫مع العلوم اآلخرى‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫3 - 1:الكميات القياسية والكميات‬ ‫كمية قياسية - متجه - مسافة - تفكري منطقى صـ 95‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫ازاحة - اتجاه‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫3 - 2: المتجهات‬ ‫‬ ‫متجه - متجع موضع - زوج‬ ‫المتجهة، والقطعة‬ ‫المستقيمة الموجهه‬ ‫مرتب - قيمة مطلقة - معيار‬ ‫متجه- متجه مكافئ - صورة‬ ‫قطبية - متجه وحدة‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هندسى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالحياة صـ 64، 74‬ ‫الربط بالمهن صـ 74‬ ‫الربط بإدارة الوقت صـ 84‬ ‫الربط بإدارة اإلعمال صـ 05‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 05‬ ‫الربط بالصناعة صـ 05،15‬ ‫الربط بالزراعة صـ 25‬ ‫الربط بالزراعة صـ 25‬
‫جمع متجهين - طرح متجهين -‬ ‫3 - 4: تطبيقات على المتجهات‬ ‫‬ ‫األضالع‬ ‫قوة محصلة - توازى القوى -‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫4 - 1: تقسيم قطعة مستقيمة‬ ‫اسم‬ ‫الوحدة‬ ‫العمليات العقلية‬ ‫واملهارات الذهنية‬ ‫املتضمنة‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫تقسيم من الداخل - تقسيم من‬ ‫4 - 2:معادلة الخط المستقيم‬ ‫متجه إتجاه مستقيم - معادلة‬ ‫الدروس املتضمنة بالوحدة‬ ‫3 - 3: العمليات على المتجهات‬ ‫‬ ‫تابع‬ ‫املتجهات‬ ‫4‬ ‫املفاهيم‬ ‫املتضمنة‬ ‫قاعدة المثلث - قاعدة متوازى‬ ‫سرعة نسبية‬ ‫الخارج - نسبة التقسيم‬ ‫متجهة - معادلة برامترية -‬ ‫معادلة كارتيزية - معادلة عامة‬ ‫الخط‬ ‫الرتابط والتداخل‬ ‫مع العلوم اآلخرى‬ ‫والحياة العلمية‬ ‫تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد 48، 29‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس (اثناء عرض‬ ‫الدرس)‬ ‫4 - 4 :طول العمود المرسوم من‬ ‫عمود - خط مستقيم‬ ‫نقطة تقاطع مستقيمين -‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالطرق صـ 79‬ ‫4 - 5 :المعادلة العامة للمستقيم‬ ‫املستقيم‬ ‫4 - 3:قياس الزاوية بين‬ ‫زاوية بين مستقيمين‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالهندسة صـ 59‬ ‫مستقيمين‬ ‫نقطة إلى خط مستقيم‬ ‫المار بنقطة تقاطع‬ ‫مستقيمين‬ ‫5 - 1: المتطابقات المثلثية‬ ‫معادلة عامة‬ ‫معادلة‬ ‫5 - 2:حل المعادالت المثلثية‬ ‫5‬ ‫حساب‬ ‫املثلثات‬ ‫متطابقة‬ ‫معادلة مثلثية - حل عام‬ ‫5 - 3: حل المثلث القائم الزاوية‬ ‫حل مثلث‬ ‫5 - 4 : زوايا اإلرتفاع واإلنخفاض‬ ‫زاوية ارتفاع‬ ‫5 - 5 : القطاع الدائرى‬ ‫زاويا انخفاض‬ ‫قطاع دائرى‬ ‫5 - 6 : القطعة الدائرية‬ ‫قطعة دائرية‬ ‫5 - 7 : المساحات‬ ‫مضلع منتظم‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ 001‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى (اثناء عرض‬ ‫الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 511‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 021‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالهندسة صـ511‬ ‫الربط بالزراعة والزينة‬ ‫صـ321‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ721‬
‫المحتويات‬ ‫الوحدة‬ ‫الأولى‬ ‫المصفوفات‬ ‫1- 1 ‬ ‫تنظيم البيانات في مصفوفات‬ ‫1- 2 ‬ ‫جمع وطرح المصفوفات‬ ‫41‬ ‫1- 3 ‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫81‬ ‫1- 4 ‬ ‫المحددات‬ ‫22‬ ‫1- 5 ‬ ‫المعكوس الضربى للمصفوفة‬ ‫03‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫53‬ ‫ ‬ ‫4‬ ‫...........................................................................................................................................................................................‬ ‫.................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫........................................................................................................................................................................................................................ .‬ ‫.................................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫...................................................................................................................................................................................... .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫الوحدة‬ ‫الثانية‬ ‫الربمجة الخطية‬ ‫2 - 1 ‬ ‫المتباينات الخطية‬ ‫83‬ ‫2 - 2 ‬ ‫حل أنظمة من المتباينات الخطية بيانيًا‬ ‫34‬ ‫2 - 3 ‬ ‫البرمجة الخطية والحل األمثل‬ ‫84‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫55‬ ‫ ‬ ‫......................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫........................................................................................................................................................ .‬ ‫....................................................................................................................................................................................... .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫املتجهات‬ ‫3 - 1 ‬ ‫3 - 2 ‬ ‫المتجهات‬ ‫36‬ ‫3 - 3 ‬ ‫العمليات على المتجهات‬ ‫17‬ ‫3 - 4 ‬ ‫ ‬ ‫الكميات القياسية والكميات المتجهة، والقطعة المستقيمة الموجهة‬ ‫85‬ ‫تطبيقات على المتجهات‬ ‫67‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫28‬ ‫............................................................. .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫....................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫......................................................................................................................................................................................... .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................... .‬
‫الوحدة‬ ‫الرابعة‬ ‫الخط المستقيم‬ ‫4 - 1 ‬ ‫تقسيم قطعة مستقيمة‬ ‫68‬ ‫4 - 2 ‬ ‫معادلة الخط المستقيم‬ ‫19‬ ‫4 - 3 ‬ ‫قياس الزاوية بين مستقيمين‬ ‫69‬ ‫4 - 4 ‬ ‫طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم‬ ‫89‬ ‫4 - 5 ‬ ‫المعادلة العامة للمستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين‬ ‫001‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫301‬ ‫ ‬ ‫.........................................................................................................................................................................................................‬ ‫...........................................................................................................................................................................................................‬ ‫.......................................................................................................................................................................................‬ ‫........................................................................................................................‬ ‫......................................................... .‬ ‫............................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫الوحدة‬ ‫اخلام�سة‬ ‫حساب املثلثات‬ ‫5 - 1 ‬ ‫5 - 2 ‬ ‫حل المعادالت المثلثية.‬ ‫111‬ ‫5 - 3 ‬ ‫حل المثلث القائم الزاوية.‬ ‫411‬ ‫5 - 4 ‬ ‫زوايا االرتفاع وزوايا االنخفاض‬ ‫711‬ ‫5 - 5 ‬ ‫القطاع الدائرى‬ ‫021‬ ‫5 - 6 ‬ ‫القطعة الدائرية.‬ ‫321‬ ‫5 - 7 ‬ ‫ ‬ ‫المتطابقات المثلثية.‬ ‫601‬ ‫المساحات.‬ ‫521‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫921‬ ‫............................................................................................................................................................................................................ .‬ ‫....................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫.............................................................................................................................................................................................. .‬ ‫............................................................................................................................................................................ .‬ ‫............................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫.......................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫.......................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫............................................................................................................................................................................................................................... .‬
‫الوحدة‬ ‫1‬ ‫الجبر‬ ‫المصفوفات‬ ‫‪Matrices‬‬ ‫أهداف الوحدة‬ ‫في نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:‬ ‫ً‬ ‫• •يتحقق من صحة حلول بعض المشكالت التى تتضمن‬ ‫• •يتعرف مفهوم المصفوفة ونظمها.‬ ‫مصفوفات باستخدام البرمجيات المتاحة.‬ ‫• •يتعرف بعض المصفوفات الخاصة (مصفوفة الصف -‬ ‫مصفوفة العمود - المصفوفة المربعة - المصفوفة • •ينمذج بعض المشكالت الحياتية باستخدام المصفوفات.‬ ‫الصفرية - المصفوفة القطرية - مصفوفة الوحدة - • •يوظف استخدام المصفوفات في مجاالت أخرى.‬ ‫• •يتعرف محدد المصفوفة من الرتبة الثانية والرتبة الثالثة.‬ ‫المصفوفة المتماثلة وشبه المتماثلة).‬ ‫• •يوجد قيمة المحدد على الصورة المثلثية.‬ ‫• •يضرب عددا حقيقيا في مصفوفة .‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫• •يوجد معكوس المصفوفة المربعة من الرتبة 2 × 2‬ ‫• •يتعرف تساوى مصفوفتين.‬ ‫• •يحل معادلتين آنيتين باستخدام معكوس المصفوفة.‬ ‫• •يوجد مدور المصفوفة.‬ ‫• •يجرى عمليات الجمع والطرح والضرب على المصفوفات. • •يحل المعادالت بطريقة كرامر.‬ ‫• •يوجد مساحة المثلث باستخدام المحددات.‬ ‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة‬ ‫‪Matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬عنصر‬ ‫‪Element‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة الصف‬ ‫‪Row matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة العمود‬ ‫‬ ‫‪Column matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة مربعة‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة متماثلة‬ ‫‬ ‫‪Symmetric matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة شبه متماثلة‬ ‫‪Skew-symmetric matrix‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬جمع المصفوفات‬ ‫‪Adding matrices‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة الوحدة‬ ‫‪Identity matrix‬‬ ‫‬ ‫‪Square matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬معادلة مصفوفية‬ ‫‪Matrix equation‬‬ ‫‬ ‫‪Equal matrices‬‬ ‫‪Variable matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة صفرية‬ ‫‪Zero matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفات متساوية‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة الثوابت‬ ‫‬ ‫‪Constant matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة المتغيرات‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬طرح المصفوفات‬ ‫‬ ‫‪Subtracting matrices‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬ضرب المصفوفات‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مدور المصفوفة‬ ‫‪Transpose of matrix‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬محدد‬ ‫‪Determinant‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬محدد الرتبة الثانية‬ ‫‬ ‫‪Second order determinant‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬محدد الرتبة الثالثة‬ ‫‪Third order determinant‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة المعامالت‬ ‫‬ ‫‪Coefficient matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬معكوس ضربى للمصفوفة‬ ‫‪Inverse matrix‬‬ ‫‬
‫دروس الوحدة‬ ‫الدرس (1 - 1): تنظيم البيانات في مصفوفات.‬ ‫الدرس (1 - 2): جمع وطرح المصفوفات.‬ ‫الدرس (1 - 3): ضرب المصفوفات .‬ ‫الدرس (1 - 4): المحددات .‬ ‫الدرس (1 - 5): المعكوس الضربي للمصفوفة‬ ‫األدوات المستخدمة‬ ‫آلة حاسبة علمية - برنامج االكسيل ‪- Excel‬‬ ‫جهاز كمبيوتر. ‬ ‫نبذه تاريخية‬ ‫المصفوفات هي جمع كلمة مصفوفة، وهى من المفاهيم الرياضية التي انتشر استخدامها في عصرنا الحاضر، فشملت‬ ‫العديد من فروع المعرفة، فنجد استخداماتها في علوم االحصاء واالقتصاد، واالجتماع وعلم النفس وغيرها، وذلك‬ ‫ألنها تعرض البيانات، وتخزنها في صورة جداول مستطيلة الشكل، وتنظيم البيانات بهذه الصورة يسهل تذكرها‬ ‫والمقارنة بينها وإجراء العمليات عليها، كما أن للمصفوفات دورا هاما في علم الرياضيات وخاصة في فرع الجبر‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫الخطى، وأول من الحظ المصفوفات واستخدمها هو العالم كيلي (1281 - 5981م).‬ ‫مخطط تنظيمي للوحدة‬ ‫المصفوفات‬ ‫تنظيم البيانات‬ ‫في مصفوفات‬ ‫المحددات‬ ‫العمليات على المصفوفات‬ ‫ايجاد مساحة المثلث‬ ‫تعريف المصفوفة‬ ‫تمثيل المصفوفات‬ ‫تحليل البيانات‬ ‫جمع وطرح المصفوفات‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫خواص جمع المصفوفات‬ ‫خواص ضرب المصفوفات‬ ‫محدد المصفوفة المثلثية‬ ‫حل أنظمة المعادالت‬ ‫بطريقة كرامر‬ ‫ضرب عدد بمصفوفة‬ ‫بعض المصفوفات‬ ‫حل المعادالت المصفوفية‬ ‫مدور حاصل ضرب‬ ‫مصفوفتين‬ ‫المعكوس الضربي‬ ‫للمصفوفة‬ ‫الخاصة‬ ‫حدود المصفوفة‬ ‫حل نظام من المعادالت‬ ‫باستخدام المصفوفات‬
‫تنظيم البيانات في مصفوفات‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Organizing data in Matrices‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫فكر‬ ‫ما املصفوفة؟‬ ‫بعض املصفوفات اخلاصة‬ ‫(املصفوفة املربعة - مصفوفة‬ ‫الصف - مصفوفة العمود -‬ ‫املصفوفة الصفرية - املصفوفة‬ ‫القطرية - مصفوفة الوحدة)‬ ‫مدور املصفوفة‬ ‫املصفوفة املتامثلة واملصفوفة شبه‬ ‫املتامثلة.‬ ‫تساوى مصفوفتني.‬ ‫رضب عدد حقيقي يف مصفوفة‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫مصفوفة‬ ‫‪Matrix‬‬ ‫عنرص ‬ ‫‪Element‬‬ ‫مصفوفة الصف‬ ‫‪Row matrix‬‬ ‫مصفوفة العمود‬ ‫‪Column matrix‬‬ ‫مصفوفة مربعة‬ ‫‪Square matrix‬‬ ‫مصفوفة صفرية‬ ‫‪Zero matrix‬‬ ‫مصفوفات متساوية‬ ‫مصفوفة متامثلة‬ ‫‪Equal matrix‬‬ ‫‪Symmetric matrix‬‬ ‫مصفوفة شبه متامثلة‬ ‫‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫الربط بالصناعة‬ ‫مصنع إلنتاج بعض مكونات شاشات التليفزيون به‬ ‫3 أقسام، ينتج 4 أجزاء رئيسية من الشاشة أ، ب، جـ، د‬ ‫على النحو التالي:‬ ‫القسم األول ينتج يوميا 57 قطعة من أ ، 531 قطعة من‬ ‫ًّ‬ ‫ب ، 051 قطعة من جـ ، 512 قطعة من د .‬ ‫القسم الثاني ينتج يوميا 001 قطعة من أ ، 861 قطعة من ب ، 012 قطعة من جـ،‬ ‫ً‬ ‫282 قطعة من د.‬ ‫القسم الثالث ينتج يوميا 08 قطعة من أ ، 001 قطعة من ب ، 441 قطعة من جـ ،‬ ‫ًّ‬ ‫46 قطعة من د.‬ ‫واضح أنه من الصعب تذكر هذه المعلومات أو المقارنة بينها، وهي على هذه‬ ‫الصورة واآلن هناك سؤاال يطرح نفسه:‬ ‫ً‬ ‫كيف يمكن ترتيب هذه البيانات حتى يمكن تحليلها واالستفادة منها؟‬ ‫لإلجابة عن هذا السؤال فإنه يمكننا كتابة البيانات في صورة جدول يمكننا من‬ ‫معرفة ما ينتجه كل قسم من األقسام الثالثة من األجزاء المختلفة بسرعة ووضوح،‬ ‫كما يسهل لنا المقارنة بين إنتاج األقسام الثالثة من األجزاء المختلفة.‬ ‫‪Skew symmetric matrix‬‬ ‫آلة حاسبة بيانية‬ ‫برنامج اإلكسيل‬ ‫جهاز كمبيوتر‬ ‫األقسام‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫القسم األول‬ ‫القسم الثاني‬ ‫القسم الثالث‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫4‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫أ‬ ‫57‬ ‫001‬ ‫08‬ ‫األجزاء‬ ‫ب‬ ‫531‬ ‫861‬ ‫001‬ ‫جـ‬ ‫051‬ ‫012‬ ‫441‬ ‫د‬ ‫512‬ ‫282‬ ‫46‬
‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫فإذا كنا نعلم أن األعداد بالصف األول هي إنتاج القسم األول من األجزاء أ ، ب، جـ ، د على الترتيب، وبالمثل‬ ‫األعداد التي بالصف الثاني هي إنتاج القسم الثاني بنفس الترتيب، كذلك األعداد التى بالصف الثالث هي إنتاج‬ ‫و‬ ‫القسم الثالث بنفس الترتيب، فإننا نستطيع كتابة المعلومات التى بالجدول السابق بصورة أكثر اختصارا كاآلتي:‬ ‫ً‬ ‫الصف األول‬ ‫الصف الثانى‬ ‫الصف الثالث‬ ‫57‬ ‫001‬ ‫08‬ ‫531‬ ‫861‬ ‫001‬ ‫051‬ ‫012‬ ‫441‬ ‫512‬ ‫282‬ ‫46‬ ‫-‬ ‫-‬ ‫-‬ ‫-‬ ‫وتسمى هذه الصورة مصفوفة كما تسمى األعداد داخل‬ ‫القوسين عناصر المصفوفة‬ ‫العمود العمود العمود العمود‬ ‫األول الثانى الثالث الرابع‬ ‫وهذه المصفوفة لها ثالثة صفوف وأربعة أعمدة، لذا يقال لها مصفوفة على النظم 3 * 4‬ ‫(أو باالختصار مصفوفة 3 * 4) حيث تذكر عدد الصفوف أوال ثم عدد األعمدة، كما نالحظ أن:‬ ‫عدد عناصر المصفوفة = 3 *4 = 21 عنصرا .‬ ‫ً‬ ‫واآلن:‬ ‫1- هل هناك طريقة أخرى لترتيب بيانات المسألة ، ووضعها على صورة مصفوفة أخرى؟ فسر إجابتك.‬ ‫2- من المصفوفة السابقة ، ما العنصر في الصف األول والعمود الثاني؟ وما العنصر في الصف الثاني والعمود‬ ‫األول؟‬ ‫3- سؤال مفتوح: اكتب مثاال من عندك يمكن كتابة المعلومات المتضمنة فيه على صورة مصفوفة 2 * 3‬ ‫ً‬ ‫تعلم‬ ‫ت‬ ‫تنظيم البيانات في مصفوفا ‬ ‫‪Organizing Data in Matrices‬‬ ‫المصفوفة هى ترتيب لعدد من العناصر (متغيرات أو أعداد) في صفوف وأعمدة محصورة بين قوسين، وتنظم‬ ‫العناصر في المصفوفة بحيث يكون الموقع في المصفوفة ذا معنى، ويرمز إلى المصفوفة عادة باستخدام‬ ‫الحروف الكبيرة ‪ ، D ،C‬ج، ‪ .... ،N ،M‬ولعناصر المصفوفة بالحروف الصغيرة ‪ ،C‬ب، جـ، س، ص ، ....‬ ‫إذا أردنا التعبير عن العنصر داخل المصفوفة ‪ C‬الذي يقع في الصف ص والعمود ع فإنه يمكننا كتابته على‬ ‫الصورة ‪C‬‬ ‫صع‬ ‫ً‬ ‫و‬ ‫فمثال العنصر ‪ 21C‬يقع في الصف األول والعمود الثاني، كذلك ‪ 23C‬يقع في الصف الثالث والعمود الثاني.‬ ‫فى المصفوفة: ‪= C‬‬ ‫1‬‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫1‬‫5‬ ‫6‬ ‫2‬ ‫-2‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫-1‬ ‫العنصر -1 يقع في الصف 2 والعمود 2 ويرمز له بالرمز ‪C‬‬ ‫العنصر 6 يقع في الصف 1 والعمود 3 ويرمز له بالرمز ‪C‬‬ ‫22‬ ‫13‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫5‬
‫وبصفة عامة:‬ ‫المصفوفة المكونة من م صفا، ن عمودا تكون على النظم م * ن أو من الرتبة م * ن أو من النوع م * ن (وتقرأ م‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫فى ن، حيث م، ن أعداد صحيحة موجبة.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫‌ استخدم المصفوفة ‪= D‬‬ ‫1 5‬ ‫3 2‬ ‫5 7‬ ‫أ ما نظم المصفوفة ‬ ‫‪D‬؟‬ ‫تعلم‬ ‫لإلجابة عن مايلى:‬ ‫ب ما قيمة ‪12D ،21D‬؟‬ ‫تمثيل المصفوفات‬ ‫‪Representing Matrcies‬‬ ‫إذا كانت ‪ C‬مصفوفة على النظم م * ن فإنه يمكن كتابة المصفوفة ‪ C‬على الصورة:‬ ‫‪C( = C‬ص ع)،  ص = 1 ، 2، 3، ......................، م‬ ‫        ع  = 1 ، 2، 3، ......................، ن‬ ‫وسوف تقتصر دراستنا على الحاالت التى فيها م ‪ ، 3 H‬ن ‪3 H‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ اكتب جميع عناصر المصفوفات اآلتية:‬ ‫ص = 1 ، 2     ،  ع = 1، 2، 3‬ ‫أ ‪C( = C‬ص ع) ، ‬ ‫ ‬ ‫ص = 1 ، 2، 3 ،  ع = 1‬ ‫ب ‪( = D‬بص ع) ، ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ص = 1 ، 2      ،  ع = 1، 2‬ ‫ج‍ ج = (جـ ) ، ‬ ‫ ‬ ‫صع‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫أ ‪=C‬‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫21‬ ‫ج‍ ج =‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫21‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫23‬ ‫مصفوفة على النظم 2 * 3 ‬ ‫مصفوفة على النظم 2 * 2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ اكتب جميع عناصر المصفوفات اآلتية:‬ ‫أ ‪C( =     C‬ص ع)، ص = 1 ، 2 ،3، ع = 1، 2، 3‬ ‫ ‬ ‫ب ب = (ب س ص)، ص = 1 ، 2، ع = 1‬ ‫ ‬ ‫6‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ب‬ ‫ب ‪ = D‬ب21 مصفوفة على النظم 3 *1‬ ‫ب‬ ‫31‬ ‫11‬
‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ الربط بالمستهلك: يبين الجدول المقابل األسعار بالجنيه‬ ‫لثالثة أنواع من الساندويتشات بثالثة أحجام مختلفة في‬ ‫أحد مطاعم الوجبات الجاهزة.‬ ‫أ نظم هذه البيانات في مصفوفة، على أن تكون األسعار‬ ‫ ‬ ‫مرتبة تصاعديا.‬ ‫ًّ‬ ‫ب حدد نظم المصفوفة.‬ ‫ ‬ ‫ج‬ ‫‍ ما قيمة العنصر ‪ C‬؟‬ ‫ ‬ ‫صدور‬ ‫فراخ‬ ‫صغير‬ ‫متوسط‬ ‫كبير‬ ‫8‬ ‫21‬ ‫61‬ ‫9‬ ‫31‬ ‫71‬ ‫7‬ ‫11‬ ‫51‬ ‫جمبرى‬ ‫مقلى‬ ‫سمك‬ ‫فيليه‬ ‫32‬ ‫الحل‬ ‫صغير متوسط كبير‬ ‫51‬ ‫11‬ ‫7‬ ‫61‬ ‫21‬ ‫8‬ ‫71‬ ‫31‬ ‫9‬ ‫ ‬ ‫أ ‬ ‫ ‬ ‫ب هناك 3 صفوف، 3 أعمدة لذا فإن المصفوفة على النظم 3 * 3‬ ‫ج‍ قيمة العنصر ‪ C‬هى الموجودة بالصف 3 والعمود 2 وهى 31‬ ‫ ‬ ‫سمك فيليه‬ ‫صدور فراخ‬ ‫جمبرى مقلى‬ ‫32‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ رصد مدرب فريق كرة السلة بالمدرسة، إنجازات ثالثة العبين في مباريات‬ ‫دورى الفصول فكانت على النحو التالي:‬ ‫ سمير: لعب 01 مباريات ،  02 تسديدة  ،  5 أهداف.‬ ‫ حازم: لعب 61 مباراة   ،  53 تسديدة  ،  8 أهداف.‬ ‫ كريم: لعب 81 مباراة    ،  14 تسديدة  ،  01 أهداف.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫أ نظم البيانات فى مصفوفة على أن ترتب أسماء الالعبين ترتيبا تصاعديا تبعا لعدد األهداف.‬ ‫ًّ ً‬ ‫ً‬ ‫ب حدد نظم المصفوفة، ما قيمة‪32C‬؟‬ ‫مـثـال‬ ‫تنظيم البيانات اإلحصائية باستخدام المصفوفات‬ ‫ﺍﻻﺳﺘﻬﻼﻙ‬ ‫٥٢‬ ‫ﺍﻻﻧﺘﺎﺝ‬ ‫٠٢‬ ‫٥١‬ ‫٠١‬ ‫٥‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﻟﺔ ﺟـ‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﻟﺔ ﺏ‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﻟﺔ ﺃ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻜﻴﻠﻮ ﻭﺍﺕ / ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ‬ ‫‌ الربط بالطاقة: يمكن أن تقاس الطاقة بالكيلو وات / ساعة.‬ ‫يبين الرسم البيانى المقابل إنتاج الطاقة واالستهالك لبعض‬ ‫الدول. اكتب مصفوفة تمثل بيانات الرسم البياني المقابل.‬ ‫٠٣‬ ‫٠‬ ‫7‬
