الفصل الثامن

1. ‫أ‬ ‫إعداد‬.‫صبري‬ ‫منصور‬
‫رياضيات‬3‫متوسط‬

2. ‫س‬=
‫ب‬ ‫ــ‬±‫ب‬2‫ــ‬4‫جـ‬ ‫أ‬
2‫أ‬
‫س‬=
‫ب‬ ‫ــ‬±‫المميز‬
2‫أ‬
‫ب‬2‫ــ‬4‫جـ‬ ‫أ‬
‫سالب‬‫صفر‬‫موجب‬
‫المعادلة‬
‫مستحيلة‬
‫الحل‬
‫المعادلة‬
‫حل‬ ‫لها‬
‫وحيد‬
‫المعادلة‬
‫لها‬
‫حالن‬
‫نعوض‬ ‫حل‬ ‫للمعادلة‬ ‫كان‬ ‫إذا‬
‫بقيمة‬ ‫أعاله‬ ‫القانون‬ ‫في‬
‫ب‬ ، ‫أ‬ ‫وقيم‬ ‫المميز‬
‫الحلول‬ ‫على‬ ‫لنحصل‬
‫للمعادلة‬ ‫الحقيقية‬
‫المميز‬

3. ‫أ‬=3‫ب‬=5
‫جـ‬=‫ــ‬12
‫ب‬2‫ــ‬4‫جـ‬ ‫أ‬
‫المعادلة‬ ‫حل‬3‫س‬2+5‫س‬=12‫العام‬ ‫القانون‬ ‫باستعمال‬: ‫مثال‬
=25‫ــ‬4(3( )‫ــ‬12)
=25+144
3‫س‬2+5‫ــ‬ ‫س‬12=0
=169
‫القياس‬ ‫بالصورة‬ ‫المعادلة‬ ‫اكتب‬‫ية‬
‫س‬=
‫ب‬ ‫ــ‬±‫المميز‬
2‫أ‬
‫س‬=
‫ــ‬5±169
2(3)
‫س‬=
‫ــ‬5±13
6
‫س‬=
‫ــ‬5+13
6
‫س‬=
‫ــ‬5‫ــ‬13
6
4
3
= ‫س‬=8
6
‫س‬=‫ــ‬18
6
=‫ــ‬3
‫الحلول‬:‫ــ‬3،4
3
‫موجب‬ ‫المميز‬
‫عدد‬ ‫أن‬ ‫أي‬
‫الحلول‬(2)

4. ‫أ‬=2‫ب‬=9
‫جـ‬=‫ــ‬18
‫ب‬2‫ــ‬4‫جـ‬ ‫أ‬
‫المعادلة‬ ‫حل‬2‫س‬2+9‫س‬=18‫العام‬ ‫القانون‬ ‫باستعمال‬: ‫تحقق‬
=29‫ــ‬4(2( )‫ــ‬18)
=81+144
2‫س‬2+9‫ــ‬ ‫س‬18=0
=225
‫القياس‬ ‫بالصورة‬ ‫المعادلة‬ ‫اكتب‬‫ية‬
‫س‬=
‫ب‬ ‫ــ‬±‫المميز‬
2‫أ‬
‫س‬=
‫ــ‬9±225
2(2)
‫س‬=
‫ــ‬9±15
4
‫س‬=
‫ــ‬9+15
4
‫س‬=
‫ــ‬9‫ــ‬15
4
3
2
= ‫س‬=6
4
‫س‬=‫ــ‬24
4
=‫ــ‬6
‫الحلول‬:‫ــ‬6،3
2
‫موجب‬ ‫المميز‬
‫عدد‬ ‫أن‬ ‫أي‬
‫الحلول‬(2)

