Matematika

MATERI MATRIKULISI
PROGRAM PASCA SARJANA
PROGRAM STUDI AGRIBISNIS
FAKULTAS PERTANIAN UNJA

Oleh
FAUZIA DWI UTARI

Ruang Lingkup:
Himpunan, Hubungan, Fungsi, Kalkulus, dan Matriks.

Sasaran:
Mahasiswa Program Studi Agribisnis yang diterima
pada Program Pascasarjana Fakultas pertanian
Univ. Jambi

Tujuan :
Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep-
kosep Matematika dalam penerap-annya pada
persoalan ekonomi.

Matematika Ekonomi 3

Kompetensi:
Mampu menyelesaikan persoalan Ekonomi dan Bisnis
dengan alat analisis Matematika.

Literatur
Chiang A.C, 1984. Fundamental Methods of
Mathematical Economics. Third Edition, Mc Graw-
Hill Book Inc. New York
Johannes, H dan Handoko, BS. 1994. Pengantar
Matematika untuk Ekonomi. Edisi ke empat belas.
LP3ES. Jakarta


Materi:
Pegertian Matematika
Himpunan
Sistem Bilangan
Fungsi
Fungsi Linear
Fungsi non Linear
Diferensial Fungsi Sederhana
Diferensial Fungsi Majemuk
Aljabar Matriks


MATEMATIKA
ASAL KATA
Asal kata : MATHEIN artinya mempelajari atau
belajar. Dengan mempelajari mate-
matika, seseorang akan terbiasa
mengatur jalan pemikirannya dgn
sistematis.

Berpikir matematis:
Seseorang yg hendak menem-puh jarak 2 mil akan
MEMILIH naik mobil dari pada jalan kaki, kecuali jika
waktunya banyak terluang atau sedang berolah raga.

Berpikir matematis:
Untuk dapat mengenderai mobil, harus
belajar menyupir. Untuk dapat supir mobil
yang baik, dia perlu pengetahuan
matematika.

Matematika, merupakan sarana = pendekatan
untuk suatu analisa.

Dengan mempelajari matematika, membawa
sese-orang kepada kesimpulan dalam waktu
yang singkat.


Ekonomi dan Matematika Ekonomi
Analisis ekonomi tidak berbeda jika menggunakan
pendekatan matematis dibanding dengan tanpa
pendekatan matematis. Bedanya/keuntungannya:
a. Dengan pendekatan matematis, persoalan atau
pokok bahasan menjadi sederhana.
b. Dengan pendekatan matematis, berarti mengaktif-
kan logika dengan asumsi-asumsinya.
c. Dapat memakai sebanyak n variabel dalam meng-
gambarkan sesuatu (hubungan antar variabel)
Mis Qd = f(Pr, Inc, Pi, … ), Pr = harga komoditi ybs
Inc = pendapatan, Pi = harga kom. substitusi


Kelemahannya pendekatan matematis:
a. Bahasa matematis tidak selalu mudah
dimengerti oleh ahli ekonomi sehingga sering
menimbulkan kesukaran.
Contoh Y = f(X), dalam ilmu ekonomi bagaimana
mengartikan persamaan matematis tersebut,
mis dalam: permintaan, produksi, pendapatan
nas, dll. sehingga ahli ekonomi sulit memetik
keuntungan dari matematika.
b. Seorang ahli ekonomi yang memiliki pengetahuan
dasar matematika, ada kecenderungan:
(1) membatasi diri dengan hanya memecahkan
persoalan secara matematis


(2) membuat beberapa asumsi yang kurang tepat
demi memudahkan pendekatan matematis
atau statistis. Artinya, lebih banyak berbicara
matematika dan statistika dari pada prinsip/
teori ekonomi.
Kesimpulan dari bahasa adalah:
1. Matematika merupakan pendekatan bagi ilmu
ekonomi.
2. Pendekatan matematis merupakan “ mode of
transportation” yaitu membawa pemikiran
kepada kesimpulan dengan singkat (model)


Matematika Ekonomi dan Ekonometrika
Ekonometrika adalah pengetahuan yang berkaitan
dengan penerapan statistika untuk menganalisa data
ekonomi.

Data Ekonometrika
Matematika
Ekonomi

- Deduksi - Induksi
- Model - Mengolah data
- Mengambil
kesimpulan


Teori Ekonomi Fakta
deduktif
Model atau
Hipotesis Data Ekonomi

Satu Persamaan

Teori Statistika Metode
Ekonometrika
Simultan

induktif

Teori Teori Teori
Diterima Ditolak Disempurnakan


Bidang Matematika Ekonomi yang dibahas:
Menurut “Social Science Research Council, seorang
ahli ekonomi harus mengerti matematika : Himpunan
(gugus), hubungan dan fungsi, teori matriks, kalkulus
(limit fungsi, diferensial, persamaan diferensi, partial
differentiation, integrasi multipel).


HIMPUNAN = GUGUS
Silabus:
• Definisi, pencatatan dan himpunan khas
• Himpunan Bagian
• Pengolahan (operasi) himpunan
• Hubungan


1. Definisi, pencatatan dan himpunan khas
Himpunan adalah kumpulan dari obyek-
obyek yg memiliki sifat tertentu. Sifat ini
menjadi penciri yg membuat obyek/unsur
itu termasuk dalam himpunan yang sedang
dibicarakan.
Himpunan dilambangkan : A, B, X, …, Z
(kapital)
Obyek atau unsur atau elemen dilambang-
kan a,b,c, … atau 1, 2, 3, …
Perhatikan (… tiga titik) dibaca dan sete-
rusnya.

Dua cara pencatatan suatu himpunan
a. Cara pendaftaran: P = { 2, 3, 4 }
P = nama himpunan/gugus
tanda kurawal buka dan kurawal tutup “ dan “
menyatakan himpunan
2, 3, 4 = obyek/unsur/elemen
Artinya, himpunan P beranggotakan bilangan bulat
positip: 2, 3, dan 4.
b. Pendefinisian sifat: X = { x / x bil. genap} X = nama
himpunan
x = obyek/unsur/elemen
tanda “/” dibaca dengan syarat
x bil genap = sifat atau ciri


Cara pendefinisian sifat yang lain:
J={x/2 <x<5}
x merupakan unsur
Sifat: bilangan nyata 2 < x < 5, baca himpunan
semua bilangan nyata lebih besar dari 2 dan lebih
kecil dari 5
Himpunan khas:
a. Himpunan Semesta (S) atau Universum (U)
Merupakan himpunan keseluruhan obyek yang
sedang dibicarakan
S = { x / x bilangan ganjil }, berarti semua bil ganjil
b. Himpunan kosong (emty set)
E = { } himpunan kosong atau dicatat dengan
“ø”


Perhatikan: P = { 2, 3, 4 }
Untuk menyetakan keanggotaan dicatat dengan “€”
Jadi: 2 € P
3€P
4 € P.
Tanda € baca “unsur” atau “elemen” atau “didalam”
Sebaliknya, 5, 6 tidak termasuk unsur P
dicatat
5€P
6€P
Tanda € dibaca “bukan unsur” atau “bukan elemen”
atau “diluar”.


2. Himpunan bagian
Suatu himpunan A merupakan himpunan bagian
dari himpunan B, jika dan hanya jika setiap
unsur A juga merupakan unsur himpunan B.
A = { 2, 4, 6 };
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
Dicatat : A B,
baca A himp. bagian B atau A anak gugus dari B
Sebaliknya dicatat: B A, baca
B mencakup A Tanda dibaca bukan
himpunan bagian dan tanda dibaca
tidak/bukan mencakup
Perhatikan: himp. bagian terjadi apabila dari
suatu himp dibentuk himp lain dengan memilih
unsur himp itu sebagai unsurnya.

