Us kvantitativne metode - zbirka zadataka

1. Mališa Žižoviæ
Ana Simiæeviæ
Olivera Nikoliæ
ZBIRKA ZADATAKA

2. UNIVERZITET SINGIDUNUM
Prof. dr Mališa Žižović
Prof. dr Olivera Nikolić
Ana Simićević
KVANTITIVNE METODE
- ZBIRKA ZADATAKA -
Beograd, 2010. godine

3. KVANTITATIVNE METODE – ZBIRKA ZADATKA
Autori:
Prof. dr Olivera Nikolić
Prof. dr Mališa Žižović
Ana Simićević
Recenzent:
Prof. Dr Dušan Adnađević
Izdavač:
UNIVERZITET SINGIDUNUM
Beograd, Danijelova 32
www.singidunum.ac.rs
Za izdavača:
Prof. dr Milovan Stanišić
Tehnička obrada:
Novak Njeguš
Dizajn korica:
Aleksandar Mihajlović
Godina izdanja:
2010.
Tiraž:
1350 primeraka
Štampa:
Mladost Grup
Loznica
ISBN: 978-86-7912-275-9

4. PREDGOVOR
Svrha ovog Praktikuma je da omoguýi studentu razumevanje i ovladavanje
metodama i postupcima potrebnim za rešavanje zadataka. On se sastoji iz dva
dela. U prvom delu dat je potrebni broj zadataka sa rešenjima u potpunosti,
dovoljan broj ponuăen za individualno i timsko rešavanje. Drugi deo obuhvata
zadatke sa uputstvima za rešavanje uz korišýenje softverskog paketa MATLAB.
Takoăe, posle svake oblasti dati su pregledi bodova koji te oblasti
akumuliraju.
Priruÿnik zajedno sa udžbenikom Kvantitativne metode ÿini celinu programa
ovog predmeta.
Recenzent je korisnim sugestijama doprineo kvalitetu udžbenika.
Svesrdnu tehniÿku pomoý u pripremi Praktikuma pružili su asistenti Jelena
Kaljeviý, dipl. inž. – master i Ivan Panteliý, dipl. inž. – master.
Autor
III

6. SADRŽAJ
Prvi deo
Kvantitativne metode – zbirka zadataka
1. Diferencijalni račun 1
2. Neodređen integral 66
3. Određen integral 82
4. Diferencijalne jednačine 88
5. Matrice i determinante 94
6. Ekonomske funkcije 109
7. Finansijska matematika 153
8. Elementi teorije verovatnoće 174
9. Elementi statistike 187
Drugi deo
Praktikum za MATLAB 7
Uvod 213
1. Osnovni principi rada u MATLAB-u 215
2. Grafik funkcija 225
3. Matrice 233
4. Sistem linearnih algebarskih jednačina 246
5. Integrali i primena integrala 250
6. Formiranje distribucije frekvencija 259
Dodatak
Tablice
Finansijske tablice 271
Statističke tablice 283
Tablica slučajnih brojeva. 295

8. 1.
Diferencijalni ra«un
Pregled nekih elementarnih funkcija
1. Linearna funkcija

9. , ,y kx n k n R k tg e 
2. Kvadratna funkcija

10. 2
, , , 0y ax bx c a b c R a  z kanonski oblik
2 2
4
2 4
b ac b
y a x
a a
§ ·
¨ ¸
© ¹
1

11. 3. Funkcije oblika ,n
y x n N
4. Funkcije oblika ,
k
y k R
x


12. n
y x n parno

13. n
y x n neparno
, 0
k
y k
x
!
, 0
k
y k
x
2

14. 5. Eksponencijalna funkcija:

15. , 0, 1x
y a a R a a ! z
6. Logaritamska funkcija
7. Trigonometrijska funkcija
siny x cosy x

16. 1x
y a a !

17. 0 1x
y a a

18. log 1ay x a !

19. log 0 1ay x a
S 2
S 0
2
S S
3
2
S
2S 0 2
S
S 3
2
S
2S
3

20. y tg x y ctg x
PRIMERI SA REŠENJIMA:
1. Oblast definisanosti sledeþih funkcija je:
a) ^ `, 2 0 2 2
2
x
y x x x R
x
z œ z œ 
b) 2
2
, 2 0
2
x
y x x R
x
! œ 
c) ^ `2
2
2
, 1 0 1 1,1
1
x
y x x x R
x
z œ z r œ 
d) @2 , 2 0 2 ,2y x x x x t œ d œ  f
e) @

21. 2 2
4, 4 0 , 2 2,y x x x t œ  f ‰ f
2
S
2
S S 3
2
S S
2
S 0
2
S S 3
2
S
2S
4

22. f)

25. 2 2
ln 1 , 1 0 , 1 1,y x x x ! œ  f ‰ f
g)

26. 2 2
ln 1 , 1 0y x x !

27. 1,1x
h) ln , 0
3 3
x x
y x
x x
!
3-x
3
x
x

28. 0,3x
i)
2 2
2 2
3 4 3 4
, 0
6 6
x x x x
y
x x x x
t

29. 4, 3 1,2x ‰ -3
- +- +
2
-
j)
( )
[ )
2 1
, 1 0 2 0 1 2 1,2
ln 2
x
y x x x x x
x
+ -
= - á ģ - ĥ á ģ ĥ Î
-
2. Ispitati parnost odnosno neparnost funkcije:
a)

32. 22 2
;
1 11
x x x
y f x f x
x xx
neparna
b)

36. 2 2
22 2
;
4 44
xx x
y f x f x
x xx
2
parna
c)
ln
, : 0
x
y D x x D
x
! Ÿ  ni parna ni neparna
5

37. d) 2
2 2
,
x
y
x
-
=

41. 2 2 2
2 2 2 22 2x xx
f x
x xx
ni parna ni neparna
3. Ispitati znak i odrediti nule funkcije:
a) ( ) ( )
2
, : ,0 0,
x
y D x
x
+
= Î - Ą ý + Ą
( )0 2 0 2 2,0y x x= ĥ + = ĥ = - -
2x
x

42. f x

44. , 2 0, 0x y f ‰ f !

45. 2,0 0x y
b) 2
2
2
1 0, :
1
x
y x x R D x R
x
!  Ÿ 
( )0 2 0 0 , 0,0y x x= ĥ = ĥ =
2x
2
1x
2
2
1
x
x
( ) ( ),0 0 ; 0, 0x y x yÎ - Ą Î + Ą
c) 2
2
4 0 2
4
x
y x x
x
z œ z r œ
( ) ( ) ( ), 2 2,2 2,x Î - Ą - ý - ý + Ą ( )0 0, 0,0y x= ĥ =
x
2
4x
y

47. , 2 0,2 0x y f ‰

49. 2,0 2, 0x y ‰ f !
6

50. d)

52. 1
0, : - ,0 0,z  f ‰ fx
y xe x D x
1 1
0 0 0, 0x x
y x e ali eœ › ! 0 D nema nulu
1
0x
e ! Ÿ x R

53. ,0 0x y f ,

54. 0, 0x y f !
e)

57. 2
2
3 0, : , 3 3, 3 3,
3
z  f ‰ ‰ f
x
e
y x D x
x
0 0 . 0x x
y e tj eœ z ! Ÿ funkcija nema nulu
0x
e ! Ÿ znak zavisi samo od izraza

58. 2
3x
2
3x

60. , 3 3, 0x y f ‰ f !

61. 3, 3 0x y
f) 0 ln 0 0 1
ln
x
y x x x x
x
! š z œ ! š z

63. : 0,1 1, ‰ fD x 0 0, 0y x Dœ 
lnx

64. 0,1 0x y

65. 1, 0x y f !
g)

66. 1 ln
0 : 0,
! œ  f
x
y x D x
x
0 1 ln 0 , ( ,0)œ œ y x x e e D
1 ln x

68. 0, 0, , 0 !  f x e y x e y
7

69. h)

70. 3 3 2
3 3 0 3 0y x x x x x x t œ t
x
2
3x

71. 2
3x x

72. : 3,0 3,D x ª º ª ‰ f¬ ¼ ¬

73. 3 2
0 3 0 3 0y x x x xœ œ
0 3 3x x xœ › ›

76. 0,0 , - 3,0 , 3,0  D D D
0 ,y x Dt 
4. IzraĀunati graniĀne vrednosti:
a)

77. 2 2
4
lim 3 2 4 3 4 2 6
x
x x
o
˜
b)
2
1 2 1 3
lim
3 2 3 5x
x
xo
c) 3 38
1 1 1
lim
28x xo
5. IzraĀunati:
a)

80. 2
3 3 3
3 39
lim lim lim 3 6
3 3x x x
x xx
x
x xo o o
b)

82. 22 2 2
2 2 1 1
lim lim lim
6 2 3 3 5x x x
x x
x x x x xo o o
c)

86. 23 2
21 1 1
1 11 1
lim lim lim
1 1 1 1x x x
x x xx x x
x x x xo o o

88. 2
1 1 1 3
1 1 2
8

89. d)

100. 3 3
2
3
21
2
3 2 2 2
1 2 13 2
lim
1 1 2 11
1 2 1 1 2
x
x x x x x
x x xx x
x x x xx
x x x x x x
o

104. 2
21 1
1 2
lim lim 2 3
1x x
x x
x
xo o
e)

106. 1 1 1
1 11 1 1
lim lim lim
11 1 1x x x
x xx x x
xx x xo o o
˜

107. 1
lim 1 2
x
x
o
f)

108. 2 2 2 2
20 0 0 2
1 1 1 1 1 1 1 1
lim lim lim
1 1 1 1x x x
x x x x
x x x x xo o o
˜
20
0
lim 0
1 11 1x
x
xo
g)
33 2 233
3 33 3 33 2 232 2 3
2 2 2 2
lim lim
2 2 2 2x x
x x x x
x x x xo o
˜
˜
˜

111. 3 2 33
3 2 33
2 2
2 2 4
lim lim 2 4
2x x
x x x
x x
xo o

112. 3 3 3 3
4 2 2 2 4 3 4 ˜
6. IzraĀunati graniĀne vrednosti:

113. 2 2
1
2 1 1
lim lim lim lim 0, 0
1 12 1 22 2
x x x x
x
x x x x
xx x
x x x
D
D
of of of of
!
9

114. 3 2
3 2
3
1
1
1
lim lim 1
1 11 11
x x
x x x
x x
x x
of of
3 2
2
2
1
1
lim lim
1 11x x
x x x
x
x x
of of
f
2 2
3
2 3
1 1
lim lim 0
1 22 1
x x
x x x x
x x
x x
of of

116. 1
lim 1 lim 1
1x x
x x
x x x x
x xof of
˜
1
lim
1x
x x
x xof
1
lim 0
1x x xof

118. 2
2 2
2
1
lim 1 lim 1
1x x
x x
x x x x x x
x xof of
˜ ˜

119. 2 2
2
1
lim
1x
x x x
x xof
2 2
1
lim lim
1 1
1
x x
x
x x x
x
of of
2
22
1 1 1 1
lim lim
1 1 211 1 11
x x
x
xx
of of
Neke važnije graniĀne vrednosti
0
1 sin
lim 1 lim 1
x
x x
x
e
x xof o
§ ·
¨ ¸
© ¹
10

120. 7. Odrediti sledeþe graniĀne vrednosti:
a)
1
11 1
lim 1 lim 1
x x
x x
e
x x
of of
ª º§ · § ·
« »¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹« »¬ ¼
b)
2
2
22 1
lim 1 lim 1
2
x
x
x x
e
xx
of of
ª º
§ ·« »
¨ ¸§ · « » ¨ ¸¨ ¸ « »© ¹ ¨ ¸« »© ¹« »¬ ¼
c)

121. 1
0
1 1
lim 1 , 0, lim 1
t
x
x t
x t x t e
x to of
§ ·
o o f ¨ ¸
© ¹
d)

123. 3 3
5 5
0 0 2
2
lim 1 2 lim 1
0 0
tx
x x
x t
x t
x t
˜
o o
o o

125. 6
66 1 5
55
0 0
lim 1 lim 1t t
x t
t t e
o o
ª º
« »¬ ¼
e)

128. 1
0 0 0
ln 1 1
lim lim ln 1 limln 1 ln 1x
x x x
x
x x e
x xo o o
f)
3 3
1 1 1
lim 1 lim 1 1 1
x x
x x
e e
x x x
of of
§ · § · § ·
˜ ˜¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹ © ¹
8. Odrediti sledeþe graniĀne vrednosti:
a)
0 0
sin 2 sin 2
lim lim 2 1 2 2
2x x
x x
x xo o
˜ ˜
b)
0 0 0
3 1 1 1 1 1
lim lim lim 1
sin3sin3 sin3 3 3 3 3
3
x x x
x x
xx x
x
o o o
˜ ˜ ˜
c)
0 0
sin5 sin5 5 3 5 5
lim lim 1 1
sin3 5 3 sin3 3 3x x
x x x x
x x x xo o
˜ ˜ ˜ ˜
d)
0 0
sin
2
2 sin 2 1 1
lim lim
sin3 sin 3 1 43
x x
x
x x x
xx x
x
o o
11

129. e)
2 2
2
2 20 0 0 0
2sin sin
1 cos sin2 2lim lim lim2 lim2
2
x x x x
x x
x x
xx x xo o o o
§ · § ·
¨ ¸ ¨ ¸
˜ ˜¨ ¸ ¨ ¸
¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
2
1 2 1
2
2 4 2
§ ·
˜¨ ¸
© ¹
9. IzraĀunati sledeþe graniĀne vrednosti:
a)
2 2
0 0
1 1
lim lim 2 1 2 2;
2
x x
x x
e e
x xo o
˜ ˜
b)
0 0
1 1
lim lim 1 1 1;
sin sin
x x
x x
e e x
x x xo o
˜ ˜
c)

130. 1
0 0
1
lim lim 1
1 1
xx
x x
e ee e
e e
x x
o o
˜
10. Odrediti levu i desnu graniĀnu vrednost funkcije:
a)
1
y
x
u taĀki 0x
0
1
lim
x x
o
f
0
1
lim
x x
o
f
b)

131. 2
2
4
x
f x
x
u taĀki 2x

136. 02
2 2 22
lim lim
2 02 2 2 2 2 2hx
h x hx
x hx x h h oo
˜
o o
=

138. 0
2 2
lim
4h
h
h ho
f

143. 02
2 2 22
lim lim
2 02 2 2 2 2 2hx
h x hx
x hx x h h oo
˜
o o
=

145. 0
2 2
lim
4h
h
h ho
f
12

146. c)

147. 1
x
f x e u taĀki 0x
1 1
00
lim limx h
hx
e e oo
f
1 1
10 00
1
lim lim lim 0x h
h hx
h
e e
e
o oo
d) ln
1
x
y
x
za 1x
Domen: 0
1
x
x
!
x
1x
1
x
x
Može se tražiti samo desna graniĀna vrednost u okolini taĀke x=1
1 0 0
1 1
limln limln limln
1 1 1x h h
x h h
x h ho o o
f
e)
, 0
1 , 0
x
e x
y
x x
­ !
®
d¯

148. 0
lim lim 1x
xx
f x e oo

150. 0 0
lim lim 1 1
x x
f x x
o o
11. Ispitati neprekidnost sledeþih funkcija:
a)
1
1
y
x
0 01
1 1 1
lim lim lim
1 1 1h hx x h h o oo
f
0 01
1 1 1
lim lim lim
1 1 1h hx x h h o oo
f
funkcija je prekidna na skupu R,
odnosno nije definisana u taĀki 0 1x , ali je neprekidna na svom domenu
{1}D R .
Napomena: Neprekidnost funkcije u taĀki x0 se može izraziti na sledeþi naĀin:

152. 0 0
0
lim 0
h
f x h f x
o
ª º¬ ¼
++
0
13

153. b)

154. 2
:
1
x
f x D x R
x

jer 2
1 0x ! 0 ,x R

157. 0 0
0 0 2 20 0
00
lim lim
11h h
x h x
f x h f x
xx ho o
§ ·
ª º ¨ ¸¬ ¼ ¨ ¸ © ¹

160. 2 2 2
0 0 0 0 0
2 20
0 0
1 2 1
lim
1 1h
x h x x x x h h
x h xo
ª º ˜ ¬ ¼
ª º ª º ¬ ¼¬ ¼
=

161. 3 2 3 2 2
0 0 0 0 0 0 0
2 20
0 0
2
lim
1 1h
x hx x h x x h x h x
x h xo
ª º ª º ¬ ¼¬ ¼
=

