Dynamic Time Warping を用いた高頻度取引データのLead-Lag 効果の推定

Dynamic Time Warping を用いた高頻度取引データの
Lead-Lag 効果の推定
伊藤克哉1 酒本隆太2
1 東京大学経済学研究科
2 ワイジェイ FX 株式会社 *
第 50 回ジャフィー大会 2019 年 2 月 23 日
*
Disclaimer : The views expressed in these slides are those of our own and do not
necessarily represent those of YJFX, Inc.
K.Ito R.Sakemoto (UTokyo YJFX) Lead-Lag Estimation Using DTW JAFEE 2019/2/23 1 / 26

URL
http://bit.ly/jafeeito

目次
1 導入
高頻度取引の説明・ Lead-Lag 効果の説明
Lead-Lag 効果推定における課題の説明
2 関連研究
Hoffman-Rosenbaum-Yoshida
Dobrev-Schaumburg
Dynamic Time Warping
3 手法
提案手法 Multinomial DTW による Lead-Lag 効果推定
4 実験
非同期観測人工データにおける Lead-Lag 推定
ラグが時間変化する人工データにおける Lead-Lag 推定
外国為替実データにおける Lead-Lag 推定
計算時間の実験
5 考察と結論
6 付録

導入高頻度取引の説明・ Lead-Lag 効果の説明
研究対象
高頻度取引
金融資産をアルゴリズムがミリ秒単位またはそれ以下で取引。
Lead-Lag 効果
2 つの資産価格を考えたときに、
一方の値動きが他方の値動きに先行または遅行すること。
Lead-Lag 効果の推定
Xt,Yt という時系列を観測したときに、
ラグ ˆθ = argmaxθCorr(Xt, Yt+θ) を計算すること。
例：
先物と現物の Lead-Lag 効果
同業種内の株価の Lead-Lag 効果
異なる取引所間の Lead-Lag 効果
外国為替における異なる通貨ペア間の Lead-Lag 効果

導入 Lead-Lag 効果推定における課題の説明
研究課題
Lead-Lag 効果の推定における課題
1 タイムスタンプの非同期性
Tick データでは注文があるごとに記録される。
→ タイムスタンプが揃わず、相関係数等の計算が困難。
2 データの膨大性
計算機・通信の高速化により蓄積するデータ量は膨大に。
→ 計算量が少ない Lead-Lag 推定アルゴリズムが必要。
3 ラグの時間変化
ラグは時間変化している [4]。
→ ラグの時間変化にも対応する Lead-Lag 推定アルゴリズムが必要。

関連研究 Dynamic Time Warping
関連研究 (Lead-Lag 効果の推定)
Lead-Lag 効果の推定における関連研究
資産 A, B の価格 Xt, Yt を時刻 {si}N
i=1, {tj}M
j=1 ⊂ [0, T] において観測。
1 Hoffman-Rosenbaum-Yoshida(2013)
非同期観測の時系列に対して共分散推定量を考案。それを最大化。
計算量のオーダーは O(|Θ|NM)†
argmaxθ∈Θ
N−1∑
i=1
M−1∑
j=i
(
Xsi+1 − Xsi
) (
Ytj+1 − Ytj
)
1{]tj−1+θ,tj+θ]∩]si−1,si]̸=∅}
2 Dobrev-Schaumburg(2017)
取引がある・ないの {0, 1} の時系列に対して内積を最大化。
計算量のオーダーは O(|Θ|T)
argmaxθ∈Θ
∑T−|θ|
i=|θ| 1{A active at i + θ} · 1{B active at i}
∑T−|θ|
i=|θ| 1{A active at i + θ} ∧
∑T−|θ|
i=|θ| 1{B active at i}
.
†
タイムスタンプがソートされているときは O(|Θ| max{N, M}) にもできる

関連研究 Dynamic Time Warping
関連研究 (Dynamic Time Warping)
時系列の相似性の尺度
信号処理などで用いられる
計算量は O(NM)
動的計画法を用いるため
FastDTW[8] では O(max{N, M})
Figure: DTW のイメージ
Definition
DTW
(
{Xsi }N
i=1 ,
{
Ytj
}M
j=1
)
:= min
nl,ml
L∑
l=1
d (Xnl
, Yml
)
s.t. {nl}L
l=1 ⊂ {si}N
i=1, {ml}L
l=1 ⊂ {ti}M
j=1,
n1 < · · · < nL, m1 < · · · < mL, |ni+1 − ni| + |mi+1 − mi| ≤ 1

