1. Thi thử Đại học www.toanpt.net
SỎ GD&DT THANH HÓA - TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 – NĂM HỌC 2010-2011
MÔN TOÁN (Khối A - B - D) - Thời gian làm bài: 180 phút
PHẦN CHUNG (7 điểm). Dành cho tất cả các thí sinh.
Câu I (2 điểm). Cho hàm số
1x
y
x m
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1m .
2. Tìm các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (d): 2y x cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao
cho 2 2AB .
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình lượng giác:
2
4sin .sin .sin 4 3.cos .cos .cos 2
3 3 3 3
x x x x x x
.
2. Giải hệ phương trình:
2
2
(1 ) ( 2 ) 5
(1 )( 2 2) 2
y x x y x
y x y x
Câu III (1 điểm). Tính tích phân sau:
3
2
0
cos cos sin
( )
1 cos
x x x
I x dx
x
Câu IV (1 điểm).
Cho hình thoi ABCD cạnh a, góc 0
60BAD . Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, ( )SG ABCD và
6
3
a
SG .
Gọi M là trung điểm CD.
1. Tính thể tích khối chóp S.ABMD theo a.
2. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng AB và SM theo a.
Câu V (1 điểm). Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn 3x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 3
4 4 4
(2 1 8 4 2) (2 1 8 4 2) (2 1 8 4 2)
x y z
A
y y x z z y x x z
.
PHẦN RIÊNG (3 điểm). Thí sinh chỉ làm một trong hai phần A hoặc B.
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB: 2 1 0x y , đường chéo BD:
7 14 0x y và đường chéo AC đi qua điểm (2;1)E . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
2. Trong không gian Oxyz cho các đường thẳng 1 2
1 1 1 4
: , :
1 2 1 1 2 3
x y z x y z
d d
.
a. Chứng minh rằng hai đường thẳng đó chéo nhau và vuông góc với nhau.
b. Viết phương trình đường d cắt cả hai đường thẳng 1 2,d d đồng thời song song với đường thẳng
4 7 3
:
1 4 2
x y z
.
Câu VII.a (1 điểm).
Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện 2 1z i z i và
1
2
z i
z i
là một số thuần ảo.
B. Theo chương trình Nâng cao.
Câu VI.b (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip
2 2
( ) : 1
16 9
x y
E và đường thẳng :3 4 12 0d x y . Chứng minh rằng
đường thẳng d cắt elip (E) tại hai điểm A, B phân biệt. Tìm điểm ( )C E sao cho ABC có diện tích bằng 6.
2. Trong không gian Oxyz cho các đường thẳng 1
2 4
:
1 1 2
x y z
d
và 2
8 6 10
:
2 1 1
x y z
d
.
a. Chứng minh rằng 1 2,d d chéo nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.
b. Gọi AB là đường vuông góc chung của 1d và 2d ( 1 2,A d B d ). Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
Câu VII.b (1 điểm). Giải hệ phương trình:
3 3log ( ) log ( )
2 2
4 4 4
4 2 2
1
log (4 4 ) log log ( 3 )
2
xy xy
x y x x y
2. Thi thử Đại học www.toanpt.net
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2
Câu Ý Nội dung Điểm
I
1
(1 đ)
Với 1m ta được hàm số
1
1
x
y
x
.
1/ TXĐ: 1D R
2/ Sự biến thiên:
- Giới hạn:
1
lim lim 1
1x x
x
y
x
đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là 1y .
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1
lim lim ; lim lim
1 1x x x x
x x
y y
x x
đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là 1x
- Chiều biến thiên:
2
2
' 0
( 1)
y x D
x
hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.
Hàm số không có cực trị.
- Bảng biến thiên
x 1
'y
y
1
1
3/ Đồ thị:
- Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (1;0) , cắt trục Oy tại điểm (0; 1)
0.25 đ
0.25 đ
0.5 đ
2
(1 đ)
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị hàm số (1):
2
1
2
( 1) 2 1 0 (*)
x mx
x
x m x m x m
- Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B phân biệt khi và chỉ khi PT
(*) có hai nghiệm phân biệt khác m
2
0 6 3 0 3 2 3 3 2 3
1 1
m m m m
x m m m
(**)
- Khi đó gọi 1 2,x x là các nghiệm của PT (*), ta có 1 2
1 2
( 1)
. 2 1
x x m
x x m
- Các giao điểm của d và đồ thị hàm số (1) là 1 1 2 2( ; 2), ( ; 2)A x x B x x .
