相関のある多変量データで距離を測る場合、我々が通常「距離」と呼ぶユークリッド距離よりも、マハラノビス距離の方が都合がよい。多変量データを変数ごとに標準化してユークリッド距離をとる場合は標準化により変数間の関係性が変わる上に相関関係は考慮されないが、マハラノビス距離を使えば変数間の相関関係も考慮した多変量標準化尺度として使用できる。Rでのデモつき。 このメモでは、説明のために、比較的きれいなデータを用いて、距離の大きさで便宜上外れ値を判定してはいるが、ロバスト性のない平均値ベクトルや共分散行列から計算されるマハラノビス距離はやはり全くロバスト性をもたないため、外れ値検出の目的で使用してはいけない。逆に言えば、マハラノビス距離を用いて外れ値検出を行うためには、平均値ベクトルと共分散行列の代わりに、ロバスト推計した位置と尺度指標を用いれば良い。

1. 2011.02 作成
マハラノビス距離とユークリッド距離の違い
車のスピードと停車するまでに必要な距
離を測定した２変数の cars データセットを
100 120
用いて、データ中心からの各データポイント 図1
の距離を測定する。
我々が通常距離と呼んでいるものはユーク
80
リッド距離だが、相関のある多変量データを
dist
60
取り扱う際にはマハラノビス距離の方が便利。
40
方法 1 標準化してユークリッド距離を測定
20
変数 dist と speed はそれぞれ尺度が違う
0
のでそのままで距離計算をすると第 1 変数 5 10 15 20 25
の影響が第 2 変数よりも大きくなる。 speed
これを避けるために、 まず２変数をそれぞ
れ標準化し(図 2)、それから二乗和の平方根
をとって距離を計算する。
3
Histogram of d1
図2
2
図3
1
15
dist
Frequency
10
0
-1
5
0
-2 -1 0 1
speed 0 40 80 120
3
d1
図4
2
距離 d1 が 120 を越える外れ値は 49 番のデ
1
dist
ータポイント。次に他のデータから外れ気
0
味なのは緑で示すデータポイントで、距離
が遠い順に 48, 47, 509, 35, 23 番が分布の
-1
外側にあるということになる。
-2 -1 0 1
speed

2. 方法 2 マハラノビス距離による測定
方法 1 のユークリッド距離のかわりに、平均値ベクトルと共分散行列から算出するマハ
ラノビス距離を使用してみる。
方法 1 と同様、ヒストグラム（図 5）を作成し、で大きな距離とる柱二つ分の色を変えて
データポイントを表示したのが図 6。緑表示されているのは、データ番号 23 番のみ。
Histogram of d2
120
図5
30
80
Frequency
dist
20
40
10
0
0
0 2 4 6 8 10 5 10 15 20 25
d2 speed
「標準化＋ユークリッド距離」と「マハラノビス距離」の違いは、マ
ハラノビス距離がデータ分散だけでなく相関も考慮しているというこ
と。つまり、データを多変量標準化して距離尺度を作成していること
になる。
○ マハラノビス距離
平均値ベクトルが 、共分散行列がΣである多変量デー
タ は、以下により算出される。

3. おまけ：マハラノビス距離とユークリッド距離の違い
データ NmA は、独立なデータ数 1000 の正規乱数を二つ組み合わせたもので、NmB もデ
ータ数 1000 の正規乱数だが変数間に 0.8 の相関がある。
この二種類のデータについて、それぞれユークリッド距離とマハラノビス距離を計算し、
データ中心から距離 2 以内の部分を緑、さらに距離 1 以内の部分を赤に塗ってみた。
無相関ユーク ッ
リド 無相関マ ノ ス
ハラ ビ
3
3
2
2
1
1
NmA[,2]
NmA[,2]
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3
NmA[,1] NmA[,1]
相関0.8ユーク ッ
リド 相関0.8マ ノ ス
ハラ ビ
3
3
2
2
NmB[,2]
NmB[,2]
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3
NmB[,1] NmB[,1]
データが正規分布に従う場合、各データポイントのデータ中心（平均値ベクトル）から
のマハラノビス距離は F 分布に従う。