‫الحل‬ ‫افرض أن كل صف فى المصفوفة يمثل دولة، كل عمود يمثل‬ ‫و‬ ‫مستوى اإلنتاج واالستهالك. استنتج القيم من الرسم.‬ ‫تفكير ناقد‬ ‫دولة( أ )‬ ‫دولة (ب)‬ ‫دولة (جـ)‬ ‫االنتاج‬ ‫5٫9‬ ‫31‬ ‫91‬ ‫االستهالك‬ ‫5٫9‬ ‫9‬ ‫52‬ ‫كيف يمكنك تعديل المصفوفة لتمثيل البيانات بإضافة دول أخرى؟‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أعد كتابة البيانات فى المثال السابق فى صورة مصفوفة 2 *3، ضع عنوانًا للصفوف واألعمدة.‬ ‫‌ وضح الفرق بين المصفوفة التى على النظم 2 * 3، والمصفوفة التى على النظم 3 * 2‬ ‫تعلم‬ ‫ة‬ ‫بعض المصفوفات الخاص ‬ ‫‪Some special Matrices‬‬ ‫3 2‬‫‪l‬‬ ‫أ‬ ‫ المصفوفة المربعة: هى المصفوفة التى عدد الصفوف فيها يساوى عدد األعمدة مثل: 4 -1‬ ‫(مصفوفة مربعة على النظم 2 * 2)‬ ‫ ‬ ‫‪b‬‬ ‫ب مصفوفة الصف: هى المصفوفة التى تحتوى على صف واحد وأى عدد من األعمدة مثل: (2 4 6 8)‬ ‫(مصفوفة صف على النظم 1 * 4)‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫ج‍ مصفوفة العمود: هى المصفوفة التى تحتوى على عمود واحد، وأى عدد من الصفوف مثل: ‪f 5- p‬‬ ‫1‬ ‫(مصفوفة عمود على النظم 3 * 1)‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫د المصفوفة الصفرية: هى المصفوفة التى تكون جميع عناصرها أصفار وقد تكون مربعة أو التكون‬ ‫فمثال المصفوفات:‬ ‫ً‬ ‫0‬ ‫ (0) مصفوفة صفرية على النظم 1 * 1، (0 0) مصفوفة صفرية على النظم 1 * 2،  ‪ b 0 l‬مصفوفة‬ ‫0 0‬ ‫صفرية على النظم2 * 1،  ‪ b 0 0 l‬مصفوفة صفرية علي النظم 2 * 2، ويرمز للمصفوفة الصفرية‬ ‫بمستطيل صغير‬ ‫ه‍ المصفوفة القطرية: هى مصفوفة مربعة جميع عناصرها أصفار، ما عدا عناصر القطر الرئيسى فيكون،‬ ‫أحدها على األقل مغايرا للصفر فمثال المصفوفة:‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ ‬ ‫‪p‬‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬‫0‬ ‫0‬ ‫0 ‪( f‬مصفوفة قطرية على النظم 3 * 3)‬ ‫2‬ ‫و مصفوفة الوحدة: هى مصفوفة قطرية، يكون فيها كل عناصر القطر الرئيسى مساو يا الواحد، ويرمز‬ ‫ً‬ ‫لها بالرمز ‪ . I‬فمثال كل من المصفوفات:‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫8‬ ‫1 0‬ ‫(1) ،   ‪p   ،  b 1 0 l‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫‪  f‬هي مصفوفة وحدة.‬
‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ اكتب نوع كل مصفوفة ونظمها.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫1 -1‬ ‫أ ‪ b 2 0 l‬‬ ‫ب (1 3 5 7) ‬ ‫1 0‬ ‫ه‍ ‪ b 3 0 l‬‬ ‫0 0‬ ‫د ‪ b0 0l‬‬ ‫ج‍ ‬ ‫و ‬ ‫‌ اكتب المصفوفة الصفرية على النظم 3 * 3‬ ‫تعلم‬ ‫تساوى مصفوفتين‬ ‫3‬ ‫‪f4p‬‬ ‫5‬ ‫0 0‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫0 1‬ ‫‪Equality of two Matrices‬‬ ‫تتساوى مصفوفتان ‪ D ،C‬إذا كانتا على نفس النظم، كان كل عنصر في المصفوفة ‪ C‬مساو يا لنظيره في المصفوفة‬ ‫و‬ ‫ً‬ ‫‪ D‬أي أن: ‪C‬ص ع = ‪ D‬ص ع  لكل ص ولكل ع.‬ ‫مـثـال‬ ‫1 2‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫1 2 0‬ ‫‌ أ المصفوفتان ‪ b 0 5 1- l ، b 5 1- l‬‬ ‫1 س 2‬ ‫ب ‪ b 2 3- 1 l = b 5 6 1- l‬‬ ‫-1 6 ص‬ ‫1 ص‬‫ج‍ المصفوفتان ‪ b 1- 3 l ، b 2 1 l‬‬ ‫س -1‬ ‫0 1 5‬ ‫د ‪p =f 0 7 1 p‬‬ ‫2 6 3‬ ‫0 1 5‬ ‫1 7 0‬ ‫2 6 3‬ ‫غير متساويتين ألنهما ليسا على نفس النظم.‬ ‫إذا و فقط إذا كانت س = -3 ، ص = 5‬ ‫اليمكن أن يتساويا، وذلك إلختالف أحد العناصر المناظرة‬ ‫في كل منهما (عناصر الصف األول والعمود األول)‬ ‫‪ f‬‬ ‫المصفوفتان متساويتان ألن لهما نفس النظم وعناصرهما‬ ‫المتناظرة متساوية.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ 3 2٫0‬‫57٫0 1‬‫‪4 o‬‬ ‫5 ‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‌ أ إذا كان ‪  2- 0٫5 = D     ،  2- 1 o = C‬هل ‪D = C‬؟ فسر إجابتك.‬ ‫2‬ ‫3 4‬‫3 4‬ ‫ب إذا كانت ‪      b 2- 0 l = N     ،       b 2- 0 l = M‬هل ‪N = M‬؟ فسر إجابتك .‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫استخدام المصفوفات المتساوية في حل المعادالت‬ ‫‌ إذا كان: ‪2 l‬س-5‬ ‫3‬ ‫الحل‬ ‫4‬ ‫‪ 2 l‬س-5‬ ‫3 3 ص +21‬ ‫‪l=b‬‬ ‫52‬ ‫4‬ ‫‪l =b‬‬ ‫3ص + 21‬ ‫3‬ ‫52‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫ص +81‬ ‫4‬ ‫ص + 81‬ ‫‪  b‬فأوجد قيمتى س، ص.‬ ‫‪b‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫9‬
‫حيث أن المصفوفتين متساويتان، فيكون العناصر المتناظرة متساوية ونكتب:‬ ‫3ص + 21 = ص + 81‬ ‫ ، ‬ ‫2 س - 5 = 52‬ ‫3ص- ص = 81 - 21‬ ‫ ، ‬ ‫2 س     = 52 - 5‬ ‫ص     = 3‬ ‫ ، ‬ ‫2 س     = 02‬ ‫س       = 01‬ ‫الحل هو س = 01، ص = 3‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان ‪ l‬س + 8‬ ‫3‬ ‫5‬‫-ص‬ ‫‪l = b‬‬ ‫83‬ ‫3‬ ‫-5 ‪     b‬فأوجد قيمتى س، ص‬ ‫4ص-01‬ ‫1 ‌ تفكير ناقد: إذا كان (3س  س + ص  س - ع) = (-9  4  -01)   فأوجد قيم كل من س، ص، ع‬ ‫‪+C‬ب‬ ‫1 ‌ تفكير ناقد: إذا علم أن:‬ ‫‪ + C‬ب + جـ‬ ‫تعلم‬ ‫‪-C‬ب‬ ‫‪ - C‬ب + 2د‬ ‫= ‪ b 3- 9 l‬فأوجد قيم ‪ ،C‬ب، جـ، د‬ ‫7 5‬ ‫ة‬ ‫ضرب عدد حقيقي في مصفوف ‬ ‫‪Multipling a Real Number by a Matrix‬‬ ‫ضرب عدد حقيقي في مصفوفة يعنى ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في ذلك العدد الحقيقي أي أن:‬ ‫حاصل ضرب عدد حقيقي ك في مصفوفة ‪ C‬على النظم م * ن هي مصفوفة ج = ك ‪ C‬على نفس النظم م * ن كل‬ ‫و‬ ‫عنصر فيها جـ ص ع يساوى العنصر المناظر له في المصفوفة ‪ C‬مضروبا في العدد الحقيقي ك.‬ ‫ً‬ ‫أي: جـ ص ع = ك ‪ C‬ص ع   حيث ص =1، 2، .....، م ، ع = 1، 2، .....، ن‬ ‫الحظ أن:‬ ‫كس كص‬ ‫س ص‬ ‫‪l= b‬‬ ‫ك‪l‬‬ ‫كع كل‬ ‫ع ل‬ ‫‪b‬‬ ‫فمثال -2 4 1‬ ‫ً‬ ‫‪b 2- 8- l = b 1 * 2- 4 * 2- l = b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫5 -1‬ ‫01 2‬‫2 * 5 -2 * -1‬‫مـثـال‬ ‫‌ تخطط إحدى الكافيتريات لرفع ثمن كل مشروب مرة ونصف المرة. استخدم‬ ‫الئحة األسعار فى الجدول التالى إليجاد ثمن كل مشروب بعد الزيادة؟‬ ‫حجم صغير‬ ‫حجم كبير‬ ‫كوب لبن كامل الدسم‬ ‫57٫0 من الجنيه‬ ‫05٫1 من الجنيه‬ ‫كوب عصير مانجو‬ ‫09٫0 من الجنيه‬ ‫09٫1 من الجنيه‬ ‫كوب عصير برتقال‬ ‫01‬ ‫58٫0 من الجنيه‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫57٫1 من الجنيه‬
‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫الحل‬ ‫57٫0‬ ‫05٫1‬ ‫09٫0‬ ‫09٫1‬ ‫58٫0‬ ‫5٫1 * 57٫0 5٫1 * 05٫1‬ ‫=‬ ‫57٫1‬ ‫=‬ ‫521٫1 52٫2‬ ‫572٫1 526٫2‬ ‫ ‬ ‫5٫1‬ ‫ ‬ ‫سوف يصبح ثمن كوب اللبن من الحجم الصغير 521٫1 من الجنيه، ثمن كوب اللبن‬ ‫من الحجم الكبير 52٫2 من الجنيه، وسوف يصبح ثمن كوب عصير البرتقال من‬ ‫الحجم الصغير 572٫1 من الجنيه، وثمن كوب البرتقال من الحجم الكبير 526٫2،‬ ‫وسوف يصبح ثمن كوب عصير المانجو من الحجم الصغير 53٫1من الجنيه، وثمن‬ ‫كوب المانجو من الحجم الكبير 58٫2 من الجنيه.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫5٫1 * 09٫0 5٫1 * 09٫1‬ ‫51 -21 01‬ ‫02 -01 7‬ ‫-2 1 3‬ ‫‌‬ ‫1 إذا كان ‪= C‬‬ ‫تعلم‬ ‫5٫1 * 58٫0 5٫1 * 57٫1‬ ‫53٫1 58٫2‬ ‫فأوجد -5‪C‬‬ ‫مدور المصفوفة‬ ‫‪Transpose of a Matrix‬‬ ‫في أي مصفوفة ‪ C‬على النظم م * ن إذا استبدلنا الصفوف باألعمدة واألعمدة بالصفوف بنفس الترتيب فإننا نحصل‬ ‫على مصفوفة على النظم ن * م، وتسمى مدور المصفوفة ‪ ،C‬ويرمز لها بالرمز ‪ C‬مد ويتضح من التعريف أن (‪C‬مد)مد = ‪C‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد مدور كل من المصفوفات اآلتية:‬ ‫ ‬ ‫أ ‪=C‬‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫الحل‬ ‫2‬ ‫-1‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫-1‬ ‫1‬‫5‬ ‫3‬ ‫1 ‪ f‬‬‫5‬ ‫ ‬ ‫أ ‪ C‬مد   = ‪p‬‬ ‫ ‬ ‫ب ب مد = ‪ 2- p‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫6‬ ‫مد ‪3- l‬‬ ‫ج‍ ج   =‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫-1 ‪ b‬‬ ‫ ‬ ‫ب ب = (1  -2  6) ‬ ‫3 4‬‫ج‍‬ ‫‪l‬‬ ‫ ج = 2 -1‬ ‫‪b‬‬ ‫مصفوفة على النظم 3 * 2‬ ‫مصفوفة عمود على النظم 3 * 1‬ ‫مصفوفة مربعة على النظم 2 * 2‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫11‬
‫الم�صفوفات المتماثلة و�شبه المتماثلة‬ ‫‪Symmetric and Semi Symmetric Matrices‬‬ ‫إذا كانت ‪ C‬مصفوفة مربعة فإنها تسمى متماثلة إذا وفقط إذا كانت ‪C = C‬مد وتسمى شبه متماثلة إذا وفقط إذا كانت‬ ‫مد‬ ‫‪C- = C‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ هل المصفوفة ب = ‪p‬‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ب= ‪p‬‬ ‫0‬ ‫1‬‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫-3‬ ‫0‬ ‫1‬‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫-3‬ ‫1‬‫3‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬‫1‬ ‫1‬‫3‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫-3‬ ‫‪ f‬متماثلة أم شبه متماثلة؟‬ ‫‪ f‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫-1‬ ‫ب مد = ‪p‬‬ ‫1‬ ‫3‬‫0‬ ‫1‬‫0‬ ‫3‬ ‫‪f‬‬ ‫-1‬ ‫ ‬ ‫ب مد = -1 * ‪p‬‬ ‫ ‬ ‫` ب مد = -ب فيكون ب = - ‪ D‬مد فتكون المصفوفة ب شبه متماثلة‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌‬ ‫1 هل المصفوفة ‪p = C‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫-1‬ ‫3 ‪-= f‬ب‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫1‬‫5‬ ‫6‬ ‫‪ f‬متماثلة أم شبه متماثلة؟‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ أوجد قيمة كل من س، ص، ع في كل مما يأتى:‬ ‫س‬ ‫أ ‪l‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫1 ‪l =b‬‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫‪ b‬‬ ‫س‬ ‫ب ‪l‬‬ ‫0‬ ‫‌ بين أيا من المصفوفات اآلتية متماثلة وأيها شبه متماثلة:‬ ‫ًّ‬ ‫أ ‪p‬‬ ‫ ‬ ‫21‬ ‫1‬ ‫1‬‫4‬ ‫1‬‫2‬ ‫6‬ ‫4‬ ‫6‬ ‫5‬ ‫‪ f‬‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ب ‬ ‫0‬ ‫5‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫1‬ ‫5‬‫2‬ ‫0‬ ‫1‬‫2‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫‪l =b‬‬ ‫0‬ ‫ص‬ ‫1‬‫1‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫ع‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫3 ‪ b‬‬
‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫نشاط‬ ‫الربط بالتكنولوجيا: استخدام الجداول اإللكترونية في تنظيم البيانات‬ ‫األدوات المستخدمة: برنامج الجداول اإللكترونية(‪)Excel‬‬ ‫‬ ‫استخدم الجداول اإللكترونية لتنظيم البيانات وعرضها وتحليلها، حيث يتم إدخالها في برنامج الجداول‬ ‫اإللكترونية في صفوف وأعمدة مثل المصفوفات، بعد ذلك يمكنك استخدامها في عمل الرسوم أو إيجاد‬ ‫الحسابات.‬ ‫مـثـال‬ ‫01 الربط بالتجارة: جمع مدير سوبر ماركت مبيعاته من السلع‬ ‫الغذائية بالكيلو جرام في أربعة أسابيع متتالية، ونظمها في‬ ‫الجدول المقابل، أدخل البيانات في برنامج الجداول اإللكترونية.‬ ‫1- استخدم العمود ‪ A‬للنوع والعمود ‪ B‬لمبيعات األسبوع األول ،‬ ‫والعمود ‪ C‬لمبيعات األسبوع الثانى، والعمود ‪ D‬لمبيعات األسبوع‬ ‫الثالث والعمود ‪ E‬لمبيعات األسبوع الرابع.‬ ‫مبيعات السوبر ماركت من بعض السلع الغذائية بالكيلو‬ ‫جرامات خالل 4 أسابيع متتالية‬ ‫النوع‬ ‫سكر‬ ‫زيت‬ ‫مكرونة‬ ‫دقيق‬ ‫زبدة‬ ‫ألبان‬ ‫شاي‬ ‫فول‬ ‫األسبوع‬ ‫األول‬ ‫43‬ ‫24‬ ‫06‬ ‫07‬ ‫52‬ ‫06‬ ‫22‬ ‫54‬ ‫األسبوع‬ ‫الثاني‬ ‫03‬ ‫84‬ ‫26‬ ‫57‬ ‫42‬ ‫63‬ ‫81‬ ‫53‬ ‫األسبوع‬ ‫الثالث‬ ‫72‬ ‫63‬ ‫45‬ ‫08‬ ‫02‬ ‫14‬ ‫03‬ ‫83‬ ‫األسبوع‬ ‫الرابع‬ ‫81‬ ‫23‬ ‫85‬ ‫27‬ ‫81‬ ‫77‬ ‫23‬ ‫04‬ ‫يحوي كل صف مبيعات النوع‬ ‫نفسه من السلعة الغذائية، ويمثل‬ ‫الصف الثانى مبيعات الزيت.‬ ‫81‬ ‫72‬ ‫03‬ ‫43‬ ‫ﺳــﻛــﺭ‬ ‫23‬ ‫63‬ ‫84‬ ‫24‬ ‫ﺯﻳﺕ‬ ‫85‬ ‫45‬ ‫86‬ ‫06‬ ‫ﻣﻛﺭﻭﻧﺔ‬ ‫27‬ ‫08‬ ‫57‬ ‫07‬ ‫ﺩﻗﻳﻕ‬ ‫81‬ ‫02‬ ‫42‬ ‫52‬ ‫ﺯﺑﺩﻩ‬ ‫77‬ ‫14‬ ‫63‬ ‫06‬ ‫23‬ ‫03‬ ‫81‬ ‫22‬ ‫ﺍﻟﺑﺎﻥ‬ ‫ﺷﺎﻯ‬ ‫04‬ ‫83‬ ‫53‬ ‫54‬ ‫ﻓﻭﻝ‬ ‫تحتوي كل خلية في الجدول جزءا‬ ‫ً‬ ‫واحدً ا من البيانات، حيث تحتوي‬ ‫الخلية 7‪ D‬على القيمة 03، والتي‬ ‫تمثل عدد الكيلو جرامات المبيعة‬ ‫في األسبوع الثالث من الشاي.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌‬ ‫1 قارن بين تنظيم البيانات في الجداول اإللكترونية وتنظيمها في مصفوفة.‬ ‫‌‬ ‫1 عند استخدامك لألمر (‪ )sum‬يمكنك إيجاد مجاميع مدخالت الصفوف واألعمدة في الجداول اإللكترونية.‬ ‫يمكنك إيجاد مجاميع مدخالت الصفوف من 1 إلى 8 بإدخال الصيغة )8‪ = sum (F1:F‬ماذا تمثل هذه المجاميع؟‬ ‫ ‬ ‫‌‬ ‫1 اختر إحدى المسائل التي درستها في هذا الدرس، وتحقق من صحة إجاباتك باستخدام الجداول اإللكترونية‬ ‫(يمكنك استخدام برنامج (‪.))EXCEL‬‬ ‫‌‬ ‫1 مسألة مفتوحة: أنشئ مصفوفة باستخدام بيانات حياتية تكون مجاميع عناصر أعمدتها ذات معنى،‬ ‫ومجاميع عناصر صفوفها لها معنى أيضا، أدخل بيانات المصفوفة على برنامج الجداول اإللكترونية، وتحقق‬ ‫ً‬ ‫من صحة المجاميع التى حصلت عليها، ثم فسر ماذا تعنى مجاميع كل من األعمدة والصفوف.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫31‬
‫جمع وطرح المصفوفات‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Adding and subtracting Matrices‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫عمل تعاونى‬ ‫مجع املصفوفات.‬ ‫الربط باالحصاء: اعمل مع زميل لك . استخدم المعلومات في الجدول التالي:‬ ‫طرح املصفوفات.‬ ‫السنة‬ ‫1102‬ ‫2102‬ ‫3102‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫مجع املصفوفات‬ ‫‪Adding matrices‬‬ ‫طرح املصفوفات‬ ‫‬ ‫‪Subtracting matrices‬‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة بيانية‬ ‫الوسط الحسابى للدرجات‬ ‫رياضيات‬ ‫علوم‬ ‫إناث‬ ‫ذكور‬ ‫إناث‬ ‫ذكور‬ ‫754‬ ‫205‬ ‫024‬ ‫824‬ ‫064‬ ‫105‬ ‫124‬ ‫524‬ ‫364‬ ‫305‬ ‫624‬ ‫924‬ ‫1- أ أوجد مجموع درجات الوسطين الحسابيين للذكور في كل سنة في الجدول.‬ ‫ب أوجد مجموع درجات الوسطين الحسابيين لإلناث في كل سنة في الجدول.‬ ‫ ‬ ‫2- أ اكتب مصفوفة تمثل الوسط الحسابي لدرجات مادة العلوم للذكور‬ ‫واإلناث. ضع عنوانًا للمصفوفة وصفوفها وأعمدتها.‬ ‫ب ما نظم المصفوفة؟‬ ‫ ‬ ‫3- أ اكتب مصفوفة تمثل الوسط الحسابى لدرجات الرياضيات للذكور‬ ‫واإلناث. ضع عنوانًا للمصفوفة وصفوفها وأعمدتها.‬ ‫ب ما نظم المصفوفة ؟‬ ‫ ‬ ‫4- بفحص إجابتك عن السؤال رقم (1) والمصفوفات التى كتبتها في السؤالين (2)،‬ ‫ ‬ ‫(3)، اكتب مصفوفة ثالثة تمثل مجموع درجات الوسطين الحسابيين للذكور‬ ‫واإلناث. ضع عنوانًا للمصفوفة وصفوفها وأعمدتها، ما نظم المصفوفة؟‬ ‫5- استخدم مالحظاتك، وأى أنماط تراها لصياغة طريقة لجمع المصفوفات.‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫جمع المصفوفات‬ ‫‪Adding Matrices‬‬ ‫نريد أحيانا ان نجمع أو نطرح مصفوفات، لكى نحصل على معلومات جديدة.‬ ‫لتحصل على مصفوفة الجمع، اجمع العناصر المتناظرة.‬ ‫أى أن: إذا كانت ‪ D ،C‬مصفوفتين على النظم م * ن، فإن ‪ + C‬ب هى مصفوفة أيضا على‬ ‫ً‬ ‫النظم م * ن ويكون كل عنصر فيها هو مجموع العنصرين المتناظرين في ‪ ،C‬ب.‬ ‫41‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫تافوفصملا حرطو عمج‬ ‫مـثـال‬ ‫0 2‬ ‫‌ إذا كان ‪ ، b 3 1- l = C‬ب = ‪ b 2- 7 l‬فأوجد: ‪.D + C‬‬ ‫1 -4‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫0 2‬ ‫7‬ ‫2 ‪ b‬‬‫‪ + C‬ب =‪l + b 3 1- l‬‬ ‫1 -4‬ ‫(بالتعويض عن ‪ ،C‬ب)‬ ‫2+ (-2) ‬ ‫0+7‬ ‫   =‬ ‫1 + 1 3 + (-4)‬‫7 0‬ ‫‪b‬‬ ‫ = ‪l‬‬ ‫ ‬ ‫0 -1‬ ‫(بجمع العناصر المتناظرة)‬ ‫(بسط)‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ، b 1- 4- l = C‬ب = ‪ ، b 7- 2 l‬جـ = ‪ b 7 l‬أوجد كال ممايأتي إن أمكن:‬ ‫ً‬ ‫3 -7‬‫4‬ ‫8 -1‬ ‫ب ‪ + C‬جـ‬ ‫أ ‬ ‫‪+C‬ب‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ت‬ ‫خواص جمع المصفوفا ‬ ‫‪Properties of Adding Matrices‬‬ ‫نفرض ‪ ، C‬ب ، ج ثالث مصفوفات من النظم م * ن وأن‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫مصفوفة صفرية على نفس النظم فإن:‬ ‫1- خاصية اإلنغالق: ‪ + C‬ب تكون مصفوفة على النظم م * ن‬ ‫مصفوفة على النظم 2 * 2، ب = 7‬ ‫إذا كانت ‪2 1- = C‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫2 0‬‫0 3‬ ‫فإن    ‪ + C‬ب = ‪ b 4 6 l = b 2 7 l + b 2 1- l‬مصفوفة على النظم 2 * 2‬ ‫0 3‬ ‫2 0‬‫-2 3‬ ‫2- خاصية اإلبدال: ‪ + C‬ب = ب + ‪C‬‬ ‫واآلن: إذا كان ‪ ، b 1- 3 l = C‬ب = ‪  b 5 6 l‬فبين أن  ‪ + C‬ب = ب + ‪C‬‬ ‫4‬ ‫-2 3‬ ‫0‬ ‫3- خاصية الدمج: (‪ + C‬ب) + ج = ‪( + C‬ب + ج)‬ ‫واآلن: إذا كان ‪ ، b 1- 3 l = C‬ب = ‪ ، b 5 6 l‬ج = ‪  b 4 2 l‬فبين أن (‪ + )D + C‬ج = ‪ + D( + C‬ج)‬ ‫4‬ ‫0‬ ‫4- خاصية المحايد الجمعى:  ‪+ C‬‬ ‫ ‬ ‫0 0 0‬ ‫1 2 3‬ ‫فمثالً: ‪+ f 4 5- 6 p‬‬ ‫ ‬ ‫‪0 0 0 p‬‬ ‫0 0 0‬ ‫7 8 -9‬ ‫-2 3‬ ‫=‬ ‫+‪C=C‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫-1 -3‬ ‫فمثال 3‬ ‫ً‪l‬‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫7‬ ‫8 -9‬ ‫‪p = f 4 5- 6 p + f 0 0 0 p = f‬‬ ‫5- خاصية المعكوس (النظير)الجمعي:  ‪= C + )C-( = )C-( + C‬‬ ‫حيث (-‪ )C‬النظير الجمعى للمصفوفة ‪C‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫2 ‪ b‬مصفوفة على النظم 2 * 2‬ ‫5 2 + ‪0 = b 2- 5- 3- l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫2 0 5‬‫0‬ ‫0 -5‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1 2 3‬ ‫6 -5 4‬ ‫7 8 -9‬ ‫0  حيث ‪3 - = b 2- 5- 3- l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫2 0 5‬‫2‬ ‫0‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫‪f‬‬ ‫5 2‬ ‫0 -5‬ ‫‪b‬‬ ‫51‬
‫تعلم‬ ‫طرح المصفوفات ‬ ‫إذا كانت كل من المصفوفتين ‪ ،C‬ب على النظم م * ن فإن المصفوفة ج = ‪ - C‬ب = ‪-( + C‬ب) حيث ج مصفوفة‬ ‫علي النظم م * ن ، (-ب) هى معكوس للمصفوفة ب بالنسبة لعملية جمع المصفوفات.‬ ‫فمثالً: ‪ C l‬ب ‪ l - b‬س ص ‪ C l = b‬ب ‪- l + b‬س -ص ‪ - C l = b‬س ب - ص ‪b‬‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫جـ - ع ‪ - E‬ل‬ ‫ع ل‬ ‫ع -ل‬‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ، b 11 4- 7 l = C‬ب = ‪ b 2 9 5 l‬أثبت أن ‪ - C‬ب ! ب - ‪.C‬‬ ‫6 5 -1‬ ‫8 -7 -3‬ ‫الحل‬ ‫7‬ ‫ ‬ ‫‪-C‬ب= ‪l‬‬ ‫6‬ ‫    = 7‬ ‫ ‬ ‫‪l‬‬ ‫6‬ ‫    = 2‬ ‫ ‬ ‫‪l‬‬ ‫-2‬ ‫4‬‫5‬ ‫4‬‫5‬ ‫31‬‫-2‬ ‫11‬ ‫‪b‬‬ ‫1‬‫11‬ ‫‪b‬‬ ‫1‬‫9 ‪b‬‬ ‫-4‬ ‫5 9 2‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬‫8 -7 -3‬ ‫+ ‪b 2- 9- 5- l‬‬ ‫-8 7 3‬ ‫ب - ‪l =  C‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫(1) ‬ ‫    = ‪l‬‬ ‫    = ‪l‬‬ ‫5‬ ‫8‬ ‫5‬ ‫8‬ ‫2‬‫2‬ ‫9‬ ‫7‬‫9‬ ‫7‬‫31‬ ‫-21‬ ‫2 - 7‬ ‫‪l b‬‬ ‫3‬‫6‬ ‫2 + ‪7- l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫6‬‫3‬‫9 ‪b‬‬‫-2‬ ‫4‬‫5‬ ‫4‬ ‫-5‬ ‫11‬ ‫1‬‫11 ‪b‬‬‫1‬ ‫‪b‬‬ ‫(2)‬ ‫من (1)، (2) نالحظ أن: ‪ - C‬ب ! ب - ‪( C‬عملية طرح المصفوفات ليست إبدالية)‬ ‫ ‬ ‫فكر: هل عملية طرح المصفوفات دامجة؟‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ، b 1- 5 2 l = C‬ب = ‪ ، b 3 4 1- l‬ج = ‪ b 2- 1- 6 l‬أوجد المصفوفة 2‪5 + D 3 - C‬ج‬ ‫الحل‬ ‫9 -2 5‬ ‫3 -4 6‬ ‫-3 5‬ ‫4‬ ‫2 * -1 = 4 01‬ ‫2 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫6 -8‬ ‫21‬ ‫2*6‬ ‫3 * 3 = -3 21 9‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l b‬‬ ‫72 -6 51‬ ‫3*5‬ ‫2‪5 * 2 2 * 2 l = b 1- 5 2 l 2 =       C‬‬ ‫ ‬ ‫2 * 3 2 * -4‬ ‫3 -4 6‬ ‫3ب = 3 ‪4 * 3 1-* 3 l = b 3 4 1- l‬‬ ‫ ‬ ‫9 -2 5‬ ‫3 * 9 3 * -2‬ ‫3ب = 3‬‫ ‬ ‫21 -9 ‪b‬‬‫‪l‬‬ ‫72 6 -51‬‫5ج = 5 6 -1 -2 = 5 * 6 5 * -1 5 * -2 = 03‬ ‫ ‬ ‫5 -01 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫‪l b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫51‬‫52 02‬ ‫5 * -3 5 * 5 5 * 4‬ ‫3 5 4‬‫` 2 ‪3 - C‬ب + 5 ج = 4 01 -2 + 3 -21 -9 + 03‬ ‫5 -01 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫‪l b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫51 52 02‬‫72 6 -51‬‫6 -8 21‬ ‫       = 4 +3 + 03 01 - 21 -5 -2 - 9 - 01 = 73‬ ‫ ‬ ‫7 -12 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫63‬‫32 71‬ ‫6 - 72 - 51 -8 + 6 + 52 21 - 51 + 02‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان ‪ ، b 1- 2 l = C‬ب = ‪ ، b 4 1- l‬ج = ‪ b 3- 1 l‬فأوجد المصفوفة 2‪4 + D3 - C‬ج‬ ‫-3 5‬ ‫61‬ ‫6 -2‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫0‬ ‫3‬
‫تافوفصملا حرطو عمج‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‌ أوجد قيمة كل ممايأتى:‬ ‫2‬ ‫‪l‬‬ ‫9‬ ‫أ‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫‪4- l‬‬ ‫1‬ ‫‪+b‬‬ ‫1‬ ‫-1‬ ‫3‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫2‬ ‫‪l‬‬ ‫‌ إذا كانت‪4 = C‬‬ ‫1‬ ‫-2 ‪ b‬‬ ‫1‬ ‫1 ‪ ، b‬ب = ‪l‬‬‫0‬ ‫0‬ ‫ب ‪p‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫أ أوجد ‪ - C‬ب ، ب - ‪ . C‬‬ ‫ماذا تالحظ؟‬ ‫3 ‪b‬‬‫1‬ ‫3 4‬‫3 -3‬ ‫0 4 ‪1- 5 p - f‬‬ ‫2 2‬ ‫5 2‬ ‫‪f‬‬ ‫ب تحقق من أن - (‪ + C‬ب) = (-‪-( + )C‬ب)‬ ‫نشاط‬ ‫الربط بالتكنولوجيا: يمكنك استخدام اآللة الحاسبة لجمع أو طرح المصفوفات، على اآللة الحاسبة تسمى‬ ‫المصفوفة باستخدام متغير، بعض اآلالت الحاسبة تضع أقواس [ ] حول‬ ‫تذكر‬ ‫المتغير لتوضيح المصفوفة، قبل إدخال القيم للمصفوفة، يجب أن تدخل‬ ‫تذكر أن [‪ ]B] ،[A‬يمكن‬ ‫جمعها وطرحها ألنهما على‬ ‫نظم المصفوفة‬ ‫ ‬ ‫[‪[ = ]A‬‬ ‫4]‬ ‫[‪[ = ]B‬‬ ‫3 2 1 ‬ ‫5‬ ‫6‬ ‫9‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫7‬ ‫نفس النظم 3 × 2‬ ‫16 ]‬ ‫تتابع المفاتيح الموضح أدناه هو إلدخال وجمع مصفوفتين، إجر كل الخطوات للمصفوفة ‪ ،A‬ثم للمصفوفة ‪B‬‬ ‫مصفوفة [‪]A‬‬ ‫مصفوفة [‪]B‬‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫(-)‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫9‬ ‫‪Enter‬‬ ‫6‬ ‫4‬ ‫‪Enter‬‬ ‫(-)‬ ‫1‬ ‫‪Quit‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫1‬ ‫$‬ ‫إلدخال القيم في الصف األول‬ ‫‪Enter‬‬ ‫4‬ ‫$‬ ‫إلدخال القيم في الصف الثاني‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫3‬ ‫‪Enter‬‬ ‫3‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫7‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫2‬ ‫$‬ ‫إلدخال نظم المصفوفة‬ ‫1‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫$‬ ‫إلضافة مصفوفة‬ ‫6‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫5‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪2nd‬‬ ‫‪Quit‬‬ ‫1‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫+‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫]‪[A] + [b‬‬ ‫]5 1 1 7[[‬ ‫]]1- 9 3[‬ ‫2‬ ‫‪$ 2nd‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫ ‬ ‫[‬ ‫8٫3 1٫2‬ ‫]‬ ‫أ [‪= ]B] ،  0٫8- 1٫5 = [A‬‬ ‫-4٫1 9٫1‬ ‫[‬ ‫ $             لجمع[‪]B] ،[A‬‬ ‫   $    سوف تعرض اآللة الحاسبة مجموع المصفوفتين‬ ‫1- واآلن: استخدم اآللة الحاسبة إليجاد: [‪]A] - [B] ،[A] + [B‬‬ ‫ ‬ ‫1.1 -4.1‬ ‫6.0 1.‬ ‫-7.1 8.0‬ ‫للذهاب إلى‬ ‫(‪)home screen‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫7‬ ‫5‬ ‫-4‬ ‫6‬ ‫-7 -6‬ ‫] [‬ ‫ ب [‪= ]B]  ، 10- 9- 4 = [A‬‬ ‫5 8 31‬‫4 11 7‬ ‫-51 6 -8‬ ‫]‬ ‫2- هل التغيير في ترتيب المصفوفات يؤثر على الناتج عند جمع المصفوفات؟ وعند طرح المصفوفات؟ فسر إجابتك.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫71‬