163. 22 2
0 00 0
2 22 20 0
0 0 0 0
1
lim lim 0
1 1 1 1h h
h x x hhx h x h
x h x x h xo o
ª º ¬ ¼
ª º ª ºª º ª º ¬ ¼ ¬ ¼¬ ¼ ¬ ¼
Funkcija je neprekidna na celom skupu R.
c)

164. 2
2 1, 1
3 2, 1
x x
f x
x x
d­
®
!¯

166. 2
1 1
lim lim 3 2 3 2 1
x x
f x x
o o

168. 1 1
lim lim 2 1 2 1 1
x x
f x x
o o

169. 1 2 1 1f
Ÿ funkcija je neprekidna.
12. Odrediti vrednost nepoznatog parametra da funkcija bude neprekidna:
a)

170. 2
2 , 1
5 1, 1
x k x
f x
x x
­ d
®
!¯

172. 1 1
lim lim 5 1 4
x x
f x x
o o

174. 2
11
lim lim 2 2
xx
f x x k k o o
4 2 2k k

175. 2
1 2 1 2 4f ˜
b)

176. 2
1 cos
, 0
2
, 0
x
x
f x x
A x
­
z°
®
°¯
14

177. c)

178. 3
1
, 1
1
, 1
x
x
f x x
A x
­
z °
®
° ¯
13. Naþi asimptote sledeþih funkcija:
a)
1
1
1
y x
x
z
0 01
1 1 1
lim lim lim
1 1 1h hx x h h o oo
f
1 0 0
1 1 1
lim lim lim
1 1 1x h hx h ho o o
f
: 1BA x
1
lim 0 : 0
1x
XA y
xof
Ÿ
b)
2
5 7
2
2
x x
y x
x
z

181. 2
02
2 5 2 7
lim lim
2 2hx
h h
f x
h oo
˜
2 2
0 0
4 4 10 5 7 1
lim lim
h h
h h h h h
h ho o
f

184. 2
02
2 5 2 7
lim lim
2 2hx
h h
f x
h oo
2 2
0
4 4 10 5 7 1
lim lim
h h
h h h h h
h ho o
f
: 2BA x
2 2
2
5 7
1
5 7
lim lim
1 22x x
x x x
x
x x
of of
f
nema XA

186. 2
2
5 7
5 72lim lim lim
2
1
x x x
x x
f x x xx
xx x xof of of
15

187. 2 2
2
5 7
1
5 7
lim lim 1 1
22 1
x x
x x x x a
x x
x
of of
Ÿ

189. 2
5 7
lim lim
2x x
x x
f x x
xof of
§ ·
¨ ¸
© ¹

190. 2 2 2
5 7 2 5 7 2
lim lim
2 2x x
x x x x x x x x
x xof of
7
3
3 7
lim lim 3 3
22 1
x x
x x b
x
x
of of
Ÿ
: 3KA y x
c)
2
2
2
2 0
2
x
y x x R
x
! Ÿ  Ÿ
nema BA
2
2
2
1
lim lim 1 : 1
22 1
x x
x
XA y
x
x
of of
Ÿ
Ÿ nema KA
d) 2
2
2 1
2 0 1 2
2
x
y x x x x
x x
z œ z š z

195. 01
2 1 12 1
lim lim
1 2 1 1 1 2hx
hx
x x h h oo
˜

196. 0
2 2 1
lim
3h
h
h ho
f
˜

201. 1 0
2 1 12 1
lim lim
1 2 1 1 1 2x h
hx
x x h ho o
˜

202. 0
2 1
lim
3h
h
h ho
f
˜

207. 02
2 2 12 1
lim lim
1 2 2 1 2 2hx
hx
x x h h oo

208. 0
2 5
lim
3h
h
h ho
f
˜
16

214. 02
2 2 12 1
lim lim
1 2 2 1 2 2hx
hx
x x h h oo

216. 0
2 5
lim
3h
h
h ho
f
: 1 2BA x i x
2
2
2
2 1
2 1 0
lim lim 0 : 0
1 22 11
x x
x x x XA y
x x
x x
of of
Ÿ nema KA.
14. Odrediti asimptote funkcija:
a)
3
: 2 : 1 :
2
x
y BA x XA y KA nema
x
b)
2
2
1
: 1 : 1 :
1
x
y BA x XA y KA nema
x
r
c)
2
2
3
: : 1 :
2
x
y BA nema XA y KA nema
x
d)
3
2
1
: 0 : :
x
y BA x XA nema KA y x
x
e) 2
1
: : 0 :
4 5
y BA nema XA y KA nema
x x
17

217. Tablica izvoda:
1. ' 0y C y
2. 1
' 0,y x y x x RD D
D D
! 
3. ' ln 0, 1,x x
y a y a a a a x R! z 
4. 'x x
y e y e x R
5.
1
log ' 0, 0, 1
ln
ay x y x a a
x a
! ! z
6.
1
ln ' 0y x y x
x
!
7. sin ' cosy x y x x R
8. cos ' siny x y x x R 
9. 2
1
' ,
cos 2
y tgx y x k k Z
x
S
Sz 
10. 2
1
' ,
sin
y ctgx y x k k Z
x
S
z 
11.
2
1
sin ' 1
1
y arc x y x
x
12.
2
1
cos ' 1
1
y arc x y x
x
13. 2
1
'
1
y arctgx y x R
x

14. 2
1
'
1
y arctgx y x R
x

15. Naþi prvi izvod funkcije:
a) 6 4
5 3 4 7y x x x

220. ' ' '6 4 ' 5 3
' 5 3 4 7 5 6 3 4 4 1 0y x x x x x ˜ ˜ ˜
5 3
' 30 12 4y x x
18

221. b) 4 3 2
1 1 3
3 4
y
x x x

224. '
' ' '4 3 2 4 3 21 3 1 3
'
3 4 3 4
y x x x x x x § ·
¨ ¸
© ¹

226. 5 4 3
5 4 3
1 3 4 1 3
4 3 2
3 4 2
x x x
x x x
˜ ˜
c) 3 1
y x
x
'1 1 21 1 3
1 1
3 3 32 2 2
1 1 1 1
'
3 2 3 2
y x x x x x x
§ · § ·
¨ ¸ ¨ ¸
© ¹© ¹
3 2 3
1 1
3 2x x
d)

228. 3 2
2 1y x x

232. ' '3 2 3 2
' 2 1 2 1y x x x x ˜

234. 2 2 3
3 1 2 2x x x x ˜

235. 4 2 4 4 2 3
3 3 2 4 6 3 4 6 3 4x x x x x x x x x x
e) 3
siny x x

237. '3 3 2 3
' 'sin sin 3 sin cosy x x x x x x x x

238. 2
3sin cosx x x x
f) 2
lny x x

240. ' '2 2 2 1
' ln ln 2 lny x x x x x x x
x
˜

241. 2 ln 2ln 1x x x x x
g) 2
2 1x
y
x

245. '' 2 2 2
4 4
2 1 2 1 2 2 1 2
'
x x x x x x x x
y
x x
˜ ˜
19

246. 3 2
4
2 4 2x x x
x

247. 2
4
2 4 2x x x
x

249. 222
3 3 3
2 2 1 2 12 4 2 x x xx x
x x x
h) 2
1
x
e
y
x

255. ' 2 2 2
2 22 2
1 1 1 2
'
1 1
x x x x
e x e x e x e x
y
x x
˜

257. 2
22
1 2
1
x
e x x
x
i)
ln x
y
x

259. ' '
2 2 2
1
lnln ln 1 ln
'
x xx x x xxy
x x x
˜ ˜
16. Odrediti prvi izvod datih složenih funkcija:
a)

260. 32
8y x

264. 2 ' 2 22 2 2 2
' 3 8 8 3 8 2 6 8y x x x x x x ˜ ˜
b) 3
2 1y x

268. 2
'
3
2 23 3
1 1 2
' 2 1 2 1 2
3 3 2 1 3 2 1
y x x
x x
˜ ˜
c) 2 2x
y x e

270. '2 2 2 2 2 2
' 2 2 2 2x x x x
y xe x e x xe x e
˜ ˜ ˜

271. 2
2 1x
xe x
d)

272. 2
ln 1y x x

275. '2 2 2
2 2
1
' ln 1 1 ln 1 2
1 1
x
y x x x x x
x x
˜ ˜ ˜

276. 2
2
2
2
ln 1
1
x
x
x
e) lnsiny x

277. '1 1
' sin cos
sin sin
y x x ctg x
x x
˜
20

278. 17. Naþi drugi izvod funkcije:
a) 4 2
3 2 3 5y x x x
3
' 12 4 3y x x
2
'' 36 4y x
b)

279. ln 1y x
1
'
1
y
x

281. 2 2
0 1 1
''
1 1
y
x x
c)

282. 1
2 2 21 1y x x

283. 1
2 2
2
1
' 1 2
2 1
x
y x x
x
˜

285. 21
2
2 2 2
2
2 2
2
1 11 1 2
12''
11
x
xx x x x
xy
xx
˜

286. 2 2
2
2 2 2
1
11
1 1 1
x x
x
x x x
d)
2
x
y e

287. 2
' 2x
y e x
˜

291. 2 2 2
2
'' 2 2 2 4 2x x x
y e x x e e x
˜ ˜
e)
2
2 2
1
x x
y
x

296. 2 2
2 2
2 2 1 2 2 1 2
'
1 1
x x x x x x
y
x x
˜

301. 2 2
4
2 2 1 2 2 1 1
''
1
x x x x x
y
x
˜ ˜

305. 2
3
2 2 1 2 2
1
x x x x
x
˜
21

308. 2 2
3 3
2 2 2 2 2 4 2
1 1
x x x x x
x x
f)

309. 3
2
1
x
y
x

314. 22 3 2 3
4 3
3 1 2 1 1 3 1 2
'
1 1
x x x x x x x
y
x x
˜ ˜

319. 2 2 3 2
3 3 3
3 3 2 3 3
'
1 1 1
x x x x x x x
y
x x x

324. 3 22 3 2
6
3 6 1 3 3 1 1
''
1
x x x x x x
y
x
˜ ˜

328. 2 3 2
4
3 6 1 3 3
1
x x x x x
x

330. 3 2 2 3 2
4 4
3 6 3 6 3 9 6
''
1 1
x x x x x x x
y
x x
18. Primenom Lopitalove teoreme izraĀunati graniĀne vrednosti
a)
2
3 21 1
1 0 2 2
lim lim
1 0 3 3x x
x x
x xo o
§ ·
¨ ¸
© ¹
b) 21 1
1 cos 0 sin 1
lim lim
0 2 2x x
x x
x xo o
§ ·
¨ ¸
© ¹
c)

332. 0 0 0 0
2
1
ln
lim ln 0 lim lim lim 0
1 1x x x x
x xx x x
x x
o o o o
f§ ·
˜ f ¨ ¸
f© ¹
d)

333. 1
1
1 2
0 0 0
2
1
lim 0 lim lim
1 1
x
x
x
x x x
e
e x
xe
x x
o o o
§ ·
˜ ¨ ¸f§ · © ¹˜f f¨ ¸
f© ¹
22

334. e) 2 2
1
ln 1
lim lim lim 0
2 2x x x
x x
x x xof of of
f) 2 2
2
3 2
lim lim 0
2x xx x
x x
e e xof of
˜
19. Odrediti taĀke maksimuma i minimuma i intervale monotonosti funkcije:
a) 4 3 3
4 8 3 :y x x x D x R 

335. 3 2 2
' 4 12 16 4 3 4y x x x x x x
2
' 0 0 3 4 0y x x xœ ›
0 1 4x x xœ › ›
x
2
3 4x x y'

337. , 1 0,4 ' 0x y y f ‰ p

339. 1,0 4, ' 0x y y ‰ f ! n

343. 4 3 2
min 1 1 4 1 8 1 3 1 4 8 3 0y y

344. max 0 3y y

345. 4 3 2
max 4 4 4 4 8 4 3 125y y ˜
b) 2
2
, :
1
x
y D x R
x


350. 2 22 2
2 2 22 2 2
2 1 2 2 2 12 2 4
'
1 1 1
x x x xx x
y
x x x
˜
2 2
0 1 0 1 1y x x xœ œ ›

351. 22 2
1 0 1x x !

353. , 1 1, ' 0x y y f ‰ f p

354. 1,1 ' 0x y y ! n
23

356. min
2
1 1
1 1
y y

357. max
2
1 1
1
y y
x
c)
3
2
, :
3
x
y D x R
x


363. 2 2 3 2 24 2 4 4 2
2 2 2 22 2 2 2
3 3 2 93 9 2 9
'
3 3 3 3
x x x x x xx x x x x
y
x x x x
˜
' 0 ,y x R y!  Ÿ n i nema ekstremne vrednosti.
d)

364. 3
1 :x
y x e D x R


367. ' 3 3
23 3 33
1 3 1 3 11 1 3 3
'
x x
x x xx
e x e xx x
y
e e ee
˜ ˜ § ·
¨ ¸
© ¹
3
4 3
' x
x
y
e
3
0x
e ! 4 3x
4
, ' 0 ,
3
x y y
§ ·
 f ! n¨ ¸
© ¹
4
, ' 0 ,
3
x y y
§ ·
 f p¨ ¸
© ¹
4 4
3
3
4
1
4 13max
3 3
y y
e
e
˜
§ ·
¨ ¸
© ¹
20. Ispitati konveksnost i konkavnost i odrediti prevojne taĀke funkcija:
a) 4 2
6 4 :y x x D x R 
3
' 4 12y x x

368. 2 2
'' 12 12 12 1y x x
24

369. 2
'' 0 1 0 1 1y x x xœ œ ›
''y

371. , 1 1, '' 0x y y f ‰ f ! ‰

372. 1,1 '' 0x y y ˆ

374. 1 1
1, 1 1 6 4 1P f

376. 2 1, 1 1 1 6 4P f
b)

378. 2
2
: ,1 1,
1
x
y D x
x
 f ‰ f

384. 2 2 2 2
2 2 2 2
4 1 2 2 24 4 2 2 4
'
1 1 1 1
x x x x xx x x x x
y
x x x x

389. 2 2
4
4 4 1 2 4 2 1
''
1
x x x x x
y
x
˜

393. 2
3
4 4 1 2 2 4
1
x x x x
x

395. 2 2
3 3
4 4 4 4 4 8 4
''
1 1
x x x x x
y
x x
1 '' 0x y y ˆ
1 '' 0x y y! ! ‰
funkcija nema prevojnih taĀaka.
c)

396. 2 2
ln 1 , 1 0y x x x R ! Ÿ 
2
2
'
1
x
y
x

401. 2 22 2
2 2 22 2 2
2 1 2 2 2 12 2 4
''
1 1 1
x x x xx x
y
x x x
˜
2
'' 0 1 0 1 1y x x xœ œ ›
25

402. 2
1 x

404. , 1 1, '' 0x y y f ‰ f ˆ

405. 1,1 '' 0x y y ! ‰

408. 1 1,ln 2 1 ln 1 1 ln 2P f

409. 2 1,ln 2P
d) :y x arctg x D x R
2
'
1
x
y arctg x
x

412. 2 2 2 2
2 2 22 2 2 2
1 1 2 1 1 2 2
''
1 1 1 1
x x x x x x
y
x x x x
˜
'' 0y y! ‰ i nema prevojnih taĀaka.
21. Nacrtati grafik funkcije:
a)
- 2
2
x
x
y
1.

414. 2 0 : , 2 2,x D x z  f ‰ f
2.

416. 2 2 2
2 2 2
x x x
f x f x
x x x
ni parna, ni neparna
3. 0 2 0 2 , 2y x x Dœ œ 
x-2
x+2
sgn y
0 1x y
4.

417. 0 02
2 2 4
lim lim lim
2 2h hx
h h
f x
h h o oo
f

418. 0 0 02
2 2 4 4
lim lim lim lim
2 2h h hx
h h h
f x
h h h o o oo
f
26

419. : 2BA x

420. 2
1
2
lim lim lim 1
22 1
x x x
x xf x
x
x
of of of
: 1XA y
5.

425. 2 2 2
1 2 2 1 2 2 4
'
2 2 2
x x x x
y
x x x
˜ ˜
' 0x D y y ! Ÿ n
6.

428. 4 3
4 2 2 1 8
''
2 2
x
y
x x
˜ ˜
'' 0x D y z

429. , 2 '' 0x y y f ! ‰

430. 2, '' 0x y y f ˆ
27

431. b) 2
2
1
x
y
x
1. 2
1 0 :x D x R ! Ÿ 
2.

