1. Grammik 'Algebra
Epanˆlhyh - Bˆsh kai diˆstash q¸rwn
Tm ma Hlektrolìgwn Mhqanik¸n kai Mhqanik¸n Upologist¸n
Panepist mio JessalÐac
5 NoembrÐou 2014

2. Je¸rhma
'Estw o m£n pÐnakac A. Tìte
1. O mhdenìqwrìc tou A eÐnai dianusmatikìc upìqwroc tou
Rn.

3. Je¸rhma
'Estw o m£n pÐnakac A. Tìte
1. O mhdenìqwrìc tou A eÐnai dianusmatikìc upìqwroc tou
Rn.
2. O aristerìc mhdenìqwrìc tou A eÐnai dianusmatikìc
upìqwroc tou Rm.

4. Je¸rhma
'Estw o m£n pÐnakac A. Tìte
1. O mhdenìqwrìc tou A eÐnai dianusmatikìc upìqwroc tou
Rn.
2. O aristerìc mhdenìqwrìc tou A eÐnai dianusmatikìc
upìqwroc tou Rm.
3. O q¸roc gramm¸n tou A eÐnai dianusmatikìc upìqwroc
tou Rn.

5. Je¸rhma
'Estw o m£n pÐnakac A. Tìte
1. O mhdenìqwrìc tou A eÐnai dianusmatikìc upìqwroc tou
Rn.
2. O aristerìc mhdenìqwrìc tou A eÐnai dianusmatikìc
upìqwroc tou Rm.
3. O q¸roc gramm¸n tou A eÐnai dianusmatikìc upìqwroc
tou Rn.
4. O q¸roc sthl¸n tou A eÐnai dianusmatikìc upìqwroc
tou Rm.

6. Je¸rhma
'Estw o m£n pÐnakac A. Tìte
1. O mhdenìqwrìc tou A eÐnai dianusmatikìc upìqwroc tou
Rn.
2. O aristerìc mhdenìqwrìc tou A eÐnai dianusmatikìc
upìqwroc tou Rm.
3. O q¸roc gramm¸n tou A eÐnai dianusmatikìc upìqwroc
tou Rn.
4. O q¸roc sthl¸n tou A eÐnai dianusmatikìc upìqwroc
tou Rm.
5. To sÔnolo twn lÔsewn tou Ax Æ b den apoteleÐ
dianusmatikì upìqwro tou Rn.

7. Epanˆlhyh diadikasÐac epÐlushc
An jèsw ìlec tic eleÔjerec metablhtèc Ðsec me 0 eÔkola
upologÐzw mia lÔsh s0 tou mh-omogenoÔc Ax Æ b :
Parˆdeigma:
2
666664
1 0 ¤ 0 ¤ ¼
0 1 ¤ 0 ¤ e
0 0 0 1 ¤
p
2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
3
777775

8. Epanˆlhyh diadikasÐac epÐlushc
An jèsw ìlec tic eleÔjerec metablhtèc Ðsec me 0 eÔkola
upologÐzw mia lÔsh s0 tou mh-omogenoÔc Ax Æ b :
Parˆdeigma:
2
666664
1 0 ¤ 0 ¤ ¼
0 1 ¤ 0 ¤ e
0 0 0 1 ¤
p
2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
3
777775
Jètw x3 Æ x5 Æ 0
x1 Å0x2 Ť0Å0x4 Ť0 Æ ¼
0x1 Åx2 Ť0Å0x4 Ť0 Æ e
0x1 Å0x2 Ť0Åx4 Ť0 Æ
p
2

9. Epanˆlhyh diadikasÐac epÐlushc
An jèsw ìlec tic eleÔjerec metablhtèc Ðsec me 0 eÔkola
upologÐzw mia lÔsh s0 tou mh-omogenoÔc Ax Æ b :
Parˆdeigma:
2
666664
1 0 ¤ 0 ¤ ¼
0 1 ¤ 0 ¤ e
0 0 0 1 ¤
p
2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
3
777775
Jètw x3 Æ x5 Æ 0
x1 Å0x2 Ť0Å0x4 Ť0 Æ ¼
0x1 Åx2 Ť0Å0x4 Ť0 Æ e
0x1 Å0x2 Ť0Åx4 Ť0 Æ
p
2
x1 Æ ¼,x2 Æ e,x4 Æ
p
2,x3 Æ x5 Æ 0 eÐnai mia lÔsh.
P¸c ja broÔme ìlec tic ˆllec lÔseic?

10. H diaforˆ dÔo lÔsewn
'Estw si mia opoiad pote ˆllh lÔsh, opìte Asi Æ b.

11. H diaforˆ dÔo lÔsewn
'Estw si mia opoiad pote ˆllh lÔsh, opìte Asi Æ b.
Tìte
A(si ¡s0) Æ Asi ¡As0 Æ b¡b Æ 0

12. H diaforˆ dÔo lÔsewn
'Estw si mia opoiad pote ˆllh lÔsh, opìte Asi Æ b.
Tìte
A(si ¡s0) Æ Asi ¡As0 Æ b¡b Æ 0
Dhlad to (si ¡s0) Æ s eÐnai lÔsh tou omogenoÔc Ax Æ 0.