Contoh: X = { 1, 2, 3, 4 }
Himpunan bagiannya:
a.Memilih semua unsur: X4 = { 1, 2, 3, 4 }
b.Memilih tiga unsur X31 = { 1, 2, 3 }
X32 = { 1, 2, 4 }
X33 = { 1, 3, 4 }
X34 = { 2, 3, 4 }
c. Memilih dua unsur X21 = { 1, 2 }; X22 = { 1, 3 }
X23 = { 1, 4 }; X24 = { 2, 3 }
X25 = { 2, 4 }; X26 = { 3, 4 }


d. Memilih 1 unsur: X11 = { 1 }; X12 = { 2 }
X13 = { 3 }; X14 = { 4 }
e. Tanpa memilih X0 = { }
Jumlah himpunan bagian dari 1 himp. = 2 n
1 elemen: 1  2 himp bag
2 elemen: 1 2 1  4 himp bag
3 elemen: 1 3 3 1  8 himp
bag 4 elemen: 1 4 6 4 1  16
himp bag 5 elemen: 1 5 10 10 5 1  32
himp bag
Disebut segitiga Pascal = bilanga Binom Newton


Latihan:


3. Pengolahan (operasi) Himpunan
Operasi matematis: penjumlahan, penggandaan,
pembagian. Operasi himpunan: gabungan
(union), potongan (irisan) dan komplemen.
Operasi Gabungan ( U )
A U B = { x / x ε A atau x ε B }
A U B baca: A union B; A gabung B; A atau B.
Jika A = { 3, 5, 7 ); B = { 2, 3, 4, 8 }
A U B = { 3, 5, 7, 2, 4, 8 } atau { 2, 3, 4, 5, 7, 8 }


Dalam diagram Venn, A U B adalah daerah diarsir

S

A B

Sifat-sifat gabungan
a. A U B = B U A  Hukum komutasi
b. A (A U B) dan B (A U B)


Operasi potongan (irisan) = ∩
A ∩ B = { x / x ε A dan x ε B }
A ∩ B, baca A irisan B; atau A dan B
Misal: A = { 0, 5, 10, 15 } dan B = { 1, 5, 8, 15, 17 }
A ∩ B = { 5, 15 }
Dalam diagram Venn, A ∩ B adalah daerah diarsir:

s

A B


Sifat : a. A ∩ B = B ∩ A (hukum komutasi)
b. (A ∩ B) A dan (A ∩ B) B

Operasi selisih
Selisih himpunan A dan B, dicatat dengan A – B
A – B = { x / x € A, tetapi x € B }
Diagram Venn A – B sebagai berikut:

S

A B


Misal: A = { a, b, c, d }; B = { f, b d, g }
A – B = { a, c } serta B – A = { f, g }
A – B sering dibaca “A bukan B”.
Sifat: a (A – B) A; (B – A) B
b (A – B); dan (B – A) adalah saling asing
atau terputus


Komplemen
A’ = { x / x € S, tetapi x € A }
A’ baca “komplemen A” atau “bukan A”
Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … } himp.bil bulat
positip
A = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . } bil. bulat positip ganjil
A’ = { 2, 4, 6, 8, 10. . . } bil. bulat positip genap
Diagram Venn untuk komplemen sbb: (diarsir)

S

A

A’
A


Sifat: a. A U A’ = S
b. A ∩ A’ = ø
c. (A’)’ = A
Latihan 1
Gambarkan sebuah diagram venn untuk
menunjukkan himpunan universal S dan himpunan-
himpunan bagian A serta B jika:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
A = {2, 3, 5, 7 }
B = {1, 3, 4, 7, 8 }

Kemudian selesaikan :
a). A – B b). B – A c) A ∩ B
d). A U B e) A ∩ B’ f) B ∩ A’
g). (A U B)’ h) (A ∩ B)’


Latihan 2
Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaan
himpunan: € atau €

A B A∩B AUB (A∩B)’ (AUB)’
€ €
€ €
€ €
€ €


Hubungan
Himpunan Hasil kali Cartesius
Apabila ada dua himpunan X dan Y masing-masing
x ε X dan y ε Y, maka dari dua himpunan terserbut
dapat disusun himpunan yang beranggotakan
pasangan urut atau pasangan tersusun (x, y).
Contoh sederhana, misalkan nilai ujian mate-matika
diberi dari angka 1 hingga 4, sedang-kan pekerjaan
rumah diberi angka 1 hingga 3.

Jadi : X = {1, 2, 3, 4} sedangkan
Y = {1, 2, 3}

Himpunan hasil kali Cartesius adalah:
X x Y = {(x, y)/ x ε X, y ε Y}


Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb:
Y
X 1 2 3

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3)

X x Y = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1),
(3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}


Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkan
dalam sistem koordinat cartesius berikut:

Y
PR = {1, 2} malas
PR = {3, 4} rajin

3 • H1 • • H4 • U = {1, 2} kurang mengerti
U = {3} pintar
2 • • • •
H2 H3 Terdapat 4 himp bag
1 • • • •
H1 = {malas ttp pintar}
0 1 2 3 4 X H2 = {malas dan krg
Gbr: Hubungan nilai ujian mengerti}
dan nilai pekerjaan rumah H3 = {rajin ttp krg
ngerti}
H4 = {rajin dan pintar}

Daerah dan Wilayah (Range) hubungan
Perhatikan kembali Himpunan hasil kali Cartesius:
H = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1),
(2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}
Himpunan unsur-unsur pertama pasangan urut,
disebut dengan Daerah hubungan
Dh = {1, 2, 3, 4}
Himpunan unsur-unsur kedua pasangan urut, disebut
dengan Wilayah hubungan:
Wh = {1, 2, 3}


Kesimpulan:
Himpunan hasil kali Cartesius adalah himpunan
pasangan urut atau tersusun dari (x, y) dimana setiap
unsur x € X dipasangkan dengan setiap unsur y € Y.
X x Y = { (x, y) / x € X, y € Y }
Daerah hubungan
Dh = { x / x € X}
Daerah hubungan:
Wh = { y / y € Y}


SISTEM BILANGAN
1. Pembagian bilangan
Bilangan

2; -2; Nyata
1,1; -1,1 Khayal
+ dan -
Akar negatip

Rasional Irrasional √(-4) = ± 2
Hasil bagi dua bil Hasil bagi dua bil bulat,
bulat, pecahan pecahan desimal tak
desimal atau berulang
desimal berulang 0,14925253993999… π, ℮
0,1492525
1; 4; 8;
Bulat termasuk Pecahan ½; 2/7 dsb
0


2. Tanda pertidaksamaan
Tanda < melambangkan “lebih kecil dari”
Tanda > melambangkan “lebih besar dari”
Tanda ≤ “lebih kecil dari atau sama dengan”
Tanda ≥ “lebih besar dari atau sama dengan”

3. Sifat
Jika a ≤ b, maka –a ≥ -b
Jika a ≤ b dan x ≥ 0, maka x.a ≤ x.b
Jika a ≤ b dan x ≤ 0, maka x.a ≥ x.b
Jika a ≤ b dan c ≤ d, maka a + c ≤ b+ d


Fungsi
Silabus:
a. Pengertian
b. Macam-macam fungsi
c. Fungsi Linear
d. Fungsi non Linear


Pengertian
Himpunan hasil kali Cartesius ini dikenal dgn
hubungan. Tetapi ada hubungan dimana satu unsur
X dihubungkan dengan satu unsur Y. (tidak setiap
unsur X dihubungkan dengan setiap unsut Y)

Dengan denah Venn sbb:

X Y
◦ •
◦ • Hubungan 1 - 1
◦ •

Hubungan dengan kasus diatas, bahwa untuk setiap
nilai x dihubungkan (hanya terdapat satu) nilai y
yang sesuai, disebut dengan bentuk hubungan atau
fungsi. Jelasnya fungsi LINEAR

Perhatikan juga contoh berikut:
Y

y = f(x)
•x1
•y1
y1 • •
•x2
•yn
•xn

X
0 x1 x2 Y
X

Gambar di atas, nilai x1 dan x2 dalam X, dihubung-
kan dengan nilai y1 dalam Y, dengan bentuk y = f(x)
Fungsi disebut juga TRANSFORMASI, jadi x di
transformasikan di dalam himpunan y.

Transformasi mengandung pengertian yang luas:
a. x menentukan besarnya nilai y
b. x mempengaruhi nilai y
c. Dll.
Pernyataan y = f(x)
dibaca: y merupakan fungsi dari x
atau
dicatat : f : x  y
aturan ditransformasi

simbol “f” diartikan sebagai “aturan” transformasi
unsur himp. X kedalam himpunan Y
Lebih spesifik: Fungsi: suatu bentuk hubungan
matematis yang menyatakan hubungan ketergan-
tungan (hub fungsional antara satu variabel
dengan variabel lain

Perhatikan: y = f(x)
x merupakan sebab (variabel bebas)
y akibat dari fungsi (variabel terikat)
Himpunan semua nilai-nilai x, disebut sebagai
Domain atau Daerah fungsi (Df) dan nilai y disebut
dengan Range atau Wilayah fungsi (Rf = Wf).
Df = { x / x ε X }
Wf = { y / y ε Y }
Misal: Biaya total C dari suatu perusahaan setiap hari
merupakan fungsi dari output Q tiap hari:
C = 150 + 7Q. Perusahaan memiliki kapasitas
limit sebesar 100 unit per hari.Berapa Daerah
dan Range dari fungsi biaya?
Jawaban:
Df = { Q / 0 ≤ Q ≤ 100 }
Rf = { C / 150 ≤ C ≤ 850 }  Dapat Anda jelaskan ?

