Τα θέματα των ενδοσχολικών εξετάσεων του Γε.Λ Εξαπλατάνου "Μενέλαος Λουντέμης" απ το 2014 έως και 2018. ΑΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

1. =
=
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝI
ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΣΗ ΠK & ΔK ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ
ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΕΛΛΑΣ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ …ΜΕΝΕΛΑΟΣ ΛΟΥΝΤΕΜΗΣ»
=
Σχολικό έτος:OMNP-OMN4
Περίοδος: Μαΐου-Ιουνίου
Μάθημα: Άλγεβρα
Τάξη: A΄
Ημερομηνία: M5 / M6 / N4
Ονοματεπώνυμο:…………………………KK=
Θέμα Nο
Α )==Έστω χN=I=χO οι ρίζες της εξίσωσης αχO
+βχ+γZM=I=α ≠=M==K=Με=S=συμβολίζουμε το=
άθροισμα των δυο ριζών=S=Z=χN=H=χO και με Ρ το γινόμενο των δυο ριζών==Ρ=Z=χN=·χO=K=
Να αποδειχθεί ότι=:=S=Z=-=
a
b
και Ρ=Z=
a
g
=K== = (Μονάδες=NM)=
Β ) Να χαρακτηριστούν στην κόλλα σας==με=Σωστό EΣ) ή=Λάθος EΛ)==καθεμία απ τις=
προτάσεις που ακολουθούν==:==
=
NK= Για κάθε α,β RÎ =I=ισχύει=:= aa -=- bb = Σ========Λ=
OK=
Για κάθε αI=βI=γ πραγματικούς αριθμούς==ισχύει=:=
α=Y=β=Û α·γ=Yβ·γ=
Σ========Λ=
PK=
Το σημείο Μ(χIy)=με χ=[=M=και=y=Y=M=I=βρίσκεται στο=Oο
=
τεταρτημόριοK=
Σ========Λ=
4K=
Αν για τους==πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύει=:==
αO
+βO
=Z=M=I=τότε α=Z=M=και β=Z=MK=
Σ========Λ=
5K= Η εξίσωση αχ+β=Z=M=με α≠M=και β=Z=M=είναι αδύνατηK= Σ========Λ=
====
=========E=Μονάδες=5xPZN5=)=
Θέμα Oο
Δίνεται το τριώνυμο=:==OxO
=–=Px=H=N=K==
=
= α=)=Να βρείτε τις ρίζες τουK=
= = = = = = = = (Μονάδες=NM)=
=
= β=)=Να βρείτε τις τιμές του= RxÎ ==για τις οποίες=:=OxO
=–=Px=H=N=Y=MK=
= = = = = = = = (Μονάδες=5)=
=
= γ=)=Να εξετάσετε αν οι αριθμοί===
2
P
==και===
2
1
είναι λύσεις της ανίσωσης=:==
= = = OxO
=–=Px=H=N=Y=M=K=== = (Μονάδες=NM)=

2. Θέμα Pο
Από=NOM=μαθητές ενός ΛυκείουI=O4=μαθητές συμμετέχουν στον διαγωνισμό της Ελληνικής=
Μαθηματικής ΕταιρείαςI=OM=συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών=
και=NO=μαθητές συμμετέχουν και στους δυο διαγωνισμούςK=Επιλέγουμε τυχαία έναν=
μαθητήK=Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής:==
= α=)=να συμμετέχει σε έναν τουλάχιστον από τους διαγωνισμούςK=
= = = = = = = = (Μονάδες=8)=
= β=)=να συμμετέχει μόνον σε έναν από τους δυο διαγωνισμούςK=
= = = = = = = = (Μονάδες=9)=
γ=)=να μην συμμετέχει σε κανέναν από τους δυο διαγωνισμούςK=
= = = = = = = (Μονάδες=8)=
=
=
Θέμα 4ο
=
=
Δίνεται αριθμητική πρόοδος=Eαν)=με αP=Z=NM=και αOM=Z=SNK=
=
= α=)=Να βρεθεί ο πρώτος όρος και η διαφορά της προόδουK=
= = = = = = = = (Μονάδες=8)=
= β=)=Να εξετάσετε αν ο αριθμός=PPP=είναι όρος της προόδουK=
= = = = = = = = (Μονάδες=8)=
= γ=)=Να εξετάσετε αν υπάρχουν διαδοχικοί==όροι χ και=y=της παραπάνω==
= προόδου=Eαν=)=I=τέτοιοι ώστε να ισχύει=:=
P2
yx
= =K=
= = = = = = = = (Μονάδες=9)=
== =
=
=
=
ΟΔΗΓΙΕΣ Eγια τους εξεταζομένους)
NK Να απαντήσετε σε όλα τα ΘέματαK=
OK Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτήK=
=
=
=
=====================
============== ==Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ== = = = = ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ= =========
==================
======
NK= ΚΟΣΟΓΛΟΥ ΙΟΡΔΑΝΗΣ==
=
=
2. ΤΣΟΥΜΑΡΙΔΟΥ ΖΩΗ======
=
=
=
=
=
=

3. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α΄
Θέμα Nο
ΑK Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα=9M=K=
ΒK Nà Σ= Oà Λ== PàΛ= = 4àΣ= = 5àΛ=
=
Θέμα Oο
α=)=Δ=Z=E-P)O
=-=4·O=Z=N===I===χN=Z= 1
4
1P
=
+
===I===χO=Z=
2
1
4
1P
=
-
=
β=)========================-∞============= =N/O= = ============N===============================H∞=
2χO
-PχHN= H= -= -=
=
Άρα χÎEN/O==I=N)=
γ=)==
2
P
=Y=N==γιατί= P=Y=O====και===
2
P
=[=
2
1
==I=άρα είναι λύση της ανίσωσηςK=
=
2
1
=Z=
2
2
=Y=N==γιατί== P=Y=O====και===
2
1
=[=
2
1
γιατί ίσοι αριθμητές μεγαλύτερο κλάσμα==
εκείνο με το μικρότερο παρανομαστήK=
=
Θέμα Pο
α=)=Ρ(ΑÈΒ)==ZΡ(Α)=H=Ρ(Β)=–=Ρ(ΑÇΒ)=Z=
15
4
120
P2
120
12
120
20
120
24
==-+
β=)=Ρ=[=(Α-Β)=È=EΒ-Α)=]== Ρ(Α)HΡ(Β)=–=OΡ(ΑÇΒ)=Z=
6
1
120
20
=
γ=)=Ρ==x=EΑÈΒ)΄=]=Z=N=–=Ρ(ΑÈΒ)=Z=
15
11
15
4
1 =-
=
Θέμα 4ο
α=)==αP=Z=NM==ή==αN=H=Oω=Z=NM=EN)==
======αOM=Z=SN=ή==αN=H=N9ω=Z=SN=EO)===
Αφαιρώ=EO)=–=EN)=και==NTω=Z=5N==ή==ω=Z=P====και===αN=Z=4=
=
β=)=αν=Z=PPP==ή==αN=H=Eν-N)ω=Z=PPP==ή==4=HPν-P=Z=PPP==ή==Pν=Z=PPO=EP)=και ο=P=δεν διαιρεί τον=
PPO=άρα δεν υπάρχει φυσικός λύση της=EP)K=
=
γ=)=έστω ότι υπάρχουν=I=τότε==y=Z=χ=H=ω==ή==y=Z=χ=H=P=EΑ)=
=
P2
yx
= ή==
P
P
2
+
=
xx
ή==Pχ=Z=Oχ=H=S==ή==χ=Z=S==Iτότε==y=Z=9==I=όμως οι αριθμοί==
=
S=και=9=δεν είναι δK=ο της παραπάνω Α.ΠK=

4. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝI
ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΣΗ ΠK & ΔK ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ
ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΕΛΛΑΣ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ …ΜΕΝΕΛΑΟΣ ΛΟΥΝΤΕΜΗΣ»
Σχολικό έτος:OMNP-OMN4
Περίοδος: Μαΐου-Ιουνίου
Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη: A΄
Ημερομηνία: OP / M6 / N4
Ονοματεπώνυμο:…………………………KK
Θέμα Nο
Α )==Να αποδειχθεί ότι=«=Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι=O=ορθές»K=
= = = = = = = = =E=Μονάδες=NM=)=
Β ) Να χαρακτηριστούν στην κόλλα σας==με=Σωστό EΣ) ή=Λάθος EΛ)==καθεμία απ τις=
προτάσεις που ακολουθούν==:==
=
NK= Δυο τρίγωνα με ίσες γωνίες είναι πάντα ίσαK= Σ========Λ=
OK=
Βαρύκεντρο λέγεται το σημείο τομής των διαμέσων ενός=
τριγώνουK=
Σ========Λ=
PK=
Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα=
των δυο απέναντι εσωτερικών γωνιώνK=
Σ========Λ=
4K=
Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι=
ορθήK=
Σ========Λ=
5K=
Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρνουμε απ τη=
κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της=
υποτείνουσας=
Σ========Λ=
== =E=Μονάδες=5xPZN5=)
Θέμα Oο
Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=Z=ΑΓ και Μ το μέσο της πλευράς ΒΓK=Στα=
σημεία Β και Γ φέρουμε κάθετες στη ΒΓ προς το ίδιο μέροςI=και θεωρούμε σε αυτές=
σημεία Δ και Ε αντίστοιχαI=τέτοια ώστε ΜΔ=Z=ΜΕ=K=
Να αποδείξετε ότι:=
α)=Τα τμήματα ΒΔ και ΓΕ είναι ίσαK== (Μονάδες=NP)=
β)=Το τετράπλευρο ΒΔΕΓ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμοK=EΜονάδες=NO)

5. Θέμα Pο
Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ=EΑΒ=//=ΔΓ=)=με ΑBˆΓ=Z=OΓˆ K==Φέρνουμε τη ΒΕ ┴ ΔΓK=Τα==
Κ=I=Λ είναι μέσα των ΑΔ=I=ΒΓ αντίστοιχαK=Να αποδειχθεί ότι=:==
=
α=)==Γˆ =Z=6MM
==== E=Mονάδες=8=)=
=
β=)==ΕΛ=//=ΑΔK== E=Mονάδες=9=)=
=
γ=)=ΑΚΕΛ είναι παραλληλόγραμμοK=
= = = E=Mονάδες=8=)=
=
=
=
Θέμα 4ο
=
=
=
=
ΟΔΗΓΙΕΣ Eγια τους εξεταζομένους)
NK Να απαντήσετε σε όλα τα ΘέματαK=
OK Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτήK=====================
=
============== ==Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ== = = = = ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ
NK= ΚΟΣΟΓΛΟΥ ΙΟΡΔΑΝΗΣ==
OK= ΤΣΟΥΜΑΡΙΔΟΥ ΖΩΗ=====

6. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α΄
Θέμα Nο
ΑK Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα=8P=απόδειξη ΘεωρήματοςK=
ΒK Nà Λ= Oà Σ== PàΣ= = 4àΣ= = 5àΣ=
=
Θέμα Oο
α=)=Σύγκριση των= = ΒΔΜ με ΜΕΓ=
= = ======= N=)=ορθογώνια=
= = = O=)=ΜΔ=Z=ΜΕ=
= = = P=)=ΒΜ=ΜΓ=
Άρα ΒΔ=Z=ΓΕ=
β=)=απ το α)=έδειξα ότι ΒΔ=//=Z=ΓΕ=I==επειδή==ΒΔ και ΓΕ κάθετες στην ίδια ευθεία άρα=
παράλληλες μεταξύ τους=I=άρα το ΒΔΕΓ παραλληλόγραμμο και η Β ορθή άρα ορθογώνιοK=
Θέμα Pο
α=)=Το ΑΒΓΔ ισοσκελές τραπέζιο άρα οι γωνίες Δ=Z=Γˆ ==και== Aˆ =Z=Bˆ=I=όμως=:=Aˆ HBˆHΓˆ +Δ=Z=
P6MM==
ή==OBˆ=H=OΓˆ =Z=P6MM
==ή=Bˆ=H=Γˆ =Z=N8MM
==ή==OΓˆ HΓˆ =Z=N8MM
==ή==Γˆ =Z=6MM
==
β=)=ΕΛ διάμεσος που καταλήγει στην υποτείνουσα άρα ΕΛ=Z=ΛΓ και=Γˆ =Z=6MM
=I=άρα το ΕΛΓ=
είναι ισόπλευρο άρα η γωνία ΛΕΓ=Z=6MM
και η Δ=Z=6MM
=Eισοσκελές τραπέζιο)==και επειδή οι=
γωνίες ΛΕΓ και Δ είναι εντός και επι τα αυτά προκύπτει το ζητούμενοK=
γ=)=ΑΚ=Z=//=ΛΕ άρα το ΑΚΕΛ παραλληλόγραμμοK=
=
Θέμα 4ο
α=)=Σύγκριση των τριγώνων=:== ΒΔΑ με ΑΕΓ=
= = ======== = N=)=ορθογώνια=
= = = = = O=)=ΑΒ=Z=ΓΕ=
= = = = = P=)=ΒΔ=ΑΓ=I=άρα ΑΔ=Z=ΑΕK=
β=)==Σύγκριση των τριγώνων=:=== ΑΖΚ με ΑΘΚ=
= = ======== = N=)=ΑΖ=Z=ΑΘ=Eμισά ίσων πλευρών)=
= = = = = O=)=ΑΚ κοινή πλευράK=
= = = = = P=)=οι γωνίες ΔΑΚ=Z=ΕΑΚ=EΑδ διχοτόμος)=I=άρα ΚΖ=Z=ΚΘK=
=
γ=)==από το β)=έχω ΚΖ=Z=ΚΘ και ΚΖ=Z=ΑΖ==I=άρα το τετράπλευρο ΑΖΚΘ έχει όλες τις=
πλευρές του ίσες=I=άρα είναι ρόμβοςK=
=

7. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝI
ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΣΗ ΠK & ΔK ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ
ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΕΛΛΑΣ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ …ΜΕΝΕΛΑΟΣ ΛΟΥΝΤΕΜΗΣ»
Σχολικό έτος:OMNP-OMN4
Περίοδος: Μαΐου-Ιουνίου
Μάθημα: Άλγεβρα
Τάξη: Β΄
Ημερομηνία: MP / M6 / N4
Ονοματεπώνυμο:…………………………KK
Θέμα Nο
Α )==Να αποδειχθεί ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου ΡEx)=με το=x-ρ είναι==
ίσο με την τιμή του πολυωνύμου ΡEx)=για=x===ρ=I=δηλαδή να αποδειχθεί ότι υ===Ρ(ρ)=K=
= = = = = = = = Μονάδες=1M=
Β ) Να χαρακτηριστούν στην κόλλα σας==με=Σωστό EΣ) ή=Λάθος EΛ)==καθεμία απ τις=
προτάσεις που ακολουθούν==:==
=
NK= Ισχύει η ισοδυναμία=:=ημx===ημθ=Û =x===Oκπ ± θ=I=κ ZÎ K= Σ========Λ=
OK= Για θN=I=θO=>=M=I=ισχύει=:=lnEθNH=θO)===lnθN=H=lnθO==K= Σ========Λ=
PK= Η συνάρτηση=fEx)===αx
με α=>N=είναι γνησίως αύξουσα στο=oK= Σ========Λ=
4K= Η περίοδος της συνάρτησης=fEx)===ημx=είναι=OπK== Σ========Λ=
RK=
Αν το ΡEx)=είναι πολυώνυμο πέμπτου βαθμού=I=τότε το=
υπόλοιπο της διαίρεσης του ΡEx)=με το=x=–=4=είναι τετάρτου=
βαθμούK=
Σ========Λ=
========
========Μονάδες=5x3=15
Θέμα Oο
Αν ημx===
N3
5
==και== <
O
p
=x= p< ===I=όπου γωνία=x==σε=rad==I=να βρεθούν=:==
ΑK ο τριγωνομετρικός αριθμός==συνxK=
Μονάδες=15=
ΒK ο τριγωνομετρικός αριθμός εφxK=
Μονάδες=1M=
Θέμα Pο
Δίνεται το πολυώνυμο==ΡEx)===EλO=
-=4)·x4
=H=xP
=-=RxO
=H6x=H=4λH6==I=λ RÎ K=
ΑK Αν το ΡEx)=έχει παράγοντα το χ=–=N=I=να βρεθεί ο βαθμός του ΡEx)K=
Μονάδες=9
ΒK Αν==λ===-=O=:==
= i=)===να λυθεί η εξίσωση=:==ΡEx)===M= = = =
Μονάδες=8=
= i=i=)=να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της==
= πολυωνυμικής συνάρτησης ΡEx)=βρίσκεται κάτω απ΄ τον άξονα=x΄xK=
Μονάδες=8=
=

8. Θέμα 4ο
=
=
Δίνεται η συνάρτηση=f=με τύπο=:=fEx)===α=H=lnEex
=–=P)=I=α RÎ =I=της οποίας η γραφική=
παράσταση διέρχεται από το σημείο ΑEln4=I=N)=
=
ΑK Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της=fEx)K=
Μονάδες=9=
ΒK Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός αK==
Μονάδες=6===========
=
ΓK Αν α===N=I=να βρεθεί το σημείο στο οποίο η γραφική παράσταση της=fEx)=τέμνει==
τον άξονα==x΄xK=
Μονάδες=1M=
=
=
ΟΔΗΓΙΕΣ Eγια τους εξεταζομένους)
NK Να απαντήσετε σε όλα τα ΘέματαK=
OK Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτήK=
PK Διάρκεια εξέτασης=:=δυο=EO)=ώρες μετά τη διανομή των θεμάτωνK=
=
=
=====================
============== ==Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ
ΚΟΣΟΓΛΟΥ ΙΟΡΔΑΝΗΣ=
=================== = = = = = ============ΠΕMP=ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ=

9. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β΄
Θέμα Nο
ΑK Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα=NP4=απόδειξη ΘεωρήματοςK=
ΒK Nà Λ= Oà Λ== PàΣ= = 4àΣ= = RàΛ=
=
Θέμα Oο
ΑK ημO
x=H=συνO
x===N==ή= +
N69
O5
συνO
x===N==ή==συνO
x====
N69
N44
====ή===
συνx===–=
N3
NO
==I=επειδή== <
O
p
=x= p< ====I=συνx===-=
N3
NO
= =
ΒK εφx===-=
NO
5
K=
=
Θέμα Pο
=
ΑK =x-N=παράγοντας του ΡEx)==I=άρα==ΡEN)===M==ή==λO
-4=H=N=–=R=H=6H4λH6===M=ή==
λO
=H4λ=H4===M==ή=EλHO)O
===M=ή λHO===M===ή λ====-O=
ΒK i=)==ΡEx)===M=ή===xP
=-=RxO
=H6x=–=O===M=Eαπό=eorner)=Ex-N)ExO
-4xHO)===M==και οι λύσεις είναι=:==
=
= i=i=)=Θέλουμε η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης ΡEx)=βρίσκεται=
κάτω απ΄ τον άξονα χχ΄=I=άρα=:======ΡEx)=Y=M=ή==Eχ-N)EχO
-4χHO)=Y=M====
====-∞== ==========O- O == = N= = =====OH O =============H∞=
χ-N= -= -= H= H=
χ
O
-4χHO= H= -= -= H=
ΡEx)= -= H= -= H=
=
Άρα==x= )OOINE)OOIE +È--¥Î K=
Θέμα 4ο
=
ΑK Πρέπει και αρκεί=ex
=–=P=>=M=ή=x=>=lnP==ή==x= )I3Eln +¥Î ==K=
ΒK Η=fEx)=διέρχεται απ΄ το Α άρα=:=N===α=H=lnEeln4
-P)==ή==N===α=H=lnE4-P)==ή==
N===α=H=lnN==ή===α===NK=
ΓK fEx)===M===ή===N=H=lnEex
=–=P)===M===ή===lnEex
=–=P)===-=N===ή===lnEex
=–=P)===ln
e
N
==ή==
ex
=–=P===
e
N
==ή==ex
===
e
e N3 +
===ή==x===lnE
e
e N3 +
)=I=το σημείο=E=lnE
e
e N3 +
)=I=M)=

10. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝI
ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΣΗ ΠK & ΔK ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ
ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΕΛΛΑΣ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ …ΜΕΝΕΛΑΟΣ ΛΟΥΝΤΕΜΗΣ»
Σχολικό έτος:OMNP-OMN4
Περίοδος: Μαΐου-Ιουνίου
Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη: Β΄
Ημερομηνία: N8 / M6 / N4
Ονοματεπώνυμο:…………………………KK
Θέμα Nο
Α )==Να αποδειχθεί ότι=:=…=σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο μιας κάθετης==
πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς=
αυτής στην υποτείνουσα»K=
Μονάδες=1M=
Β ) Να χαρακτηριστούν στην κόλλα σας==με=Σωστό EΣ) ή=Λάθος EΛ)==καθεμία απ τις=
προτάσεις που ακολουθούν==:==
=
NK= Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας=o=με πλευρά λν και απόστημα αν ισχύει η=
σχέση=:=
O
O
O
4
R
a
=+ n
n
l K=
Σ========Λ=
OK= Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση=:=αO
=βO
+γO
HOβγσυνΑK= Σ========Λ=
3K=
Το εμβαδόν τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των=
βάσεων του επί το ύψος τουK=
Σ========Λ=
4K= Αν δυο τρίγωνα είναι ισεμβαδικά=I=τότε είναι πάντοτε ίσαK= Σ========Λ=
RK=
Αν αI=βI=γ πλευρές ενός τριγώνου με==α=<=β=<=γ και αO
=<βO
+γO
=I=τότε το=
τρίγωνο είναι πάντοτε οξυγώνιοK=
Σ========Λ=
========
Μονάδες=5x3=15
Θέμα Oο
=
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α===4=και ο εγγεγραμμένος κύκλος==
σε αυτόK=Να υπολογιστούν=:==
=
ΑK Η ακτίνα=o=του κύκλουK=
Μονάδες=6=
ΒK Το μήκος του κύκλου=EΟI=o)K=
Μονάδες=6=
ΓK Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ του==
=====τετραγώνου και του κύκλουK=
Μονάδες=13=

11. Θέμα Pο
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές==α===4=I=β===4 3=I==γ===4 OK=
=
ΑK Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιοK=
Μονάδες=8
ΒK Να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓK= = = = =
Μονάδες=9=
ΓK Να υπολογιστεί η ακτίνα=o==του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΑΒΓK=
Μονάδες=8=
=
Θέμα 4ο
=
=
Δίνεται κύκλος=EΟI=o)=και Α σημείο εκτός αυτούK=Από το Α φέρνουμε εφαπτομένη που==
εφάπτεται στον κύκλο στο σημείο Δ και την τέμνουσα ΑΒΓ του κύκλουK=Αν ΑΔ===o 6 =
και ΑΒ===OΓΒ=I=τότε=:==
=
=
ΑK Να δειχθεί ότι ΒΓ===oK=
Μονάδες=1M=
ΒK Να υπολογιστεί ο λόγος των==
=
εμβαδών==
)E
)E
GOB
OAB
=I=όπου=EΟΑΒ)=
=
και=EΟΒΓ)=τα εμβαδά των αντίστοιχων=
=
τριγώνωνK===Μονάδες=7===========
=
ΓK Να υπολογιστεί συναρτήσει του=o=το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος που περιέχεται=
στην κυρτή γωνία==ΓOˆ ΒK===========Μονάδες=8=
=
=
ΟΔΗΓΙΕΣ Eγια τους εξεταζομένους)
NK Να απαντήσετε=στην κόλλα σας σε όλα τα ΘέματαK=
OK Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτήK=
PK Διάρκεια εξέτασης=:=δυο=EO)=ώρες μετά τη διανομή των θεμάτωνK=
=
=
=====================
====================Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ
Κοσόγλου Ιορδάνης
Τσουμαρίδου Ζωή

12. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β΄
Θέμα Nο
ΑK Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα=N83=Θεώρημα Ι=
ΒK Nà Λ= Oà Λ== 3àΣ= = 4àΛ= = RàΛ=
=
Θέμα Oο
ΑK o===O= = ΒK =L=Oπo===4π=
ΓK Ε===EΑΒΓΔ)=–=εμβαδόν κύκλου===EN6=-=4π)=τ.μ=
=
Θέμα Pο
=
ΑK β=>=γ=>=α==και βO
===γO
=HαO
===I=άρα το ΑΒΓ ορθογώνιο και η Β ορθή γωνίαK=
ΒK (ΑΒΓ)===½=αγ===8 O τ.μ=
ΓK (ΑΒΓ)===
R
a
4
bg
==ή=………=ή αβγ=3O O o===ή==64 O 3==3O O o==ή=o===O 3=
=
Θέμα 4ο
=
ΑK ΑΔO
===ΑΒ·ΑΓ==ή==6oO
===OΒΓEOΒΓ+ΒΓ)===ή=6oO
===6ΒΓO
===ή==ΒΓ===o=I=άρα το ΟΒΓ=
= είναι ισόπλευρο τρίγωνοK=
=
ΒK
)E
)E
GOB
OAB
=
BG×BO
BO×BA
=O=I=γιατί στα ΟΑΒ και ΟΒΓ==μια γωνία του ενός τριγώνου είναι==
παραπληρωματική με μια γωνία του άλλου τριγώνουK=
ΓK εκυκλικού τμήματος====Εκυκλικουύ τομέα ΟΑΒ=–=EΟΑΒ)===E
6
N
π=oO
=-=
4
3O
R
=)==τ.μ=

13. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝI
ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΣΗ ΠK & ΔK ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ
ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΕΛΛΑΣ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ …ΜΕΝΕΛΑΟΣ ΛΟΥΝΤΕΜΗΣ»
Σχολικό έτος:OMNP-OMN4
Περίοδος: Μαΐου-Ιουνίου
Μάθημα: Μαθηματικά
Τάξη: Β΄ Τεχνολογική – Β΄ Θετική
Ημερομηνία: NN / M6 / N4
Ονοματεπώνυμο:…………………………KK
Θέμα Nο
Α )==Να αποδειχθεί ότι ο κύκλος με κέντρο το σημείο ΟEMIM)=και ακτίνα ρ έχει εξίσωση=:=
=======x=O
H=yO
===ρO
==K=
Μονάδες=1M=
Β ) Να χαρακτηριστούν στην κόλλα σας==με=Σωστό EΣ) ή=Λάθος EΛ)==καθεμία απ τις=
προτάσεις που ακολουθούν==:==
=
NK=
a=//= b = 0)IdetE =Û ba K= Σ========Λ=
OK=
Η ευθεία με εξίσωση:=ΑxHΒyHΓ===M=είναι κάθετη στο διάνυσμα===
k ===EΒ=I=-=Α)K=
Σ========Λ=
PK= Η ευθεία==x===χM έχει συντελεστή λ===M=K= Σ========Λ=
4K= Αν=a· b == b×a =I=τότε τα=a=I= b είναι ομόρροπαK= Σ========Λ=
5K=
Η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης=:= NO
O
O
O
=+
b
y
a
x
σε ένα=
σημείο ΜExNI=yN)=είναι=:= NO
N
O
N
=
×
+
×
a
yyxx
b
K=
Σ========Λ=
========
Μονάδες=5x3=15
Θέμα Oο
=
Δίνεται η έλλειψη=CN=:=xO
=HOyO
===8==και η παραβολή=CO=:=yO
===8xK=
ΑK Βρείτε τις εστίες των παραπάνω κωνικών τομώνK=
Μονάδες=1M=
ΒK Να υπολογιστεί η εκκεντρότητα της=CNK=
Μονάδες=6=
ΓK Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της=CO που είναι παράλληλη στην ευθεία==
======ε=:==y===x=H=6K======
Μονάδες=9=

