1. NOVITA PARINGGA
I0409036
Universitas Sebelas Maret

2. PENDAHULUAN
 Metode numeric merupakan cabang ilmu matematika yang
menggunakan bilangan untuk menirukan proses matematik.
Banyak permasalahan dalam bidang teknik yang dapat
diformulasikan kedalam bentuk persamaan diferensial. Persamaan
diferensial merupakan suatu persamaan yang mengandung
turunan fungsi , persamaan diferensial dibagi menjadi dua yaitu
persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.
Persamaan diferensial parsial, metode yang digunakan adalah
metode beda hingga skema Eksplisit(FTCS), skema
Implisit(LAASONEN), skema Crank-Nicholson
 Adanya kemajuan dalam teknologi komputer
memungkinkan pelaksanaan komputasi secara tepat dan cepat
menjadikan berbagai metode penyelesaian persoalan dengan
pendekatan numerik sangat berguna. Dengan metode beda
hingga sangat memudahkan menyelesaikan persoalan-persoalan
perpindahan panas dengan bantuan komputer.

3. DASAR TEORI
 Perpindahan panas
Perpindahan panas mengalir pdari tempat yang bersuhu tinggi ke
rendah
ada 3 macam perpindahan panas:
1. konduksi: Perpindahan panas secara langsung(padat,cair,gas)
2. konveksi: perpindahan panas hanya pada zat cair
3. Radiasi: perpindahan panas tanpa adanya perantara

4.  Metode beda hingga
Suatu metode numeric untuk menyelesaikan suatu permasalahan
diferensial dengan mengaproksimasi turunan-turunan persamaan tersebut
menjadi system persamaan linier. Metode ini untuk mendekati ungkapan
turunan pertama dan kedua.
Metode beda hingga didasarkan pada ekspansi deret Taylor, yaitu
metode pendekatan agar sebuah persamaan diferensial parsial dapat diubah
menjadi operasi aritmatika dan operasi logika yang dapat dibaca oleh
komputer.
Deret Tylor:
f ( x) 2 2
f ( x) 3 3
f
f (x x) f ( x) ( x) 
x 2! x2 3! x3
f ( x) 2 2
f ( x) 3 3
f
f (x x) f ( x) ( x) 
x 2! x2 3! x3
( x) n n f
f (x x) f ( x)
n 1 n! xn
Ekspansi deret Taylor untuk fungsi dua variabel menghasilkan beda maju
orde pertama, beda mundur orde pertama, beda tengah orde pertama, dan
beda tengah orde kedua

5. Pendekatan beda hingga untuk turunan f
pertama x
1. Pendekatan beda maju (forward difference)
f fi 1 fi
( x)
x x
2. Pendekatan beda mundur (backward difference)
f fi fi 1
( x)
x x
3. Pendekatan beda tengah (central difference)
f fi fi
1 1
( x) 2
x 2 x
2
Pendekatan beda hingga untuk turunan kedua f
x2
1. pendektan beda tengah (central difference)
2
f fi 1 2 fi fi 1 2
x
x2 x
2

6. Persamaan perpindahan panas konduksi 1D
2
T T
t x2 unsteady
2
T
0 steady
x2
Ada 3 macam metode beda hingga yang dapat menyelesaikan persamaan
perpindahan panas satu dimensi UNSTEADY
1.Metode FTCS (forward in time central in space)
n+1
t i = indeks ruang
n= indeks waktu
n
i-1 i i+1
x
Skema metode FTCS

7. Diskretisasi persamaan konduksi 1D
2
T T
t x2
Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju
Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah
Diskretisasi turunan waktu
T Ti n 1
Ti n
t
t t
Diskretisasi turunan ruang
2
T Ti n1 2Ti n Ti n1 2
2
x
x2 x
Sehingga :
Ti n 1
Ti n Ti n1 2Ti n Ti n1
2
t x
n 1 n t
Ti Ti 2
Ti n1 2Ti n Ti n1
x

8. 2. Metode Laasonen
x
i-1 i i+1
n+1
i = indeks ruang
t n= indeks waktu
n
Skema metode Laasonen
Diskretisasi persamaan konduksi 1D
2
T T
t x2
Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju
Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah
Diskretisasi turunan waktu
T Ti n 1
Ti n
t
t t
Diskretisasi turunan ruang
2
T Ti n1 1 2Ti n 1
Ti n1 1 2
2
x
x2 x

9. Ti n 1
Ti n Ti n1 1 2Ti n 1 Ti n1 1
2
t x
t n1
Ti n 1
Ti n 2
Ti 1 2Ti n 1 Ti n1 1
x
t
2
Ti n1 1 2Ti n 1
Ti n1 1 Ti n 1
Ti n
x
t t t
2
Ti n 1 1 1 2 2
Tin 1
2
Ti n 1 1 Tin
x x x
aiTi n11 biTin 1
ciTin 11 di
Persamaan diatas disebut persamaan tridiagonal matriks
t
ai 2
x
t
bi 1 2 2
x
t
ci 2
x
di Ti n