Macam-macam fungsi
a. Fungsi
Bentuk umumnya :
Polinomial
y = a + bx + cx2 + . . . + pxn

y
y

Slope = a1
case c < 0

a0 a0
x x

Konstan, jika n = 0 Linear, jika n = 1 Kuadratik, jika n = 2
y=a y = a + bx Y = c + bx + ax2


y •
Titik maksimum

Titik belok
• Fungsi kubik
y = d + cx + bx2 + ax3

x
y

Titik
maksimum Fungsi polinom derajad 4
y = e + dx + cx2 + bx3 + ax4
Titik minimum

x


b. Fungsi Rasional
Fungsi ini, dengan y dinyatakan sebagai rasio dua
polinomial dengan variabel x atau juga berupa fungsi
hiperbola.
y
Hiperbola:
y = (a/x), a > 0

x
0

c. Fungsi eksponensial dan logaritma
y y
Logaritma
Eksponensial y = logbx
y = bx , b>1

x
MatematikaxEkonomi 0 45
0

Fungsi linear
• Fungsi linear merupakan bentuk yang paling
dasar dan sering digunakan dalam analisa
ekonomi
• Fungsi linear merupakan hubungan sebab-akibat
dalam analisa ekonomi – misalnya:
- antara permintaan dan harga
- invests dan tingkat bunga
- konsumsi dan pendapatan nasional, dll
• Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 1
atau fungsi polinom derajad-1.


Bentuk umum
Diturunkan dari fungsi polinom:
y = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn
Disebut fungsi linear jika n = 1 yaitu
y = a + bx  bentuk umum
Contoh:
y = 4 + 2x  a = 4
b=2
Pengertian: a = 4 = penggal garis pada
sumbu vertikal y
b = 2, adalah koefisien arah atau
lereng atau slope garis.


y
x a a0 = penggal garis
a +b
y= a y = ax + b,
a
pada sumbu y
a
yaitu nilai y
∆y = a
∆x saat x = 0
b

x
1 2 3 4 5
0

a = lereng garis atau ∆y/Δx
pada x = 0, ∆y/∆x = a; pada x = 1, ∆y/∆x = a


Perhatikan bahwa lereng fungsi linear selalu
konstan.
Latihan-1 y = 4 + 2x
Penggan garis pada sumbu y = ……………
Lereng garis :

x y ∆x ∆y ∆y/∆x = a Mendapatkan
0 - - - penggal garis
pada sumbu y
1 ketika x = 0

2
3
4


Lengkapi tabel berikut dari garis: y = 4 + 2x

x y ∆x ∆y ∆y/∆x = a
-3
Mendapatkan
-2
penggal garis
-1 pada sumbu x
ketika y = 0
0
1
2
3
4


Kurva (grafik) fungsi
Fungsi Linear, kurvanya garis lurus karena
lerengnya sama.
Misalkan y = 36 – 4x maka
a = -4  (∆y/∆x)
b = 36
Menggambarkan kurvanya cukup mencari titik
potong (penggal) dengan: sumbu x
dan penggal dengan sumbu y
Hubungkan kedua titik penggal tersebut
Titik penggal pada sb x,  y = .., x = … atau titik
(…, …) Titik
penggal pada sb y,  x = .., y = … atau titik (…, …)


Grafik:
y
36
• (0,36)

18 y = 36 – 4x

(9,0)
• x
0
9

Grafik dengan lereng negatip


Gambarkan grafik fungsi:
y = 2 + 4x
Titik penggal dg sb x  y = 0, x = -1/2, (-1/2, 0)
Titik penggal dg sb y  x = 0, y = 2, (0,2)
Gambarkan :

y

y = 2 + 4x

x
0
Grafik dengan lereng positip


Fungsi non linear (kuadratik)
Fungsi non linear juga merupakan bentuk yang
sering digunakan dalam analisa ekonomi
• Sebagaimana fungsi linear, fungsi non linear juga
merupakan hubungan sebab-akibat
• Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 2
atau fungsi polinom derajad-2.

Bentuk umum
Diturunkan dari fungsi polinom:
y = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn
Disebut fungsi kuadratik jika n = 2 dan a2 ± 0, yaitu
y = a0 + a1x + a2x2
atau sering ditulis: y = ax2 + bx + c


Contoh - 1: • Contoh - 2:
y = 8 – 2x – x2 a= • y = 2x2 + 4x + 6 a
-1 (a < 0) = 2  a > 0)
b = -2 c b=4
=8 c=2

Menggambar kurva non linear kuadratik
a. Cari titik penggal dengan sb x, pada nilai y = 0
0 = 8 – 2x – x2 atau 8 – 2x – x2 = 0
Menyelesaikan persamaan ini dapat melalui dua
cara: 1.
Faktorisasi
Maksudnya, menguraikan ruas utama fungsi
tersebut menjadi bentuk perkalian ruas-
ruasnya atau disebut bentuk perkalian dua
fungsi yang lebih kecil

Faktorisasi persamaan di atas menghasilkan: (2 -
x)(4 + x) f(x) = g(x).h(x) (2 -
x)(4 + x) = 0 (2 -
x) = 0, berarti x = 2, di titik (2, 0) (4 +
x)= 0, berarti x = -4, dititik (-4, 0)
2. Memakai rumus kuadrat (bujur sangkar)
-b ± √ b2 – 4ac
x = --------------------
2c

- (-2) ± √ (-2)2 – 4(-1)(8)
x = -------------------------------
2(-1)


2 ± √ 4 + 32 2±6
x = ---------------- = ---------
-2 -2
x1 = (2 + 6)/(-2) = -4,  titik (-4, 0) x2
= (2 – 6)/(-2) = 2,  titik (2, 0)
Hasilnya sama dengan cara faktorisasi.
b. Cari titik penggal dengan sb y, pada nilai x = 0
y = 8 – 2x – x2, untuk x = 0, y = 8, titik (0,8)
c. Karena ciri fungsi kuadrat memiliki titik maksi-
m atau minimum (lihat gambar terdahulu) maka
titik ini harus dicari.


Mencari titik maks atau min
Sifat fungsi kuadratik
a. Memiliki titik maks atau min yang disebut titik
ekstrim.
Titik maks jika a < 0 dan min jika a > 0
b. Titik maks atau min pada titik (x, y) dengan:
-b b2 – 4ac
x = ----, dan y = -----------
2a -4a
c. Kurvanya simetri pada titik xmaks/min
y = 8 – 2x – x2, a < 0  berarti maks xmaks =
-(-2)/(2)(-1) = -1
ymaks = [(-2)2 – 4(-1)(8)]/(-4)(-1) = 36/4 = 9.
 titik maks (-1, 9).


Gambarkan kurvanya:
y

0 x


 Latihan:
Dengan cara yang sama selesaikan Contoh - 2:
y = 2x2 + 4x + 6


Lanjutan:


Hubungan dua garis
Dua buah garis dengan fungsi linier dapat:
a. berimpit

+ b1 Berimpit: Jika dan hanya jika
a 1x + b 2
y 1 = a 2x a1 = a2
y2 =
b1= b2

b. Sejajar

x + b1
y1 = a1 Sejajar: Jika dan hanya jika
a1 = a2
+ b2
= a 2x
y2 b1 ± b2


c. Berpotongan
Berpotongan: jika dan
y hanya jika
Ttk pot
x + b1
y1 = a1 a1 ± a2
•
y2
=a b1 ± b2
2 x+
b
2
x

Dua garis fungsi linear dan fungsi non linear hanya
dapat berpotongan.
y Ttk pot b 1
+ Ttk pot
a 1x
a<0 • y1 =
• a>0
y2 = ax2 + bx + c

x


Mencari titik potong dua garis/persamaan
Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x
dan y sama pada perpotongan tersebut
Caranya: (1)
Bentuk fungsi harus y = f(x)
(2) samakan kedua fungsi untuk mendapat titik
potong
Cari titik potong fungsi x = 15 – 2y dan 3y = x +3
x = 15 – 2y  y = -(1/2)x + 15/2
3y = x +3  y = (1/3)x + 1
-(1/2)x + 15/2 = (1/3)x + 1
-(1/2)x – (1/3)x = 1 – 15/2
x = 78/10


Untuk mendapatkan y, substitusi x = 78/10 pada
salah satu fungsi:
y = (1/3)x + 1,
untuk x = 78/10; y = (1/3)(78/10) + 1
y = 26/10
Titik potong fungsi (x, y) = (78/10, 26/10)