14. Θέμα 3ο
Δίνονται τα σημεία ΑE4λ-O=I=PλHN)=I=ΒENIO)===και==ΓE5I5)K=
=
ΑK Να αποδειχθεί ότι τα ΑI=ΒI=Γ είναι κορυφές τριγώνου για κάθε λ RÎ K=
Μονάδες=7
ΒK Να αποδειχθεί ότι=I=όταν το λ μεταβάλλεται=I=το Α κινείται σε μια ευθεία ε της οποίας=
======να βρείτε την εξίσωση=K== = = =
Μονάδες=1M=
ΓK Για λ===N=I=να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓK=
Μονάδες=8=
=
Θέμα 4ο
=
=
Δίνονται τα διανύσματα=a=I=b για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις=:==
=
·= a===EN=I=8=-=a=· b =)== =
·= b ===E=O=I=
5
b
)=
=
ΑK Να αποδειχθεί ότι=:= 5=b ==και===a·= b ===5K=
Μονάδες=1M=
ΒK Να υπολογιστεί η γωνία των διανυσμάτων=a=I= b =K==== Μονάδες=6===========
=
ΓK Να αναλυθεί το διάνυσμα= a σε δυο κάθετες συνιστώσες=I=από τις οποίες η μια να είναι==
=====παράλληλη με το=b K========= = = = = Μονάδες=9=
=
ΟΔΗΓΙΕΣ Eγια τους εξεταζομένους)
NK Να απαντήσετε σε όλα τα ΘέματαK=
OK Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτήK=
=
=
=
=====================
===================Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ
ΚΟΣΟΓΛΟΥ ΙΟΡΔΑΝΗΣ=
=================== = = = = = ================ΠΕMP=ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ=

15. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β΄ ΚΑΤ
Θέμα Nο
ΑK Θεωρία σχολικού βιβλίου=K=
ΒK Nà Σ= Oà Λ== PàΛ= = 4àΣ= = 5àΛ=
=
Θέμα Oο
ΑK α==O OI=β===O==I=γO
===αO
-βO
===4=I=γ===OK=CN=:=Ε΄E-OIM)===ΕEOIM)===για την=CO=:=ΕEOIM)= =
ΒK γ===O==I==ε=
O
O
=
ΓK ε=:= yN=y=4ExH=xN)==I=άρα=4/=yN===N==ή==yN===4==I=άρα=xN===O==I=άρα=4y=4xH8==ή=y===x=HO=
=
Θέμα 3ο
ΑK τα διανύσματα ΒΓ=E4IP)==και ΒΑ=E4λ-P=I=Pλ-N)==και η ορίζουσα αυτών είναι=-5=άρα όχι=
συνευθειακά=K=
ΒK x=4λ-O=EN)==I=y===PλHN=EO)===I=τότε απ την πρώτη λ===ExHO)/4=και αντικαθιστώντας στη=
δεύτερη προκύπτει=:=y===PExHO)/4=H=N==ή==4y===PxH=NM=
ΓK ΑEOI4)=I=και τα διανύσματα ΑΒ===E-NI-O)==I=ΑΓ===EPIN)==και προκύπτει=:=EΑΒΓ)===5/O=τ.μ=
=
Θέμα 4ο
=
ΑK b O
===4=H= b O
/5==ή==4/5= b O=
===4==ή== 5=b =
a· b ===O=H=8-a b ==ή===Oa b ===NM===ή===a b ===5=
ΒK έστω φ η γωνία τότε=:=συνφ===
O
O
5N0
5
==
b
b
a
a
=I=άρα φ===45M
K=
ΓK Έστω=aN και= aO οι κάθετες συνιστώσες και η= aN=//= b =I=τότε==:=
aN===προββ a== b
b
b r
r
rr
×
×
)E O
a
===…K== b ===EOIN)==και==
aO=== a=-=aN===a=-= b ===ENIP)=–=EOIN)===E=-NI==O)=
=
=
=

16. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝI
ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΣΗ ΠK & ΔK ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ
ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΕΛΛΑΣ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ …ΜΕΝΕΛΑΟΣ ΛΟΥΝΤΕΜΗΣ»
Σχολικό έτος: OMNP-OMN4
Περίοδος: Μαΐου-Ιουνίου
Μάθημα: Μαθηματικά & Στοιχεία
Στατιστικής
Τάξη: Γ΄
Ημερομηνία: OP / 6 / N4
Ονοματεπώνυμο:…………………………KK
=
=
Θέμα=1ο
==
=
Α=)==Να αποδειχθεί ότι=:=…=Η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης==fEx)===x=είναι=:==
f΄Ex)===Ex)΄===N=»K=
Μονάδες=1M=
Β=)==Να χαρακτηριστούν στην κόλα σας==με=Σωστό=EΣ) ή=Λάθος=EΛ)==καθεμία απ τις=
προτάσεις που ακολουθούν==:==
=
NK= Αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα=I=τότε==:==
Ρ(ΑÈΒ)===Ρ(Α)=H=Ρ(Β)K=
Σ========Λ=
OK= Ένα δείγμα είναι ομοιογενές=I=όταν=Cs=≤=NMBK= Σ========Λ=
PK= (συνx)΄===ημx= Σ========Λ=
4K= Η μέση τιμή και η διάμεσος είναι μέτρα θέσηςK= Σ========Λ=
5K=
Αν Α=I=Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω=I=τότε το=
ενδεχόμενο ΑÈΒ πραγματοποιείται=I=όταν πραγματοποιείται=
το Α ή το ΒK=
Σ========Λ=
========
Μονάδες=5x3=15=
=
Θέμα=Oο
==
=
Δίνεται η συνάρτηση==fEx)===-=xP
=H=Px=H=N===EN)=K=
=
Α.==Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης=fEx)K=
Μονάδες=5=
Β.==Να μελετηθεί η συνάρτηση=fEx)=ως προς τη μονοτονίαK=
Μονάδες=1M=
Γ.==Να προσδιοριστούν τα ακρότατα της συνάρτησης=fEx)K=
Μονάδες=1M=
=
=
Θέμα=3ο
==
=
Ένας μαθητής έχει στον έλεγχο προόδου του την παρακάτω βαθμολογία=:==
=
N6==I=N6=I=NT=I=N4=I=N8=I=N4=I=N5=I=N5=I=NV=I=N6=
Να βρεθούν=:==
=
Α.==η μέση τιμή των βαθμών του μαθητή=I=
Μονάδες=8=
=
=
=

17. =
=
=
=
Β.====η διάμεσος=I= = = = =
Μονάδες=8=
=
Γ.====η τυπική απόκλιση==s=K===Δίνεται= 55.N4.O = =.=
Μονάδες=9=
=
=
Θέμα=4ο
==
=
To=NMB=των ατόμων ενός πληθυσμού έχουν υπέρταση=I=το=6B=στεφανιαία καρδιακή=
ασθένεια και το=OB=έχουν και τα δυοK=Για ένα άτομο που επιλέγεται τυχαία ποια η=
πιθανότητα να έχει=:==
=
Α.==τουλάχιστον μία ασθένειαK=
Μονάδες=1M=
=
Β.==μόνο μία ασθένειαK=
Μονάδες=15===========
=
=
=
ΟΔΗΓΙΕΣ==Eγια τους εξεταζομένους)=
=
1.= Να απαντήσετε=στην κόλλα σας=σε όλα τα ΘέματαK=
O.= Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτήK=
3.= Διάρκεια εξέτασης=:=δυο=EO)=ώρες μετά τη διανομή των θεμάτωνK=
=
=
=====================
====================Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ
ΚΟΣΟΓΛΟΥ ΙΟΡΔΑΝΗΣ=
=================== = = = = = =======ΠΕMP=ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ=

18. EΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Θέμα=1ο
==
Α.==σχολικό βιβλίο σελίδα=O8=
Β.==NàΣ= OàΣ= = PàΛ= = 4àΣ= = 5àΣ=
=
Θέμα=Oο
==
=
Α.==f΄Ex)===-PχO
HP=
Β.==f΄Ex)===M=ή χ===–N=I=στο=E-∞I-N]=και στο=xNIH∞)=είναι γνησίως φθίνουσαK=
Στο=x-NIN]=η=fEx)=είναι γνησίως αύξουσαK=
Γ.==Το=E-NI-N)=είναι τοπικό ελάχιστο=I=και το=ENIP)=είναι τοπικό μέγιστοK=
=
Θέμα=3ο
==
Α.== N6
N0
N60
N0
N
===
å=
v
t
x i
i
.=
Β.==δ=== N6
O
3O
O
65
==
+ hh
=
Γ.== 4.O
N0
O4)E
N0
N
O
O
==
-
=
å=
v
xtv
s i
ii
=I=άρα==s===1.55=
=
Θέμα=4ο
==
=
A=:={=το ενδεχόμενο να έχει κάποιος υπέρταση=}=
Β=:={=το ενδεχόμενο να έχει κάποιος καρδιακή ανεπάρκεια=}=
=
Α.==Ρ(Α=ÈΒ)===MKNHMKM6=–=MKMO====MKN4==ή==N4B=
Β.==Ρx=EΑ-Β)=È(Β-Α)=]===……===MKNO=ή=NOB=
=

19. =
=
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝI
ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΣΗ ΠK & ΔK ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ
ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΕΛΛΑΣ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ …ΜΕΝΕΛΑΟΣ ΛΟΥΝΤΕΜΗΣ»
=
Σχολικό έτος:OMN4-OMN5
Περίοδος: Μαΐου-Ιουνίου
Μάθημα: Άλγεβρα
Τάξη: A΄
Ημερομηνία: ON / M5 / N5
Ονοματεπώνυμο:…………………………KK=
ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ
Θέμα Nο
Α )==Να αποδειχθεί==ότι=:= baba =× =I=για κάθε α=I=β RÎ K=
= = = = = = = = (μονάδες=N0)=
=
B ) Να χαρακτηριστούν στην κόλλα σας==με=Σωστό EΣ) ή=Λάθος EΛ)==καθεμία απ τις=
προτάσεις που ακολουθούν==:==
=
NK= Η συνάρτηση=fEx)===αxHβ=I=με αI=β= RÎ έχει γραφική=
παράσταση μια ευθεία που τέμνει τον=yy΄ στο σημείο=E0Iβ)K=
Σ========Λ=
OK= Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει=:= aa =2
= Σ========Λ=
PK=
Για κάθε α=I=β= RÎ και ν φυσικό μη μηδενικό ισχύει=:==
α=[=β=Ûαν
=[=βν
K=
Σ========Λ=
4K=
Αν χNI=χO είναι οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης=:=
αχO
+βχ+γ=0=με α≠0=I=τότε ισχύει=:=χN=H=χO===
a
b
K=
Σ========Λ=
5K= Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει=:= 0³-= aa = Σ========Λ=
======= (μονάδες=5·P=N5=)
Θέμα Oο
Δίνονται οι αριθμητικές παραστάσεις==Α===
4
)P( ==I=Β===
6P
)2( ==και==Γ===
55
)5( =
α=)=Να δειχθεί ότι=:==Α=H=Β=H=Γ===N8=
=
β=)=Να συγκριθούν οι αριθμοί=:===
P
2 ===I====
5
5 =
= =====Να αιτιολογήσετε την απάντηση σαςK=
=
(μονάδες=NP=H=NO=)=
=
=

20. Θέμα Pο
Σε ένα σχολείο με=400=μαθητές διδάσκονται η αγγλική και η γαλλική γλώσσαK=Κάθε=
μαθητής είναι υποχρεωμένος να παρακολουθεί τουλάχιστον μία από τις παραπάνω==
ξένες γλώσσεςK=Από τους παραπάνω μαθητέςI=P40=παρακολουθούν την αγγλική==
γλώσσα και=O40=τη γαλλική γλώσσαK=Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητήK=
Έστω==Α το ενδεχόμενο να παρακολουθεί την αγγλική και==
Γ το ενδεχόμενο να παρακολουθεί την γαλλική γλώσσαK=
αK Να αποδειχθεί==ότι τα ενδεχόμενα Α και Γ δεν είναι ασυμβίβασταK=
βK Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να παρακολουθεί μόνο την αγγλική γλώσσαK==
γK Να βρείτε την πιθανότητα ο μαθητής να παρακολουθεί μία μόνο ξένη γλώσσαK=========================================
= = = = = == = = E=μονάδες=8H8HV=)=
=
=
Θέμα 4ο
=
=
Δίνεται η εξίσωση=:==χO
=H=λχ=–=EλO
H4)===0=I=με λ= RÎ K=
αK Να δειχθεί ότι για κάθε τιμή του πραγματικού λI=η παραπάνω εξίσωση==
έχει δυο πραγματικές και άνισες ρίζεςK=
βK===Να υπολογιστεί το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της παραπάνω==
εξίσωσης=I=συναρτήσει του λ=
γK Αν χN=I=χO είναι οι ρίζες της εξίσωσης=I=να βρεθούν οι τιμές του==
πραγματικού αριθμού λ ώστε να ισχύει=:==EχN=H=P)·EχO=H=P)===5K=
E=μονάδες=8HTHN0=)====
= =
=
=
=
ΟΔΗΓΙΕΣ Eγια τους εξεταζομένους)
NK Να απαντήσετε σε όλα τα ΘέματαK=
OK Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτήK=
=
=
=
=====================
============== ==Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ== = = = = Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ= =========
==================
======
=
=
=
=
=
=
=

21. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α΄ OMN5
Θέμα Nο
ΑK Θεωρία σχολικού βιβλίου παράγραφος=OKP=
BK Nà Σ= Oà Λ== PàΛ= = 4àΛ= = 5àΣ=
=
Θέμα Oο
α=)=Α===
4
)P( ====PO
===V==I==Β===
6P
)2( =====OO
===4===I=Γ===
55
)5( ===5N
===5=
Άρα Α+Β+Γ===VH4H5===N8=
=
β=)=
P
2 =
15 5
2 ================και=====
5
5 =
15 P
5 ==========I=επειδή=O5
Y=5P
=Û 15 5
2 Y=
15 P
5 Û=
=
P
2 =Y=
5
5 K=
Θέμα Pο
=
α=)=Α==={ο μαθητής παρακολουθεί την Αγγλική}=I=
=====Γ==={ο μαθητής παρακολουθεί την Γαλλική}=
=
Έστω ότι τα Α,Γ είναι ασυμβίβαστα==I=τότε=:==
Ρ(ΑÈΓ)=≤=NÛΡ(Α)=H=Ρ(Γ)===
400
580
400
240
400
P40
=+ ≤=N=K=Άτοπο=I=άρα Α=I=Γ όχι=
ασυμβίβασταK
β=)=Είναι=:=Ν(Γ-Α)===S0==και==Ν(ΑÇΓ)===N80==I=Ν(Α-Γ)===NS0=
Ρ=[=(Α-Γ)=]=== 4.0
10
4
400
160
==
γ=)=Ρ==x=EΑ-Γ)È(Γ-Α)]===Ρ(Α-Γ)=HΡ(Γ-Α)===0K4=H= 15.04.0
400
60
+= ===0K55=
Θέμα 4ο
χO
=H=λχ=–=EλO
H4)===0==EN)=
α=)==Δ===λO
=–=4x-EλO
H4)]===λO
=H4λO
=HNS===5λO
=H=NS=[=0=I=άρα έχει=O=άνισες πραγματικές ρίζες=K=
=
β=)=S===-=λ===I=Ρ===-EλO
H4)==I=από=VietaK=
=
γ=)=EχN=H=P)·EχO=H=P)===5ÛxN=xO=HPxN=H=PxO=H=V===5=Û-EλO
H4)=HPE-λ)=HV===5=Û=
=
-λO
-4=-Pλ=HV===5Û-λO
-Pλ===0=Û=-λ(λHP)===0=Û λ===0===ή==λ===-P=

22. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝI
ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΣΗ ΠK & ΔK ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ
ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΕΛΛΑΣ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ …ΜΕΝΕΛΑΟΣ ΛΟΥΝΤΕΜΗΣ»
Σχολικό έτος: OMN4-OMN5
Περίοδος: Μαΐου-Ιουνίου
Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη: A΄
Ημερομηνία: N5 / M6 / N5
Ονοματεπώνυμο:…………………………KK
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
Θέμα Nο
α )==Να αποδειχθεί ότι=:=«=Αν ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές=,=τότε οι διαγώνιοι του είναι=
ίσεςK»===
= = = = = = μονάδες=10=
=
β ) Να χαρακτηριστούν στην κόλλα σας==με=Σωστό EΣ) ή=Λάθος EΛ)==καθεμία απ τις=
προτάσεις που ακολουθούν==:==
=
NK= Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών τριγώνου είναι=36MM
K= Σ= = = = = = = =Λ=
OK=
Δυο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα=,=αν έχουν δυο οξείες=
γωνίες μια προς μια ίσεςK=
Σ========Λ=
3K=
Αν δυο παράλληλες τέμνονται από τρίτη ευθεία=,=
σχηματίζουν τις εντός και επι τα αυτά γωνίες==ίσεςK=
Σ========Λ=
4K=
Έγκεντρο είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων των=
πλευρών ενός τριγώνουK=
Σ========Λ=
5K= Κάθε τετράγωνο είναι και ρόμβοςK= Σ========Λ=
μονάδες=5x3=15=
Θέμα Oο
Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ==EΑΒ=//=ΓΔ)==στο οποίο η διαγώνιος ΒΔ είναι ίση με την=
πλευρά ΑΔK=Αν η γωνία=Gˆ =Z=NNMM
και η=
γωνία Δ=Bˆ Γ=Z=3MM
=,=να υπολογιστεί=
η γωνία Α= Dˆ ΒK=
=
= = = = =
= = = = =
= =
=
μονάδες=25=
= = = = = = =
=
=

23. Θέμα Pο
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ==E= Αˆ Z9MM
=)=με=Bˆ =Z3MM
=,=η κάθετη στο μέσο Μ της==
υποτείνουσας ΒΓ τέμνει την ΑΒ στο ΔK=Να αποδειχθεί ότι=:==
=
=
α=)=ΑΔ=Z=
O
ΔΓ
== E=μονάδες=8=)=
=
β=)=ΑΔ=Z=ΜΔ==== E=μονάδες=T=)=
=
γ=)==ΜΔ=Z=
3
AB
= E=μονάδες=NM=)=
Θέμα 4ο
=
=
Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο=E Αˆ =Z=9MM
=)=K=Φέρνουμε τη διάμεσο ΑΜ και έστω Δ μέσο=
της ΒΜK=Απ το μέσο Ε της ΑΒ προεκτείνουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΕΔ κατά τμήμα ΔΖ=,=
τέτοιο ώστε ΔΖ=Z=ΔΕK=Να αποδειχθεί=:==
=
= = = = = = =
α=)=το ΒΕΜΖ είναι ορθογώνιοK=
=================================E=μονάδες=8=)=
=
β=)=τα τρίγωνα ΑΕΜ και ΕΒΖ είναι==
=
ίσαK===== = ======E=μονάδες=NM=)=
=
γ=)=το ΑΕΖΜ είναι=παραλληλόγραμμοK==
==================================E=μονάδες=T=)=
=
= =
ΟΔΗΓΙΕΣ Eγια τους εξεταζομένους)
NK Να απαντήσετε σε όλα τα ΘέματαK=
OK Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτήK=
=====================
============== ==Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ
=
=
=================== = = = = = ============

24. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α΄ OMN5
Θέμα Nο
ΑK Θεωρία σχολικού βιβλίου=(=§=5.11==)K=
ΒK Nà Σ= Oà Λ== 3àΣ= = 4àΛ= = 5àΣ=
Θέμα Oο
ΑΒΓΔ τραπέζιο και ΑΒ=//=ΓΔ=,=άρα==
Gˆ H=Bˆ =Z=N8MM
=Û==
Gˆ +Δ=Bˆ Α=HΔ=Bˆ Γ=Z=N8MM
Û=NNMM
=H=Δ=Bˆ Α=H=3MM
=Z=N8MM
=Û==
Δ=Bˆ Α=Z=4MM
K==
Το τρίγωνο ΑΔΒ είναι==ισοσκελές άρα==
Aˆ =Z=Δ=Bˆ Α=Z=4MM
K=Συνεπώς==
Α=Dˆ Β=H= Aˆ =H=Δ=Bˆ Α=Z=N8MM
=Û=
Α=Dˆ Β=Z=NMMM
K=
Θέμα Pο
α=)=το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ισοσκελές γιατί η ΔΜ είναι ύψος και διάμεσοςK=Άρα==
Μ=Gˆ Δ=Z=3MM
=EN)=K=Όμως στο ΑΒΓ η=Gˆ =Z=6MM
=EO)=από=
άθροισμα γωνιών τριγώνουK=
Από=EN)=και=EO)=προκύπτει ότι Δ=Gˆ Α=Z=3MM
και το τρίγωνο=
ΑΔΓ είναι ορθογώνιο=,=άρα ΑΔ=Z=
O
ΔΓ
K=
β=)=1oς Τρόπος=
Συγκρίνω τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΜΔΓK=Είναι ίσα=,=γιατί είναι=
ορθογώνια=,=ΓΔ κοινή και Α=Gˆ Δ=Z=Μ=Gˆ Δ=Z=3MM
K=Άρα και οι=
υπόλοιπες πλευρές τους είναι ίσες=K=Συνεπώς ΑΔ=Z=ΜΔK=
=
2ος
Τρόπος=
Η ΓΔ είναι διχοτόμος=,=το δείξαμε στο α)=ερώτημαK=Άρα το Δ σημείο της διχοτόμου=
συνεπώς ισαπέχει από τις πλευρές ΑΓ=,=ΜΓ=K=Άρα ΑΔ=Z=ΜΔK=
=
γ=)=ΑΒ=Z=ΑΔ=H=ΔΒ=Û ΑΒ=Z=ΜΔ=HΔΒ=E3)=και στο ΒΔΜ η ΜΔ είναι απέναντι από=3MM
=,=άρα=
ΜΔ=Z==
O
DB
=Û=OΜΔ=Z=ΒΔ=E4)K=
Από=E3)=και=E4)=έχω=:=ΑΒ=Z=ΜΔ=H=OΜΔ= Û ΜΔ=Z=
3
AB
K
Θέμα 4ο
=
α=)=ΒΔ=Z=ΔΜ==και ΕΔ=Z=ΔΖ=,=άρα διαγώνιες==
διχοτομούνται άρα ΒΕΜΖ παραλληλόγραμμοK=
Άρα Ε=,=Μ μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχαK=Άρα=
ΕΜ=//=ΑΓ και ΑΓ κάθετη στην ΑΒ=,=άρα ΕΜ κάθετη=
στην ΑΒ=,=οπότε το ΒΕΜΖ είναι παραλληλόγραμμο==
και έχει μια ορθή γωνία=,=άρα ορθογώνιοK=
=
=
=
=

25. =
=
=
β=)=Συγκρίνω τα ορθογώνια ΑΕΜ=,=ΒΕΖK=
Έχουν ΑΕ=Z=ΕΒ=EΕ μέσο της ΑΒ)=,=ΕΜ=Z=ΒΖ=Eτο ΒΕΜΖ ορθογώνιο)=και τα δυο τρίγωνα είναι==
Ορθογώνια άρα ίσα=K=
=
γ=)=ΒΕ=Z=//=ΜΖ διότι το ΒΕΜΖ ορθογώνιο και ΑΕ=Z=ΒΕ=,=άρα ΑΕ=//=Z=ΜΖ=,=οπότε==
το ΑΕΖΜ είναι παραλληλόγραμμοK=

26. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝI
ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΣΗ ΠK & ΔK ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ
ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΕΛΛΑΣ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ …ΜΕΝΕΛΑΟΣ ΛΟΥΝΤΕΜΗΣ»
Σχολικό έτος: OMN4-OMN5
Περίοδος: Μαΐου-Ιουνίου
Μάθημα: Άλγεβρα
Τάξη: Β΄
Ημερομηνία: MP / M6 / N5
Ονοματεπώνυμο:…………………………KK
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
Θέμα Nο
α )==Έστω πολυώνυμο Ρ(x)=και ρ πραγματικός αριθμόςK=Να αποδειχθεί η πρόταση=:==
«=Αν Ρ(ρ)===M=I=τότε το πολυώνυμο=Ρ(x)=έχει παράγοντα το πολυώνυμο=x=–=ρ=K»=
= = = = = = Μονάδες=1M=
β ) Να χαρακτηριστούν στην κόλλα σας==με=Σωστό EΣ) ή=Λάθος EΛ)==καθεμία απ τις=
προτάσεις που ακολουθούν==:==
=
NK= Αν είναι συνx===M=I=τότε=x====κπ=I=κ= ZÎ = Σ========Λ=
OK=
Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης δυο πολυωνύμων είναι=
πολυώνυμο μηδενικού βαθμού=I=τότε η διαίρεση λέγεται=
τέλειαK=
Σ========Λ=
PK=
Ένα γραμμικό σύστημα=OχO=αν έχει περισσότερες από μια=
διαφορετικές λύσεις=I=τότε θα έχει άπειρεςK=
Σ========Λ=
4K=
Η λογαριθμική συνάρτηση=f(x)===logx=έχει πεδίο ορισμού το=
oK=
Σ========Λ=
RK= Ισχύει ότι=:=ημ2α===Oημασυνα= Σ========Λ=
Μονάδες=5x3=15=
Θέμα Oο
Για τη γωνία α ισχύει ότι=:=Rσυν2α=-=N4συνα=-T==M=K=
α ) να αποδειχθεί==ότι=συνα===-
5
3
====
Μονάδες=13=
β ) αν επιπλέον ισχύει==N8M0
≤ α ≤=OTM=0
I=να υπολογιστούν οι==τριγωνομετρικοί==
αριθμοί=:=ημ2αI==συν2αI==εφ2αK=
Μονάδες=12=
=
Θέμα Pο
Δίνεται το=Ρ(x)==α·x3
H(β-N)·xO
-P·x-O·βH6===I==όπου αI=β= RÎ K=
=
α ) αν ο αριθμός=N=είναι ρίζα του Ρ=(x)=και το υπόλοιπο==της διαίρεσης του Ρ(x)=με το==
x=HN==είναι ίσο με=O=I==τότε να δειχθεί ότι==α==O=και β=4K=
Μονάδες=12=
=
β ) για τις τιμές των α=Iβ που βρήκατε παραπάνωI==να λυθεί η ανίσωση==Ρ(x)=≤=M=K=
Μονάδες=13=

27. Θέμα 4ο
=
=
Δίνεται η συνάρτηση==f(x)===ln(P-ex
)==K=
=
α ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού τηςK=
= = = = = = Μονάδες=7=
=
β ) Να λυθεί η εξίσωση=:=f(x)===N=
= = = = = = Μονάδες=8=
=
γ ) Να λυθεί η ανίσωση=:==M=≤=f(x)=≤=lnO=
= = = = = = Μονάδες=1M=
=
=
=
ΟΔΗΓΙΕΣ Eγια τους εξεταζομένους)
NK Να απαντήσετε σε όλα τα ΘέματαK=
OK Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτήK=
PK Διάρκεια εξέτασης=:=δυο=(O)=ώρες μετά τη διανομή των θεμάτωνK=
=
=
=====================
============== ==Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ
= = = = = = = = ====NK=ΚΟΣΟΓΛΟΥ ΙΟΡΔΑΝΗΣ==
=
=
====OK=ΚΟΥΚΛΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ
=================== = = = = = ============

28. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β΄ OMN5
Θέμα Nο
ΑK Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα=NP4=απόδειξη ΘεωρήματοςK=
ΒK Nà Λ= Oà Λ== PàΣ= = 4àΛ= = RàΣ=
=
Θέμα Oο
α=)=Rσυν2α=-=N4συνα=-T==M=Û R(OσυνO
α-N)=–=N4συνα=–=T===M=ÛNMσυνO
α-N4συνα-NO=M=
Û5συνO
α-Tσυνα-6=M=(N)=I=θέτω συνα===ω=I=τότε η=(N)=γίνεται=:=RωO
-Tω-6=M=I=Δ===N69=
ωN===O==ή ωO===-=
5
3
==I=άρα συνα===O=(Απορρίπτεται)=ή συνα===-=
5
3
(Δεκτή)=
β=)=Θα βρώ πρώτα το ημα=K=ημO
α+συνO
α===N=Û ημO
α===
O5
N6
=Ûημα===–
5
4
I=όμως==
N8M0
≤ α ≤=OTM=0
I=άρα ημα===-=
5
4
I====ημ2α===Oημασυνα===
O5
O4
=I=συν2α===OσυνO
α-N===-=
O5
T
=
εφ2α===-=
T
O4
=
Θέμα Pο
=
αK =N=είναι ρίζα του Ρ=(x)= ÛΡ(N)===M=Ûα+β-N-P-O·βH6===M=== Ûα=–=β===-O=(O)=
το υπόλοιπο==της διαίρεσης του Ρ(x)=με το==x=HN==είναι ίσο με=O=ÛΡ(-N)===O=Û=
-αH(β-N)=HP-O·βH6====O= Û-α=–β===-6=Û α+β===6=(P)K=
Προσθέτω=(O)H(P)=Û=O=α==4=Û α===OK=Αντικαθιστώ στην=(O)=και παίρνω β=4==
βK Ρ(x)===M=Û=O·x3
HP·xO
-P·x-O===M=Û(χ-N)(OχO
HRχHO)===M=Û=
χN===NI=χO===-O=I=χP===-MKR=====
=
Θέλουμε το πρόσημο της==Ρ(x)=I====Ρ(x)=≤=M=Û=(χ-N)(OχO
HRχHO)=≤=M=====
====-∞== =========== = = =-O= = ============-MKR= = =========N=============H∞=
χ-N= -= -= -= H=
2χO
HRχHO= H= -= H= H=
Ρ(x)= -= H= -= H=
=
Άρα==xÎ(-∞=I=-O=]=Èx-MKR=I=N]==
Θέμα 4ο
α=)=Πρέπει και αρκεί=:=P-ex
=[=M=Û=ex=
=Y=P=Û χ=Y=lnP=
β=)=ln(P-ex
)===N=I=D===(-∞=I=lnP)=
P-ex
===e=Ûx===ln(P-e)==Δεκτή από το=DK=
=
γ=)=ln(P-ex
)≥=M=I=D===(-∞=I=lnP) ÛP-ex
≥=NÛ=ex=
≤=O=Û χ ≤=lnO=
ΚΑΙ==ln(P-ex
)=≤==lnO=Û=P-ex
≤=O= Ûex
≥=N=Ûχ ≥=MK=
Άρα λύση της ανίσωσης τα χ που ανήκουν στο==xM=I=lnO]=
=

29. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝI
ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΣΗ ΠK & ΔK ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ
ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΕΛΛΑΣ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ …ΜΕΝΕΛΑΟΣ ΛΟΥΝΤΕΜΗΣ»
Σχολικό έτος: OMN4-OMN5
Περίοδος: Μαΐου-Ιουνίου
Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη: B΄
Ημερομηνία: N6 / M6 / N5
Ονοματεπώνυμο:…………………………KK
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
Θέμα Nο
α )==Να αποδειχθεί ότι=:=…=Αν μια γωνία ενός τριγώνου είναι ίση ή παραπληρωματική==
με μια γωνία ενός άλλου τριγώνου=I=τότε ο λόγος των εμβαδών των δυο τριγώνων==
είναι ίσος με το λόγο των γινομένων των πλευρών που περιέχουν τις γωνίες=
αυτέςK»===
= = = = = = (=μονάδες=10)=
=
β ) Να χαρακτηριστούν στην κόλλα σας==με=Σωστό EΣ) ή=Λάθος EΛ)==καθεμία απ τις=
προτάσεις που ακολουθούν==:==
=
NK= Αν δύο τρίγωνα είναι όμοια τότεI=ο λόγος των εμβαδών τους=
ισούται με το λόγο της ομοιότητας=
Σ========Λ=
OK=
Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις γωνίες=
του ίσεςK=
Σ========Λ=
PK=
Το απόστημα==α4==I=τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο=
ακτίνας=o=δίνεται από τον τύπο=: ====α== 4 Ro= =
Σ========Λ=
4K=
Η διαφορά των τετραγώνων δύο πλευρών ενός τριγώνου=
ισούται με το διπλάσιο γινόμενο της τρίτης πλευράς επί την=
προβολή της αντίστοιχης διαμέσου πάνω στην πλευρά αυτήK=
Σ========Λ=
RK=
Η δύναμη του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο=EΟIo)=ορίζεται=
με τον τύπο:=
Ρ
R)EOIΔ ==oO
=H=OΡO
K=
Σ========Λ=
(=μονάδες=3·5=15=)=
Θέμα Oο
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και σημείο Μ της πλευρά ΑΒ=
αK Να αποδειχθεί ότι ισχύει:===ΕΜΔΓ=====ΕΑΜΔ=H=ΕΒΜΓ=
= = = = = = =(=μονάδες=15=)=
βK Να βρεθεί το εμβαδό του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔI=όταν==ΕΜΔΓ===8=τ.μ=
= = = = = = =(=μονάδες=10=)=
= = = = = = =
=
Α Β
ΓΔ
Μ

30. =
Θέμα Pο
=
Τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ΑΒ=6I=ΒΓ=NO=και ΓΑ=8K=
αK Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο αυτό είναι αμβλυγώνιοK=
= = = = = = =(=μονάδες=10)=
βK Να υπολογιστεί το μήκος της διαμέσου ΑΜK=
= = = = = = =(=μονάδες=8=)=
γK Να υπολογιστεί το μήκος της προβολής της διαμέσου ΑΜ στην πλευρά ΒΓK=
=
= = = = = = =(=μονάδες=7=)=
Θέμα 4ο
=
=
Έστω μια πλατεία σχήματος τετραγώνου ΑΒΓΔ πλευράς αK=Στην κορυφή Α υπάρχει=
ποτιστήρι που καλύπτει==κυκλικό τομέα==κέντρου Α και ακτίνας ΑΒK=Στην κορυφή Γ υπάρχει=
άλλο ποτιστήρι που καλύπτει κυκλικό τομέα ο οποίος φαίνεται στο σχήμαK=Να=
υπολογιστούν συναρτήσει του α=:=
α=)==η διαγώνιος του ΑΒΓΔ=K=
= ====(=μονάδες=8=)=
= ==========
=
β=)=το εμβαδόν του κυκλικού τομέα που=
καλύπτει το ποτιστήρι που==
βρίσκεται στο σημείο Α=K= = =
= = = = = ======
==================(=μονάδες=7)=
=
=
γ=)=το εμβαδόν της πλατείας που μένει=
απότιστοK= = = = = =
= ======(=μονάδες=10=)
ΟΔΗΓΙΕΣ Eγια τους εξεταζομένους)
NK Να απαντήσετε σε όλα τα θέματαK=
OK Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτήK=
=====================
============== ==Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ
NK= Κοσόγλου Ιορδάνης=
=
=
OK= Κούκλας Δημήτριος=
======================== = = = = = ============

31. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β΄ OMN5
Θέμα Nο
ΑK Θεωρία σχολικού βιβλίου=(=σελίδα=223==)K=
ΒK Nà Λ= Oà Λ== PàΛ= = 4àΣ= = RàΛ=
Θέμα Oο
=
=
α=)=Ξεκινώ από το=Oο
μέλοςK=
ΕΑΜΔ=H=ΕΒΜΓ===
O
N
ΑΜ·υ=H=
O
N
ΜΒ·υ===
O
N
·υ·EΑΜ+ΜΒ)===
===ΕΜΔΓ=K=
=
β=)=EΑΒΓΔ)===ΕΑΜΔ=H=ΕΒΜΓ=H=ΕΜΔΓ===O=ΕΜΔΓ===N6=τ.μ
Θέμα Pο
ΑΒ=6I=ΒΓ=NO=και ΓΑ=8=
α=)=ΒΓ=>=ΓΑ=>=ΑΒ==I=ΒΓO
===N44==και==ΑΒO
=H=ΑΓO
===P6=H=64===NMM=I=είναι=:==
ΒΓO
=>=ΑΒO
=H=ΑΓO
= Û = Aˆ =>=9MM
=
=
β=)=Από Θεώρημα Διαμέσων Ι=
γO
=HβO
===OΑΜO
=H=
O
O
a
Û=
P6=H=64===OΑΜO
=H=TO=Û=N4===ΑΜO
= Û=
ΑΜ=== N4 μK=
γ=)=Από Θεώρημα Διαμέσων ΙΙ=I=βO
=–=γO
===O·α·ΜΔ= Û==
64=–=P6===O4ΜΔÛΜΔ===
6
T
O4
O8
= μK=
Θέμα 4ο
=
α=)=ΑΓ===α O από Π.Θ στο ΑΓΒ==I=ΓΕ===ΑΓ=–=ΑΕ===α O =-=α=
β=)=EΑ D
))
B )===
4P6M
9M O
M
MO
papa
= τ.μ=
γ=)=EΑΒΓΔ)===αO
===I=και===
εκυκλικου==τομεα με κεντρο Γ===
4
)OE
P6M
9M)OE O
M
MO
aapaap -
=
-
I=
Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι=:=
αO
=-=
4
O
pa
-=
4
)OE O
aap -
====
=……===
O
)]OOEN[O
--pa
τ.μ=
Α Β
ΓΔ
Μ

32. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝI
ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΣΗ ΠK & ΔK ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ
ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΕΛΛΑΣ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ …ΜΕΝΕΛΑΟΣ ΛΟΥΝΤΕΜΗΣ»
Σχολικό έτος:OMN4-OMN5
Περίοδος: Μαΐου-Ιουνίου
Μάθημα: Μαθηματικά
Τάξη: Β΄ Θετικών Σπουδών
Ημερομηνία: O6 / M5 / N5
Ονοματεπώνυμο:………………………………………………………………………
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ=
Θέμα Nο
Α )==Δίνονται τα διανύσματα=a===ExN=I=yN)==και== b ===ExO=I=yO)K=Να αποδειχθεί==
η ισοδυναμία=:========a=//= b ==Û ==λN===λOK=
Μονάδες=1M=
Β ) Να χαρακτηριστούν στην κόλλα σας==με=Σωστό EΣ) ή=Λάθος EΛ)==καθεμία απ τις=
προτάσεις που ακολουθούν==:==
=
NK=
a ┴= b = 0)IdetE =Û ba K= Σ========Λ=
OK=
Η ευθεία με εξίσωση:=ΑxHΒyHΓ===M=είναι παράλληλη στο διάνυσμα===
k ===EΒ=I=-=Α)K=
Σ========Λ=
PK= Η ευθεία==y===yM==I=έχει συντελεστή λ===M=K= Σ========Λ=
4K= Αν=a· b == b×a =I=τότε τα=a=I= b είναι ομόρροπαK= Σ========Λ=
5K=
Η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής=:=yO
===Opx==σε ένα=
σημείο ΜExNI=yN)=είναι=:=yyN===pEx=-=xN)K=
Σ========Λ=
Μονάδες=5·3=15
Θέμα Oο
Δίνονται δυο διανύσματα=a==I= b του επιπέδου με μέτρα= O=a =I= 3=b και==
γωνία=E a=I=b )===NOMM
K==Αν=g ===P·a=H=O· b και==d ===a=-=b =I=να υπολογιστούν=:=
=
ΑK Το μέτρο του=g και το εσωτερικό γινόμενο=g ·d =
Μονάδες=11=
ΒK Η γωνία των διανυσμάτων=a=I=g K=
Μονάδες=6=
ΓK Η προβολή του=d πάνω στο=g K======
Μονάδες=8=

33. Θέμα 3ο
Δίνεται η εξίσωση=:=χO
HyO
H=Oχy=-Oχ=-Oy-P===MK=
=
ΑK Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δυο παράλληλες ευθείεςK=
Μονάδες=8
ΒK Δίνονται οι ευθείες==εN=:=χH=y===P=και εO=:=χ=H=y===-NK=Να βρείτε την απόσταση των=
ευθειώνK=
Μονάδες=7
ΓK Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των παραπάνω ευθειών εN=I=εO=K=
Μονάδες=1M
Θέμα 4ο
=
=
Σε ένα καρτεσιανό σύστημα Οχy==στο επίπεδο=I=δίνεται η εξίσωση=:==
xO
=HyO
=–=Oλx=HλO
=–=5===M===EN)=I=όπου λ RÎ K=
=
ΑK Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του λ η εξίσωση=EN)=παριστάνει κύκλοK=
Μονάδες=8=
ΒK Για λ===N=I=να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου καθώς και η ακτίνα του κύκλου=
που προκύπτει από την εξίσωση=EN)K=
= = = = = = = = = Μονάδες=8===========
=
ΓK Για λ===N=I=να βρεθούν οι συντεταγμένες των κοινών σημείων της ευθείας=y===x=και του=
κύκλου ο οποίος προκύπτει από την εξίσωση=EN)K=
= = = = = = = = = Μονάδες=9=
=
ΟΔΗΓΙΕΣ Eγια τους εξεταζομένους)
NK Να απαντήσετε σε όλα τα ΘέματαK=
OK Να χρησιμοποιήσετε=μπλε ή=μαύρο στυλόK=
3K Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτήK=
=
=====================
===================Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ
ΚΟΣΟΓΛΟΥ ΙΟΡΔΑΝΗΣ=
=================== = = = = = ================ΠΕMP=ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ=

34. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β΄ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ OMN5
Θέμα Nο
ΑK Θεωρία σχολικού βιβλίου=K=
ΒK Nà Λ= Oà Σ== PàΣ= = 4àΣ= = 5àΛ=
=
Θέμα Oο
Είναι=:===συνE aI b )===-MK5===I====a·b ===O·P·E-MK5)===-P=
ΑK =+=
OO
O3 bag 9aO
H4 b O
HNOa b ===P6HP6HNO·E-P)===P6=I=άρα= g =6=
g ·d ===EP·a=H=O· b )·Ea=-=b )===NO=-N8=HP===-P==
ΒK έστω φ η γωνία τότε=:=συνφ===
O
N
NO
6
6O
6NO
==
×
-
=
g
g
a
a
=I=φ===6MM
=
ΓK Είναι προβ
g
d == g
g
dg
×
×
)E O ====
NO
N-
·=g =====
4
N-
=·a-
6
N
· b =
Θέμα 3ο
ΑK χ O
+ψ O
HOχψ-Oχ-Oψ-P=M=EN)Û (χ+ψ)O
=-OEχ+ψ)=–=P===M=I=θέτω=ω===χ+ψ=
ÛωO
-Oω-P===M=Û ω===P==ή==ω===-N=I=άρα===
χ+ψ===P===ή==χ+ψ===-N===με λ===-N=άρα η=EN)=παριστάνει δυο παράλληλεςK
ΒK Έστω το σημείο=AEMIP)=της εN=I=τότε η απόσταση των δυο ευθειών είναι=:==
=dEA=I=εO)=== OO
O
4
O
N30
==
++
K=
ΓK Από το Α φέρνω κάθετη με συντελεστή λ==N=I=άρα έχει εξίσωση εP=:=ψ===P=HχK=Η εP=
τέμνει την εO στο σημείο που προκύπτει από τη λύση του συστήματος εO=I=εP και το οποίο=
είναι=:=ΒE-OIN)=K=Το μέσο Μ του ΑΒ είναι=:=E-NIO)==άρα η εξίσωση της μεσοπαράλληλης==των=
εN=I=εO είναι=:==ψ=–=O===-NEχHN)=Û ψ=–=O====-χ=-N=Ûψ===-χ=HN==ή==ψ=H=χ===N=
=
Θέμα 4ο
xO
=HyO
=–=Oλx=HλO
=–=5===M=EN)=
ΑK είναι της μορφής=xO
=HyO
=HΑx=H=Βx=H=Γ===M===I=όπου Α===-Oλ=I=Β===M=I=Γ===λO
=–=5K==
Για να παριστάνει εξίσωση κύκλου πρέπει και αρκεί==ΑO
=HΒO
=-4Γ=>=M=Û==
4λO
=–=4EλO
-5)=>=M=ÛOM=>=M=που ισχύειK=
ΒK Για λ=N=η=EN)=γίνεται=:=xO
=HyO
=–=Ox=-4===M===με κέντρο ΚE )
O
I
O
BA --
==EN=I=M)=
και==ρ=== 5OO0 = =
ΓK Οι συντεταγμένες προκύπτουν από τη λύση του συστήματος=:==
ï
î
ï
í
ì
=
=--+
xy
xyx 04OOO
=Û2χO
=-Oχ=–=4===M=Û χO
=–=χ=–=O===M=Û χ===O=ή χ===-N=
Άρα τα σημεία τομής είναι=:=ΑEOIO)=και ΒE-NI-N)=