435. 2 2
2 2
11
x x
f x f x
xx
neparna
3. 0 2 0 0y x xœ œ

436. ,0 0x y f

437. 0, 0x y f !
4. 2
2
2
2 0
lim lim 0
11 11
x x
x x
x
x
of of
0XA y
5.

443. 2 22 2 2
2 2 2 22 2 2 2
2 1 2 2 2 12 2 4 2 2
'
1 1 1 1
x x x xx x x
y
x x x x
˜
2
' 0 1 0 1 1y x x xœ œ ›
2
1 x

445. 1 1, ' 0x y y f ‰ f p

446. 1,1 ' 0x y y ! n

448. 1
2
min 1 1 1, 1
1 1
y y M

450. 2
2
max 1 1 1,1
1 1
y y M
6.

457. 22 2 2 2 2
4 32 2
4 1 2 2 2 1 2 4 1 4 2 2
''
1 1
x x x x x x x x x
y
x x
˜ ˜

463. 2 2 2 2
3 3 32 2 2
4 1 2 2 4 3 4 3
''
1 1 1
x x x x x x x
y
x x x
28

465. 2
'' 0 4 3 0 0 3 3y x x x x xœ œ › ›
4x
2
3x
''y

467. , 3 0, 3 '' 0x y y f ‰ ˆ

469. 3,0 3, '' 0x y y ‰ f ! ‰

470. 1
3 2 3 3
3, 3
2 1 3 2
P f
§ · r
r r¨ ¸¨ ¸ © ¹

471. 2 0,0P
c)
2
3
4
x x
y
x
1.

473. 4 0 : , 4 4,x D x z  f ‰ f
29

474. 2.

478. 2 2 2
3 3 3
4 4 4
x x x x x x
f x f x
x x x
3.

479. 2
0 3 0 3 0 0 3y x x x x x xœ œ œ ›
2
3x x
4x
sgn y

481. , 4 3,0 0x y f ‰

483. 4, 3 0, 0x y ‰ f !
4.

485. 22 2
0 04
4 3 43 16 8 12 3
lim lim lim
4 4 4h hx
h hx x h h h
x h h o oo
˜
2
0
4 5
lim
h
h h
ho
f

487. 22 2
0 04
4 3 43 16 8 12 3
lim lim lim
4 4 4h hx
h hx x h h h
x h h o oo
2
0
4 5
lim
h
h h
ho
f
: 4BA x
2
2
3
1
3
lim lim
1 44x x
x x x nema XA
x
x x
of of
f Ÿ

490. 2
3 3
134lim lim lim lim 1
44 1
1
x x x x
x x
f x x xx x
xx x x
x
of of of of
KA: y ax b

492. 2 2 3
3 3 4
lim lim lim lim
4 4 4x x x x
x x x x x x x
b f x ax x
x x xof of of of
§ ·
¨ ¸
© ¹
30

493. 1
lim 1 1
4
1
x
b
x
of
Ÿ
: 1KA y x
5.

499. 2 2 2 2
2 2 2
2 3 4 3 1 2 3 8 12 3 8 12
'
4 4 4
x x x x x x x x x x x
y
x x x
˜
2
' 0 8 12 0 2 6y x x x xœ œ ›
2
8 12x x

501. , 6 2, ' 0x y y f ‰ f ! n

502. 6, 2 ' 0x y y p

504. 1
36 18 18
max 6 9 6, 9
6 4 2
y y M

506. 2
4 6 2
min 2 1 2,1
2 4 2
y y M
6.

515. 2 2 2
4 3
2 8 4 8 12 2 4 1 2 8 4 2 8 12
''
4 4
x x x x x x x x x
y
x x
˜ ˜

517. 2 2
3 3
2 8 8 32 2 16 24 8
''
4 4
x x x x x
y
x x
'' 0y x Dz 

518. , 4 '' 0x y y f ˆ

519. 4, '' 0x y y f ! ‰
31

520. d)

521. 3
2
-1
x
y
x
1.

523. 1 0 : ,1 1.x D x z  f ‰ f
2.

529. 3 3 3
2 2 2
1 1 1
x x x
f x f x
x x x
ni parna ni neparna.
3. 3
0 0 0 0y x x Dœ œ 

530. ,0 0x y f !

532. 0.1 1 0x y ‰ f
32

533. 4.

537. 3 3
2 20 01
1 1
lim lim lim
1 1h hx
h h
f x
hh
o oo
f

541. 3 3
2 21 0 0
1 1
lim lim lim
1 1x h h
h h
f x
hho o o
f
: 1BA x

543. 3 2
2
3 6
lim lim lim
2 1 21h h h
x x x
xxof of of
f f§ · § ·
f¨ ¸ ¨ ¸
f f© ¹ © ¹
nema XA
KA: y ax b

546. 3
2 3 2
2 2
1
lim lim lim lim
2 11x x x x
x
f x x x x
a
x x x xx xof of of of
2
1
lim 1 1
2 1
1
x
a
x x
of
Ÿ

551. 3 23
2 2
2 1
lim lim lim
1 1x x x
x x x xx
b f x ax x
x xof of of
ª º
« »
« »¬ ¼
3 3 2
2
2
1
2
2
lim lim 2 2
2 12 1 1
x x
x x x x x b
x x
x x
of of
Ÿ

552. 3
2
: 2
1
x
KA y x y
x

555. 3
2
2 3
3 2 2 3
2
1
2 2 1
2 2 4 2
3 2
x
x
x
x x x x
x x x x x x
x
33

556. 2
3
2
;
3
2 2 8
2
3 3 3
2 8
;
3 3
s
x
S y
y
S
§ ·
¨ ¸
© ¹
§ ·
¨ ¸
© ¹
§ ·
¨ ¸
© ¹
5.

562. 22 3 2 3 3 2 3
4 3 3
3 1 2 1 1 3 1 2 3 3 2
'
1 1 1
x x x x x x x x x x
y
x x x
˜ ˜

563. 3 2
3
3
'
1
x x
y
x

564. 3 2 2
' 0 3 0 3 0 0 3y x x x x x xœ œ œ ›
3x

565. 3
1x
sgn 'y

567. ,1 3, ' 0x y y f ‰ f ! n

568. 1,3 ' 0x y y p

570. 12
27 27 27
1 min 3 3,
4 43 1
D y y M
§ ·
 ¨ ¸
© ¹
6.

579. 3 22 3 2 2 3 2
6 4
3 6 1 3 3 1 1 3 6 1 3 3
''
1 1
x x x x x x x x x x x
y
x x
˜ ˜

581. 3 2 2 2 2
4 4
3 6 3 6 3 9 6
1 1
x x x x x x x
x x
'' 0 6 0 0y x xœ œ
34

583. ,0 '' 0x y y f ˆ

585. 0,1 1, '' 0x y y ‰ f ! ‰

586. 0,0P
e)
1
x
y xe
1.

588. 0 : ,0 0,x D xz  f ‰ f
2.

590. 1
x
f x xe f x
ni parna ni neparna
3.
1
0 0 0 , 0x
y xe x Dœ œ 
funkcija nema nula
0 0x y
0 0x y! !
4.

592. 1
1
0
0 00
lim lim 0 lim
1
h
h
x xx
e
f x h e
h
o oo
f§ ·
¨ ¸
f© ¹
35

593. 1
12
0 0
2
1
lim lim
1
h
h
x x
e
h
e
h
o o
§ ·
¨ ¸
© ¹ f

596. 1
0
100 0
1
lim lim 0 lim 0h
xx x
h
f x h e h
e
oo o
˜ ˜
0x je vertikalna asimptota sa desne strane
1
lim x
x
xe nema XA
of
f KA: y ax b

597. 1
1
0
lim lim lim 1 1
x
x
x x x
f x xe
a e e a
x xof of of
Ÿ

599. 1
1 1
1
lim lim lim 1 lim
1
x
x x
x x x x
e
b f x ax xe x x e
x
of of of of
§ · § ·
¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
1
12
0
2
1
0
lim lim 1 1
10
x
x
x x
e
x
e e b
x
of of
§ ·
˜ ¨ ¸
§ · © ¹ Ÿ¨ ¸
© ¹
: 1KA y x
5.
1 1 1 1
2
1 1 1
' 1x x x x
x
y e xe e e
x x x
§ · § ·
˜ ˜¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
' 0 1 0 1y x xœ œ
1x
x
sgn 'y

601. ,0 1, ' 0x y y f ‰ f ! n

602. 0,1 ' 0x y y p

604. 0 min 1 1,D y y e M e
36

605. 6.

606. 1 1 1
2 2 3 2
11 1 1 1
'' x x x
x xx x x x
y e e e
x x x x x
§ · ª º
˜ ˜ ˜ ¨ ¸ « »© ¹ ¬ ¼
1 1
3 3
1 1x x
x x
e e
x x
˜ ˜
'' 0y za x Dz 

607. ,0 '' 0x y y f ˆ

608. 0, '' 0x y y f ! ‰
f)
ln
x
y
x
1.

610. 0 ln 0 : 0,1 1,x x D x! š z  ‰ f
2. 0 0 0y x Dœ  nema nula
x
ln x
sgn y
37

612. 0,1 0x y

613. 1, 0x y f !
3.

614. 0 00
1
lim lim lim 0
ln lnh hx
h
f x h
h h o oo
˜

616. 01
1
lim lim
ln 1hh
h
f x
h oo
f

618. 01
1
lim lim
ln 1hh
h
f x
h oo
f
: 1BA X

619. 1
lim lim lim lim
1lnx x x x
x
f x x
x
x
of of of of
f§ ·
f¨ ¸
f© ¹
nema XA

620. 1lnlim lim lim 0
lnx x x
x
f x xa
x x xof of of
nema KA
4. 2 2
1
ln
ln 1
'
ln ln
x x
xxy
x x
˜
' 0 ln 1 0 ln 1 ,y x x x e e Dœ œ œ 
ln 1x

622. 0,1 1, ' 0x e y y ‰ p

623. , ' 0x e y y f ! n

625. 1 min 1,
ln
e
D y y e e M e
e

5.

627. 2
4 3
1 1 1 1
ln ln 1 2ln ln 2 ln 1
''
ln ln
x x x x x
x x x xy
x x
˜ ˜ ˜ ˜

628. 3 3
1
ln 2ln 2
2 ln
ln ln
x x
xx
x x x
38

629. 2 2
'' 0 2 ln 0 ln 2 ,y x x x e e Dœ œ œ 
2 ln x
x
3
ln x
''y

631. 2
0,1 , '' 0x e y y ‰ f ˆ

632. 2
1, '' 0x e y !

633. 2 2 2
2 2 2
2
1 ,
2 ln 2
e e e
D e D P e f e
e
§ ·
  ¨ ¸
© ¹
g) 3 3
-3y x x
1. :D x R
2.

637. 3 3 33 3 33 33 3 3 3f x x x x x x x x x

639. f x f x neparna
39

640. 3.

641. 3 2
0 3 0 3 0 0 3 1y x x x x x x xœ œ œ › ›
x
2
3x
y

643. , 3 0, 3 0x y f ‰

645. 3,0 3, 0x y ‰ f !
4. 3 3
lim 3
x
x x nema XA
of
f

646. 3 3 3
3 3
3 2
1
lim lim lim lim 1 1 1
x x x x
f x x x x x
a a
x x x xof of of of
Ÿ

651. 2 33 3 23
3 3
2 33 3 23
3 3
lim lim 3
3 3
x x
x x x x x x
f x ax x x x
x x x x x x
of of
˜
3
3 6 4 2 3 3 2 3 6 4 2 3 3
2
3
3
lim lim
6 9 3 6 9 3
1
3
x x
x x
x x x x x x x x x x x x
x x
x x
of of
3 3
2 4 2
3
0
lim 0
36 9 3
1 1 1
x
xb
x x x
of

652. 3 33 3
3 3
:
:
3 3
3
0
0;0
KA y x
presek sa KA
y x y x x x x x
x x x
x
O
Ÿ
40

653. 5.

658. 22 2
3 23
2 23 23 3
3 11 1
' 3 3 3 ' 0
3 3 3 3
x x
y x x x y
x x x x
˜
2
' 0 1 0 1 1y x x xœ œ ›
Prvi izvod nije definisan u taĀkama 3, 3 0i

660. , 1 1, ' 0x y y f ‰ f ! n

661. 1,1 ' 0x y y p

663. 3 33
max 11 1 3 2 1, 2y y M

665. 3 33
min 21 1 3 2 1, 2y y M
6.

670. 1
23 2 3 23 3
433
2
2 3 1 3 3 3
3''
3
x x x x x x x
y
x x
˜ ˜

674. 2 2
233
3 3
433
2 1 1
2 3
3''
3
x x
x x x
x xy
x x
˜

678. 3 4 2
4 2 4 23 3
4 53 33 3
2 3 2 2 1
2 6 2 4 23''
3 3
x x x x x
x x x xx xy
x x x x

681. 23
5 53 33 3
2 12 2
''
3 3
xx
y
x x x x
41

682. Drugi izvod menja znak u taĀkama sa apscisama 3, 0, 3i

683. 2
2 1x

684. 533
3x x
''y

686. , 3 0, 3 '' 0x y y f ‰ ! ‰

688. 3,0 3, '' 0x y y ‰ f ˆ

691. 1 2 33,0 0,0 3,0P P P
42

692. 22. IzraĀunati priraštaj i diferencijal funkcije 2
3y x x za 1x i 0,01.h

694. 1 1y f h f'

697. 2 2
3 1 1 3 1 1h h˜ ˜

698. 2
3 1 2 1 3 1h h h˜
2
3 6 3 3h h h
2
3 5h h

699. 3 5h h˜

700. 0,01 0,03 5
0,01 5,03˜
0,0503

701. 'dy f x dx

702. 6 1x h ˜
5 0,01˜ 0,05
23. Dokazati da su za dovoljno malo h taĀne približne formule:
a)
1
1 1
2
h h |

703. f x x

706. 'f x h f x f x h | ˜
1
2
x h x h
x
| ˜
1
2
x h x h
x
| ˜
1x
1
1 1
2 1
h h | ˜
1
1 1
2
h h |
43

707. b) 3 1
1 1
3
h h |
c) 1h
e h|
d)

708. ln 1 h h |
24. Odrediti približnu vrednost:
a) 3
8,02

710. 3
3 2
1
'
3
f x x f x
x
3 3
3 2
1
3
x h x h
x
| ˜
3 3
3 2
8 , 0,02
3
h
x h x x h
x
|
33
3
0,02
8,02 8
3 64
|
3
0,02
8,02 2 2,00166
3.4
|
25. Koristeþi Tejlorovu formulu razložiti polinom:

711. 4 3 2
2 5 3 8 4P x x x x x po stepenima 2x

712. 4 3 2
2 2 2 5 2 3 2 8 2 4 32 40 12 16 4 0P ˜ ˜ ˜ ˜

713. 3 2
8 15 6 8I
P x x x x

714. 3 2
2 8 2 15 2 6 2 8 64 60 12 8 0I
P ˜ ˜ ˜

715. 2
24 30 6II
P x x x

716. 2 24 4 30 2 6 96 66 30II
P ˜ ˜

717. 48 30III
P x x

718. 48 2 30 96 30 66III
P x ˜

720. 48 2 48IV IV
P x P
44

731. 2 32 2 2 2
2 2 2 2 2
1! 2! 3! 4!
I II III IV
P P P P
P x P x x x x

735. 2 3 430 66 48
2 2 2
2 6 24
P x x x x˜

739. 2 3 4
15 2 11 2 2 2P x x x x
26. Koristeþi Maklorenovu formulu dokazati:
a)
2
1 1
2 8
x x
x |

741. 1 0 1f x x f

743. 1 1
' ' 0
22 1
f x f
x

748. 1
1
1 12 1'' '' 0
2 1 44 1 1 )
x
xf f
x x x

752. 2' 0 '' 0
0
1! 2!
f f
f x f x x| ˜

753. 2 2
1
1 1 141 1
2 2 2 8
f x x x x x|
b)
4
2 2
cos 1
3
x
x x|

755. 2
cos 0 0 1f x x a f

758. 2
' 2cos sin sin 2 0 0I
f x x x x f

761. '' cos2 2 2cos2 0 2II
f x x x f ˜

764. '' 2 sin 2 2 4sin 2 0 0III
f x x x f ˜ ˜

767. 4cos2 2 8cos2 0 8IV IV
x
f x x f˜
2 2 3 40 2 0 8
cos 1.
1! 2! 3! 4!
x x x x x
|
45