‫ضرب المصفوفات‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫عمل تعاونى‬ ‫ رضب املصفوفات.‬ ‫خواص رضب املصفوفات.‬ ‫مدور حاصل رضب مصفوفتني.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫رضب املصفوفات‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬ ‫‬ ‫مدور مصفوفة‬ ‫‪Transpose of matrix‬‬ ‫‬ ‫اعمل مع زميل لك. استخدم البيانات‬ ‫في الجدول المقابل:‬ ‫ثمن الوجبة بالجنيهات‬ ‫1- ما ثمن وجبات الغذاء(1)؟ وجبات‬ ‫ ‬ ‫001‬ ‫05‬ ‫عدد الوجبات المباعة‬ ‫الغذاء(2)؟ وجبات الغذاء (3)؟‬ ‫2- أ ما مجموع ثمن جميع الوحدات المباعة من الوجبات الثالثة ؟‬ ‫ب وضح كيف استخدمت بيانات الجدول إليجاد اإلجابة.‬ ‫ ‬ ‫وجبة وجبة وجبة‬ ‫(1) (2) (3)‬ ‫2‬ ‫05٫3 57٫2‬ ‫57‬ ‫3- أ اكتب مصفوفة 1 * 3 لتمثل ثمن كل وجبة مباعة.‬ ‫ب اكتب مصفوفة 3 * 1 لتمثل عدد الوجبات المباعة.‬ ‫ ‬ ‫ج‍ الكتابة: استخدم الكلمات صف، عمود ، عنصر لوصف إجراءات‬ ‫ ‬ ‫استخدام المصفوفات التى حصلت عليها إليجاد عدد الجنيهات التى تبيع‬ ‫بها الكافتيريا الوجبات الثالث.‬ ‫واآلن: لكي نقوم بضرب المصفوفات، اضرب عناصر كل صف من المصفوفة‬ ‫األولى في عناصر كل عمود من المصفوفة الثانية، ثم اجمع حواصل الضرب.‬ ‫فمثال إليجاد حاصل ضرب: ‪ ، 2 0 = C‬ب = 5 0‬ ‫ً‬ ‫‪l‬‬ ‫‪f 3- 2- p‬‬ ‫1 1‬‫1 4‬ ‫‪b‬‬ ‫نضرب ‪ 11C‬فى ب11، ثم نضرب ‪ 21C‬فى ب21 ثم نجمع حاصل الضرب‬ ‫0‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫0‬ ‫الناتج هو العنصر في الصف األول والعمود األول. كرر الخطوات نفسها مع باقي‬ ‫الصفوف واألعمدة.‬ ‫0 2‬ ‫‪= b 0 5 l f 3- 2- p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫-1 1‬ ‫‪p‬‬ ‫81‬ ‫2‬ ‫‪p = b 1 1- l f 3- 2- p‬‬ ‫؟‬ ‫‪2- = )1-( * 2+ 5 * )0(     f‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫2‬‫1‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫3‬‫4‬ ‫‪f‬‬ ‫-2 ؟‬ ‫2 2‬‫5 0‬ ‫‪l‬‬ ‫‪ p= b‬؟‬ ‫-1 1‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫‪2 = )1()2( + )0()0(     f‬‬ ‫‪7-= )1-()3-( + )5()2-(     f‬‬
‫تافوفصملا برض‬ ‫ ‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫0 2‬ ‫2 -3‬‫1 4‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫2‬‫1‬ ‫‪f‬‬ ‫2 2‬‫5 0‬ ‫‪ 7- p = b 1 1- l‬؟‬ ‫‪p‬‬ ‫‪f‬‬ ‫0 2‬ ‫2 -3‬‫1 4‬ ‫(-2)(0) + (-3)(1) =-3 ‬ ‫2‬ ‫2 2‬‫5 0‬ ‫3 ‪3- 7- p = b 1 1- l f‬‬‫4‬ ‫؟‬ ‫(1)(5) + (4)(-1)= 1‬ ‫‪p‬‬ ‫‪f‬‬ ‫0 2‬ ‫2 -3‬‫1 4‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫2 2‬‫‪  f 3- 7- p = b 0 5 l‬‬ ‫1 1‬‫1‬ ‫(1)(0)+(4)(1)=4‬ ‫2 2‬‫‪3- 7- p = b 0 5 l‬‬ ‫1 1‬‫1 4‬ ‫‪f‬‬ ‫ ‬ ‫4- صف نموذجا للصفوف واألعمدة الملونة.‬ ‫ً‬ ‫5- أ ما نظم المصفوفات األصلية في المثال السابق، ومانظم مصفوفة الضرب؟‬ ‫ ‬ ‫ب تفكير ناقد: كيف نقارن نظم مصفوفة الضرب بنظم المصفوفات األصلية؟‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬ ‫يمكنك ضرب مصفوفتين إذا وفقط إذا كان عدد‬ ‫أعمدة المصفوفة األولى يساوى عدد صفوف‬ ‫المصفوفة الثانية، وعند ضرب المصفوفة ‪ C‬على‬ ‫النظم م * ن بالمصفوفة ب على النظم ن * ل فإن‬ ‫الناتج هو المصفوفة ‪ D C‬على النظم م * ل فمثالً:‬ ‫مصفوفة ‪C‬‬ ‫3 صفوف ‪p‬‬ ‫1 2‬‫3 -4‬ ‫5 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪f‬‬ ‫صفان‬ ‫عمودان‬ ‫مـثـال‬ ‫ ‬ ‫مصفوفة ب‬ ‫3 -4 5‬ ‫‪l‬‬ ‫7 8 9‬ ‫‪b‬‬ ‫3 أعمدة‬ ‫متساويان‬ ‫نظم مصفوفة الضرب 3 * 3‬ ‫‌ حدد ما إذا كانت مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب معرفة في كل حالة أم ال.‬ ‫أ إذا كانت المصفوفة ‪ C‬على النظم 3 * 4، والمصفوفة ب من النظم 4 * 2‬ ‫ب إذا كانت المصفوفة ‪ C‬على النظم 5 * 3، والمصفوفة ب من النظم 5 * 2‬ ‫الحل‬ ‫أ بما أن عدد أعمدة المصفوفة ‪ C‬يساوى عدد صفوف المصفوفة ب،‬ ‫ فإن مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب معرفة وتكون على النظم 3 * 2‬ ‫ب بما أن عدد أعمدة المصفوفة ‪ C‬اليساوى عدد صفوف المصفوفة ب،‬ ‫‪     .    C‬ب   =          ‪ C‬ب‬ ‫3*4‬ ‫فإن مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب غير معرفة.‬ ‫متساويان‬ ‫3*2‬ ‫4*2‬ ‫3*2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫‌ حدد ما إذا كانت مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب معرفة في كل حالة أم ال موضحا السبب.‬ ‫ً‬ ‫أ إذا كانت المصفوفة ‪ C‬من النظم 3 * 2، والمصفوفة ب على النظم 2 * 3‬ ‫ب إذا كانت المصفوفة ‪ C‬من النظم 1 * 3 والمصفوفة ب على النظم 1 * 3‬ ‫ ‬ ‫من تعريف ضرب المصفوفات يتضح إنه من الممكن أن تكون ‪ C‬ب معرفة بينما ب ‪ C‬غير معرفة، وبصفة عامة‬ ‫إذا كانت كل من ‪ C‬ب، ب ‪ C‬معرفتين فإن ‪ C‬ب ليست بالضرورة تساوى ب ‪ C‬حتى وإن تساويتا في نفس النظم.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫91‬
‫مـثـال‬ ‫1 -1 2‬ ‫‌ إذا كان ‪3 0 1- p = C‬‬ ‫0 1 4‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪  ،   f‬ب = ‪p‬‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫1 0‬ ‫4 1‬ ‫0 -1‬ ‫‪ f‬فأوجد كال من ‪ C‬ب ، ب ‪ .C‬ماذا تالحظ؟‬ ‫ًّ‬ ‫‪ C a‬على النظم 3 * 3، ب على النظم 3 * 3 فإن ‪ D C‬معرفة (ألن عدد أعمدة ‪ C‬يساوى عدد صفوف ب)‬ ‫وتكون مصفوفة حاصل الضرب على النظم 3 * 3‬ ‫2 1‬ ‫1 -1 2‬ ‫‪ C‬ب = ‪4 3 p f 3 0 1- p‬‬ ‫0 1 4‬ ‫5 0‬ ‫1 * 2 + (-1) * 3 + 2 * 5‬ ‫       = ‪5 * 3 + 3 * 0    +  2 * 1- p‬‬ ‫0 * 2  +  1       * 3 + 4 * 5‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫1 ‪f‬‬ ‫1‬‫1  * 1 + (-1) * 4 + 2 * 0 1  * 0 + (-1) * 1 + 2 * (-1)‬ ‫1 * 1 +  0   * 4 + 1 *0 -1  * 0 +      0      * 1 + 3 * (-1)‬‫  0   * 1 +  1  * 4 + 4 *0 0   * 0 +      1       * 1 + 4 * (-1)‬ ‫9 -3 -3‬ ‫‪f 3- 1- 13 p = f‬‬ ‫32 4 -3‬ ‫‪ a‬ب على النظم 3 * 3 ‪ C‬على النظم 3 * 3 فإن ب ‪ C‬معرفة (ألن عدد أعمدة ب يساوى عدد صفوف ‪ )C‬وتكون‬ ‫مصفوفة حاصل الضرب على النظم 3 * 3‬ ‫2 1 0‬ ‫1 -1‬ ‫ب‪0 1- p f 1 4 3 p = C‬‬ ‫5 0 -1‬ ‫0 1‬ ‫2 * 1 + 1 * -1 + 0    * 0‬ ‫    = ‪0 *  1 + 1- * 4 + 1 * 3 p‬‬ ‫5 * 1 + 0 * -1 + (-1) * 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫3 ‪f‬‬ ‫4‬ ‫2 * -1 + 1 * 0 + 0 *1‬ ‫3 * -1 + 4 * 0 + 0 * 1‬ ‫5 * -1 + 0 * 0 + 0 * 1‬ ‫1 -2 7‬ ‫2 * 2 + 1 * 3 +   0 * 4‬ ‫3 * 2 + 4 * 3 +     1 * 4 ‪= f‬‬ ‫‪f 22 3- 1- p‬‬ ‫5 -5 6‬ ‫5 * 2 + 0 * 3 + -1 * 4‬ ‫نالحظ أن ‪ C‬ب ! ب ‪   C‬يمكن استخدام ضرب المصفوفات في بعض المواقف الحياتية.‬ ‫مـثـال‬ ‫غرفة‬ ‫غرفة‬ ‫بسرير بسريرين‬ ‫46‬ ‫82‬ ‫‌ الربط بالسياحة: لدى كة سياحية 3 فنادق بمدينة الغردقة‬ ‫شر‬ ‫ ‬ ‫يبين الجدول المقابل عدد الغرف المختلفة في كل فندق، فإذا كانت الزهرة‬ ‫59‬ ‫األجرة اليومية للغرفة التى تحتوى على سرير واحد 052 جنيها، وللغرفة اللؤلؤة 53‬ ‫ً‬ ‫08‬ ‫02‬ ‫الماسة‬ ‫التى تحتوي على سريرين 054 جنيها، وللجناح 006 جنيها.‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫أ اكتب مصفوفة تمثل عدد الغرف المختلفة في الثالثة فنادق، ثم اكتب مصفوفة أسعار الغرف.‬ ‫ ‬ ‫ب‬ ‫ اكتب مصفوفة تمثل الدخل اليومي كة، على فرض أن جميع الغرف تم شغلها.‬ ‫للشر‬ ‫ ‬ ‫كة على فرض أن جميع الغرف تم شغلها؟‬ ‫ج‍ ما الدخل اليومى للشر‬ ‫ ‬ ‫الفندق‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫أ نكتب مصفوفة عدد الغرف ‪ C‬كاآلتي: ‬ ‫ ‬ ‫وتكتب مصفوفة أسعار الغرف ‪ D‬كاآلتى‬ ‫ ‬ ‫82 46 8‬ ‫‪20 95 35 p =    C‬‬ ‫02 08 51‬ ‫052‬ ‫ب = ‪f 450 p‬‬ ‫006‬ ‫جناح‬ ‫8‬ ‫02‬ ‫51‬ ‫‪f‬‬ ‫ونالحظ أننا قد كتبنا المصفوفتين بحيث يكون عدد الصفوف في المصفوفة ‪ C‬مساو يا لعدد األعمدة في المصفوفة‬ ‫ً‬ ‫ب، حتى يمكن إجراء عملية الضرب ، إيجاد المطلوب في البندين (ب)، (جـ).‬ ‫02‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫تافوفصملا برض‬ ‫82 46 8‬ ‫052‬ ‫ب مصفوفة الدخل اليومى للشر‬ ‫ ‬ ‫كة هي المصفوفة ‪450 p f 20 95 35 p = D C‬‬ ‫‪f‬‬ ‫02 08 51‬ ‫006‬ ‫00604‬ ‫82 * 052 + 46 * 054 + 8 * 006‬ ‫ ‬ ‫  = ‪63500 p = f 600 * 20 + 450 * 95 + 250 * 35 p‬‬ ‫00005‬ ‫02 * 052 + 08 * 054 + 51 * 006‬ ‫ج‍ الدخل اليومى كة = 00604 + 00536 + 00005 = 001451 جنيه‬ ‫للشر‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ت‬ ‫خواص عملية ضرب المصفوفا ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪Properties of Matrix Multiplication‬‬ ‫من تعريف عمليتى جمع وضرب المصفوفات، مع افتراض تحقق الشروط الالزمة للتعريفين: يمكن استنتاج‬ ‫الخواص التالية:‬ ‫1- خاصية الدمج:‬ ‫ ‬ ‫(‪ C‬ب) ج = ‪( C‬ب ج)‬ ‫واألن إذا كان:‬ ‫1 0‬ ‫‪ ، b 2- 1 l = C‬ب = ‪ ، b 1 0 2 l‬ج = ‪ f 2 3 p‬أوجد (‪ C‬ب) ج، ‪( C‬ب ج). ماذا تالحظ؟ هل عملية‬ ‫1 1 -2‬ ‫3 1‬ ‫2 -1‬ ‫ضرب المصفوفات دامجة؟‬ ‫2- خاصية المحايد الضربى ‬ ‫‪C = C I = I C‬‬ ‫واآلن إذا كان ‪ b 3- 2 l = C‬فبرهن أن: ‪ C =CI= IC‬‬ ‫-1 5‬ ‫حيث ‪ I‬هي مصفوفة الوحدة‬ ‫حيث ‪ I‬هي مصفوفة الوحدة‬ ‫3- خاصية توزيع ضرب المصفوفات على جمعها.‬ ‫واآلن إذا كان ‪1 = C‬‬ ‫‪l‬‬ ‫3‬ ‫2 ، ب = ‪ ، b 2- 1 l‬ج = 3 1‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫5 4‬ ‫3 0‬‫4‬ ‫إثبت أن: أ ‪(C‬ب + ج) = ‪C‬ب + ‪C‬ج‬ ‫ن‬ ‫مدور حاصل ضرب مصفوفتي ‬ ‫ ‬ ‫‪(C‬ب + ج) = ‪ C‬ب + ‪ C‬ج‬ ‫(‪ + C‬ب) ج = ‪ C‬ج + ب ج‬ ‫‪b‬‬ ‫ب (ب + ج) ‪ = C‬ب ‪ + C‬ج‪C‬‬ ‫‪Transpose of the product of two matrices‬‬ ‫من تعريف مدور المصفوفة وتعريف ضرب المصفوفات يمكن استنتاج الخاصية التالية: (‪ C‬ب)مد = ب ‪C‬‬ ‫1‬ ‫واآلن إذا كانت ‪l = C‬‬ ‫3‬ ‫1 2‬‫2 -1 ‪ ، b‬ب = ‪   ، f 1- 1 p‬أثبت أن: (‪ C‬ب) = ب ‪C‬‬ ‫1 5‬ ‫4 3‬ ‫مد‬ ‫مد مد‬ ‫مد مد‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫حدد ما إذا كانت مصفوفة حاصل الضرب ‪C‬ب معرفة فى كل ممايأتي أم ال، وإذا كانت معرفة فأوجد نظم‬ ‫المصفوفة الناتجة:‬ ‫أ المصفوفة ‪ C‬على النظم 3 * 1، والمصفوفة ب على النظم 2 * 3‬ ‫ب المصفوفة ‪ C‬على النظم 3 * 3، والمصفوفة ب على النظم 2 * 2‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫12‬
‫المحددات‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Determinants‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫حمدد املصفوفة املربعة من الرتبة‬ ‫الثانية.‬ ‫حمدد املصفوفة املربعة من الرتبة‬ ‫الثالثة.‬ ‫حمدد املصفوفة املثلثية.‬ ‫إجياد مساحة املثلث باستخدام‬ ‫املحددات.‬ ‫حل نظام من املعادالت اخلطية‬ ‫بطريقة كرامر.‬ ‫فكر‬ ‫1- ما المصفوفة المربعة؟‬ ‫2- اكتب مصفوفة مربعة من النظم 2 * 2، ومن النظم 3 * 3‬ ‫3- إذا كانت أ مصفوفة مربعة من النظم 2 * 2 حيث: ‪ b 5 2 l = C‬فإن محدد‬ ‫1 7‬ ‫المصفوفة ‪ C‬هو العدد المعرف كاآلتي:‬ ‫ |‪9 = 5 - 14 = 5 * 1- 7 * 2 = |C‬‬ ‫ما محدد كل من المصفوفات التالية؟‬ ‫ ‬ ‫ب= 1‬ ‫‪l‬‬ ‫3‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫حمدد‬ ‫‪Determinant‬‬ ‫حمدد الرتبة الثانية‬ ‫‬ ‫‪Second order determinant‬‬ ‫حمدد من الرتبة الثالثة‬ ‫‪Third order determinant‬‬ ‫‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫2   ،  ج = 3 5‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫4‬ ‫-3 1‬ ‫المحددات‬ ‫أ ب‬ ‫|‪= |C‬‬ ‫جـ د‬ ‫القطر الرئيسى للمحدد‬ ‫‬ ‫القطر اآلخر للمحدد‬ ‫‬ ‫مصفوفة املعامالت‬ ‫‪Coefficient matrix‬‬ ‫‬ ‫القطر األخر‬ ‫= أ د - جـ ب‬ ‫القطر الرئيسى‬ ‫ونالحظ أن قيمة محدد الرتبة الثانية يساوى حاصل ضرب عنصرى القطر الرئيسى‬ ‫مطروحا منه حاصل ضرب عنصرى القطر اآلخر.‬ ‫ً‬ ‫مـثـال‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة علمية.‬ ‫ورق رسم بياين.‬ ‫‪Determinants‬‬ ‫إذا كانت ‪ C‬مصفوفة مربعة على النظم 2 * 2 حيث:‬ ‫‪ l = C‬أ ب ‪ b‬فإن محدد المصفوفة ‪ C‬يرمز له بالرمز|‪ |C‬ويسمى بمحدد الرتبة‬ ‫جـ د‬ ‫الثانية، وهو العدد المعرف كاآلتي:‬ ‫‪Principle or leading diagonal‬‬ ‫‪Other diagonal‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ ‬ ‫‌ أوجد قيمة كل محدد ممايلى:‬ ‫أ‬ ‫الحل‬ ‫4 5  ب‬ ‫3 7‬ ‫0 5   ج‍‬ ‫7 3‬ ‫1 0   د‬ ‫0 1‬ ‫1 0‬ ‫2 7‬ ‫0 5‬ ‫4 5‬ ‫أ 3 7  = 4 * 7 - 3 * 5 ‬ ‫ ‬ ‫ب 7 3  = 0 * 3 - 7 * 5‬ ‫            = 82 - 51 = 31            = 0 - 53 = - 53‬ ‫22‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫تاددحملا‬ ‫1 0‬ ‫ ‬ ‫د 2 7 =1*7-2*0‬ ‫            = 7 - 2 = 5‬ ‫1 0‬ ‫ج‍ 0 1 = 1 * 1 - 0 * 0‬ ‫ ‬ ‫            = 1 - 0 = 1‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫‌ أوجد قيمة كل من المحددات التالية :‬ ‫2‬ ‫أ ‬ ‫5‬ ‫1 -1 ‬ ‫0‬ ‫ب ‬ ‫4‬ ‫5 -1 ‬ ‫ج‍ ‬ ‫‪ C‬ب‬ ‫ب جـ‬ ‫تعلم‬ ‫‪Third order determinant‬‬ ‫ة‬ ‫محدد الرتبة الثالث ‬ ‫‪ C‬ب حـ‬ ‫يسمى محدد المصفوفة على النظم 3 * 3 محدد الرتبة الثالثة، وإليجاد قيمة محدد الرتبة الثالثة د هـ و فإن:‬ ‫ز ح ط‬ ‫‪ C‬ب حـ‬ ‫هـ و = ‪ C‬هـ و - ب د و + حـ د هـ‬ ‫د‬ ‫ح ط‬ ‫ز ط‬ ‫ز ح‬ ‫ز ح ط‬ ‫           = ‪(C‬هـ ط - ح و) - ب ( د ط - ز و) + حـ ( د ح - ز هـ)‬ ‫مـثـال‬ ‫5‬ ‫1‬ ‫6‬ ‫7 2‬ ‫‌ إليجاد قيمة المحدد 3 4‬ ‫1 2‬‫7 2 5‬ ‫3 4‬ ‫3 1‬ ‫4 1‬ ‫3 4 1 = 7 2 6 - 2 -1 6 + 5‬ ‫ ‬ ‫1 2‬‫1 2 6‬‫          = 7 ( 4 * 6 - 2 *1) -2 (3 * 6 - (-1) * 1) + 5 ( 3 * 2 - (-1) * 4)‬ ‫فإن :‬ ‫         = 7 * 22 - 2 * 91 + 5 * 01‬ ‫         = 451 - 83 + 05 = 661‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫المحدد األصغر المناظر ألى عنصر في مصفوفة‬ ‫‬ ‫‪Minor determinant corresponding to any element of a matrix‬‬ ‫إذا كانت المصفوفة ‪ C‬هى مصفوفة على النظم 3 * 3 حيث‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C p =C‬‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫‪C 23C‬‬ ‫33‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫‪  f 32C‬فإن: المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪ 11C‬يرمز له بالرمز| ‪ | 11C‬وهو‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫والحظ إننا حصلنا على هذا المحدد بحذف الصف والعمود المتقاطعين على العنصر ‪11C‬كاآلتي:‬ ‫‪C‬‬ ‫11‬ ‫‪C 21C‬‬ ‫13‬ ‫31‬ ‫‪C 23C‬‬ ‫33‬ ‫‪f 32C 22C 12C p‬‬ ‫‪C‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫32‬
‫بالمثل:‬ ‫× ×المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪ 21C‬يرمز له بالرمز|‪ |21C‬وهو‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫× ×المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪ 31C‬يرمز له بالرمز|‪ |31C‬وهو‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫× ×المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪ 12C‬يرمز له بالرمز|‪ |12C‬وهو‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫وهكذا، وجميع هذه المحددات هى محددات من الرتبة الثانية:‬ ‫21‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫13‬ ‫مالحظات هامة‬ ‫1- إذا كانت ‪ C‬مصفوفة مربعة على النظم 3 *3 على الصورة:‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C p = C‬‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫11‬ ‫ ‬ ‫ |‪C = |C‬‬ ‫ ‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫‪C 23C‬‬ ‫33‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ ، f 32C‬ومحدد ‪ C‬يرمز له بالرمز |‪ |C‬حيث:‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫13‬ ‫-‪C‬‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫+‪C‬‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫= ‪|31C| 31C + |21C| 21C - |11C| 11C‬‬ ‫2- الحظ أننا ضربنا كل عنصر في المحدد األصغر المناظر له مسبوقًا باإلشارات +، -، +، ... على الترتيب،‬ ‫وإشارة المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪C‬وهـ تتعين بالقاعدة:‬ ‫و +هـ‬ ‫ إشارة |‪ C‬و هـ| هى نفس إشارة (-1)‬ ‫ً‬ ‫فمثال إشارة |‪ |21C‬هى نفس إشارة (-1) 1 + 2 وهى سالبة‬ ‫ ‬ ‫ إشارة  |‪ |31C‬هى نفس إشارة (-1) 1 + 3 وهى موجبة‬ ‫بعبارة أخرى لتحديد إشارة أي محدد أصغر مناظر لعنصر ما نجمع رتبتى الصف، والعمود اللذين يتقاطعان عند‬ ‫هذا العنصر:‬ ‫× ×فإذا كان مجموع الرتبتين زوجيا كانت اإلشارة موجبة.‬ ‫ًّ‬ ‫× ×إذا كان مجموع الرتبتين فرد ًّيا كانت اإلشارة سالبة.‬ ‫+ - +‬ ‫ونالحظ أن قاعدة اإلشارات للمحدد األصغر تكون كاآلتى: - + -‬ ‫+ - +‬ ‫3- يمكن فك المحدد بداللة عناصر أى صف (أو عمود) ومحددتها الصغرى ولكن بإشارة مناسبة.‬ ‫ ‬ ‫42‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
‫تاددحملا‬ ‫مـثـال‬ ‫1 2 3‬ ‫4 0 5‬ ‫7 -2 -1‬ ‫‌ إليجاد قيمة المحدد‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫باستخدام عناصر العمود الثاني.‬ ‫نالحظ أن إشارات المحدد األصغر المناظر لعناصر العمود الثاني هى - ، + ، - على الترتيب فيكون:‬ ‫4‬ ‫1‬ ‫5‬ ‫3‬ ‫المحدد = -2 7 -1 + 0 7 -1 - (-2)‬ ‫    = -2 (-4 - 53) + 0 + 2 (5 - 21)‬ ‫   = 87 - 41 = 46‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫فكرة مفيدة للحل‬ ‫يمكنك فك المحدد باستخدام‬ ‫أى صف أو عمود فيه أكبر‬ ‫عدد ممكن من األصفار‬ ‫لتسهيل حصولك على قيمته‬ ‫بعد أخذ اإلشارة المناسبة.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد قيمة كل محدد ممايلى:‬ ‫ ‬ ‫-1 7‬ ‫أ ‬ ‫5‬ ‫0‬ ‫6‬ ‫3 0 1 ‬ ‫4‬ ‫تعلم‬ ‫7‬ ‫-2 3‬ ‫ب ‬ ‫ج‍ ‬ ‫0 4 5 ‬ ‫0‬ ‫0 -3‬ ‫ة‬ ‫محدد المصفوفة المثلثي ‬ ‫3 4 0‬ ‫2 -3 1‬ ‫5 0 -2‬ ‫ ‬ ‫د ‬ ‫2 0 -3‬ ‫5 -1 4‬ ‫-2 0 3‬ ‫‪Determinant of triangular Matrix‬‬ ‫المصفوفة المثلثية هى مصفوفة جميع عناصرها التى تحت القطر الرئيسى (أو فوقه) أصفار مثل:‬ ‫2 3‬ ‫‪p ،b 4 0 l‬‬ ‫2‬ ‫4‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1 0 0‬‫3‬ ‫5 ‪0 4- 2 p ، f‬‬ ‫5 -1 2‬ ‫6‬ ‫‪f‬‬ ‫ونالحظ أن: قيمة محدد المصفوفة المثلثية يساوى حاصل ضرب عناصر قطرها الرئيسى.‬ ‫أى أن:‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫‪C‬‬ ‫11‬ ‫= ‪C 22C 11C‬‬ ‫‪C 12C‬‬ ‫33‬ ‫22‬ ‫‪C 23C 13C‬‬ ‫33‬ ‫ولبرهان ذلك نفك المحدد باستخدام عناصر الصف األول:‬ ‫المحدد = ‪C‬‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫0‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ ما قيمة المحدد‬ ‫الحل‬ ‫= ‪C C C = )0 * 21C - 32C * 22C ( 11C‬‬ ‫11 22 23‬ ‫1 2 3‬ ‫0 -3 5‬ ‫0 0 6‬ ‫؟‬ ‫نالحظ أن المحدد هو محدد مصفوفة مثلثية فيكون:‬ ‫المحدد = 1 * - 3 * 6 = -81‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫52‬
‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد قيمة كل محدد ممايلى:‬ ‫ ‬ ‫-1 2‬ ‫أ ‬ ‫0 -2‬ ‫0‬ ‫تعلم‬ ‫‬ ‫5‬ ‫0 3 -4 ‬ ‫ب ‬ ‫3 2‬‫0 4‬ ‫0 0‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫0‬ ‫إيجاد مساحة سطح المثلث باستخدام المحددات‬ ‫‪Finding area of a triangle by using Determinants‬‬ ‫يمكنك استخدام المحددات إليجاد مساحة سطح المثلث، بمعلومية إحداثيات رؤوس المثلث كاآلتى:‬ ‫مساحة سطح المثلث الذى رؤوسه: س (‪ ،C‬ب)، ص (جـ، ‪ ،)E‬ع (هـ، و) هى |‪ |W‬حيث:‬ ‫‪1 =W‬‬ ‫2‬ ‫‪ C‬ب 1‬ ‫جـ د 1‬ ‫هـ و 1‬ ‫تذكر‬ ‫|‪ |W‬تعنى قيمة ‪ W‬الموجبة.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد مستخدما المحددات مساحة سطح المثلث الذى إحداثيات رؤوسه (-1، -3) ، (2، 4)، (-3، 5)‬ ‫ً‬ ‫الحل‬ ‫1 -3 1‬‫1‬ ‫‪1 4 2 2 =W‬‬ ‫3 5 1‬‫2 4‬ ‫2 1‬ ‫4 1‬ ‫    = 1 -1 5 1 - (-3) -3 1 + 1‬ ‫2‬ ‫3 5‬‫        = 1 [-1 (4 - 5) + 3 (2 + 3) + 1 (01 + 21)]‬ ‫2‬ ‫        = 1 (1 + 51 + 22) = 91 وحدة مربعة‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫[‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ص (2، 4)‬ ‫]‬ ‫س3 2 1‬ ‫ص‬ ‫ع (-3، 5)‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1 -2 -3 -4 -5‬‫1‬‫2‬‫-3 س (-1، -3)‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد مستخدما المحددات مساحة سطح المثلث ‪ C‬ب جـ الذى فيه ‪ ،)2- ،2-(C‬ب (3، 1)، جـ (-4، 3)‬ ‫ً‬ ‫ص‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ الربط بالهندسة: إذا كانت إحدثيات ثالث نقط على المستوى‬ ‫اإلحداثى هي (0، 2) (3، 5)، (-3، 2) كانت اإلحداثيات باألمتار،‬ ‫و‬ ‫فأوجد مساحة سطح المثلث الذى رؤوسه تلك النقط.‬ ‫62‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫س‬ ‫6‬ ‫(3، 5)‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫(0، 2) 2‬ ‫1‬ ‫4 3 2 1‬ ‫(-3، 2)‬ ‫-1 -2 -3 -4‬
‫تاددحملا‬ ‫الحل‬ ‫0 2‬ ‫3 5‬ ‫3 2‬‫5 1‬ ‫0‬ ‫2 1‬ ‫‪1 = W‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫           = 21 [‬ ‫           = 1 [0 - 0 - 3 (2-5)] = 1 4 متر مربع‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫-3‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫+ (-3)‬ ‫2‬ ‫5‬ ‫]‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫‌ أوجد مستخدما المحددات مساحة المثلث المبين بالشكل المقابل.‬ ‫ً‬ ‫‬ ‫‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫5 4 3 2 1‬ ‫س‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫تعلم‬ ‫ص‬ ‫‪C‬‬ ‫1 -2 -3 -4 -5‬‫1‬‫2‬‫3‬‫4‬‫-5‬ ‫حل نظام من المعادالت الخطية بطريقة كرامر‬ ‫‪Solving a system of linear equations by Cramer's method‬‬ ‫1- حل �أنظمة المعادالت الخطية في مجهولين‬ ‫‪Solving a system of Linear equations in two unknowns‬‬ ‫ إذا كان لدينا نظام من المعادالت الخطية في مجهولين كاآلتي:‬ ‫   ‪ C‬س   + ب ص = م‬ ‫ ‬ ‫جـ س + ‪ E‬ص   = ن‬ ‫ ‬ ‫‪ C‬ب‬ ‫‪b E‬‬ ‫فإن المصفوفة التى عناصرها معامال المجهولين بعد ترتيب النظام تسمى بمصفوفة المعامالت ‪l‬‬ ‫جـ‬ ‫ويمكنك استخدام المحددات لحل أنظمة المعادالت الخطية، فإذا كانت قيمة محدد مصفوفة المعامالت‬ ‫‪ C‬ب ويرمز له بالرمز 9 (يقرأ دلتا) اليساوى صفرا، فإن للنظام حال وحيدا، وإذا كانت قيمة المحدد‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫صفرا، فإما أن يكون للنظام عدد النهائى من الحلول أو ليس له حل.‬ ‫ً‬ ‫ونالحظ أن معاملى المجهول س تكون العمود األول للمحدد 9، ومعامال المجهول ص تكون العمود الثاني‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫للمحدد 9.‬ ‫يسمى م ب محدد المجهول س ونرمز له بالرمز 9س (يقرأ دلتا س)، ونحصل عليه من المحدد 9 بعد‬ ‫ن ‪E‬‬ ‫تغيير عناصر العمود األول (معامالت س) بالثوابت م ، ن.‬ ‫كما يسمى‬ ‫‪ C‬م‬ ‫جـ ن‬ ‫محدد المجهول ص ونرمز له بالرمز 9ص (يقرأ دلتا ص)، ونحصل عليه من المحدد 9‬ ‫بعد تغيير عناصر العمود الثاني (معامالت ص) بالثوابت م، ن.‬ ‫واآلن: نفرض أن 9!0 ،  فإن حل النظام هو:‬ ‫ ‬ ‫     س = 9س =‬ ‫9‬ ‫م‬ ‫ن‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫م‪-E‬نب‬ ‫‪= E‬‬ ‫ب‬ ‫‪-EC‬جـ ب‬ ‫‪E‬‬ ‫ ‬ ‫     ص = 9 ص =‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫9‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫م‬ ‫ن‬ ‫=‬ ‫ب‬ ‫‪ -EC‬جـ ب‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬ن - جـ م‬ ‫72‬
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014
كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