13. H diaforˆ dÔo lÔsewn
'Estw si mia opoiad pote ˆllh lÔsh, opìte Asi Æ b.
Tìte
A(si ¡s0) Æ Asi ¡As0 Æ b¡b Æ 0
Dhlad to (si ¡s0) Æ s eÐnai lÔsh tou omogenoÔc Ax Æ 0.
'Ara si Æ s0 Ås.

14. H diaforˆ dÔo lÔsewn
'Estw si mia opoiad pote ˆllh lÔsh, opìte Asi Æ b.
Tìte
A(si ¡s0) Æ Asi ¡As0 Æ b¡b Æ 0
Dhlad to (si ¡s0) Æ s eÐnai lÔsh tou omogenoÔc Ax Æ 0.
'Ara si Æ s0 Ås.
Sumpèrasma
To sÔnolo twn lÔsewn tou Ax Æ b isoÔtai me to sÔnolo twn
lÔsewn tou Ax Æ 0 sun mia opoiad pote lÔsh tou Ax Æ b.

15. Ta sÔnola twn lÔsewn Ax Æ 0 and Ax Æ b san uposÔnola
tou Rn
Ax = b
s0 Ax = 0

16. Parˆdeigma
Mh-omogenèc: Ax Æ b
x1 Å2x2 ¡3x3 Å2x4 ¡4x5 Æ 1
2x1 Å4x2 ¡5x3 Å1x4 ¡6x5 Æ 3
5x1 Å10x2 ¡13x3 Å4x4 ¡16x5 Æ 7

17. Parˆdeigma
Mh-omogenèc: Ax Æ b
x1 Å2x2 ¡3x3 Å2x4 ¡4x5 Æ 1
2x1 Å4x2 ¡5x3 Å1x4 ¡6x5 Æ 3
5x1 Å10x2 ¡13x3 Å4x4 ¡16x5 Æ 7
Omogenèc: Ax Æ 0
x1 Å2x2 ¡3x3 Å2x4 ¡4x5 Æ 0
2x1 Å4x2 ¡5x3 Å1x4 ¡6x5 Æ 0
5x1 Å10x2 ¡13x3 Å4x4 ¡16x5 Æ 0

18. Upˆrqei lÔsh?
Epauxhmènoc pÐnakac:
2
4
1 2 ¡3 2 ¡4 1
2 4 ¡5 1 ¡6 3
5 10 ¡13 4 ¡16 7
3
5

19. Upˆrqei lÔsh?
Epauxhmènoc pÐnakac:
2
4
1 2 ¡3 2 ¡4 1
2 4 ¡5 1 ¡6 3
5 10 ¡13 4 ¡16 7
3
5
L2á L2 ¡2L1, L3á L3 ¡5L1:
2
4
1 2 ¡3 2 ¡4 1
0 0 1 ¡3 2 1
0 0 2 ¡6 4 2
3
5

20. Upˆrqei lÔsh?
Epauxhmènoc pÐnakac:
2
4
1 2 ¡3 2 ¡4 1
2 4 ¡5 1 ¡6 3
5 10 ¡13 4 ¡16 7
3
5
L2á L2 ¡2L1, L3á L3 ¡5L1:
2
4
1 2 ¡3 2 ¡4 1
0 0 1 ¡3 2 1
0 0 2 ¡6 4 2
3
5
L3á L3 ¡2L2:
2
4
1 2 ¡3 2 ¡4 1
0 0 1 ¡3 2 1
0 0 0 0 0 0
3
5

21. Upˆrqei lÔsh?
Epauxhmènoc pÐnakac:
2
4
1 2 ¡3 2 ¡4 1
2 4 ¡5 1 ¡6 3
5 10 ¡13 4 ¡16 7
3
5
L2á L2 ¡2L1, L3á L3 ¡5L1:
2
4
1 2 ¡3 2 ¡4 1
0 0 1 ¡3 2 1
0 0 2 ¡6 4 2
3
5
L3á L3 ¡2L2:
2
4
1 2 ¡3 2 ¡4 1
0 0 1 ¡3 2 1
0 0 0 0 0 0
3
5
Upˆrqei lÔsh.

22. Upolìgise mia lÔsh tou mh-omogenoÔc
EleÔjerec metablhtèc: x2,x4,x5.

23. Upolìgise mia lÔsh tou mh-omogenoÔc
EleÔjerec metablhtèc: x2,x4,x5. Tic jètw Ðsec me 0 kai lÔnw:

24. Upolìgise mia lÔsh tou mh-omogenoÔc
EleÔjerec metablhtèc: x2,x4,x5. Tic jètw Ðsec me 0 kai lÔnw:
x1 Æ 4, x3 Æ 1. 'Ara mia lÔsh eÐnai
s0 Æ
2
666664
4
0
1
0
0
3
777775
.

