1. www.truongthi.com.vn Môn Toán
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Phương pháp bất đẳng thức
Ví dụ 1. Tìm max (giá trị lớn nhất) của biểu thức
M x 1 y y 1 x= + + + với x2
+ y2
= 1
Giải. Sử dụng bất đẳng thức Buniakovski ta có
( )( ) ( ) ( )2 2 2 2
M x y 1 y 1 x 2 x y 2 2 x y≤ + + + + = + + ≤ + +
2 2= +
dấu bằng đạt được khi x = y = 2 /2 .
Vậy max M = 2 2+
Ví dụ 2. Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x2
+ y2
+ z2
= 1. Tìm max và
min của A = x + 2y + 3z.
Giải.
Sử dụng bất đẳng thức Buniakovski, ta có
( )( )2 2 2 3 2 2 2
x 2y 3z 1 2 3 x y z 1+ + ≤ + + + + = 4
Dấu bằng xảy ra khi
x y z
t
1 2 3
= = = ⇒ x = t, y = 2t, z = 3t
Từ đó t2
+ 4t2
+ 9 t2
= 1 ⇔
1
t
14
= ±
Vậy min A =  14 , max A = 14 .
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của các hàm số sau
a) y cos x sin x, x 0,
2
π 
= + ∈  
 
b) y 1 2 cos x 1 2 sin x, x 0,
2
π 
= + + + ∈  
 
Giải.
a) áp dụng bất đẳng thức (b.đ.t) Buniakovski
ta có ( )2
y 2 cos x sin x≤ + ≤
2 2
2 2 cos x sin x 2 2≤ + =
Từ đó y 2 2≤ .
Dấu bằng xảy ra khi
cos x = sin x = 2 /2. Vậy
max y = 4 8 .
2 1

2. www.truongthi.com.vn Môn Toán
Mặt khác
2 2
sin x sin x, cos x cos x≥ ≥
⇒ y ≥ 1, dấu bằng xảy ra khi x = 0.
Vậy min y = 1.
b) y2
≤ 2(2 + 2cos x + 2sin x) ≤ 4(1 + cos x + sin x)
≤ (4 1 2+ ). Dấu bằng xảy ra khi cos x = sin x = 2 /2.
Vậy ( )max y 4 1 2= +
Mặt khác
( ) ( )2
y 2 1 sin x cos x 2 1 2 sin x cos x 4 sin x cos x= + + + + + +
Đặt t = sin x + cos x = 2 sin x , x 0,
4 2
π π  
+ ∈  
  



Ta có 1 t . Từ đó2≤ ≤
( )2 2
y 2 1 t 2 2t 2t 1, 1 t 2= + + + − ≤ ≤
Hàm z = 2t2
+ 2t 1 có z’ = 4t + 2 > 0 trên 1, 2 
 
Từ đó y đạt giá trị nhỏ nhất tại t = 1. Vậy
min y = ( ) ( )2 1 1 2 3 2 2 3+ + = +
áp dụng bất đẳng thức côsi
Ví dụ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
1
y 2x , x 0
x
= + >
Giải
Ta có,
2 2
1 1
y x x 3 x.x. 3
x x
= + + ≥ = ,
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi
2
1
x
=x ⇔ x = 1
Vậy min y = 3.
Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số
a)
yz x 1 xz y 2 xy z 3
u ,
xyz
− + − + −
= x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3.
b)
( )3
2
x y
v ;
xy
+
= − x > 0, y > 0.
GIẢI
4 2

3. www.truongthi.com.vn Môn Toán
a) Ta có ( ) (
1
x 1 1 x 1 x 1 1
2
− = − ≤ − + ) (b.đ.th.Côsi)
( )
1 1
y 2 2. y 2 y
2 2
− = − ≤
2
( )
1 1
z 3 3. z 3 z
3 2
− = − ≤
3
Từ đó
1 1 1
u 1
2 2 3
 
≤ + + 
 
Dấu bằng đạt được khi
1 = x  1, 2 = y  2, 3 = z  3
hay x = 2, y = 4, z = 6. Vậy
max u = 6.
b) Ta có max v = - min (-v) và
( )
3
2
33
2 2 2
y y yx 3xx y 2 2 274v
4xy xy xy
 
+ + +  − = = ≥ =
Dấu bằng xảy ra khi x = y/2. Vậy
Max v = - min (-v) = - 27/4.
2. Phương pháp khảo sát hàm số
Ví dụ 5. Tìm max và min của hàm số
y = (a + x)n
+ (a  x)n
, x ∈ [a, a], a> 0, x > 1
Giải.
y’ = n[(a + x)n  1
 (a  x)n  1
]
Ta thấy y’ = 0 ⇔ x = 0
Rõ ràng y’ (x) < 0 khi x < 0 và
y’(x) > 0 khi x > 0.
Vậy
max y = y(a) = y(a) = (2a)x
min y = y(0) = 2an.
Chú ý : với hàm
y = (a + x)α
+ (a  x)α
,  a ≤ x ≤ a, a > 0
0 < α < 1
thì ta vẫn có x = 0, và y’(x) > 0 với a < x < 0 và 0 < x ≤ a. Vậy
max y = y(0) = 2aα
và
min y = (2a)α
.
Ví dụ 6.
Giả sử D = {( ) }x, y, z : x, y, z 0 vµ x + y + z a> ≤ ở đây a > 0. Tìm giá
trị nhỏ nhất của
6 3