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
3. Thi thử Đại học www.toanpt.net
Suy ra 2 2 2 2
1 2 1 2 1 22( ) 2 ( ) 4 2( 6 3)AB x x x x x x m m
Theo giả thiết ta được 2 2 1
2( 6 3) 8 6 7 0
7
m
m m m m
m
- Kết hợp với điều kiện (**) ta được 7m là giá trị cần tìm.
0.25 đ
II
1
(1 đ)
Giải phương trình:
2
4sin .sin .sin 4 3.cos .cos .cos 2
3 3 3 3
x x x x x x
.
2
PT 2sin (cos2 cos ) 2 3.cos .(cos(2 ) cos ) 2
3 3
2sin .cos2 sin 2 3.cos .cos2 3 cos 2
(sin3 sin ) sin 3(cos3 cos ) 3 cos 2
1 3
sin3 3 cos3 2 sin3 cos3 1
2 2
cos 3 1 3 2 3 2
6 6 6
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x k x k
2
, Z.
18 3
x k k
Vậy PT ban đầu có 1 họ nghiệm :
2
, Z
18 3
x k k
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
2
(1 đ)
Giải hệ PT:
2
2
(1 ) ( 2 ) 5
(1 )( 2 2) 2
y x x y x
y x y x
(I)
* Nếu 0x thì hệ (I)
2
2
1 0
(1 )(2 2) 0
y
y y
vô nghiệm.
* Nếu 0x thì chia cả hai vế của cả hai PT trong hệ cho x ta được hệ tương đương
2 2
2 2
1 1
( 2 ) 5 ( 2 2) 3
1 1
( 2 2) 2 ( 2 2) 2
y y
x y x y
x x
y y
x y x y
x x
- Đặt
2
1
, 2 2
y
u v x y
x
, ta được hệ phương trình:
3 1
2 2
u v u
uv v
hoặc
2
1
u
v
- Với
2
2
2
1 2 41 11
2 2 4 2 3 0
2 2 2
y x yu x y
x
v x y y y
x y
2 4 2
1 3 1
x y x
y y y
10
3
x
y
- Với
2
2
2
1 2 32 1 22
1 2 3 4 5 0
2 2 1
y x yu y x
x
v x y y y
x y
2 3 1 13
1 5 1 5
x y x x
y y y y
- Vậy hệ ban đầu có 4 nghiệm ( ; ) (2; 1) , (10; 3) , (1; 1) , (13; 5)x y .
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
III (1 đ)
Tính tích phân:
4. Thi thử Đại học www.toanpt.net
S
M
G
D
CB
A
3
2
0
cos cos sin
( )
1 cos
x x x
I x dx
x
2
2 2
0 0 0
cos (1 cos ) sin .sin
.cos .
1 cos 1 cos
x x x x x
x dx x x dx dx J K
x x
- Tính
0
.cos .J x x dx
. Đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
0 0
0
( .sin ) sin . 0 cos 2J x x x dx x
- Tính 2
0
.sin
1 cos
x x
K dx
x
Đặt x t dx dt
Đổi cận :
x 0
t 0
2 2 2
0 0 0
( ).sin( ) ( ).sin ( ).sin
1 cos ( ) 1 cos 1 cos
t t t t x x
K dt dt dx
t t x
2 2 2
0 0 0
( ).sin sin . sin .
2
1 cos 1 cos 2 1 cos
x x x x dx x dx
K dx K
x x x
Đặt cos sin .t x dt x dx
Đổi cận:
x 0
t 1 1
1
2
1
2 1
dt
K
t
, đặt 2
tan (1 tan )t u dt u du
Đổi cận:
t 1 1
u
4
4
2 24 4
4
2
4
4 4
(1 tan )
.
2 1 tan 2 2 4
u du
K du u
u
Vậy
2
2
4
I
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
IV
(1 đ)
1
(0.5 đ)
* Tính thể tích S.ABMD.
5. Thi thử Đại học www.toanpt.net
- Nhận thấy: SG là chiều cao của khối chóp S.ABMD,
6
3
a
SG ;
Do ABCD là hình thoi cạnh a, 0
60BAD ABD và BCD là các tam giác đều
cạnh a, M là trung điểm CD
2 2
2 2 2
1 1 3 3
2 2 4 8
3 3 3 3
2 8 8
BCM BCD
ABMD ABCD BCM
a a
S S
a a a
S S S
2 3
.
1 1 6 3 3 2
. . .
3 3 3 8 8
S ABMD ABMD
a a a
V SG S
Vậy
3
.
