1. Bài tập chương 2: Thuật toán Đơn Hình
Bài 1. Dùng phương pháp Hình học để giải các bài toán sau:
a) f (x) = 8x1 + 5x2 → max b) f (x) = x1 − 4x2 → max
3x1 + 2x2 ≤ 10  x1 + 2x2 ≤ 10
 x − x ≤ 4
− x1 + x2 ≤ 4  1 2
x , x ≥ 0 
 1 2 3x1 − 2x2 ≥ 0
 x1 , x2 ≥ 0

c) f (x) = − x1 − x2 → min d) f (x) = 10x1 − 4x2 → max
3x1 + 2x2 ≥ 10 −3x1 + 2x2 ≤ 6
 −2x + x ≥ 0
− x1 + 3x2 ≤ 4  1 2
x , x ≥ 0 
 1 2 4x1 + x2 ≤ 3
 x1, x2 ≥ 0

e) f (x) = 5x1 − 5x2 → min f) f (x) = 2x1 − 4x2 → max
3x1 + 2x2 ≥ 10 4x1 + x2 ≥ 8
− x + x ≤ 4 x − x ≥ 4
 1 2  1 2
 
 x1 + x2 ≤ 2 2x1 − 2x2 ≥ 5
 x1 , x2 ≥ 0
  x1 , x2 ≥ 0

g) f (x) = − x1 − x2 → max h) f (x) = 3x1 + 4x2 → min
 x1 − 2x2 ≤ 1 −3x1 + x2 ≤ 6
− x + 3x ≤ 4 −2x + x ≥ 0
 1 2  1 2
 
3x1 + x2 ≥ 3 4x1 − 2x2 ≤ 3
 x − 4x ≤ 0  x1, x2 ≥ 0
 1 2 
 x1, x2 ≥ 0

k) f (x) = − x1 + 6x2 → min l) f (x) = x1 − 2x2 → max
 x1 + 2x2 − x3 = 5 −3x1 + x2 ≤6
 −2x + x − x
− x1 + 3x2 ≤4  1 2 3 =0
x , x , x ≥ 0  x + 5x + x4 = 10
 1 2 3  1 2
 x j ≥ 0 ( j = 1, 4)

1

2. Bài 2. Tìm một phương án cực biên và cơ sở tương ứng của nó
a. f (x) = 2x1 + 3x2 − 6x3 → min b. f (x) = x1 − x2 + 2x3 → min
 x1 +2x2 + x3 =5 − x1 +5x2 − x3 = −2
 x −5x + x4  2x
 1 2 =1  1 − x2 + x4 =1
 x ≥ 0, i = 1, 4  x ≥ 0, i = 1, 4
 i  i
c. f (x) = x1 + 2x2 − 4x3 + 3x4 → min d. f (x) = x1 + 2x2 − 4x3 + 3x4 → min
 2x1 − x2 + x3 + x4 =4  2x1 − x2 − x3
−6x +3x +3x ≥ −1
 +2x4 = 18 − x −2x +3x + x4
 −x
1 2 3
 1 2 3 =6
 1 + x2 − x3 + x4 = 10  x2 + x3
 ≤ 10
 xi ≥ 0, i = 1, 4
  xi ≥ 0, i = 1, 4

Bài 3. Giải các bài toán sau bằng thuật toán đơn hình:
3.1. Các câu trong bài 2
3.2.
f (x) = 5x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 + x5 + 3x6 → min
2x1 +4x2 +3x3 + x4 = 46
4x +2x +3x3 + x5
 1 2 = 38
3x + x3 + x6
 1 = 21
xi ≥ 0, i = 1, 6

§ ¸ p ¸ n: x* = (7; 5; 0; 12; 0; 0) vµ f (x* ) = 79
3.3. f (x) = x1 − 4x2 − 3x3 → min
 2x1 + x2 −2x3 ≤ 16
−4x + x3
 1 ≤ 28
 x +2x2 − x3
 1 ≤ 12
 xi ≥ 0, i = 1,3

§ ¸ p ¸ n: bµi to¸ n kh«ng gi¶i ® î c v×f (x) kh«ng bÞchÆ
­ n
3.4. f (x) = − x1 − 2x2 − 3x3 + x4 → min
 x1 +2x2 +3x3 = 22
2 x
 1 + x2 +5x3 = 25
f x = 6+1 x x2 − 2x3 → x
(x) x2+ min
+ x3 + 4 = 20
 1 2
9x1 + x2 + x3 ≤ 18
 xix≥ 0, x i = −, 4
15 1 + *
1
2x3 = 20
 2
§ ¸ p ¸ n: x = (7; 6; 1; 0) vµ f (x* ) = −22
3.5.  3x
 1 + x3 =3
 xi ≥ 0, i = 1,3 2

