Αντίστροφοι Πίνακες Θεωρήματα και Ασκήσεις

1. Exètash Proìdou
Grammik 'Algebra
Antistrofoi PÐnakec
Jewr mata kai Ask seic
Tm ma Hlektrolìgwn Mhqanik¸n kai Mhqanik¸n Upologist¸n
Panepist mio JessalÐac
17 OktwbrÐou 2014

2. Exètash Proìdou
Ginìmeno Pinˆkwn
Kˆje st lh tou ginomènou twn dÔo pinˆkwn A B isoÔtai me to
ginìmeno tou A me thn antÐstoiqh st lh tou B.
A¢
0
... B¾¿1
BB@
...
¢ ¢ ¢ B¾¿n
...
...
1
CCA
Æ
0
BB@ ...
...
A¢B¾¿1
¢ ¢ ¢ A¢B¾¿n
...
...
1
CCA
Kˆje gramm tou ginomènou twn dÔo pinˆkwn A B isoÔtai me to
ginìmeno thc antÐstoiqhc gramm c tou A epÐ ton B.
0
BBB@
¢ ¢ ¢ A°½1
¢ ¢ ¢
...
¢ ¢ ¢ A°½n
¢ ¢ ¢
1
CCCA
¢B Æ
0
BBB@
¢ ¢ ¢ A°½1
¢B ¢ ¢ ¢
...
¢ ¢ ¢ A°½n
¢B ¢ ¢ ¢
1
CCCA

3. Exètash Proìdou
Orismìc antistrìfou
O antÐstrofoc enìc pÐnaka A eÐnai ènac ˆlloc pÐnakac B tètoioc
¸ste
AB Æ BA Æ I
O antÐstrofoc sun jwc sumbolÐzetai me A¡1.

4. Exètash Proìdou
AntÐstrofoc tou antÐstrofou
Je¸rhma
O antÐstrofoc tou antÐstrofou enìc pÐnaka eÐnai o Ðdioc o
pÐnakac. Dhlad ³
A¡1
´¡1
ÆA
.
Apìdeixh.

5. Exètash Proìdou
AntÐstrofoc tou antÐstrofou
Je¸rhma
O antÐstrofoc tou antÐstrofou enìc pÐnaka eÐnai o Ðdioc o
pÐnakac. Dhlad ³
A¡1
´¡1
ÆA
.
Apìdeixh.
AA¡1 ÆA¡1AÆ I.

6. Exètash Proìdou
AntÐstrofoc ginomènou
Je¸rhma
O antÐstrofoc tou ginomènou dÔo pinˆkwn isoÔtai me to ginìmeno,
me antÐstrofh seirˆ, twn antistrìfwn touc.

7. Exètash Proìdou
AntÐstrofoc ginomènou
Je¸rhma
O antÐstrofoc tou ginomènou dÔo pinˆkwn isoÔtai me to ginìmeno,
me antÐstrofh seirˆ, twn antistrìfwn touc. Dhlad
(AB)¡1 Æ B¡1A¡1.
Apìdeixh.

8. Exètash Proìdou
AntÐstrofoc ginomènou
Je¸rhma
O antÐstrofoc tou ginomènou dÔo pinˆkwn isoÔtai me to ginìmeno,
me antÐstrofh seirˆ, twn antistrìfwn touc. Dhlad
(AB)¡1 Æ B¡1A¡1.
Apìdeixh.
³
B¡1A¡1
´
(AB) Æ B¡1
³
A¡1A
´
B Æ B¡1IB Æ B¡1B Æ I.

9. Exètash Proìdou
AntÐstrofoc ginomènou
Je¸rhma
O antÐstrofoc tou ginomènou dÔo pinˆkwn isoÔtai me to ginìmeno,
me antÐstrofh seirˆ, twn antistrìfwn touc. Dhlad
(AB)¡1 Æ B¡1A¡1.
Apìdeixh.
³
B¡1A¡1
´
(AB) Æ B¡1
³
A¡1A
´
B Æ B¡1IB Æ B¡1B Æ I.
(AB)
³
B¡1A¡1
´
ÆA
³
BB¡1
´
A¡1 Æ AIA¡1 ÆAA¡1 Æ I.

10. Exètash Proìdou
Monadikìthta antistrìfou
Je¸rhma
An upˆrqei o antÐstrofoc autìc eÐnai monadikìc.
Apìdeixh.

11. Exètash Proìdou
Monadikìthta antistrìfou
Je¸rhma
An upˆrqei o antÐstrofoc autìc eÐnai monadikìc.
Apìdeixh.
'Estw ìti upˆrqoun dÔo antÐstrofoi tou A o B kai o C. Tìte
B

12. Exètash Proìdou
Monadikìthta antistrìfou
Je¸rhma
An upˆrqei o antÐstrofoc autìc eÐnai monadikìc.
Apìdeixh.
'Estw ìti upˆrqoun dÔo antÐstrofoi tou A o B kai o C. Tìte
B Æ BI

