ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง จำนวนจริงในรูปกรณฑ์

1. 1
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ปีการศึกษา 2557
บทที่ 1
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจานวนจริงและจานวนจริงในรูปกรณฑ์
1. จานวนชนิดต่างๆ
จำนวนจริง (R )
จำนวนอตรรกยะ (Q )
จำนวนตรรกยะ ( Q )
เศษส่วนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม
จำนวนเต็ม ( I )
จำนวนเต็มลบ จำนวนเต็มศูนย์ จำนวนเต็มบวก
( I
) ( 0
I ) ( I
)
1.1. การเขียนเศษส่วนในรูปทศนิยม
กำรเขียนเศษส่วนในรูปทศนิยม ให้นำตัวเศษตั้งแล้วหำรด้วยตัวส่วน
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนเศษส่วนในแต่ละข้อต่อไปนี้ในรูปของทศนิยม
1) 3
5
 2) 2
9

3) 2
3
4) 11
90

2. 2
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ปีการศึกษา 2557
1.2. การเขียนทศนิยมในรูปของเศษส่วน
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนทศนิยมในแต่ละข้อต่อไปนี้ในรูปของเศษส่วน
1) 0 3.  2) 0 18. 
3) 0 333. ... 4) 0 12.


5) 0 35.
 
 6) 0 123. 
7) 1 47.  8) 2 351. 

3. 3
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ปีการศึกษา 2557
1.3. จานวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะ
จานวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สำมำรถเขียนได้ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์
เช่น
จานวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ
เช่น 1. ทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำ เช่น
2. 
3) จำนวนที่อยู่ในรูป a เมื่อ 0a  ที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ
หมายเหตุ ยูเนียนของจำนวนตรรกยะและจานวนอตรรกยะเรียกว่ำ เซตจานวนจริง
ตัวอย่างที่ 3 จงพิจำรณำว่ำจำนวนต่อไปนี้เป็นจำนวนชนิดใดแล้วเขียนเครื่องหมำย 
ข้อ จำนวน จำนวนนับ จำนวนเต็ม จำนวนเต็มลบ จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ จำนวนจริง
1. 3
2.
2
5
3. 4
4.
3
2

5. 2
6. 0
7. 
8. 3 1416.
9. 5.41222...
10. 3
8
11. 2.13547...
12. 1.999...
13. 19 
14.
7
22
15. 5
16. 4
1

4. 4
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ปีการศึกษา 2557
2. รากที่สอง
รำกที่สองของจำนวนใดๆ คือ จำนวนที่ยกกำลังสองแล้วได้จำนวนนั้น
เช่น รำกที่สองของ 9 คือ 3 และ 3
เพรำะว่ำ 2
3 9 และ  
2
3 9 
เรำจะเขียน 9 แทนรำกที่สองที่เป็นบวกของ 9 และเขียน 9 แทนรำกที่สองที่เป็นลบของ 9
ตัวอย่างที่ 4 จงหำรำกที่สองของจำนวนในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) รำกที่สองของ 16 คือ ………… และ ……………….
2) รำกที่สองของ 0 25. คือ ………… และ ………………
3) รำกที่สองของ 729 คือ ………… และ ………………
4) รำกที่สองของ 0 64
0 81
.
.
คือ ………… และ ………………
5) รำกที่สองของ 576
1024
คือ ………… และ ………………
2.1 การหารากที่สองโดยการแยกตัวประกอบ
ตัวอย่างที่ 5 จงหำรำกที่สองของจำนวนในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 196 2) 225
3) 1296 4) 4624
5) 441
400
6) 900
3969

5. 5
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ปีการศึกษา 2557
2.2 การหารากที่สองโดยใช้ วิธีตั้งหาร
ตัวอย่างที่ 6 จงหำรำกที่สองของจำนวนในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) รำกที่สองของ 2601 2) รำกที่สองของ 1296
3) รำกที่สองของ 265 4) รำกที่สองของ 398
5) จงหำรำกที่สองของ 120 6) จงหำรำกที่สองของ 150.12

6. 6
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ปีการศึกษา 2557
ตัวอย่างที่ 7 จงหำค่ำของจำนวนในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 256  2) 576 
3) 1764 4) 7056 
3. รากที่สาม
ให้ a เป็นจำนวนจริงใดๆ รำกที่สำมของ a คือ จำนวนที่ยกกำลังสำมแล้วเท่ำกับ a
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ 3
a
เช่น รำกที่สำมของ 8 คือ 2 เพรำะว่ำ 3
2 8
รำกที่สำมของ 216 คือ 6 เพรำะว่ำ  
3
6 216  
ตัวอย่างที่ 8 จงหำรำกที่สำมของจำนวนในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 1331 2) -2197

7. 7
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ปีการศึกษา 2557
3) 1728 4) 9261
ตัวอย่างที่ 9 จงหำผลสำเร็จในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 3
64  2) 3
27
3) 3
2744  4) 3
5832 
จานวนจริงในรูปกรณฑ์
1. ถ้ำ 0a และ 0b แล้ว abba 
เช่น 8 2 ...................................... .............................................. 
2. ถ้ำ 0a และ 0b  แล้ว
b
a
b
a

เช่น 48
....................................................................................
3

3. ถ้ำ a และ b มีรำกที่ n แล้ว nnn
abba 
เช่น 3 3
9 3 .................................................................................... 

