3. Zašto je čudesna?
• Dokaz 1: Čudesno je ono što nema kraj, a toga je u
gemetriji mnogo...
Broj decimala
broja PI
Mebijusova
traka koja
nema
spoljašnjost i
unutrašnjost
Asimptota, koja se beskonačno približava osi, ali je
nikada ne dodiruje ili seče ... I naravno, beskonačna je
prava...
4. Првих хиљаду цифара броја
ПИ
3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971
6939937510 5820974944 5923078164 0628620899
8628034825 3421170679 8214808651 3282306647
0938446095 5058223172 5359408128 4811174502
8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165
2712019091 4564856692 3460348610 4543266482
1339360726 0249141273 7245870066 0631558817
4881520920 9628292540 9171536436 7892590360
0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179
3105118548 0744623799 6274956735 1885752724
8912279381 8301194912 9833673362 4406566430
8602139494 6395224737 1907021798 6094370277
0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091
7363717872 1468440901 2249534301 4654958537
1050792279 6892589235 4201995611 2129021960
8640344181 5981362977 4771309960 5187072113
4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035
2619311881 7101000313 7838752886 5875332083
8142061717 7669147303 5982534904 2875546873
1159562863 8823537875 9375195778 1857780532
1712268066 1300192787 6611195909
2164201989...
- Данашњи супер рачунари су у стању да
израчунају трилионе цифара броја пи.
Ова израчунавања се често користе и за
мерење брзине рада, “снаге” рачунара.
- У свету раде неколико супер рачунара
само на пословима израчунавања нове
цифре броја ПИ.
-Ове “нове” цифре се свакодневно
испоручују пословним системима
(банкама, државним службама) где се
користе у пословима шифрирања
поверљивих података..
-Могуће је показати да је датум рођења
сваког човека “уписан” у децимале броја
ПИ.
5. • Dokaz 2:Čudesno je ono što je drevno,
staro
• Stari Egipćani bez geometrije nikada ne bi
izgradili piramide
Додекаедар из 500
године пре нове ере.
То је вероватно била
играчка
Орнамент из
Забрањеног града
Кина
Vavilon i
Biblija nalaze
da je π = 3
6. • Dokaz 3: Čudesna je umetnost, a ona je
inspiraciju često tražila u geometriji
АлбрехтДирер,
(1471-1528)
``Меланхолија``
Јохан Нојдорфер и
његов син, 1561
LOUVRE MUSEUM - PARIS
Lucio Safaro, ``Platonova
tela``
kompjuterska grafika, 1989.
Салвадор Дали Odnos 5 : 3
približna je
vrednost broja φ u
umetnosti kojom
se označava
idealan odnos
“Čovek je geometrijska
životinja!”
Korbizje, arhitekta
7. Renesansna umetnost je
zasnovana na geometriji
Mikelanđelo Buonaroti (1475 – 1564) je 1505.g. pozvan od Pape
Julija II da oslika Sikstinsku kapelu. Pošto je bila u pitanju izuzetno
visoka cifra koju je Mikelanđelo tražio Papa je zahtevao brzi
dokaz umetnikovih sposobnosti. Na to je Mikelanđelo prišao pultu i
slobodnom rukom u jednom potezu nacrtao
SAVRŠENU KRUŽNICU
Leonardo da
Vinči –
idealne
proporcije
ljudskog tela i
pravila
perspektive
Albertijeva perspektivna
konstrukcija kvadratnog pločnika
8. • U istoriji matematike Pjero dela
Frančeska se pominje zbog unošenja
geometrijskih znanja i veština u slikarstvo.
• U istoriji umetnosti jedan je od
najvećih umetnika renesanse.
• Istoričar Vasari ga naziva najvećim
geometrom svoga vremena.
• Pjero dela Frančeska nacrtao je pet
Platonovih pravilnih tela u perspektivi.
“Perspektiva je neobično fino istraživanje i pronalazak matematičkih učenja, koja pomoću linija
čini da ono što je blizu izgleda daleko, i da ono što je malo izgleda veliko.”