10. 3. Metode Crank-Nicolson
n+1
t/2
i = indeks ruang
n+1/2 n= indeks waktu
t/2
n
i-1 i i+1
x
Skema metode Crank-Nicolson
Diskretisasi persamaan konduksi 1D
2
T T
t x2
Turunan waktu didiskretisasi dengan pendekatan beda maju
Turunan ruang didiskretisasi dengan pendekatan beda tengah

11. Metode Crank-Nicoson terdiri dari dua langkah waktu yaitu :
Langkah waktu ( nn+1/2)
Diskretisasi turunan waktu
n 1/ 2
T Ti Ti n
x
t t/2
Diskretisasi turunan ruang
2
T Ti n1 2Ti n Ti n1 2
2
x
x2 x
Ti n 1/ 2
Ti n Ti n1 2Ti n Ti n1
2
t/2 x
Langkah waktu ( n+1/2n+1)
Diskretisasi turunan waktu
T Ti n 1
Ti n 1/ 2
x
t t/2
Diskretisasi turunan ruang
2
T Ti n1 1 2Ti n 1
Ti n1 1 2
2
x
x2 x

12. Ti n 1
Ti n 1/ 2
Ti n1 1 2Ti n 1 Ti n1 1
2
t/2 x
Jika langkah waktu ( nn+1/2) dan ( n+1/2n+1) dijumlahkan menjadi :
Ti n 1/ 2
Ti n Ti n1 2Ti n Ti n1
2
t/2 x
Ti n 1
Ti n 1/ 2
Ti n1 1 2Ti n 1 Ti n1 1
t/2 x
2 +
Ti n 1
Ti n Ti n1 2Ti n Ti n1 Ti n1 1 2Ti n 1
Ti n1 1
2 2
t/2 x x
t t t
2
Ti n 1 1 1 2
Tin 1
2
Ti n 1 1
2 x x 2 x
t
Ti n 2
Ti n1 2Ti n Ti n1
2 x
aiTi n11 biTin 1
ciTi n 11 di

13. Dimana :
t t
ai 2
bi 1 2
2 x x
t t
ci 2
di Ti n 2
Ti n1 2Ti n Ti n1
2 x 2 x
CONTOH SOAL
Sebuah dinding 1 dimensi lebar (L) 0.06 meter terbuat dari besi
dengan difusivitas thermal =0.000217 m2/s. Mula-mula temperatur dinding
(To) seragam 0ºC, kemudian dinding sebelah kiri (T1) dipertahankan pada
temperature 50 ºC dan kanan (T2) dipertahankan pada temperatur 10ºC.
Hitunglah distribusi temperatur pada dinding setelah 0.05s dan 0.15s dengan
menggunakan skema FTCS, Laasonen dan Crank Nicholson?
T1 T0 T2
L

14. Jawab :
1. Langkah pertama membagi
domain menjadi Nx, = 31 grid
T1=50C T2=10C
dengan lebar tiap grid ∆x = 0.06/31-
1= 0.02 m
langkah waktu ∆t= 0.001
i= x
α = 0.000217m2/s
i=nx
1 batas waktu Tmax 0.05s dan 0.15s
0.06m 2. Langkah kedua menentukan
kondisi awal (IC) Ti= 0oC
3. Langkah ketiga menentukan
kondisi batas (BC) T1= 50OC, TNX =
10OC
4. Langkah keempat menghitung Tin+1
dengan metode
FTCS, Laasonen, Crank Nicholson
menggunakan program foutran

15. 1. Skema FTCS
Program FTCS
DIMENSION U(100),UN(100),X(100)
TP=0.06
NX=31
DX=TP/(NX-1)
DT=0.001
ALP=0.000217
DO I=1,NX
UN(I)=0.
ENDDO
UN(1)=50.
UN(NX)=10.
WRITE(*,10)
10 FORMAT(1X'TMAX=',)
READ(*,*)TMAX
T=0.
123 T=T+DT
DO I=2,NX-1
U(I)=UN(I)+ALP*DT/DX/DX*(UN(I-1)-2*UN(I)+UN(I+1))
ENDDO
DO I=2,NX-1
UN(I)=U(I)
ENDDO

16. IF(T<TMAX) GO TO 123
DO I=1,NX
X(I)=(I-1)*DX
WRITE(*,20)I,X(I),UN(I)
20 FORMAT (1X,I2,2X,F8.3,2X,F8.3)
ENDDO
END
HASIL

17. 2. Skema Laasonen
Menentukan Kondisi batas:
T1= 500C i=1
Persamaan matriks untuk i= 1
n 1 n 1 n 1 menjadi
aiT i 1 biTi ciTi 1 di
n 1 n 1 n 1 agar T1 n+1= 50OC dibuat permisalan
aT
1 0 b1T1 cT 1 2 d1
a1 0 b1 1 c1 0 d1 T1
Untuk i=Nx
anxTnx 11
n n
bnxTnx 1
cnxTnx 11
n
d nx Agar persamaan menjadi , TNXn+1 = 100C
anx 0 bnx 1 cnx 0 d nx 10

