1. МАТЕМАТИК САГС эчнээ бодлогууд
1. Дарааллын зүй тогтлыг олж * -ны оронд тохирох тоог нөх.
10,11,12,13,14,15,16,17, 20, 22, 24,31,100,*,10000,...
2. n -ын ямар ч утганд n 2 + n − 9 нь 25 –д хуваагдахгүй гэж батал.
3. Зуун ширхэг дурын бүхэл тоо дундаас нийлбэр нь хоёр тэгээр төгссөн нэг буюу
хэд хэдэн тоо сонгон авч болно гэж батал.
4. 15 x 2 − 7 y 2 = 9 тэгшитгэл бүхэл тоон олонлогт шийдгүй гэж батал.
5. 6м2 талбайтайтасалгаанд тус бүр нь 3м2талбайтайдурын дүрстэй гурван хивс
дэвсчээ. Энэ гурван хивсний хоёр нь 1м2- аас доошгүй талбайтай хэсгээр зөрсөн
байна гэж батал.
6. 11 111111ба 1111 … 111 / нэгж 100 удаа орно/ тоонуудын хамгийн их ерөнхий
хуваагчийг ол.
7. 1, 2,3, 4..., 200 тоонууд дотроос 101ширхэг тоо дураар сонгон авлаа. Эдний
дотор нэг нь нөгөөдөө хуваагддаг хоёр тоо заавал олдоно гэж батал.
8. x8 + x 4 + 1 илэрхийллийг дөрвөн үржигдэхүүн болгон задал.
9. 1, 2, 3, 4,5, 6, 7 гэсэн цифрүүдийг дурын байрлалаар байрлуулахад үүсэх бүх
боломжит долоон оронтой тоонуудыг авч үзэхэд тэдгээрийн аль нь ч алиндаа
үл хуваагдана гэж батал.
10. x - ийн дурын утганд x12 − x 9 + x 4 − x + 1 > 0 байна гэж батал.
1 1 1 1 1 1 1 1
11. 1 − + − + ... + − = + + ... + тэнцэтгэлийг батал.
2 3 4 199 200 101 102 200
12. Ямар ч эерэг a, b, c тоонуудын хувьд:
1 1 1
a (1 − b) > , b(1 − c ) > , c (1 − a ) > тэнцэтгэл бишүүд нэгэн зэрэг биелж
4 4 4
болохгүй гэдгийг батал.
13. Шатрын хөлөгний 64 нүдэн дээр 1 -ээс 64 хүртэлх бүх тоог бичжээ. /Хамгийн
дээд талд зүүнээс баруун тийш 1 -ээс 8 хуртэлх тоог, дараагийн эгнээнд 9 -өөс
16 хуртэлх тоог гэх мэт/ Энэ хөлгөн дээр аль нь ч алиныгаа идэвхгүйгээр 8
тэрэг байрлуулав. Энэ 8 тэрэг байгаа нүдэнд харгалзах тоонуудын нийлбэрийг
олбол ямар тоо гарах вэ?
14. (n + 1)( n + 2)( n + 3)...(2n − 1)2n үржвэрийганхныүржигдэхүүнболгонзадлахад 2
гэсэнтоохэдэнудааорохвэ?
15. Шатрын 4 × n хэмжээтэй хөлөгний буудал бүрт морь нэг удаа бууж сүүлийн
нүүдлээр анхны буудалдаа эргэн ирж чадахгүй гэж батал.
16. Нэг бүрийн жин нь 500 г- аас хэтрэхгүй хэдэн туухай байв. Бүлэг тус бүрт нь
нийт жин нь 500 г-аас их байхаар хоёр бүлэгт эдгээр туухайнуудыг хувааж
болдоггүй байв. Тэгвэл эдгээр туухайнуудын нийт жин хамгийн ихдээ хичнээн
байх вэ?
17. 1, 2,3, 4..., n грамм жинтэй n ширхэг туухай байв. Эдгээрийг жингээрээ тэнцүү 3
хэсэг хуваахыг шаарджээ. n -ийн ямар утганд ингэж хувааж болох вэ?