Leonardo da Vinči (1452-1512.), ”Traktat o slikarstvu”
• Pjero dela Frančeska (1416-1492)
9. Током ренесансе, сликари биТоком ренесансе, сликари би
представљањем полиедара на својимпредстављањем полиедара на својим
сликама позвђивали своје мајсторство усликама позвђивали своје мајсторство у
цртању перспективецртању перспективе
10. Dokaz 4: Čudesno je ono što nam
je teško da objasnimo
Odakle ova “rupa”, ako su svi delovi pre i posle premeštanja isti?
11. Ovaj “trik” ima objašnjenje
• Problem je optička varka da u prvoj slici sastavljeni
delovi čine pravilan trougao... Zapravo.. tamo gde se
ivicama spajaju tamnozeleni i crveni trouglovi, nije prava
linija.. Postoji malo udubljenje.. Lenjir na papiru.. ili
povučena duž u nekom programu za crtanje bi ovo lako
otkrila.
A u sledećem sklopu figurica (tamo gde "fali" kvadratić):
Tako što su zamenili mesta, tamo gde se tamno zeleni i
crveni trouglovi dodiruju, postoji blago ispupčenje...
Razlika u površini izmedju prvog sklopa i drugog je ravna
tom kvadratiću koji nedostaje
12. ... Ali neki trikovi
geometrije još čekaju
rešenje
“Квадратура круга” је
други велики проблем
старогрчких
математичара (први је
удвајање коцке, трећи
трисекција угла) који
су дуго година
покушавали да реше
многи математичари.
Данас је то синоним за
НЕРЕШИВЕ
проблеме.
KONSTRUISATI
KVADRAT ISTE
POVRŠINE KAO
KRUG!
13. • Dokaz 5: Čudesne su bajke i priče
,,Pogledajte, kroz mikroskop, ćelije organa,
videćete da se sav život u loptama i
krugovima slaže i razlaže. Svugde je krug, i
svugde odredjuje i pobeđuje centrum...
Sve što je materija krug je, i sve što nije
materija krug je. Bog je krug, magla je
krug, život je krug, organizam je krug,
društvo je krug...
Jer je svud carstvo istoga i jednakog
udaljenja..., a čovek udara glavom o zid i
razbija se o periferiju onog središta, kome
je rob. ,,
Isidora Sekulić
(Prozni radovi, KRUG)
14. • Dokaz 6: Čudesna je iluzija
• M. C. Ešer (1902-1972),
``Zvezde``(1948)
Savremeni umetnik kome je inspiracija bila geometrija, matematika. Za njega kažu
da je ``slikar koji je uspeo da naslika beskonačnost``
15. • Dokaz 7: Geometrija je čudesna jer postoji u prirodi, mada izgleda
kao da je jedino čovek u stanju da načini takve stvari
Savršeni diskovi od leda
Biljna arhitektura
16. Geometrijski aspekt zlatne sredine –
Božanske proporcije u prirodi,
umetnosti, arhitekturi:
GA B
b a
a : b = b : (a + b)
Manji deo odnosi se prema
većem delu,
kao veći deo prema celom.
17. “Златни пресек је једно од два блага
геометрије, поред Питагорине теореме”
Кеплер (XVI век)
Математичари – филозофи, сматрају да лепота
не може бити случајна, трагајући за математичком
формулом лепоте, налазе је у пропорцијама
природе.
18. • Природа задовољава
геометријске захтеве.
•Кристалне структуре задовољавају одређена правила
симетрије и попуњавања простора исто тако строга као и за
правилне полиедре
19. Лак пролаз кроз ћелијску
мембрану
ћелија
• Молекули воде се
групишу у блик
икосаедра који не
може да прође кроз
ћелијску мембрану
• Групација икосаедра
се трансформише у
мање групације у
форми додекаедра и
тако пролази кроз
ћелијску мембрану
20. Dokaz 7a: I kosmos je čudesan, a
geometrija je utkana u njega
Platonov dijalog ‘’TIMAJ’’ je viđenje kosmologije, matematičke fizike i
antropologije.Tu ovaj grčki filozof daje viđenje o uređenju kosmosa:
postojao je Demiurg ( graditelj ), vrsni matematičar koji je sredio
postojeći kosmički materijal po matematičkim načelima. Poslednji
elementi tako sačinjenog kosmosa imenovani su kao matematička
bića- trouglovi od kojih su sačinjeni pravilni poliedri
• Johan Kepler je razvio mističnu teoriju da se
kosmos sastoji od pet pravilnih poliedara,
obmotanih jednom sferom, sa planetom
imeđu svakog pojasa.Tada je bilo poznato
šest planeta.Svoje prvo veliko delo nazvao je
‘’Misterija sveta’’ jer je bio ubeđen da je otkrio
tajnu kosmosa.