5. ‫أ‬=4‫ب‬=‫ــ‬24
‫جـ‬=35
‫ب‬2‫ــ‬4‫جـ‬ ‫أ‬
‫المعادلة‬ ‫حل‬4‫س‬2‫ــ‬24‫س‬+35=0‫العام‬ ‫القانون‬ ‫باستعمال‬: ‫تحقق‬
( =‫ــ‬24)2‫ــ‬4(4( )35)
=576‫ــ‬560
4‫س‬2‫ــ‬24‫س‬+35=0
=16
‫القياس‬ ‫بالصورة‬ ‫المعادلة‬ ‫اكتب‬‫ية‬
‫س‬=
‫ب‬ ‫ــ‬±‫المميز‬
2‫أ‬
‫س‬=
24±16
2(4)
‫س‬=
24±4
8
‫س‬=
24+4
8
‫س‬=
24‫ــ‬4
8
7
2
= ‫س‬=28
8
‫س‬=20
8
‫موجب‬ ‫المميز‬
‫عدد‬ ‫أن‬ ‫أي‬
‫الحلول‬(2)
5
2
=
‫الحلول‬:،5
2
7
2

6. ‫أ‬=3‫ب‬=‫ــ‬2
‫جـ‬=‫ــ‬9
‫ب‬2‫ــ‬4‫جـ‬ ‫أ‬
‫المعادلة‬ ‫حل‬3‫س‬2‫ــ‬2‫ــ‬ ‫س‬9=0‫العام‬ ‫القانون‬ ‫باستعمال‬: ‫تحقق‬
( =‫ــ‬2)2‫ــ‬4(3( )‫ــ‬9)
=4+108
3‫س‬2‫ــ‬2‫ــ‬ ‫س‬9=0
=112
‫القياس‬ ‫بالصورة‬ ‫المعادلة‬ ‫اكتب‬‫ية‬
‫س‬=
‫ب‬ ‫ــ‬±‫المميز‬
2‫أ‬
‫س‬=
2±112
2(3)
‫س‬=
2±10.6
6
‫س‬=
2+10.6
6
‫س‬=
2‫ــ‬10.6
6
‫س‬=12.6
6
‫س‬=‫ــ‬8.6
6
‫موجب‬ ‫المميز‬
‫عدد‬ ‫أن‬ ‫أي‬
‫الحلول‬(2)
‫الحلول‬:‫ــ‬1.4،2.1
=2.1=‫ــ‬1.4

7. ‫أ‬=2‫ب‬=11
‫جـ‬=15
‫ب‬2‫ــ‬4‫جـ‬ ‫أ‬
‫المعادلة‬ ‫حل‬2‫س‬2+11‫س‬+15=0‫العام‬ ‫القانون‬ ‫باستعمال‬: ‫تحقق‬
=211‫ــ‬4(2( )15)
=121‫ــ‬120
2‫س‬2+11‫س‬+15=0
=1
‫القياس‬ ‫بالصورة‬ ‫المعادلة‬ ‫اكتب‬‫ية‬
‫س‬=
‫ب‬ ‫ــ‬±‫المميز‬
2‫أ‬
‫س‬=
‫ــ‬11±1
2(2)
‫س‬=
‫ــ‬11±1
4
‫س‬=
‫ــ‬11+1
4
‫س‬=
‫ــ‬11‫ــ‬1
4
‫ــ‬5
2
= ‫س‬=‫ــ‬10
4
‫س‬=‫ــ‬12
4
=‫ــ‬3
‫الحلول‬:‫ــ‬3،‫ــ‬5
2
‫موجب‬ ‫المميز‬
‫عدد‬ ‫أن‬ ‫أي‬
‫الحلول‬(2)

8. ‫أ‬=9‫ب‬=‫ــ‬30
‫جـ‬=25
‫ب‬2‫ــ‬4‫جـ‬ ‫أ‬
‫المعادلة‬ ‫حل‬9‫س‬2‫ــ‬30‫س‬+25=0‫العام‬ ‫القانون‬ ‫باستعمال‬: ‫تحقق‬
( =‫ــ‬30)2‫ــ‬4(9( )25)
=900‫ــ‬900
9‫س‬2‫ــ‬30‫س‬+25=0
=0
‫القياس‬ ‫بالصورة‬ ‫المعادلة‬ ‫اكتب‬‫ية‬
‫س‬=
‫ب‬ ‫ــ‬±‫المميز‬
2‫أ‬
‫س‬=
30±0
2(9)
‫س‬=
30
18
‫الحلول‬:5
3
‫صفر‬ ‫المميز‬
‫عدد‬ ‫أن‬ ‫أي‬
‫الحلول‬(1)
‫س‬=
5
3