18. Аравтын бичлэгт нь зөвхөн 0 ба 1 цифр ордог тийм бүх натурал тоонуудыг
авъя. Эдгээр тоонуудыг хоёр бүлэгт хуваахдаа нэг бүлгийг нь ялгаатай аль ч
2012-2013 ОНЫ ХИЧЭЭЛИЙН ЖИЛ 1

2. МАТЕМАТИК САГС эчнээ бодлогууд
хоёр тооны нийлбэрийн аравтын бичлэгт нь хоёроос доошгүй нэгж орсон
байхаар хуваа.
1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 1977
19. : : : : : : : : : ,... дарааллын хэддүгээр гишүүн -той тэнцүү
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1917
байх вэ?
20. 241977 + 141977 тоог 19-д хуваагдахыг батал.
21. Хэрэв n нь 5-д хуваагдахгүй натурал тоо бол n8 + 3n 4 − 4 нь 100- д хуваагдана
гэж батал.
22. Дурын натурал n тооны хувьд An = 5n + 2 ⋅ 3n −1 + 1 тоо нь 8-д хуваагдахыг батал.
23. Дурын 100 бүхэл тоон дотроос аль ч хоёрынх нь ялгавар 7-д хуваагддаг байр 15
тоог сонгон авч болох уу?
24. Тэгшитгэлийн бүхэл тоон шийдийг ол. x 2 − 3 xy + 2 y 2 = 3
25. n > 1 байх бүх натурал утганд
a) n 4 + 4
b) n 5 + n 4 + 1 тоонууд зохиомол болохыг батал.
26. a, b, c нь дурын эерэг тоонууд бол a 4 + b 4 + c 4 > a 2bc + b 2 ac + c 2 ab тэнцэтгэл
бишийг батал.
27. S = 1 − 3 + 9 + ... + 3n -ийн нийлбэрийг ол.
28. x3 + y 3 = 830 тэгшитгэлийн натурал тоон шийдийг ол.
29. 321 − 2 24 − 68 − 1 тоо 1930-д хуваагдана гэдгийг батал.
30. a ба b нь бүхэл тоонууд ба a = a 2 + b 2 − 8b − 2ab + 16 тэнцэтгэлийг хангадаг бол
a нь ямар нэг тооны квадрат болохыг батал.
31. 1993 ширхэг тоо өгөгдөв. Дурын дөрвөн тооны нийлбэр эерэг бол бүх
тоонуудын нийлбэр эерэг байж чадахуу?
32. 200! ба 100200 тоонуудын аль нь их вэ?
33. 70-аас бага ялгаатай 20 натурал тоо өгөгджээ. Тэдгээрийн ялгаварууд дотор
дөрвөн ижил ялгавар олдоно гэж батал.
34. Батад 4005 − 399 2 ⋅ (4003 + 2 ⋅ 4002 + 3 ⋅ 400 + 4) төгрөг байв. “Алгебра - 6” сурах
бичиг 2000 төгрөгийн үнэтэй бол Бат сурах бичиг авч чадах уу ?
35. 000000-999999номертой билетүүд дотроос зэрэгцээ орших хоёр цифрийн
ялгавар 5 байдаг билетийг азтай билет гэдэг. Тэгвэл нийт хичнээн азтай билет
байх вэ?
36. Дэс дараалсан 8 натурал тооны үржвэр бүхэл тооны дөрвөн зэрэгт болохгүйг
батал.
37. Ой руу 11 охин n хөвгүүн мөөгөнд явав. Хүн бүр ижил тооны мөөг түүсэн ба
нийт түүсэн мөөг n 2 + 9n − 2 бол хөвгүүд охидын аль нь олон бэ?
1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ 99 1
38. < тэнцэтгэл бишийг батал.
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅100 10
39. S ( n) -ээр n тооны цифрүүдийн нийлбэрийг тэмдэглэе. Дараах тэгшитгэлүүдийг
бод.
a) S ( x ) + x = 1000000000
2012-2013 ОНЫ ХИЧЭЭЛИЙН ЖИЛ 2

3. МАТЕМАТИК САГС эчнээ бодлогууд
b) x + S ( x ) + s ( s ( x )) = 1993
c) x + s ( x) + s ( s ( x )) + s ( s ( s ( x ))) = 1993
40. Эхний ба сүүлчийн цифр нь тэгш 1000-д хуваагддаггүй дөрвөн оронтой тоо хэд
байх вэ?
41. Хоёр бүхэл тооны квадратуудын нийлбэрт тавьж болдог тоог сайн тоо гэж
нэрлэе. Тэгвэл хоёр сайн тооны үржвэр мөн сайн тоо байхыг батал.