Recommended

خرائط المفاهيم
خرائط المفاهيمخرائط المفاهيم
خرائط المفاهيمMahmoud Gomaa
 
Math 5th-primary-2nd-term- (6)
Math 5th-primary-2nd-term- (6)Math 5th-primary-2nd-term- (6)
Math 5th-primary-2nd-term- (6)khawagah
 
كتاب دليل مدرس الرياضيات للصف الثالث متوسط
كتاب دليل مدرس الرياضيات للصف الثالث متوسطكتاب دليل مدرس الرياضيات للصف الثالث متوسط
كتاب دليل مدرس الرياضيات للصف الثالث متوسطAyad Haris Beden
 
Herramientadela web2.0
Herramientadela web2.0Herramientadela web2.0
Herramientadela web2.0Karen Loya
 
Europa [reparado]
Europa [reparado]Europa [reparado]
Europa [reparado]risischos
 
تحضير الباب الخامس
تحضير الباب الخامستحضير الباب الخامس
تحضير الباب الخامسhalaalameer
 
الخريطة الذهنية
الخريطة الذهنيةالخريطة الذهنية
الخريطة الذهنيةmarwateach
 
Mnaheg 00 1 contants
Mnaheg 00 1 contantsMnaheg 00 1 contants
Mnaheg 00 1 contantsIman_Ahmed
 

Recommended

خرائط المفاهيم
خرائط المفاهيمخرائط المفاهيم
خرائط المفاهيمMahmoud Gomaa
 
Math 5th-primary-2nd-term- (6)
Math 5th-primary-2nd-term- (6)Math 5th-primary-2nd-term- (6)
Math 5th-primary-2nd-term- (6)khawagah
 
كتاب دليل مدرس الرياضيات للصف الثالث متوسط
كتاب دليل مدرس الرياضيات للصف الثالث متوسطكتاب دليل مدرس الرياضيات للصف الثالث متوسط
كتاب دليل مدرس الرياضيات للصف الثالث متوسطAyad Haris Beden
 
Herramientadela web2.0
Herramientadela web2.0Herramientadela web2.0
Herramientadela web2.0Karen Loya
 
Europa [reparado]
Europa [reparado]Europa [reparado]
Europa [reparado]risischos
 
تحضير الباب الخامس
تحضير الباب الخامستحضير الباب الخامس
تحضير الباب الخامسhalaalameer
 
الخريطة الذهنية
الخريطة الذهنيةالخريطة الذهنية
الخريطة الذهنيةmarwateach
 
Mnaheg 00 1 contants
Mnaheg 00 1 contantsMnaheg 00 1 contants
Mnaheg 00 1 contantsIman_Ahmed
 
الرياضيات للصف الاول المتوسط
الرياضيات للصف الاول المتوسطالرياضيات للصف الاول المتوسط
الرياضيات للصف الاول المتوسطAyad Haris Beden
 
'طرق تدريس
'طرق تدريس'طرق تدريس
'طرق تدريسHuda95169
 
LESSON PLAN SAMPLE1.pdf
LESSON PLAN SAMPLE1.pdfLESSON PLAN SAMPLE1.pdf
LESSON PLAN SAMPLE1.pdfMukhtarAhmad84143
 
نظرية أوزوبل
نظرية أوزوبلنظرية أوزوبل
نظرية أوزوبلRoudaynaKhcheich
 
خرائط المفاهيم
خرائط المفاهيمخرائط المفاهيم
خرائط المفاهيمmaromgd
 
نهائى العرض
نهائى العرضنهائى العرض
نهائى العرضguest136281
 
كتاب دليل مدرس الفيزياء للصف الثالث متوسط
كتاب دليل مدرس الفيزياء للصف الثالث متوسطكتاب دليل مدرس الفيزياء للصف الثالث متوسط
كتاب دليل مدرس الفيزياء للصف الثالث متوسطAyad Haris Beden
 
الهندسة التحليلة ( الاحداثيات القطبية)
الهندسة التحليلة ( الاحداثيات القطبية)الهندسة التحليلة ( الاحداثيات القطبية)
الهندسة التحليلة ( الاحداثيات القطبية)Dr Abd Allah Mousa
 
التحضير القبلي للدرس وبناء المفاهيم الري
التحضير القبلي للدرس وبناء المفاهيم الريالتحضير القبلي للدرس وبناء المفاهيم الري
التحضير القبلي للدرس وبناء المفاهيم الريayoubelghanaoui1
 
وثيقة مناهج الرياضيات المرحلة الثانوية
وثيقة مناهج الرياضيات المرحلة الثانويةوثيقة مناهج الرياضيات المرحلة الثانوية
وثيقة مناهج الرياضيات المرحلة الثانويةمنتدى الرياضيات المتقدمة
 
نموذج تحضير الإكسيل الصف الثانى الإعدادى
نموذج تحضير الإكسيل الصف الثانى الإعدادىنموذج تحضير الإكسيل الصف الثانى الإعدادى
نموذج تحضير الإكسيل الصف الثانى الإعدادىHanaa Ahmed
 
المحاضرة 4
المحاضرة 4المحاضرة 4
المحاضرة 4dalal1982
 
_مصوغة النشاط العلمي محينة 2020 يوليوز - شوكر خالد.pdf
_مصوغة النشاط العلمي محينة 2020 يوليوز - شوكر خالد.pdf_مصوغة النشاط العلمي محينة 2020 يوليوز - شوكر خالد.pdf
_مصوغة النشاط العلمي محينة 2020 يوليوز - شوكر خالد.pdfgladyateur
 
خرائط المفاهيم
خرائط المفاهيمخرائط المفاهيم
خرائط المفاهيمbandarelshammry
 
محاضرات في تحليل المحتوي
محاضرات في تحليل المحتويمحاضرات في تحليل المحتوي
محاضرات في تحليل المحتويMandour Abdel-salam (E-mail)
 
مذكرة مقرر الحاسوب في التربية
مذكرة مقرر الحاسوب في التربيةمذكرة مقرر الحاسوب في التربية
مذكرة مقرر الحاسوب في التربيةDr.Abdullah Alfailakawi
 
تطبيقات الذكاء الاصطناعي و استخداماتها في العلوم البيولوجية والطبية
تطبيقات الذكاء الاصطناعي و استخداماتها في العلوم البيولوجية والطبيةتطبيقات الذكاء الاصطناعي و استخداماتها في العلوم البيولوجية والطبية
تطبيقات الذكاء الاصطناعي و استخداماتها في العلوم البيولوجية والطبيةMohammad Alkataan
 
1-G9-حل درس سورة الواقعة للصف التاسع 57-74 (1).pptx
1-G9-حل درس سورة الواقعة للصف التاسع 57-74 (1).pptx1-G9-حل درس سورة الواقعة للصف التاسع 57-74 (1).pptx
1-G9-حل درس سورة الواقعة للصف التاسع 57-74 (1).pptxAhmedFares228976
 
عرض تقديمي دور مجتمعات التعليم في تحسين جودة الحياة الجامعية .pdf
عرض تقديمي دور مجتمعات التعليم في تحسين جودة الحياة الجامعية .pdfعرض تقديمي دور مجتمعات التعليم في تحسين جودة الحياة الجامعية .pdf
عرض تقديمي دور مجتمعات التعليم في تحسين جودة الحياة الجامعية .pdfr6jmq4dqcb
 
لطلاب المرحلة الابتدائية طرق تدريس التعبير الكتابي
لطلاب المرحلة الابتدائية طرق تدريس التعبير الكتابيلطلاب المرحلة الابتدائية طرق تدريس التعبير الكتابي
لطلاب المرحلة الابتدائية طرق تدريس التعبير الكتابيfjalali2
 
_BIMarabia 45.مجلة بيم ارابيا نمذجة معلومات اليناء
_BIMarabia 45.مجلة بيم ارابيا نمذجة معلومات اليناء_BIMarabia 45.مجلة بيم ارابيا نمذجة معلومات اليناء
_BIMarabia 45.مجلة بيم ارابيا نمذجة معلومات اليناءOmarSelim27
 
أسامه رجب علي أحمد (عرض تقديمي عن الجمل التي لها محل من الاعراب والتي ليس لها...
أسامه رجب علي أحمد (عرض تقديمي عن الجمل التي لها محل من الاعراب والتي ليس لها...أسامه رجب علي أحمد (عرض تقديمي عن الجمل التي لها محل من الاعراب والتي ليس لها...
أسامه رجب علي أحمد (عرض تقديمي عن الجمل التي لها محل من الاعراب والتي ليس لها...Osama ragab Ali
 

More Related Content

Similar to كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

الرياضيات للصف الاول المتوسط
الرياضيات للصف الاول المتوسطالرياضيات للصف الاول المتوسط
الرياضيات للصف الاول المتوسطAyad Haris Beden
 
'طرق تدريس
'طرق تدريس'طرق تدريس
'طرق تدريسHuda95169
 
خرائط المفاهيم
خرائط المفاهيمخرائط المفاهيم
خرائط المفاهيمmaromgd
 
نهائى العرض
نهائى العرضنهائى العرض
نهائى العرضguest136281
 
كتاب دليل مدرس الفيزياء للصف الثالث متوسط
كتاب دليل مدرس الفيزياء للصف الثالث متوسطكتاب دليل مدرس الفيزياء للصف الثالث متوسط
كتاب دليل مدرس الفيزياء للصف الثالث متوسطAyad Haris Beden
 
الهندسة التحليلة ( الاحداثيات القطبية)
الهندسة التحليلة ( الاحداثيات القطبية)الهندسة التحليلة ( الاحداثيات القطبية)
الهندسة التحليلة ( الاحداثيات القطبية)Dr Abd Allah Mousa
 
التحضير القبلي للدرس وبناء المفاهيم الري
التحضير القبلي للدرس وبناء المفاهيم الريالتحضير القبلي للدرس وبناء المفاهيم الري
التحضير القبلي للدرس وبناء المفاهيم الريayoubelghanaoui1
 
نموذج تحضير الإكسيل الصف الثانى الإعدادى
نموذج تحضير الإكسيل الصف الثانى الإعدادىنموذج تحضير الإكسيل الصف الثانى الإعدادى
نموذج تحضير الإكسيل الصف الثانى الإعدادىHanaa Ahmed
 
المحاضرة 4
المحاضرة 4المحاضرة 4
المحاضرة 4dalal1982
 
_مصوغة النشاط العلمي محينة 2020 يوليوز - شوكر خالد.pdf
_مصوغة النشاط العلمي محينة 2020 يوليوز - شوكر خالد.pdf_مصوغة النشاط العلمي محينة 2020 يوليوز - شوكر خالد.pdf
_مصوغة النشاط العلمي محينة 2020 يوليوز - شوكر خالد.pdfgladyateur
 
خرائط المفاهيم
خرائط المفاهيمخرائط المفاهيم
خرائط المفاهيمbandarelshammry
 
مذكرة مقرر الحاسوب في التربية
مذكرة مقرر الحاسوب في التربيةمذكرة مقرر الحاسوب في التربية
مذكرة مقرر الحاسوب في التربيةDr.Abdullah Alfailakawi
 

Similar to كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014 (16)

الرياضيات للصف الاول المتوسط
الرياضيات للصف الاول المتوسطالرياضيات للصف الاول المتوسط
الرياضيات للصف الاول المتوسط
 
'طرق تدريس
'طرق تدريس'طرق تدريس
'طرق تدريس
 
LESSON PLAN SAMPLE1.pdf
LESSON PLAN SAMPLE1.pdfLESSON PLAN SAMPLE1.pdf
LESSON PLAN SAMPLE1.pdf
 
نظرية أوزوبل
نظرية أوزوبلنظرية أوزوبل
نظرية أوزوبل
 
خرائط المفاهيم
خرائط المفاهيمخرائط المفاهيم
خرائط المفاهيم
 
نهائى العرض
نهائى العرضنهائى العرض
نهائى العرض
 
كتاب دليل مدرس الفيزياء للصف الثالث متوسط
كتاب دليل مدرس الفيزياء للصف الثالث متوسطكتاب دليل مدرس الفيزياء للصف الثالث متوسط
كتاب دليل مدرس الفيزياء للصف الثالث متوسط
 
الهندسة التحليلة ( الاحداثيات القطبية)
الهندسة التحليلة ( الاحداثيات القطبية)الهندسة التحليلة ( الاحداثيات القطبية)
الهندسة التحليلة ( الاحداثيات القطبية)
 
التحضير القبلي للدرس وبناء المفاهيم الري
التحضير القبلي للدرس وبناء المفاهيم الريالتحضير القبلي للدرس وبناء المفاهيم الري
التحضير القبلي للدرس وبناء المفاهيم الري
 
وثيقة مناهج الرياضيات المرحلة الثانوية
وثيقة مناهج الرياضيات المرحلة الثانويةوثيقة مناهج الرياضيات المرحلة الثانوية
وثيقة مناهج الرياضيات المرحلة الثانوية
 
نموذج تحضير الإكسيل الصف الثانى الإعدادى
نموذج تحضير الإكسيل الصف الثانى الإعدادىنموذج تحضير الإكسيل الصف الثانى الإعدادى
نموذج تحضير الإكسيل الصف الثانى الإعدادى
 
المحاضرة 4
المحاضرة 4المحاضرة 4
المحاضرة 4
 
_مصوغة النشاط العلمي محينة 2020 يوليوز - شوكر خالد.pdf
_مصوغة النشاط العلمي محينة 2020 يوليوز - شوكر خالد.pdf_مصوغة النشاط العلمي محينة 2020 يوليوز - شوكر خالد.pdf
_مصوغة النشاط العلمي محينة 2020 يوليوز - شوكر خالد.pdf
 
خرائط المفاهيم
خرائط المفاهيمخرائط المفاهيم
خرائط المفاهيم
 
محاضرات في تحليل المحتوي
محاضرات في تحليل المحتويمحاضرات في تحليل المحتوي
محاضرات في تحليل المحتوي
 
مذكرة مقرر الحاسوب في التربية
مذكرة مقرر الحاسوب في التربيةمذكرة مقرر الحاسوب في التربية
مذكرة مقرر الحاسوب في التربية
 

Recently uploaded

تطبيقات الذكاء الاصطناعي و استخداماتها في العلوم البيولوجية والطبية
تطبيقات الذكاء الاصطناعي و استخداماتها في العلوم البيولوجية والطبيةتطبيقات الذكاء الاصطناعي و استخداماتها في العلوم البيولوجية والطبية
تطبيقات الذكاء الاصطناعي و استخداماتها في العلوم البيولوجية والطبيةMohammad Alkataan
 
1-G9-حل درس سورة الواقعة للصف التاسع 57-74 (1).pptx
1-G9-حل درس سورة الواقعة للصف التاسع 57-74 (1).pptx1-G9-حل درس سورة الواقعة للصف التاسع 57-74 (1).pptx
1-G9-حل درس سورة الواقعة للصف التاسع 57-74 (1).pptxAhmedFares228976
 
عرض تقديمي دور مجتمعات التعليم في تحسين جودة الحياة الجامعية .pdf
عرض تقديمي دور مجتمعات التعليم في تحسين جودة الحياة الجامعية .pdfعرض تقديمي دور مجتمعات التعليم في تحسين جودة الحياة الجامعية .pdf
عرض تقديمي دور مجتمعات التعليم في تحسين جودة الحياة الجامعية .pdfr6jmq4dqcb
 
لطلاب المرحلة الابتدائية طرق تدريس التعبير الكتابي
لطلاب المرحلة الابتدائية طرق تدريس التعبير الكتابيلطلاب المرحلة الابتدائية طرق تدريس التعبير الكتابي
لطلاب المرحلة الابتدائية طرق تدريس التعبير الكتابيfjalali2
 
_BIMarabia 45.مجلة بيم ارابيا نمذجة معلومات اليناء
_BIMarabia 45.مجلة بيم ارابيا نمذجة معلومات اليناء_BIMarabia 45.مجلة بيم ارابيا نمذجة معلومات اليناء
_BIMarabia 45.مجلة بيم ارابيا نمذجة معلومات اليناءOmarSelim27
 
أسامه رجب علي أحمد (عرض تقديمي عن الجمل التي لها محل من الاعراب والتي ليس لها...
أسامه رجب علي أحمد (عرض تقديمي عن الجمل التي لها محل من الاعراب والتي ليس لها...أسامه رجب علي أحمد (عرض تقديمي عن الجمل التي لها محل من الاعراب والتي ليس لها...
أسامه رجب علي أحمد (عرض تقديمي عن الجمل التي لها محل من الاعراب والتي ليس لها...Osama ragab Ali
 
سلسلة في التجويد للدورات التمهيدية والمتوسطة والمتقدمة.pdf
سلسلة في التجويد للدورات التمهيدية والمتوسطة والمتقدمة.pdfسلسلة في التجويد للدورات التمهيدية والمتوسطة والمتقدمة.pdf
سلسلة في التجويد للدورات التمهيدية والمتوسطة والمتقدمة.pdfbassamshammah
 
دور مجتمعات التعلم في تحسين جودة الحياة الجامعية .pdf
دور مجتمعات التعلم في تحسين جودة الحياة الجامعية .pdfدور مجتمعات التعلم في تحسين جودة الحياة الجامعية .pdf
دور مجتمعات التعلم في تحسين جودة الحياة الجامعية .pdf575cqhpbb7
 
إعادة الإعمار-- غزة فلسطين سوريا العراق
إعادة الإعمار-- غزة فلسطين سوريا العراقإعادة الإعمار-- غزة فلسطين سوريا العراق
إعادة الإعمار-- غزة فلسطين سوريا العراقOmarSelim27
 
الوعي المعلوماتي لدى العاملين في المكتبات و مراكز المعلومات
الوعي المعلوماتي لدى العاملين في المكتبات و مراكز المعلوماتالوعي المعلوماتي لدى العاملين في المكتبات و مراكز المعلومات
الوعي المعلوماتي لدى العاملين في المكتبات و مراكز المعلوماتMohamadAljaafari
 
immunology_3.ppt.................................
immunology_3.ppt.................................immunology_3.ppt.................................
immunology_3.ppt.................................hakim hassan
 
شكل الحرف وطريقة الرسم DOC-20240322-WA0012..pdf
شكل الحرف وطريقة الرسم DOC-20240322-WA0012..pdfشكل الحرف وطريقة الرسم DOC-20240322-WA0012..pdf
شكل الحرف وطريقة الرسم DOC-20240322-WA0012..pdfshimaahussein2003
 
عرض تقديمي تكليف رقم (1).الرسوم التعليمية
عرض تقديمي تكليف رقم (1).الرسوم التعليميةعرض تقديمي تكليف رقم (1).الرسوم التعليمية
عرض تقديمي تكليف رقم (1).الرسوم التعليميةfsaied902
 
تهيئة ممتعة استراتيجية شريط الذكريات.pptx
تهيئة ممتعة استراتيجية شريط الذكريات.pptxتهيئة ممتعة استراتيجية شريط الذكريات.pptx
تهيئة ممتعة استراتيجية شريط الذكريات.pptxfjalali2
 
الترادف بين اللغة العربية والإنجليزية.pptx
الترادف بين اللغة العربية والإنجليزية.pptxالترادف بين اللغة العربية والإنجليزية.pptx
الترادف بين اللغة العربية والإنجليزية.pptxssuser53c5fe
 
الصف الثاني الاعدادي -علوم -الموجات .pptx
الصف الثاني الاعدادي -علوم -الموجات .pptxالصف الثاني الاعدادي -علوم -الموجات .pptx
الصف الثاني الاعدادي -علوم -الموجات .pptxv2mt8mtspw
 
محمد احمد سيد احمد محمد سباق عمر يوسف عبدالكريم
محمد احمد سيد احمد محمد سباق عمر يوسف عبدالكريممحمد احمد سيد احمد محمد سباق عمر يوسف عبدالكريم
محمد احمد سيد احمد محمد سباق عمر يوسف عبدالكريمelqadymuhammad
 

Recently uploaded (19)

تطبيقات الذكاء الاصطناعي و استخداماتها في العلوم البيولوجية والطبية
تطبيقات الذكاء الاصطناعي و استخداماتها في العلوم البيولوجية والطبيةتطبيقات الذكاء الاصطناعي و استخداماتها في العلوم البيولوجية والطبية
تطبيقات الذكاء الاصطناعي و استخداماتها في العلوم البيولوجية والطبية
 
1-G9-حل درس سورة الواقعة للصف التاسع 57-74 (1).pptx
1-G9-حل درس سورة الواقعة للصف التاسع 57-74 (1).pptx1-G9-حل درس سورة الواقعة للصف التاسع 57-74 (1).pptx
1-G9-حل درس سورة الواقعة للصف التاسع 57-74 (1).pptx
 
عرض تقديمي دور مجتمعات التعليم في تحسين جودة الحياة الجامعية .pdf
عرض تقديمي دور مجتمعات التعليم في تحسين جودة الحياة الجامعية .pdfعرض تقديمي دور مجتمعات التعليم في تحسين جودة الحياة الجامعية .pdf
عرض تقديمي دور مجتمعات التعليم في تحسين جودة الحياة الجامعية .pdf
 
لطلاب المرحلة الابتدائية طرق تدريس التعبير الكتابي
لطلاب المرحلة الابتدائية طرق تدريس التعبير الكتابيلطلاب المرحلة الابتدائية طرق تدريس التعبير الكتابي
لطلاب المرحلة الابتدائية طرق تدريس التعبير الكتابي
 
_BIMarabia 45.مجلة بيم ارابيا نمذجة معلومات اليناء
_BIMarabia 45.مجلة بيم ارابيا نمذجة معلومات اليناء_BIMarabia 45.مجلة بيم ارابيا نمذجة معلومات اليناء
_BIMarabia 45.مجلة بيم ارابيا نمذجة معلومات اليناء
 
أسامه رجب علي أحمد (عرض تقديمي عن الجمل التي لها محل من الاعراب والتي ليس لها...
أسامه رجب علي أحمد (عرض تقديمي عن الجمل التي لها محل من الاعراب والتي ليس لها...أسامه رجب علي أحمد (عرض تقديمي عن الجمل التي لها محل من الاعراب والتي ليس لها...
أسامه رجب علي أحمد (عرض تقديمي عن الجمل التي لها محل من الاعراب والتي ليس لها...
 