Mencari titik potong dua garis/persamaan
(1) 2x + 3y = 21 dan (2) x + 4y = 23
Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai x
dan y sama pada saat perpotongan tersebut.
Ubah persamaan di atas menjadi bentuk y = f(x)
(1) 2x + 3y = 21  3y = 21 – 2x
atau y = 7 – (2/3)x
(2) x + 4y = 23  4y = 23 – x
atau y = (23/4) – (1/4)x
Titik potong kedua garis:
7 – (2/3)x = (23/4) – (1/4)x
7 – (23/4) = (2/3)x – (1/4)x
5 = (5/12)x
x = 12.  y = 11/4  (12, 11/4)


Penggunaan Fungsi dalam ekonomi
Analisa keseimbangan pasar
Keseimbangan pasar – Model linear
Asumsi-1: Keseimbangan pasar terjadi jika “ekses
demand” = 0 atau (Qd – Qs = 0)
Asumsi-2: Qd = jumlah permintaan adalah fungsi
linear P (harga). Jika harga naik, maka Qd
turun.
Asumsi-3: Qs = jumlah penawaran adalah fungsi
linear P. Jika harga naik, maka Qs juga
naik, dengan syarat tidak ada jlh yang
ditawarkan sebelum harga lebih tinggi
dari nol.
Persoalan,bagaimana menentukan nilai

Dalam pernyataan matematis, keseimbangan terjadi
pada saat:
Qd = Qs
Qd = a - bP, slope (-) (1)
Qs = -c + dP, slope (+) (2)
Gambarnya sbb:
Qd, Q s
a Qs = -c + dP
Qd = a -bP

keseimbangan
Q0

0 P
P1 P0
-c


Kasus lain, keseimbangan dapat dilihat sbb:
Qs = 4 – p2 dan Qd = 4P – 1
Jika tidak ada pembatasan misalnya, berlaku dalam
ekonomi, maka titik potong pada (1, 3), dan (-5, -21)
tetapi karena batasan hanya pada kuadran I (daerah
positip) maka keseimbangan pada (1, 3)}

4 QS = 4p - 1

3 1,3 keseimbangan

QD = 4 - p2

0 1 2

-1

Latihan
Temukan keseimbangan dari Qd dan Qs tersebut


Keseimbangan pasar (lanjutan)
Pada nilai Q dan p berapa terjadi keseimbang-an
permintaan dan penawaran dari suatu komoditi
tertentu jika:
Qd = 16 – P2 , (Permintaan)
QS = 2p2 – 4p (penawaran)
Gambarkan grafiknya
Apa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5


Penjelasan
Pada saat keseimbangan maka Qd = Qs
16 – p2 = 2p2 – 4p
3p2 – 4p – 16 = 0
Ingat fungsi polinom derajad 2 atau n = 2
dengan bentuk umum: ax2 + bx + c
Koefisien a = 3, b = -4, dan c = -16

p = (-b) ± (b2 – 4ac)1/2 = 4 ± (16 + 192)1/2 = 3.1 (+)
2a 6
Qd = 16 – p2 = 16 - (3.1)2 = 6.4
Jadi keseimbangan tercapai pada Jlh komoditas
6.4 dan harga 3.1. Atau (Q, p) = (6.4 , 3.1)


Grafik:
Fungsi Permintaan: Qd = 16 – p2
a. Titik potong dengan sb Q  p = 0; Q = 16, (16,0)
b. Titik potong dengan sb p  Q = 0; 16 – p2 = 0
(p – 4)(p + 4). p – 4 = 0, p = 4, ttk (0, 4)
p + 4 = 0, p = -4, ttk (0, -4)
c.Titik maks/min: (Q,p)
Q = (-b/2a) = 0/-2 = 0
p = (b2 – 4ac)/(-4a) = 0 – 4(-1)(16)/(-4)(-1)) = 16
atau pada titik (0, 16)


Grafik:
Fungsi penawaran
Qs = 2p2 – 4p
a. Titik potong dengan sb Q  p = 0; Q = 0, (0,0)
b. Titik potong dengan sb p  Q = 0; 2p2 – 4p = 0
Atau 2p(p – 2) = 0; 2p = 0; p = 0; ttk pot (0, 0)
(p – 2) = 0; p = 2; ttk pot ( 0, 2)
c. Titik maks/min: (Q,p)
Q = (-b/2a) = 4/4 = 1
p = (b2 – 4ac)/(-4a) = (-4)2 – 4(2)(0)/(-4)(2) = 2
atau pada titik (1, 2)


Grafik:

p Qs

4
3.1
Qd
2

Q
0 6.4 16

Apa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5
Untuk p = 3.5, terjadi ekses supply dan p = 2.5,
terjadi ekses demand

Penjelasan ekses suplai dan ekses demand

Qs

Qd

Ekses demand mendorong harga naik, dan ekses
supply mendorong harga turun.


DERIFATIF
1.1. Pengantar Kalkulus
Kalkulus khususnya bahasan matematika tentang
a. Fungsi
b. Derivatif atau fungsi turunan
c. Derivatif parsial dan
d. Integral
sangat luas penggunaannya dalam ilmu
ekonomi.Khusus tentang derivatif (kalkulus dife-
rensial) dapat diinventarisir aplikasinya dalam ilmu
ekonomi diantaranya:
1). Elastisitas, khususnya elastisitas permintaan


2) Elastisitas produksi
3) Biaya total, rata-rata dan marginal
4) Revenue dan marginal revenue
5) Maksimisasi penerimaan dan profit.
6) dll.
Pendekatan matematis yang sangat pesat dewasa ini
membuat seorang ahli ekonomi termasuk Agric.
Economist, atau agribussines manager perlu mendalami
pengetahuan kalkulus diferensial dan inte-gral.
Untuk kesempatan ini, kalkulus diferensial dan
aplikasinya dalam ekonomi lebih diutamakan.


1.2. Limit fungsi
Pandanglah fungsi h yang diberikan dengan
persamaan:

2x2 + x - 3
h(x) = -------------
x-1
Persamaan ini harus disederhanakan sedemikian
rupa, supaya jika disubstitusikan nilai x = 1, (per-
hatikan pembagi/penyebut) maka nilainya ± 0/0
(bentuk tak tentu)


Untuk tujuan ini, fungsi tersebut diuraikan atas fak-
tornya, sehingga:

2x2 + x - =3 (x-1)(2x +3)
h(x) = ------------- ------------- = 2x + 3
x-1 x-1

x2 - 4
Demikian juga jika g(x) = ---------, nilainya akan tak
x-2
tentu, untuk x = 2

Karena itu g(x) disederhanakan menjadi:

(x – 2)(x + 2)
g(x) = ------------------- = x + 2.
x-2


Fungsi h dengan persamaan diatas grafik sebagai
berikut:

Fungsi h tdk terdefi-
nisi di titik x = 1. Un-
tuk x ± 1, maka h(x)
y = 2x + 3. Sehingga
untuk x mendekati
5 ◦ 1, h(x) akan mende-
4 y = h(x)
kati 5. Dikatakan
3 limit fungsi h dititik x
2 = 1 adalah 5.
1

0 1 x


Keadaan di atas, dicatat sebagai:

2x2 + x - 3
lim h(x) = lim ------------- = 5
x1 x1 x-1

Baca: limit fungsi h(x) untuk x menuju 1

Demikian juga dengan g(x) di atas

x2 - 4
lim g(x) = lim --------- = 4.
x2 x2
x-2


1.3. Pengertian Derivatif
Suatu fungsi dengan persamaan y = f(x) mempunyai nilai
(terdefinisi) pada x = x0 dan y = f(x) kontinu di titik
tersebut, maka:
lim f(x) = f(x0)

Y x -> x0
Y = f(x) diskontinu
pada x = x0
Y = f(x)

Y=f(x)

y1 ◦
y0 y0
• Y = f(x) kontinu •
pada x = x0

x x0
x0

Sehingga f(x) – f(x0) 0
------------------ = ---
x – x0 0

Maka lim f(x) – f(x0) disebut dengan derivatif
-------------
x->x0 x – x0 fungsi f dititik x = x0.