768. 2 2 41
cos 1
3
x x x|
27. Naþi prve parcijalne izvode funkcije:
a) 2 2
' 2 ' 2x yz x y z x z y
b) 2
1
' 'x y
x x
z z z
y y y
c)

770. 2 2
'y
x x y x y
z z
x y x y x y

773. 2 2
1
'y
x x
z
x y x y
˜
d)

774. 2
2 2 2
1 1
' ' 2
2 2
x y
y
z x y z z y
x y x y x y

780. 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2
2 2 22 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 4
'x
x x y x x y x x y x yx y xy
z z
x y x y x y x y

787. 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2 2 2 2
2 2 2 4
'y
y x y x y y y x y x y x y
z
x y x y x y
˜
28. Naþi parcijalne izvode prvog i drugog reda:
a) 3 3
z x xy y
2
2
' 3 '' 6
' 3 '' 1 '' 1
'' 6
x xx
x xy yx
yy
z x y z x
z x y z z
z y
b)

788. 2
lnz x y
2 2
1 1
' 1xz
x y x y
˜
2 2
1 2
' 2y
y
z y
x y x y
˜
46

791. 2 22 2
1 2
'' ''xx xy
y
z z
x y x y

794. 2
2 22 2
2 2
'' ''yy yx
x y y
z z
x y x y
c)
xy
z
x y

796. 2
21
2 2 2
'
2
x
y x y xy
y x y xy
x y x y xy y
z
x y x y x y x y
˜

799. 2
21
1
2 2 2
'
2
y
x x y xy
x x y xy
x y x y x xy
z
x y x y x y x y
˜

803. 3 1
2
2 2
3
3
2 2 2
2''
4
xx
y x y xy y x y
z
x y
˜ ˜ ˜ ˜

811. 13 1
22 22 2
3 3
2 3 22 3 2
4 4
x y y x y xy yy x y xy y x y
x y x y
ª º ¬ ¼

814. 22 2
3 3
42 2 3 6
4 4
y xy x yx y xy y xy y
x y x y
ª º ¬ ¼

819. 3 1
2
2 2
3
3
4 2 2 2
2''
4
xy
x y x y xy y x y
z
x y
˜ ˜

824. 1
2
2
3
2 8 3 2
4
x y x y x y xy y
x y
ª º ¬ ¼

825. 2 2 2
3
2 8 2 8 3 6
4
x y x xy xy y xy y
x y
ª º ¬ ¼
47

828. 2 2
3
2 13 14
4
x xy y x y
x y

834. 3 1
2
2 2
3
3
2 2 2 1
2''
4
yy
x x y x xy x y
z
x y
˜ ˜ ˜

839. 1
2
2
3
2 3 2
4
x y x x y x xy
x y

841. 2 2
3
2 2 6 3
4
x xy x xy x y
x y

843. 2
3
4 3
4
x xy x y
x y
29. Naþi totalni diferencijal I i II reda za funkcije:
a) 2 2
z x xy y
' 2xz x y
' 2yz x y

845. 2 2dz x y dx x y dy
'' 2 '' 1 '' 2xx xy yyz z z
2 2 2
2 2 2d z dx dx dy dy
b)

846. 2
lnz x y
2 2
2 1
' 'x y
x
z z
x y x y
2 2
2 1x
dz dx dy
x y x y

850. 2 2 2 2
2 2 22 2 2
2 2 2 2 2 4 2 2
''xx
x y x x x y x x y
z
x y x y x y
˜
48

854. 2 22 2
2 1 2
''xy
x x
z
x y x y
˜

855. 22
1
''yyz
x y

859. 2
2 2 2
2 2 22 2 2
2 4 1
z
x y x
d dx dx dy dy
x y x y x y
30. Naþi Maklorenov polinom za funkciju x y
z e
pri 3n .

860. 0,0
' ' / 1x y
x xz e z

862. 0,0
' 1 ' / 1x y
y yz e z
˜

863. 0,0
'' '' / 1x y
xx xxz e z

865. 0,0
'' 1 '' / 1x y
xy xyz e z

866. 0,0
'' '' / 1x y
yy yyz e z

867. 0,0
''' ''' / 1x y
xxx xxxz e z

869. 0,0
''' 1 ''' / 1x y
xxy xxyz e z

870. 0,0
''' ''' / 1x y
xyy xyyz e z

872. 0,0
''' 1 ''' / 1x y
yyy yyyz e z
@ 2 2 3 2 2 31 1 1
1 2 3 3
1! 2! 3!
x y
e x y x xy y x x y xy y
ª º ª º| ¬ ¼ ¬ ¼

875. 2 31 1
1
2 6
x y
e x y x y x y
|
31. Naþi Tejlorov polinom drugog reda za funkciju:
3 2
2 3z x y xy u taĀki (1,2).

876. 2
1,2
' 3 3 ' / 3 6 9x xz x y z

877. 1,2
' 4 3 ' / 8 3 5y yz y x z

878. 1,2
'' 6 '' / 6xx xxz x z

879. 1,2
'' 3 '' / 3xy xyz z
49

881. 1,2
'' 4 '' / 4yy yyz z

882. 1,2
/ 1 8 6 1z

888. 21 1
1 1 9 2 5 1 6 6 1 2
1! 2!
z x y x x yª| ˜ ˜ ˜ ª º¬ ¼ ¬

890. 2
2 4y ˜ º¼
32. Naþi lokalne ekstremne vrednosti funkcije 3 2
3 15 12z x xy x y
2 2
2 2 2 2
2 4 2
2
' 3 3 15
' 6 12
3 3 15 0 5
2
6 12 0 2
4
5 4 5
x
y
z x y
z xy
x y x y
xy xy y
x
x x x
x
= + -
= -
+ - = + =
- = = ğ =
+ = + =
4 2 2
2
5 4 0 , 0
5 4 0
x x x t t
t t
- + = =
- + =
2 2
1 2
1 4
1 4
1 1 2 2
2 2 1 1
t t
x x
x x x x
y y x x
= Ú =
= =
= Ú = - = - Ú =
= = - = - =
Stacionarne taĀke su

894. 1 2 3 41,2 , 1, 2 , 2, 1 2,1M M M i M
'' 6 '' 6 '' 6xx xy yyz x z y z x
a)

895. 1 1,2M
6 12 6 144 36 108A B C '
%0 pa funkcija nema ekstremnu vrednost.
b)

896. 2 1, 2M
6 12 6 144 36 108A B C '
%0 pa funkcija nema ekstremnu vrednost.
50

897. c)

898. 3 2, 1M
12 6 12 36 144 108A B C '
%0 i A0 pa funkcija ima lokalni maksimum.

903. 3 2
max 2 3 2 1 15 2 12 1
8 6 30 12
28
z ˜ ˜ ˜ ˜
d)

904. 4 2,1M
12 6 12 36 144 108A B C '
%0 i A0 pa funkcija ima lokalni minimum
3 2
min 2 3 2 1 15 2 12 1
8 6 30 12
28
z ˜ ˜ ˜ ˜
33. Naþi uslovne ekstremne vrednosti sledeþe funkcije
2 2
z x y pri uslovu 1
2 3
x y
.

905. 2 2
, 1
2 3
O
§ ·
¨ ¸
© ¹
x y
F x y x y ' 2 x
I
F x
2
' 2yF y
l
= +
3
' 1
2 3
x y
F l = + -
2 0
2 4
x x
l l
+ = ğ = -
2 0
3 6
y y
l l
+ = ğ = -
1 0
2 3
x y
___________
51

906. 1 0
9
1
l l
l l
- - - =
-
=
8 18
-4
72
13
1
72
l- =
72
13
1 72 18
4 13 13
1 72 12
6 13 13
18 12
,
13 13
O
§ ·
˜ ¨ ¸
© ¹
§ ·
¨ ¸
© ¹
§ ·
¨ ¸
© ¹
x
y
M
'' 2 '' 0 '' 2xx xy yyF F F
2 2 2
2 2 0d F dx dy !
pa u taĀki
18 12
,
13 13
M
§ ·
¨ ¸
© ¹
funkcija ima uslovni minimum
min
324 144 468
169 169 169
z
ZADACI ZA VEŽBU:
1. Proveriti da li su taĀno odreĄene oblasti definisanosti za sledeþe funkcije:
a)

909. 2
1
, ,1 1,1 1,
1
y x
x
 f ‰ ‰ f
b)

910. 1
, 2,
2
y x
x
 f
c)
2
2
,
x
y x e x R
˜ 
52

911. d)

912. 4
ln , 1,4
1
x
y x
x

e)

914. 1 ln
, 0, ,
1 ln
x
y x e e
x
 ‰ f
f)

915. 1, 3,
3
x
y x x
x
 f
g) @
2
3
2 , 0,3x x
y x

2. Odrediti oblast definisanosti funkcije:
a)
2
2
16
;
5 4
x
y
x x
b) 3
2 1
;
1
x
y
x
c) 2
9y x d) 2
5
;
4 3
x
y
x x
e) 2
2 12;y x x x f)

916. 2 2
log 4 36 ;y x x
g)
1 2
ln ;
2
x
y
x
h)
1
x
y e
3. Ispitati parnost odnosno neparnost funkcije:
a)
2
2
;
x
y e
b)

917. 2
1 2
;
1
x
y
x
c)
2
2
x
y
x
d)
3
2
1
;
x
y
x
e)
2
;
2
x
y
x
h) 2
3
x
e
y
x
g) 4
;y x h) ;y x i) 2 1
;
2
y x x
j) 3
;y x k) 2 2 ;x x
y
l)
3
2
;
1
x
y
x
4. Odrediti znak i nule funkcije:
a)
2
2 2
;
1
x x
y
x
b) 2
;
4 3
x
y
x x
c)
3
2
;
1
x
y
x
53

918. d)

919. 2
2 ;x
y x e
e)

920. 2
1 ;x
y x e f) 2
;
4
x
e
y
x
g) 2
ln ;y x x h) ln ;y x x i) 23
1 ;y x
j) 2
4
;
4
x
y
x
k)
2
2
2 1
1
x x
y
x
5. IzraĀunati sledeþe graniĀne vrednosti:
a)
3
6 5
lim ;
4 2x
x
xo
b) 21
2
lim ;
1x
x
xo
c)
2
1
lim
2
x
xo
§ ·
¨ ¸
© ¹
6. Proveriti sledeþe graniĀne vrednosti:
a)
2
21
4 3 2
lim ;
2 3x
x x
x xo
b)
2
21
2 1
lim 0;
x
x x
x xo
c)
3 2
22
3 2 2
lim ;
6 5x
x x x
x xo
d)
0
1 1 1
lim ;
2x
x
xo
e)
9
9
lim 6;
3x
x
xo
f) 38
8
lim 12.
2x
x
xo
7. IzraĀunati graniĀne vrednosti:
a)
2
1
2 3
lim ;
1x
x x
xo
b)
2
31
2
lim ;
4 3x
x x
x xo
c)
2
22
5 6
lim
4x
x x
xo
d) 21
1 2
lim ;
1 1x x xo
§ ·
¨ ¸
© ¹
e)
3
3
lim ;
1 2x
x
xo
f)
3 3
0
1 1
lim ;
x
x x
xo
g) 23
4 1
lim ;
9x
x
xo
h)
2
2
4
lim .
2 2x
x
x xo
§ ·
¨ ¸
© ¹
8. Proveriti sledeþe rezultate:
a)
3
1
lim ;
2x
x
xof
f
b) 3
2
lim 0;
x
x
x xof
c)
2
2
3 2 1
lim 3;
3x
x x
xof
d)

921. lim 0
x
x a x
of
54

922. 9. IzraĀunati:
a)
3 7
lim ;
5 2x
x
xof
b)
2
1
lim ;
2x
x x
xof
c) 2
3
lim ;
1x
x
x xof
d)
3
4 2
lim ;
3 1x
x x
x xof
e)
3 2
2
2
lim ;
1x
x x
x
xof
§ ·
¨ ¸
© ¹
f)
3
2
3 2 1
lim ;
1x
x x
xof
g)

923. lim 1 1 ;
x
x x
of
h)

924. 2 2
lim 1 1 ;
x
x x x
of
10. Proveriti sledeþe rezultate:
a) 22
lim 1
x
x
e
xof
§ ·
¨ ¸
© ¹
b)
2 2
3
1
lim 1
3
x
x
e
xof
§ ·
¨ ¸
© ¹
c)
2 5
1
lim 1
2 5
x
x
e
x
of
§ ·
¨ ¸
© ¹
d)
2
61
lim
2
x
x
x
e
xof
§ ·
¨ ¸
© ¹
e)

925. 5
10
0
lim 1 2 x
x
x e
o
f)

926. 0
ln 1 2
lim 2
x
x
xo
11. Proveriti rezultate:
a)
0
1
lim ;
sin 2 2x
x
xo
b)
0
1 cos2
lim 2;
sinx
x
x xo
c)
2
0
sin
lim 2;
1 cosx
x
xo
d)

927. 0
sin 1
lim 2
1x
x
xo
12. IzraĀunati sledeþe graniĀne vrednosti:
a)
3
lim 1 ;
2
x
x xof
§ ·
¨ ¸
© ¹
b)
4
2
lim 1 ;
3
x
x xof
§ ·
¨ ¸
© ¹
c)
2 3
lim ;
2 1
x
x
x
xof
§ ·
¨ ¸
© ¹
d)
2
33
lim ;
9
x
x
x
xof
§ ·
¨ ¸
© ¹
e)

928. 2
lim 1 3 ;x
x
x
of
f)

929. 1
3lim 1 2 ;x
x
x
of
g)

930. ln 1
lim ;
2x
x
xof
h)

931. ln 1 2
lim ;
3x
x
xof
55

932. i)
sin3
lim ;
5x
x
xof
j) lim ;
2x
tgx
xof
k)
1 cos2
lim
2sin cos
2 2
x
x
x xof
13. Dokazati da je:
a)
0
1
lim 1;
x
x
e
xo
b)
0
1
lim ln
x
x
a
a
xo
14. Ispitati neprekidnost sledeþih funkcija:
a)

933. 2
1
;
2
x
f x
x
b)

934. 2 5, 1
1
, 1
x x
f x
x
x
d ­
°
®
! °¯
c)

935. 1
;x
f x e d)

936. 3
1
, 1
1
2, 1
x
x
f x x
x
­
z°
®
°
¯
e)

937. 1
x
e
f x
x
15. Odrediti asimptote grafika funkcije:
a) 2
2
;
1
x
y
x
b)
2
2
4
;
4
x
y
x
c) 2
1
;y x
x
d)
3
2
2
;
1
x
y
x
e)
2
6
;
2
x x
y
x
f) 2
;
4 3
x
y
x x
g)

938. 3
2
;
1
x
y
x
h)
2
2
;
1
x x
y
x
i) 2
4
x
y
x
16. Proveriti da li je taĀno odreĄen prvi izvod funkcije
a) 6 5 5 4
5 3 4 8 ' 30 15 4y x x x y x x
b) 3
2 3 43 2 3
2 3 1 1 1 3 3
4 '
5 53
y x y
x x x xx x x
c)

940. 2 2
1 ' 2 1x x
y x e y x x e
d)

941. 2
cos ' 2cos siny x x y x x x x
56

942. e)

943. 2
22 2
4
'
2 2
x x
y y
x x
f) 2
ln 2 2
'
ln ln
x
y y
x x x
17. IzraĀunati prvi izvod sledeþih funkcija:
a) 4 3 2
3 5 6 9 8;y x x x x
b) 3 8
4 3
2 3
3 ;y x x
x x
c) 3
6
2 5
2 ;
3
y x x
x
d) 3
1 1 1
;y
x x x
e)

945. 2 2
3 3 2 1 ;y x x x x
f)

947. 1 2 ;y x x
g) sin cos ;y x x x
h)

948. 2
1 ;y x arctg x
i)
3
;
4
x
y
x
j) 2
1
;
1
y
n
k) ;
1 cos
x
y
x
l)
sin
;
1
x x
y
tg x
m) 2
3log ;y x x
n)
1 ln
;
1 ln
t
y
t
o) 2
ln
;
1
t
y
t
57

949. p)
5
;
ln
y
x
q)

950. 2
2 3 ;x
y x x e
r)
sin
x
e
y
x
18. Pokazati da je:
a)

952. 2 2'
3 3
2 3 ;x x x x
e e x
b)
'
2 1
1 2
ln ;
1
x
x x
§ ·
¨ ¸
© ¹
c)

954. 2 2'
2 3
3 2 4 ;x x
x e x x e ª º
¬ ¼
d)