4. www.truongthi.com.vn Môn Toán
1)
1 1 1
P x y z ,
x y z
= + + + + +
2)
1
Q xyz
xyz
= +
Trên D.
Giải. a) Ta có
1 1 1 9
x y z x y z
+ + ≥
+ +
Đặt u = x + y + z. Khi đó 0 < u ≤ a và
9
u
≥ +p u . Kí hiệu ( )
9
f u u
u
= + . Ta
có ( )
2
2 2
9 u 9
f ' u 1 ;
u u
−
= − =
( )
f’(u) = 0 ⇔ u = 3 (vì u > 0) và
3
18
u 0
u
f " = > với u > 0
Vậy:
a) Với a ≤ 3, min f(u) = f(a) =
9
a
a
+ và p ≥ a + 9/a. Dấu “=” xảy ra khi
x y z a
a
x y z
3
+ + =


= = =
⇒ min p =
9
a
a +
b) Với a > 3, min f(u) = f(3) = 6 và p ≥ 6, dấu bằng xảy ra khi
x y z 3
x y z 1
+ + =

= = =
. Vậy min p = 6.
2) Ta có a ≥ x + y + z ≥ 33 xyz ⇒ 0 < t = xyz ≤ a3
/ 27.
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = a/3.
Từ đó
1
Q t
t
≥ + =: g(t).
Ta có ( )
2
2 2
1 t
g ' t 1
t t
1−
= − = , t ∈ (0, a3
/27)
a) a ≤ 3. Khi đó a3
/27 ≤ 1 và g’(t) < 0 với t ≤ a3
/ 27.
Vậy min g(t) = g(a3
/27) =
3
3
a 2
27 a
+
7
Từ đó Q ≥ g(a3
/27) dấu bằng xảy ra khi
x = y = z = a/3
Vậy min A = a3
/27 + 27/a3
.
b) a > 3. Ta thấy g’ (t) < 0 khi t < 1 và g(t) > 0 khi t > 1. Do đó min g(t) = g(1)
= 2.
Vậy Q ≥ 2. Dấu bằng đạt được khi x = y = z = 1.
8 4

5. www.truongthi.com.vn Môn Toán
Từ đó min Q = 2.
Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của các hàm số sau
1) ( ) ( ) 2 21
F x x 2a x 3ax 3a , 0 x 2a, a 0
4
= + − + ≤ ≤ >
2) ( )
( )2 2
x a 1 x a a
F x , x 2a, a 0
x 2
− − +
= ≤ ≤ >
Giải . 1) Ta có
( )( )2 2
2 2
x 2a 2x 3a1
F '(x) x 3ax 3a
4
2 x 3ax 3a
 + −
= − + + 
 − + 
=
2
2 2
4x 5ax
; x R.
8 x 3ax 3a
−
∈
− +
F’(x) = 0 khi x = 0 và 5a/4. Ta cũng có
F’(x) > 0 khi x < 0 hoặc x > 5a/4,
F’(x) < 0 khi 0 < x < 5a/4.
Vậy ( ) ( )( )
2
2
0 x 2a
a 3
max F max F 0 , F 2a max , a
2≤ ≤
 
= =  
 
 
= a2
2 2
0 x 2a
5a 1 13a 13a 13 13a
min F F
4 4 4 16 64≤ ≤
 
   = = =    
 
2) Ta có ( )
2 2
2
x a
F ' x
x
−
= F’(x) = 0 ⇔ x = ± a
Nhưng x ∈ [a/2, 2a] nên chỉ cần xét cực trị tại x = a
Ta có F’(x) < 0 khi
a
x a
2
≤ < và
F’(x) > 0 khi a < x ≤ 2a
Vậy
a
x 2a
2
a 3
max F(x) max F , F(2a) max 1 ,1 3a
2 4
≤ ≤
    
= = +    
    
a
+
1 3a nÕu a 2/3
4+3a
nÕu a < 2/3
2
+ ≥

= 

và
a
x 2a
2
min F(x) F(a) 1 a
≤ ≤
= = +
Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của các hàm số sau:
1) ( ) 2 2 2
F x x 2ax 2a x 2bx 2b= − + + − + 2
10 5