§ ¸ p ¸ n: x* = (1; 5; 0) vµ f (x* ) = 11

3. 3.6.
f (x) = 4x1 + 14 x2 − 10x3 + 9x4 → min
 x1 − x2 − x3 +3x4 = 14
 x2 −4x3 + x4
 ≤8
 x2 −2x3 +3x4
 ≥ −20
 xi ≥ 0, i = 1, 4

§ ¸ p ¸ n: x* = (0; 0; 34; 16) vµ f (x* ) = −196
3.7. f (x) = −2x1 + x2 + 4x3 + 3x4 → min
3x1 + x2 −2x3 +5x4 = 30
 − x2 − x3 +2x4 = −20

2 x + x + x −2x4 = 12
 1 2 3
 xi ≥ 0, i = 1, 4

§ ¸ p ¸ n: Bµi to¸ n kh«ng cã ph­ ¬ng ¸ n
3.8. f (x) = x1 + x2 + 2x3 − 2x4 − 4x5 → min
− x1 + x2 −3x3 2x4 −2x5 =8
−2x − x3 + x4 − x5
 1 ≥ −21
3x +5x3 −3x4 +2 x5
 1 = 25
2 x + x4 +4x5
 1 ≤ 20
 xi ≥ 0, i = 1, 5

§ ¸ p ¸ n: x* = (0; 27; 3; 0; 5) vµ f (x* ) = 13
3.9.
f ( x) = − 7 x1 + 3x2 + 2 x3 − x4 + x5 → max
 x1 − 2 x 2 + x3 + 2 x 4 ≤ 44
 − fx( x) = +− 1x 1+ +2 x2− 2+2−x x3x++ →4xmax+ x
x x 4 x 3 3 4 x → max
= 28
Đáp án: x*=(0; 8; 14; 0; 48)
 3x + +4 x2 − 2 x 3 + x3 4 = 41 5
1 và f(x*)=100
 − 21x 1 + x 2 + x 3 + 4 x 20
x 4 ≤ 22
 1 2 3 4
 5 x1 + 2 x2 − 23x3 + x4 ≤ 65
x −2
 − x 2 + 2 x3 + x 4 = 20 3.10.
3.11   2 x1 + 5 x 2 − x3 + x 4 ≤ − 34
+ 26 .
Đáp án: x*=(24; 2; 6; 0) và f(x*)=-16
 xi ≥ 0, i = 1,5
  2x 4x +
− 2 x3 + x4 = 16 20 Đáp án: f(x) không bị chặn 3
 1 2
 xi ≥ 0, i = 1,4


4. 3.12. f ( x) = − x1 − 5 x3 + 6 x4 + x5 → max
3.13.
f x1x) = 2 x+1 2 x32x2 + 2−x34+x34 x4 → min
( + + 2 x6 = 28 Đáp án: Bài toán không có
phương án
 3x3x1 + −x22 / 3−x22 x3 + 5x4 ≤ 15 − 2 x6 − x6
Đáp án: x*=(0; 5; 0; 1) và f(x*)=19
− 1 ≤8
 − x x− x + x + x+ 2 x = 12 − 3x + x = 18
 1 2 2 3 3 4 5 6
f ( x)x2=x1x+1 + x2x2 −+ 3xx33+− 4−xx34x+ +4 x=45 8 + 62→5 min
3.14. − 2 22 4 + x x 4
2 1 2 Đáp án: x*=(0; 0; 10; 6; 6; 4)
 2x i1 ≥≥ 0,,− xi2i == 1+,,44 3 + x4 + 2 x5
x 1x = 28 và f(x*)=-14
 i 0
 x + 2x
 1 2 + 3 x 4 − 2 x5 =6
Bài  − x + 2x − x 4 + x5 + x 6 = 4 4. Dùng thuật toán Đơn Hình Đối
 1 2
Ngẫu giải các bài toán sau:
4.1.  4x + x + 5x4 = 30 Các câu trong bài 3
4.2.  1 2
f(xxi)≥= 03,x1 +i = x 2,6− 7 x3 + x4 → min
 51
 2 x 2 − x3 + 3 x 4 − x5 = 10
Đáp án: Bài toán không có phương án
 x + x − 4x − x =3
 1 2 3 4
 x 2 + 2 x3 + 4 x 4 + x6 = 7

