Ο αλγόριθμος

Γραμμική ΄Αλγεβρα
Απαλοιφή Γκάους
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

16 Οκτωβρίου 2013
Ο αλγόριθμος

Διαδικαστικά

Τα φροντιστήρια του μαθήματος θα πραγματοποιούνται
κάθε Τετάρτη 9.00-10.00 στο εδώ Αμφιθέατρο....
Ο αλγόριθμος

Απαλοιφή του Γκάους είναι
ένας αλγόριθμος που
μετατρέπει ένα σύστημα σε
ένα ισοδύναμο άνω
τριγωνικό.
Ο αλγόριθμος

Ερωτήσεις

1

Για ποιές τιμές της παραμέτρου t ∈ R έχει λύση το
παρακάτω σύστημα;

x1 + x2 + x3 = b1
tx1 + 2...
Ο αλγόριθμος

Ερωτήσεις

1

Για ποιές τιμές της παραμέτρου t ∈ R έχει λύση το
παρακάτω σύστημα;

x1 + x2 + x3 = b1
tx1 + 2...
Ο αλγόριθμος

Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα)
Απαλοιφή του 1ου αγνώστου απο την 2η εξίσωση
Ο αλγόριθμος

Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα)
Απαλοιφή του 1ου αγνώστου απο την 2η εξίσωση
a1,1 x1 + · · · + a1,j xj ...
Ο αλγόριθμος

Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα)
Απαλοιφή του 1ου αγνώστου απο την 2η εξίσωση
a1,1 x1 + · · · + a1,j xj ...
Ο αλγόριθμος

Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα)
Απαλοιφή του 1ου αγνώστου απο την 2η εξίσωση
a1,1 x1 + · · · + a1,j xj ...
Ο αλγόριθμος

Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα)
Απαλοιφή 1ου αγνώστου απο i = 2, . . . , n εξίσωση
Ο αλγόριθμος

Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα)
Απαλοιφή 1ου αγνώστου απο i = 2, . . . , n εξίσωση
a1,1 x1 + · · · + a1...
Ο αλγόριθμος

Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα)
Απαλοιφή 1ου αγνώστου απο i = 2, . . . , n εξίσωση
a1,1 x1 + · · · + a1...
Ο αλγόριθμος

Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα)
Απαλοιφή 1ου αγνώστου απο i = 2, . . . , n εξίσωση
a1,1 x1 + · · · + a1...
Ο αλγόριθμος

Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (k = 1, . . . , n − 1 Βήμα)
Απαλοιφή k αγνώστου απο i = k + 1, . . . , n
εξίσωση
Ο αλγόριθμος

Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (k = 1, . . . , n − 1 Βήμα)
Απαλοιφή k αγνώστου απο i = k + 1, . . . , n
εξίσωση
...
Ο αλγόριθμος

Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (k = 1, . . . , n − 1 Βήμα)
Απαλοιφή k αγνώστου απο i = k + 1, . . . , n
εξίσωση
...
Ο αλγόριθμος

Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (k = 1, . . . , n − 1 Βήμα)
Απαλοιφή k αγνώστου απο i = k + 1, . . . , n
εξίσωση
...
Ο αλγόριθμος

Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (χωρίς εναλλαγές γραμμών)

Για k = 1, . . . , n − 1 (τα βήματα της απαλοιφής)
.
Γ...
Ο αλγόριθμος

Ερωτήσεις

1

Πόσες περίπου πράξεις εκτελούνται στην απαλοιφή ενός
συστήματος n εξισώσεων με n αγνώστους.
Ο αλγόριθμος

Ερωτήσεις

1

Πόσες περίπου πράξεις εκτελούνται στην απαλοιφή ενός
συστήματος n εξισώσεων με n αγνώστους.

2...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

5η διάλεξη - Απαλοιφή του Γκάους

6,570 views

Published on

ο αλγοριθμος

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
6,570
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
6,303
Actions
Shares
0
Downloads
48
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