سلسلة في التجويد للدورات التمهيدية والمتوسطة والمتقدمة.pdf
سلسلة في التجويد للدورات التمهيدية والمتوسطة والمتقدمة.pdfسلسلة في التجويد للدورات التمهيدية والمتوسطة والمتقدمة.pdf
سلسلة في التجويد للدورات التمهيدية والمتوسطة والمتقدمة.pdf
 
دور مجتمعات التعلم في تحسين جودة الحياة الجامعية .pdf
دور مجتمعات التعلم في تحسين جودة الحياة الجامعية .pdfدور مجتمعات التعلم في تحسين جودة الحياة الجامعية .pdf
دور مجتمعات التعلم في تحسين جودة الحياة الجامعية .pdf
 
إعادة الإعمار-- غزة فلسطين سوريا العراق
إعادة الإعمار-- غزة فلسطين سوريا العراقإعادة الإعمار-- غزة فلسطين سوريا العراق
إعادة الإعمار-- غزة فلسطين سوريا العراق
 
الوعي المعلوماتي لدى العاملين في المكتبات و مراكز المعلومات
الوعي المعلوماتي لدى العاملين في المكتبات و مراكز المعلوماتالوعي المعلوماتي لدى العاملين في المكتبات و مراكز المعلومات
الوعي المعلوماتي لدى العاملين في المكتبات و مراكز المعلومات
 
.العروض التقديمية والرسومات التعليمية bdf
.العروض التقديمية والرسومات التعليمية bdf.العروض التقديمية والرسومات التعليمية bdf
.العروض التقديمية والرسومات التعليمية bdf
 
immunology_3.ppt.................................
immunology_3.ppt.................................immunology_3.ppt.................................
immunology_3.ppt.................................
 
شكل الحرف وطريقة الرسم DOC-20240322-WA0012..pdf
شكل الحرف وطريقة الرسم DOC-20240322-WA0012..pdfشكل الحرف وطريقة الرسم DOC-20240322-WA0012..pdf
شكل الحرف وطريقة الرسم DOC-20240322-WA0012..pdf
 
عرض تقديمي تكليف رقم (1).الرسوم التعليمية
عرض تقديمي تكليف رقم (1).الرسوم التعليميةعرض تقديمي تكليف رقم (1).الرسوم التعليمية
عرض تقديمي تكليف رقم (1).الرسوم التعليمية
 
تهيئة ممتعة استراتيجية شريط الذكريات.pptx
تهيئة ممتعة استراتيجية شريط الذكريات.pptxتهيئة ممتعة استراتيجية شريط الذكريات.pptx
تهيئة ممتعة استراتيجية شريط الذكريات.pptx
 
عرض تقديمي عن اسم المفعول.امل عرفات محمد العربي جامعة جنوب الوادي تربيه عام ...
عرض تقديمي عن اسم المفعول.امل عرفات محمد العربي جامعة جنوب الوادي تربيه عام ...عرض تقديمي عن اسم المفعول.امل عرفات محمد العربي جامعة جنوب الوادي تربيه عام ...
عرض تقديمي عن اسم المفعول.امل عرفات محمد العربي جامعة جنوب الوادي تربيه عام ...
 
الترادف بين اللغة العربية والإنجليزية.pptx
الترادف بين اللغة العربية والإنجليزية.pptxالترادف بين اللغة العربية والإنجليزية.pptx
الترادف بين اللغة العربية والإنجليزية.pptx
 
الصف الثاني الاعدادي -علوم -الموجات .pptx
الصف الثاني الاعدادي -علوم -الموجات .pptxالصف الثاني الاعدادي -علوم -الموجات .pptx
الصف الثاني الاعدادي -علوم -الموجات .pptx
 
محمد احمد سيد احمد محمد سباق عمر يوسف عبدالكريم
محمد احمد سيد احمد محمد سباق عمر يوسف عبدالكريممحمد احمد سيد احمد محمد سباق عمر يوسف عبدالكريم
محمد احمد سيد احمد محمد سباق عمر يوسف عبدالكريم
 