 x ( x) 0, − 2ix=1 + ,6 x 2 + 3x3 + 3x5 → min
 fi ≥ =
4.3.
15
 2 x1 − x2 + 3x3 − x5 ≤ 46
Đáp án: x*=(11; 0; 0; 0; 4) và f(x*)=-10
 x + 2 x3 − x 4 + x5 = 15
 1
 − x + 2 x + x + 3x − 2 x = − 19
4.4.  1 2 3 4 5
f x( x≥ =0,x1 +i = x12,5+ x3 + 2 x5 → min
) 3
 i Đáp án: x*=(10; 0; 10; 0) và f(x*)=20
 x1 + 2 x 2 − x3 + x 4 ≤ 2
 − 3x − x + 2 x + 2 x ≤ − 10
 1 3 3 4
 − x − 3x − 2 x + 2 x ≤ − 30
 1 2 3 4
4.5. f x( x)≥ =0,x1 +i 3x1,4 4 x3 + x4 → min
= 2+
 i
 x1 − 2 x2 + 2 x4 ≤ 8 Đáp án: x*=(0; 0; 12; 4) và f(x*)=52
f ( x) = 4 x1x+ 5 x 2++ x3x3 + 2 x5 → ≥min
 32 3 + 4 x4 18
 32xx1 ++ xx 2 ++ 2 x 3 + x ≥ 21
 1 3x ≤ 20

 x + 2 x + 3x − x ≥ 27
2 3 4
4.6.  x ≥1 0, i 2= 1,4 3 4
 i
 − x + 4 x + 2 x + 3x ≥ 8
 1 2 3 4 4
 x ≥ 0, i = 1,4
 i

5. Đáp án: x*=(0; 6; 5; 0) và f(x*)=45
4.7.
f ( x) = 3x1 + 4 x2 + 3x3 + 5x4 → min
Đáp án: Bài toán gốc không có phương án
 2 x1 + x2 + 3x3 ≤3
 x + 2 x + 3x − x ≥ 24
 1 2 3 4
4.8. f−( xx) = 4+x1x− 4 x+2 2 x2 x3 ++ 2 xx4 + x≥5 6
− 3 → min
 1 2 3 4
 x x1≥ 0, i = 1,4 − 2 x4 + 3x5 ≥6
 i Đáp án: x*=(0; 3; 9; 0; 2) và f(x*)=-28
 2 x1 + 4 x2 + x3 − x4 + 2 x5 = 25
 3x + 2 x − x 4 + x5 ≥8
 1 2
 x ≥ 0, i = 1,5
 i
5

6. Bài tập chương 3: Tối ưu hoá rời rạc
Bài 1. Giải các bài toán QHTT nguyên sau đây:
a) f (x) = x1 − x2 − 2 x3 → min b) f (x) = x1 − 4x2 − 2x3 → min
 x1 + x2 −2x3 ≤ 12  x1 + x2 −2x3 ≤ 12
−2x +4x3 ≤ 10 −2x + x +7x ≤ 10
 1  1 2 3
 x ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1,3)  x ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1,3)
 j  j
§ ¸ p sè: x* =(1, 17, 3) vµ f (x* ) = −22 § ¸ p sè: x* =(1, 11, 0) vµ f (x* ) = −43
c) f (x) = x1 − x2 − 5x3 → min d) f (x) = − x1 − 2x2 − 2x3 → min
3x1 + x2 −2x3 ≤ 6 2x1 +3x2 +4x3 ≤ 8
−2x +5x3 ≤ 9 −2x + x +3x3 ≤ 14
 1  1 2
 x ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1,3)  x ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1,3)
 j  j
§ ¸ p sè: x* =(1, 7, 2) vµ f (x* ) = −16 § ¸ p sè: x* =(1, 2, 0) vµ f (x* ) = −5
e) f (x) = − x1 + 3x2 + x3 → min f) f (x) = −4x2 + x3 → min
 x1 −2x2 +3x3 ≤ 10  x1 +2x2 −3x3 ≤ 15
2 x + x −2x3 ≤ 8 − x + x +3x3 ≤ 9
 1 2  1 2
 x ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1,3)  x ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1,3)
 j  j
§ ¸ p sè: x* =(5, 0, 1) vµ f (x* ) = −4 § ¸ p sè: x* =(2, 8, 1) vµ f (x* ) = −31
g) f (x) = −2x1 + 2x2 → min h) f (x) = 2x1 − x2 − 2x3 → min
 x1 −2x2 + x3 ≤ 10  x1 +3x2 + x3 ≤ 8
3x + x −2x3 ≤ 8  −2 x + x +3x3 ≤ 7
 1 2  1 2
 x ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1,3)  x ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1,3)
 j  j
§ ¸ p sè: x* =(5, 0, 4) vµ f (x* ) = −10 § ¸ p sè: x* =(0, 1, 2) vµ f (x* ) = −5
i) f (x) = 3x1 − x2 → max j) f (x) = x1 − x2 − 2x3 → min
3x1 −2x2 ≤ 3  x1 +5x2 −2x3 ≤ 4
−5x −4x ≤ −10 5x − x3 ≤ 12
 1 2  1
2 x + x2 ≤ 5 2 x − x + x3 ≤ 4
 1  1 2
 x j ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1,3)  x j ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1,3)
 