2
8
S ABMD
a
V
0.25 đ
0.25 đ
2
(0.5 đ)
* Tính khoảng cách giữa AB và SM:
- Nhận thấy: // //( )AB CD AB SCD , mà ( )SM SCD
( , ) ( ,( )) ( ,( ))d AB SM d AB SCD d B SCD h
- Lại có:
2 2 1 1 3 2 3
.
3 3 2 3 3 3
a a
AG AO AC AC GC
2 2
2 2 2 26 12
2
9 9
a a
SC SG GC a
Mặt khác
2 2
2 2 2 23 6 3
3 9 9
a a a
GD GA SD SG GD a
2 2 2 2 2 2
02 1
cos 45
2. . 2. 2. 2
SC CD SD a a a
SCD SCD
SC CD a a
2
01 1 1
. .sin 45 . 2. .
2 2 2 42
SCM
a a
S SC CM a
Vì . .
1
. .
3
S BCM B SCM SCMV V h S nên .3 B SCM
SCM
V
h
S
Mà
2 3 3 3 3
. . . .
1 6 3 2 2 2 2
. .
3 3 2 8 6 8 24
B SCM S BCM S ABCD S ABMD
a a a a a a
V V V V
3 2
3. 2 2
:
24 4 2
a a a
h .
Vậy
2
( , )
2
a
d AB SM
0.25 đ
0.25 đ
V
(1 đ)
- Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
3 2 2 2
3 2
2 23
2 1 8 2 (1 2 )(1 2 4 ) 1 2 1 2 4 2 4
4 4 1
2 1 8 2 4
(4 4 )(2 1 8 4 2)
y y y y y y y y
x x y
y y
y y x y x yy y x
Tương tự cho 2 hạng tử còn lại, ta được:
2 2 2
1 1 1 x y z
A
x y z z x x y y z
- Sử dụng BĐT AM-GM để đánh giá mẫu số, ta có:
0.25 đ
6. Thi thử Đại học www.toanpt.net
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
2
x y z x y z
A
x y z z x x y y z x y z zx xy yz
x y z x y z
- Lại có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 1 1 1 2
x y z x y z x y z
Suy ra
1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1
2 3 3
2 2
A
x y z x y z x y z
3
3 3 3 3 3
. 3 . 3
2 2 2
3
x y zxyz
.
Vậy min
3
1
2
A x y z
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
VI.a
1
(1 đ)
* Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật:
- Ta có: B AB BD suy ra tọa độ B là nghiệm hệ:
2 1 0 7
(7; 3)
7 14 0 3
x y x
B
x y y
- Giả sử (2 1; ) :2 2 1 0; (7 14; ) : 7 14 0A a a AB y D d d BD x y
(6 2 ; 3 ), (7 21; 3); (7 2 15; )AB a a BD d d AD d a d a
Do
3 (loai)
. 0 (3 )(15 5 30) 0
3 6 0
a
AB AD AB AD a d a
d a
3 6 ( 3;6 2 )a d AD d d
.
Lại có: ( 7; 3)C CBC x y
. Mà ABCD là hình chữ nhật nên AD BC
3 7 4
( 4; 9 2 )
6 2 3 9 2
C C
C C
d x x d
C d d
d y y d
.
(6 13; 3 7), ( 2; 8 2 )EA d d EC d d
với (2;1)E
- Mặt khác điểm (2;1) ,E AC EA EC
cùng phương
2
(6 13)(8 2 ) ( 2)(3 7) 5 6 0
2 0
0
3 3 (loai)
d d d d d d
d a
a
d a
Vậy (1; 0), (7; 3), (6; 5), (0; 0)A B C D là các đỉnh của hình chữ nhật cần tìm.
0.25 đ
0,25 đ
0.25 đ
0.25 đ
1
(1 đ)
1 2
1 1 1 4
: , :
1 2 1 1 2 3
x y z x y z
d d
.
Đường thẳng 1d đi qua điểm 1 (0; 1;0)M , có vectơ chỉ phương là 1 (1; 2; 1)u
Đường thẳng 2d đi qua điểm 2 (1; 1;4)M , có vectơ chỉ phương là 2 (1; 2;3)u
.
a/ Ta có 1 2 1 2 1 2 1 2, (8; 2; 4), (1; 0; 4) , . 8 0u u M M u u M M
1 2,d d chéo nhau.
Lại có 1 2 1 2. 1 4 3 0u u d d
. Vậy 1d , 2d chéo và vuông góc với nhau.
b/ Gọi 1 2, ( ; 1 2 ; ), (1 ; 1 2 ;4 3 )M d d N d d M t t t N s s s
(1 ; 2 2 ;4 3 )MN s t s t s t
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.