9. ‫أ‬=1‫ب‬=‫ــ‬2
‫جـ‬=‫ــ‬15
‫ب‬2‫ــ‬4‫جـ‬ ‫أ‬
‫س‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬2‫ــ‬2‫ــ‬ ‫س‬15=0‫العام‬ ‫القانون‬ ‫باستعمال‬: ‫تأكد‬
( =‫ــ‬2)2‫ــ‬4(1( )‫ــ‬15)
=4+60
‫س‬2‫ــ‬2‫ــ‬ ‫س‬15=0
=64
‫القياس‬ ‫بالصورة‬ ‫المعادلة‬ ‫اكتب‬‫ية‬
‫س‬=
‫ب‬ ‫ــ‬±‫المميز‬
2‫أ‬
‫س‬=
2±64
2(1)
‫س‬=
2±8
2
‫س‬=
2+8
2
‫س‬=
2‫ــ‬8
2
‫س‬=10
2
‫س‬=‫ــ‬6
2
‫موجب‬ ‫المميز‬
‫عدد‬ ‫أن‬ ‫أي‬
‫الحلول‬(2)
‫الحلول‬:‫ــ‬3،5
=5=‫ــ‬3

10. ‫أ‬=1‫ب‬=‫ــ‬8
‫جـ‬=10
‫ب‬2‫ــ‬4‫جـ‬ ‫أ‬
‫س‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬2‫ــ‬8‫س‬=10‫العام‬ ‫القانون‬ ‫باستعمال‬: ‫تأكد‬
( =‫ــ‬8)2‫ــ‬4(1( )10)
=64‫ــ‬40
‫س‬2‫ــ‬8‫س‬+10=0
=24
‫القياس‬ ‫بالصورة‬ ‫المعادلة‬ ‫اكتب‬‫ية‬
‫س‬=
‫ب‬ ‫ــ‬±‫المميز‬
2‫أ‬
‫س‬=
8±24
2(1)
‫س‬=
8±4.9
2
‫س‬=
8+4.9
2
‫س‬=
8‫ــ‬4.9
2
‫س‬=12.9
2
‫س‬=3.1
2
‫موجب‬ ‫المميز‬
‫عدد‬ ‫أن‬ ‫أي‬
‫الحلول‬(2)
‫الحلول‬:6.5،1.6
=6.5=1.6

11. ‫أ‬=5‫ب‬=13
‫جـ‬=5
‫ب‬2‫ــ‬4‫جـ‬ ‫أ‬
‫المعادلة‬ ‫حل‬5‫س‬2+5=‫ــ‬13‫العام‬ ‫القانون‬ ‫باستعمال‬ ‫س‬: ‫تأكد‬
( =13)2‫ــ‬4(5( )5)
=169‫ــ‬100
5‫س‬2+13‫س‬+5=0
=69
‫القياس‬ ‫بالصورة‬ ‫المعادلة‬ ‫اكتب‬‫ية‬
‫س‬=
‫ب‬ ‫ــ‬±‫المميز‬
2‫أ‬
‫س‬=
‫ــ‬13±69
2(5)
‫س‬=
‫ــ‬13±8.3
10
‫س‬=
‫ــ‬13+8.3
10
‫س‬=
‫ــ‬13‫ــ‬8.3
10
‫س‬=
‫ــ‬4.7
10
‫س‬=‫ــ‬21.3
10
‫موجب‬ ‫المميز‬
‫عدد‬ ‫أن‬ ‫أي‬
‫الحلول‬(2)
‫الحلول‬:‫ــ‬2.1‫ــ‬ ،0.5
=‫ــ‬0.5=‫ــ‬2.1

12. ‫أ‬=1‫ب‬=‫ــ‬9
‫جـ‬=21
‫ب‬2‫ــ‬4‫جـ‬ ‫أ‬
‫للمعادلة‬ ‫المميز‬ ‫أوجد‬:‫س‬2‫ــ‬9‫س‬+21=0‫لها‬ ‫الحلول‬ ‫عدد‬ ‫وحدد‬. ‫تأكد‬
( =‫ــ‬9)2‫ــ‬4(1( )21)
=81‫ــ‬84
‫س‬2‫ــ‬9‫س‬+21=0
=‫ــ‬3
‫القياس‬ ‫بالصورة‬ ‫المعادلة‬ ‫اكتب‬‫ية‬
‫المميز‬‫سالب‬
‫حقيقية‬ ‫حلول‬ ‫توجد‬ ‫ال‬