42. 1, 2,3,...,1001 тоонуудаар нүднүүдийг нь бөглөсөн 1001×1001 хүснэгтийн багана
тус бүр дэх элементүүд нь ялгаатай ба уг хүснэгт нэг диагоналийнхаа хувьд
тэгш хэмтэй бол хүснэгтийн диагональ дээрх тоонууд бүгд ялгаатай гэж батал.
43. Хэрэв натурал тоо n нь 4-өөс их зохиомол тоо бол 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ ( n − 1) үржвэр n -д
хуваагдахыг батал.
44. 79999 - тооны сүүлийн гурван цифрийг ол.
45. x 2 − 2 xy + 2 y 2 , x 2 + 2 xy + 2 y 2 тоонуудын ядаж нэг нь 5-д хуваагддаг байх x, y бүх
бүхэл тоонуудыг ол.
46. (1 + 2 + 3 + ... + 2000)1999 + (1 + 2 + 3 + ... + 1999)2000 тоо ямар цифрээр төгсөх вэ?
47. Тэгээс ялгаатай гурван цифрийн нийлбэр 9-д хуваагдана. Эдгээр цифрүүдээс
зохиосон бүх боломжит гурван оронтой тоонуудын нийлбэр 1998-д хуваагдахыг
батал.
48. Дараалсан сондгой натурал тоонуудыг дараах байдлаар бүлгүүдэд хуваав.
(1)(3,5)(7, 9,11)(13,15,17,19)... Тэгвэл 100 дахь бүлгийн тоонуудын нийлбэрийг
ол.
49. 10 ×10 хүснэгтийг 4 × 1 тэгш өнцөгтөөр бүрхэж болох уу?
50. 36 ба 25 -ын өнцгүүд өгөгдөв. Тэгвэл 10 -ын өнцгийг байгуул.
51. Зөвхөн 1 ба 0 – ээр бичигдэх 1999-д хуваагдах тоо олдохыг батал.
52. 999...9 7 00...0 2999...9 тоо натурал тооны куб болохыг батал.
1999 1999 2000
1 1 1 1 1
53. 1 + + + + ... + + нийлбэр болох үл хураагдах бутархайн хүртвэр 61-д
2 3 4 49 50
хуваагдахыг батал.
54. Хавтгайн дөрвөлжин шугамтай дэвтрийн нэг адил квадрат хэлбэрийн
дөрвөлжнүүд болгон хуваажээ. Дөрвөлжин бүрт бүхэл эерэг тоо бичсэн байна.
Хэрэв тоо тус бүр зэрэгцээ орших тооны арифметик дундажтай тэнцүү бол бүх
тоо хоорондоо тэнцүү гэдгийг батал.
55. Аль ч дараалсан 47 тооны нийлбэр эерэг, аль ч дараалсан 11 тооны нийлбэр нь
сөрөг байхаар 50 бодит тоог нэг мөрт цувруулан бич.
56. 5 × 5 хэмжээтэй хүснэгтийн нүд бүхэнд дурын 2 × 2 хүснэгт дэх тоонуудын
нийлбэр сөрөг , харин бүх 25 тооны нийлбэр нь эерэг байхаар хүснэгтийн тоог
бөглөж болох уу?
57. Дурын натурал n тооны хувьд n( n + 1)( n + 2) - 6-д хуваагдахыг батал.
58. Хамгийн их тоо оршин байх уу?
59. Анги 27 сурагчидтай. Хөвгүүн бүр дөрвөн охинтой найзалдаг, охин бүр таван
хөвгүүнтэй найзалдаг бол ангид хичнээн охид, хичнээн хөвгүүд байгаа вэ ?
2012-2013 ОНЫ ХИЧЭЭЛИЙН ЖИЛ 3

4. МАТЕМАТИК САГС эчнээ бодлогууд
60. 1-ээс 9 хуртэлх цифрүүдээр аль ч зэрэгцээ орших хоёр цифрээс үүссэн хоёр
оронтой тоо 7-д эсвэл 13-д хуваагддаг байхаар цувуулан бич.
61. Ширээн дээр n ширхэг чүдэнз байв. Хоёр тоглогч ээлжлэн 1-ээс 10 хүртэлх
тооны чүдэнзийг өөрийн ээлжинд авна. Сүүлчийн чүдэнзийг авсан нь хожих бол
n утга ямар байхад эхлэн тоглогч хожих вэ?