18. Program Laasonen
DIMENSION U(100),X(100)
DIMENSION
A(100),B(100),C(100),D(100)
NX=31
TP=0.06
DX=TP/(NX-1)
DT=0.001
ALPA=0.000217
DO I=1,NX
U(I)=0.
ENDDO
U(1)=50. ! BATAS KIRI
U(NX)=10. ! BATAS KANAN
WRITE(*,10)
10 FORMAT(1X,'tmax= ',)
READ(*,*)tmax
123 t=t+DT
DO I=2,NX-1
A(I)=-ALPA*DT/DX/DX
B(I)=1.+2*ALPA*DT/DX/DX
C(I)=-ALPA*DT/DX/DX

19. D(I)=U(I)
ENDDO
A(1)=0.
B(1)=1.
C(1)=0.
D(1)=U(1)
A(NX)=0.
B(NX)=1.
C(NX)=0.
D(NX)=U(NX)
CALL TRIDI(A,B,C,D,1,NX)
DO I=1,NX
U(I)=D(I)
ENDDO
IF((t+DT/2)<tmax)GOTO 123
WRITE(*,*)' tmax = ',tmax
DO I=1,NX
X(I)=(I-1)*DX
WRITE(*,20)X(I),U(I)
ENDDO
20 FORMAT(1X,F8.3,1X,F8.3)
END

20. SUBROUTINE TRIDI(A,B,C,D,L1,L2)
PARAMETER(M=100)
DIMENSION A(M),B(M),C(M),D(M)
DO 1 I=L1+1,L2
R=-A(I)/B(I-1)
B(I)=B(I)+R*C(I-1)
1 D(I)=D(I)+R*D(I-1)
D(L2)=D(L2)/B(L2)
DO 2 J=L2-1,L1,-1 HASIL
2 D(J)=(D(J)-C(J)*D(J+1))/B(J)
RETURN
END

21. 3. Skema Crank Nicholson
Cara menyelesaikan sama seperti skema Laasonen yang membedakan rumus
a1,b1,c1,d1
Program Crank Nicholson
DIMENSION U(100),X(100)
DIMENSION A(100),B(100),C(100),D(100)
TP=0.06
NX=31
DX=TP/(NX-1)
DT=0.001
ALP=0.000217
DO I=1,NX ! IC
U(I)=0.
ENDDO
U(1)=50. ! BC
U(NX)=10. ! BC
WRITE(*,10)
10 FORMAT(1X,'TMAX=',)
READ(*,*)TMAX
456 T=T+DT

22. DO I=2,NX
A(I)=-ALP*DT/DX/DX/2
B(I)=1.+ALP*DT/DX/DX
C(I)=-ALP*DT/DX/DX/2
D(I)=U(I)+ALP*DT/2*(U(I-1)-2*U(I)+U(I+1))
ENDDO
A(1)=0.
B(1)=1.
C(1)=0.
D(1)=U(1)
A(NX)=0.
B(NX)=1.
C(NX)=0.
D(NX)=U(NX)
CALL TRIDI(A,B,C,D,1,NX)
DO I=1,NX
U(I)=D(I)
ENDDO
IF(T+DT/2<TMAX)GOTO 456
WRITE(*,*)' T= ',T
DO I=1,NX
X(I)=(I-1)*DX
WRITE(*,20)X(I),U(I)
ENDDO
20 FORMAT(2X,F8.3,F8.3)
END

23. SUBROUTINE TRIDI(A,B,C,D,L1,L2)
PARAMETER(M=100)
DIMENSION A(M),B(M),C(M),D(M)
DO 1 I=L1+1,L2
R=-A(I)/B(I-1)
B(I)=B(I)+R*C(I-1)
1 D(I)=D(I)+R*D(I-1)
D(L2)=D(L2)/B(L2)
DO 2 J=L2-1,L1,-1
2 D(J)=(D(J)-C(J)*D(J+1))/B(J) HASIL
RETURN
END

24. KESIMPULAN
1. Dengan menggunakan metode numeric pendekatan beda
hingga dapat dengan mudah menyelesaikan mensimulasikan
persoalan perpindahan panas konduksi satu dimensi dengan
bantuan komputer
2. Skema FTCS stabil dengan syarat
3. Skema Laasonen dan Crank Nicholson cara menyelesaikannya
persoaalannya harus terlebih dahulu menentukan kondisi
batasnya dengan memisalkan nilai a,b,c,d
4. Skema Crank-Nicolson merupakan metode beda hingga yang
memiliki kestabilan tanpa syarat dan nilai error nya paling kecil
dibandingkan skema FTCS dan Laasonen.