4. Ｒコード
data(cars) # cars データ呼び出し
dat<- as.matrix(cars) # リスト属性の cars データを行列属性に変換して
dat に格納
d <- ncol(dat) # d: 変数の数
n <- nrow(dat) # n: データ数
plot(dat) # 図 1 が表示される
##### ユークリッド距離による試算
dat.s<- scale(dat) # 標準化
plot(dat.s) # 図 2 が表示される
d1 <- sqrt(dat[,1]^2 + dat[,2]^2) # 第一変数と第二変数の二乗和の平方根で距
離計算
hist(d1) # 計算された距離をヒストグラムに。図 3。
flg<- rep(1, n) # 色表示用のデータフラグ作成。初期値は 1（黒）
flg[which(d1>80)] <- 3 # 距離 d1 が 80 を越えるデータを 3（緑）に
flg[which(d1>120)] <- 2 # 距離 d1 が 120 を越えるデータを 2（赤）に
plot(dat.s, pch=20, col=flg) # 図 4 表示
which(flg==2) # 赤表示されるデータの番号がわかる。No.49
which(flg==3) # 緑表示されるデータの番号がわかる。No. 23, 35, 47, 48,
509
##### マハラノビス距離による試算
cv <- cov(dat) # 共分散行列計算
mn<- colMeans(dat) # 平均値ベクトル算出
d2 <- mahalanobis(dat, mn, cv) # マハラノビス距離算出
hist(d2) # 図 5 の表示
flg2 <- rep(1, n) # 色表示用のデータフラグ作成。初期値は 1（黒）
flg2[which(d2>6)] <- 3 # 距離 d1 が 6 を越えるデータだけ 3（緑）に
flg2[which(d2>8)] <- 2 # 距離 d1 が 8 を越えるデータだけ 2（赤）に
plot(dat, pch=20, col=flg2) # 図 4 表示
which(flg2==2) # 赤表示されるデータの番号がわかる。No.49

5. #################### おまけ ####################
rm(list=ls(all=TRUE)) # 作業領域のクリア
library(mvtnorm) # rmvnorm(多変量正規乱数)関数用
set.seed(25) # 乱数の再現性確保のため
# 共分散行列作成
c08 <- matrix(0.8, ncol=2, nrow=2)
# # 対角成分を 1 に
(diag(c08) <- 1) # 算式を括弧で囲むと内容表示
n1 <- 1000 # 作成するデータ数
# 正規分布データ
NmA<- cbind(rnorm(n1), rnorm(n1))
# 単変量の独立な正規分布データを組み合わせただけ
NmB<- rmvnorm(n=n1, mean=c(0, 0), sigma=c08)
# 相関 0.8 の多変量正規分布データ
cor(NmA); cor(NmB) # 実相関
# ユークリッド距離の計算
#eucA<- sqrt(diag(scale(NmA) %*% t(scale(NmA))))
#eucB<- sqrt(diag(scale(NmB) %*% t(scale(NmB))))
eucA<- sqrt(diag(NmA %*% t(NmA)))
eucB<- sqrt(diag(NmB %*% t(NmB)))
#マハラノビス距離の計算
mahA<- mahalanobis(NmA, apply(NmA, 2, mean), cov(NmA))
mahB<- mahalanobis(NmB, apply(NmB, 2, mean), cov(NmB))
# パラメータはデータ・平均値ベクトル・共分散行列
# ユークリッド距離と比較可能にする
# F 検定統計量の計算
eucA.s <- eucA * (n1 - 2)* n1 /((n1^2 - 1)* 2)
eucB.s<- eucB * (n1 - 2)* n1 /((n1^2 - 1)* 2)
mahA.s <- mahA * (n1 - 2)* n1 /((n1^2 - 1)* 2)
mahB.s<- mahB * (n1 - 2)* n1 /((n1^2 - 1)* 2)
# 正規分布の 1σ（約 68.27%） 、２σ（約 95.45%）にあたるＦ分布の%値を算出
cf1<- qf(0.6827,2, n1 - 2)
cf2<- qf(0.9545, 2, n1 - 2)
# 色設定 距離 1 より内側を赤に
eucA.cl <- rep(1, 1000);
eucA.cl[which(eucA< 2)] <- 3
eucA.cl[which(eucA< 1)] <- 2
eucB.cl <- rep(1, 1000);
eucB.cl[which(eucB< 2)] <- 3

6. eucB.cl[which(eucB< 1)] <- 2
mahA.cl <- rep(1, 1000);
mahA.cl[which(mahA.s<cf2)] <- 3
mahA.cl[which(mahA.s<cf1)] <- 2
mahB.cl <- rep(1, 1000);
mahB.cl[which(mahB.s<cf2)] <- 3
mahB.cl[which(mahB.s<cf1)] <- 2
par(mfrow=c(2,2)) # 2 行 2 列にグラフィック画面分割
plot(NmA, pch=20, col=eucA.cl, main="無相関ユークリッド")
plot(NmA, pch=20, col=mahA.cl, main="無相関マハラノビス")
plot(NmB, pch=20, col=eucB.cl, main="相関 0.8 ユークリッド")
plot(NmB, pch=20, col=mahB.cl, main="相関 0.8 マハラノビス")