62. x( y + 1)2 = 234 y тэгшилтгэлийн натурал тоон шийдийг ол.
63. a1 , a2 , a3 ,..., an / n > 2 / бүхэл тоонуудын дараалал өгөгджээ.
ak 21 + ak 2 2 + ... + ak 2 m : n байхаар ak1 , ak2 ,..., akm дарааллыг өгөгдсөн дарааллаар
ялган авч болно гэдгийг батал.
64. Аливаа ялгаатай 10 ширхэг 2 оронтой натурал тоонуудаас орсон тоонуудын
нийлбэр нь тэнцүү байдаг, үл огтлолцох хоёр хэсэг тоог олж болно гэдгийг
батал.
1000!
65. бүхэл тоо болохыг батал.
(100!)10
66. Нэгдүгээр ангийн сурагч Петя 1 гэсэн ганц цифр мэднэ. Тэр 1993-д хуваагдах
тоо бичиж чадна гэдгийг батал.
67. Дэс дараалсан 1993 ширхэг зохиомол тоо байх уу?
1 1 1 1
68. Дурын ( n > 1) натурал тооны хувьд + + ... + > тэнцэтгэл бишийг
n +1 n + 2 2n 2
батал.
69. 15 хүү, 15 охин дугуй ширээ тойрон сууцгаав. Зэрэгцэн суусан хөвгүүдийн
хосын тоо, зэрэгцэн суусан охидуудын хосын тоотой тэнцүү гэдгийг батал.
70. Бүх цифрүүд нь сондгой байдаг хичнээн ялгаатай зургаан оронтой тоо байдаг
вэ?
71. Самбарт 1, 2, 3, 4, 5 тоонууд бичигджээ. Нэг хүн самбарт байгаа a , b тоонуудын
оронд a + b ба ab тоонуудыг бичнэ. Энэхүү үйлдлийг давтан хийх замаар
самбарт 21, 27, 64, 180, 540 тоонуудыг гарган авч чадах уу?
1 1 1 1 1 1 1
72. Дараах тоонуудыг жиш. A = + + ... + ба B = + + + ... +
1⋅ 2 2 ⋅ 3 9 ⋅10 11 12 13 40
73. 2001 оронтой тооны цифрүүдийн байрыг сэлгэхэд үүсэх тоонууд дотроос
ялгавар нь анхны тоо байх 2 тоо олдох уу?
74. x + y < 100 нөхцлийг хангах x, y - бүхэл тоонуудыг ол.
75. n 2 + 5n + 16 тоо нь ямар ч натурал n -ийн хувьд 169-д хуваагдахгүй гэж батал.
1987
76. Илэрхийллийн утгыг ол. =?
198719871987 − 198719871986 ⋅198719871988
2
77. 3111 ба 1714 тоонуудын аль нь их бэ?
1
78. Дурын t тооны хувьд t 4 − t + > 0 тэнцэтгэл биш биелэнэ гэж батал.
2
a b c 3
79. a, b, c нь дурын эерэг тоонууд бол + + ≥ тэнцэтгэл бишийг
b+c a+c a+b 2
батал.
2012-2013 ОНЫ ХИЧЭЭЛИЙН ЖИЛ 4

5. МАТЕМАТИК САГС эчнээ бодлогууд
80. Тойргийн дагуу 1, 2, 3, 4,..., 9 тоонуудыг дурын дараалалаар бичив. Цагийн
зүүний дагуу дарааллан орших гурван цифр гурван оронтой тоо үүсгэнэ. Энэхүү
журмаар үүсэх есөн гурван оронтой тооны нийлбэрийг ол. Энэ нь цифрүүдийн
дарааллаас хамаарах уу?
81. 13 + 23 + ... + 9993 тоо ямар цифрээр төгсөх вэ?
82. Нэгэн улс агаарын гурван төрлийн шугамтай байв.
1. 4 хотыг холбосон
2. 2 хотыг холбосон
3. 3 хотыг холбосон шугамуудтай бол 3 дахь төрлийн агаарын шугамын тоо
тэгш болохыг батал.
83. 1⋅1000 + 3 ⋅ 999 + 5 ⋅ 998 + ... + 1999 ⋅1 нийлбэр нь дараалсан бүхэл тооны
квадратуудын нийлбэр болохыг батал.