كتاب الطالب مصر - ترم ثانى - 2013 - 2014

  • 1.
  • 2. ‫الريا�ضيات‬ ‫كتاب الطالب‬ ‫ال�صف الأول الثانوى‬ ‫الف�صل الدرا�سى الثانى‬ ‫للريا�ضيات تطبيقات عملية فى مجاالت متعددة منها �إن�شاء الطرق والكبارى وتخطيط المدن و�إعداد‬ ‫خرائطها التى تعتمد على توازى الم�ستقيمات و الم�ستقيمات القاطعة لها وفق تنا�سب بين الطول‬ ‫الحقيقى والطول فى الر�سم.‬ ‫وال�صورة لكوبرى ال�سالم الذى يربط بين �ضفتى قناة ال�سوي�س‬
  • 3. ‫�إعداد‬ ‫�أ/ عمر ف�ؤاد جاب اهلل‬ ‫�أ.د/ نبيل توفيق ال�ضبع‬ ‫�أ.د/ عفاف �أبو الفتوح �صالح ‬ ‫�أ / �سريافيم �إليا�س �إ�سكندر‬ ‫�أ.م.د/ ع�صام و�صفى روفائيل ‬ ‫�أ/ كمال يون�س كب�شة‬ ‫جميع الحقوق محفوظة ال يجور نشر أى جزء من هذا الكتاب أو تصويره أو تخزينه أو تسجيله‬ ‫بأى وسيلة دون موافقة خطية من الناشر.‬ ‫شركة سقارة للنشر‬ ‫�ش. م. م‬ ‫الطبعــة األولى 3102/4102‬ ‫رقم اإليــداع 9497 / 3102‬ ‫الرقم الدولى 8 - 200 - 607 - 779 - 879‬
  • 4. ‫المقدمة‬ ‫بسم ال� ل�ه الرحمن الرحيم‬ ‫يسعدنا ونحن نقدم هذا الكتاب أن نوضح الفلسفة التى تم فى ضوئها بناء المادة التعليمية ونوجزها فيمايلى:‬ ‫1 التأكيد عىل أن الغاية األساسية من هذه الكتب هى مساعدة املتعلم عىل حل املشكالت واتخاذ القرارات ىف حياته‬ ‫اليومية, والتى تساعده عىل املشاركه ىف املجتمع.‬ ‫2 التأكيد عىل مبدأ استمرارية التعلم مدى الحياة من خالل العمل عىل أن يكتسب الطالب منهجية التفكري العلمى، وأن‬ ‫يمارسوا التعلم املمتزج باملتعة والتشويق، وذلك باالعتماد عىل تنمية مهارات حل املشكالت وتنمية مهارات االستنتاج‬ ‫والتعليل، واستخدام أساليب التعلم الذاتى والتعلم النشط والتعلم التعاونى بروح الفريق، واملناقشة والحوار، وتقبل‬ ‫آراء اآلخرين، واملوضوعية ىف إصدار األحكام، باإلضافة إىل التعريف ببعض األنشطة واإلنجازات الوطنية.‬ ‫3 تقديم رؤى شاملة متماسكة للعالقة بني العلم والتكنولوجيا واملجتمع)‪ (STS‬تعكس دور التقدُّم العلمى ىف تنمية‬ ‫ ‬ ‫املجتمع املحىل، باإلضافة إىل الرتكيز عىل ممارسة الطالب الترصُّف الواعى الفعّال حِ يال استخدام األدوات التكنولوجية.‬ ‫4 تنمية اتجاهات إيجابية تجاه الرياضيات ودراستها وتقدير علمائها‬ ‫ ‬ ‫5 تزويد الطالب بثقافة شاملة لحسن استخدام املوارد البيئية املتاحة.‬ ‫ ‬ ‫6 االعتماد عىل أساسيات املعرفة وتنمية طرائق التفكري، وتنمية املهارات العلمية، والبعد عن التفاصيل والحشو،‬ ‫واإلبتعاد عن التعليم التلقينى؛ لهذا فاالهتمام يوجه إىل إبراز املفاهيم واملبادئ العامة وأساليب البحث وحل املشكالت‬ ‫وطرائق التفكري األساسية التى تميز مادة الرياضيات عن غريها.‬ ‫وفى �ضوء ما �سبق روعى فى هذا الكتاب ما يلى:‬ ‫‪ ‬تقسيم الكتاب إىل وحدات متكاملة ومرتابطة لكل منها مقدمة توضح أهدافها ودروسها ومخطط تنظيمى لها‬ ‫ ‬ ‫واملصطلحات الواردة بها باللغة العربية واإلنجليزية ومقسمة إىل دروس يوضح الهدف من تدريسها للطالب تحت‬ ‫عنوان سوف تتعلم، ويبدأ كل درس من دروس كل وحدة بالفكرة األساسية ملحتوى الدرس وروعى عرض املادة‬ ‫العلمية من السهل إىل الصعب ويتضمن مجموعة من األنشطة التى تتناول الربط باملواد األخرى والحياة العملية والتى‬ ‫تناسب القدرات املختلفة للطالب وتراعى الفروق الفردية بينهم وتؤكد عىل العمل التعاونى، وتتكامل مع املوضوع.‬ ‫‪ ‬كما قدم ىف كل درس أمثلة تبدأ من السهل إىل الصعب وتشمل مستويات تفكري متنوعة، مع تدريبات عليها تحت‬ ‫عنوان حاول أن تحل وينتهى كل درس ببند «تحقق من فهمك».‬ ‫‪ ‬تنتهى كل وحدة بملخص للوحدة يتناول املفاهيم والتعليمات الواردة بالوحدة.‬ ‫ ‬ ‫وأخير ًا ..نتمنى أن نكون قد وفقنا فى إنجاز هذا العمل لما فيه خير لأولادنا، ولمصرنا العزيزة.‬ ‫وال� �له من وراء القصد، وهو يهدى إلى سواء السبيل‬
  • 5. ‫خريطة الكتاب للفصل الدراسى الثانى‬ ‫اسم‬ ‫الوحدة‬ ‫الدروس املتضمنة بالوحدة‬ ‫1 - 1 :تنظيم البيانات فى‬ ‫1‬ ‫مصفوفات‬ ‫املفاهيم‬ ‫املتضمنة‬ ‫مصفوفة - عنصر - مصفوفة‬ ‫صف - مصفوفة عمود - مصفوفة‬ ‫مربعة - مصفوفة صفرية -‬ ‫العمليات العقلية‬ ‫واملهارات الذهنية‬ ‫املتضمنة‬ ‫تفكري ناقد صـ8، صـ01‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫متماثلة - مصفوفة شبه متماثلة‬ ‫جمع المصفوفات - طرح‬ ‫تفكري جربى (اثناء عرض‬ ‫الدرس)‬ ‫1 - 3 : ضرب المصفوفات‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫تفكري ناقد صـ91‬ ‫1 - 4 : المحددات‬ ‫محدد - محدد الدرجة الثانية -‬ ‫محدد الدرجة الثالثة - القطر‬ ‫الرئيس للمحدد - القطر اآلخر‬ ‫1 - 5 :المعكوس الضربى‬ ‫للمصفوفة‬ ‫2 - 1: المتبانيات الخطية‬ ‫‬ ‫الخطية‬ ‫معكوس ضربى للمصفوفة-‬ ‫مصفوفة الوحدة - معادلة‬ ‫مصفوفية - مصفوفة المتغيرات-‬ ‫مصفوفة الثوابت‬ ‫متباينة خطية - مستقيم حدى -‬ ‫مستقيم حدى منقط - مستقيم‬ ‫حدى متصل - متباينة خطية فى‬ ‫2‬ ‫الربمجة‬ ‫للمحدد مصفوفة المعامالت‬ ‫املتجهات‬ ‫الربط بالرياضيات صـ 7‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 03‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 24‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ 31‬ ‫الربط باالحصاء صـ 41‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ 71‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 81‬ ‫الربط بالسياحة صـ 02‬ ‫الربط بالهندسة صـ 51‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 43‬ ‫تطبيقات حياتية صـ 24‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 24‬ ‫مجهول واحد - متباينة خطية فى‬ ‫مجهولين‬ ‫2 - 2: حل أنظمة من المتباينات نظام متباينات خطية-منطقة الحل تفكري جربى‬ ‫‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫رسم بيانى‬ ‫الخطية بيانيًا‬ ‫2 - 3: البرمجة الخطية والحل األمثل برمجة خطية - قيود محدودة -‬ ‫‬ ‫غير محدودة حل أمثل‬ ‫3‬ ‫صـ 01.‬ ‫الربط بالتجارة صـ 31‬ ‫1 - 2 : جمع وطرح المصفوفات‬ ‫املصفوفات‬ ‫والحياة العلمية‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 7،‬ ‫الربط بالطاقة صـ 7‬ ‫مصفوفات متساوية - مصفوفة‬ ‫المصفوفات‬ ‫الرتابط والتداخل‬ ‫مع العلوم اآلخرى‬ ‫تفكري جربى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫3 - 1:الكميات القياسية والكميات‬ ‫كمية قياسية - متجه - مسافة - تفكري منطقى صـ 95‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫ازاحة - اتجاه‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫3 - 2: المتجهات‬ ‫‬ ‫متجه - متجع موضع - زوج‬ ‫المتجهة، والقطعة‬ ‫المستقيمة الموجهه‬ ‫مرتب - قيمة مطلقة - معيار‬ ‫متجه- متجه مكافئ - صورة‬ ‫قطبية - متجه وحدة‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هندسى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالحياة صـ 64، 74‬ ‫الربط بالمهن صـ 74‬ ‫الربط بإدارة الوقت صـ 84‬ ‫الربط بإدارة اإلعمال صـ 05‬ ‫الربط بالمستهلك صـ 05‬ ‫الربط بالصناعة صـ 05،15‬ ‫الربط بالزراعة صـ 25‬ ‫الربط بالزراعة صـ 25‬
  • 6. ‫جمع متجهين - طرح متجهين -‬ ‫3 - 4: تطبيقات على المتجهات‬ ‫‬ ‫األضالع‬ ‫قوة محصلة - توازى القوى -‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫4 - 1: تقسيم قطعة مستقيمة‬ ‫اسم‬ ‫الوحدة‬ ‫العمليات العقلية‬ ‫واملهارات الذهنية‬ ‫املتضمنة‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫تقسيم من الداخل - تقسيم من‬ ‫4 - 2:معادلة الخط المستقيم‬ ‫متجه إتجاه مستقيم - معادلة‬ ‫الدروس املتضمنة بالوحدة‬ ‫3 - 3: العمليات على المتجهات‬ ‫‬ ‫تابع‬ ‫املتجهات‬ ‫4‬ ‫املفاهيم‬ ‫املتضمنة‬ ‫قاعدة المثلث - قاعدة متوازى‬ ‫سرعة نسبية‬ ‫الخارج - نسبة التقسيم‬ ‫متجهة - معادلة برامترية -‬ ‫معادلة كارتيزية - معادلة عامة‬ ‫الخط‬ ‫الرتابط والتداخل‬ ‫مع العلوم اآلخرى‬ ‫والحياة العلمية‬ ‫تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد 48، 29‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس (اثناء عرض‬ ‫الدرس)‬ ‫4 - 4 :طول العمود المرسوم من‬ ‫عمود - خط مستقيم‬ ‫نقطة تقاطع مستقيمين -‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالطرق صـ 79‬ ‫4 - 5 :المعادلة العامة للمستقيم‬ ‫املستقيم‬ ‫4 - 3:قياس الزاوية بين‬ ‫زاوية بين مستقيمين‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫ تفكري هنديس‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالهندسة صـ 59‬ ‫مستقيمين‬ ‫نقطة إلى خط مستقيم‬ ‫المار بنقطة تقاطع‬ ‫مستقيمين‬ ‫5 - 1: المتطابقات المثلثية‬ ‫معادلة عامة‬ ‫معادلة‬ ‫5 - 2:حل المعادالت المثلثية‬ ‫5‬ ‫حساب‬ ‫املثلثات‬ ‫متطابقة‬ ‫معادلة مثلثية - حل عام‬ ‫5 - 3: حل المثلث القائم الزاوية‬ ‫حل مثلث‬ ‫5 - 4 : زوايا اإلرتفاع واإلنخفاض‬ ‫زاوية ارتفاع‬ ‫5 - 5 : القطاع الدائرى‬ ‫زاويا انخفاض‬ ‫قطاع دائرى‬ ‫5 - 6 : القطعة الدائرية‬ ‫قطعة دائرية‬ ‫5 - 7 : المساحات‬ ‫مضلع منتظم‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ 001‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى (اثناء عرض‬ ‫الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 511‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري ناقد صـ 021‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫تفكري منطقى‬ ‫(اثناء عرض الدرس)‬ ‫الربط بالهندسة صـ511‬ ‫الربط بالزراعة والزينة‬ ‫صـ321‬ ‫الربط بالتكنولوجيا صـ721‬
  • 7. ‫المحتويات‬ ‫الوحدة‬ ‫الأولى‬ ‫المصفوفات‬ ‫1- 1 ‬ ‫تنظيم البيانات في مصفوفات‬ ‫1- 2 ‬ ‫جمع وطرح المصفوفات‬ ‫41‬ ‫1- 3 ‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫81‬ ‫1- 4 ‬ ‫المحددات‬ ‫22‬ ‫1- 5 ‬ ‫المعكوس الضربى للمصفوفة‬ ‫03‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫53‬ ‫ ‬ ‫4‬ ‫...........................................................................................................................................................................................‬ ‫.................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫........................................................................................................................................................................................................................ .‬ ‫.................................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫...................................................................................................................................................................................... .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫الوحدة‬ ‫الثانية‬ ‫الربمجة الخطية‬ ‫2 - 1 ‬ ‫المتباينات الخطية‬ ‫83‬ ‫2 - 2 ‬ ‫حل أنظمة من المتباينات الخطية بيانيًا‬ ‫34‬ ‫2 - 3 ‬ ‫البرمجة الخطية والحل األمثل‬ ‫84‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫55‬ ‫ ‬ ‫......................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫........................................................................................................................................................ .‬ ‫....................................................................................................................................................................................... .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫الوحدة‬ ‫الثالثة‬ ‫املتجهات‬ ‫3 - 1 ‬ ‫3 - 2 ‬ ‫المتجهات‬ ‫36‬ ‫3 - 3 ‬ ‫العمليات على المتجهات‬ ‫17‬ ‫3 - 4 ‬ ‫ ‬ ‫الكميات القياسية والكميات المتجهة، والقطعة المستقيمة الموجهة‬ ‫85‬ ‫تطبيقات على المتجهات‬ ‫67‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫28‬ ‫............................................................. .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫....................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫......................................................................................................................................................................................... .‬ ‫................................................................................................................................................................................................................................... .‬
  • 8. ‫الوحدة‬ ‫الرابعة‬ ‫الخط المستقيم‬ ‫4 - 1 ‬ ‫تقسيم قطعة مستقيمة‬ ‫68‬ ‫4 - 2 ‬ ‫معادلة الخط المستقيم‬ ‫19‬ ‫4 - 3 ‬ ‫قياس الزاوية بين مستقيمين‬ ‫69‬ ‫4 - 4 ‬ ‫طول العمود المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم‬ ‫89‬ ‫4 - 5 ‬ ‫المعادلة العامة للمستقيم المار بنقطة تقاطع مستقيمين‬ ‫001‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫301‬ ‫ ‬ ‫.........................................................................................................................................................................................................‬ ‫...........................................................................................................................................................................................................‬ ‫.......................................................................................................................................................................................‬ ‫........................................................................................................................‬ ‫......................................................... .‬ ‫............................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫الوحدة‬ ‫اخلام�سة‬ ‫حساب املثلثات‬ ‫5 - 1 ‬ ‫5 - 2 ‬ ‫حل المعادالت المثلثية.‬ ‫111‬ ‫5 - 3 ‬ ‫حل المثلث القائم الزاوية.‬ ‫411‬ ‫5 - 4 ‬ ‫زوايا االرتفاع وزوايا االنخفاض‬ ‫711‬ ‫5 - 5 ‬ ‫القطاع الدائرى‬ ‫021‬ ‫5 - 6 ‬ ‫القطعة الدائرية.‬ ‫321‬ ‫5 - 7 ‬ ‫ ‬ ‫المتطابقات المثلثية.‬ ‫601‬ ‫المساحات.‬ ‫521‬ ‫ملخص الوحدة‬ ‫921‬ ‫............................................................................................................................................................................................................ .‬ ‫....................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫.............................................................................................................................................................................................. .‬ ‫............................................................................................................................................................................ .‬ ‫............................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫.......................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫.......................................................................................................................................................................................................................................... .‬ ‫............................................................................................................................................................................................................................... .‬
  • 9. ‫الوحدة‬ ‫1‬ ‫الجبر‬ ‫المصفوفات‬ ‫‪Matrices‬‬ ‫أهداف الوحدة‬ ‫في نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:‬ ‫ً‬ ‫• •يتحقق من صحة حلول بعض المشكالت التى تتضمن‬ ‫• •يتعرف مفهوم المصفوفة ونظمها.‬ ‫مصفوفات باستخدام البرمجيات المتاحة.‬ ‫• •يتعرف بعض المصفوفات الخاصة (مصفوفة الصف -‬ ‫مصفوفة العمود - المصفوفة المربعة - المصفوفة • •ينمذج بعض المشكالت الحياتية باستخدام المصفوفات.‬ ‫الصفرية - المصفوفة القطرية - مصفوفة الوحدة - • •يوظف استخدام المصفوفات في مجاالت أخرى.‬ ‫• •يتعرف محدد المصفوفة من الرتبة الثانية والرتبة الثالثة.‬ ‫المصفوفة المتماثلة وشبه المتماثلة).‬ ‫• •يوجد قيمة المحدد على الصورة المثلثية.‬ ‫• •يضرب عددا حقيقيا في مصفوفة .‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫• •يوجد معكوس المصفوفة المربعة من الرتبة 2 × 2‬ ‫• •يتعرف تساوى مصفوفتين.‬ ‫• •يحل معادلتين آنيتين باستخدام معكوس المصفوفة.‬ ‫• •يوجد مدور المصفوفة.‬ ‫• •يجرى عمليات الجمع والطرح والضرب على المصفوفات. • •يحل المعادالت بطريقة كرامر.‬ ‫• •يوجد مساحة المثلث باستخدام المحددات.‬ ‫المصطلحات األساسية‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة‬ ‫‪Matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬عنصر‬ ‫‪Element‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة الصف‬ ‫‪Row matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة العمود‬ ‫‬ ‫‪Column matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة مربعة‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة متماثلة‬ ‫‬ ‫‪Symmetric matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة شبه متماثلة‬ ‫‪Skew-symmetric matrix‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬جمع المصفوفات‬ ‫‪Adding matrices‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة الوحدة‬ ‫‪Identity matrix‬‬ ‫‬ ‫‪Square matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬معادلة مصفوفية‬ ‫‪Matrix equation‬‬ ‫‬ ‫‪Equal matrices‬‬ ‫‪Variable matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة صفرية‬ ‫‪Zero matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفات متساوية‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة الثوابت‬ ‫‬ ‫‪Constant matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة المتغيرات‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬طرح المصفوفات‬ ‫‬ ‫‪Subtracting matrices‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬ضرب المصفوفات‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مدور المصفوفة‬ ‫‪Transpose of matrix‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬محدد‬ ‫‪Determinant‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬محدد الرتبة الثانية‬ ‫‬ ‫‪Second order determinant‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬محدد الرتبة الثالثة‬ ‫‪Third order determinant‬‬ ‫‬ ‫‪Ñ Ñ‬مصفوفة المعامالت‬ ‫‬ ‫‪Coefficient matrix‬‬ ‫‪Ñ Ñ‬معكوس ضربى للمصفوفة‬ ‫‪Inverse matrix‬‬ ‫‬
  • 10. ‫دروس الوحدة‬ ‫الدرس (1 - 1): تنظيم البيانات في مصفوفات.‬ ‫الدرس (1 - 2): جمع وطرح المصفوفات.‬ ‫الدرس (1 - 3): ضرب المصفوفات .‬ ‫الدرس (1 - 4): المحددات .‬ ‫الدرس (1 - 5): المعكوس الضربي للمصفوفة‬ ‫األدوات المستخدمة‬ ‫آلة حاسبة علمية - برنامج االكسيل ‪- Excel‬‬ ‫جهاز كمبيوتر. ‬ ‫نبذه تاريخية‬ ‫المصفوفات هي جمع كلمة مصفوفة، وهى من المفاهيم الرياضية التي انتشر استخدامها في عصرنا الحاضر، فشملت‬ ‫العديد من فروع المعرفة، فنجد استخداماتها في علوم االحصاء واالقتصاد، واالجتماع وعلم النفس وغيرها، وذلك‬ ‫ألنها تعرض البيانات، وتخزنها في صورة جداول مستطيلة الشكل، وتنظيم البيانات بهذه الصورة يسهل تذكرها‬ ‫والمقارنة بينها وإجراء العمليات عليها، كما أن للمصفوفات دورا هاما في علم الرياضيات وخاصة في فرع الجبر‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫الخطى، وأول من الحظ المصفوفات واستخدمها هو العالم كيلي (1281 - 5981م).‬ ‫مخطط تنظيمي للوحدة‬ ‫المصفوفات‬ ‫تنظيم البيانات‬ ‫في مصفوفات‬ ‫المحددات‬ ‫العمليات على المصفوفات‬ ‫ايجاد مساحة المثلث‬ ‫تعريف المصفوفة‬ ‫تمثيل المصفوفات‬ ‫تحليل البيانات‬ ‫جمع وطرح المصفوفات‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫خواص جمع المصفوفات‬ ‫خواص ضرب المصفوفات‬ ‫محدد المصفوفة المثلثية‬ ‫حل أنظمة المعادالت‬ ‫بطريقة كرامر‬ ‫ضرب عدد بمصفوفة‬ ‫بعض المصفوفات‬ ‫حل المعادالت المصفوفية‬ ‫مدور حاصل ضرب‬ ‫مصفوفتين‬ ‫المعكوس الضربي‬ ‫للمصفوفة‬ ‫الخاصة‬ ‫حدود المصفوفة‬ ‫حل نظام من المعادالت‬ ‫باستخدام المصفوفات‬
  • 11. ‫تنظيم البيانات في مصفوفات‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Organizing data in Matrices‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫فكر‬ ‫ما املصفوفة؟‬ ‫بعض املصفوفات اخلاصة‬ ‫(املصفوفة املربعة - مصفوفة‬ ‫الصف - مصفوفة العمود -‬ ‫املصفوفة الصفرية - املصفوفة‬ ‫القطرية - مصفوفة الوحدة)‬ ‫مدور املصفوفة‬ ‫املصفوفة املتامثلة واملصفوفة شبه‬ ‫املتامثلة.‬ ‫تساوى مصفوفتني.‬ ‫رضب عدد حقيقي يف مصفوفة‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫مصفوفة‬ ‫‪Matrix‬‬ ‫عنرص ‬ ‫‪Element‬‬ ‫مصفوفة الصف‬ ‫‪Row matrix‬‬ ‫مصفوفة العمود‬ ‫‪Column matrix‬‬ ‫مصفوفة مربعة‬ ‫‪Square matrix‬‬ ‫مصفوفة صفرية‬ ‫‪Zero matrix‬‬ ‫مصفوفات متساوية‬ ‫مصفوفة متامثلة‬ ‫‪Equal matrix‬‬ ‫‪Symmetric matrix‬‬ ‫مصفوفة شبه متامثلة‬ ‫‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫الربط بالصناعة‬ ‫مصنع إلنتاج بعض مكونات شاشات التليفزيون به‬ ‫3 أقسام، ينتج 4 أجزاء رئيسية من الشاشة أ، ب، جـ، د‬ ‫على النحو التالي:‬ ‫القسم األول ينتج يوميا 57 قطعة من أ ، 531 قطعة من‬ ‫ًّ‬ ‫ب ، 051 قطعة من جـ ، 512 قطعة من د .‬ ‫القسم الثاني ينتج يوميا 001 قطعة من أ ، 861 قطعة من ب ، 012 قطعة من جـ،‬ ‫ً‬ ‫282 قطعة من د.‬ ‫القسم الثالث ينتج يوميا 08 قطعة من أ ، 001 قطعة من ب ، 441 قطعة من جـ ،‬ ‫ًّ‬ ‫46 قطعة من د.‬ ‫واضح أنه من الصعب تذكر هذه المعلومات أو المقارنة بينها، وهي على هذه‬ ‫الصورة واآلن هناك سؤاال يطرح نفسه:‬ ‫ً‬ ‫كيف يمكن ترتيب هذه البيانات حتى يمكن تحليلها واالستفادة منها؟‬ ‫لإلجابة عن هذا السؤال فإنه يمكننا كتابة البيانات في صورة جدول يمكننا من‬ ‫معرفة ما ينتجه كل قسم من األقسام الثالثة من األجزاء المختلفة بسرعة ووضوح،‬ ‫كما يسهل لنا المقارنة بين إنتاج األقسام الثالثة من األجزاء المختلفة.‬ ‫‪Skew symmetric matrix‬‬ ‫آلة حاسبة بيانية‬ ‫برنامج اإلكسيل‬ ‫جهاز كمبيوتر‬ ‫األقسام‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫القسم األول‬ ‫القسم الثاني‬ ‫القسم الثالث‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫4‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫أ‬ ‫57‬ ‫001‬ ‫08‬ ‫األجزاء‬ ‫ب‬ ‫531‬ ‫861‬ ‫001‬ ‫جـ‬ ‫051‬ ‫012‬ ‫441‬ ‫د‬ ‫512‬ ‫282‬ ‫46‬
  • 12. ‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫فإذا كنا نعلم أن األعداد بالصف األول هي إنتاج القسم األول من األجزاء أ ، ب، جـ ، د على الترتيب، وبالمثل‬ ‫األعداد التي بالصف الثاني هي إنتاج القسم الثاني بنفس الترتيب، كذلك األعداد التى بالصف الثالث هي إنتاج‬ ‫و‬ ‫القسم الثالث بنفس الترتيب، فإننا نستطيع كتابة المعلومات التى بالجدول السابق بصورة أكثر اختصارا كاآلتي:‬ ‫ً‬ ‫الصف األول‬ ‫الصف الثانى‬ ‫الصف الثالث‬ ‫57‬ ‫001‬ ‫08‬ ‫531‬ ‫861‬ ‫001‬ ‫051‬ ‫012‬ ‫441‬ ‫512‬ ‫282‬ ‫46‬ ‫-‬ ‫-‬ ‫-‬ ‫-‬ ‫وتسمى هذه الصورة مصفوفة كما تسمى األعداد داخل‬ ‫القوسين عناصر المصفوفة‬ ‫العمود العمود العمود العمود‬ ‫األول الثانى الثالث الرابع‬ ‫وهذه المصفوفة لها ثالثة صفوف وأربعة أعمدة، لذا يقال لها مصفوفة على النظم 3 * 4‬ ‫(أو باالختصار مصفوفة 3 * 4) حيث تذكر عدد الصفوف أوال ثم عدد األعمدة، كما نالحظ أن:‬ ‫عدد عناصر المصفوفة = 3 *4 = 21 عنصرا .‬ ‫ً‬ ‫واآلن:‬ ‫1- هل هناك طريقة أخرى لترتيب بيانات المسألة ، ووضعها على صورة مصفوفة أخرى؟ فسر إجابتك.‬ ‫2- من المصفوفة السابقة ، ما العنصر في الصف األول والعمود الثاني؟ وما العنصر في الصف الثاني والعمود‬ ‫األول؟‬ ‫3- سؤال مفتوح: اكتب مثاال من عندك يمكن كتابة المعلومات المتضمنة فيه على صورة مصفوفة 2 * 3‬ ‫ً‬ ‫تعلم‬ ‫ت‬ ‫تنظيم البيانات في مصفوفا ‬ ‫‪Organizing Data in Matrices‬‬ ‫المصفوفة هى ترتيب لعدد من العناصر (متغيرات أو أعداد) في صفوف وأعمدة محصورة بين قوسين، وتنظم‬ ‫العناصر في المصفوفة بحيث يكون الموقع في المصفوفة ذا معنى، ويرمز إلى المصفوفة عادة باستخدام‬ ‫الحروف الكبيرة ‪ ، D ،C‬ج، ‪ .... ،N ،M‬ولعناصر المصفوفة بالحروف الصغيرة ‪ ،C‬ب، جـ، س، ص ، ....‬ ‫إذا أردنا التعبير عن العنصر داخل المصفوفة ‪ C‬الذي يقع في الصف ص والعمود ع فإنه يمكننا كتابته على‬ ‫الصورة ‪C‬‬ ‫صع‬ ‫ً‬ ‫و‬ ‫فمثال العنصر ‪ 21C‬يقع في الصف األول والعمود الثاني، كذلك ‪ 23C‬يقع في الصف الثالث والعمود الثاني.‬ ‫فى المصفوفة: ‪= C‬‬ ‫1‬‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫1‬‫5‬ ‫6‬ ‫2‬ ‫-2‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫-1‬ ‫العنصر -1 يقع في الصف 2 والعمود 2 ويرمز له بالرمز ‪C‬‬ ‫العنصر 6 يقع في الصف 1 والعمود 3 ويرمز له بالرمز ‪C‬‬ ‫22‬ ‫13‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫5‬