手法提案手法 Multinomial DTW による Lead-Lag 効果推定
提案手法 (Multinomial DTW)
DTW の ni, mi の変化は最大で 1 ⇒ Lead-Lag 効果の推定は不可能
点と点の距離ではなく、線と線の距離を最小化する DTW を提案
Definition
MDTW
(
{Xi}N
i=1 , {Yj}M
j=1
)
:= min
nl,ml
L∑
l=1
d










Xnl
Xnl+1
...
Xnl+w





,





Yml
Yml+1
...
Yml+w










s.t. n1 < · · · < nL, m1 < · · · < mL, |ni+1 − ni| + |mi+1 − mi| ≤ 1
ni と mi は対応している時刻とみなせるので mi − ni を計算することに
よって、ラグの候補 Θ を用いずに Lead-Lag 効果が直接推定が可能。

手法提案手法 Multinomial DTW による Lead-Lag 効果推定
Appendix:MDTW を用いた Lead-Lag 推定アルゴリズム
1 MDTW のハイパーパラメータ w > 0 を設定する。
2 価格 Xt, Yt を時刻 {si}N
i=1, {tj}M
j=1 において観測。
3 {ui}L
i=1 := {si}N
i=1 ∪ {tj}M
j=1 　としてタイムスタンプを 1 つにする。
4 Xui , Yui が観測されていないときは、直前の値とする。
5 MDTW({Xui }L
i=1, {Yui }L
i=1) を最小化する {(ni, mi)} を計算する。
6 ni − mi が時点 ui での Lead-Lag となる。

実験
実験設定
相関 ρ ・ラグ θ のある幾何ブラウン運動対 (Xt, Yt) を生成し、時刻
si, tj でサンプリングする。
Xt = x0 exp
(
σ1B
(1)
t
)
, x0 = 100
Yt = y0 exp
(
ρσ2B
(1)
t−ϑ + σ2
(
1 − ρ2
)1/2
Wt−ϑ
)
, y0 = 100
σ1 = σ2 = {0.01, 0.02, · · · , 0.10}, 0 ≤ t ≤ 1000
ti+1 − ti, si+1 − si ∼ N(10, 1) i.i.d でサンプリング
Hoffman-Rosenbaum-Yoshida(HRY),Dobrev-Schaumburg(DS),DTW
と提案手法 Multinomial DTW(MDTW) を比較する

実験非同期観測人工データにおける Lead-Lag 推定
実験 1(人工データ非同期観測の推定誤差比較)
ρ ∈ {0.5, 0.6, · · · , 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999},θ ∈ {0, ±1, · · · , ±50} に対し,
推定ラグ ˆθ とラグの真値 θ の平均絶対誤差 E[∥θ − ˆθ∥] を比較する。
MDTW の平均絶対誤差を 1 としたときの、DTW,HRY,DB を示す。
相関係数(ρ)
平均誤差（提案手法を1としたときの)
0
1
2
3
4
5
6
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.99 0.999 0.9999
DTW HY DB MDTW

実験非同期観測人工データにおける Lead-Lag 推定
実験 1(人工データ非同期観測の推定誤差比較)
前スライドのグラフは相対的な MDTW の優位性を示した。
当スライドでは絶対誤差の数値そのものを示す。
相関係数(ρ)
平均誤差(秒)
0
5
10
15
20
25
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.99 0.999 0.9999
DTW HY DB MDTW

実験ラグが時間変化する人工データにおける Lead-Lag 推定
実験 2(人工データ時間変化するラグの推定誤差比較)
250 秒ごとにラグが 10 秒増加する幾何ブラウン運動。
MDTW によってラグを推定する。
図は 100 回ランダムに生成した各パスの推定結果を示している。
時刻
推定されたラグ
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 250 500 750 1000

実験外国為替実データにおける Lead-Lag 推定
実験 3(為替データのラグの推定)
為替の高頻度データに対して MDTW を適応し Lead-Lag 効果を推定
NZD(ニュージーランドドル) ・ AUD（オーストラリアドル) 対
USD(米ドル) 為替レートを見る。
期間：2018 年 2 月 1 日から 2018 年 6 月 30 日まで。
Tick データ (最も活発な GMT 15 時で平均 0.3 秒間隔) を用いる。
Lead-Lag を推定する時間
1 オーストラリアの重要発表時 (30 分前から 10 分後まで)
(例) 中央銀行の金利決定・ GDP の発表・ CPI の発表
2 ニュージーランドの重要発表時 (30 分前から 10 分後まで)
(例) 中央銀行の金利決定・ GDP の発表・ CPI の発表
3 平常時 (40 分間)
平日・両取引所が開場している・重要発表がないとき