Dengan mensubstitusi Δx = x – x0, atau x =
x0 + Δx, untuk x-> x0 berarti Δx ->0 atau:

f(x0 + Δx) – f(x0)
lim ------------------- merupakan derivatif
Δx atau turunan fungsi.
Δx-> 0


Simbol derivatif fungsi dilambangkan dg:
f’(x) atau dy/dx atau
y’ atau Dxy.
Atau dengan penjelasan lain:
Ump. y = f(x) dengan kurva sbb:
y = f(x)
y + Δy = f(x + Δx)
Y = f(x)
y1
y Δy
◦ Δx

Besarnya pertambahan adalah:
x x1
Δy = f(x + Δx) – f(x).
Dibagi dg Δx: Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x)
-------------------------------
Δx


lim Δy/Δx = f(x + Δx) – f(x)
-----------------------------
Δx->0 Δx
adalah turunan fungsi tsb yaitu: y’ = f’(x) = dy/dx
Contoh. Cari turunan y = f(x); y = x2 + 1,
dititik x = 5.
Jika x ditambah sebesar Δx, maka y akan bertambah
sebesar Δy.
y + Δy = (x + Δx)2 + 1
y = x2 + 1 (-)


Dengan pengurangan:
Δy = (x + Δx)2 + 1 – x2 – 1
= x2 + 2xΔx + (Δx)2 + 1 – x2 – 1
= 2xΔx + (Δx)2
Δy/Δx = 2x Δx + (Δx)2
Δx
= 2x + Δx
lim Δy/Δx = lim 2x + lim Δx

dy/dx = 2x + 0 = 2x dititik x = 5,
Δx ->0 berarti
Δx ->0 Δx ->0
dy/dx untuk x = 5 adalah 10.


1.4 Rules of differentiation
Rule 1: Derivative of a power function.
Fungsi pangkat (power function) y = xn
y + Δy = (x + Δx)n
Δy = (x + Δx)n – y
Δy = (x + Δx)n – xn
Ingat kembali bil. Binom Newton
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
= C(0, 4)a4 + C(1, 4)a3b +
C(2, 4)a2b2 + C(3, 4)ab3+C(4,4)b3


C(i, n)  baca kombinasi tingkat i dari n
unsur.
C(i, n)  adalah teori kombinasi yang menyatakan
memilih sebanyak i unsur dari suatu himpunan untuk
menjadi anggota himpunan bagiannya.
C(0, 4)  berarti kombinasi tingkat 0 dari 4
unsur.

C(i, n) = ------------

n!
i ! – (n – i)!


n! = n(n-1)(n-2)(n-3) …
4! = 4. 3. 2. 1 = 24
0! = 1
Sekarang: Δy = (x + Δx)n – xn
= C(0, n)xn + C(1, n)xn-1Δx +
C(2, n)xn-2Δx2 +
C(3, n)xn-3Δx3 +
C(4, n)xn-4Δx4 +
………… +
C(n-1, n)xΔxn-1 - xn


n! n.n-1.n-2.n-3.
C(0, n) = --------- = ---------------------- = 1 …
0!(n-0)! 1.n.n-1.n-2.n-3 …

C(1, n) = ---------- = ---------------------- = n
n! n.n-1.n-2.n-3. …
1!(n-1)! 1.n-1.n-2.n-3. …
C(2, n) = ---------- = ---------------------- = -----
n! n.n-1.n-2.n-3. … n.n-1
2!(n-2)! 2.1.n-2.n-3. … 2


Δy = (x + Δx)n – xn
= xn + nxn-1Δx + n(n-1)xn-2Δx2 +
2 C(3, n)xn-3Δx3 +
C(4, n)xn-4Δx4 +
…… +
C(n-1, n)xΔxn-1 - xn
= nxn-1Δx + n(n-1)xn-2Δx2 +
C(3, n)xn-3Δx3 +
C(4, n)xn-4Δx4 +
…… +
C(n-1, n)xΔxn-1


Δy = nxn-1+ n(n-1)xn-2Δx +
Δx 2 C(3, n)xn-3Δx2 +
C(4, n)xn-4Δx3 +
…… +
C(n-1, n)xΔxn-2

Δy
Lim ---- = lim nxn-1 atau dy/dx = nxn-1
Δx->0 Δx Δx->0

Contoh: y = x5
dy/dx = 5x4.
Mis C = total cost, q = output C = q3
derivatif C thdp q = 3q2.


Rule 2: Multiplication by a constant.
y = f(x)= cx2, c adalah konstanta, dy/dx?
y + Δy = c(x + Δx)2
Δy = cx2 + c2xΔx + c(Δx)2 – cx2
= c2xΔx + c(Δx)2

---- = c2x + c(Δx)
Δy
lim Δx = lim c2x , Jadi dy/dx = c2x
----
Δy
Δx->0 Δx Δx->0


Contoh: y =f(x) = 5x2
f’(x) = 5(2)x2-1 = 10x

Rule 3: Derivative of a sum
f(x) = g(x) + h(x)
Dengan pembuktian yang sama spt
rule (1) dan (2) diperoleh:
f’(x) = g’(x) + h’(x)
Demikian juga untuk:
f(x) = g(x) + h(x) + k(x)
f’(x) = g’(x) + h’(x) + k’(x)


Derivatif penjumlahan dua fungsi atau lebih sama
dengan pengurangan atau selisih.
f(x) = g(x) – h(x);
f’(x) = g’(x) – h’(x).

Contoh:
Cari derivatif f(x) = 7x4 + 2x3 – 3x + 37
g(x) = 7x4; g’(x) = 28x3
h(x) = 2x3; h’(x) = 6x2
k(x) = -3x; k’(x) = -3
l(x) = 37; l’(x) = 0
jadi f’(x) = 28x3 + 6x2 – 3.


Rule 4: derivative of a product
Fungsi hasil kali berbentuk
y = f(x) = g(x).h(x)
f’(x) = g(x).h’(x) + h(x).g’(x)

Contoh: y = f(x) = (2x + 3)(3x2)
g(x) = (2x + 3); g’(x) = 2
h(x) = 3x2; h’(x) = 6x
Jadi:
f’(x) = (2x + 3)(6x) + (3x2)(2)
= 12x2 + 18x + 6x2
= 18x2 + 18x.


Rule 5: derivatif of a quotient
Bentuk umum hasil bagi dua fungsi:

y = f(x) = g(x)/h(x).

f’(x) = g’(x)h(x) – g(x)h’(x)
[h(x)]2


Contoh: f(x) = (2x – 3)/(X + 1).
g(x) = 2x – 3; g’(x) = 2
h(x) = x + 1; h’(x) = 1

f’(x) = (2)(x + 1) – (1)(2x – 3)

= 2x + 2 – 2x + 3 (x
= + 1)2
5

(x + 1) 2 (x + 1)2


Rule 6: Chain rule
Fungsi berantai bentuknya sbb:

y = f(u)
u = g(x) y = f(z)
z = g(u)
Dicari derivatif y ter- u = h(x)
hadap x atau dy/dx.
Dari u = g(x) didpt
Dengan cara yang sama
du/dx.
Dari y = f(u) didpt dy dy du dz
= du
dy/du, Maka dx dz dx

dy
= dy . du
dx du dx

Contoh: Misalkan x adalah lahan, yang dapat
menghasilkan y unit gandum dan z adalah roti yg
terbuat dari gandum. Umpamakan setiap unit lahan
(x) dihasilkan 2 unit gandum (y) sehingga:
y = 2x
Untuk setiap unit gandum (y) dapat diproduksi 15
unit roti (z), yang digambarkan sebagai:
z = 15y
Apabila ada perubahan sejumlah kecil lahan (x),
maka berapa besar perubahan roti (z) akan terjadi
dari perubahan tersebut? Hal ini merupakan masa-
lah hukum berantai dari turunan fungsi (derivatif).


dy/dx merupakan perubahan y apabila sejumlah
kecil perubahan x yaitu
dy/dx = 2
Perubahan z apabila ada perubahan y
dz/dy = 15
Oleh karena itu perubahan z apabila ada perubah-
an x menjadi:
dz/dx = dz/dy. dy/dx = 15(2) = 30 unit.


Contoh: Jika y = uv, dimana u = s3 dan s = 1 – x.
v = t2 dan t = 1 + x2

u = s3,  du/ds = 3s2 v = t2,  dv/dt = 2t
s = 1 – x  ds/dx = -1 t = 1 + x2  dt/dx = 2x

y = uv, adalah bentuk hasil kali berarti
dy/dx = u.dv/dx + v.du/dx
= u(dv/dt)(dt/dx) + v(du/ds)(ds/dx)
= s3(2t)(2x) + t2(3s2)(-1)
= 4s3tx -3t2s2 = s2t(4sx – 3t)
Substitusi, dy/dx = (1-x)2(1+x2)[4(1-x)(x) – 3(1+x2)]


Contoh: Jika y = (1 + x2)3, dapatkan dy/dx.
Dengan memakai derivatif fungsi berantai:
Mis u = 1 + x2, dan oleh karena itu y = u3
dy/dx = (dy/du)(du/dx) = (3u2)(2x) = 6x(1 + x2)2.