955. '2 2ln
ln
x
x
x
19. Odrediti prvi izvod funkcija:
a) ;x
y xe
b)
1
;x
y xe
c)

956. 2
2 1 ;x
y e x x
d) 2
ln ;y x x
e)

957. ln 1 ;x
y e
f)
2
4
;
4
y
x
g) 3
3 ;y x x h)
2
2
;x
y x e
i) 2
ln
x
y
x
20. Odrediti druge izvode funkcija:
a)

958. 2
4 12
;
2
x
y
x
b) 2
;
4
x
y
x
c)
3
2
;
1
x
y
x
d) 2
;
2 3
x
y
x x
e)
3
2
;
1
x x
y
x
f)
1
1
;x
y xe
g)

959. 2
2 ;x
y x e
h) 2
;
4
x
e
y
x
58

960. i) ;
ln
x
y
x
j) 2
ln ;y x x
k)
3 2
;
1
x
y
x
l) 2
ln ;y x x
m) 2
1 ;y x n) 3 3
3y x x
21. Dokazati da je:
a)

961. 3
lim 0 0kxx
x
k
eof
!
b)

962. 5
lim 0 1xx
x
a
aof
!
c) 4
ln
lim 0
x
t
tof
22. IzraĀunati:
a)
0
1
lim ;
sin 2
x
x
e
xo
b)
3
0
lim ;
sinx
x
x xo
c) 2
0
lim ln ;
x
x x
o
d) 2
5
lim ;
x
x xof
e)
1 ln
lim ;
1 lnx
x
xof
f) lim x
x
xe
of
23. Odrediti domen funkcije 2
3
4 3
x
y
x x
24. Ispitati parnost funkcije:
2
2
x
y
x
25. Odrediti nule i znak funkcije:

963. 2
lny x x
26. Ispitati neprekidnost funkcije:
3
1
, 1
1
2 , 1
x
x
y x
x
­
z °
®
° ¯
59

964. 27. Odrediti asimptote grafika funkcije:

965. 2
1
2
x
y
x
28. Da li funkcija
1
x
y xe
ima kosu asimptotu?
29. Odrediti taĀke maksimuma i minimuma i intervale monotonosti funkcije:
a) 3 21
3 ;
3
y x x x b)
2
;
2
x
y
x
c) 2
;x
y x e
d) 2
ln ;y x x e)

966. 2
2
1 x
y x e
30. Ispitati konveksnost i konkavnost i odrediti prevodne taĀke funkcije:
a) 3 2
4 4 ;y x x x b) 2
;
1
x
y
x
c)

967. 2
2
1 ;x
y x e
d)

968. 2
1 ln 1 ;y x
e)
ln x
y
x
31. Odrediti ekstremne vrednosti i intervale monotonosti funkcije 2
2x
y
x
.
32. Ima li funkcija y x tgx ekstremne vrednosti?
33. Naþi lokalne ekstremne vrednosti funkcije 2
lny x x .
34. Odrediti prevojne taĀke i intervale konveksnosti i konkavnosti za funkciju
4 3 2
2 36y x x x x .
35. Ima li funkcija

969. 3
2
1
x
y
x
prevojne taĀke?
36. Da li je x=0 vertikalna asimptota grafika funkcije
1
x
y xe ?
37. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije:
A:
a)
2
2
2 1
;
1
x x
y
x
b) 2
4
;
4
x
y
x
c) 2
;
1
x
y
x
d)
2
2 2
;
1
x x
y
x
e)
2
6
;
2
x x
y
x
f)

970. 2
1
;
2
x
y
x
60

971. g)
2
2
;
1
x x
y
x
h)
2
12
;
4
x x
y
x
i)
2
3
;
4
x x
y
x
j)
2
;
1
x x
y
x
k)

972. 3
2
;
2 1
x
y
x
l)
3
2
;
9
x
y
x
m)
3
2
;
1
x x
y
x
n)
3
2
1
;
x
y
x
o)
3
2
;
4
x
y
x
p)
2
2
4
;
1
x
y
x
q)
2
2
1
;
1
x
y
x
r) 2
;
4 3
x
y
x x
s) 2
2
;
x
y
x
t)
2
1
;
x
y
x
v)

973. 2
1
.
2
x
y
x
B.
a) ;x
y xe
b)

974. 2
2
2 ;x
y x e
c) ;
1
x
e
y
x
d) 2
;
3
x
e
y
x
e)

975. 2
1 ;x
y x e f)
1
;x
y xe
g)
2
2
;
x
y xe
h)
2
2
;x
y x e
i) ;
x
e
y
x
j) 2
1
x
e
y
x
;
C.
a)
ln
;
x
y
x
b) ;
ln
x
y
x
c) 2
ln ;y x x
d) 2
ln ;y x x e) 2
1 ln
;
x
y
x
f)
ln
;
x
y
x
g)

976. 2
ln 1 ;y x h)
4
ln ;
1
x
y
x
i)

977. 2
ln 3 3y x x
D.
a) 3 2
1 ;y x b) 2
1 ;y x c)
1
;
1
x
y
x
d)

978. 3y x x
61

979. 38. Odrediti približnu vrednost:
a) cos61 ;q b) 3
1,02; c) 61 ;tg q
d) 1,04 ;e) arcsin 0,51; f) 1,05arctg
39. Koristeþi Tejlorovu formulu razložiti polinom:

980. 5 4 3 2
2 2 1P x x x x x x po stepenima 1x
40. Koristeþi Maklorenovu formulu dokazati:
a)
2 3
1 1
2 8 16
x x x
x |
b)

981. 2 3
3 11
ln 2
2 6
x x x
e x x |
c)
3 5
3 5
x x
arctgx x| .
41. Naþi prve parcijalne izvode funkcije:
a) 2 y
z x e
b)
2 2
x y
z e
c) 2
sinz x y
d)
xy
z
x y
e)

982. 3 2
lnz x y f)
2
2
x y
z
x y
g)

983. 2 2
lnz x y h) 2
x
z
x y
i) 2
sin 2z x y
j) 2
xy
z
x y
k) 2
z x y l) sin xy
z e
m)
2 2
x y
z e
n)

985. 2 2
2 2 x y
z x y e
o)
x
y
z e
42. Naþi totalni diferencijal I i II reda za sledeþe funkcije:
a)
3
8
x
z x
y
; b)
2 2
x
z
x y
;
c)

986. 2
cos
sin
x
z x x y
y
; d)
y
z xy
x
;
e) 2 2y x
z x e y e ; f)

987. 2 2
lnz xy x y
43. Naþi Tejlorov polinom drugog reda za funkciju 3 3
z x xy y u okolini taĀke
(1,1).
62

988. 44. Aproksimirati funkciju 2 2
z x xy y x y Tejlorovim polinomom treþeg
reda u okolini taĀke (1,1).
45. Naþi Maklorenov polinom za funkciju cosx
z e y za 2n .
46. Naþi Maklorenov polinom Āetvrtog reda za funkciju cos cosz x y .
47. Naþi Maklorenov polinom treþeg reda za funkciju cosx y
z e y
.
48. Naþi Tejlorov polinom drugog reda za funkciju sin xy
z e u okolini taĀke 1,
2
S§ ·
¨ ¸
© ¹
49. Napisati Tejlorov polinom treþeg reda funkcije

989. 2
, y
f x y e x u okolini taĀke
(1,0)
50. Napiši Tejlorov polinom za n=3 za funkciju

990. 1
,f x y
xy
u okolini taĀke (-1,1)
51. Napiši Maklorenov polinom Āetvrtog stepena za funkciju:
a)

991. 2
2
, x xy
f x y e
b)

993. , ln 1y
f x y e x
52. Proveriti da li je taĀka

994. 1 3, 3M taĀka lokalnog minimuma i taĀka

995. 2 3, 3M taĀka lokalnog maksimuma za funkciju 3 2
6z x xy xy
53. Naþi lokalne ekstremne vrednosti sledeþih funkcija:
a) 2 2
z x y
b) 2 2
z x y
c) 2 2
z x y xy x y
d) 2 2
5 3 2z x y xy x y
e)

996. 3 3
6z x y x y
f) 3 3
9 27z x y xy
63

997. g)

998. 2 3 3
2 2 2 1z x y x y
h) 3 2
6z x xy y
i) 4 4 2 2
2 4 2z x y x xy y
j)

999. 1z xy x y
k) 2 3
z x y xy x
l) 2
6z y x y x y
m)

1000. 2 2x y
z e x y
n)

1002. 2 2
2 2 x y
z x y e
o)

1003. 2 2
2y x
z e x y
p)

1004. 8
0, 0
x
z y x y
x y
! !
54. Naþi uslovne ekstremne vrednosti funkcije z xy pri uslovu:
a) 2x y
b) 2 2
1x y
c)
x
y
y x e
55. Odrediti uslovne ekstremne vrednosti funkcija:
a)
1 1
z
x y
za 1x y
b) z x y za 2 2
1 1
1
x y
c) 4 3 6z x y za 2 2
1x y
d) 2 2
5z x y za 2 0x y
e) 2 2
4z x y za 1xy
f) 3 4z x y za 2 2
1x y
g) 2 2
4 4
z
x y
za 3x y
h) 2 2
z x y za x y c
64

1005. 56. Odrediti I i II totalni diferencijal funkcije

1006. 2 3
lnz x y
57. Ispitati uslovne ekstremne vrednosti funkcije z xy pri uslovu 1x y
58. Proveriti jednakost:
2 2
z z
x y z
x y
w w
w w
ako je 2
2
cos
y
z x
x
65

1007. 2.
NEODRE0ENI INTEGRAL
Tablica neodre¯enih integrala
1. ^ `
1
, 1 , 0
1
x
x dx C R x
D
D
D
D
 !
³
2. ln
dx
x C
x
³
3. , 0, 1
ln
x
x a
a dx C a a
a
! z³
4. x x
e dx e C³
5. sin cosxdx x C ³
6. cos sinxdx x C³
7. 2
, ,
cos 2
dx
tgx C x k k
x
S
S z =³
8. 2
, ,
sin
dx
C ctgx C x k k
x
S z =³
9.
2
arcsin
1
dx
x C
x
³
10. 2
1
dx
arctgx C
x
³
66

1008. PRIMERI SA REŠENJIMA:
1. Odrediti integrale primenom osnovnih teorema o integralu i primenom tablice
neodreĄenih integrala:
a)
3
2 2 3
3 3 3
3
x
x dx x dx C x C ³ ³
b) 3 2 3 2
( 2 2 1) 2 2x x x dx x dx x dx xdx dx ³ ³ ³ ³ ³
4 3 2 4
3 22
2 2
4 3 2 4 3
x x x x
x C x x x C
C)
2 2
4 4 4 4
6 2
6 2
x x dx x x
dx dx dx
x x x x
³ ³ ³ ³
3 2 1
4 3 2
3 2
6 2 6 2
3 2 1
2 1 1
x x x
x dx x dx x dx C
C
x x x
³ ³ ³
d)
21 1
3 2 32 2
1
x x dx x dx x dx x dx
x
§ ·
¨ ¸¨ ¸
© ¹
³ ³ ³ ³
2 51
3 32
33 52 3
2
3 1 5 3 5
2 2 3
x x x
C x x x C
e)
3 2 2 3 2 3
3 2
2 2 2
x x x x
x x x
dx dx dx
˜ ˜
³ ³ ³
3
3 2
3 2 3 2
32 ln
2
x
x
dx dx x C
§ ·
¨ ¸
§ · © ¹ ¨ ¸
© ¹
³ ³
f)
2 2
1 1x x
x x x
e e
dx dx dx
e e e
³ ³ ³
67

1009. 1
1
1
ln
x
x
x x e
e dx dx e C
e
e
§ ·
¨ ¸
§ · © ¹ ¨ ¸
© ¹
³ ³
1
1
ln1 ln
x
x x
x
e
e C e C
e e
§ ·
¨ ¸
© ¹
g)
2 2
2 2
1 1
1 1
x x
dx dx
x x
³ ³
2
2 2
1
1 1
x dx
dx dx arctgx C x arctgx C
x x
³ ³ ³
h)
2 2
2 2 2 2
sin cos
sin cos sin cos
dx x x
dx
x x x x
˜ ˜³ ³
2 2
2 2 2 2 2 2
sin cos
sin cos sin cos cos sin
x x dx dx
dx dx
x x x x x x
tgx ctgx C
˜
³ ³ ³ ³
2. Metodom smene naþi sledeþe integrale:
a)

1011. 1111
10 105 5
5
11 11
x t xt
x dx t dt C C
dx dt
³ ³
b)

1012. 4
1 3
43 3 3
2 1
1 3
2 1 2 2 1
42 2 8
3
2
x t
dt t
x dx dx dt t C x C
dt
dx
³ ³
c)

1013. 3 2
1 1
cos(3 2) 3 cos sin sin 3 2
3 3 3
3
x t
dt
x dx dx dt t t C x C
dt
dx
³ ³
d) 3 3
3
1 1 1
3 3 3
3
x t t x
x t
e dx e dt e C e Cdt
dx
³ ³
68

1014. e)
5
ln ln 5
5
x t
dx dt
dx dt t C x C
x t
dx dt
³ ³
3. IzraĀunati 2 2
,
dx
a R
x a

³
Iz tablice neodreĄenih integrala 2
1
dx
arctgx C
x
³
Podintegralnu funkciju transformišemo:
22 2 2 2 22
2
2
1 1
1
1 1
1 1
x
tdx dx dx adt
a
x a a a tx x dx adta
a a
x
arctg t C arctg C
a a a
§ · § · ¨ ¸ ¨ ¸
© ¹© ¹
³ ³ ³ ³
2 2
1dx x
arctg C
x a a a
³
4. IzraĀunati:
a) 2 2 2
1
9 3 3 3
dx dx x
arctg C
x x
³ ³
b) 22
2
2
1
33 2 2 32
2 2
dx dx dx
x
x x
§ · § ·¨ ¸ ¨ ¸© ¹
© ¹
³ ³ ³
1 1 2 2
2 3 3 2 3 3
2 2
x x
atctg C arctg C˜
c )

1015. 22 2
2
4 9 52 5
x tdx dx dt
dx dtx x tx
³ ³ ³
1 1 2
5 5 5 5
t x
arctg C arctg C
d) 2
3 1
dx
x x ³
69

1016. Funkciju iz imenioca napisati u kanonskom obliku:
2 2 2
2
1 1 1 1 1 12
3 1 3 3 2
3 3 6 36 36 36
1 11
3
6 36
x x x x x x
x
§ · § ·
˜ ¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
ª º§ ·
« »¨ ¸
© ¹« »¬ ¼
2 22 2
2
1
1 1
6
3 1 3 31 11 11
6 6 6
x tdx dx dt
x x
dx dtx t
§ · § ·§ ·
¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸
© ¹ © ¹ © ¹
³ ³ ³

1017. 61 1 2 2 6 1
3 11 11 11 11 11 11
6 6
x tt x
arctg C arctg C arctg C
5. IzraĀunati:
2 2
dx
a x
³
Integral transformišemo na sledeýi naÿin:
2 2 22
2
2
2
1
1 1
1
arcsin arcsin
1
x
tdx dx dx
a
aa x x x dx adta
a a
adt x
t C C
a at
§ · § · ¨ ¸ ¨ ¸
© ¹© ¹
³ ³ ³
³
6. IzraĀunati sledeþe integrale:
a)
2 2 2
arcsin
24 2
dx dx x
C
x x
³ ³
b)
2 2
2 2
1
arcsin
1211 4 14 2 24 2
dx dx dx x
C
x
x x
§ · § · ¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹
³ ³ ³
1
arcsin 2
2
x C
70

1018. c)
2 2
2 2
1
arcsin
3499 16 316 4 416 4
dx dx dx x
C
x
x x
§ · § · ¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹
³ ³ ³
1 4
arcsin
4 3
x
C
d)
2 2 2 2
sincos
arcsin
cossin
x txdx dt t
C
xdx dt aa x a t
³ ³
sin
arcsin
x
C
a
7. Odrediti:
a)
'( )
( )
f x
dx
f x³ ; b) ( ) '( )f x f x dxD
³
a) Uvodimo smenu ( )f x t pa je '( )f x dx dt
'( )
ln ln ( )
( )
f x dt
dx t C f x C
f x t
³ ³
b) SliĀno kao pod a) ( )f x t 11
( ) '( ) ( )
1
f x f x dx f x CD D
D
³
8. Odrediti:
a)
2
2
2
1
1 1 1
2 ln ln 1
1 2 2 2
2
x t
x dt
dx xdx dt t C x C
x t
dt
xdx
³ ³
b)