8. 8
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ปีการศึกษา 2557
4. ถ้ำ a และ b มีรำกที่ n และ 0b แล้ว n
n
n
b
a
b
a

เช่น
4
4
64
....................................................................................
4

5. ถ้ำ Ra ที่ทำให้ Ran
 แล้ว   aa
n
n

เช่น    
2 3
3
5 .................... , 7 ............... 
6. ถ้ำ Ra และ 
 In โดยที่ 2n แล้ว
a เมื่อ n เป็นจำนวนคี่
n n
a =
a เมื่อ n เป็นจำนวนคู่
เช่น 4 3 54
9 ............... , ( 2) ............... , 8 ................... , 32 ...............     
7. ถ้ำ Ra  , Ran
 และ 2m ที่ทำให้ รำกที่ m ของ Ran

แล้ว mnm n
aa 
เช่น 3
3 .................... , 64 ................ .......... 
8. ถ้ำ 
 InRa , และ 1n และ a มีรำกที่ n แล้ว n
1
n
aa 
เช่น
1
5 4
3 ............... , (16) .................. 
9. ให้ InImRa  ,, โดยที่ Innm  ,1),( และ Ran

1
โดยเมื่อ 0m
และ a ไม่เป็นศูนย์แล้ว
 nm
m
nn
m
aaa
11









เช่น  
2
38 ............... ..................... 

9. 9
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ปีการศึกษา 2557
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนจำนวนในแต่ละข้อต่อไปนี้ในรูปอย่ำงง่ำย
1) 2
8 ............. 2) 2
( 8) ............. 
3) 2
11 .............  4) 2
( 11) .............  
5) 2
(1.2) ............. 6) 2
( 1.2) ............. 
7) 2
16 .............  8) 2
( 16) .............  
9)
2
3
.............
2
 
 
 
10)
2
4
.............
9
 
  
 
11) 2 49
.............
16
x y  12)
2
25
.............
4
a
 
   
 
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปผลสำเร็จ
1) 8  2) 12 
3) 18  4) 32 
5) 48  6) 50 
7) 75  8) 72 
9) 98  10) 125 
11) 162  12) 432 
13) 2000  14) 9800 
15) 4.32  16) 5.12 

10. 10
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ปีการศึกษา 2557
การดาเนินการของจานวนจริงในรูปกรณฑ์
1. การบวกและการลบ
ตัวอย่างที่ 3 จงหำผลลัพธ์ของจำนวนในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 8 18 
2) 75 147 
3) 5 2 6 3 5 6   
4) 3 5 20 80  
5) 8 72 2 20 3 5  
6) 2 27 4 48 5 7  
2. การคูณและการหาร
ตัวอย่างที่ 4 จงหำผลสำเร็จในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 20 5  2) 128 2 2 
3) 2 3 27  4) 5 2 50 
5) 5 30 6   6) 7 11 77  
7)  10 2 10 3  8)  5 3 5 2 45  
9)  2 3 3 12 8 24 
10)  3 2 4 2 48 
11) 15 3
5 3
 12) 2 24
2



11. 11
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ปีการศึกษา 2557
13) 5 72
3

 14) 9 3
18

15) 6 2
27
 16) 2 17
10 34

17) 5 6 3 21
3


18) 2 14 5 35
5


19) 3 2
3 2



20) 3 5 2
5 2 2



ตัวอย่างที่ 5 จงหำผลสำเร็จของจำนวนในแต่ละข้อต่อไปนี้
1) 2 2 5 2 8 .........................................   2) 7 3 3 3 27 .........................................  
3) 125 3 5 20 .....................................   4)  12 3 3 27 ......................................... 
5) 6 18 8
.........................................
2 2

 6)  3 2 5 2 8 ................................... 
7)  
2
3 2 8 32 .................................   8) 3 4
8 16 16 .........................................  
9)   2 3 2 3 3 2 ................................  

12. 12
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ปีการศึกษา 2557
10) 2 5 2
.........................................
5 2



11)
3
4
81 64
.........................................
625
 
 12)
 
 
2
3
1 44
3
2 81
.........................................
( 2)27
 

ข้อสอบ O – NET จานวนจริงในรูปกรณฑ์
1)  2
321882  มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก. 60
ข. 260
ค. 2100
ง. 200
2)
 2
3
6
3
5
64
2
27
32


มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก.
24
13

ข.
6
5

ค.
3
2
ง.
24
19
3) ค่ำของ  
2 1
3 2
4
188
144 6
 มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก.
3
2
ข.
2
3
ค. 2
ง. 3

13. 13
ครูเสวตรโรงเรียนอุทกวิทยาคม กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ปีการศึกษา 2557
4)        
2 2 3 3
1 2 2 8 1 2 2 8    มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก. 32 ข. 24
ค. 21632  ง. 21624 
5)
2
15
2
6
5








 มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก.
10
3
ข.
10
7
ค. 25  ง. 26 
6)  3
43
43125218  มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก. 1000 ข. 1000
ค. 2552  ง. 5225 
7) ค่ำของ
1
2
2 8 2 2
( 2)
32
 
  
 
 
 
เท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก. -1 ข. 1
ค. 3 ง. 5
8) ค่ำของ  
2
3 1

 เป็นจริงตำมข้อใดต่อไปนี้
ก. เป็นจำนวนอตรรกยะที่น้อยกว่ำ 1.8
ข. เป็นจำนวนอตรรกยะที่มำกกว่ำ 1.8
ค. เป็นจำนวนตรรกยะที่น้อยกว่ำ 1.8
ง. เป็นจำนวนตรรกยะที่มำกกว่ำ 1.8