重要発表からの相対時間でグルーピングし Lead-Lag の平均を計算
重要発表がある　 ⇒ 　 Lead-Lag 効果が観測される
重要発表がない　 ⇒ 　 Lead-Lag 効果が観測されない
という 2 つの方針で提案手法の有効性を示した。
平常時はAUDが先行する
指
標
発
NZD
指標発表前
NZD先行
AUD
指標発表前
AUD先行

EUR(ユーロ) と GBP(ポンド) に関しても同様の関係が見られた。
平常時はEURが先行する
指
標
発
表
GBP
指標発表前
GBP先行
EUR
指標発表前
EUR先行

実験 3 のファイナンス理論的考察
指標発表前に指標発表通貨が先行する理由として以下の可能性が考え
られる
指標発表前にはトレーダーは在庫調整を行い、指標発表通貨ポジ
ションのリスクを減らす。(Brock and Kleidon, 1992)
指標発表前にポジションを構築するのはリスクがある。したがっ
てそのリスクについてのプレミアムが存在し、プレミアムを取り
にいくトレーダーがいる。(Lucca and Moench, 2015)
指標発表通貨に対して private information を持つトレーダーが先
行して売買を行っている。(Peiers, 1997) (Ito et al, 1998)

実験計算時間の実験
実験 4(計算時間の実験的比較)
Python により HRY と MDTW を実装した。計算時間は Tick 数に比例
Tick数
計算時間(秒)
0
2
4
6
8
10
10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000
MDTW HRY

考察と結論
考察と結論
本研究の貢献
DTW を改良して、タイムスタンプの非同期性・データの膨大性・
ラグの時間変化に対応するアルゴリズムを提案した。
DTW はラグの候補を用いない直接推定が可能なので、ラグの候補
数 |Θ| に依存しない計算量 O(T) での推定が可能となった。
人工データを用いた実験によって既存手法よりも正確に推定でき、
時間変化にも対応できることを示した。
為替の高頻度データを用いて指標発表時に Lead-Lag 効果が見られ
ることを示した。

付録
参考文献 I
[1] W. A. Brock and A. W. Kleidon. “Periodic market closure and trading
volume”. In: Journal of Economic Dynamics and Control 16.3-4
(July 1992), pp. 451–489. doi: 10.1016/0165-1889(92)90045-g.
[2] D. Dobreva and E. Schaumburgb. High-Frequency Cross-Market
Trading: Model Free Measurement and Applications. Working paper.
2017.
[3] M. Hoffmann, M. Rosenbaum, and N. Yoshida. “Estimation of the
lead-lag parameter from non-synchronous data”. In: Bernoulli 19.2
(May 2013), pp. 426–461. doi: 10.3150/11-bej407.
[4] N. Huth and F. Abergel. “High frequency lead/lag relationships —
Empirical facts”. In: Journal of Empirical Finance 26 (Mar. 2014),
pp. 41–58. doi: 10.1016/j.jempfin.2014.01.003.

付録
参考文献 II
[5] T. Ito, R. K. Lyons, and M. T. Melvin. “Is There Private Information
in the FX Market? The Tokyo Experiment”. In: The Journal of
Finance 53.3 (June 1998), pp. 1111–1130. doi:
10.1111/0022-1082.00045.
[6] D. O. Lucca and E. Moench. “The Pre-FOMC Announcement Drift”.
In: The Journal of Finance 70.1 (Jan. 2015), pp. 329–371. doi:
10.1111/jofi.12196.
[7] B. Peiers. “Informed Traders, Intervention, and Price Leadership: A
Deeper View of the Microstructure of the Foreign Exchange Market”.
In: The Journal of Finance 52.4 (Sept. 1997), pp. 1589–1614. doi:
10.1111/j.1540-6261.1997.tb01122.x.
[8] S. Salvador and P. Chan. “Toward accurate dynamic time warping in
linear time and space”. In: Intelligent Data Analysis 11.5 (Oct.
2007), pp. 561–580. doi: 10.3233/IDA-2007-11508.