1019. 2
2
3 52 3
ln
3 5 2 3
x x tx dt
dx t C
x x tx dx dt
³ ³
2
ln 3 5x x C
c)
cossin
sincos
x tx dt
tgxdx dx
xdx dtx t
³ ³ ³
ln ln cost C x C
71

1020. d)
ln
ln ln ln
ln
x t
dx dt
t C x Cdx
x x tdt
x
³ ³
e)

1021. 21
2 3
3 2
1
1
21
x txdx
x xdx
xdx dtx
³ ³

1023. 2
1 23 22 23 33
1 3 3
1 1
22 2 4 4
3
dt t
t C x C x C
˜ ³
f)
1
2 2
cossin
sincos 1
x txdx dt t
C
xdx dtx t
³ ³
1 1
cos
C C
t x
g)
4
3 3 4sin 1
sin cos sin
cos 4 4
x t t
x xdx t dt C x C
xdx dt
³ ³
h)
1 1
2
2
1
1
1
t tx x
t
x
e dx e dt e C e C
x
dx dt
x
³ ³
i)
3
2
2 3
2 3 2
2
1 1 1
3
cos 3 cos 3 3
3
x t
x dx dt
x dx dt tgt C tgx C
x t
dt
x dx
³ ³
9. IzraĀunati sledeþe integrale primenom metoda parcijalne integracije:
a)
cos cos sin
cos
x dx dv v xdx x
x xdx
x u du dx
Ÿ
Ÿ
³³
sin sin sin cosx x x dx x x x C ³
b)
2 2
2
ln
ln ln
2 2
2
dx
x u du
x x dxx
x x dx x
xx
xdx dv v
Ÿ
˜
Ÿ
³ ³
72

1024. 2 2 2 2 2
1 1
ln ln ln
2 2 2 2 2 2 4
x x x x x
x xdx x C x C ³
c) 2
21
1
dx
arc tgx u du xdx
arc tgx dx x arc tgxx
x
dx dv v x
Ÿ
Ÿ
³ ³
2
1 2x t xdx dt Ÿ :
2
2
1 1 1
ln ln 1
1 2 2 2
xdx dt
t C x C
x t
³ ³
21
ln 1
2
arc tgx dx xarc tgx x C ³
d)

1026. 1
1 1
1 1
1
sin
sin sin cos
cos cos
cos
cos cos sin
sin sin
cos sin sin
sin cos
2 sin cos
1
s
2
x
x x
x x
x
x x
x x
x x x
x
x
x
e x dx I
u e e dx du
dv x dx v x dx x
I e x e x dx
I e x dx
u e e dx du
dv x dx v x dx x
I e x e x dx
I e x e x e x dx
I e x x I
I e x x
I e
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
³
³
³
³
³
³
³

1027. in cosx x
10. IzraĀunati
a)
2
2
2
: 2 2
2
4
22
2 2
2 4
4
x x x
x x
x
dx x dxx
x x
x
§ ·
¨ ¸
© ¹
³ ³
73

1028. 2
2 4 2 4ln 2
2 2
dx x
x dx dx x x C
x
³ ³ ³
b) 2
1
2
x
dx I
x x
³

1030. 2 2
1 22 0 1 2 2 1 2x x x x x x x x Ÿ › Ÿ

1032. 2
1
/ 1 2 0
2 1 2
x A B
x x
x x x x
z

1034. 1 2 1
1 2
x A x B x
x Ax Bx A B
1
2 1
2 1
3 3
A B
A B A B
œ
2 1 2 1
ln 1 ln 2
3 1 3 2 3 3
dx dx
I x x C
x x
³ ³
c)

1036. 2
1
1
x dx
I
x x
³

1037. 2 2
1
1 1
x A B C
x x x x x

1039. 2
1 1 1x Ax x B x Cx
2 2
1x Cx Ax Ax Bx B
0 2
1
1 2
A C A
A B
B C
œ
2
1
2 2 2ln 2ln 1
1
dx dx dx
I x x C
x x x x
³ ³ ³
1
2 ln
1
x
C
x x
d)

1041. 2 2
2 22
2 5 2 1 4
2 5 1 4 1 4
x x x xdx dx
x x x x
³ ³
2
1 1 1 1
4 2 2 2 2
x t dt t x
arc tg C arc tg C
dx dt t
³
74

1042. e)

1044. 2
1 2 3
dx
I
x x x ³
2
2 3 0 4 12 8 0x x D

1045. 22 2
2 3 2 1 2 1 2x x x x x

1049. 2
22
1
/ 1 2 3
1 2 31 2 3
A Bx C
x x x
x x xx x x

1052. 2
1 2 3 1A x x Bx C x
2 2
1 2 3Ax Bx Ax Bx Cx A C
0A B 0A B
2 0A B C œ 5 1A B œ
3 1A C
12
1 1
1 16 2 ln 1
6 1 2 3 6
x
dx
I dx x I
x x x
³ ³

1053. '2
1 2 2
1 1
1 36 2 2 3 2 2
2 3 6 2 3
x
x
I dx x x x
x x x x
³ ³
1 2 2 2
1 2 6 1 2 2 1 4
6 2 3 6 2 3 6 2 3
x x dx
I dx dx
x x x x x x
³ ³ ³

1054. 2
2
11 2
ln 2 3
6 3 1 2
x tdx
x x
dx dtx
³

1055. 2
2
2
1 2
ln 2 3
6 3 2
dt
x x
t
³
21 2 1
ln 2 3
6 3 2 2
t
x x arctg C ˜
21 2 1
ln 2 3
6 3 2
x
x x arctg C

1056. 21 1 2 1
ln 1 ln 2 3
6 6 3 2
x
I x x x arctg C
6 1
1
6
1
6
1
2
A
A
B
C
75

1057. 11. IzraĀunati:
a)

1058. 3 63
6 5
3 2 3 12 6
5
3,2 6
6
6
S
x t
dx x t t dt
x x t tdx t dt
˜
³ ³

1059. 2 5 7 4
4 3 3
6 6 6
1 1
t t t t
dt dt dt
t t t t t
˜
³ ³ ³
= 4 3 2 1
: 1 1
1
t t t t t
t
ª º
« »¬ ¼
4 3 2
3 2 1
6 1 6 1
1 4 3 2
t t t
t t t dt t lu t
t
ª º§ ·
¨ ¸ « »© ¹ ¬ ¼
³
6 6 64 3 2 6 63
2 3 6 ln 1
2
x x x x x C
3 2 3 6 63
2 3 6 ln 1
2
x x x x x C
b)

1061. 5 5
6
3 42 36 123
5
2,3 6
6
1 6
1 1 6
S
dx t dt t dt
x t
t tx x t tdx t dt
³ ³ ³

1062. 5 2
3
1
6 6 6 1
1 1 1
t dt t dt
t dt
t t t t
§ ·
¨ ¸
© ¹
³ ³ ³
2
2
6 ln 1 3 6 6ln 1
2
t
t t C t t t C
ª º
« »
¬ ¼

1063. 2 6 66
3 1 6 1 6ln 1 1x x x C
3 6 6
3 1 6 1 6ln 1 1x x x C
76

1064. ZADACI ZA VEŽBU:
1. Proveriti sledeþe rezultate:
a)

1065. 3 2 4 3 25 4 3
5 4 3 5 5
4 3 2
x x x dx x x x x C ³
b)
4 3
73 2 6
ln
7
x x x
dx x x x C
x x x
³
c) 3 2
3 2
2 3
sin 3 cos 3arcsin
1
x dx x x x C
x x
§ ·
¨ ¸
© ¹
³
d)
2
sin
cos
x x
x
x
e e x
dx e x C
e
³
e)
3
2
1 sin
cos
sin
x
dx x ctg x C
x
³
f)
2
2
1
2
1
x
dx x arctgx C
x
³
g)
2
sin cos cos
2 2
x x
dx x x C
§ ·
¨ ¸
© ¹
³
h)
3 2 1 1
6 2 ln 2 3 ln3
x x
x x x
dx C
³
i) 2 2
cos2
sin cos
x
dx ctgx tgx C
x x
˜³
2. IzraĀunati sledeþe integrale:
a)
2 4
2
1 2
3
x x
dx
x
³ b)
3 2 4
x x
dx
x
³
c)
3
1
t
t a
a dt
t
§ ·
¨ ¸
© ¹
³ d) 2 2
2 3 4
1 1
dx
x xx
§ ·
¨ ¸
© ¹
³
e)
2
5
4cos
9 9
t dt
t
§ ·
¨ ¸
© ¹
³ f) 2
ctg x dx˜³
g)
1
3 2 2
x x x
dx
x x
³ h)
4
2
x
dx
x
³
77

1066. 3. Proveriti rezultate:
a) 2
1
3 3 3
dx x
arctg C
x
³
b) 2
1 3 3
2 3 3 2 2
dx
arctgx C
x
³
c) 2
cos 1 sin
4 sin 2 2
xdx x
arctg C
x
§ ·
¨ ¸
© ¹
³
d) 2
1
2 2 2
x x
x
e dx e
arctg C
e
§ ·
¨ ¸
© ¹
³
e)

1067. 2
1 ln
3 ln 3 3
dx x
arctg C
x x
§ ·
¨ ¸
© ¹
³
4. Proveriti rezultate:
a)
2
1 3
arcsin
3 525 9
dx x
C
x
³
b)

1068. 2
arcsin ln
1 ln
dx
x C
x x
³
c)
3 1 3
arcsin
ln3 525 9
x x
x
dx
C
³
5. Proveriti rezultate:
a)
3 3
2 1
3
x x
e x dx e C
³
b) sin sin
cosx x
e xdx e C ³
c)
3
4ln 1
ln
4
x
dx xdx
x³
d) 2 31
cos sin cos
3
x xdx x C˜ ³
e)

1069. 4 5
5
1
10 24
x dx x
arctg C
x
³
f) 2
ln
sin ln
dx
ctg x C
x x
³
78

1070. 6. IzraĀunati sledeþe integrale:
a)

1071. 9
5 2x dx³ b) 3
4 3x dx³ c)
4
5
dx
x³
d) 5x
e dx
³ e) sin 2x dx³ ; f)
2 1
dx
x ³
g) 2
25 4
dx
x³ h) 2 2
sin
cos
x
a x³ i) x x
dx
e e
³
j) 2
1
dx
x x ³ k)
2
3 4
dx
x
³ l)
2
5 2
dx
x
³
m)
2
sin
2 cos
x dx
x
³ n)
2
3
5 ln
dx
x x
³ o)
1
x
x
e
dx
e ³
p) 2
2 3
x dx
x ³ q)
2
ln xdx
x³ r) 4
1
x dx
x ³
s) ctgxdx³ t)
2
3
3 2
2
x
dx
x x
³ v) 3 5 4
1 x x dx³
y)

1072. 2
sin 1x x dx³ z) 5
sin cosx x dx³ ž)
2
6
4
x dx
x³
Ą) 2
4 5
5
x
dx
x
³ þ)
4
3
x dx
x
³ Ā)
2
2 3
sin
x dx
x³
7. Proveriti sledeþe rezultate:
a) sin sin sinx x dx x x x C ³
b)
5 5
4 ln
ln
5 25
x x x
x x dx C ³
c) 2 2
cos sin 2 cos 2sinx x dx x x x x x C ³
d) 2
sin sin 1arc x dx x arc x x C ³
e)

1073. 2 2
2 2x x
x e dx e x x C ³
f) ln lnx dx x x x C ³
8. IzraĀunati:
a) 2
sinx x dx³ ; b) 2
lnx x dx³ ; c) ln ,x x dx RD
D ³
d) x
xe dx
³ ; e) xarc tgx dx³ ; f) 2
x arc tgx dx³
79

1074. g) 2
ln x dx³ ; h) 3
ln x
dx
x³ ; i) 3
cos2x x dx³
j)

1075. 2
2 5 x
x x e dx ³ ; k)

1076. 2
2 3 x
x x e dx
³ l)

1077. 2
ln 1x dx³
9. IzraĀunati:
a)
3 5
3x x x
dx
x x
³ b) ctgx dx³
c) cos
sinx
e x dx³ d) 2
2 3
3 5
x
dx
x x
³
e) ln x dx³ f) 3
sinx x dx³
10. Proveriti da li su taĀne jednakosti:
a) 2
1 1
ln ln 2
2 2 2
dx
x x C
x x
³
b) 2
1 3
ln
6 5 2
dx x
C
x x x
³
c) 3
3
3ln ln 1 2ln 1
x
dx x x x C
x x
³
d)

1079. 2
2
1 1 1
ln 1 ln 1
2 4 21 1
xdx
x x arctgx C
x x
³
e)

1080. 2
3 2
11 1 2 1
ln
1 6 1 3 3
xdx x
arctg C
x x x
³
f)
3 3
2
4 8ln 2
2 3
x x
dx x x x C
x
³
g)
3 2
2
4 5
ln 2 ln 1
2 2 3 3
x x
dx x x x C
x x
³
h)
3
2
3 2
1 1 1 2 2 1
ln 1 ln 1
3 3 3 3 3
x x
dx x x x x arctg
x x
³
i)

1082. 4 2
2
7 7 22
2 ln 1 ln 1 ln 2
2 6 2 31 2
x dx x
x x x x C
x x
³
80

1083. 11. IzraĀunati:
a) 3 2
2
2
x
dx
x x
³ ; b)

1084. 2
1
dx
x x ³ ; c)

1085. 3 2
8
4 4
x dx
x x x
³
d)

1086. 2
2
1
3 4
x
dx
x x
³ ; e)
2
2
6 10
x dx
x x ³ ; f) 3 2
2
dx
x x x ³
g)

1088. 2 2
2
1 3
x dx
dx
x x ³ ; h)

1089. 2
3 2
1
2
x dx
x x x
³ ; i)

1090. 2
4
5 6
x dx
x x
³
j) 2
1
1
x
dx
x x
³ ; k) 3
1
xdx
x ³ ; l) 2
7 13
xdx
x x ³
12. Proveriti:
a)

1091. ln 1
21
x x
dx x x c
x
³
b) 3 34 4
34
4
ln 1
31
xdx
x x C
x
ª º
« »¬ ¼
³
c)
6
6 67 86
3 6
6 6 1
6 2 3ln
5 71 1
xdx x
x x x x C
x x
³
13. IzraĀunati:
a)
3
1
x
dx
x
³ ; b)
2
x
dx
x ³ ;
c)

1092. 2 1
dx
x x ³ ; d)

1093. 2
1 2
1 1
x
dx
x x
³
14. IzraĀunati:
a) 2
5
2
x
dx
x x
³
b) 2
4 5
dx
x x ³
c)

1095. 2
1 2 2
x dx
x x x
³
d)
3
1
x
dx
x³
81

1096. 3.
ODRE0ENI INTEGRAL
PRIMERI SA REŠENJIMA:
1. Primenom Njutn-Lajbnicove formule izraĀunati:
a)
4 4 4
3 3
3
1 1
3 1 81 1 80
20
4 4 4 4 4
x
x dx
³ ³
b)
2
12 5 5 538 8
3 2 8 83 3 3 3
1 11 1
3 3
| | 8 1
2 5 51
3
x
x dx x dx x
ª º
« »
¬ ¼
³ ³
@53 3 93
2 1 32 1
5 5 5
ª º ˜ ¬ ¼
c) 11
ln | ln ln1 1
e
edx
x e
x
³
d)
/3
/3
/ 42/4
3 3
| 1 1
sin 3 4 3 3
dx
ctg x ctg ctg
x
S
S
SS
S S ª ºª º
« »« »¬ ¼ ¬ ¼
³
2. IzraĀunati:
a)

1097. 3 53 3
2 3
2 1 2 3
2 1 2 3 5
2
2
x t x t
dt
x dx dx dt x t t
dt
dx
˜³ ³
= @
4
5 4 4
3
1 1 1 544 68
5 3 625 81
2 4 8 8 8 1
t
ª º˜ ¬ ¼
b)
1 3
3
00 0
3 0 0 1
3 1 1 3 3
t
x tx t x t dt
e dx e e
dx dt x t³ ³

1099. 3 0 31 1
1
3 3
e e e
c)
2 2
9 3
1 1
1 11 1
2
2 9 3
x t x tx t
dx tdt
tdx tdt x tx
³ ³
82