13. Exètash Proìdou
Monadikìthta antistrìfou
Je¸rhma
An upˆrqei o antÐstrofoc autìc eÐnai monadikìc.
Apìdeixh.
'Estw ìti upˆrqoun dÔo antÐstrofoi tou A o B kai o C. Tìte
B Æ BI Æ B(AC)

14. Exètash Proìdou
Monadikìthta antistrìfou
Je¸rhma
An upˆrqei o antÐstrofoc autìc eÐnai monadikìc.
Apìdeixh.
'Estw ìti upˆrqoun dÔo antÐstrofoi tou A o B kai o C. Tìte
B Æ BI Æ B(AC) Æ (BA)C Æ

15. Exètash Proìdou
Monadikìthta antistrìfou
Je¸rhma
An upˆrqei o antÐstrofoc autìc eÐnai monadikìc.
Apìdeixh.
'Estw ìti upˆrqoun dÔo antÐstrofoi tou A o B kai o C. Tìte
B Æ BI Æ B(AC) Æ (BA)C Æ IC Æ C.

16. Exètash Proìdou
AntÐstrofoc kai lÔseic
Je¸rhma
An upˆrqei o antÐstrofoc enìc pÐnaka A tìte
Ï upˆrqei monadik lÔsh tou sust matoc Ax Æ b gia
opoiod pote b

17. Exètash Proìdou
AntÐstrofoc kai lÔseic
Je¸rhma
An upˆrqei o antÐstrofoc enìc pÐnaka A tìte
Ï upˆrqei monadik lÔsh tou sust matoc Ax Æ b gia
opoiod pote b
Ï kai h mình lÔsh tou omogenoÔc sust matoc eÐnai h mhdenik .
Apìdeixh.
Ax Æ b

18. Exètash Proìdou
AntÐstrofoc kai lÔseic
Je¸rhma
An upˆrqei o antÐstrofoc enìc pÐnaka A tìte
Ï upˆrqei monadik lÔsh tou sust matoc Ax Æ b gia
opoiod pote b
Ï kai h mình lÔsh tou omogenoÔc sust matoc eÐnai h mhdenik .
Apìdeixh.
Ax Æ b)A¡1Ax ÆA¡1b

19. Exètash Proìdou
AntÐstrofoc kai lÔseic
Je¸rhma
An upˆrqei o antÐstrofoc enìc pÐnaka A tìte
Ï upˆrqei monadik lÔsh tou sust matoc Ax Æ b gia
opoiod pote b
Ï kai h mình lÔsh tou omogenoÔc sust matoc eÐnai h mhdenik .
Apìdeixh.
Ax Æ b)A¡1Ax ÆA¡1b)x ÆA¡1b.

20. Exètash Proìdou
'Uparxh antistrìfou
Je¸rhma
O antÐstrofoc enìc pÐnaka A upˆrqei ann ìla ta odhgˆ stoiqeÐa
metˆ thn apaloif me od ghsh tou A eÐnai mh mhdenikˆ.
Apìdeixh.
Gia na upˆrqei prèpei na mporoÔme na upologÐsoume ìlec tic
st lec tou.
Prèpei dhlad ta sust mata Avj Æ ej gia j Æ 1,2, . . . ,n na èqoun
ìla lÔsh.

21. Exètash Proìdou
AntÐstrofoc trigwnikoÔ
Je¸rhma
O antÐstrofoc enìc ˆnw(kˆtw) trigwnikoÔ pÐnaka eÐnai
ˆnw(kˆtw) trigwnikìc pÐnakac.
Apìdeixh.
EÔkolh allˆ jèlei ton qrìno thc kai eÐnai baret .

22. Exètash Proìdou
'Askhsh
EA Æ
2
4
3
5
1 0 0
0 1 ¼
0 0 1
2
4
3
5 Æ??
2 2 4
0 1 ¡3
¡2 7 4
A)
2
4
3
5 B)
2 2 4
¡2¼ 1Å7¼ ¡3Å4¼
¡2 7 4
2
4
2 2 4
0 1 ¡3
2¼¡2 2¼Å7 4¼Å4
3
5
G)
2
4
3
5 D)
2 2 4Å2¼
0 1 ¡3ż
¡2 7 4Å7¼
2
4
3
5
2 2 4
0 1 ¡3
¡2 ¼Å7 4¡3¼

23. Exètash Proìdou
'Askhsh
O antÐstrofoc tou pÐnaka
·
1 3
2 4
¸
eÐnai o
·
¡2 3
2
1 ¡1
2
¸
.

24. Exètash Proìdou
'Askhsh
O antÐstrofoc tou pÐnaka
·
1 3
2 4
¸
eÐnai o
·
¡2 3
2
1 ¡1
2
¸
.
Poiˆ eÐnai h lÔsh tou sust matoc
2x1 Å4x2 Æ 2
x1 Å3x2 Æ 1