付録
実験 1 の追加 (実験 1 に関して Window 幅を変化)
MDTW のウィンドウ幅 w を増加させると精度が上昇する。

付録
実験 1 の追加 (人工データ同期観測の推定誤差比較)
実験 1 では非同期観測としたが、特に同期観測のとき。
相関係数(ρ)
平均誤差（提案手法を1としたときの)
0
5
10
15
20
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.99 0.999 0.9999
DS HY DTW MDTW(Ours)=1

付録
実験 3 の追加 (通貨を AUD と NZD にした理由)
対 USD 為替の 1 分間リターンの相関係数の絶対値の比較

付録
実験 3 の追加 (HRY による為替データのラグの推定)
AUD/USD と NZD/USD の高頻度 Tick データにおいて HRY を適応。
指標発表後に MDTW と同様の Lead-Lag 効果が見られる
指標発表からの相対時間
(←NZDが速い)　Lag(ms)(AUDが速い→)
-20
0
20
40
-30 -20 -10 0 10
NZDに関する指標発表 AUDに関する指標発表指標発表なし

付録
使用した指標一覧
2018 年 2 月から 2018 年 6 月までの AUD と NZD の重要な指標発表
AUD 関連の指標発表
02-06 03:30 RBA Interest Rate Decision 02-06 03:30 RBA Rate Statement 02-08 09:00 RBA’s Lowe speech
02-09 00:30 RBA Monetary Policy Statement 02-15 00:30 Unemployment Rate s.a. 02-15 00:30 Employment Change s.a.
02-15 22:30 RBA’s Lowe speech 02-20 00:30 RBA Meeting’s Minutes 03-06 03:30 RBA Rate Statement
03-06 03:30 RBA Interest Rate Decision 03-06 21:35 RBA’s Lowe speech 03-07 00:30 Gross Domestic Product (QoQ)
03-20 00:30 RBA Meeting’s Minutes 03-22 00:30 Unemployment Rate s.a. 03-22 00:30 Employment Change s.a.
04-03 04:30 RBA Rate Statement 04-03 04:30 RBA Interest Rate Decision 04-11 05:00 RBA’s Lowe speech
04-17 01:30 RBA Meeting’s Minutes 04-19 01:30 Employment Change s.a. 04-19 01:30 Unemployment Rate s.a.
04-24 01:30 RBA trimmed mean CPI (QoQ) 04-24 01:30 Consumer Price Index (QoQ) 04-30 02:00 RBA’s Lowe speech
05-01 04:30 RBA Interest Rate Decision 05-01 04:30 RBA Rate Statement 05-01 10:20 RBA’s Lowe speech
05-04 01:30 RBA Monetary Policy Statement 05-08 09:30 Budget Release 05-15 01:30 RBA Meeting’s Minutes
05-17 01:30 Unemployment Rate s.a. 05-17 01:30 Employment Change s.a. 05-23 08:00 RBA’s Lowe speech
NZD 関連の指標発表
02-06 21:45 Employment Change 02-06 21:45 Unemployment Rate 02-07 20:00 RBNZ Interest Rate Decision
02-07 20:00 RBNZ Rate Statement 02-07 20:00 Monetary Policy Statement 02-07 21:00 RBNZ Press Conference
02-08 00:00 RBNZ’s Governor speech 02-12 20:00 RBNZ Interest Rate Decision 02-20 23:00 RBNZ’s Governor speech
03-12 23:45 RBNZ’s Governor Spencer speech 03-14 21:45 Gross Domestic Product (QoQ) 03-21 20:00 RBNZ Rate Statement
03-21 20:00 RBNZ Interest Rate Decision 04-18 22:45 Consumer Price Index (QoQ) 05-01 22:45 Unemployment Rate
05-01 22:45 Employment Change 05-09 21:00 RBNZ Rate Statement 05-09 21:00 RBNZ Interest Rate Decision
05-09 21:00 Monetary Policy Statement 05-09 22:00 RBNZ Press Conference 05-10 01:10 RBNZ’s Governor Orr speech
05-17 02:00 Budget Release 05-30 01:10 RBNZ’s Governor Orr speech 06-20 22:45 Gross Domestic Product (QoQ)
06-27 21:00 RBNZ Rate Statement 06-27 21:00 RBNZ Interest Rate Decision

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