1102. 3 3 3
3
2 3
11
3 1
2 1 2 2 3 1
3 3 3
t
t dt t
ª ºª º § ·
« »¨ ¸« »
¬ ¼ © ¹¬ ¼
³
26 26 6 40
2 2 2
3 3 3
ª º
« »¬ ¼
3. IzraĀunati:
a)

1103. /2 /2
/2
00 0
sin cos cos
sin cos
x u du dx
x xdx x x xdx
xdx dv v x
S S
S
³ ³
/ 2
20cos 0cos0 sin sin sin 0 1
2 2
x S S
S S§ ·
¨ ¸
© ¹
b)

1104. 1
0 1
1 0 1
ln 1 ln
1
e ex t x t
x dx t dt
dx dt x e t e
³ ³

1105. 1 1
ln
ln |2
e
e
dt
t u du dt
t t t
t
dt dv v t
³

1106. 1ln 1ln1 1 1 1e
e e t e e e e
4. IzraĀunati površinu figure ograniĀene linijama:
a) 2
2 0y x x y

1107. 2
2
0
2 3
2
0
2
2
2 3
P x x dx
x x
§ ·
¨ ¸
© ¹
³

1108. 3 31
4 0 2 0
3
8 4
4
3 3
b) 2
1 , 2y x y
2
2 1 x
2
1x
1x r

1109. 1 1
2
1 1
2 1P dx x dx
³ ³
83

1110. 31 1
1 1
2
3
x
P x x
§ ·
¨ ¸
© ¹

1112. 1
2 1 1 1 1 1 1
3
P
§ ·
¨ ¸
© ¹
2 2 4
4 2 2
3 3 3
P
c) y x 2
2y x x
2
2x x x

1113. 1 0,0M
2
0 3x x

1114. 2 3, 3M

1115. 0 3x x

1117. 3 3
2
0 0
2P x x dx x dx ³ ³

1118. 3
2
0
2P x x x dx ³

1119. 2 3
3
2 3
00
3 3 /
2 3
x x
P x x dx
§ ·
¨ ¸
© ¹
³

1121. 3 1
9 0 27 0
2 3
27 9
9
2 2
P
5. IzraĀunati:
a)
2
1 23
3 3
131 1
3
lim lim lim 1
2 2
3
b
b
b b b
dx x
x dx b
x
f
of of of
§ ·
f¨ ¸
© ¹
³ ³
b)
2 2
2
2
0 0
0 0
lim 2
2
b
x x
b
x t x t
xe dx xe dx xdx dt x b t b
dt
xdx
f
of
³ ³
2 2
2
00 0
1 1
lim lim lim
2 2 2
b b
t t t b
b b b
dt
e e dt e
of of of
§ ·
¨ ¸
© ¹
³ ³

1122. 2
2
01 1 1 1
lim lim 1
2 2 2
b
bb b
e e
e
of of
§ ·
¨ ¸
© ¹
84

1123. c) 2 2 11 1
2
ln
ln ln
lim
1
1
b
b
dx
x u du
x dx x dx x
x x dx x
dv v
x x
f
of
Ÿ
Ÿ
³ ³
1 121
ln lnb ln1 1
ln lim
1
b
b b
b b
x dx
x x b xof of
ª ºª º § ·
¨ ¸« »« »¬ ¼ © ¹¬ ¼
³
1
1
lim 1 1
1b
b
bof
ª º
« »§ ·
« »¨ ¸
© ¹« »
¬ ¼
6. IzraĀunati:
a)

1124. 1
1 1
12
0 0 0 0
1
2lim lim / lim 2 1 2
1
2
x
dx
x dx
x
HHH H H
H
o o o
³ ³
b)

1127. 3 1 32 2 1
20 0 10
lim 1 1
1
x
dx dt
dx
x dx x dx
x
H
HH
o
ª º
« »¬ ¼
³ ³ ³
1 1
2
2 2
1 210 0
lim lim
1 1
t t
t dt t dt
H
H H
HH H
o o
ª ºª º « »« »¬ ¼ ¬ ¼
³ ³
2
1
0 0
1 1 1 1 1
lim lim 1
2t t
H
H
H H H H
o o
ª ºª º § · § ·
¨ ¸ ¨ ¸« »« »¬ ¼ © ¹ © ¹¬ ¼
0
2 3
lim
2H Ho
ª º
f« »¬ ¼
c)
1 1 10
lim lim
ln ln ln ln ln
c c b
c cb
dx dx dx dx dx
x x x x x x x x x xHH
f f
o of
³ ³ ³ ³ ³

1128. ln lnb
ln 1 ln0
ln
lim lim
c
cb
x t
dt dt
dx
t tdt
x
HH o of
³ ³

1129. ln lnb
lnln 10
limln / lim ln /c
cc b
t t
H o of

1130. 0
lim ln ln ln ln 1 lim ln lnb ln ln
b
c c
H
H
o of
ª º ª º f¬ ¼¬ ¼
85

1131. ZADACI ZA VEŽBU:
1. Proveriti:
a)
2
0
sin 0xdx
S
³ b)
1
20 1 4
dx
x
S
³ c)
8
3
1
45
4
x dx
³
2. IzraĀunati:
a)

1132. 1
32
11 5
dx
x
³ ; b)
0
2
cos
5
dx
x
S
§ ·
¨ ¸
© ¹
³ ; c)
1
20 1
x
x
e dx
e³ ;
3. IzraĀunati:
a)
2
0
;
lu
x
xe dx
³ b)
3
0
xarctgx³ ; c)
/2
2
0
cosx xdx
S
³ ;
4. IzraĀunati:
a)
1
0
x
e dx³ ; b)
2
2
0
x dx³ ; c)
8
31
dx
x³ ;
d)

1133. 3
2
1
1 2 3x x dx
³ ; e)
/2
2/6
1
cos
sin
x dx
x
S
S
§ ·
¨ ¸
© ¹
³ ;
5. IzraĀunati površinu oblasti ograniĀenu linijama:
a) 2
3 6 , 0, 4, 0y x x x x y
b)

1134. 2
2 , 4, 0y x y x y
c) 2 2
9 , 9y x y x
d) 2
3 2 , 0y x x y
e) ln , , 0y x x e y
f) 3
,y x y x
g) 2
4 , 4y x x y x
h)
3
, 4y x y
x
86

1135. 6. IzraĀunati integrale:
a)
3
2
0
x
x e dx
f
³ b)
lne
dx
x x
f
³ c)

1136. 0
2/3
3
dx
xf
³
d) 2
1
dx
x
f
f ³ e)

1137. 1
0
2 1
dx
x x ³ f)

1138. 6
22 3
4
dx
x
³
g)
1
2
0 ln
dx
x x³ h)
1
1
2 ln
dx
x x³
7. Proveriti:
1
3
1
6
5
x dx
³
8. IzraĀunati:
1
20 2
x
x
e dx
e³
9. IzraĀunati: a) 2
0
cosx x dx
S
³ b)
1
2
1
dx
xf ³ c)

1139. 4
22
3
dx
x
³
10. IzraĀunati površinu oblasti ograniĀenu linijama:

1140. 2
2 ,y x 4 0y x i y
87

1141. 4.
DIFERENCIJALNE JEDNA,INE
PRIMERI SA REŠENJIMA:
1. Rešiti diferencijalnu jednaĀinu:

1143. 2
2
2
2
2
2
' 1
1
1
1
2
2
y x y
dy
x y
dx
dy
xdx
y
dy
xdx
y
x
arc tg y C
x
y tg C
§ ·
¨ ¸
© ¹
³ ³
2. Naþi ono rešenje diferencijalne jednaĀine 2
2
' 0
1
xy
y
x
koje zadovoljava uslov

1144. 2 1y .
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
ln ln 1 ln ' , '
dy x
y
dx x
dy x
dx
y x
dy x
dx
y x
y x C C R

³ ³
2 2
ln 1 ' ln 1 ' ' 2 '
1 , ,
x C x C C C
y e e e e x C e C R
˜ ˜ 
88

1145. 2
1y C x

1147. 2 2
1 1 ,y C x ili y C x C R

i konaĀno

1148. ^ `2
1 , ) 0 .y C x C R 
je opšte rešenje naše diferencijalne jednaĀine. Zamenom poĀetnog uslova

1149. 2 1y u dobijenu formulu dobijemo

1150. 1 2 1 . 1C tj C˜
Traženo partikularno rešenje je 2
1.y x
3. Odrediti opšti integral sledeþih jednaĀina:
a)

1151. 0x y dx xdy

1152. x y dx xdy
x y dy
x dx
1
dy y
dx x
uvedimo smenu . ' '
y
u tj y u x u
x
( )
' 1 ln
1 ln
ln
u x u u u x C
du y
x x C
dx x
dx
du y x x C
x
+ = + = +
= = +
= = +
b)

1153. 2
x y y dx x dy
2
2
xy y dy
x dx
2
'
y y
y
x x
§ ·
¨ ¸
© ¹
uvedimo smenu . ' 'y ux tj y u x u
2 2
2'
1
ln ln
ln
ln
du dx du
u u u x u u x
dx x u
x C C R
u
x x
x C y
y c x
+
- = + - = = -
+ = Î
= =
89

1154. 4. Naþi ono rešenje jednaĀine
2 2
' 0
x y
y
xy
koje zadovoljava uslov

1155. 1 1y
2 2
' '
x y x y
y y
xy y x
+
= - = - -
uvedimo smenu . ' '
y
u tj u x u y
x
( ) ( )
2
2
4 4
2 2 2
2 4
4 2 2
2 4
1 1 2
'
1 2
1
ln 1 2 ln ln ln 1 2 ln 1 2
4
1 2 2
du u udu dx
u x u u x
n dx u u x
C C
u C x u u
x x
y C
x x y
x x
+
+ = - - = - - =
+
ü ö ü ö
+ = - + = + =ç ÷ ç ÷
þ Ĝ þ Ĝ
+ = + =
4 4
4 2
2
2
C x
C y
x
-
=
Iz poĀetnog uslova dobijamo
4
4
4 4
2
2 2
1
1 3
2
3 3
2 2
C
C
x x
y y
x x
-
= =
- -
= =
5. Naþi opšte rešenje jednaĀine

1156. 32
' 1 , 1
1
y
y x x
x
z

1164. 2 2
3
2 2
31 1
32ln 1 2ln 1
3ln 1 ln 1
2
1
1
1
1
1
dx
dx
x x
x x
x x
P x Q x x
x
y e C x e dx
y e C x e dx
y e C x e dx
ª º³ ³ « »
¬ ¼
ª º
¬ ¼
ª º « »¬ ¼
³
³
³
Kako je lna
e a
90

1172. 2 3
2
2
2
2
1
1 1
1
1 1
1
1
2
y x C x dx
x
x C x dx
x
y x C
ª º
« »
« »¬ ¼
ª º ¬ ¼
ª º
« »
« »¬ ¼
³
³
6. Odrediti partikularno rešenje jednaĀine 'cos sin 1y x y x koje zadovoljava
uslov

1173. 0 1y

1175. lncoslncos lncos
2 2
1 1
' ,
cos 2 cos
1 1
cos cos
cos cos
cos cos
tg xdx xx x
y ytg x x k k Z P x tg x Q x
x x
y e C e dx y e C e dx
x x
dx dx
y x C y x C
x
S
S
§ ·
z ¨ ¸
© ¹
§ · § ·³ ¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
§ ·
¨ ¸
© ¹
³ ³
³
cos cos cos sin 1 0 1
cos sinp
x
y C x xtg x C x x C C
y x x
§ ·
¨ ¸
© ¹
Ÿ Ÿ Ÿ
Ÿ
³
ZADACI ZA VEŽBU:
1. Naþi opšte rešenje jednaĀina
a) '
x y
y
x
b)

1176. 2
0x y ydx x dy
c)
2 2
2
'
y xy x
y
x
d)

1177. 2 3 3
xy dy x y dx
91

1178. 2. Rešiti sledeþe diferencijalne jednaĀine, i zatim naþi ono rešenje koje zadovoljava
uslov:
a)

1179. 2
0
2
, 3
3 1
dy x
y
dx y
b)

1180. 2
1' 1 0 , 3y xy x y
c)

1182. 2
02 , 0y
e dy x dx y
d)

1183. 0' , 1
1
y
y y
x
e) x dy y dx
f)

1184. 2
1x y dx x dy
3. Odrediti partikularna rešenja sledeþih jednaĀina
a)
2
' 0 1
2
x y
y y za x
x
b) ' ln 1 1
y y
y ako je y za x
x x
c)

1185. 1' 1 , 1
y
x
xy y x e y
§ ·
¨ ¸
© ¹
4. Odrediti opšte rešenje sledeþih jednaĀina:
a)

1187. 4
1 ' 2 1x y y x
b) 2
' 2xy x y
c) 2
' 1 0
y
y x
x
d) 'cos sin sin 2y x y x x
5. Odrediti partikularno rešenje jednaĀine pod datim uslovima:
a)

1188. 2
0
2
' 1
1 1
xy
y y
x x
2
b)

1189. 2
0' 0 1x x
y e y e y
c)

1190. 2
2' 2 1 1x y xy y
d)

1191. 2
0'cos 0y x tg x y y
6. Naþi opšte rešenje sledeþih jednaĀina:
a) 2
' 0
y
y xy
x
92

1192. b) 3 3
' 2 2y xy x y
c) 2 2
' 2 0xy y x y
d) 3
2 ' siny y x y
e) ' 3 0y y y y x
7. Reši diferencijlanu jednaĀinu

1193. 2
1 0y dx x dy
8. Naþi partikularno rešenje sledeþe diferencijalne jednaĀine:
ln
y y
y
x x
ako je 1y za 1x
9. Odrediti opšte rešenje jednaĀine:
2 2
2 4
' 0
1 1
xy x
y
x x
93

1194. 5.
MATRICE I DETERMINANTE
ZADACI SA REŠENJIMA:
1. IzraĀunati zbir matrica A i B:
4 1 0 1
3 2 2 0
2 6 3 2
A B
ª º ª º
« » « »
« » « »
« » « »¬ ¼ ¬ ¼

1195. 4 0 1 1 4 2
3 2 2 0 5 2
2 3 6 2 5 8
A B
ª º ª º
« » « » « » « »
« » « » ¬ ¼¬ ¼
2. Matricu A pomnožimo brojem 3.
2 3 2 6 9 6
0 1 0 3 0 3 0
1 5 1 3 15 3
A A
ª º ª º
« » « » ˜ « » « »
« » « »¬ ¼ ¬ ¼
3. IzraĀunati proizvod A·B ako je:
2 7
3 2 1
, 3 5
5 0 3
0 1
A B
ª º
ª º « »
« » « »
¬ ¼ « »¬ ¼

1199. 3 2 2 3 1 0 3 7 2 5 1 1 0 30
10 385 2 0 3 3 0 5 7 0 5 3 1
AB
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ª º ª º
« » « »˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ¬ ¼« »¬ ¼
Proizvod BA je takoĄe definisan.
94

1206. 2 3 7 5 2 2 7 0 2 1 7 32 7
3 2 1
3 5 3 3 5 5 3 2 5 0 3 1 5 3
5 0 3
0 1 0 3 1 5 0 2 1 0 0 1 1 3
BA
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ª ºª º
« »ª º« »˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜« »« »« »
¬ ¼ « »« » ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜¬ ¼ ¬ ¼
6 35 4 0 2 21 29 4 23
9 25 6 0 3 15 34 6 18
0 5 0 0 0 3 5 0 3
ª º ª º
« » « » « » « »
« » « » ¬ ¼ ¬ ¼
AB BAz
4. Proveriti na primeru matrice
1 2 1
2 5 3
3 0 4
A
ª º
« »« »
« »¬ ¼
da je IA=AI=A
1 2 1 1 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1 1 2 1
2 5 23 0 1 0 2 0 0 0 5 0 0 0 3 2 5 3
3 0 4 0 0 1 3 0 0 3 0 0 0 0 4 3 0 4
AI
ª º ª º ª º ª º
« » « » « » « » ˜ « » « » « » « »
« » « » « » « » ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼
1 0 0 1 2 1 1 0 0 2 0 0 1 0 0 1 2 1
0 1 0 2 5 3 0 2 0 0 5 0 0 3 0 2 5 3
0 0 1 3 0 4 0 0 3 0 0 0 0 0 4 3 0 4
IA
ª º ª º ª º ª º
« » « » « » « »˜ « » « » « » « »
« » « » « » « » ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼
AI IA A
5.
a)
2 7 2 2 3 0
3 5 8 ' 7 5 1
0 1 3 2 8 3
A A
ª º ª º
« » « »« » « »
« » « » ¬ ¼ ¬ ¼
b)
3 5
3 2 1
' 2 0
5 0 3
1 3
A A
ª º
ª º « »
« » « »
¬ ¼ « »¬ ¼
6. IzraĀunati sledeþe determinante:
a)
1 2
1 3 0 2 3
0 3
˜ ˜
b)
2 3
16 12 4
4 8
95