1.5. Derivatif of higher order
Jika y = f(x), maka derivatif pertama dicatat
sebagai dy/dx atau f’(x). Derivatif kedua
dilambangkan dengan:
d2y/dx2 atau f”(x) atau y”
Demikian seterusnya untuk derivatif yang
lebih tinggi. Semua hukum-hukum yang sudah
dibahas, berlaku untuk mencari derivatif orde
yang lebih tinggi.
Contoh: Hitung derivatif y = f(x) = x3 – 3x2 + 4,
dan hitung nilainya untuk x = 2.


f(x) = x3 – 3x2 + 4, f(2) = 8 – 12 + 4 = 0
f’(x) = 3x2 – 6x, f’(2) = 12 – 12 = 0
f”(x) = 6x – 6 f”(2) = 6
f”’(x) = 6 f”’(2) = 6.


1.5 Derivatif parsial
Teknik ini digunakan untuk suatu fungsi lebih dari
satu variabel. z = f(x, y) atau z = f( u, v, x) dst
Banyak kejadian terdiri dari beberapa variabel.
Contoh: Qd = f(h, hkl, sK, i,)
dimana h = harga komoditi itu sendiri
hkl = harga komoditi lain
sK = selera konsumen
i = income
Umpamakan kita berhadapan dengan fungsi:
z = f(x , y), bila y dianggap tetap,
maka z hanya merupakan fungsi x dan derivatif z ke
x dapat dihitung.


Derivatifnya disebut derivatif parsial atau turunan
parsial dari z ke x dan dilambangkan dengan:
∂z/∂x atau ∂f/∂x atau fx
Demikian juga jika x dianggap tetap, maka derivatif
parsial ke y dapat dihitung, dan dilambangkan dg:
∂z/∂y atau ∂f/∂y atau fy

Derivatif parsial z ke x didefinisikan sebagai:
∂z/∂x = lim Δz/Δx = lim f(x + Δx, y) – f(x, y)
Δx->0 Δx->0
Δx

Derivatif parsial z ke y didefinisikan sebagai:
∂z/∂y = lim Δz/Δy = lim f(x,y + Δy) – f(x, y)
Δy->0 Δy->0 Δy


Contoh: Jika z = 3x2 + 2xy – 5y2 ,maka:
∂z/∂x = 6x + 2y
∂z/∂y = 2x – 10y

Derivatif parsial kedua juga dapat dicari sbb:
Contoh: z = (x2 + y2)3
∂z/∂x = fX = 3(x2 + y2)2(2x) = 6x(x2 + y2)2
∂z/∂y = fy = 3(x2 + y2)2(2y) = 6y(x2 + y2)2
∂2z/∂x2 = fXX = 12x(x2 + y2)(2x) = 24x2(x2 + y2)
∂2z/∂y2 = fyy = 12y(x2 + y2)(2y) = 24y2(x2 + y2)
∂2z/ ∂y∂x = fyx = 12x(x2 + y2)(2y) = derivatif ∂z/∂x
thd y
24xy(x2 + y2).
∂2z/∂x∂y = fxy = 12y(x2 + y2)(2x) = 24xy(x2 + y2)


Simbol derivatif parsial ∂z/∂x
juga dilambangkan ∂f/∂x atau fx.
Fungsi turunan kedua dilambangkan:
∂2z/∂x2 atau ∂2f atau fxx
Fungsi turunan fx terhadap y dilambangkan fyx
Fungsi turunan fy terhadap x dilambangkan fxy
fyx = fxy


Maksimum dan minimum
y = f(x)
akan maksimum pada saat:
dy/dx = 0
dan d2y/dx2 < 0
akan minimum pada saat:
dy/dx = 0
dan d2y/dx2 > 0
akan mempunyai titik belok (inflection point) pada:
dy/dx = 0
dan d2y/dx2 = 0


Apabila fungsinya lebih dari dua variabel:
z = f(x, y) atau f(x1, x2),

Maksimum jika Minimum jika
fx = 0, fy = 0 fx = 0, fy = 0
fxx < 0, fyy < 0 fxx > 0, fyy > 0
fxxfyy – (fxy)2 > 0 fxxfyy – (fxy)2 > 0


Contoh: Periksa apakah fungsi berikut ini mempu-
nyai titik maksimum, minimum atau titik belok
dan hitung nilai f(x) pada titik tersebut.
y = f(x) = -x2 + 4x + 7
dy/dx = -2x + 4 = 0; nilai x = 2
d2y/dx2 = -2 < 0; berarti mempunyai titik maks.
pada x = 2.
nilai ymaks atau f(x)maks = -(2)2 + 4(2) + 7 = 11


Contoh: Tentukan nilai ekstrim (maks/min) dari:
z = x2 + xy + y2 – 3x + 2
Langkah-langkah:
a. Derivatif pertama: fx = 2x + y – 3
fy = x + 2y
b. fx = 0 dan fy = 0
2x + y – 3 = 0
x + 2y = 0
Dari 2x + y – 3, didapat y = 3 – 2x.
Substitusi y = 3 – 2x ke persamaan x + 2y = 0
didapat x + 2(3 – 2x) = 0; x + 6 – 4x = 0
atau 3x = 6  x = 2.


Untuk x = 2, y = 3 – 2(2) = -1.
Artinya titik (2, -1) merupakan titik maks atau min

c. Uji dengan derivatif kedua:
fxx = 2; fyy = 2; fxy = fyx = 1
fxxfyy – (fxy)2 = 2.2 – 12 = 3 > 0
artinya fungsi z mempunyai titik minimum pada
titik (2, -1).
d. Nilai zmin = (2)2 + (2)(-1) + (-1)2 – 3(2) + 2
= 4 – 2 + 1 – 6 + 2 = -1.


1.5 Aplikasi dalam ekonomi
1) Elastisitas permintaan
Elastisitas permintaan adalah persentase per-ubahan
jumlah komoditi diminta apabila terdapat perubahan
harga.
Jika q = komoditi yg diminta,
Δq = perubahannya
p = harga komoditi;
Δp = perubahannya


Δq/q Δq/q Δq p dq p
Ed = ------ = lim ------- = lim ---- -- = ---- --
Δp/p Δp->0 Δp/p Δp->0 Δp q dp q

Contoh: Umpamakan fungsi permintaan q = 18 -2p 2
hitung elastisitas permintaan jika harga berku-
rang 5% (bukan mendekati nol) dari p = 2, q =
10. Bandingkan hasil kedua pendekatan: defi-
nisi dan derivatif.
Pendekatan definisi: p = 2; Δp = 0.05 berarti
p1 = 2 – 2(0.05) = 1.9
Untuk p1 = 1.9, q = 18-2p2 = 18 – 2(1.9)2 = 10.78
untuk p = 2, q = 18-2p2 = 18 – 2(2)2 = 10.
berarti Δq = 10.78 – 10 = 0.78


Jadi menurut pendekatan definisi
Ed = 7.8%/-0.05% = - 1.56

Dengan pendekatan derivatif:
Ed = (dq/dp)(p/q) = (-4p)(p/q) = - 4p2/q
pada harga p = 2, dan q = 10
Ed = -4(2)2/10 = - 1.60.
Perhatikan dengan derivatif, Δp mendekati nol,
sementara menurut definisi, Δp = 0.05%, jadi
hasilnya sedikit berbeda.


2) Total Cost, Average cost and marginal cost
TC = f(q),
merupakan fungsi biaya dimana TC = total cost,
dan q = produk yang dihasilkan.
TC/q = f(q)/q
merupakan fungsi biaya rata-rata.
MC = dTC/dq
merupakan derivatif dari TC, sebagai biaya mar-
ginal. Biaya marginal adalah tambahan biaya yg
dibutuhkan per satuan tambahan produk.


Hubungan TC, AC dan MC, seperti kurva dibawah
ini. TC
Rp

AC
MC

VC

q


Contoh dengan data diskrit

q FC VC TC AC MC
1 100 10 110 110.00 -
2 100 16 116 58.00 6.0
3 100 21 121 40.33 5.0
4 100 26 126 31.50 5.0
5 100 30 130 26.00 4.0
6 100 36 136 22.67 6.0
7 100 45.5 145.5 20.78 9.5
8 100 56 156 19.50 10.5
9 100 72 172 19.10 16


Contoh dengan fungsi biaya:
TC = q3 – 4q2 + 10q + 75.
FC = Fixed Cost = 75
VC = Variable cost = q3 – 4q2 + 10q

MC = dTC/dq = 3q2 – 8q + 10
AC = TC/q = q2 – 4q + 10 + 75/q

3) Revenue and Marginal revenue
Apabila fungsi permintaan diketahui, maka
Total Revenue (TR) adalah jumlah produk yang
diminta dikali harga.


Jadi jika q = kuantitas diminta dan p = harga
dengan q = f(p) maka:
TR = qp = f(p).p
Marginal Revenue (MR) = dTR/dq.