13. ‫أ‬=9‫ب‬=24
‫جـ‬=16
‫ب‬2‫ــ‬4‫جـ‬ ‫أ‬
‫للمعادلة‬ ‫المميز‬ ‫أوجد‬:9‫س‬2+24‫س‬=‫ــ‬16‫لها‬ ‫الحلول‬ ‫عدد‬ ‫وحدد‬. ‫تأكد‬
( =24)2‫ــ‬4(9( )16)
=576‫ــ‬576
9‫س‬2+24‫س‬+16=0
=0
‫القياس‬ ‫بالصورة‬ ‫المعادلة‬ ‫اكتب‬‫ية‬
‫المميز‬‫صفر‬
‫واحد‬ ‫حقيقي‬ ‫حل‬ ‫يوجد‬

14. ‫أ‬=3‫ب‬=‫ــ‬1
‫جـ‬=‫ــ‬8
‫ب‬2‫ــ‬4‫جـ‬ ‫أ‬
‫للمعادلة‬ ‫المميز‬ ‫أوجد‬:3‫س‬2‫س‬ ‫ــ‬=8‫لها‬ ‫الحلول‬ ‫عدد‬ ‫وحدد‬. ‫تأكد‬
( =‫ــ‬1)2‫ــ‬4(3( )‫ــ‬8)
=1+96
3‫س‬2‫ــ‬ ‫س‬ ‫ــ‬8=0
=97
‫القياس‬ ‫بالصورة‬ ‫المعادلة‬ ‫اكتب‬‫ية‬
‫المميز‬‫موجب‬
‫حقيقيان‬ ‫حالن‬ ‫يوجد‬

15. ‫س‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬2‫ــ‬2‫ــ‬ ‫س‬8=0‫مختلفة‬ ‫طرق‬ ‫باستعمال‬. ‫مثال‬
●
● ●
●●‫س‬2‫ــ‬2‫ــ‬ ‫س‬8=0
(‫س‬+2( )‫ــ‬ ‫س‬4= )0
‫س‬+2=0‫ــ‬ ‫س‬4=0
‫س‬=‫ــ‬2‫س‬=4
‫عوامل‬ ‫إلى‬ ‫التحليل‬
‫س‬2‫ــ‬2‫س‬=8
‫س‬2‫ــ‬2‫س‬+1=8+1
(‫ــ‬ ‫س‬1)2=9
‫ــ‬ ‫س‬1=±3
‫ــ‬ ‫س‬1=3‫ــ‬ ‫س‬1=‫ــ‬3
‫س‬=4‫س‬=‫ــ‬2
‫البياني‬ ‫التمثيل‬
‫المربع‬ ‫إكمال‬‫العام‬ ‫القانون‬
‫س‬=
2±36
2(1)
=
2±6
2
‫س‬=
2+6
2
‫س‬=
2‫ــ‬6
2
‫س‬=4‫س‬=‫ــ‬2
‫الرأس‬( :1‫ــ‬ ،9)
‫الصادي‬ ‫المقطع‬=‫ــ‬8‫س‬=1
‫ــ‬2
2×1
‫س‬=‫ــ‬
‫ــ‬2
2
‫س‬=‫ــ‬
‫ص‬( =1)2‫ــ‬2(1)‫ــ‬8
‫ص‬=1‫ــ‬2‫ــ‬8
‫ص‬=‫ــ‬9
‫الحل‬:4‫ــ‬ ،2
‫ب‬2‫ــ‬4‫جـ‬ ‫أ‬
‫أ‬=1‫ب‬=‫ــ‬2‫جـ‬=‫ــ‬8
( =‫ــ‬2)2‫ــ‬4(1( )‫ــ‬8)
=4+32
=36