  • 13. ‫وبصفة عامة:‬ ‫المصفوفة المكونة من م صفا، ن عمودا تكون على النظم م * ن أو من الرتبة م * ن أو من النوع م * ن (وتقرأ م‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫فى ن، حيث م، ن أعداد صحيحة موجبة.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫‌ استخدم المصفوفة ‪= D‬‬ ‫1 5‬ ‫3 2‬ ‫5 7‬ ‫أ ما نظم المصفوفة ‬ ‫‪D‬؟‬ ‫تعلم‬ ‫لإلجابة عن مايلى:‬ ‫ب ما قيمة ‪12D ،21D‬؟‬ ‫تمثيل المصفوفات‬ ‫‪Representing Matrcies‬‬ ‫إذا كانت ‪ C‬مصفوفة على النظم م * ن فإنه يمكن كتابة المصفوفة ‪ C‬على الصورة:‬ ‫‪C( = C‬ص ع)،  ص = 1 ، 2، 3، ......................، م‬ ‫        ع  = 1 ، 2، 3، ......................، ن‬ ‫وسوف تقتصر دراستنا على الحاالت التى فيها م ‪ ، 3 H‬ن ‪3 H‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ اكتب جميع عناصر المصفوفات اآلتية:‬ ‫ص = 1 ، 2     ،  ع = 1، 2، 3‬ ‫أ ‪C( = C‬ص ع) ، ‬ ‫ ‬ ‫ص = 1 ، 2، 3 ،  ع = 1‬ ‫ب ‪( = D‬بص ع) ، ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ص = 1 ، 2      ،  ع = 1، 2‬ ‫ج‍ ج = (جـ ) ، ‬ ‫ ‬ ‫صع‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫أ ‪=C‬‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫21‬ ‫ج‍ ج =‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫21‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫23‬ ‫مصفوفة على النظم 2 * 3 ‬ ‫مصفوفة على النظم 2 * 2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ اكتب جميع عناصر المصفوفات اآلتية:‬ ‫أ ‪C( =     C‬ص ع)، ص = 1 ، 2 ،3، ع = 1، 2، 3‬ ‫ ‬ ‫ب ب = (ب س ص)، ص = 1 ، 2، ع = 1‬ ‫ ‬ ‫6‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ب‬ ‫ب ‪ = D‬ب21 مصفوفة على النظم 3 *1‬ ‫ب‬ ‫31‬ ‫11‬
  • 14. ‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ الربط بالمستهلك: يبين الجدول المقابل األسعار بالجنيه‬ ‫لثالثة أنواع من الساندويتشات بثالثة أحجام مختلفة في‬ ‫أحد مطاعم الوجبات الجاهزة.‬ ‫أ نظم هذه البيانات في مصفوفة، على أن تكون األسعار‬ ‫ ‬ ‫مرتبة تصاعديا.‬ ‫ًّ‬ ‫ب حدد نظم المصفوفة.‬ ‫ ‬ ‫ج‬ ‫‍ ما قيمة العنصر ‪ C‬؟‬ ‫ ‬ ‫صدور‬ ‫فراخ‬ ‫صغير‬ ‫متوسط‬ ‫كبير‬ ‫8‬ ‫21‬ ‫61‬ ‫9‬ ‫31‬ ‫71‬ ‫7‬ ‫11‬ ‫51‬ ‫جمبرى‬ ‫مقلى‬ ‫سمك‬ ‫فيليه‬ ‫32‬ ‫الحل‬ ‫صغير متوسط كبير‬ ‫51‬ ‫11‬ ‫7‬ ‫61‬ ‫21‬ ‫8‬ ‫71‬ ‫31‬ ‫9‬ ‫ ‬ ‫أ ‬ ‫ ‬ ‫ب هناك 3 صفوف، 3 أعمدة لذا فإن المصفوفة على النظم 3 * 3‬ ‫ج‍ قيمة العنصر ‪ C‬هى الموجودة بالصف 3 والعمود 2 وهى 31‬ ‫ ‬ ‫سمك فيليه‬ ‫صدور فراخ‬ ‫جمبرى مقلى‬ ‫32‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ رصد مدرب فريق كرة السلة بالمدرسة، إنجازات ثالثة العبين في مباريات‬ ‫دورى الفصول فكانت على النحو التالي:‬ ‫ سمير: لعب 01 مباريات ،  02 تسديدة  ،  5 أهداف.‬ ‫ حازم: لعب 61 مباراة   ،  53 تسديدة  ،  8 أهداف.‬ ‫ كريم: لعب 81 مباراة    ،  14 تسديدة  ،  01 أهداف.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫أ نظم البيانات فى مصفوفة على أن ترتب أسماء الالعبين ترتيبا تصاعديا تبعا لعدد األهداف.‬ ‫ًّ ً‬ ‫ً‬ ‫ب حدد نظم المصفوفة، ما قيمة‪32C‬؟‬ ‫مـثـال‬ ‫تنظيم البيانات اإلحصائية باستخدام المصفوفات‬ ‫ﺍﻻﺳﺘﻬﻼﻙ‬ ‫٥٢‬ ‫ﺍﻻﻧﺘﺎﺝ‬ ‫٠٢‬ ‫٥١‬ ‫٠١‬ ‫٥‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﻟﺔ ﺟـ‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﻟﺔ ﺏ‬ ‫ﺍﻟﺪﻭﻟﺔ ﺃ‬ ‫ﻋﺪﺩ ﺍﻟﻜﻴﻠﻮ ﻭﺍﺕ / ﺍﻟﺴﺎﻋﺔ‬ ‫‌ الربط بالطاقة: يمكن أن تقاس الطاقة بالكيلو وات / ساعة.‬ ‫يبين الرسم البيانى المقابل إنتاج الطاقة واالستهالك لبعض‬ ‫الدول. اكتب مصفوفة تمثل بيانات الرسم البياني المقابل.‬ ‫٠٣‬ ‫٠‬ ‫7‬
  • 15. ‫الحل‬ ‫افرض أن كل صف فى المصفوفة يمثل دولة، كل عمود يمثل‬ ‫و‬ ‫مستوى اإلنتاج واالستهالك. استنتج القيم من الرسم.‬ ‫تفكير ناقد‬ ‫دولة( أ )‬ ‫دولة (ب)‬ ‫دولة (جـ)‬ ‫االنتاج‬ ‫5٫9‬ ‫31‬ ‫91‬ ‫االستهالك‬ ‫5٫9‬ ‫9‬ ‫52‬ ‫كيف يمكنك تعديل المصفوفة لتمثيل البيانات بإضافة دول أخرى؟‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أعد كتابة البيانات فى المثال السابق فى صورة مصفوفة 2 *3، ضع عنوانًا للصفوف واألعمدة.‬ ‫‌ وضح الفرق بين المصفوفة التى على النظم 2 * 3، والمصفوفة التى على النظم 3 * 2‬ ‫تعلم‬ ‫ة‬ ‫بعض المصفوفات الخاص ‬ ‫‪Some special Matrices‬‬ ‫3 2‬‫‪l‬‬ ‫أ‬ ‫ المصفوفة المربعة: هى المصفوفة التى عدد الصفوف فيها يساوى عدد األعمدة مثل: 4 -1‬ ‫(مصفوفة مربعة على النظم 2 * 2)‬ ‫ ‬ ‫‪b‬‬ ‫ب مصفوفة الصف: هى المصفوفة التى تحتوى على صف واحد وأى عدد من األعمدة مثل: (2 4 6 8)‬ ‫(مصفوفة صف على النظم 1 * 4)‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫ج‍ مصفوفة العمود: هى المصفوفة التى تحتوى على عمود واحد، وأى عدد من الصفوف مثل: ‪f 5- p‬‬ ‫1‬ ‫(مصفوفة عمود على النظم 3 * 1)‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫د المصفوفة الصفرية: هى المصفوفة التى تكون جميع عناصرها أصفار وقد تكون مربعة أو التكون‬ ‫فمثال المصفوفات:‬ ‫ً‬ ‫0‬ ‫ (0) مصفوفة صفرية على النظم 1 * 1، (0 0) مصفوفة صفرية على النظم 1 * 2،  ‪ b 0 l‬مصفوفة‬ ‫0 0‬ ‫صفرية على النظم2 * 1،  ‪ b 0 0 l‬مصفوفة صفرية علي النظم 2 * 2، ويرمز للمصفوفة الصفرية‬ ‫بمستطيل صغير‬ ‫ه‍ المصفوفة القطرية: هى مصفوفة مربعة جميع عناصرها أصفار، ما عدا عناصر القطر الرئيسى فيكون،‬ ‫أحدها على األقل مغايرا للصفر فمثال المصفوفة:‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫ ‬ ‫‪p‬‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬‫0‬ ‫0‬ ‫0 ‪( f‬مصفوفة قطرية على النظم 3 * 3)‬ ‫2‬ ‫و مصفوفة الوحدة: هى مصفوفة قطرية، يكون فيها كل عناصر القطر الرئيسى مساو يا الواحد، ويرمز‬ ‫ً‬ ‫لها بالرمز ‪ . I‬فمثال كل من المصفوفات:‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫8‬ ‫1 0‬ ‫(1) ،   ‪p   ،  b 1 0 l‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫‪  f‬هي مصفوفة وحدة.‬
  • 16. ‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ اكتب نوع كل مصفوفة ونظمها.‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫1 -1‬ ‫أ ‪ b 2 0 l‬‬ ‫ب (1 3 5 7) ‬ ‫1 0‬ ‫ه‍ ‪ b 3 0 l‬‬ ‫0 0‬ ‫د ‪ b0 0l‬‬ ‫ج‍ ‬ ‫و ‬ ‫‌ اكتب المصفوفة الصفرية على النظم 3 * 3‬ ‫تعلم‬ ‫تساوى مصفوفتين‬ ‫3‬ ‫‪f4p‬‬ ‫5‬ ‫0 0‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫0 1‬ ‫‪Equality of two Matrices‬‬ ‫تتساوى مصفوفتان ‪ D ،C‬إذا كانتا على نفس النظم، كان كل عنصر في المصفوفة ‪ C‬مساو يا لنظيره في المصفوفة‬ ‫و‬ ‫ً‬ ‫‪ D‬أي أن: ‪C‬ص ع = ‪ D‬ص ع  لكل ص ولكل ع.‬ ‫مـثـال‬ ‫1 2‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫1 2 0‬ ‫‌ أ المصفوفتان ‪ b 0 5 1- l ، b 5 1- l‬‬ ‫1 س 2‬ ‫ب ‪ b 2 3- 1 l = b 5 6 1- l‬‬ ‫-1 6 ص‬ ‫1 ص‬‫ج‍ المصفوفتان ‪ b 1- 3 l ، b 2 1 l‬‬ ‫س -1‬ ‫0 1 5‬ ‫د ‪p =f 0 7 1 p‬‬ ‫2 6 3‬ ‫0 1 5‬ ‫1 7 0‬ ‫2 6 3‬ ‫غير متساويتين ألنهما ليسا على نفس النظم.‬ ‫إذا و فقط إذا كانت س = -3 ، ص = 5‬ ‫اليمكن أن يتساويا، وذلك إلختالف أحد العناصر المناظرة‬ ‫في كل منهما (عناصر الصف األول والعمود األول)‬ ‫‪ f‬‬ ‫المصفوفتان متساويتان ألن لهما نفس النظم وعناصرهما‬ ‫المتناظرة متساوية.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ 3 2٫0‬‫57٫0 1‬‫‪4 o‬‬ ‫5 ‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‌ أ إذا كان ‪  2- 0٫5 = D     ،  2- 1 o = C‬هل ‪D = C‬؟ فسر إجابتك.‬ ‫2‬ ‫3 4‬‫3 4‬ ‫ب إذا كانت ‪      b 2- 0 l = N     ،       b 2- 0 l = M‬هل ‪N = M‬؟ فسر إجابتك .‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫استخدام المصفوفات المتساوية في حل المعادالت‬ ‫‌ إذا كان: ‪2 l‬س-5‬ ‫3‬ ‫الحل‬ ‫4‬ ‫‪ 2 l‬س-5‬ ‫3 3 ص +21‬ ‫‪l=b‬‬ ‫52‬ ‫4‬ ‫‪l =b‬‬ ‫3ص + 21‬ ‫3‬ ‫52‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫ص +81‬ ‫4‬ ‫ص + 81‬ ‫‪  b‬فأوجد قيمتى س، ص.‬ ‫‪b‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫9‬
  • 17. ‫حيث أن المصفوفتين متساويتان، فيكون العناصر المتناظرة متساوية ونكتب:‬ ‫3ص + 21 = ص + 81‬ ‫ ، ‬ ‫2 س - 5 = 52‬ ‫3ص- ص = 81 - 21‬ ‫ ، ‬ ‫2 س     = 52 - 5‬ ‫ص     = 3‬ ‫ ، ‬ ‫2 س     = 02‬ ‫س       = 01‬ ‫الحل هو س = 01، ص = 3‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان ‪ l‬س + 8‬ ‫3‬ ‫5‬‫-ص‬ ‫‪l = b‬‬ ‫83‬ ‫3‬ ‫-5 ‪     b‬فأوجد قيمتى س، ص‬ ‫4ص-01‬ ‫1 ‌ تفكير ناقد: إذا كان (3س  س + ص  س - ع) = (-9  4  -01)   فأوجد قيم كل من س، ص، ع‬ ‫‪+C‬ب‬ ‫1 ‌ تفكير ناقد: إذا علم أن:‬ ‫‪ + C‬ب + جـ‬ ‫تعلم‬ ‫‪-C‬ب‬ ‫‪ - C‬ب + 2د‬ ‫= ‪ b 3- 9 l‬فأوجد قيم ‪ ،C‬ب، جـ، د‬ ‫7 5‬ ‫ة‬ ‫ضرب عدد حقيقي في مصفوف ‬ ‫‪Multipling a Real Number by a Matrix‬‬ ‫ضرب عدد حقيقي في مصفوفة يعنى ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في ذلك العدد الحقيقي أي أن:‬ ‫حاصل ضرب عدد حقيقي ك في مصفوفة ‪ C‬على النظم م * ن هي مصفوفة ج = ك ‪ C‬على نفس النظم م * ن كل‬ ‫و‬ ‫عنصر فيها جـ ص ع يساوى العنصر المناظر له في المصفوفة ‪ C‬مضروبا في العدد الحقيقي ك.‬ ‫ً‬ ‫أي: جـ ص ع = ك ‪ C‬ص ع   حيث ص =1، 2، .....، م ، ع = 1، 2، .....، ن‬ ‫الحظ أن:‬ ‫كس كص‬ ‫س ص‬ ‫‪l= b‬‬ ‫ك‪l‬‬ ‫كع كل‬ ‫ع ل‬ ‫‪b‬‬ ‫فمثال -2 4 1‬ ‫ً‬ ‫‪b 2- 8- l = b 1 * 2- 4 * 2- l = b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫5 -1‬ ‫01 2‬‫2 * 5 -2 * -1‬‫مـثـال‬ ‫‌ تخطط إحدى الكافيتريات لرفع ثمن كل مشروب مرة ونصف المرة. استخدم‬ ‫الئحة األسعار فى الجدول التالى إليجاد ثمن كل مشروب بعد الزيادة؟‬ ‫حجم صغير‬ ‫حجم كبير‬ ‫كوب لبن كامل الدسم‬ ‫57٫0 من الجنيه‬ ‫05٫1 من الجنيه‬ ‫كوب عصير مانجو‬ ‫09٫0 من الجنيه‬ ‫09٫1 من الجنيه‬ ‫كوب عصير برتقال‬ ‫01‬ ‫58٫0 من الجنيه‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫57٫1 من الجنيه‬
  • 18. ‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫الحل‬ ‫57٫0‬ ‫05٫1‬ ‫09٫0‬ ‫09٫1‬ ‫58٫0‬ ‫5٫1 * 57٫0 5٫1 * 05٫1‬ ‫=‬ ‫57٫1‬ ‫=‬ ‫521٫1 52٫2‬ ‫572٫1 526٫2‬ ‫ ‬ ‫5٫1‬ ‫ ‬ ‫سوف يصبح ثمن كوب اللبن من الحجم الصغير 521٫1 من الجنيه، ثمن كوب اللبن‬ ‫من الحجم الكبير 52٫2 من الجنيه، وسوف يصبح ثمن كوب عصير البرتقال من‬ ‫الحجم الصغير 572٫1 من الجنيه، وثمن كوب البرتقال من الحجم الكبير 526٫2،‬ ‫وسوف يصبح ثمن كوب عصير المانجو من الحجم الصغير 53٫1من الجنيه، وثمن‬ ‫كوب المانجو من الحجم الكبير 58٫2 من الجنيه.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫5٫1 * 09٫0 5٫1 * 09٫1‬ ‫51 -21 01‬ ‫02 -01 7‬ ‫-2 1 3‬ ‫‌‬ ‫1 إذا كان ‪= C‬‬ ‫تعلم‬ ‫5٫1 * 58٫0 5٫1 * 57٫1‬ ‫53٫1 58٫2‬ ‫فأوجد -5‪C‬‬ ‫مدور المصفوفة‬ ‫‪Transpose of a Matrix‬‬ ‫في أي مصفوفة ‪ C‬على النظم م * ن إذا استبدلنا الصفوف باألعمدة واألعمدة بالصفوف بنفس الترتيب فإننا نحصل‬ ‫على مصفوفة على النظم ن * م، وتسمى مدور المصفوفة ‪ ،C‬ويرمز لها بالرمز ‪ C‬مد ويتضح من التعريف أن (‪C‬مد)مد = ‪C‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد مدور كل من المصفوفات اآلتية:‬ ‫ ‬ ‫أ ‪=C‬‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫الحل‬ ‫2‬ ‫-1‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫-1‬ ‫1‬‫5‬ ‫3‬ ‫1 ‪ f‬‬‫5‬ ‫ ‬ ‫أ ‪ C‬مد   = ‪p‬‬ ‫ ‬ ‫ب ب مد = ‪ 2- p‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫6‬ ‫مد ‪3- l‬‬ ‫ج‍ ج   =‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫-1 ‪ b‬‬ ‫ ‬ ‫ب ب = (1  -2  6) ‬ ‫3 4‬‫ج‍‬ ‫‪l‬‬ ‫ ج = 2 -1‬ ‫‪b‬‬ ‫مصفوفة على النظم 3 * 2‬ ‫مصفوفة عمود على النظم 3 * 1‬ ‫مصفوفة مربعة على النظم 2 * 2‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫11‬
  • 19. ‫الم�صفوفات المتماثلة و�شبه المتماثلة‬ ‫‪Symmetric and Semi Symmetric Matrices‬‬ ‫إذا كانت ‪ C‬مصفوفة مربعة فإنها تسمى متماثلة إذا وفقط إذا كانت ‪C = C‬مد وتسمى شبه متماثلة إذا وفقط إذا كانت‬ ‫مد‬ ‫‪C- = C‬‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ هل المصفوفة ب = ‪p‬‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ب= ‪p‬‬ ‫0‬ ‫1‬‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫-3‬ ‫0‬ ‫1‬‫1‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫-3‬ ‫1‬‫3‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1‬‫1‬ ‫1‬‫3‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫-3‬ ‫‪ f‬متماثلة أم شبه متماثلة؟‬ ‫‪ f‬‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫-1‬ ‫ب مد = ‪p‬‬ ‫1‬ ‫3‬‫0‬ ‫1‬‫0‬ ‫3‬ ‫‪f‬‬ ‫-1‬ ‫ ‬ ‫ب مد = -1 * ‪p‬‬ ‫ ‬ ‫` ب مد = -ب فيكون ب = - ‪ D‬مد فتكون المصفوفة ب شبه متماثلة‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌‬ ‫1 هل المصفوفة ‪p = C‬‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫-1‬ ‫3 ‪-= f‬ب‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫1‬‫5‬ ‫6‬ ‫‪ f‬متماثلة أم شبه متماثلة؟‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫‌ أوجد قيمة كل من س، ص، ع في كل مما يأتى:‬ ‫س‬ ‫أ ‪l‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫1 ‪l =b‬‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫‪ b‬‬ ‫س‬ ‫ب ‪l‬‬ ‫0‬ ‫‌ بين أيا من المصفوفات اآلتية متماثلة وأيها شبه متماثلة:‬ ‫ًّ‬ ‫أ ‪p‬‬ ‫ ‬ ‫21‬ ‫1‬ ‫1‬‫4‬ ‫1‬‫2‬ ‫6‬ ‫4‬ ‫6‬ ‫5‬ ‫‪ f‬‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫ب ‬ ‫0‬ ‫5‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫1‬ ‫5‬‫2‬ ‫0‬ ‫1‬‫2‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫‪l =b‬‬ ‫0‬ ‫ص‬ ‫1‬‫1‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫ع‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫3 ‪ b‬‬
  • 20. ‫تافوفصم يف تانايبلا ميظنت‬ ‫نشاط‬ ‫الربط بالتكنولوجيا: استخدام الجداول اإللكترونية في تنظيم البيانات‬ ‫األدوات المستخدمة: برنامج الجداول اإللكترونية(‪)Excel‬‬ ‫‬ ‫استخدم الجداول اإللكترونية لتنظيم البيانات وعرضها وتحليلها، حيث يتم إدخالها في برنامج الجداول‬ ‫اإللكترونية في صفوف وأعمدة مثل المصفوفات، بعد ذلك يمكنك استخدامها في عمل الرسوم أو إيجاد‬ ‫الحسابات.‬ ‫مـثـال‬ ‫01 الربط بالتجارة: جمع مدير سوبر ماركت مبيعاته من السلع‬ ‫الغذائية بالكيلو جرام في أربعة أسابيع متتالية، ونظمها في‬ ‫الجدول المقابل، أدخل البيانات في برنامج الجداول اإللكترونية.‬ ‫1- استخدم العمود ‪ A‬للنوع والعمود ‪ B‬لمبيعات األسبوع األول ،‬ ‫والعمود ‪ C‬لمبيعات األسبوع الثانى، والعمود ‪ D‬لمبيعات األسبوع‬ ‫الثالث والعمود ‪ E‬لمبيعات األسبوع الرابع.‬ ‫مبيعات السوبر ماركت من بعض السلع الغذائية بالكيلو‬ ‫جرامات خالل 4 أسابيع متتالية‬ ‫النوع‬ ‫سكر‬ ‫زيت‬ ‫مكرونة‬ ‫دقيق‬ ‫زبدة‬ ‫ألبان‬ ‫شاي‬ ‫فول‬ ‫األسبوع‬ ‫األول‬ ‫43‬ ‫24‬ ‫06‬ ‫07‬ ‫52‬ ‫06‬ ‫22‬ ‫54‬ ‫األسبوع‬ ‫الثاني‬ ‫03‬ ‫84‬ ‫26‬ ‫57‬ ‫42‬ ‫63‬ ‫81‬ ‫53‬ ‫األسبوع‬ ‫الثالث‬ ‫72‬ ‫63‬ ‫45‬ ‫08‬ ‫02‬ ‫14‬ ‫03‬ ‫83‬ ‫األسبوع‬ ‫الرابع‬ ‫81‬ ‫23‬ ‫85‬ ‫27‬ ‫81‬ ‫77‬ ‫23‬ ‫04‬ ‫يحوي كل صف مبيعات النوع‬ ‫نفسه من السلعة الغذائية، ويمثل‬ ‫الصف الثانى مبيعات الزيت.‬ ‫81‬ ‫72‬ ‫03‬ ‫43‬ ‫ﺳــﻛــﺭ‬ ‫23‬ ‫63‬ ‫84‬ ‫24‬ ‫ﺯﻳﺕ‬ ‫85‬ ‫45‬ ‫86‬ ‫06‬ ‫ﻣﻛﺭﻭﻧﺔ‬ ‫27‬ ‫08‬ ‫57‬ ‫07‬ ‫ﺩﻗﻳﻕ‬ ‫81‬ ‫02‬ ‫42‬ ‫52‬ ‫ﺯﺑﺩﻩ‬ ‫77‬ ‫14‬ ‫63‬ ‫06‬ ‫23‬ ‫03‬ ‫81‬ ‫22‬ ‫ﺍﻟﺑﺎﻥ‬ ‫ﺷﺎﻯ‬ ‫04‬ ‫83‬ ‫53‬ ‫54‬ ‫ﻓﻭﻝ‬ ‫تحتوي كل خلية في الجدول جزءا‬ ‫ً‬ ‫واحدً ا من البيانات، حيث تحتوي‬ ‫الخلية 7‪ D‬على القيمة 03، والتي‬ ‫تمثل عدد الكيلو جرامات المبيعة‬ ‫في األسبوع الثالث من الشاي.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌‬ ‫1 قارن بين تنظيم البيانات في الجداول اإللكترونية وتنظيمها في مصفوفة.‬ ‫‌‬ ‫1 عند استخدامك لألمر (‪ )sum‬يمكنك إيجاد مجاميع مدخالت الصفوف واألعمدة في الجداول اإللكترونية.‬ ‫يمكنك إيجاد مجاميع مدخالت الصفوف من 1 إلى 8 بإدخال الصيغة )8‪ = sum (F1:F‬ماذا تمثل هذه المجاميع؟‬ ‫ ‬ ‫‌‬ ‫1 اختر إحدى المسائل التي درستها في هذا الدرس، وتحقق من صحة إجاباتك باستخدام الجداول اإللكترونية‬ ‫(يمكنك استخدام برنامج (‪.))EXCEL‬‬ ‫‌‬ ‫1 مسألة مفتوحة: أنشئ مصفوفة باستخدام بيانات حياتية تكون مجاميع عناصر أعمدتها ذات معنى،‬ ‫ومجاميع عناصر صفوفها لها معنى أيضا، أدخل بيانات المصفوفة على برنامج الجداول اإللكترونية، وتحقق‬ ‫ً‬ ‫من صحة المجاميع التى حصلت عليها، ثم فسر ماذا تعنى مجاميع كل من األعمدة والصفوف.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫31‬
  • 21. ‫جمع وطرح المصفوفات‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Adding and subtracting Matrices‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫عمل تعاونى‬ ‫مجع املصفوفات.‬ ‫الربط باالحصاء: اعمل مع زميل لك . استخدم المعلومات في الجدول التالي:‬ ‫طرح املصفوفات.‬ ‫السنة‬ ‫1102‬ ‫2102‬ ‫3102‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫مجع املصفوفات‬ ‫‪Adding matrices‬‬ ‫طرح املصفوفات‬ ‫‬ ‫‪Subtracting matrices‬‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة بيانية‬ ‫الوسط الحسابى للدرجات‬ ‫رياضيات‬ ‫علوم‬ ‫إناث‬ ‫ذكور‬ ‫إناث‬ ‫ذكور‬ ‫754‬ ‫205‬ ‫024‬ ‫824‬ ‫064‬ ‫105‬ ‫124‬ ‫524‬ ‫364‬ ‫305‬ ‫624‬ ‫924‬ ‫1- أ أوجد مجموع درجات الوسطين الحسابيين للذكور في كل سنة في الجدول.‬ ‫ب أوجد مجموع درجات الوسطين الحسابيين لإلناث في كل سنة في الجدول.‬ ‫ ‬ ‫2- أ اكتب مصفوفة تمثل الوسط الحسابي لدرجات مادة العلوم للذكور‬ ‫واإلناث. ضع عنوانًا للمصفوفة وصفوفها وأعمدتها.‬ ‫ب ما نظم المصفوفة؟‬ ‫ ‬ ‫3- أ اكتب مصفوفة تمثل الوسط الحسابى لدرجات الرياضيات للذكور‬ ‫واإلناث. ضع عنوانًا للمصفوفة وصفوفها وأعمدتها.‬ ‫ب ما نظم المصفوفة ؟‬ ‫ ‬ ‫4- بفحص إجابتك عن السؤال رقم (1) والمصفوفات التى كتبتها في السؤالين (2)،‬ ‫ ‬ ‫(3)، اكتب مصفوفة ثالثة تمثل مجموع درجات الوسطين الحسابيين للذكور‬ ‫واإلناث. ضع عنوانًا للمصفوفة وصفوفها وأعمدتها، ما نظم المصفوفة؟‬ ‫5- استخدم مالحظاتك، وأى أنماط تراها لصياغة طريقة لجمع المصفوفات.‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫جمع المصفوفات‬ ‫‪Adding Matrices‬‬ ‫نريد أحيانا ان نجمع أو نطرح مصفوفات، لكى نحصل على معلومات جديدة.‬ ‫لتحصل على مصفوفة الجمع، اجمع العناصر المتناظرة.‬ ‫أى أن: إذا كانت ‪ D ،C‬مصفوفتين على النظم م * ن، فإن ‪ + C‬ب هى مصفوفة أيضا على‬ ‫ً‬ ‫النظم م * ن ويكون كل عنصر فيها هو مجموع العنصرين المتناظرين في ‪ ،C‬ب.‬ ‫41‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 22. ‫تافوفصملا حرطو عمج‬ ‫مـثـال‬ ‫0 2‬ ‫‌ إذا كان ‪ ، b 3 1- l = C‬ب = ‪ b 2- 7 l‬فأوجد: ‪.D + C‬‬ ‫1 -4‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫0 2‬ ‫7‬ ‫2 ‪ b‬‬‫‪ + C‬ب =‪l + b 3 1- l‬‬ ‫1 -4‬ ‫(بالتعويض عن ‪ ،C‬ب)‬ ‫2+ (-2) ‬ ‫0+7‬ ‫   =‬ ‫1 + 1 3 + (-4)‬‫7 0‬ ‫‪b‬‬ ‫ = ‪l‬‬ ‫ ‬ ‫0 -1‬ ‫(بجمع العناصر المتناظرة)‬ ‫(بسط)‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ، b 1- 4- l = C‬ب = ‪ ، b 7- 2 l‬جـ = ‪ b 7 l‬أوجد كال ممايأتي إن أمكن:‬ ‫ً‬ ‫3 -7‬‫4‬ ‫8 -1‬ ‫ب ‪ + C‬جـ‬ ‫أ ‬ ‫‪+C‬ب‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ت‬ ‫خواص جمع المصفوفا ‬ ‫‪Properties of Adding Matrices‬‬ ‫نفرض ‪ ، C‬ب ، ج ثالث مصفوفات من النظم م * ن وأن‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫مصفوفة صفرية على نفس النظم فإن:‬ ‫1- خاصية اإلنغالق: ‪ + C‬ب تكون مصفوفة على النظم م * ن‬ ‫مصفوفة على النظم 2 * 2، ب = 7‬ ‫إذا كانت ‪2 1- = C‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫2 0‬‫0 3‬ ‫فإن    ‪ + C‬ب = ‪ b 4 6 l = b 2 7 l + b 2 1- l‬مصفوفة على النظم 2 * 2‬ ‫0 3‬ ‫2 0‬‫-2 3‬ ‫2- خاصية اإلبدال: ‪ + C‬ب = ب + ‪C‬‬ ‫واآلن: إذا كان ‪ ، b 1- 3 l = C‬ب = ‪  b 5 6 l‬فبين أن  ‪ + C‬ب = ب + ‪C‬‬ ‫4‬ ‫-2 3‬ ‫0‬ ‫3- خاصية الدمج: (‪ + C‬ب) + ج = ‪( + C‬ب + ج)‬ ‫واآلن: إذا كان ‪ ، b 1- 3 l = C‬ب = ‪ ، b 5 6 l‬ج = ‪  b 4 2 l‬فبين أن (‪ + )D + C‬ج = ‪ + D( + C‬ج)‬ ‫4‬ ‫0‬ ‫4- خاصية المحايد الجمعى:  ‪+ C‬‬ ‫ ‬ ‫0 0 0‬ ‫1 2 3‬ ‫فمثالً: ‪+ f 4 5- 6 p‬‬ ‫ ‬ ‫‪0 0 0 p‬‬ ‫0 0 0‬ ‫7 8 -9‬ ‫-2 3‬ ‫=‬ ‫+‪C=C‬‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫-1 -3‬ ‫فمثال 3‬ ‫ً‪l‬‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫0‬ ‫7‬ ‫8 -9‬ ‫‪p = f 4 5- 6 p + f 0 0 0 p = f‬‬ ‫5- خاصية المعكوس (النظير)الجمعي:  ‪= C + )C-( = )C-( + C‬‬ ‫حيث (-‪ )C‬النظير الجمعى للمصفوفة ‪C‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫2 ‪ b‬مصفوفة على النظم 2 * 2‬ ‫5 2 + ‪0 = b 2- 5- 3- l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫2 0 5‬‫0‬ ‫0 -5‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1 2 3‬ ‫6 -5 4‬ ‫7 8 -9‬ ‫0  حيث ‪3 - = b 2- 5- 3- l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫2 0 5‬‫2‬ ‫0‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫‪f‬‬ ‫5 2‬ ‫0 -5‬ ‫‪b‬‬ ‫51‬
  • 23. ‫تعلم‬ ‫طرح المصفوفات ‬ ‫إذا كانت كل من المصفوفتين ‪ ،C‬ب على النظم م * ن فإن المصفوفة ج = ‪ - C‬ب = ‪-( + C‬ب) حيث ج مصفوفة‬ ‫علي النظم م * ن ، (-ب) هى معكوس للمصفوفة ب بالنسبة لعملية جمع المصفوفات.‬ ‫فمثالً: ‪ C l‬ب ‪ l - b‬س ص ‪ C l = b‬ب ‪- l + b‬س -ص ‪ - C l = b‬س ب - ص ‪b‬‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫جـ - ع ‪ - E‬ل‬ ‫ع ل‬ ‫ع -ل‬‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ، b 11 4- 7 l = C‬ب = ‪ b 2 9 5 l‬أثبت أن ‪ - C‬ب ! ب - ‪.C‬‬ ‫6 5 -1‬ ‫8 -7 -3‬ ‫الحل‬ ‫7‬ ‫ ‬ ‫‪-C‬ب= ‪l‬‬ ‫6‬ ‫    = 7‬ ‫ ‬ ‫‪l‬‬ ‫6‬ ‫    = 2‬ ‫ ‬ ‫‪l‬‬ ‫-2‬ ‫4‬‫5‬ ‫4‬‫5‬ ‫31‬‫-2‬ ‫11‬ ‫‪b‬‬ ‫1‬‫11‬ ‫‪b‬‬ ‫1‬‫9 ‪b‬‬ ‫-4‬ ‫5 9 2‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬‫8 -7 -3‬ ‫+ ‪b 2- 9- 5- l‬‬ ‫-8 7 3‬ ‫ب - ‪l =  C‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫(1) ‬ ‫    = ‪l‬‬ ‫    = ‪l‬‬ ‫5‬ ‫8‬ ‫5‬ ‫8‬ ‫2‬‫2‬ ‫9‬ ‫7‬‫9‬ ‫7‬‫31‬ ‫-21‬ ‫2 - 7‬ ‫‪l b‬‬ ‫3‬‫6‬ ‫2 + ‪7- l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫6‬‫3‬‫9 ‪b‬‬‫-2‬ ‫4‬‫5‬ ‫4‬ ‫-5‬ ‫11‬ ‫1‬‫11 ‪b‬‬‫1‬ ‫‪b‬‬ ‫(2)‬ ‫من (1)، (2) نالحظ أن: ‪ - C‬ب ! ب - ‪( C‬عملية طرح المصفوفات ليست إبدالية)‬ ‫ ‬ ‫فكر: هل عملية طرح المصفوفات دامجة؟‬ ‫ ‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ إذا كانت ‪ ، b 1- 5 2 l = C‬ب = ‪ ، b 3 4 1- l‬ج = ‪ b 2- 1- 6 l‬أوجد المصفوفة 2‪5 + D 3 - C‬ج‬ ‫الحل‬ ‫9 -2 5‬ ‫3 -4 6‬ ‫-3 5‬ ‫4‬ ‫2 * -1 = 4 01‬ ‫2 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫6 -8‬ ‫21‬ ‫2*6‬ ‫3 * 3 = -3 21 9‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l b‬‬ ‫72 -6 51‬ ‫3*5‬ ‫2‪5 * 2 2 * 2 l = b 1- 5 2 l 2 =       C‬‬ ‫ ‬ ‫2 * 3 2 * -4‬ ‫3 -4 6‬ ‫3ب = 3 ‪4 * 3 1-* 3 l = b 3 4 1- l‬‬ ‫ ‬ ‫9 -2 5‬ ‫3 * 9 3 * -2‬ ‫3ب = 3‬‫ ‬ ‫21 -9 ‪b‬‬‫‪l‬‬ ‫72 6 -51‬‫5ج = 5 6 -1 -2 = 5 * 6 5 * -1 5 * -2 = 03‬ ‫ ‬ ‫5 -01 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫‪l b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫51‬‫52 02‬ ‫5 * -3 5 * 5 5 * 4‬ ‫3 5 4‬‫` 2 ‪3 - C‬ب + 5 ج = 4 01 -2 + 3 -21 -9 + 03‬ ‫5 -01 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫‪l b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫51 52 02‬‫72 6 -51‬‫6 -8 21‬ ‫       = 4 +3 + 03 01 - 21 -5 -2 - 9 - 01 = 73‬ ‫ ‬ ‫7 -12 ‪b‬‬‫‪l b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫63‬‫32 71‬ ‫6 - 72 - 51 -8 + 6 + 52 21 - 51 + 02‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ إذا كان ‪ ، b 1- 2 l = C‬ب = ‪ ، b 4 1- l‬ج = ‪ b 3- 1 l‬فأوجد المصفوفة 2‪4 + D3 - C‬ج‬ ‫-3 5‬ ‫61‬ ‫6 -2‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫0‬ ‫3‬