35. =
=

36. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝI
ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΣΗ ΠK & ΔK ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ
ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΕΛΛΑΣ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ …ΜΕΝΕΛΑΟΣ ΛΟΥΝΤΕΜΗΣ»
Σχολικό έτος: OMN4-OMN5
Περίοδος: Μαΐου-Ιουνίου
Μάθημα: Μαθηματικά & Στοιχεία
Στατιστικής
Τάξη: Γ΄
Ημερομηνία: NO / M6 / N5
Ονοματεπώνυμο:…………………………KK
=
ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΩΝ=
=
Θέμα=Nο
==
=
Α=)==Να αποδειχθεί ότι=:=«=Η παράγωγος της συνάρτησης==fExF=Z=xO
==είναι=:==
f΄ExF=Z=ExO
)΄=Z=Ox=»K=
Μονάδες=1M=
=
Β=)==Να χαρακτηριστούν στην κόλλα σας==με=Σωστό=EΣ) ή=Λάθος=EΛ)==καθεμία απ τις=
προτάσεις που ακολουθούν==:==
NK= Αν Α=I=Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω=I=τότε το=
ενδεχόμενο Α Ç Β πραγματοποιείται=I=όταν πραγματοποιείται το=
Α==ή==το==ΒK=
Σ========Λ=
OK= (συνxF΄=Z=-=ημx= Σ========Λ=
PK= Η διακύμανση και το εύρος είναι μέτρα διασποράςK= Σ========Λ=
4K= Ισχύει ότι=:==ΡEÆF=Z=NK= Σ========Λ=
5K= Ένα δείγμα είναι ομοιογενές=I=όταν=CV==[==NMBK= Σ========Λ=
Μονάδες=5·3=15=
Θέμα=Oο
==
=
Δίνεται η συνάρτηση==fExF=Z=-=xP
=H=P·xO
==ENF=K=
=
Α.==Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης=fExFK=
Μονάδες=7=
Β.==Να μελετηθεί η συνάρτηση=fExF=ως προς τη μονοτονίαK=
Μονάδες=1M=
Γ.==Nα βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της=fExF=στο σημείο=
με τετμημένη=NK=
Μονάδες=8=
=
Θέμα=Pο
==
=
Στο σύλλογο των καθηγητών ενός Λυκείου το=55B=είναι γυναίκες=I=το=4MB=είναι φιλόλογοι=
και το=PMB=είναι γυναίκες φιλόλογοιK=Επιλέγουμε στην τύχη έναν καθηγητήK=Θεωρούμε τα=
ενδεχόμεναI===Γ=:={=ο καθηγητής που επιλέγουμε να είναι γυναίκα=}===και===
Φ=:={=ο καθηγητής που επιλέγουμε να είναι φιλόλογος=}K==
Να υπολογιστούν οι πιθανότητες=:=
=
Α.======Ρ(Γ È ΦF=
Μονάδες=9=
Β.======Ρ(ΓÇ Φ΄F= = = = =
Μονάδες=9=
Γ.======Ο καθηγητής που επιλέξαμε να είναι==άνδρας=ή=φιλόλογος=
Μονάδες=7=
=

37. =
=
Θέμα=4ο
==
=
Μελετάμε ένα δείγμα μαθητών από το Νομό Πέλλας ως προς το χρόνο=Eσε ώρεςF=I=που=
επισκέπτονται τον ιστότοπο της Μαθηματικής Εταιρείας μέσα σε ένα μήναK=Τα=
αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν ότι οι ώρες επίσκεψης κάθε μαθητή ανήκουν στο=
διάστημα=xN=I=V=FK=Ομαδοποιούμε τα αποτελέσματα σε=4=κλάσεις=Eίσου πλάτουςFK=Τα=
ιστογράμματα της κατανομής σχετικών συχνοτήτων=fi=B=και αθροιστικών συχνοτήτων=Ni=
του δείγματος παρουσιάζονται στα παρακάτω σχήματα από τα οποία=λείπουν=
ορθογώνιαK=Δίνεται επίσης ότι στο κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων του δείγματος=I==
η γωνία που αντιστοιχεί στον κυκλικό τομέα της τρίτης κλάσης είναι=TOM
K=
=
=
=
=
Α.==Να συμπληρωθεί στην κόλλα σας ο παρακάτω πίνακαςK==
=
=
=

38. =
=
=
x=-=)= xi= νi= Ni= fiB= FiB=
N-P= = = = = =
P-5= = = = = =
5-T= = = = = =
T-9= = = = = =
Σύνολα= = = = = =
=
============ = = = = = = Μονάδες=11=
=
Β.==Nα υπολογιστεί το ποσοστό των μαθητών που επισκέπτονται τον ιστότοπο==
το πολύ=6=ώρες το μήναK===== = = = = = = = =
= = = = = = = = Μονάδες=6=
=
=
Γ.==Να βρεθεί η διάμεσος του δείγματοςK====
= = Μονάδες=8=
=
=
=
=
ΟΔΗΓΙΕΣ==Eγια τους εξεταζομένους)=
=
N.= Να απαντήσετε στην κόλλα σας σε όλα τα ΘέματαK=
O.= Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτήK=
P.= Διάρκεια εξέτασης δυο=EOF=ώρες μετά τη διανομή των θεμάτωνK==========
===================
=
==Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ
ΚΟΣΟΓΛΟΥ ΙΟΡΔΑΝΗΣ=
=================== = = = = = ========ΠΕMP=ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

39. EΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ΄ OMN5
Θέμα=Nο
==
Α.==σχολικό βιβλίο σελίδα=O8-OV=
Β.==NàΛ= OàΣ= = PàΣ= = 4àΛ= = 5àΛ=
=
Θέμα=Oο
===fExF=Z=-=xP
=H=P·xO
===
=
Α.==f΄ExF=Z=-PχO
H6·χ=
Β.==f΄ExF=Z=M=ή=-PχO
H6·χ=ZM=ή χO
=–=Oχ=Z=M=ή==χ·Eχ-OF=Z=M=ή===
χ=Z=M=ή χ=Z=O=I=στο=E-∞IM]=και στο=xOIH∞F=είναι γνησίως=
φθίνουσα και στο=xMIO]=είναι γνησίως αύξουσαK=
=
Γ.==fENF=Z=O=I=f΄ENF=Z=P==I=άρα==ε=:=y=–=fENF=Z=f΄ENF·Ex-NF=
Þ ε=:=y=–=O=Z=Px-P==Þ =ε=:==y===Px=-=N=
=
Θέμα=Pο
==
=
Γ=:={=το ενδεχόμενο ο καθηγητής που επιλέγουμε να είναι γυναίκα=}=
Φ=:={=το ενδεχόμενο ο καθηγητής που επιλέγουμε να είναι φιλόλογος=}=
=
Α.==Ζητείται η Ρ(ΓÈ ΦF=Z=Ρ(ΓF=HΡ(ΦF=–=Ρ(ΓÇ ΦF=Z=MK55=H=MK4=–=MKP=Z=MK65=ή==65B=
Β.= Ζητείται η Ρ(ΓÇ Φ΄F=Z=Ρ(Γ-ΦF=Z=Ρ(ΓF=–=Ρ(ΓÇ ΦF=Z=MK55=–=MKP=Z=MKO5==ή=O5B=
Γ.==Ζητείται η Ρ(Γ΄=È ΦF=Z=Ρ(Γ΄F=H=Ρ(ΦF=–=Ρ(Γ΄Ç ΦF=Z=N=–=Ρ(ΓF=HΡ(ΦF=–=Ρ(Φ-ΓF=Z==
Z=N=–=Ρ(ΓF=HΡ(ΦF=–Ρ(ΦF=H=Ρ(ΦÇ ΓF=Z=N=–=MK55=H=MKP=Z=MK45=H=MKP=Z=MKT5==ή=T5=B=
=
Θέμα=4ο
==
Α.===
x=-=)= xi= νi= Ni= fiB= FiB=
N-P= O= 4MM= 4MM= 4M= 4M=
P-5= 4= O5M= 65M= O5= 65=
5-T= 6= OMM= 85M= OM= 85=
T-9= 8= N5M= NMMM= N5= NMM=
Σύνολα= = NMMM= = NMM= =
=
αP=Z=P6MM
·fP===Þ =TOM
=Z=P6MM
·fP====Þ =fP=Z=MKO=
=
Β.=={=To=ποσοστό των μαθητών που επισκέπτονται τον ιστότοπο το πολύ=6=ώρες=====
======το μήνα=}=Z=FOB=H=
O
%3f
=Z=65=H=NM=Z=T5B=
Γ.=Tα τρίγωνα ΕΒΑ και ΕΓΔ είναι όμοιαK=Άρα έχουν πλευρές ανάλογες=K=
=
GD
=
G
BA
E
EB
Þ =NM·O=Z=ΒΑ·O5=Þ ==
=
ΒΑ=Z=MK8==I=άρα===
=
δ=Z=P=H=MK8=Z=PK8

40. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝI
ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΣΗ ΠK & ΔK ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ
ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΕΛΛΑΣ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ …ΜΕΝΕΛΑΟΣ ΛΟΥΝΤΕΜΗΣ»
Σχολικό έτος:OMN4-OMN5
Περίοδος: Μαΐου-Ιουνίου
Μάθημα: Μαθηματικά
Τάξη: Γ΄ Θετική - Τεχνολογική
Ημερομηνία: O6 / M5 / N5
Ονοματεπώνυμο:………………………………………………………………………
ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
Θέμα Nο
Α )==Να αποδειχθεί ότι αν μια συνάρτηση=fEx)=είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο=xο=I==
τότε είναι και συνεχής στο=xοK=
Μονάδες=6=
Β ) Να διατυπωθεί το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού ΛογισμούK=EΘ.Μ.Τ)=
Μονάδες=4=
Γ ) Να χαρακτηριστούν στην κόλλα σας==με=Σωστό EΣ) ή=Λάθος EΛ)==καθεμία απ==
τις προτάσεις που ακολουθούν==:==
=
NK= Αν μια συνάρτηση=fEx)=είναι γνησίως αύξουσα στο Δ και=
παραγωγίσιμη στο Δ=I=τότε=f΄Ex)=[=M=για κάθε χ στο ΔK=
Σ========Λ=
OK= Αν= 0)Elim
0
<>-
xfxx
I=τότε=fEx)=Y=M=κοντά στο=xοK= Σ========Λ=
PK=
Μια συνεχής συνάρτηση=fEx)==διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα=
διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της=fEx)=χωρίζουν το=
πεδίο ορισμού τηςK=
Σ========Λ=
4K=
Οι γραφικές παραστάσεις=C=και=C΄ των συναρτήσεων=fEx)=και=f-N
Ex)=
είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία=y=x=που διχοτομεί τις γωνίες=
xly=I=xly΄K=
Σ========Λ=
RK=
Αν μια συνάρτηση=fEx)=ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του=
θεωρήματος του=oolle=σε ένα διάστημα=xα,βz=I=τότε η=fEx)=είναι=
γνησίως μονότονηK=
Σ========Λ=
Μονάδες=5·3=15
Θέμα Oο
Έστω μια συνάρτηση=fEx)=:=oà=o=για την οποία ισχύουν=:==
·= )xEflim
Mx >-
===λ= oÎ ==
·= fEx)ημ2χ=£χP
συν
x
N
=I=για κάθε==χ= oÎ
*
===
α=)=Να δειχθεί==ότι= M)
x
N
συνxElim O
Mx
=
>-
= =
Μονάδες=1M=
=
β=)=Να αποδειχθεί ότι==λ===M=
=
Μονάδες=15=

41. Θέμα Pο
=
Δίνεται η συνάρτηση=fEx)==με τύπο=:=fEx)===4· O-x
e H=PK=
=
α=)=Να βρεθεί το πεδίο ορισμού τηςK=
Μονάδες=7=
β=)=Να βρεθεί το σύνολο τιμών τηςK=
Μονάδες=1M=
γ=)=Να ορίσετε την=f-N
Ex)K=
Μονάδες=8
Θέμα 4ο
=
=
Έστω=fEx)=παραγωγίσιμη στο διάστημα=xMIOMNRz=με=fEM)=M=και=fEOMNR)=OMNRK==
Να αποδειχθεί ότι==:==
α=)=υπάρχει ένα τουλάχιστον=xM=Î=EMIOMNR)=τέτοιο ώστε να ισχύει=:==
fExM)=H=xM===OMNR=
Μονάδες=9=
=
β=)=υπάρχουν=τουλάχιστον==ξN=I=ξO=Î=EMIOMNR)=τέτοια ώστε=:==f΄(ξN)·f΄(ξO)===NK=
=
= = = = = = = = Μονάδες=16=
=
ΟΔΗΓΙΕΣ Eγια τους εξεταζομένους)
NK Να απαντήσετε σε όλα τα ΘέματαK=
OK Να χρησιμοποιήσετε=μπλε ή=μαύρο στυλόK=
PK Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτήK=
=
=====================
===================Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ
ΚΟΣΟΓΛΟΥ ΙΟΡΔΑΝΗΣ=
=================== = = = = = ================ΠΕMP=ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ=

42. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ΄ ΚΑΤ OMN5
Θέμα Nο
Α – ΒK Θεωρία σχολικού βιβλίου=K=
ΓK Nà Λ= Oà Σ== PàΣ= = 4àΣ= = RàΛ=
=
Θέμα Oο
α=)=
OOOOO NN
x
x
xxx
x
x ££-Û£ sunsun =I=και από το κριτήριο παρεμβολής==
προκύπτει=:= M)
x
N
συνxElim O
Mx
=
>-
=
β=)=Για χÎE-
4
p
IM)=I=τότε ημ2χ=Y=M=και=fEx)=≥=
x
x
x
x
x
x
x
O
O
O
N
O
N O3
hm
sun
hm
sun
= =I=άρα λ≥=M=EN)==
Για χÎEMI=
4
p
)=I=τότε ημ2χ=[=M=και=fEx)£=
x
x
x
x
x
x
x
O
O
O
N
O
N O3
hm
sun
hm
sun
= =I=άρα λ≤=M=EO)==
Επειδή το όριο της=fEx)=υπάρχει και είναι λ==I=από=EN)=I=EO)=είναι λ=MK=
Θέμα 4ο
α=)=θεωρώ την=gEx)===fEx)H=x=–=OMNR=I=συνεχή στο=xMIOMNRz=ως πράξεις συνεχών==και==
gEM)===-OMNR=YM===I=gEOMNR)===OMNR=[=M=I=άρα ισχύουν οι προυποθέσεις του ΘKBolzano=
=
Συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένα=xοÎEMIOMNR)=:=gExο)===M=Û =fExM)=H=xM===OMNR=
= =
β=)=Εφαρμόζω ΘΜΤ στα=xMI=xο=z=και=xxο==I=OMNRz=για τη συνάρτηση=gEx)K=
Ισχύουν οι προυποθέσεις του Θ.Μ.Τ άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα===
ξN=ÎEMI=xο)ÌEMIOMNR)=και ένα ξO=ÎE=xοIOMNR)=ÌEMIOMNR)I=τέτοια ώστε να ισχύουν=:==
=
g΄(ξN)===
00
0
O0N5)0E)E
xx
gxg
=
-
=EN)=
=
g΄(ξO)===
00
O0N5
O0N5
O0N5
)E)O0N5E
xx
xgg o
-
=
-
-
=EO)=
Όμως=g΄Ex)===f΄Ex)=HN=I=για κάθε=x=I=άρα οι=EN)=I=EO)=γίνονται=:=f΄(ξN)===
0
0
O0N5
x
x-
EP)==
και=f΄(ξO)===
0
0
O0N5 x
x
-
E4)K=Πολλαπλασιάζω=EP)=I=E4)=και προκύπτει το ζητούμενοK=

43. Θέμα Pο
=
=
=

44. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣI ΕΡΕΥΝΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝI
ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΣΗ ΠK & ΔK ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ
ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΕΛΛΑΣ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ …ΜΕΝΕΛΑΟΣ ΛΟΥΝΤΕΜΗΣ»
Σχολικό έτος:OMN5-OMN6
Περίοδος: Μαΐου-Ιουνίου
Μάθημα: Άλγεβρα
Τάξη: A΄
Ημερομηνία: MO/M6/OMN6
Ονοματεπώνυμο:…………………………KK
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
Θέμα Nο
α=) Να χαρακτηριστούν στην κόλλα σας==με=Σωστό EΣ) ή=Λάθος EΛ)==καθεμία απ τις=
προτάσεις που ακολουθούν==:==
=
NK= Ισχύει==
22
a=a ==για κάθε πραγματικό αριθμό αK= Σ========Λ=
OK=
Αν για τους==πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύει=:==
αO
+βO
===0=I=τότε α===0=και β===0K=
Σ========Λ=
PK=
Ο ν-στος όρος Γεωμετρικής Προόδου με λόγο λ δίνεται από=
τον τύπο==αν===αN·λν-N
==K=
Σ========Λ=
4K=
Για κάθε α=I=β==και ν ακέραιο=I=ισχύει η ισοδυναμία=:=
α=>=β=
nn
b>aÛ =
Σ========Λ=
RK=
Το συμμετρικό του σημείου ΑENIO)=ως προς τον χχ΄ είναι το=
σημείο Α΄E-NIO)K=
Σ========Λ=
======== μονάδες=5·2=10=
=
=
β=)==Να αποδειχθεί η πρόταση=:=…Τρεις αριθμοί α=I=β=I=γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής=
προόδου αν και μόνο αν ισχύει==
2
g+a
=b »K=
= = = = = = = = = μονάδες=15=
Θέμα Oο
Δίνεται η συνάρτηση===fEx)===xO
=H=Ox=–=NR=I=x RÎ =
=
α=)=Να υπολογιστεί το άθροισμα=:=fE-N)=H=fE0)=H=fEN)=
=
β=)=Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της=fEx)=με τους άξονεςK=
=
=
μονάδες=10=+=15==
=
=

45. Θέμα Pο
α=) Δίνονται οι αριθμοί=:==O=I==χO
=I=N0EN-χ)=I=οι οποίοι με τη σειρά που δίνονται αποτελούν=
διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδουK=Αν==χ===N=να βρεθεί η διαφορά της παραπάνω=
προόδουK=
=
β=) Αν ο αριθμός=O=είναι ο τέταρτος όρος==α4==I=τότε να βρεθεί ο πρώτος όρος αN της=
προόδου καθώς και ο=98ος
όρος της προόδουK=
=
γ=)=Να βρεθεί το άθροισμα==αPN=H=αPO=H=………KKα98= της παραπάνω προόδουK= =
=
μονάδες=7+10+8==
=
= = = = = == = = =
Θέμα 4ο
=
=
Δίνεται η εξίσωση==Ex-O)O
===λ·E4x-P)=====με παράμετρο λ RÎ K=
α=)=Να γραφεί η παραπάνω εξίσωση στη μορφή==αxO
=H=βx=H=γ===0=I=α ≠=0K=
μονάδες=5=
=
β=)=Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού λ η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και=
άνισεςK=
= = = = = = = = = μονάδες=10=
γ=)=Αν=xN==I=xO= είναι οι ρίζες της εξίσωσης=I=στην περίπτωση που έχει ρίζες πραγματικές=
και άνισεςI==
= i=)=να υπολογιστούν τα==S===xN=H=xO= και==P===xN·xO= συναρτήσει του πραγματικού λK=
μονάδες=4=
=
= ii=)=να αποδειχθεί ότι η παράσταση===Α===E4xN=–=P)·E4xO=–=P) είναι ανεξάρτητη του=
λI=δηλαδή είναι σταθερήK=
μονάδες=6=
=
=
ΟΔΗΓΙΕΣ Eγια τους εξεταζομένους)
NK Να απαντήσετε σε όλα τα ΘέματαK=
OK Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτήK=
=
=
=
=====================
============== ==Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ== = = = = ΟΙ= =ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ= = = = = = = = =
NK= Κοσόγλου Ιορδάνης=
=
=
OK= Κοζαλάκης Ευστάθιος=
=
=

46. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α΄ OMN6
Θέμα Nο
αK Nà Σ= Oà Σ== PàΣ= = 4àΛ= = RàΛ=
βK Θεωρία σχολικού βιβλίου παράγραφος=RKO=
=
Θέμα Oο
=
α=)=fEx)===xO
=H=Ox=–=NR===
fE-N)===N=–=O=-NR===-NS==I=fE0)===0=H=0=-NR===-NR==I=fEN)===N=H=O=–=NR===-NO=
fE-N)=H=fE0)=H=fEN)===-NS=–=NR=–=NO===-=4P=
=
β=)=Η=fEx)===xO
=H=Ox=–=NR=έχει πεδίο ορισμού το=oK=
=
Σημεία τομής με==χχ΄==:=fEx)===0=Û xO
=H=Ox=–=NR===0= Û Δ===S4==I=xN===P==I=xO====-R=
Τα σημεία που τέμνει τον χχ΄ είναι τα=EPI0)=και=E-RI0)=
Σημεία τομής με==yy΄==:=Για=x===0=I=είναι από α)=ερώτημα=fE0)===0=H=0=-NR===-NR==I=άρα το=
σημείο είναι=E0=I=-NR)=
=
Θέμα Pο
α=)=O=I==χO
=I=N0EN-χ)===δ.ο Α.Π και χ=N=I=τότε==οι αριθμοί είναι=:=O=I=N=I=0K=
Η διαφορά προφανώς είναι=I=ω===N=–=O===-NK=
=
β=)=α4===O=Û αN=H=E4-N)E-N)===O=Û αN===R=
=
α98===αN=H=E98-N)E-N)===R=–=9T===-=9OK=
=
γ=)=αPN=H=αPO=H=………KKα98==== ))1(2910(
2
30
))1(9710(
2
98
SS 3098 -+--+=- ==
===-=4OSP=–=O8R===-=4R48=
=
Θέμα 4ο

48. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣI ΕΡΕΥΝΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝI
ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΣΗ ΠK & ΔK ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ
ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΕΛΛΑΣ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ …ΜΕΝΕΛΑΟΣ ΛΟΥΝΤΕΜΗΣ»
Σχολικό έτος: OMN5-OMN6
Περίοδος: Μαΐου-Ιουνίου
Μάθημα: Γεωμετρία
Τάξη: A΄
Ημερομηνία: N9/M5/OMN6
Ονοματεπώνυμο:…………………………KK
ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
Θέμα Nο
α ) Να χαρακτηριστούν στην κόλλα σας==με=Σωστό EΣ) ή=Λάθος EΛ)==καθεμία απ τις=
προτάσεις που ακολουθούν==:==
=
NK= Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούνταιK= Σ========Λ=
OK=
Αν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δυο εντός=
εναλλάξ γωνίες παραπληρωματικές=I=τότε είναι παράλληλεςK=
Σ========Λ=
3K= Ισχύει η ισοδυναμία=:=β=>=γ=Û Bˆ =<==Gˆ = Σ========Λ=
4K=
Μεσοκάθετος ενός τμήματος ΑΒI=είναι ο γεωμετρικός τόπος=
των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα του=
ΑΒK=
Σ========Λ=
5K=
Η διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουμε από την=
κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση με το μισό της=
υποτείνουσαςK=
Σ========Λ=
μονάδες=5·2=10=
=
β )==Να αποδειχθεί ότι=:=«=Αν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με=3MM
I=τότε==
η απέναντι πλευρά του είναι ίση με το μισό της υποτείνουσαςK»===
= = = = = = μονάδες=15=
Θέμα Oο
Δίνεται το παρακάτω σχήμαK==
=
α=)=Να υπολογιστεί η γωνία==χK==
=
=
β=)=Να υπολογιστεί η γωνία=yK==
=
Αιτιολογήστε τις==απαντήσεις σαςK=
= = = = = =
= = = = = =
=
μονάδες=12+13=
= = = = = = =
=
=

49. Θέμα Pο
=
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ όπου και τα ύψη του ΓΔ=I=ΒΕ==που αντιστοιχούν στις πλευρές=K==
=
ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχαK=
=
Δίνεται==η ακόλουθη πρότασηK=
=
Π: «Αν το ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ===ΑΓ,=τότε τα ύψη=
ΒΕ=,=ΓΔ που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του είναι=
ίσα».=
=
α=)=Εξετάστε αν ισχύει η πρόταση=Π αιτιολογώντας την=
απάντηση σαςK= == μονάδες=NM==
=
β=)=Να διατυπώσετε την αντίστροφη της=Π και να αποδείξετε ότι ισχύειK=
= = = = = = = = = μονάδες=NM==
=
γ=)=Διατυπώστε την=Π και την αντίστροφη της ως ενιαία πρότασηK=
μονάδες=5==
Θέμα 4ο
=
=
Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ=EΑΒ//ΓΔ)=και η γωνία Γ είναι ίση με=3MM
=K=Έστω ΚI=Λ τα μέσα των=
διαγωνίων τουK=Οι μη παράλληλες πλευράς του ΔΑ και ΓΒ προεκτεινόμενες τέμνονται=
κάθετα στο σημείο ΕK=
Να αποδείξετε ότι:=
=
α)=ΑΒ=O·ΑΕ==
μονάδες=10=
=
β)=ΚΛ=ΑΔ==
μονάδες=10=
=
=
=
γ)=Ποια σχέση πρέπει να ισχύει ώστε το ΑΒΛΚ να είναι παραλληλόγραμμο;=Να=
αιτιολογήσετε την απάντηση σαςK=
=μονάδες=5=
= = = = = = =
= =
ΟΔΗΓΙΕΣ Eγια τους εξεταζομένους)
NK Να απαντήσετε σε όλα τα ΘέματαK=
OK Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτήK=
=====================
============== ==Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ
NK= Κοσόγλου Ιορδάνης=
=
OK= Κοζαλάκης Ευστάθιος=

50. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α΄ OMN6
Θέμα Nο
αK Nà Σ= Oà Λ== 3àΛ= = 4àΣ= = 5àΣ=
βK Θεωρία σχολικού βιβλίου=E=§=5.9==)K=
Θέμα Oο
α=)=Η γωνία χ είναι εγγεγραμμένη==
=
στο ίδιο τόξο=EΑΒ)=που είναι και η γωνία==
=
ΑDˆ ΒK=Άρα είναι ίσες=I=συνεπώς χ===5MM
K=
=
β=)=Το κυρτογώνιο τόξο ΑΒ είναι=NMMM
=
και το τόξο ΒΓ είναι ίσο με=TMM
=I=άρα το==
=
τόξο ΓΑ είναι=N9MM
=K=Η γωνία=y=είναι==
=
εγγεγραμμένη στο τόξο ΓΑ άρα είναι ίση==
=
με το μισό του τόξου δηλαδή=95M
K=