25. Exètash Proìdou
'Askhsh
O antÐstrofoc tou pÐnaka
·
1 3
2 4
¸
eÐnai o
·
¡2 3
2
1 ¡1
2
¸
.
Poiˆ eÐnai h lÔsh tou sust matoc
2x1 Å4x2 Æ 2
x1 Å3x2 Æ 1
A)
·
1 2
3 1
¸
B)
·
1
0
¸
G)
·
0
3
¸
D)
· 1
2 0
¡0 1
¸

26. Exètash Proìdou
'Askhsh
O antÐstrofoc tou pÐnaka
·
1 3
2 4
¸
eÐnai o
·
¡2 3
2
1 ¡1
2
¸
.
Poiˆ eÐnai h lÔsh tou sust matoc
2x1 Å4x2 Æ 2
x1 Å3x2 Æ 1
A)
·
1 2
3 1
¸
B)
·
1
0
¸
G)
·
0
3
¸
D)
· 1
2 0
¡0 1
¸
Dikaiolog ste thn apˆnths sac

27. Exètash Proìdou
'Askhsh
O antÐstrofoc tou pÐnaka
·
1 3
2 4
¸
eÐnai o
·
¡2 3
2
1 ¡1
2
¸
.
Poiˆ eÐnai h lÔsh tou sust matoc
2x1 Å4x2 Æ 2
x1 Å3x2 Æ 1
A)
·
1 2
3 1
¸
B)
·
1
0
¸
G)
·
0
3
¸
D)
· 1
2 0
¡0 1
¸
Dikaiolog ste thn apˆnths sac
Apˆnthsh: To sÔsthma se morf pinˆkwn
·
1 3
2 4
¸
x Æ
·
1
2
¸
ˆra
lÔsh eÐnai h B):
·
¡2 3
2
1 ¡1
2
¸·
1
2
¸
Æ
·
1
0
¸

28. Exètash Proìdou
'Askhsh
ApodeÐxte ìti gia kˆje antistrèyimo pÐnaka A gia kˆje
pragmatikì arijmì r6Æ 0 isqÔei
(rA)¡1 Æ
1
r
A¡1

29. Exètash Proìdou
'Askhsh
ApodeÐxte ìti gia kˆje antistrèyimo pÐnaka A gia kˆje
pragmatikì arijmì r6Æ 0 isqÔei
(rA)¡1 Æ
1
r
A¡1
(
1
r
A¡1)rA Æ (r(
1
r
A¡1))AÆA¡1AÆ I

30. Exètash Proìdou
'Askhsh
EÐnai o pÐnakac
AÆ
2
4
1 2 3
1 2 4
1 2 5
3
5
Antistrèyimoc?
A Nai.
B 'Oqi.
G 'Iswc.
D Ta èqw qamèna.

31. Exètash Proìdou
'Askhsh
EÐnai o pÐnakac
B Æ
2
4
3
5
1 1 1
2 2 2
3 4 5
antistrèyimoc?
A Nai.
B 'Oqi.
G 'Iswc.

32. Exètash Proìdou
'Askhsh
An gnwrÐzoume ìti to sÔsthma
2
4
1 1 1
2 ¡1 0
3 4 5
3
5x Æ
2
4
3
5
0
0
0
èqei san lÔsh mìnon thn x Æ~0 ti isqÔei gia to sÔsthma
2
4
1 1 1
2 ¡1 0
3 4 5
3
5x Æ
2
4
3
5?
¡1
7
¡3

33. Exètash Proìdou
'Askhsh
An gnwrÐzoume ìti to sÔsthma
2
4
1 1 1
2 ¡1 0
3 4 5
3
5x Æ
2
4
3
5
0
0
0
èqei san lÔsh mìnon thn x Æ~0 ti isqÔei gia to sÔsthma
2
4
1 1 1
2 ¡1 0
3 4 5
3
5x Æ
2
4
3
5?
¡1
7
¡3
A Upˆrqei toulˆqiston mÐa lÔsh x.
B Upˆrqei to polÔ mia lÔsh x.
G Kai ta dÔo apo ta parapˆnw
D TÐpote apo ta parapˆnw.

34. Exètash Proìdou
'Askhsh
H isìthta (AÅB)T ÆAT ÅBT isqÔei
A Gia kˆje zeÔgoc n£n pinˆkwn A kai B.
B Gia kanèna zeÔgoc n£n pinˆkwn A kai B.
G Gia merikˆ mìnon zeÔgh n£n pinˆkwn A kai B en¸ gia ˆlla
den isqÔei

35. Exètash Proìdou
'Askhsh
H isìthta (AÅB)¡1 ÆA¡1 ÅB¡1 isqÔei
A Gia kˆje zeÔgoc n£n antistrèyimwn pinˆkwn A kai B.
B Gia kanèna zeÔgoc n£n antistrèyimwn pinˆkwn A kai B.
G Gia merikˆ mìnon zeÔgh n£n antistrèyimwn pinˆkwn A kai B
en¸ gia ˆlla den isqÔei