Contoh: MR = dTR/dq
Fungsi Permintaan; = 9/2 – 3q
3q + 2p = 9;
TR, MR, p
2p = 9 – 3q atau
MR
p = 9/2 – (3/2)q 4

TR = p.q atau
p
TR = (9/2)q – (3/2)q2

0 3
q

4). Fungsi produksi
Seorang produsen dalam teori ekonomi paling tidak
harus mengambil dua keputusan apabila dilandasi
oleh suatu asumsi produsen berusa-ha memperoleh
profit maksimum, adalah:
a. Jumlah produk yang yang akan diproduksi
b. Menentukan kombinasi input-input yang
digunakan dan jumlah tiap input tsb.

Landasan teknis dari produsen dalam teori ekonomi
disebut dengan FUNGSI PRODUKSI.
Fungsi produksi = persamaan yang menunjukkan
hubungan antara tingkat penggunaan input-input
dengan tingkat output.


Fungsi produksi, secara umum dicatat:
Q = f(x1, x2, x3, … , xn)
Q = output
xi = input-input yang digunakan, i = 1, 2, 3, … , n
Apabila dalam proses produksi:
Q = f(x1/x2, x3, … , xn)
input xI ditambah terus menerus, sedangkan input
lain tetap, maka fungsi produksi itu tunduk pada
hukum : The law of diminishing returns

“bila satu macam input, terus ditambah
penggunaannya sedang penggunaan input lain tidak
berubah, maka tam-bahan output yg dihasilkan dari
setiap tambahan input, mulai-mula meningkat,
kemudian menurun, dan akhirnya negatip”.


Tambahan output yg didapat karena adanya tam-
bahan satu unit input dinamakan Produk Fisik
Marginal (Produk Marginal = PM).
PM = ∂Q/∂xi, i = 1, 2, 3, … , n
Selain produk marginal, fungsi lain yang dapat di-
turunkan dari fungsi produksi adalah fungsi
Produk Rata-rata (PR).
PR = Q/x = f(x)/x
Jadi ada hubungan antara Q atau produk total (PT)
dengan PM dan PR.Hubungan tersebut di-
tunjukkan oleh kurva berikut ini.


Q
X1 Q PM PR
Q = PT
1 10 - 10

2 24 14 12
3 39 15 13

4 52 13 13

5 61 9 12.2

x6 66 5 11

7 66 0 9.4

8 64 -2 8
PM

PR
x

Ciri-ciri grafik fungsi produksi dicatat sbb:
a. Pada saat PT maks, maka PM = 0
b. Pada saat PR maks, maka PM = PR
c. PR maks pada saat grs lurus dari titik nol
(origin) menyinggung kurva PT.

Kurva produksi yang dijelaskan di atas, hanya
jika input variabel terdiri atas satu input. Untuk
Q = f(x1, x2)/x3, … , xN)
atau dua input variabel, maka kurvanya dalam
ruang spt berikut:


z

x1

x2


MATRIKS
Matriks artinya sesuatu yang membungkus, yang
dibungkus adalah data kuantitatif yang disusun
dalam bentuk “baris” dan “lajur”.
Contoh: Harga gula pasir di 3 kota selama 3 bulan
(rata-rata)
Kota A B C
Bulan
J 4000 4500 4200

F 4200 4600 4500

M 4200 4700 4500

Dengan catatan matriks ditulis:
A = 4000 4500 4200 B= 1 0 1 4
4200 4600 4500 3 2 6 7
4200 4700 450 9 8 4 1

Bentuk umum sbb: Notasi matriks
A = a11 a12 … a1n
mxn
Untuk menyederhanakan
a21 a22 … a2n
dicatat:
: : : A = (aij)mxn
mxn

am1 am2 … amn m = jlh baris; n = jlh lajur


Vektor.
Kumpulan data/angka yang terdiri atas satu baris
disebut: VEKTOR BARIS, jika satu lajur disebur
dengan VEKTOR LAJUR. Dengan demikian, dpt
disebut bahwa matriks terdiri atas beberapa vektor
baris dan beberapa vektor lajur.

Vektor baris: Vektor lajur
a’ = (4, 1, 3, 2) b= 1 u = u1
x’ = (x1, x2, … xn) 2 u2
8 :
un

Beberapa macam bentuk matriks
a. Matriks segi: A = (aij)m.n dengan m = n
A= 2 0 2 4
4x4
4 1 7 7
1 2 3 4
5 1 4 1
b. Matriks setangkup: B = (bij)n.n, bij = bji

B=1 0 7 7
4X4
0 5 4 3
7 4 2 5
7 3 5 1


c. Matriks diagonal e. Matriks segitiga atas,
D = (dij)n.n, dij = 0 utk i±j jika semua unsur
di-bawah diagonal
D= 3 0 0 uta-ma bernilai nol.
0 5 0 G= 9 9 3
0 0 7 0 1 3
0 0 2

d. Matriks identitas
I4 = 1 0 0 0 I2 = 1 0 Diagonal utama
Jika semua unsur di-
0 1 0 0 0 1 atas diagonal utama
0 0 1 0 bernilai 0 = matriks
segitiga bawah.
0 0 0 1

Penggandaan matriks
Matriks A = (aij)m.n dapat digandakan dgn B = (bij)p.q
jika dan hanya jika lajur matriks A = baris matriks B
atau n = p
Cara penggandaan adalah vektor baris x vektor lajur
dimana setiap baris A digandakan dengan setiap
lajur B seperti contoh berikut ini.
1 1 0 8 -1
2 4 5 1 1
6 7 8 1 2


1 1 0 8 -1 = (1 1 0) 8 , (1 1 0) -1 =
2 4 5 1 1 1 1
1 2
6 7 8 1 2
(2 4 5) 8 , ( 2 4 5) -1
1 1
1 2
(6 7 8) 8 , (6 7 8) -1
1 1
1 1


(1)(8) + (1)(1) + (0)(1), (1)(-1) + (1)(1) + (0)(2)
(2)(8) + (4)(1) + (5)(1), (2)(-1) + (4)(1) + (5)(2)
(6)(8) + (7)(1) + (8)(1), (6)(-1) + (7)(1) + (8)(2)

9 0 Contoh-2: 3 6 0 x =
25 12 4 2 -7 y
63 17 z
3x + 6y
4x + 2y – 7z


Putaran matriks
Matriks A = (aij)m.n, putarannya adalah A’ = (a’ij)n.m,
sedangkan (a’ij) = (aji).
Contoh: A = 3 8 -9  A’ = 3 1
1 0 4 8 0
-9 4
D= 1 0 4  D’ = 1 0 4
0 3 7 0 3 7
4 7 2 4 7 2


Determinan matriks segi
Determinan suatu matriks segi adalah hasil per-
kalian unsur-unsur yang tidak sebaris dan tidak
selajur, dengan tanda tertentu. Determinan
matriks A dicatat det (A) atau |A|

Contoh: Hitung determinan matiks A = 2 7
4 9
det A = (2)(9) – (4)(7) = - 10. - +


Contoh: Cari determinan matriks

C= 1 4 7 Cara Sarrus, yaitu dengan
8 2 5 menambahkan lajur 1 sebagai
6 9 3 lajur 4 dan lajur 2 sebagai
lajur 5 kemudian mengganda-
kan angka yang tidak sebaris
dan tidak selajur.
- - -
det C = 1 4 7 1 4
8 2 5 8 2
6 9 3 6 9

+ + +
= (1)(2)(3) + (4)(5)(6) + (7)(8)(9)
-(7)(2)(6) - (1)(5)(9) – (4)(8)(3) = 405

Untuk matriks dengan dimensi/ukuran 4 x 4, cara
Sarrus tidak dapat digunakan melainkan dicari per-
kalian unsur yang tidak sebaris dan tidak selajur.

Pangkat suatu matriks
Suatu matriks segi dengan determinan ± 0, maka
matriks itu disebut berpangkat penuh atau matriks tak
singular. Sebaliknya, disebut matriks berpangkat tak
penuh atau dinamakan matriks singular.
Jika suatu matriks B berukuran nxn, maka pangkat
matriks itu dicatat p(B) = n, jika matriknya berpangkat
penuh.


Tetapi jika determinannya = 0, maka pangkat matriks
B, lebih kecil dari n, yaitu dimensi salah satu anak
matriksnya yang memiliki det ± 0.
Contoh A = 1 1 0 , karena det A = 0, maka
3x3
2 -1 1 p(A) ± 3, dan kemungkinan
4 1 1 p(A) = 2.
Untuk memeriksa, ambil salah satu anak matiksnya:
A11 = 1 1 , det A11 = - 3 ± 0. Berarti p(A) = 2
2 -1


Dalam sistem persamaan linear, yang mencari nilai-
nilai x dari sistem persamaan tersebut, maka matriks
penyusun persamaan linear dimaksud harus ± 0 atau
tak singular atau berpangkat penuh.
Misal: 7x1 - 3x2 – 3x3 = 7
2x1 + 4x2 + x3 = 0
- 2x2 - x3 = 2

Setelah diubah dg
7 -3 -3 x1 = 7
perkalian matiks
diperoleh 2 4 1 x2 0
0 -2 -1 x3 2


Det. Matriks: 7 -3 -3 = -8 ± 0, berarti nilai-nilai x
2 4 1 dari persamaan li-
0 -2 -1 near itu dpt dicari.