17. ‫س‬2+2‫س‬+1=0
‫س‬2+3‫س‬=0
‫س‬2+6‫ــ‬ ‫س‬7=0
‫س‬2=36
(‫س‬+1)2=16
‫عوامل‬ ‫إلى‬ ‫التحليل‬+‫ال‬ ‫القانون‬‫عام‬
‫عوامل‬ ‫إلى‬ ‫التحليل‬+‫ال‬ ‫القانون‬‫عام‬
‫المربع‬ ‫إكمال‬+‫العام‬ ‫القانون‬
‫التربيعية‬ ‫الجذور‬+‫ال‬ ‫القانون‬‫عام‬
‫التربيعية‬ ‫الجذور‬+‫ال‬ ‫القانون‬‫عام‬
‫العوامل‬ ‫تحديد‬ ‫سهولة‬
‫صفر‬ ‫الثابت‬ ‫الحد‬
‫أ‬ ، ‫زوجي‬ ‫عدد‬ ‫ب‬=1
‫الصورة‬ ‫على‬:‫س‬2=‫ن‬
‫الصورة‬ ‫على‬:‫س‬2=‫ن‬
‫التالية‬ ‫المعادالت‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫لحل‬ ‫المناسبة‬ ‫الطريقة‬ ‫عين‬: ‫مثال‬

18. ‫المعادلة‬ ‫حل‬2‫س‬2+11‫ــ‬ ‫س‬6=0‫استعملتها‬ ‫التي‬ ‫الطريقة‬ ‫واذكر‬: ‫تأكد‬
2‫س‬2+11‫س‬‫ــ‬6
1،12
2،6
11
4
(2‫ــ‬ ‫س‬1)
12
‫األكبر‬ ‫مع‬ ‫األوسط‬ ‫إشارة‬
‫األصغر‬ ‫مع‬ ‫وعكسها‬
‫نطرح‬
‫نطرح‬
2‫س‬2‫س‬ ‫ــ‬+12‫س‬‫ــ‬6
(2‫س‬2‫س‬ ‫ــ‬( + )12‫ــ‬ ‫س‬6)
‫س‬(2‫ــ‬ ‫س‬1)+6(2‫ــ‬ ‫س‬1)
(‫س‬+6)
3،4 1
2‫ــ‬ ‫س‬1=0(‫س‬+6)
2‫س‬=1
‫س‬=1
2
‫س‬=‫ــ‬6
‫عوامل‬ ‫إلى‬ ‫التحليل‬

19. ‫أ‬=2‫ب‬=‫ــ‬3
‫جـ‬=‫ــ‬6
‫ب‬2‫ــ‬4‫جـ‬ ‫أ‬
‫المعادلة‬ ‫حل‬2‫س‬2‫ــ‬3‫ــ‬ ‫س‬6=0‫استعملتها‬ ‫التي‬ ‫الطريقة‬ ‫واذكر‬: ‫تأكد‬
( =‫ــ‬3)2‫ــ‬4(2( )‫ــ‬6)
=9+48
2‫س‬2‫ــ‬3‫ــ‬ ‫س‬6=0
=57
‫القياس‬ ‫بالصورة‬ ‫المعادلة‬ ‫اكتب‬‫ية‬
‫س‬=
‫ب‬ ‫ــ‬±‫المميز‬
2‫أ‬
‫س‬=
3±57
2(2)
‫س‬=
3±7.6
4
‫س‬=
3+7.6
4
‫س‬=
3‫ــ‬7.6
4
‫س‬=10.6
4
‫س‬=‫ــ‬4.6
4
‫موجب‬ ‫المميز‬
‫عدد‬ ‫أن‬ ‫أي‬
‫الحلول‬(2)
‫الحلول‬:‫ــ‬1.2،2.7
=2.7=‫ــ‬1.2

20. ‫المعادلة‬ ‫حل‬9‫س‬2=25‫استعملتها‬ ‫التي‬ ‫الطريقة‬ ‫واذكر‬: ‫تأكد‬
‫التربيعية‬ ‫الجذور‬
9‫س‬2=25
‫على‬ ‫الطرفين‬ ‫قسمة‬9 ‫س‬2=25
9
‫س‬=±5
3
‫س‬=5
3
‫س‬=‫ــ‬5
3
‫للطرفين‬ ‫الجذر‬