25. Upolìgise ìlec tic lÔseic tou omogenoÔc
2
4
1 2 ¡3 2 ¡4 0
0 0 1 ¡3 2 0
0 0 0 0 0 0
3
5
2
x1
x2
x3
x4
x5
666664
3
777775
Æ
2
¡2x2 Å7x4 ¡2x5
666664
x2
3x4 ¡2x5
x4
x5
3
777775
Æ x2
2
¡2
1
0
0
0
666664
3
777775
Åx4
2
7
0
3
1
0
666664
3
777775
Åx5
2
¡2
0
¡2
0
1
666664
3
777775

26. 'Olec oi lÔseic tou omogenoÔc
8>>>>><
Kˆje grammikìc sunduasmìc twn stoiqeÐwn tou parakˆtw
sunìlou 2
666664
>>>>>:
3
¡2
1
0
0
0
777775
,
2
7
0
3
1
0
666664
3
777775
,
2
666664 ¡2
0
¡2
0
1
9>>>>>=
>>>>>;
3
777775
Span{u,v}
u
v

27. 'Olec oi lÔseic tou mh-omogenoÔc
2
4
0
1
0
0
666664
3
777775
Å
8>>>>><
>>>>>:
2
¡2
1
0
0
0
666664
3
777775
,
2
7
0
3
1
0
666664
3
777775
,
2
3
666664 ¡2
777775
0
¡2
0
1
9>>>>>=
>>>>>;
v
u
s
s + Span{u,v}
0
0

28. Grammik Exˆrthsh
x Æ ®y

29. Grammik Exˆrthsh
x Æ ®y
xk Æ c1x1Åc2x2Å. . .Åcnxn

30. Grammik Exˆrthsh
x Æ ®y
xk Æ c1x1Åc2x2Å. . .Åcnxn
'Ena sÔnolo dianusmˆtwn lègontai grammikˆ
exarthmèna an to kajèna apo autˆ mporeÐ na
grafjeÐ san grammikìc sunduasmìc twn upoloÐpwn.

31. 'Ena sÔnolo dianusmˆtwn x1,x2, . . . ,xk 2 Rn lègontai grammikˆ
exarthmèna ann upˆrqoun arijmoÐ c1,c2, . . . ,ck 2 R ek twn
opoÐwn toulˆqiston ènac den eÐnai mhdèn kai gia touc
opoÐouc isqÔei c1x1Åc2x2 . . . ,ckxk Æ 0.

32. 'Ena sÔnolo dianusmˆtwn x1,x2, . . . ,xk 2 Rn lègontai grammikˆ
exarthmèna ann upˆrqoun arijmoÐ c1,c2, . . . ,ck 2 R ek twn
opoÐwn toulˆqiston ènac den eÐnai mhdèn kai gia touc
opoÐouc isqÔei c1x1Åc2x2 . . . ,ckxk Æ 0.
Gia na elègxoume thn exˆrthsh twn x1,x2, . . . ,xk 2 Rn
Ï SqhmatÐzoume ton pÐnaka A opoÐoc èqei san st lec ta
dianÔsmata autˆ
Ï UpologÐzoume ton mhdenìqwro tou A
An autìc perilambˆnei mìnon to mhdenikì diˆnusma toìte
autˆ eÐnai grammikˆ anexˆrthta.

33. OrismoÐ
Eˆn ènac dianusmatikìc q¸roc V apoteleÐtai apì
ìlouc touc grammikoÔc sunduasmoÔc twn
dianusmˆtwn v1,v2, . . . ,vk tìte lème ìti autˆ
parˆgoun ton V.

34. OrismoÐ
Eˆn ènac dianusmatikìc q¸roc V apoteleÐtai apì
ìlouc touc grammikoÔc sunduasmoÔc twn
dianusmˆtwn v1,v2, . . . ,vk tìte lème ìti autˆ
parˆgoun ton V.
'Ena sÔnolo dianusmˆtwn parˆgei ènan
dianusmatikì q¸ro ann kˆje diˆnusma tou q¸rou
mporeÐ na grafjeÐ san grammikìc sunduasmìc twn
en lìgw dianusmˆtwn.

35. OrismoÐ
'Ena sÔnolo dianusmˆtwn apoteleÐ bˆsh enìc
dianusmatikoÔ q¸rou ann autˆ eÐnai grammikˆ
anexˆrthta kai parˆgoun ton q¸ro.

36. OrismoÐ
'Ena sÔnolo dianusmˆtwn apoteleÐ bˆsh enìc
dianusmatikoÔ q¸rou ann autˆ eÐnai grammikˆ
anexˆrthta kai parˆgoun ton q¸ro.
Diˆstash enìc upoq¸rou eÐnai to pl joc twn
stoiqeÐwn thc bˆshc tou.