Lại có (1;4; 2)u
là vectơ chỉ phương của ,
0.25 đ
0.25 đ
0,25 đ
7. Thi thử Đại học www.toanpt.net
do đó //d u
cùng phương với MN
2 0
, 0
5 3 6 0
s t
u MN
s t
0
(2;3;2)
2
s
M
t
. Vậy đường thẳng cần tìm là
2 3 2
:
1 4 2
x y z
d
.
0.25 đ
VII.a
(1 đ)
* Tìm số phức z...
Đặt
2 ( 2)
( , )
1 ( 1) (1 )
z i a b i
z a bi a b R
z i a b i
2 2 2 2
2 1 ( 2) ( 1) (1 ) 1 3z i z i a b a b a b
Và 2 2 2 2
1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 2)( 1) (2 3) 2
2 (2 ) (2 ) (2 )
z i a b i a a b b a b b
i
z i a b i a b a b
là một số
thuần ảo khi và chỉ khi 2
( 1) ( 2)( 1) 0 4 3 1 0a a b b b b
1 2
1 7
4 4
b a
b a
. Vậy có hai số phức cần tìm: 2z i và
7 1
4 4
z i
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
VI.b
1
(1 đ)
* Chứng minh đường thẳng d cắt (E) tại 2 điểm ...
- Xét hệ PT giao điểm
2 2
4, 01
... (4;0), (0;3)16 9
0, 3
3 4 12 0
x y
x y
A B
x y
x y
là các
giao điểm của d và (E).
- Gọi
2 2
0 0
0 0( ; ) ( ) 1
16 9
x y
C x y E (1). Ta có 0 03 4 12
( , )
5
x y
d C AB h
0 0
0 0
3 4 121 1 1
. . .5. 3 4 12
2 2 5 2
ABC
x y
S AB h x y
Theo giả thiết suy ra 0 0
0 0
0 0
3 4 24 (2)
3 4 12 12
3 4 0 (3)
x y
x y
x y
- Từ (1) và (2) ta được PT 2
0 02 12 27 0y y , PT này vô nghiệm
- Từ (1 và (3) ta được PT 2
0 0 0
3
32 144 2 2
2
y y x .
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
3
2 2;
2
C
và
3
2 2;
2
C
.
0,25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
2
(1 đ)
Ta có: 1
2 4
:
1 1 2
x y z
d
và 2
8 6 10
:
2 1 1
x y z
d
.
1d đi qua điểm 1 (0;2; 4)M , có vectơ chỉ phương là 1 (1; -1; 2)u
2d đi qua điểm 2 ( 8;6;10)M , có vectơ chỉ phương là 2 (2;1; 1)u
.
a/ 1 2 1 2 1 2 1 2, ( 1;5;3), ( 8;4;14) , . 70 0u u M M u u M M
Suy ra 1d và 2d chéo nhau.
1 2 1 2
1 2
1 2
, . 70
( , ) 2 35
35,
u u M M
d d d
u u
b/ Ta có 1 2, ( ;2 ; 4 2 ), ( 8 2 ;6 ;10 )A d B d A t t t B s s s
( 8 2 ;4 ;14 2 )AB s t s t s t
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
8. Thi thử Đại học www.toanpt.net
Do AB là đường vuông góc chung nên 1 1
2 2
. 0 4
...
2. 0
AB u AB u s
tAB u AB u
(2;0;0), (0;10;6)A B .
Mặt cầu đường kính AB có PT là: 2 2 2
( 1) ( 5) ( 3) 35x y z .
0.25 đ
VII.b
Giải hệ PT:
3 3log ( ) log ( )
2 2
4 4 4
4 2 2 (1)
1
log (4 4 ) log log ( 3 ) (2)
2
xy xy
x y x x y
- ĐK: 0, 0x y .
Đặt 3log ( )
2 0xy
t , PT (1) trở thành
2
3
1 (loai) 3
2 0 2 log ( ) 1 3
2
t
t t t xy xy y
t x
Thay vào PT (2) ta được PT 2
4 4 42
36 1 9
log (4 ) log log ( )
2
x x x
x x
2
2 2 4 2
2 2 2
336 9 36
4 2 ( ) 2 18 0 9 18 0
6
x
x x x x x x
x x x x
3
3
6
6
2
y
x
x y
.
Vậy hệ có 2 nghiệm là 6
3; 3 , 6;
2
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
Lưu ý: - Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa của câu đó.
- Câu IV phải vẽ hình, nếu không vẽ hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm.
- Thí sinh thi khối D thì câu I.1 cho 1.5 điểm; câu II.1 cho 1.5 đ; câu II.2 cho 1.5 đ