• Ideja je bila pogrešna.
21. FIGURA U SVETU SLIKA (iz tv-
serije “Kosmos” – Karla Sagana)
Zamislite zemlju u kojoj sve
stvari i bića žive u dve
dimenzije.
Zašto ta bića ne bi mogla da
vide jabuku koja im dolazi u
susret?
A ako jabuka baš
“reši” da uđe u
njihov svet, kako
će je Ravnođijci
videti? Kako će
se oblik menjati
dok jabuka
prolazi kroz ravan
svet?KAO KRUGOVI KAO TAČKE
22. ČETVRTA DIMENZIJA?
Zamislite sledeću situaciju. U Ravnođiju je zalutala
kocka. Pogledajte sliku levo. Kako je Ravnođijci
jedino mogu videti?
Naš svet je trodimenzionalan. Da biste shvatili
četvrtu dimenziju, pogledajte sliku. Da li ugao
označen na slici može da bude prav u slučaju da je
jedna kocka unutar druge? Četvrta dimenzija bi
značila da bi svi uglovi u jednom ovakvom telu bili
pravi.
23. Dokaz 8: Geometrija je često
smatrana osnovom religije,
zasnovane na čudima
Grčki matematičar Pitagora je proučavao svojstva
prirodnih brojeva koja su i dan danas poznata,
kao na primjer parni i neparni brojevi, savršeni
brojevi itd. Po njemu, svaki broj ima čak i svoje
osobine: muški i ženski, savršen ili nepotpun, lep
ili ružan. Postojao je i najbolji od svih brojeva: broj
10, kojeg su prepoznali kao zbir prva četiri
prirodna broja (1 + 2 + 3 + 4 = 10).
Naravno, mi danas pamtimo Pitagoru po poznatoj
teoremi, koja je, iako nazvana po njemu, ona bila
poznata još i starim Vaviloncima 1000 godina pre
nego što se Pitagora rodi, ali on ju je prvi
dokazao. Po nekima, kada je Pitagora dokazao tu
teoremu, bogovima u čast je žrtvovao vola što su
ga prosvetlili.
24. Dokaz 8a:
Luca di Pacioli (XV век)
"Божанско у броју φ је његова Ирационалност!"
Бројеви природе су Ирационални!
π = 3.14159265...
е = 2.718281828...
φ = 1.618033989...
25. 13 latica
Suncokret ima 34 spirale u
jednom i 21 spiralu u drugom
pravcu
Фибоначијев низ је најбоља целобројна
апроксимација броја φ.
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,...
5 latica 21 latica
26. Dokaz 8c: I hrišćanski mislioci koriste
geometriju da bi prikazali odnos čoveka i
boga
27. ЖИВОТ И ГЕОМЕТРИЈА?
БОГ (ИЛИ СВЕТ) – КРУГ
ИЗ ЧИЈЕГ ЦЕНТРА СЕ
МОЖЕ ПОВУЋИ
БЕСКОНАЧНО МНОГО
ПУТАЊА – ЗА СВАКОГ
ЧОВЕКА НА СВЕТУ
ШТО СМО БЛИЖИ
ЦЕНТРУ, БЛИСКИЈИ СМО
ДРУГИМ ПУТЕВИМА –
ЉУДИМА. ЉУБАВ ЈЕ ЈАЧА
УКОЛИКО СМО БЛИЖИ
БОГУ ИЛИ СМИСЛУ И
БЛИЖИ СМО ТОМЕ САМО
АКО СМО БЛИЖИ ДРУГИМ
ЉУДИМА.