51. Θέμα Pο
α=)=Η=Π ισχύει διότι=I=αν ΑΒ===ΑΓ τότε οι γωνίες Β=IΓ==
=
είναι ίσες και τα τρίγωνα ΒΔΓ και ΒΕΓ έχουν=:==
= =
N)= ΒΓ κοινή=
O)= Είναι ορθογώνια=
3)= Β===Γ==
Άρα==ΔΓ===ΒΕ=
=
=
=
=
β=)=Αντίστροφη Π :=«Έστω ότι τα ύψη ΓΔ=I=ΒΕ ενός τριγώνου είναι ίσα=I=τότε και οι=
πλευρές στις οποίες αντιστοιχούν τα ύψη είναι ίσες και το τρίγωνο είναι ισοσκελές»K=
=
Απόδειξη==
Τα τρίγωνα==ΒΔΓ και ΒΕΓ έχουν=:==
= =
N)= ΒΓ κοινή=
O)= Είναι ορθογώνια=
3)= ΓΔ=ΒΕ =
Άρα==Β=Γ και τότε ΑΒ===ΑΓ συνεπώς==το ΑΒΓ είναι ισοσκελέςK=
=
γ=)=«ΑΒΓ ισοσκελές=EΑΒ=ΑΓ)=αν και μόνο αν τα ύψη που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές=
είναι ίσα».
Θέμα 4ο
=
α=)=Το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο=EΑΒ=//=ΓΔ)=I=άρα Γ και ΑΒΕ γωνίες εντός εκτός και επι τα αυτά=
των παραλλήλων ΑΒ=I=ΓΔK=Συνεπώς ίσες με=3MM
K=
=
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΕ ή ΑΒΕ γωνία είναι=3MM
= Û η ΑΕ είναι η μισή της=
υποτείνουσας ΑΒK=Άρα προκύπτει το ζητούμενο==OΑΕ===ΑΒK==
=
β=)=Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΕΓ είναι Γ γωνία=3MM
=Û =OΕΔ=ΓΔK=
=
Τα ΚI=Λ είναι μέσα των ΒΔ=I=ΑΓ αντίστοιχα=I=συνεπώς ΚΛ===
O
OO
O
AE-ED
=
AB-GD
Û =
ΚΛ===ΕΔ=–=ΑΕ===ΑΔK=
=
=
=
=

52. =
=
γ=)=Έστω ότι ΑΒΛΚ παραλληλόγραμμοK=Τότε ΑΒ===ΚΛK=Όμως από α)=OΑΕ===ΑΒ και από β)==
=
ΚΛ=ΑΔ συνεπώς==I=ΑΒ===ΚΛ=Þ2ΑΕ===ΑΔ==EN)==
=
Είναι ΑΔ=H=ΑΕ===ΕΔ= Û 3ΑΕ===ΕΔ=Þ ΑΕ===
3
N
ΕΔ=EO)==
Το ΑΒΛΚ είναι παραλληλόγραμμο όταν ισχύουν οι==EN)==και=EO)=δηλαδή το τμήμα ΑΕ είναι=
το=
3
N
του ΕΔ=ή το τμήμα ΑΔ είναι διπλάσιο του ΑΕK=

53. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣI ΕΡΕΥΝΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝI
ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΣΗ ΠK & ΔK ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ
ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΕΛΛΑΣ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ …ΜΕΝΕΛΑΟΣ ΛΟΥΝΤΕΜΗΣ»
Σχολικό έτος:OMN5-OMN6
Περίοδος: Μαΐου-Ιουνίου
Μάθημα: Μαθηματικά
Τάξη: Β΄ Θετικών Σπουδών
Ημερομηνία: PN/5/OMN6
Ονοματεπώνυμο:………………………………………………………………………
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ=
Θέμα Nο
α ) Να χαρακτηριστούν στην κόλλα σας==με=Σωστό EΣ) ή=Λάθος EΛ)==καθεμία απ τις=
προτάσεις που ακολουθούν==:==
=
NK=
a=//= b = 0)IdetE =Û ba K= Σ========Λ=
OK=
Η ευθεία με εξίσωση:=ΑxHΒyHΓ===M=είναι κάθετη στο διάνυσμα===
k ===EΒ=I=-=Α)K=
Σ========Λ=
PK=
Η εξίσωση της έλλειψης που διέρχεται από τυχαίο σημείο ΜExI=y)=
δίνεται από τον τύπο=:= N
yx
O
O
O
O
=
b
-
a
=I=όπου α=I=β=>=MK=
Σ========Λ=
4K= Για κάθε=a=I= b =
ισχύει=I== a×b=b×a =K= Σ========Λ=
5K= Η παραβολή=:=yO
===Opx==έχει εστία το σημείο ΕEp=I=M)K= Σ========Λ=
Μονάδες=5·2=1M
β )==Δίνονται τα διανύσματα= a==και== b τα οποία δεν είναι παράλληλα στον=yy΄==και=
λN=== a
l και λO===
b
l Να αποδειχθεί η ισοδυναμία=:=====a ┴= NON
-=l×lÛb ==
====
Μονάδες=15=
Θέμα Oο
=
Δίνονται τα διανύσματα=:=a
r
===ENIO)=και= b
r
==ETI4)=K=Να υπολογιστούν=:==
=
=
α ) Το εσωτερικό γινόμενο==a
r
· b
r
=
Μονάδες=7=
β ) Το μέτρο= b
rr
+a ==
Μονάδες=9=
γ ) Το διάνυσμα προβολή=I==προβ b
r
r
a ======
Μονάδες=9=

54. Θέμα Pο
Δίνονται τα σημεία ΑENIO)=I=ΒEOI-P)=I=ΓEPIO)=του καρτεσιανού επιπέδουK==
=
α=)=Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας=(ε)= που διέρχεται από τα σημεία Α και ΒK=
Μονάδες=8========================================
β=)=Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας=(η)=I=η οποία διέρχεται από το Γ και είναι κάθετη==
στην=(ε).= = = = = = = Μονάδες=8========================================
=
γ=)=Να βρεθούν οι συντεταγμένες του συμμετρικού του Γ ως προς την=(ε).=
Μονάδες=9========================================
=
Θέμα 4ο
=
Θεωρούμε έναν πληθυσμό από=OMN6=μυρμήγκιαK=Κάθε μυρμήγκι χαρακτηρίζεται από έναν=
αριθμό=n===NIOIPIKKKKIOMN6==και==κινείται επάνω στο καρτεσιανό επίπεδο Οxy=διαγράφοντας=
μια τροχιά με εξίσωση:=
Ex-N)O
=H=yO
===OnExHy-N)==
=
α)=Να δειχθεί ότι=I=η τροχιά κάθε μυρμηγκιού είναι κύκλος και να βρεθούν οι συντεταγμένες=
του κέντρου τουK============ = = = Μονάδες=9========================================
β)=Κατά την κίνησή τους όλα τα μυρμήγκια διέρχονται από ένα σταθερό σημείο Α=-=που=
είναι η φωλιά τους=-K=Να υπολογιστούν οι συντεταγμένες του σημείου Α.= = = =
= = = = = = ==========================Μονάδες=7=
γ)=Να δειχθεί ότι οι τροχιές όλων των μυρμηγκιών εφάπτονται της ευθείας=ε=:=xHy-N===M=I==
=
στο σημείο ΑK================================== = ==========Μονάδες=9== =
ΟΔΗΓΙΕΣ Eγια τους εξεταζομένους)
NK Να απαντήσετε σε όλα τα ΘέματαK=
OK Να χρησιμοποιήσετε=μπλε ή=μαύρο στυλόK=
PK Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτήK=
=
=====================
===================Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ Ο ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ
ΚΟΣΟΓΛΟΥ ΙΟΡΔΑΝΗΣ=
=================== = = = = = ================ΠΕMP=ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ=

55. ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β΄ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ OMN6
Θέμα Nο
αK Nà Σ= Oà Λ== PàΛ= = 4àΣ= = 5àΛ=
βK Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα=4P=K=
=
=
Θέμα Oο
α=)= =ba T=H=8===N5=
β=)= b
rr
+a O
=== =b+ba+a
OO
O 5=H=PM=H=65===NMM==I=άρα= b
rr
+a ===NMK=
γ=)=Η===προβ b
r
r
a I=είναι διάνυσμα παράλληλο με το=a
r
και ισούται με=:==
προβ b
r
r
a ===E a
a
ba
)O
===P·a
r
===EP=I=6)=
=
Θέμα Pο
α=) Υπολογίζω τις συντεταγμένες του διανύσματος=AB===EO-N=I=-P=–=O)===EN=I=-=5)=
Ο συντελεστής διεύθυνσης του= AB είναι ο=λ ==-=5K=
Άρα η=ε=:=y=–=O===-5Ex-N)==ή===y===-5x=H=T===ή===5x=H=y=–=T===MK=
=
β=)=Ο συντελεστής διεύθυνσης της=Eη)=είναι=λ΄=== O.0
5
N
= =I==
Άρα η=η=:=y=–=O===
5
N
Ex-P)==ή===5y-NM===χ-P===ή===5y=–=x=-=T===MK=
=
γ=)=Λύνω το σύστημα των={ε,=η}=και=
βρίσκω το σημείο τομής τους=I=έστω ΜK=
=
O6y=–=T=–=P5===M=Û =y===
N3
ON
O6
4O
= K=
Αντικαθιστώ σε μια από τις δυο=
προκύπτει ότι=:=5x=H=
N3
ON
=-=T===MÛ =
65x=H=ON=–=9N===M=Û =x===
N3
N4
65
T0
= K=
=
Έστω ότι το Γ΄ έχει συντεταγμένες===
=
Γ΄ExN=I=yN)==I=τότε το Μ είναι το μέσο του=
τμήματος ΓΓ΄K=
=
=
=
=
=
=
=
=

56. =
=
=
=
Άρα=xN=H=P===O
N3
N4
Û xN===O
N3
N4
=-=P===
N3
NN
N3
39O8 -
=
-
=
=
Ομοίως=:=yN=H=O===O=
N3
ON
Û yN===O=
N3
ON
=-=O===
N3
N6
N3
O64O
=
-
Θέμα 4ο
Ex-N)O
=H=yO
===OnExHy-N)==Û =
xO
=–=Ox=H=N=H=yO
=–=Onx=–=Ony=H=On===M= Û =
xO
=H=yO
=H=E-O-On)x=H=E-On)y=H=On=H=N===M==EN)=
α ) είναι της μορφής=xO
=HyO
=HΑx=H=Βx=H=Γ===M===I=όπου Α===-O-On=I=Β===-On=I=Γ===On=HNK==
=
Για να παριστάνει εξίσωση κύκλουI=πρέπει και αρκεί==ΑO
=HΒO
=-4Γ=>=M==I=είναι=:==
ΑO
=HΒO
=-4Γ====4H4nO
=H=8n=H=4nO
=–=8n=-=4===8nO
==>=M=I=άρα===
=
ισχύει η σχέση ΑO
=HΒO
=-4Γ=>=M=I=οπότε η=EN)=παριστάνει πάντα κύκλο=I=για κάθε=nK=
Το κέντρο έχει συντεταγμένες=:=ΚE )
O
I
O
BA --
====ΚENHn=I=n)
β ) H=σχέση=Ex-N)O
=H=yO
===OnExHy-N)=ισχύει για κάθε=n==I=άρα=:==
ï
î
ï
í
ì
ï
î
ï
í
ì
=+
=kai=
Û
=-+
=+-
0N-yx
0yNx
0Nyx
0y)NxE OO
η δεύτερη επαληθεύεται από τις τιμές που==
βρήκαμε στην πρώτη=I=άρα=ΑENIM)=–=οι συντεταγμένες της φωλιάς των μυρμηγκιών-K=
γ ) Οι τροχιές των μυρμηγκιών είναι κύκλοι με κέντρο για κάθε=n=I=ΚENHn=I=n)K=
Το Α είναι το σημείο τομής όλων των κύκλωνK=Προφανώς η ε περνάει από το ΑK=
Αρκεί να δειχθεί ότι η απόσταση της ε από το Κ είναι ίση με την ακτίνα ρK==
Η ακτίνα ρ είναι ίση με=:=ρ=== On
O
nOO
O
n8
O
4BA OOOO
===
G-+
=K=
Είναι=:=dEKIε)=== On
O
nO
NN
NnnN
OO
==
+
-++
K=Συνεπώς η ε εφάπτεται στις τροχιές των==
ΜυρμηγκιώνK=

57. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣI ΕΡΕΥΝΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝI
ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΣΗ ΠK & ΔK ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ
ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΕΛΛΑΣ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ …ΜΕΝΕΛΑΟΣ ΛΟΥΝΤΕΜΗΣ»
Σχολικό έτος: OMN5-OMN6
Περίοδος: Μαΐου-Ιουνίου
Μάθημα: Μαθηματικά & Στοιχεία
Στατιστικής
Τάξη: Γ΄
Ημερομηνία: M8/M6/N6
Ονοματεπώνυμο:…………………………KK
ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΩΝ
Θέμα Nο
α ) Να χαρακτηριστούν στην κόλλα σας==με=Σωστό EΣ) ή=Λάθος EΛ)==καθεμία απ τις=
προτάσεις που ακολουθούν==:==
NK= Αν Α=I=Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω=I=τότε το=
ενδεχόμενο Α ÈΒ πραγματοποιείται=I=όταν πραγματοποιείται=
το Α==ή==το==ΒK=
Σ========Λ=
OK= (ημχ)΄===-=συνχ= Σ========Λ=
PK=
Tο εύρος είναι μέτρο διασποράς και επηρεάζεται από τις=
ακραίες παρατηρήσειςK=
Σ========Λ=
4K= Ισχύει ότι=:==Ρ(ΩF===NK= Σ========Λ=
5K= Ένα δείγμα είναι ομοιογενές=I=όταν=CV==[==NMBK= Σ========Λ=
Μονάδες=5·2=1M
β )==Έστω ΑI=Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου ΩK==
=
Να αποδειχθεί η πρόταση=:=«=Αν ΑÍ Β=I=τότε==Ρ(ΑF=≤ Ρ(ΒFK»=
Μονάδες=15=
Θέμα Oο
=
=
Εκτελούμε το πείραμα τύχης=:=«Ρίχνω ένα νόμισμα=P=φορές»K=
=
α ) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος Ω του παραπάνω πειράματος τύχηςK=
Μονάδες=7=
β ) Να βρεθούν οι==πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων=:==
= = =
= Κ=:={=«Στην πρώτη ρίψη να φέρουμε Γράμματα»}=
=
= Λ=:={=«Και στις τρεις ρίψεις να φέρουμε Γράμματα»=}=
=
= Μ=:={«Το πολύ σε μια ρίψη να φέρουμε Γράμματα»=}==== = = =
Μονάδες=18
Θέμα Pο
Στον παρακάτω πίνακα δίνονται τα ετήσια κέρδη=(=σε εκατομμύρια ευρώ=), εκατό=
επιχειρήσεων ομαδοποιημένα σε πέντε κλάσειςK=
=
=
=