5η διάλεξη - Απαλοιφή του Γκάους

  1. 1. Ο αλγόριθμος Γραμμική ΄Αλγεβρα Απαλοιφή Γκάους Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 16 Οκτωβρίου 2013
  2. 2. Ο αλγόριθμος Διαδικαστικά Τα φροντιστήρια του μαθήματος θα πραγματοποιούνται κάθε Τετάρτη 9.00-10.00 στο εδώ Αμφιθέατρο. Δεν θα πραγματοποιηθούν οι διαλέξεις της επόμενης εβδομάδας. Θα αναπληρωθούν αργότερα και θα ανακοινωθεί η αναπλήρωσή τους έγκαιρα.
  3. 3. Ο αλγόριθμος Απαλοιφή του Γκάους είναι ένας αλγόριθμος που μετατρέπει ένα σύστημα σε ένα ισοδύναμο άνω τριγωνικό.
  4. 4. Ο αλγόριθμος Ερωτήσεις 1 Για ποιές τιμές της παραμέτρου t ∈ R έχει λύση το παρακάτω σύστημα; x1 + x2 + x3 = b1 tx1 + 2tx2 + 2x3 = b2 (t + 1)x1 + 2tx3 = b3
  5. 5. Ο αλγόριθμος Ερωτήσεις 1 Για ποιές τιμές της παραμέτρου t ∈ R έχει λύση το παρακάτω σύστημα; x1 + x2 + x3 = b1 tx1 + 2tx2 + 2x3 = b2 (t + 1)x1 + 2tx3 = b3 2 Υπολογίστε την λύση του συστήματος αν b1 = 3, b2 = 3t + 2 και b3 = 3t + 1.
  6. 6. Ο αλγόριθμος Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα) Απαλοιφή του 1ου αγνώστου απο την 2η εξίσωση
  7. 7. Ο αλγόριθμος Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα) Απαλοιφή του 1ου αγνώστου απο την 2η εξίσωση a1,1 x1 + · · · + a1,j xj + · · · + a1,n xn = b1 a2,1 x1 + · · · + a2,j xj + · · · + a2,n xn = b2
  8. 8. Ο αλγόριθμος Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα) Απαλοιφή του 1ου αγνώστου απο την 2η εξίσωση a1,1 x1 + · · · + a1,j xj + · · · + a1,n xn = b1 a2,1 x1 + · · · + a2,j xj + · · · + a2,n xn = b2 πολλαπλασιαστής p = a2,1 a1,1 , οδηγός = a1,1 ,
  9. 9. Ο αλγόριθμος Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα) Απαλοιφή του 1ου αγνώστου απο την 2η εξίσωση a1,1 x1 + · · · + a1,j xj + · · · + a1,n xn = b1 a2,1 x1 + · · · + a2,j xj + · · · + a2,n xn = b2 πολλαπλασιαστής p = a2,1 a1,1 , οδηγός = a1,1 , a2,j ← a2,j − p · a1,j , j = 2, . . . , n
  10. 10. Ο αλγόριθμος Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα) Απαλοιφή 1ου αγνώστου απο i = 2, . . . , n εξίσωση
  11. 11. Ο αλγόριθμος Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα) Απαλοιφή 1ου αγνώστου απο i = 2, . . . , n εξίσωση a1,1 x1 + · · · + a1,j xj + · · · + a1,n xn = b1 ai,1 x1 + · · · + ai,j xj + · · · + ai,n xn = bi
  12. 12. Ο αλγόριθμος Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα) Απαλοιφή 1ου αγνώστου απο i = 2, . . . , n εξίσωση a1,1 x1 + · · · + a1,j xj + · · · + a1,n xn = b1 ai,1 x1 + · · · + ai,j xj + · · · + ai,n xn = bi πολλαπλασιαστής p = ai,1 a1,1 , οδηγός = a1,1 ,
  13. 13. Ο αλγόριθμος Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα) Απαλοιφή 1ου αγνώστου απο i = 2, . . . , n εξίσωση a1,1 x1 + · · · + a1,j xj + · · · + a1,n xn = b1 ai,1 x1 + · · · + ai,j xj + · · · + ai,n xn = bi πολλαπλασιαστής p = ai,1 a1,1 , οδηγός = a1,1 , ai,j ← ai,j − p · a1,j , j = 2, . . . , n
  14. 14. Ο αλγόριθμος Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (k = 1, . . . , n − 1 Βήμα) Απαλοιφή k αγνώστου απο i = k + 1, . . . , n εξίσωση
  15. 15. Ο αλγόριθμος Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (k = 1, . . . , n − 1 Βήμα) Απαλοιφή k αγνώστου απο i = k + 1, . . . , n εξίσωση ak,k xk + · · · + ak,j xj + · · · + ak,n xn = bk ai,k xk + · · · + ai,j xj + · · · + ai,n xn = bi
  16. 16. Ο αλγόριθμος Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (k = 1, . . . , n − 1 Βήμα) Απαλοιφή k αγνώστου απο i = k + 1, . . . , n εξίσωση ak,k xk + · · · + ak,j xj + · · · + ak,n xn = bk ai,k xk + · · · + ai,j xj + · · · + ai,n xn = bi πολλαπλασιαστής p = ai,k ak,k , οδηγός = ak,k ,
  17. 17. Ο αλγόριθμος Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (k = 1, . . . , n − 1 Βήμα) Απαλοιφή k αγνώστου απο i = k + 1, . . . , n εξίσωση ak,k xk + · · · + ak,j xj + · · · + ak,n xn = bk ai,k xk + · · · + ai,j xj + · · · + ai,n xn = bi πολλαπλασιαστής p = ai,k ak,k , οδηγός = ak,k , ai,j ← ai,j − p · ak,j , j = k + 1, . . . , n
  18. 18. Ο αλγόριθμος Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (χωρίς εναλλαγές γραμμών) Για k = 1, . . . , n − 1 (τα βήματα της απαλοιφής) . Για i = k + 1, . . . , n (οι υπόλοιπες εξισώσεις) . p = ai,k /ak,k . Για j = k + 1, . . . , n (συντ. υπολοίπων αγνώστων) . ai,j = ai,j − p · ak,j . bi = bi − p · bk
  19. 19. Ο αλγόριθμος Ερωτήσεις 1 Πόσες περίπου πράξεις εκτελούνται στην απαλοιφή ενός συστήματος n εξισώσεων με n αγνώστους.
  20. 20. Ο αλγόριθμος Ερωτήσεις 1 Πόσες περίπου πράξεις εκτελούνται στην απαλοιφή ενός συστήματος n εξισώσεων με n αγνώστους. 2 Μετατρέψτε τον παραπάνω αλγόριθμο έτσι ώστε αυτός να εκμεταλεύεται κατάλληλα την μη-μηδενικη δομή ενός συστήματος του οποίου οι συντελεστές των αγνώστων ικανοποιούν την παρακάτω συνθήκη όπου k ακέραιος θετικός αριθμός μικρότερος του n. ai,j = 0, ∀i, j : |i − j| > k

×