ПУТ КА ЦИЉУ - БОГУ – СМИСЛУ
ПРИБЛИЖАВАЊЕ ЦЕНТРУ
28. ГЕОМЕТРИЈА У СЛУЖБИ
САГЛЕДАВАЊА СТВАРНОСТИ
• У кутији са страницама од
мутног стакла која је
осветљена изнутра једна
група ученика видела је ово:
• Друга група ученика
посматрала је исту кутију, али
је видела ово:
• Обе групе су биле у праву.
Како је то могуће? Шта су
заправо видели?
29. Dokaz 9: Čudesno je uvek znak, simbol, a geometrijska
tela i oblici su među najstarijim i najmnogoznačnijim
simbolima
TETRAEDAR SIMBOLIZUJE VATRU
KOCKA SIMBOLIZUJE ZEMLJU
OKTAEDAR VAZDUH
30. SIMBOLIKA KRUGA
• Krug spada u temeljne simbole, pored tačke, kvadrata i krsta
• ,,Krug je arhetipska slika celovitosti psihe,, K.G.Jung
• Teologija pravi analogiju: središte (Bog) – krug (stvaranje)
• U hrisćanstvu krug je simbol večnosti; u islamu krug je apsolut, krug oko Božije
nedostupnosti
• U Zen budizmu koncentrični krugovi duhovni su nivoi
• Krug u kvadratu simbol je iskre božanskog u materiji - Kabala
• Krug je i magijska zaštita u svim civilizacijama i poprima oblike prstena, narukvice,
ogrlice, krune…
• U filozofiji KRUG i KVADRAT simbolizuju ljudsku dijalektiku izmedju transcedentnog,
nebeskog (krug) i zemaljskog, materijalnog (kvadrat).
• ,,Krug je figura savršena, i jedinstvena u svojoj jednostavnosti i
beskonačnosti”
Ranko Radović ,,Savremena arhitektura”
32. Dokaz 10: Geometrija je, ponekad,
važnija od života. Čudesno.
• Arhimed je poginuo od
mača rimskog vojnika u
rodnom gradu Sirakuzi,
koja je dve godine
odolevala Rimljanima,
zahvaljujući spravama i
mašinama koje je
Arhimed konstruisao.
• Poslednje reči su mu
bile:”Ne diraj moje
krugove”.
33. Prema njegovoj želji na
nadgrobnoj ploči su mu
urezana dva geometrijska
tela - lopta upisana u valjak.
34. Ali, najveći dokaz da je geometrija čarobna
ja da dovodi samu sebe u pitanje
• Epitet kraljice nauka matematika duguje Euklidu i
geometriji!
• Euklidska geometrija je deduktivni logički sistem
koji čine:
nedefinisani pojmovi (tačka, prava, ravan),
definisani pojmovi,
aksiome, teoreme, dokazi.
• U XIX veku poljuljani su temelji euklidske
geometrije.Zasnovana je nova geometrija koja ne
počiva na iskustvu - neeuklidski prostor!
,,Da nisu verovali u Njutna, teoriju relativiteta
mogli su formirati pre Njutna Anri Poenkare i Ernst
Mah. Slično tome, Gaus je pre Lobačevskog i
Boljaija mogao formulisati principe neeuklidske
geometrije!,,
Akademik dr
Mirko Stojaković
35. Dokaz Pitagorine teoreme je savršeno jednostavan i logičan, ali
sada znamo da se ona ne može primenjivati u svemiru, na
velikim brojevima
1
1
2
3
4
2
3
4
c2
a2
b2
36. • Do XVII veka geometrija ima apsolutni primat u
matematici!
• Dekartov pravougli koordinatni sistem prevodi
tačku u uredjenu dvojku (trojku), dakle prevodi
tačku na broj!
• Jednačina neke krive omogućava da upoznamo
sva svojstva krive – otkriće, skoro istovremeno,
Dekarta i Ferma (XVII v).
ALGEBRIZACIJA GEOMETRIJE UPROSTILA
JE PROSTOR!
Rene DekartRene Dekart
37. Ko zna kakav nas prostor i vreme
očekuju u budućnosti?
Možda baš geometrija?