Persamaan linear dan jawabannya.
Persamaan linear adalah himpunan dari persamaan
linear dengan beberapa nilai yang hendak dicari.
Contoh: 5x1 + 3x2 = 30 7x1 – x2 – x3 = 0
6x1 – 2x2 = 8 10x1 – 2x2 + x3 = 8
6x1 + 3x2 – 2x3 = 7
Dari persamaan tersebut akan dihitung x1 dan x2


Dengan aturan Cramer, menggunakan cara determi-
nan, sistem persamaan linear di atas dapat
diselesai-kan dg cara sbb:
a. Buat persamaan linear menjadi dalam bentuk
perkalian matriks.
5 3 x1 = 30
6 -2 x2 8
A x d

b. Cari nilai det (A); det A = -28
c. Dapatkan matiks A1 yaitu matriks A dengan
mengganti lajur ke-1 dengan vektor d.


A1 = 30 3
8 -2
d. Dapatkan matriks A2 yaitu matriks A dengan
mengganti lajur ke-2 dengan vektor d.
A2 = 5 30
6 8
e. Cari det A1 dan det A2; det A1 = -84; det A2 = -140
f. Nilai x1 = det A1/det A, dan x2 = det A2/A.
x1 = -84/-28 = 3; x2 = -140/-28 = 5.


Contoh 2 7 -1 -1 x1 = 0
10 -2 1 x2 8
6 3 -2 x3 7
A x d

a. Det A = -61
b. Det A1 = 0 -1 -1 = -61; det A2 = 7 0 -1 = -183
8 -2 1 10 8 1
7 3 -2 6 7 -2
det A3 = 7 -1 0 = -244
10 -2 8
6 3 7


MATRIKS KEBALIKAN
Jika A = (aij)n.n maka matriks kebalikannya dicatat
sebagai A-1.
Cara mencari matriks kebalikan:
a. Dengan matriks adjoint
b. Dengan transformasi penyapuan
c. Dengan metode Doolittle


Mencari matriks kebalikan dengan matiks adjoint
Umpamakan dibicarakan matiks A = a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Untuk mencari matriks kebalikannya ditempuh lang-
kah-langkah sbb:
a. Mencari minor setiap unsur apq atau Mpq, dimana
p=q = 1, 2, 3. (baris = p, lajur = q = 1, 2, 3)
Definisi: Minor unsur apq adalah determinan anak
matriks dengan menghapus baris p dan
lajur q.
Jadi M11 dihitung dengan cara berikiut:


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

Minor unsur a11 = M11 = a22 a23 = a22a33 – a23a32
a32 a33
a31 a33
Minor unsur a13 = M13 = a21 a22
a31 a32 = a21a32 – a22a31


a32 a33
a31 a33
a31 a32 = a11a32 – a12a31


a21 a23
a21 a23
a21 a22 = a11a22 – a12a21


b. Kofaktor.
Kofaktor unsur apq ialah αpq = (-1)p+qMpq.
Kofaktor unsur a11 = α11 = (-1)1+1M11





Setelah dapat kofaktor dari setiap unsur, susunlah
matriks kofaktor K:
K = α11 α12 α13
α21 α22 α23
α31 α32 α33

Matriks kebalikan dari A = A-1 = (1/det A)(K’)
Perhatikan, kofaktor unsur sebenarnya hanya soal
tanda dari minor sauté unsur. Jika indeksnya genap,
tandanya + dan jika indeksnya ganjil, tandanya
negatip.


Contoh: Cari matriks kebalikan dari B = 4 1 -1
0 3 2
3 0 7
Matriks kofaktor K= 3 2 0 2 0 3 = 21 6 -9
-
0 7 3 7 3 0 -7 31 3

1 -1 4 -1 4 1 5 -8 12
- -
0 7 3 7 3 0

1 -1 4 -1 4 1
-
3 2 0 2 0 3


Matriks putaran K = K’ = 21 -7 5
6 31 -8
-9 3 12

Matriks kebalikan = B-1
adalah: (1/det B)K’.
det (B) = (4)(3)(7) +
(1)(2)(3) +
(0)(0)(-1) B-1 = (1/99) 21 -7 5
-(-1)(3)(3)
-(2)(0)(4) 6 31 -8
-(1)(0)(7) = 99
-9 3 12


Untuk menguji, maka: BB-1 = I
4 1 -1 21/99 -7/99 5/99 = 1 0 0
0 3 2 6/99 31/99 -8/99 0 1 0
3 0 7 -9/99 3/99 12/99 0 0 1

B B-1 I


PENGGUNAAN MATRIKS KEBALIKAN DALAM
EKONOMI (INPUT – OUTPUT Analysis)

Dalam analisis ekonomi dikenal keterkaitan antar in-
dustri (atau sektor industri). Artinya output suatu
sektor dipakai untuk memenuhi sektor lain, dan me-
menuhi permintaan akhir rumah tangga, pemerintah,
pembentukan modal maupun ekspor. Sementara
Input suatu sektor dibeli dari sektor lain.


Dalam analisis ekonomi, sering hubungan antar satu
sektor dgn sektor lain dinyatakan dengan himpunan
persamaan linear. Contoh analisis input-output
Leontief.
Dengan notasi matriks model I-O sbb:
AX + F = X atau
X - AX = F atau
(I – A)X = F pers matriks Leontief
X = F/(I - A) = (I – A)-1. F.

Matriks kebalikan
Leontief


0.2 0.3 0.2 , x1 , 10 Mis. Sektor
perekonomian
0.4 0.1 0.2 x2 5 terdiri dari 3
sekt. Pert, Ind,
0.1 0.3 0.2 x3 6 dan Jasa.

A x F

1 0 0 - 0.2 0.3 0.2 = 0.8 -0.3 -0.2
0 1 0 0.4 0.1 0.2 -0.4 0.9 -0.2
0 0 1 0.1 0.3 0.2 -0.1 -0.3 0.8
I
A

0.8 -0.3 -0.2 x1 = 10
-0.4 0.9 -0.2 x2 5
-0.1 -0.3 0.8 x3 6
I-A F
x

Matriks Kofaktor dari (I – A) adalah
M11 -M12 M13 = 0.66 0.34 0.21 , K’ = 0.66 0.30 0.24
-M21 M22 -M23 0.30 0.62 0.27 0.34 0.62 0.24
M31 -M32 M33 0.24 0.24 0.60 0.21 0.27 0.60

(I – A)-1 = 1/(det (I-A)K’ 0.384 0.66 0.30 0.24
= 1
0.34 0.62 0.24
0.21 0.27 0.60

= 1.72 0.78 0.63 = R
0.90 1.61 0.63
0.55 0.70 1.56


Arti dari matriks kebalikan Leontief:
Mis r12 = 0.78, artinya untuk menopang setiap per-
mintaan akhir akan produk Industri, harus
diproduksi sebanyak 0.78 satuan produk pertanian.
R23 = 0.68, artinya untuk menopang setiap permin-
taan akhir akan produk Jasa, maka harus diproduk-
si sebanyak 0.68 satuan produk Industri.


Vektor x adalah vektor permintaan akhir yaitu:
(I – A)-1F

X = x1 = 1/0.384 [0.66(10) + 0.30(5) + 0.24(6)] = 24.84
x2 1/0.384 [0.34(10) + 0.62(5) + 0.24(6)] = 20.68
x3 1/0.384 [0.21(10) + 0.27(5) + 0.60(6)] = 18.36

Artinya: Berdasarkan permintaan akhir yang ada, maka dira-
malkan output sektor pertanian, industri dan jasa masing-
masing akan menjadi 24.84 satuan, 20.68 satuan dan 18.36
satuan.
Dengan analogi yang sama, jika permintaan akhir mau di-
naikkan, maka ramalan output tiap sektor dapat diketahui.


Penutup: TUHAN Maha Tahu
tetapi tidak pernah memberi tahu !
Mengapa ?
Manusia sudah diberi pikiran
dan manusia adalah makhluk
yang berpikir.
Matematika merupakan sarana berpikir


Matematika

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (16)

Viewers also liked

Viewers also liked (9)

Similar to Matematika

Similar to Matematika (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Matematika