1. 等分多項式 楕円曲線における座標環と有理関数体
実験数学 3
(大阪大学理学部数学科 3 年・4 年)
第 8 回: 有限体上の楕円曲線の位数計算
鈴木 譲
大阪大学
2013 年 6 月 27 日
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実験数学 3, (大阪大学理学部数学科 3 年・4 年), 第 8 回: 有限体上の楕円曲線の位数計算

2. 等分多項式 楕円曲線における座標環と有理関数体
n 等分点
E[n] := {P ∈ E|[n]P = O} (E の部分群)
[n] : E → E, P → [n]P
P ̸∈ E[n] のとき、(gn(P), hn(P)) := (x([n]P), y([n]P))
P ∈ E[n] のとき、(gn(P), hn(P)) := (∞, ∞)
< E[n] >:=
∑
P∈E[n] < P >
E[n] は、n2 個の要素をもち、div(ψn) =< E[n] > −n2 < O > で、
最高次の係数が n のものを ψn とおくと、
gn(P) = x(P) −
ψn+1(P)ψn−1(P)
ψn(P)2
hn(P) =
ψn+2(P)ψn−1(P)2 − ψn−2(P)ψn+1(P)2
4yψn(P)3
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3. 等分多項式 楕円曲線における座標環と有理関数体
等分多項式
P ∈ E[n] ⇐⇒ ψn(P) = 0
ψ0 = 0
ψ1 = 1
ψ2(P) = 2y
ψ3(P) = 3x4
+ 6ax2
+ 12bx − a2
ψ4(P) = 4y(x6
+ 5ax4
+ 20bx3
− 5a2
x2
− 8b2
− a3
)
m > n > 0 のとき
ψ2
nψm+1ψm−1 − ψ2
mψn+1ψn−1 = ψm+nψm−n
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4. 等分多項式 楕円曲線における座標環と有理関数体
Frobenius 写像
a, b ∈ Fp =⇒ ap = a, bp = b
(yp
)2
= (x3
+ ax + b)p
= (xp
)3
+ ap
xp
+ bp
= (xp
)3
+ a(xp
) + b
(x, y) ∈ E =⇒ (xp
, yp
) ∈ E
φ : E → E, P(x, y) → (xp, yp) (P ̸= O), O → O
(x, y) ∈ E[m] ⇐⇒ ψm(x, y) = 0 ⇐⇒ {ψm(x, y)}p
= 0
⇐⇒ ψm(xp
, yp
) = 0 ⇐⇒ (xp
, yp
) ∈ E[m]
φm : E[m] → E[m], P(x, y) → (xp, yp) (P ̸= O), O → O
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5. 等分多項式 楕円曲線における座標環と有理関数体
Hasse 1931
t := p + 1 − |E(Fp)| として、
.
1 φ ◦ φ(P) − [t] ◦ φ(P) + [p]P = O, P ∈ E
(x, y) ∈ E{O} =⇒ (xp2
, yp2
) − [t](xp
, yp
) + [p](x, y) = O
.
2 |t| ≤ 2
√
p
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6. 等分多項式 楕円曲線における座標環と有理関数体
Schoof の方法
(xp2
, yp2
) + [p](x, y) と (xp, yp) を計算して、(x, y) ∈ E{O} で
(xp2
, yp2
) + [p](x, y) = [t](xp
, yp
) (1)
なる −2
√
p ≤ t ≤ 2
√
p を見出すのではなく、
∏
m:prime,2≤m≤M
m > 4
√
p
なる M 以下の各素数 m について、(x, y) ∈ E[m]{O} で
(xp2
, yp2
)m + [pm](x, y) = [tm](xp
, yp
)m (2)
(u, v)m = (u mod ψm, v mod ψm), pm := p mod m, tm := t mod
m なる 0 ≤ tm ≤ m − 1 を求める。
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7. 等分多項式 楕円曲線における座標環と有理関数体
イデアルと剰余環
I が可換環 R のイデアル
.
.
.
I が R の (+ に関する) 部分群で、a ∈ I, r ∈ R =⇒ ar ∈ I,
例: I = {(x2 + x + 1)f |f ∈ K[x]} は、K[x] のイデアルをなす。
I が R の単項イデアル
.
.
I = aR なる a ∈ R が存在
Z, K[x] のイデアルは、単項イデアルである (単項イデアル整域)。
M = R/I が可換環 R のイデアル I による剰余環
a, b ∈ R で a − b ∈ I のとき、M の元として a = b
I = a1R + a2R + · · · を、I = (a1, a2, · · · ) と書くと、
剰余環 K[E] := K[x, y]/I で、
(1) は、I = (y2
− x3
− ax − b)
(2) は、I = (y2
− x3
− ax − b, ψm(x, y))
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