§ ¸ p sè: x* =(1, 2) vµ f (x* ) = 1 § ¸ p sè: x* =(0, 1, 1) vµ f (x* ) = −3
6

7. Bài 2. Giải các bài toán cái túi sau đây:
a) f (x) = 5x1 + 2x2 + 3x3 → max b) f (x) = 5x1 + 4x2 + 8x3 → max
2x1 + x2 + 5x3 ≤ 11
 3x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 15

 
 x j ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1,3)
  x j ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1,3)

§ ¸ p sè: x* =(5, 1, 0) vµ f (x* ) = 27 § ¸ p sè: x* =(1, 6, 0) vµ f (x* ) = 29
c) f (x) = 3x1 + 4x2 + 6x3 + 2 x4 → max d) f (x) = 6x1 + 2x2 + 5x3 + 2x4 → max
 3x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 ≤ 14
  5x1 + 5x2 + 3x3 + 6x4 ≤ 20

 
 x j ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1, 4)
  x j ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1, 4)

§ ¸ p sè: x* =(2, 0, 2, 0) vµ f (x* ) = 18 § ¸ p sè: x* =(1, 0, 5, 0) vµ f (x* ) = 31
7

8. Bài 2. Giải các bài toán cái túi sau đây:
a) f (x) = 5x1 + 2x2 + 3x3 → max b) f (x) = 5x1 + 4x2 + 8x3 → max
2x1 + x2 + 5x3 ≤ 11
 3x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 15

 
 x j ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1,3)
  x j ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1,3)

§ ¸ p sè: x* =(5, 1, 0) vµ f (x* ) = 27 § ¸ p sè: x* =(1, 6, 0) vµ f (x* ) = 29
c) f (x) = 3x1 + 4x2 + 6x3 + 2 x4 → max d) f (x) = 6x1 + 2x2 + 5x3 + 2x4 → max
 3x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 ≤ 14
  5x1 + 5x2 + 3x3 + 6x4 ≤ 20

 
 x j ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1, 4)
  x j ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1, 4)

§ ¸ p sè: x* =(2, 0, 2, 0) vµ f (x* ) = 18 § ¸ p sè: x* =(1, 0, 5, 0) vµ f (x* ) = 31
7

9. Bài 2. Giải các bài toán cái túi sau đây:
a) f (x) = 5x1 + 2x2 + 3x3 → max b) f (x) = 5x1 + 4x2 + 8x3 → max
2x1 + x2 + 5x3 ≤ 11
 3x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 15

 
 x j ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1,3)
  x j ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1,3)

§ ¸ p sè: x* =(5, 1, 0) vµ f (x* ) = 27 § ¸ p sè: x* =(1, 6, 0) vµ f (x* ) = 29
c) f (x) = 3x1 + 4x2 + 6x3 + 2 x4 → max d) f (x) = 6x1 + 2x2 + 5x3 + 2x4 → max
 3x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 ≤ 14
  5x1 + 5x2 + 3x3 + 6x4 ≤ 20

 
 x j ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1, 4)
  x j ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1, 4)

§ ¸ p sè: x* =(2, 0, 2, 0) vµ f (x* ) = 18 § ¸ p sè: x* =(1, 0, 5, 0) vµ f (x* ) = 31
7

10. Bài 2. Giải các bài toán cái túi sau đây:
a) f (x) = 5x1 + 2x2 + 3x3 → max b) f (x) = 5x1 + 4x2 + 8x3 → max
2x1 + x2 + 5x3 ≤ 11
 3x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 15

 
 x j ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1,3)
  x j ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1,3)

§ ¸ p sè: x* =(5, 1, 0) vµ f (x* ) = 27 § ¸ p sè: x* =(1, 6, 0) vµ f (x* ) = 29
c) f (x) = 3x1 + 4x2 + 6x3 + 2 x4 → max d) f (x) = 6x1 + 2x2 + 5x3 + 2x4 → max
 3x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 ≤ 14
  5x1 + 5x2 + 3x3 + 6x4 ≤ 20

 
 x j ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1, 4)
  x j ≥ 0 vµ nguyªn (j = 1, 4)

§ ¸ p sè: x* =(2, 0, 2, 0) vµ f (x* ) = 18 § ¸ p sè: x* =(1, 0, 5, 0) vµ f (x* ) = 31
7