84. a, b, c, d нь abcd = 1 байх эерэг тоонууд бол
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + ac + ab + ad + bc + bd + cd > 10 тэнцэтгэл бишийг батал.
85. Тойрог дээр 4 Ш 1,5 Ш 0 тэг байв. Ижил хоёр тооны хооронд 0, ялгаатай хоёр
тооны хооронд 1-ийг бичээд анхны тоонуудыг арчина. Энэ маягаар явсаар дан 0
үлдэж болох уу?
86. Тойрог дээр 2000 натурал тоо бичив. Зэрэгцээ орших хоёр тоо бүрийн хооронд
тэдгээрийн ХБЕХ-ийг бичээд хуучин байсан 2000 тоог арилгана. Тэгвэл энэ
үйлдлээр бүх тоонууд тэнцүү болох уу?
87. Ямар ч натурал n -ийн хувьд 5n + 2, 5n − 2 нь натурал тооны квадрат болохгүйг
батал.
88. Квадратыг 2002 квадрат болгон хуваасны 2001 нь 3 × 3 хэмжээтэй квадрат байв.
Өгөгдсөн квадратын байж болох бүх утгыг ол.
89. Гурван дэвхрэг бие биеэ давж харайх тоглоомоор тоглов. Хэрэв дэвхрэг A
цэгээс B цэг дээр буй дэвхрэгийг давж харайвал B цэгийн хувьд A цэгтэй тэгш
хэмтэй C цэг дээр очно. Гурван дэвхрэг анх квадратын гурван орой дээр байсан
бол бие биеэ давж харайх журмаар квадратын дөрөв дэх орой дээр бууж чадах
уу?
90. Дурын 5 натурал тоон дотроос квадратуудын ялгавар нь 7-д хуваагдах хоёр тоо
олдохыг батал.
91. Нэг хайрцагт 15 цэнхэр бөмбөлөг, нөгөөд нь 12 цагаан бөмбөлөг байв. Хоёр
тоглогч ээлжлэн эсвэл 3 цэнхэр эсвэл 2 цагаан шар авч тоглов. Сүүлчийн
шаруудыг авсан нь хожих бол эхлэн тоглогч хожихын тулд хэрхэн яаж тоглох
вэ?
92. x 2 + y 2 = 3( z 2 + u 2 ) тэгшитгэл натурал тоон олонлогт шийдгүй болохыг батал.
93. Бүх натурал тоон олонлогийг сайн муу гэсэн хоёр хэсэгт хуваая. Хэрвээ A- сайн
тоо бол A+6 нь мөн сайн тоо, B нь муу тоо бол B+15 нь мөн муу тоо байна.
Тэгвэл эхний 2000 натурал тоон дотор 1000 сайн тоо бий юу?
94. Дараалсан гурван натурал тооны дундах нь ямар нэг тооны куб байвал уул
тоонуудын үржвэр 504-д хуваагдана гэдгийг батал.
95. 4 p 2 + 1 ба 6 p 2 + 1 нь анхны тоонууд байх бүх анхны p тоог ол.
2012-2013 ОНЫ ХИЧЭЭЛИЙН ЖИЛ 5

6. МАТЕМАТИК САГС эчнээ бодлогууд
96. 101⋅10001⋅100000001 ⋅ ... ⋅1000...001 үржвэрийг ол.
2n −1
97. 5 ⋅ ( xyz + x + z ) = 22 ⋅ ( yz + 1) тэгшитгэлийн натурал тоон шийдийг ол.
98. ((3!)!)! - тооны аравтын бичлэг нь хичнээн тэгээр төгсөх вэ?
99. 1-ээс 100 хүртэлх бүх тоог цувуулан бичжээ:
1234567891011…9899100. Дараа нь зарим цифрийн хооронд (+) тэмдэг
байв.Ингэж гарч ирсэн тоог 1980- д хуваагдахгүй гэдгийг батал.
100. Тэгээс сая хүртэлх тоон дотор:
a. Аравтын бичлэгт нь нэг оролцдог, аравтын бичлэгт нь нэг оролцдоггүй
бүхэл тооны аль нь олон бэ?
b. Аравтын бичлэгт нь нэгба хоёрын аль нь ч ордоггүй тоонууд бусад тооноос
олон уу?
2012-2013 ОНЫ ХИЧЭЭЛИЙН ЖИЛ 6