1207. c )

1208. 1 2 4
3 1 2 1 2 3
2 3 1 1 2 4
5 1 2 1 2 5
2 5 1
˜

1211. 3 5 2 2 2 4 10 6

1212. 2 8 4 10 6 10 64 54 ˜

1218. 1 2 4 1 2
2 3 1 2 3
2 5 1 2 5
1 3 1 2 1 2 4 2 5 2 3 4) 1 1 5
1 2 2 3 4 40 24 5 4
67 13 54
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
˜ ˜
7. IzraĀunati A-1 za matricu
2 3 2
6 6 4
2 1 1
A
ª º
« » « »
« »¬ ¼

1219. 2 3 2 2 3
det 6 6 4 6 6 12 24 12 24 8 18 24 14 10
2 1 1 2 1
A
1
11 21 31
12 22 32
13 23 33
-6 -4 3 2 3 2
10 5 0
-1 1 1 1 6 4
6 4 2 2 2 2
14 6 4
2 1 2 1 6 4
6 6 2 3 2 3
6 4 6
2 1 2 1 6 6
10 5 0
1
14 6 4
10
6 4 6
M M M
M M M
M M M
A
ª º
« » « »
« »¬ ¼
96

1220. 8. Rešiti matriĀnu jednaĀinu AX-A=2X+I
gde je
0 1 2
2 3 4
1 0 1
A
ª º
« »
« »
« »¬ ¼
AX-2X=A+I
(A-2I)X=A+I
0 1 2 1 0 0 2 1 2
2 2 3 4 2 0 1 0 2 1 4
1 0 1 0 0 1 1 0 1
B A I
ª º ª º ª º
« » « » « » « » « » « »
« » « » « »¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼
0 1 2 1 0 0 1 1 2
2 3 4 0 1 0 2 4 4
1 0 1 0 0 1 1 0 2
C A I
ª º ª º ª º
« » « » « » « » « » « »
« » « » « »¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼
1
1 1
1
1
/B B X C
B B X B C
I X B C
X B C
˜
˜ ˜ ˜
˜ ˜
˜

1221. 2 1 2 2 1
det 2 1 4 2 1 2 4 2 2 6
1 0 1 1 0
B
11 21 31
12 22 32
13 23 33
1 4 1 2 1 2
1 1 2
0 1 0 1 1 4
2 4 2 2 2 2
6 0 12
1 1 1 1 2 4
2 1 2 1 2 1
1 1 4
1 0 1 0 2 1
B B B
B B B
B B B
1
1 1 2
1
6 0 12
6
1 1 4
B
ª º
« »
« »
« » ¬ ¼
-1 1 2 1 1 2 3 3 3
1 1
6 0 12 2 4 4 18 6 36
6 6
-1 1 -4 1 0 2 -3 3 -6
X
ª º ª º ª º
« » « » « »˜« » « » « »
« » « » « »¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼
97

1222. 9. Rešiti sistem koristeþi Kramerove formule:
2
2 3 4
2 3
x y z
x y z
x y z
Odgovarajuþe determinante su:
1 1 1 2 1 1
1 2 3 1; 4 2 3 1;
2 1 1 3 1 1
1 2 1 1 1 2
1 4 3 2;
2 3 1
x
y z
D D
D D
1 2 4 3
2 1 3
Kako je 0D z , sistem ima jedinstveno rešenje:

1224. , , , , 1, 2,3
yx z
DD D
x y z
D D D
§ ·
¨ ¸
© ¹
Napomena: Rešiti sistem i matriĀnom metodom.
10. Za sistem jednaĀina:
2 3
2 3 1
3 2 4
x y z
x y z
x y z
imamo
1 2 1
2 1 3 0
3 1 2
D
Ako pažljivo pogledamo, uoĀavamo da je treþa jednaĀina jednaka zbiru prve
dve, pa zapravo imamo samo dve a ne tri jednaĀine.
2 3
2 3 1
x y z
x y z
98

1225. Sistem sada možemo zapisati:
2 3
2 1 3
x y z
x y z
i ovaj sistem ima jedinstveno rešenje jer
1 2
1 4 5 0
2 1
z .
3 2
3 2 6 5 5
1 3 1
2 3
1 3 6 2 5 5
1 1 3
x
y
z
D z z z
z
z
D z z z
z
- -
= = - + + = +
+
-
= = + - + = -
+

1227. , , 1 ; 1; ,x y z z z z z R  .
11. Za sistem jednaĀina:
2 1
2 3 5
2 4
x y z
x y z
x y z
imamo
2 1 1
1 2 3 0
1 1 2
D
Ako saberemo prve dve jednaĀine dobijamo 2 6x y z , a kako je treþa
jednaĀina 2 4x y z , i ako od poslednje oduzmemo treþu dobijamo 0=2,
pa sistem nema rešenja.
12. Rešiþemo i sistem:
1
2
3
ax y z
x ay z
x y z
gde je a realan broj (parametar).
IzraĀunajmo odgovarajuþe determinante

1228. 2
1 ;D a

1229. 4 1 ;xD a

1230. 5 1 ;yD a

1231. 6 1zD a .
99

1232. Ako je

1233. 2
1 0 , 1a a z z sistem ima jedinstveno rešenje
4
;
1
x
a
5
;
1
y
a
6
.
1
z
a
Ako je a=1 sistem je nemoguþ.
13. Rešiti sistem Gausovim postupkom:
2
2 3 1
3 2 2 5
x y z
x y z
x y z
Ako prvu jednaĀinu pomnožimo sa -3 i saberemo sa drugom i ako prvu
jednaĀinu pomnožimo sa 2 i saberemo sa treþom dobijamo ekvivalentan sistem:
2
4 7
4 9
x y z
x y
x y
Ako sada drugu i treþu jednaĀinu saberemo dobijamo:
2
4 7
2 2
x y z
x y
x
Iz ovog sistema sada dobijamo 1, 2, 1x y z pa je rešenje sistema
trojka

1234. 1,2,1 .
14. Rešiti sistem:
2 1
3 2 3 9
5 11
x y z
x y z
x z
Ako prvu jednaĀinu pomnožimo sa -2 i saberemo sa drugom dobiþemo sistem:
2 1
5 11
5 11
x y z
x z
x z
Sabirajuþi drugu i treþu jednaĀinu dobijamo:
2 1
5 11
0 0
x y z
x z
100

1235. Iz druge jednaĀine dobijamo 11 5x z i zamenom u prvu jednaĀinu dobijamo:

1236. 2 11 5 1
9 21
z y z
y z
ZakljuĀujemo da je trojka

1237. 11 5 ;9 21;z z z rešenje sistema, pri Āemu je z
proizvoljan realan broj.
15. Rešiti sistem:
0
2 2 3 10
3 3 2 9
x y z
x y z
x y z
Ako prvu jednaĀinu pomnožimo sa 3 i saberemo sa drugom i ako prvu jednaĀinu
pomnožimo sa -2 i saberemo sa treþom, dobijamo:
0
5 5 10
5 5 9
x y z
x y
x y
Ako saberemo drugu i treþu jednaĀinu dobiþemo
0
5 5 10
0 1
x y z
x y
odakle zakljuĀujemo da je sistem nemoguþ.
101

1238. ZADACI ZA VEŽBU:
1. IzraĀunati zbir matrica A i B:
a)
1 2 5 1 2 5
0 2 3 0 3 4
A B
ª º ª º
« » « » ¬ ¼ ¬ ¼
b)
1 2 4 2 4 5
2 5 0 2 3 2
3 1 3 2 1 1
A B
ª º ª º
« » « »« » « »
« » « » ¬ ¼ ¬ ¼
2. Ako je
2 1 3 4 2 2
8 2 4 0 1 3
A i B
ª º ª º
« » « »
¬ ¼ ¬ ¼
IzraĀunati 3A-5B.
3. Ako je
4 0 1 2 0 6
5 2 0 1 5 3
3 5 3 3 2 1
A i B
ª º ª º
« » « » « » « »
« » « »¬ ¼ ¬ ¼
Odrediti matricu C tako da je A+C=B
4. Proveriti rezultate:
a)
1 2 4 0 1 8 1
3 0 3 2 3 3 6
2 1 7 1 1 5 6
ª º ª º ª º
« » « » « »˜ « » « » « »
« » « » « » ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼
b)
2 1
1 2 3 1 0
3 2
3 2 0 0 1
1 1
ª º
ª º ª º« »˜« » « »« »
¬ ¼ ¬ ¼« » ¬ ¼
c )
1 2 3 1 0 0 7 2 3
4 5 6 0 1 0 16 5 6
7 8 9 2 0 1 25 8 9
ª º ª º ª º
« » « » « »˜« » « » « »
« » « » « »¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼
102

1239. d)
1 2 3 2 1 6 1 0 24
3 2 0 3 2 9 0 1 0
1 1 1 1 1 4 0 0 7
ª º ª º ª º
« » « » « »˜« » « » « »
« » « » « » ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼
Da li su matrice komutativne?
5. IzraĀunati AB i BA ako je:
@
2
3
1 3 5 2
0
7
A i B
ª º
« »
« »
« »
« »
¬ ¼
6. IzraĀunati:
a)
2 5 3
1 3 2 0
1 0 1
2 1 5 1
0 2 1
10 2 7 2
3 1 0
ª º
ª º « »« » « »˜« » « »
« » « »¬ ¼
¬ ¼
b)
5 6 2 1 5 7
1 3 0 2 3 0
2 1 4 0 2 0
ª º ª º
« » « » ˜ « » « »
« » « »¬ ¼ ¬ ¼
c)
0 3 2 5 3 4
3 0 4 3 5 1
2 4 0 2 2 3
ª º ª º
« » « »˜ « » « »
« » « »¬ ¼ ¬ ¼
d)
1 0 2 1 3 2
3 1 0 2 1 5
2 4 1 0 1 2
ª º ª º
« » « » ˜ « » « »
« » « »¬ ¼ ¬ ¼
Stepen kvadratne matrice definisan je pomoþu relacija :
0 1 1
, , n n
A I A A A A A
˜
7. IzraĀunati 2
2 2A A I ako je
1 1
1 1
A
ª º
« »¬ ¼
103

1240. 8. Pokazati da je A2=I ako je
1 1 1
0 1 0
0 0 1
A
ª º
« »
« »
« »¬ ¼
9. IzraĀunati A3, ako je
1 2 2
2 1 2
2 2 1
A
ª º
« »
« »
« »¬ ¼
10. Proveriti:
a)
1 1 1
2 1 1 6
1 2 2
b)
6 1 1
3 1 1 12
3 2 2
c )
1 1 6
2 1 3 18
1 2 3
d)
3 4 0
0 1 2 17
1 0 3
e)
2 3 2
6 6 4 10
2 1 1
f)
1 2 3
1 4 4 1
0 7 8
11. IzraĀunati:
a)
1 0 2
3 1 4
1 1 8
b)
2 3 5
1 0 1
2 1 0
c)
3 1 2
5 0 2
1 3 1
d)
1 3 1
2 2 0
3 1 1
e)
3 1 1
2 1 0
0 1 2
f)
4 0 2
1 6 3
3 2 2
12. Proveriti:
104

1241. a)
1
1 4 9 4
2 9 2 1
ª º ª º
« » « »¬ ¼ ¬ ¼
b)
1
3 1 1 2 1 1
1
2 1 0 4 6 2
4
0 1 2 2 3 1
ª º ª º
« » « »« » « »
« » « »¬ ¼ ¬ ¼
c) 1 1
A A A A I
˜ ˜ za bilo koju matricu A.
13. IzraĀunati inverzne matrice koje su definisane:
a)
1 3 1
2 2 0
3 1 1
A
ª º
« »
« »
« »¬ ¼
b)
3 5 1
1 0 3
2 2 1
B
ª º
« »« »
« »¬ ¼
c)
4 1 2
0 7 8
1 2 3
C
ª º
« »
« »
« »¬ ¼
d)
2 1 1
5 4 7
7 3 6
A
ª º
« »« »
« »¬ ¼
e)
1 6 1
2 3 1
1 3 2
A
ª º
« »
« »
« »¬ ¼
f)
1 1 1
2 4 3
5 4 1
A
ª º
« »« »
« »¬ ¼
14. Ako je
3 2 1
1 3 4
0 1 2
A
ª º
« »
« »
« »¬ ¼
;
2 2 1
3 1 4
1 2 2
B
ª º
« »
« »
« »¬ ¼
proveriti

1242. 1 1 1
AB B A
˜ .
15. Rešiti sledeþe matriĀne jednaĀine:
a)
0 2 1
2 , 1 3 0
2 4 1
AX X A I A
ª º
« » « »
« »¬ ¼
b)
2 1 1 6
, 1 3 2 , 9
1 1 4 8
B AX X A B
ª º ª º
« » « » « » « »
« » « »¬ ¼ ¬ ¼
105

1243. c)
0 1 2 1 0 1
2 , 0 2 0 , 2 1 1
1 1 0 0 1 2
XA X B A B
ª º ª º
« » « » « » « »
« » « »¬ ¼ ¬ ¼
d)
2 1 1 2
, 1 3 1 , 3
1 2 4 5
B X AX A B
ª º ª º
« » « » « » « »
« » « »¬ ¼ ¬ ¼
16. Rešiti matriĀne jednaĀine:
a)
1 3 2 1 10 10
2 2 1 3 2 7
3 4 0 0 7 8
X
ª º ª º
« » « » ˜ « » « »
« » « » ¬ ¼ ¬ ¼
b)
5 1 5 8 5 2
3 3 2 3 9 15
1 2 1 0 0 0
X
ª º ª º
« » « »˜ « » « »
« » « »¬ ¼ ¬ ¼
c )
3 5 5 7 14 19
1 2 6 8 2 10
X
ª º ª º ª º
˜ ˜« » « » « » ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼
d)
2 4 5 9 1 1 2 18 23
3 5 7 7 1 1 0 12 15
1 2 3 6 2 1 2 9 11
X
ª º ª º ª º
« » « » « » ˜ ˜« » « » « »
« » « » « »¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼
17. IzraĀunati 2
2 2A A I ako je
1 1 1
0 1 0
0 0 1
A
ª º
« »
« »
« »¬ ¼
18. IzraĀunati 1
A
za matricu
1 3 1
2 2 0
3 1 1
A
ª º
« »
« »
« »¬ ¼
106

1244. 19. Rešiti matriĀnu jednaĀinu:
1 3 1 3
2 2 0 1
3 1 1 2
AX X B ako je A i B
ª º ª º
« » « » « » « »
« » « »¬ ¼ ¬ ¼
20. Rešiti sisteme jednaĀina:
a)
2 3 1
4 2 3 5
13
3
6
x y z
x y z
x y z
b)
0
2 2 3 7
2 9
x y z
x y z
x y z
c)
1
2 5 2 10
3 2 3 15
x y z
x y z
x y z
d)
2 2 3 11
3 5 2 19
3 5 20
x y z
x y z
x y z
e)
0
2 2 3 7
4 9
x y z
x y z
x y z
f)
4 2 3 5
43
3 5 2
6
2 3 1
x y z
x y z
x y z
g)
3 5 2 19
3 5 20
4 6 4 25
x y z
x y z
x y z
h)
2 1
5 4 7 2
7 3 6 3
x y z
x y z
x y z
i)
4 2 0
7 8 0
2 3 0
x y z
y z
x y z
j)
2 7 3 0
3 9 4 0
5 3 0
x y z
x y z
x y z
k)
2 3 2
3 5 5 3
5 8 6 5
x y z
x y z
x y z
l)
4 3 2 1
3 5 1
3 6 9 2
x y z
x y z
x y z
m)
4 3 2 0
3 5 0
3 6 9 0
x y z
x y z
x y z
n)
2 23 29 4
7 4 7
5 2 5
ax y z
x ay z
x y az
o)
3 5 4
3 2
9 7 8 0
ax y z
x ay z
x y az
107

1245. p)
4 0
2 3 1 0
3 2 0
ax y z
x y
x by
q)
2 2
5 2 1
2 3
ax z
x y
x y bz
r)
0
2 2
2 0
x y z
x y z
x z
s)
1
1
1
ax y z
x ay z
x y az
t)
2
1bx y z
x by z b
x y bz b
108