1. Теорема о трех
перпендикулярах
МозаАнна
Пушкина Екатерина
Ясенива Екатерина
ИльченкоАля
ВаласкековаАлександра

2. •Формулировка теоремы
 Если прямая, проведенная на
плоскости через основание
наклонной, перпендикулярна её
проекции, то она перпендикулярна к
наклонной.

3. Доказательство
 Пусть AB — перпендикуляр к плоскости α, AC — наклонная и c —
прямая в плоскости α, проходящая через точку C и
перпендикулярная проекции BC. Проведем прямую CK
параллельно прямой AB. Прямая CK перпендикулярна плоскости α
(так как она параллельна AB), а значит, и любой прямой этой
плоскости, следовательно, CK перпендикулярна прямой c.
Проведем через параллельные прямые AB и CK плоскость β
(параллельные прямые определяют плоскость, причем только
одну). Прямая c перпендикулярна двум пересекающимся
прямым, лежащим в плоскости β, это BC по условию и CK по
построению, значит, она перпендикулярна и любой
прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна
и прямой AC.

4. Обратная теореме о трех
перпендикулярах
 Если прямая, проведенная на
плоскости через основание
наклонной, перпендикулярна
наклонной, то она перпендикулярна и
её проекции.

5. • Доказательство
Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости α, АС — наклонная и
CB проекция с — прямая в плоскости α, проходящая через
основание наклонной С. Проведем прямую
СК, параллельно прямой АВ. Прямая СК перпендикулярна
плоскости α (по этой теореме, так как она параллельна
АВ), а значит и любой прямой этой
плоскости, следовательно, СК перпендикулярна прямой с.
Проведем через параллельные прямые АВ и СК плоскость
β (параллельные прямые определяют плоскость, причем
только одну). Прямая с перпендикулярна двум прямым
лежащим в плоскости β, это АС по условию и СК по
теореме о трех пер-рах, значит она перпендикулярна и
любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит
перпендикулярна и прямой ВС. Другими словами
проекция ВС перпендикулярна прямой с, лежащей в
плоскости α.

6. •Пример использования
 Докажите, что через любую точку прямой в
пространстве можно провести
перпендикулярную ей прямую.
•Решение
Решение: пусть а — прямая и А — точка на ней.
Возьмем любую точку Х вне прямой а и проведем
через эту точку и прямую а плоскость α. В
плоскости α через точку А можно провести
прямую b, перпендикулярную а.

7. Задачи на доказательство

90)2
)1
,
1
1
ABC
ODАС
чтоДоказать
O
C1
D1
B1
A1
D C
BA

8. 
90:,
)(
КСВКАВчтоДоказать
ABCKD
никпрямоугольABCD
A
D C
B
K

9. B
A
C
α
a
b
Среди точек прямой b точка В
является ближайшей к точке А
Докажите, что она ближайшая к
точке С

10. Задачи на построение
 Отрезок МС перпендикулярен плоскости
равностороннего треугольника АВС.
 Проведите через точку М перпендикуляр
к прямой АВ
B
А С
М

11. Отрезок MD перпендикулярен плоскости
прямоугольника ABCD. Проведите через
точку М перпендикуляры к прямым ВС и АВ
BA
C
D
M

12. Отрезок МА перпендикулярен плоскости
ромба. Проведите через точку М
перпендикуляр к прямой AC
BA
CD
M
O

13. Задачи на вычисление
),();,();,();,(:
16,15),(
BCMDCMАDМАВМНайти
смАВсмМОАВСМО
квадратABCD
A B
CD
O
M
K
15
8
17

14. ))(,();,(:
5,30,13
),(,90,
ABCPACPНайти
смACBсмPA
ABCPBCABC


A
B C
P
5
13
300
12
10
√69

15. ABCD – квадрат. АВ=2а. DD1=a. Постройте
проекцию DC на плоскость α. Найдите расстояние
между прямой АВ и проекцией DC на плоскость α.
α
B
C
A
D
D1
C1
2a
a
a√3