6. www.truongthi.com.vn Môn Toán
x a b, 0 a≤ + < < b
2) ( ) 3 3
F x x 3x 2, 2 x 2= − + − ≤ ≤
Giải. 1) F xác định với mọi x ∈ R. Ta có
( ) 2 2 2
x a x b
F ' x
x 2ax 2a x 2bx 2b
− −
= +
− + − + 2
,
( )
a x b
2ab
F ' x 0 xx a b x a b
a b
< <

= ⇔ ⇔ = − − +=
Ta thấy 2ab ≤ (a + b)2
⇒
2ab
a b
0 a b< ≤ +
+
Ta thấy F’(x) khi
2ab
x
a b
<
+
F’(x) > 0 khi
2ab
x
a b
>
+
Vậy
x a b
max F(x)
≤ +
= max (F( a  b), F(a + b))
= F( a  b) = ( ) ( )2 22 2
2a b a a 2b b+ + + + +
và ( )2 2
x a b
2ab
min F(x) F 2 a b
a b≤ +
 
= = + + 
2) Đặt y = x3
 3x + 2
Ta có y’ = 3x2
 3, y’ = 0 ⇔ x = ± 1
và y’(x) > 0 ⇔ x <  1 hoặc x > 1
y’ (x) < 0 ⇔  1 < x < 1
Điểm cực đại (1, 4), điểm cực tiểu (1, 0)
Vậy ( ) ( ) ( )( )2 x 2
max y x max y 1 , y 2 4
− ≤ ≤
= − =
và ( ) ( ) ( )( )2 x 2
min y x min y 2 , y 1 0
− ≤ ≤
= − =
Do đó 3
2 x 2 2 x 2
max F(x) 4, min F(x) 0
− ≤ ≤ − ≤ ≤
= =
3. Phương pháp miền giá trị
Ví dụ 8. Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm
1)
2
x 1
y
x x
+
=
+ + 1
12 6

7. www.truongthi.com.vn Môn Toán
2)
( )
2
2 2 2 2
6ax
y
a 3x a a 12x
=
 + + + 
 
, x ∈ (0, + ∞), a > 0
Giải
a) Giả sử m là một giá trị của hàm số, khi đó có x sao cho
2
x 1
m
x x
+
=
+ + 1
⇔ mx2
+ (m – 1)x + m - 1 = 0. Phương trình này có nghiệm nên với m ≠ 0 ta
phải có
∆ = (m – 1)2
– 4m(m – 1) 0≥
Hay: - 3m2
+ 2m + 1 ≥ 0 ⇔
1
m 1
3
− ≤ ≤
Mặt khác m(0) = 1, ( )
1
m 2
3
− = − . Ngoài ra với x = - 1, ta có m(-1) = 0. Vậy
m = 0 cũng là một giá trị.
Từ đó: max y = 1, min y = - 1/3
2) Giả sử y là một giá trị của hàm. Tức là có x > 0 sao cho
( )
2
2 2 2
6ax
y
a 3x a a 12x
=
+ + + 2
Nếu đặt t =
2
a 12x+ 2
thì x > 0 ⇔ t > a (trên R+)
( )
( )( )
2 2
2 2
2a t a
y
2a t t a
−
=
+ +
, t ∈ (a, +∞).
hay
( )
2
2a t a
y
t 3a
−
=
+ 2
⇔ y2
t2
 2at + a2
(3y + 2) = 0 (1)
a) Với y = 0 ⇔ t = a, giá trị này không thuộc tập xác định.
b) Với y ≠ 0, (1) có nghiệm thì ∆’ = a2
 a2
y(3y + 2) ≥ 0 hay 3y2
+ 2y  1 ≤ 0 ⇔ 
1 ≤ y ≤ 1/3. Nhưng y > 0 nên 0 < y ≤ 1/3.
Với y = 1/3, ∆’ = 0 và t1 = t2 = a/ (1/9) = 9a > a vậy y = 1/3 thuộc miền giá trị
và là giá trị lớn nhất.
( )
t a
max y t 1 /
>
= 3
Ta thấy ( )
t a 0
lim y t
→ +
= 0 . Vậy hàm số không có giá trị bé nhất.
8. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số
14 7

8. www.truongthi.com.vn Môn Toán
( )
2
2
x cos 2x cos
y ,
x 2x cos 1
α − + α
= <
− α +
0 α < π
Giải
Mẫu số x2
- 2xcos α + 1 = ( x - cosα)2
+ sin2
α > 0.
Giả sử m là một giá trị của y, thế thì có một số x ∈ R sao cho
(m - cosα )x2
– 2(mcosα - 1)x + m - cosα = 0
a) m = cos α là một giá trị m = y (0)
b) Với m ≠ cos α, ta có
∆’ = (m cosα - 1)2
- (m - cos α)2
≥ 0
⇔ - sin2
α (m2
– 1) ≥ 0 ⇔ - 1≤ m ≤ 1 (vì sin2
α > 0)
m = ± 1 ứng với x = 1.
Vậy max y = 1, min y = - 1
16 8