  • 24. ‫تافوفصملا حرطو عمج‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‌ أوجد قيمة كل ممايأتى:‬ ‫2‬ ‫‪l‬‬ ‫9‬ ‫أ‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫‪4- l‬‬ ‫1‬ ‫‪+b‬‬ ‫1‬ ‫-1‬ ‫3‬ ‫0‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫2‬ ‫‪l‬‬ ‫‌ إذا كانت‪4 = C‬‬ ‫1‬ ‫-2 ‪ b‬‬ ‫1‬ ‫1 ‪ ، b‬ب = ‪l‬‬‫0‬ ‫0‬ ‫ب ‪p‬‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫أ أوجد ‪ - C‬ب ، ب - ‪ . C‬‬ ‫ماذا تالحظ؟‬ ‫3 ‪b‬‬‫1‬ ‫3 4‬‫3 -3‬ ‫0 4 ‪1- 5 p - f‬‬ ‫2 2‬ ‫5 2‬ ‫‪f‬‬ ‫ب تحقق من أن - (‪ + C‬ب) = (-‪-( + )C‬ب)‬ ‫نشاط‬ ‫الربط بالتكنولوجيا: يمكنك استخدام اآللة الحاسبة لجمع أو طرح المصفوفات، على اآللة الحاسبة تسمى‬ ‫المصفوفة باستخدام متغير، بعض اآلالت الحاسبة تضع أقواس [ ] حول‬ ‫تذكر‬ ‫المتغير لتوضيح المصفوفة، قبل إدخال القيم للمصفوفة، يجب أن تدخل‬ ‫تذكر أن [‪ ]B] ،[A‬يمكن‬ ‫جمعها وطرحها ألنهما على‬ ‫نظم المصفوفة‬ ‫ ‬ ‫[‪[ = ]A‬‬ ‫4]‬ ‫[‪[ = ]B‬‬ ‫3 2 1 ‬ ‫5‬ ‫6‬ ‫9‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫7‬ ‫نفس النظم 3 × 2‬ ‫16 ]‬ ‫تتابع المفاتيح الموضح أدناه هو إلدخال وجمع مصفوفتين، إجر كل الخطوات للمصفوفة ‪ ،A‬ثم للمصفوفة ‪B‬‬ ‫مصفوفة [‪]A‬‬ ‫مصفوفة [‪]B‬‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫(-)‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫9‬ ‫‪Enter‬‬ ‫6‬ ‫4‬ ‫‪Enter‬‬ ‫(-)‬ ‫1‬ ‫‪Quit‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫1‬ ‫$‬ ‫إلدخال القيم في الصف األول‬ ‫‪Enter‬‬ ‫4‬ ‫$‬ ‫إلدخال القيم في الصف الثاني‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫3‬ ‫‪Enter‬‬ ‫3‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫7‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫2‬ ‫$‬ ‫إلدخال نظم المصفوفة‬ ‫1‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫$‬ ‫إلضافة مصفوفة‬ ‫6‬ ‫2‬ ‫‪Enter‬‬ ‫5‬ ‫‪Enter‬‬ ‫‪2nd‬‬ ‫‪Quit‬‬ ‫1‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫+‬ ‫‪Matrx‬‬ ‫]‪[A] + [b‬‬ ‫]5 1 1 7[[‬ ‫]]1- 9 3[‬ ‫2‬ ‫‪$ 2nd‬‬ ‫‪Enter‬‬ ‫ ‬ ‫[‬ ‫8٫3 1٫2‬ ‫]‬ ‫أ [‪= ]B] ،  0٫8- 1٫5 = [A‬‬ ‫-4٫1 9٫1‬ ‫[‬ ‫ $             لجمع[‪]B] ،[A‬‬ ‫   $    سوف تعرض اآللة الحاسبة مجموع المصفوفتين‬ ‫1- واآلن: استخدم اآللة الحاسبة إليجاد: [‪]A] - [B] ،[A] + [B‬‬ ‫ ‬ ‫1.1 -4.1‬ ‫6.0 1.‬ ‫-7.1 8.0‬ ‫للذهاب إلى‬ ‫(‪)home screen‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫7‬ ‫5‬ ‫-4‬ ‫6‬ ‫-7 -6‬ ‫] [‬ ‫ ب [‪= ]B]  ، 10- 9- 4 = [A‬‬ ‫5 8 31‬‫4 11 7‬ ‫-51 6 -8‬ ‫]‬ ‫2- هل التغيير في ترتيب المصفوفات يؤثر على الناتج عند جمع المصفوفات؟ وعند طرح المصفوفات؟ فسر إجابتك.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫71‬
  • 25. ‫ضرب المصفوفات‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫عمل تعاونى‬ ‫ رضب املصفوفات.‬ ‫خواص رضب املصفوفات.‬ ‫مدور حاصل رضب مصفوفتني.‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫رضب املصفوفات‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬ ‫‬ ‫مدور مصفوفة‬ ‫‪Transpose of matrix‬‬ ‫‬ ‫اعمل مع زميل لك. استخدم البيانات‬ ‫في الجدول المقابل:‬ ‫ثمن الوجبة بالجنيهات‬ ‫1- ما ثمن وجبات الغذاء(1)؟ وجبات‬ ‫ ‬ ‫001‬ ‫05‬ ‫عدد الوجبات المباعة‬ ‫الغذاء(2)؟ وجبات الغذاء (3)؟‬ ‫2- أ ما مجموع ثمن جميع الوحدات المباعة من الوجبات الثالثة ؟‬ ‫ب وضح كيف استخدمت بيانات الجدول إليجاد اإلجابة.‬ ‫ ‬ ‫وجبة وجبة وجبة‬ ‫(1) (2) (3)‬ ‫2‬ ‫05٫3 57٫2‬ ‫57‬ ‫3- أ اكتب مصفوفة 1 * 3 لتمثل ثمن كل وجبة مباعة.‬ ‫ب اكتب مصفوفة 3 * 1 لتمثل عدد الوجبات المباعة.‬ ‫ ‬ ‫ج‍ الكتابة: استخدم الكلمات صف، عمود ، عنصر لوصف إجراءات‬ ‫ ‬ ‫استخدام المصفوفات التى حصلت عليها إليجاد عدد الجنيهات التى تبيع‬ ‫بها الكافتيريا الوجبات الثالث.‬ ‫واآلن: لكي نقوم بضرب المصفوفات، اضرب عناصر كل صف من المصفوفة‬ ‫األولى في عناصر كل عمود من المصفوفة الثانية، ثم اجمع حواصل الضرب.‬ ‫فمثال إليجاد حاصل ضرب: ‪ ، 2 0 = C‬ب = 5 0‬ ‫ً‬ ‫‪l‬‬ ‫‪f 3- 2- p‬‬ ‫1 1‬‫1 4‬ ‫‪b‬‬ ‫نضرب ‪ 11C‬فى ب11، ثم نضرب ‪ 21C‬فى ب21 ثم نجمع حاصل الضرب‬ ‫0‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة علمية‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫0‬ ‫الناتج هو العنصر في الصف األول والعمود األول. كرر الخطوات نفسها مع باقي‬ ‫الصفوف واألعمدة.‬ ‫0 2‬ ‫‪= b 0 5 l f 3- 2- p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫-1 1‬ ‫‪p‬‬ ‫81‬ ‫2‬ ‫‪p = b 1 1- l f 3- 2- p‬‬ ‫؟‬ ‫‪2- = )1-( * 2+ 5 * )0(     f‬‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫2‬‫1‬ ‫4‬ ‫2‬ ‫3‬‫4‬ ‫‪f‬‬ ‫-2 ؟‬ ‫2 2‬‫5 0‬ ‫‪l‬‬ ‫‪ p= b‬؟‬ ‫-1 1‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫‪2 = )1()2( + )0()0(     f‬‬ ‫‪7-= )1-()3-( + )5()2-(     f‬‬
  • 26. ‫تافوفصملا برض‬ ‫ ‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫0 2‬ ‫2 -3‬‫1 4‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫2‬‫1‬ ‫‪f‬‬ ‫2 2‬‫5 0‬ ‫‪ 7- p = b 1 1- l‬؟‬ ‫‪p‬‬ ‫‪f‬‬ ‫0 2‬ ‫2 -3‬‫1 4‬ ‫(-2)(0) + (-3)(1) =-3 ‬ ‫2‬ ‫2 2‬‫5 0‬ ‫3 ‪3- 7- p = b 1 1- l f‬‬‫4‬ ‫؟‬ ‫(1)(5) + (4)(-1)= 1‬ ‫‪p‬‬ ‫‪f‬‬ ‫0 2‬ ‫2 -3‬‫1 4‬ ‫‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫2 2‬‫‪  f 3- 7- p = b 0 5 l‬‬ ‫1 1‬‫1‬ ‫(1)(0)+(4)(1)=4‬ ‫2 2‬‫‪3- 7- p = b 0 5 l‬‬ ‫1 1‬‫1 4‬ ‫‪f‬‬ ‫ ‬ ‫4- صف نموذجا للصفوف واألعمدة الملونة.‬ ‫ً‬ ‫5- أ ما نظم المصفوفات األصلية في المثال السابق، ومانظم مصفوفة الضرب؟‬ ‫ ‬ ‫ب تفكير ناقد: كيف نقارن نظم مصفوفة الضرب بنظم المصفوفات األصلية؟‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ضرب المصفوفات‬ ‫‪Multiplying matrices‬‬ ‫يمكنك ضرب مصفوفتين إذا وفقط إذا كان عدد‬ ‫أعمدة المصفوفة األولى يساوى عدد صفوف‬ ‫المصفوفة الثانية، وعند ضرب المصفوفة ‪ C‬على‬ ‫النظم م * ن بالمصفوفة ب على النظم ن * ل فإن‬ ‫الناتج هو المصفوفة ‪ D C‬على النظم م * ل فمثالً:‬ ‫مصفوفة ‪C‬‬ ‫3 صفوف ‪p‬‬ ‫1 2‬‫3 -4‬ ‫5 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪f‬‬ ‫صفان‬ ‫عمودان‬ ‫مـثـال‬ ‫ ‬ ‫مصفوفة ب‬ ‫3 -4 5‬ ‫‪l‬‬ ‫7 8 9‬ ‫‪b‬‬ ‫3 أعمدة‬ ‫متساويان‬ ‫نظم مصفوفة الضرب 3 * 3‬ ‫‌ حدد ما إذا كانت مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب معرفة في كل حالة أم ال.‬ ‫أ إذا كانت المصفوفة ‪ C‬على النظم 3 * 4، والمصفوفة ب من النظم 4 * 2‬ ‫ب إذا كانت المصفوفة ‪ C‬على النظم 5 * 3، والمصفوفة ب من النظم 5 * 2‬ ‫الحل‬ ‫أ بما أن عدد أعمدة المصفوفة ‪ C‬يساوى عدد صفوف المصفوفة ب،‬ ‫ فإن مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب معرفة وتكون على النظم 3 * 2‬ ‫ب بما أن عدد أعمدة المصفوفة ‪ C‬اليساوى عدد صفوف المصفوفة ب،‬ ‫‪     .    C‬ب   =          ‪ C‬ب‬ ‫3*4‬ ‫فإن مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب غير معرفة.‬ ‫متساويان‬ ‫3*2‬ ‫4*2‬ ‫3*2‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫‌ حدد ما إذا كانت مصفوفة حاصل الضرب ‪ C‬ب معرفة في كل حالة أم ال موضحا السبب.‬ ‫ً‬ ‫أ إذا كانت المصفوفة ‪ C‬من النظم 3 * 2، والمصفوفة ب على النظم 2 * 3‬ ‫ب إذا كانت المصفوفة ‪ C‬من النظم 1 * 3 والمصفوفة ب على النظم 1 * 3‬ ‫ ‬ ‫من تعريف ضرب المصفوفات يتضح إنه من الممكن أن تكون ‪ C‬ب معرفة بينما ب ‪ C‬غير معرفة، وبصفة عامة‬ ‫إذا كانت كل من ‪ C‬ب، ب ‪ C‬معرفتين فإن ‪ C‬ب ليست بالضرورة تساوى ب ‪ C‬حتى وإن تساويتا في نفس النظم.‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫91‬
  • 27. ‫مـثـال‬ ‫1 -1 2‬ ‫‌ إذا كان ‪3 0 1- p = C‬‬ ‫0 1 4‬ ‫الحل‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪  ،   f‬ب = ‪p‬‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫1 0‬ ‫4 1‬ ‫0 -1‬ ‫‪ f‬فأوجد كال من ‪ C‬ب ، ب ‪ .C‬ماذا تالحظ؟‬ ‫ًّ‬ ‫‪ C a‬على النظم 3 * 3، ب على النظم 3 * 3 فإن ‪ D C‬معرفة (ألن عدد أعمدة ‪ C‬يساوى عدد صفوف ب)‬ ‫وتكون مصفوفة حاصل الضرب على النظم 3 * 3‬ ‫2 1‬ ‫1 -1 2‬ ‫‪ C‬ب = ‪4 3 p f 3 0 1- p‬‬ ‫0 1 4‬ ‫5 0‬ ‫1 * 2 + (-1) * 3 + 2 * 5‬ ‫       = ‪5 * 3 + 3 * 0    +  2 * 1- p‬‬ ‫0 * 2  +  1       * 3 + 4 * 5‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫0‬ ‫1 ‪f‬‬ ‫1‬‫1  * 1 + (-1) * 4 + 2 * 0 1  * 0 + (-1) * 1 + 2 * (-1)‬ ‫1 * 1 +  0   * 4 + 1 *0 -1  * 0 +      0      * 1 + 3 * (-1)‬‫  0   * 1 +  1  * 4 + 4 *0 0   * 0 +      1       * 1 + 4 * (-1)‬ ‫9 -3 -3‬ ‫‪f 3- 1- 13 p = f‬‬ ‫32 4 -3‬ ‫‪ a‬ب على النظم 3 * 3 ‪ C‬على النظم 3 * 3 فإن ب ‪ C‬معرفة (ألن عدد أعمدة ب يساوى عدد صفوف ‪ )C‬وتكون‬ ‫مصفوفة حاصل الضرب على النظم 3 * 3‬ ‫2 1 0‬ ‫1 -1‬ ‫ب‪0 1- p f 1 4 3 p = C‬‬ ‫5 0 -1‬ ‫0 1‬ ‫2 * 1 + 1 * -1 + 0    * 0‬ ‫    = ‪0 *  1 + 1- * 4 + 1 * 3 p‬‬ ‫5 * 1 + 0 * -1 + (-1) * 0‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫2‬ ‫3 ‪f‬‬ ‫4‬ ‫2 * -1 + 1 * 0 + 0 *1‬ ‫3 * -1 + 4 * 0 + 0 * 1‬ ‫5 * -1 + 0 * 0 + 0 * 1‬ ‫1 -2 7‬ ‫2 * 2 + 1 * 3 +   0 * 4‬ ‫3 * 2 + 4 * 3 +     1 * 4 ‪= f‬‬ ‫‪f 22 3- 1- p‬‬ ‫5 -5 6‬ ‫5 * 2 + 0 * 3 + -1 * 4‬ ‫نالحظ أن ‪ C‬ب ! ب ‪   C‬يمكن استخدام ضرب المصفوفات في بعض المواقف الحياتية.‬ ‫مـثـال‬ ‫غرفة‬ ‫غرفة‬ ‫بسرير بسريرين‬ ‫46‬ ‫82‬ ‫‌ الربط بالسياحة: لدى كة سياحية 3 فنادق بمدينة الغردقة‬ ‫شر‬ ‫ ‬ ‫يبين الجدول المقابل عدد الغرف المختلفة في كل فندق، فإذا كانت الزهرة‬ ‫59‬ ‫األجرة اليومية للغرفة التى تحتوى على سرير واحد 052 جنيها، وللغرفة اللؤلؤة 53‬ ‫ً‬ ‫08‬ ‫02‬ ‫الماسة‬ ‫التى تحتوي على سريرين 054 جنيها، وللجناح 006 جنيها.‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫أ اكتب مصفوفة تمثل عدد الغرف المختلفة في الثالثة فنادق، ثم اكتب مصفوفة أسعار الغرف.‬ ‫ ‬ ‫ب‬ ‫ اكتب مصفوفة تمثل الدخل اليومي كة، على فرض أن جميع الغرف تم شغلها.‬ ‫للشر‬ ‫ ‬ ‫كة على فرض أن جميع الغرف تم شغلها؟‬ ‫ج‍ ما الدخل اليومى للشر‬ ‫ ‬ ‫الفندق‬ ‫ ‬ ‫الحل‬ ‫أ نكتب مصفوفة عدد الغرف ‪ C‬كاآلتي: ‬ ‫ ‬ ‫وتكتب مصفوفة أسعار الغرف ‪ D‬كاآلتى‬ ‫ ‬ ‫82 46 8‬ ‫‪20 95 35 p =    C‬‬ ‫02 08 51‬ ‫052‬ ‫ب = ‪f 450 p‬‬ ‫006‬ ‫جناح‬ ‫8‬ ‫02‬ ‫51‬ ‫‪f‬‬ ‫ونالحظ أننا قد كتبنا المصفوفتين بحيث يكون عدد الصفوف في المصفوفة ‪ C‬مساو يا لعدد األعمدة في المصفوفة‬ ‫ً‬ ‫ب، حتى يمكن إجراء عملية الضرب ، إيجاد المطلوب في البندين (ب)، (جـ).‬ ‫02‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 28. ‫تافوفصملا برض‬ ‫82 46 8‬ ‫052‬ ‫ب مصفوفة الدخل اليومى للشر‬ ‫ ‬ ‫كة هي المصفوفة ‪450 p f 20 95 35 p = D C‬‬ ‫‪f‬‬ ‫02 08 51‬ ‫006‬ ‫00604‬ ‫82 * 052 + 46 * 054 + 8 * 006‬ ‫ ‬ ‫  = ‪63500 p = f 600 * 20 + 450 * 95 + 250 * 35 p‬‬ ‫00005‬ ‫02 * 052 + 08 * 054 + 51 * 006‬ ‫ج‍ الدخل اليومى كة = 00604 + 00536 + 00005 = 001451 جنيه‬ ‫للشر‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ت‬ ‫خواص عملية ضرب المصفوفا ‬ ‫‪f‬‬ ‫‪Properties of Matrix Multiplication‬‬ ‫من تعريف عمليتى جمع وضرب المصفوفات، مع افتراض تحقق الشروط الالزمة للتعريفين: يمكن استنتاج‬ ‫الخواص التالية:‬ ‫1- خاصية الدمج:‬ ‫ ‬ ‫(‪ C‬ب) ج = ‪( C‬ب ج)‬ ‫واألن إذا كان:‬ ‫1 0‬ ‫‪ ، b 2- 1 l = C‬ب = ‪ ، b 1 0 2 l‬ج = ‪ f 2 3 p‬أوجد (‪ C‬ب) ج، ‪( C‬ب ج). ماذا تالحظ؟ هل عملية‬ ‫1 1 -2‬ ‫3 1‬ ‫2 -1‬ ‫ضرب المصفوفات دامجة؟‬ ‫2- خاصية المحايد الضربى ‬ ‫‪C = C I = I C‬‬ ‫واآلن إذا كان ‪ b 3- 2 l = C‬فبرهن أن: ‪ C =CI= IC‬‬ ‫-1 5‬ ‫حيث ‪ I‬هي مصفوفة الوحدة‬ ‫حيث ‪ I‬هي مصفوفة الوحدة‬ ‫3- خاصية توزيع ضرب المصفوفات على جمعها.‬ ‫واآلن إذا كان ‪1 = C‬‬ ‫‪l‬‬ ‫3‬ ‫2 ، ب = ‪ ، b 2- 1 l‬ج = 3 1‬ ‫‪l‬‬ ‫‪b‬‬ ‫5 4‬ ‫3 0‬‫4‬ ‫إثبت أن: أ ‪(C‬ب + ج) = ‪C‬ب + ‪C‬ج‬ ‫ن‬ ‫مدور حاصل ضرب مصفوفتي ‬ ‫ ‬ ‫‪(C‬ب + ج) = ‪ C‬ب + ‪ C‬ج‬ ‫(‪ + C‬ب) ج = ‪ C‬ج + ب ج‬ ‫‪b‬‬ ‫ب (ب + ج) ‪ = C‬ب ‪ + C‬ج‪C‬‬ ‫‪Transpose of the product of two matrices‬‬ ‫من تعريف مدور المصفوفة وتعريف ضرب المصفوفات يمكن استنتاج الخاصية التالية: (‪ C‬ب)مد = ب ‪C‬‬ ‫1‬ ‫واآلن إذا كانت ‪l = C‬‬ ‫3‬ ‫1 2‬‫2 -1 ‪ ، b‬ب = ‪   ، f 1- 1 p‬أثبت أن: (‪ C‬ب) = ب ‪C‬‬ ‫1 5‬ ‫4 3‬ ‫مد‬ ‫مد مد‬ ‫مد مد‬ ‫تحقق من فهمك‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫حدد ما إذا كانت مصفوفة حاصل الضرب ‪C‬ب معرفة فى كل ممايأتي أم ال، وإذا كانت معرفة فأوجد نظم‬ ‫المصفوفة الناتجة:‬ ‫أ المصفوفة ‪ C‬على النظم 3 * 1، والمصفوفة ب على النظم 2 * 3‬ ‫ب المصفوفة ‪ C‬على النظم 3 * 3، والمصفوفة ب على النظم 2 * 2‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫12‬
  • 29. ‫المحددات‬ ‫1 ‍‬ ‫‪Determinants‬‬ ‫سوف تتعلم‬ ‫حمدد املصفوفة املربعة من الرتبة‬ ‫الثانية.‬ ‫حمدد املصفوفة املربعة من الرتبة‬ ‫الثالثة.‬ ‫حمدد املصفوفة املثلثية.‬ ‫إجياد مساحة املثلث باستخدام‬ ‫املحددات.‬ ‫حل نظام من املعادالت اخلطية‬ ‫بطريقة كرامر.‬ ‫فكر‬ ‫1- ما المصفوفة المربعة؟‬ ‫2- اكتب مصفوفة مربعة من النظم 2 * 2، ومن النظم 3 * 3‬ ‫3- إذا كانت أ مصفوفة مربعة من النظم 2 * 2 حيث: ‪ b 5 2 l = C‬فإن محدد‬ ‫1 7‬ ‫المصفوفة ‪ C‬هو العدد المعرف كاآلتي:‬ ‫ |‪9 = 5 - 14 = 5 * 1- 7 * 2 = |C‬‬ ‫ما محدد كل من المصفوفات التالية؟‬ ‫ ‬ ‫ب= 1‬ ‫‪l‬‬ ‫3‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫ُ‬ ‫ُ‬ ‫المصطلحات األساسيّة‬ ‫حمدد‬ ‫‪Determinant‬‬ ‫حمدد الرتبة الثانية‬ ‫‬ ‫‪Second order determinant‬‬ ‫حمدد من الرتبة الثالثة‬ ‫‪Third order determinant‬‬ ‫‬ ‫و‬ ‫ناقش‬ ‫2   ،  ج = 3 5‬ ‫‪b‬‬ ‫‪l‬‬ ‫4‬ ‫-3 1‬ ‫المحددات‬ ‫أ ب‬ ‫|‪= |C‬‬ ‫جـ د‬ ‫القطر الرئيسى للمحدد‬ ‫‬ ‫القطر اآلخر للمحدد‬ ‫‬ ‫مصفوفة املعامالت‬ ‫‪Coefficient matrix‬‬ ‫‬ ‫القطر األخر‬ ‫= أ د - جـ ب‬ ‫القطر الرئيسى‬ ‫ونالحظ أن قيمة محدد الرتبة الثانية يساوى حاصل ضرب عنصرى القطر الرئيسى‬ ‫مطروحا منه حاصل ضرب عنصرى القطر اآلخر.‬ ‫ً‬ ‫مـثـال‬ ‫األدوات والوسائل‬ ‫آلة حاسبة علمية.‬ ‫ورق رسم بياين.‬ ‫‪Determinants‬‬ ‫إذا كانت ‪ C‬مصفوفة مربعة على النظم 2 * 2 حيث:‬ ‫‪ l = C‬أ ب ‪ b‬فإن محدد المصفوفة ‪ C‬يرمز له بالرمز|‪ |C‬ويسمى بمحدد الرتبة‬ ‫جـ د‬ ‫الثانية، وهو العدد المعرف كاآلتي:‬ ‫‪Principle or leading diagonal‬‬ ‫‪Other diagonal‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ ‬ ‫‌ أوجد قيمة كل محدد ممايلى:‬ ‫أ‬ ‫الحل‬ ‫4 5  ب‬ ‫3 7‬ ‫0 5   ج‍‬ ‫7 3‬ ‫1 0   د‬ ‫0 1‬ ‫1 0‬ ‫2 7‬ ‫0 5‬ ‫4 5‬ ‫أ 3 7  = 4 * 7 - 3 * 5 ‬ ‫ ‬ ‫ب 7 3  = 0 * 3 - 7 * 5‬ ‫            = 82 - 51 = 31            = 0 - 53 = - 53‬ ‫22‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 30. ‫تاددحملا‬ ‫1 0‬ ‫ ‬ ‫د 2 7 =1*7-2*0‬ ‫            = 7 - 2 = 5‬ ‫1 0‬ ‫ج‍ 0 1 = 1 * 1 - 0 * 0‬ ‫ ‬ ‫            = 1 - 0 = 1‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫ ‬ ‫‌ أوجد قيمة كل من المحددات التالية :‬ ‫2‬ ‫أ ‬ ‫5‬ ‫1 -1 ‬ ‫0‬ ‫ب ‬ ‫4‬ ‫5 -1 ‬ ‫ج‍ ‬ ‫‪ C‬ب‬ ‫ب جـ‬ ‫تعلم‬ ‫‪Third order determinant‬‬ ‫ة‬ ‫محدد الرتبة الثالث ‬ ‫‪ C‬ب حـ‬ ‫يسمى محدد المصفوفة على النظم 3 * 3 محدد الرتبة الثالثة، وإليجاد قيمة محدد الرتبة الثالثة د هـ و فإن:‬ ‫ز ح ط‬ ‫‪ C‬ب حـ‬ ‫هـ و = ‪ C‬هـ و - ب د و + حـ د هـ‬ ‫د‬ ‫ح ط‬ ‫ز ط‬ ‫ز ح‬ ‫ز ح ط‬ ‫           = ‪(C‬هـ ط - ح و) - ب ( د ط - ز و) + حـ ( د ح - ز هـ)‬ ‫مـثـال‬ ‫5‬ ‫1‬ ‫6‬ ‫7 2‬ ‫‌ إليجاد قيمة المحدد 3 4‬ ‫1 2‬‫7 2 5‬ ‫3 4‬ ‫3 1‬ ‫4 1‬ ‫3 4 1 = 7 2 6 - 2 -1 6 + 5‬ ‫ ‬ ‫1 2‬‫1 2 6‬‫          = 7 ( 4 * 6 - 2 *1) -2 (3 * 6 - (-1) * 1) + 5 ( 3 * 2 - (-1) * 4)‬ ‫فإن :‬ ‫         = 7 * 22 - 2 * 91 + 5 * 01‬ ‫         = 451 - 83 + 05 = 661‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫تعلم‬ ‫المحدد األصغر المناظر ألى عنصر في مصفوفة‬ ‫‬ ‫‪Minor determinant corresponding to any element of a matrix‬‬ ‫إذا كانت المصفوفة ‪ C‬هى مصفوفة على النظم 3 * 3 حيث‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C p =C‬‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫‪C 23C‬‬ ‫33‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫‪  f 32C‬فإن: المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪ 11C‬يرمز له بالرمز| ‪ | 11C‬وهو‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫والحظ إننا حصلنا على هذا المحدد بحذف الصف والعمود المتقاطعين على العنصر ‪11C‬كاآلتي:‬ ‫‪C‬‬ ‫11‬ ‫‪C 21C‬‬ ‫13‬ ‫31‬ ‫‪C 23C‬‬ ‫33‬ ‫‪f 32C 22C 12C p‬‬ ‫‪C‬‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫32‬
  • 31. ‫بالمثل:‬ ‫× ×المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪ 21C‬يرمز له بالرمز|‪ |21C‬وهو‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫× ×المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪ 31C‬يرمز له بالرمز|‪ |31C‬وهو‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫× ×المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪ 12C‬يرمز له بالرمز|‪ |12C‬وهو‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫وهكذا، وجميع هذه المحددات هى محددات من الرتبة الثانية:‬ ‫21‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫13‬ ‫مالحظات هامة‬ ‫1- إذا كانت ‪ C‬مصفوفة مربعة على النظم 3 *3 على الصورة:‬ ‫ ‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C p = C‬‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫11‬ ‫ ‬ ‫ |‪C = |C‬‬ ‫ ‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫22‬ ‫‪C 23C‬‬ ‫33‬ ‫12‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫‪C‬‬ ‫‪ ، f 32C‬ومحدد ‪ C‬يرمز له بالرمز |‪ |C‬حيث:‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫13‬ ‫-‪C‬‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫23‬ ‫+‪C‬‬ ‫13‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫31‬ ‫21‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫= ‪|31C| 31C + |21C| 21C - |11C| 11C‬‬ ‫2- الحظ أننا ضربنا كل عنصر في المحدد األصغر المناظر له مسبوقًا باإلشارات +، -، +، ... على الترتيب،‬ ‫وإشارة المحدد األصغر المناظر للعنصر ‪C‬وهـ تتعين بالقاعدة:‬ ‫و +هـ‬ ‫ إشارة |‪ C‬و هـ| هى نفس إشارة (-1)‬ ‫ً‬ ‫فمثال إشارة |‪ |21C‬هى نفس إشارة (-1) 1 + 2 وهى سالبة‬ ‫ ‬ ‫ إشارة  |‪ |31C‬هى نفس إشارة (-1) 1 + 3 وهى موجبة‬ ‫بعبارة أخرى لتحديد إشارة أي محدد أصغر مناظر لعنصر ما نجمع رتبتى الصف، والعمود اللذين يتقاطعان عند‬ ‫هذا العنصر:‬ ‫× ×فإذا كان مجموع الرتبتين زوجيا كانت اإلشارة موجبة.‬ ‫ًّ‬ ‫× ×إذا كان مجموع الرتبتين فرد ًّيا كانت اإلشارة سالبة.‬ ‫+ - +‬ ‫ونالحظ أن قاعدة اإلشارات للمحدد األصغر تكون كاآلتى: - + -‬ ‫+ - +‬ ‫3- يمكن فك المحدد بداللة عناصر أى صف (أو عمود) ومحددتها الصغرى ولكن بإشارة مناسبة.‬ ‫ ‬ ‫42‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬
  • 32. ‫تاددحملا‬ ‫مـثـال‬ ‫1 2 3‬ ‫4 0 5‬ ‫7 -2 -1‬ ‫‌ إليجاد قيمة المحدد‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫باستخدام عناصر العمود الثاني.‬ ‫نالحظ أن إشارات المحدد األصغر المناظر لعناصر العمود الثاني هى - ، + ، - على الترتيب فيكون:‬ ‫4‬ ‫1‬ ‫5‬ ‫3‬ ‫المحدد = -2 7 -1 + 0 7 -1 - (-2)‬ ‫    = -2 (-4 - 53) + 0 + 2 (5 - 21)‬ ‫   = 87 - 41 = 46‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫فكرة مفيدة للحل‬ ‫يمكنك فك المحدد باستخدام‬ ‫أى صف أو عمود فيه أكبر‬ ‫عدد ممكن من األصفار‬ ‫لتسهيل حصولك على قيمته‬ ‫بعد أخذ اإلشارة المناسبة.‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد قيمة كل محدد ممايلى:‬ ‫ ‬ ‫-1 7‬ ‫أ ‬ ‫5‬ ‫0‬ ‫6‬ ‫3 0 1 ‬ ‫4‬ ‫تعلم‬ ‫7‬ ‫-2 3‬ ‫ب ‬ ‫ج‍ ‬ ‫0 4 5 ‬ ‫0‬ ‫0 -3‬ ‫ة‬ ‫محدد المصفوفة المثلثي ‬ ‫3 4 0‬ ‫2 -3 1‬ ‫5 0 -2‬ ‫ ‬ ‫د ‬ ‫2 0 -3‬ ‫5 -1 4‬ ‫-2 0 3‬ ‫‪Determinant of triangular Matrix‬‬ ‫المصفوفة المثلثية هى مصفوفة جميع عناصرها التى تحت القطر الرئيسى (أو فوقه) أصفار مثل:‬ ‫2 3‬ ‫‪p ،b 4 0 l‬‬ ‫2‬ ‫4‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫1 0 0‬‫3‬ ‫5 ‪0 4- 2 p ، f‬‬ ‫5 -1 2‬ ‫6‬ ‫‪f‬‬ ‫ونالحظ أن: قيمة محدد المصفوفة المثلثية يساوى حاصل ضرب عناصر قطرها الرئيسى.‬ ‫أى أن:‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫‪C‬‬ ‫11‬ ‫= ‪C 22C 11C‬‬ ‫‪C 12C‬‬ ‫33‬ ‫22‬ ‫‪C 23C 13C‬‬ ‫33‬ ‫ولبرهان ذلك نفك المحدد باستخدام عناصر الصف األول:‬ ‫المحدد = ‪C‬‬ ‫11‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫32‬ ‫22‬ ‫0‬ ‫‪C‬‬ ‫33‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ ما قيمة المحدد‬ ‫الحل‬ ‫= ‪C C C = )0 * 21C - 32C * 22C ( 11C‬‬ ‫11 22 23‬ ‫1 2 3‬ ‫0 -3 5‬ ‫0 0 6‬ ‫؟‬ ‫نالحظ أن المحدد هو محدد مصفوفة مثلثية فيكون:‬ ‫المحدد = 1 * - 3 * 6 = -81‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫52‬
  • 33. ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد قيمة كل محدد ممايلى:‬ ‫ ‬ ‫-1 2‬ ‫أ ‬ ‫0 -2‬ ‫0‬ ‫تعلم‬ ‫‬ ‫5‬ ‫0 3 -4 ‬ ‫ب ‬ ‫3 2‬‫0 4‬ ‫0 0‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫0‬ ‫إيجاد مساحة سطح المثلث باستخدام المحددات‬ ‫‪Finding area of a triangle by using Determinants‬‬ ‫يمكنك استخدام المحددات إليجاد مساحة سطح المثلث، بمعلومية إحداثيات رؤوس المثلث كاآلتى:‬ ‫مساحة سطح المثلث الذى رؤوسه: س (‪ ،C‬ب)، ص (جـ، ‪ ،)E‬ع (هـ، و) هى |‪ |W‬حيث:‬ ‫‪1 =W‬‬ ‫2‬ ‫‪ C‬ب 1‬ ‫جـ د 1‬ ‫هـ و 1‬ ‫تذكر‬ ‫|‪ |W‬تعنى قيمة ‪ W‬الموجبة.‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ أوجد مستخدما المحددات مساحة سطح المثلث الذى إحداثيات رؤوسه (-1، -3) ، (2، 4)، (-3، 5)‬ ‫ً‬ ‫الحل‬ ‫1 -3 1‬‫1‬ ‫‪1 4 2 2 =W‬‬ ‫3 5 1‬‫2 4‬ ‫2 1‬ ‫4 1‬ ‫    = 1 -1 5 1 - (-3) -3 1 + 1‬ ‫2‬ ‫3 5‬‫        = 1 [-1 (4 - 5) + 3 (2 + 3) + 1 (01 + 21)]‬ ‫2‬ ‫        = 1 (1 + 51 + 22) = 91 وحدة مربعة‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫[‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫ص (2، 4)‬ ‫]‬ ‫س3 2 1‬ ‫ص‬ ‫ع (-3، 5)‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1 -2 -3 -4 -5‬‫1‬‫2‬‫-3 س (-1، -3)‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫‌ أوجد مستخدما المحددات مساحة سطح المثلث ‪ C‬ب جـ الذى فيه ‪ ،)2- ،2-(C‬ب (3، 1)، جـ (-4، 3)‬ ‫ً‬ ‫ص‬ ‫مـثـال‬ ‫‌ الربط بالهندسة: إذا كانت إحدثيات ثالث نقط على المستوى‬ ‫اإلحداثى هي (0، 2) (3، 5)، (-3، 2) كانت اإلحداثيات باألمتار،‬ ‫و‬ ‫فأوجد مساحة سطح المثلث الذى رؤوسه تلك النقط.‬ ‫62‬ ‫الرياضيات - الصف األول الثانوى‬ ‫س‬ ‫6‬ ‫(3، 5)‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫(0، 2) 2‬ ‫1‬ ‫4 3 2 1‬ ‫(-3، 2)‬ ‫-1 -2 -3 -4‬
  • 34. ‫تاددحملا‬ ‫الحل‬ ‫0 2‬ ‫3 5‬ ‫3 2‬‫5 1‬ ‫0‬ ‫2 1‬ ‫‪1 = W‬‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫           = 21 [‬ ‫           = 1 [0 - 0 - 3 (2-5)] = 1 4 متر مربع‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫-3‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫+ (-3)‬ ‫2‬ ‫5‬ ‫]‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫‌ أوجد مستخدما المحددات مساحة المثلث المبين بالشكل المقابل.‬ ‫ً‬ ‫‬ ‫‬ ‫5‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫5 4 3 2 1‬ ‫س‬ ‫حاول أن تحل‬ ‫تعلم‬ ‫ص‬ ‫‪C‬‬ ‫1 -2 -3 -4 -5‬‫1‬‫2‬‫3‬‫4‬‫-5‬ ‫حل نظام من المعادالت الخطية بطريقة كرامر‬ ‫‪Solving a system of linear equations by Cramer's method‬‬ ‫1- حل �أنظمة المعادالت الخطية في مجهولين‬ ‫‪Solving a system of Linear equations in two unknowns‬‬ ‫ إذا كان لدينا نظام من المعادالت الخطية في مجهولين كاآلتي:‬ ‫   ‪ C‬س   + ب ص = م‬ ‫ ‬ ‫جـ س + ‪ E‬ص   = ن‬ ‫ ‬ ‫‪ C‬ب‬ ‫‪b E‬‬ ‫فإن المصفوفة التى عناصرها معامال المجهولين بعد ترتيب النظام تسمى بمصفوفة المعامالت ‪l‬‬ ‫جـ‬ ‫ويمكنك استخدام المحددات لحل أنظمة المعادالت الخطية، فإذا كانت قيمة محدد مصفوفة المعامالت‬ ‫‪ C‬ب ويرمز له بالرمز 9 (يقرأ دلتا) اليساوى صفرا، فإن للنظام حال وحيدا، وإذا كانت قيمة المحدد‬ ‫ًّ‬ ‫ً‬ ‫ً‬ ‫جـ ‪E‬‬ ‫صفرا، فإما أن يكون للنظام عدد النهائى من الحلول أو ليس له حل.‬ ‫ً‬ ‫ونالحظ أن معاملى المجهول س تكون العمود األول للمحدد 9، ومعامال المجهول ص تكون العمود الثاني‬ ‫ِّ‬ ‫ِّ‬ ‫للمحدد 9.‬ ‫يسمى م ب محدد المجهول س ونرمز له بالرمز 9س (يقرأ دلتا س)، ونحصل عليه من المحدد 9 بعد‬ ‫ن ‪E‬‬ ‫تغيير عناصر العمود األول (معامالت س) بالثوابت م ، ن.‬ ‫كما يسمى‬ ‫‪ C‬م‬ ‫جـ ن‬ ‫محدد المجهول ص ونرمز له بالرمز 9ص (يقرأ دلتا ص)، ونحصل عليه من المحدد 9‬ ‫بعد تغيير عناصر العمود الثاني (معامالت ص) بالثوابت م، ن.‬ ‫واآلن: نفرض أن 9!0 ،  فإن حل النظام هو:‬ ‫ ‬ ‫     س = 9س =‬ ‫9‬ ‫م‬ ‫ن‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫ب‬ ‫م‪-E‬نب‬ ‫‪= E‬‬ ‫ب‬ ‫‪-EC‬جـ ب‬ ‫‪E‬‬ ‫ ‬ ‫     ص = 9 ص =‬ ‫كتاب الطالب - الفصل الدراسى الثانى‬ ‫9‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫‪C‬‬ ‫جـ‬ ‫م‬ ‫ن‬ ‫=‬ ‫ب‬ ‫‪ -EC‬جـ ب‬ ‫‪E‬‬ ‫‪C‬ن - جـ م‬ ‫72‬