เวกเตอร์,สเกลาร์

1. 1
Chapter 1: Vectors
 เวคเตอร์
 คุณสมบัติของเวคเตอร์
 เวคเตอร์หนึ่งหน่วย
 การบวกเวคเตอร์
 องค์ประกอบของเวคเตอร์ใน 2 มิติ
 องค์ประกอบของเวคเตอร์ใน 3 มิติ
 การคูณเวคเตอร์
 ผลคูณแบบดอต
 ผลคูณแบบครอส

2. วัตถุประสงค์
 เพื่อให้รู้จักปริมาณสเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์
 สามารถหา unit vector ได้
 สามารถแยกองค์ประกอบใน 2 และ 3 มิติ ได้
 สามารถหาเวคเตอร์ตำาแหน่งได้
 สามารถผลลัพธ์ของเวคเตอร์จากการบวก ลบ คูณ ได้
 เพื่อให้ทราบแนวทางในการแก้ปัญหาโจทย์

3. 3
เวกเตอร์
ในการศึกษากลศาสตร์ มีปริมาณสองชนิดคือ ปริมาณ
สเกลาร์และปริมาณเวกเตอร์ ปริมาณทั้งสองจะถูกนำามาส
ร้างความสัมพันธ์ในรูปของสมการทางคณิตศาสตร์ เพื่อ
อธิบายปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้น
ปริมาณสเกลาร์ เป็นปริมาณที่มีเฉพาะขนาดอย่างเดียว
เช่น มวล m , เวลา t เป็นต้น
ปริมาณเวกเตอร์ เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง
ในเวลาเดียวกัน เช่น ระยะขจัด ความเร็ว ความเร่ง
โมเมนตัม แรง เป็นต้น

4. 4
สัญลักษณ์ของเวกเตอร์
A
v
ปริมาณเวกเตอร์ จะเขียนด้วยสัญลักษณ์อักษรโรมันที่มีลูก
ศรอยู่ข้างบน เช่นเวกเตอร์ และเขียนปริมาณเวกเตอร์
โดยใช้เส้นตรงที่มีลูกศรกำากับ โดยมีความยาวของเส้นตรง
แทนขนาดเวกเตอร์ ส่วนหัวลูกศรบอกทิศของเวกเตอร์นั้น
และขนาดของเวกเตอร์จะเขียนแทนด้วยอักษรมันที่ไม่มีลูก
ศร หรือใช้เครื่องหมายสัมบูรณ์
A
v
A A
v

5. 5
คุณสมบัติของเวกเตอร์
• การเท่ากันของเวกเตอร์
- ถ้า แสดงว่าเวกเตอร์ทั้ง
สองมีขนาดเท่ากันและทิศทาง
เดียวกัน
A B=
v v
A
v
B
v
- ถ้า แสดงว่าเวกเตอร์ทั้ง
สองมีขนาดเท่ากันแต่ทิศทางตรง
กันข้ามกัน
A B= −
v v
A
v
B
v

6. เวกเตอร์หนึ่งหน่วย
A
v
• ถ้า เป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ A จะสามารถกำาหนดเวกเตอร์
ที่มีทิศทางเดียวกับ แต่มีขนาดหนึ่งหน่วยได้ และเรียกว่า
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit vector) ของ
A
v
A
v
ถ้าให้ คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยของ ดังนั้นจะได้ว่าˆa A
v
ˆ
A
a
A
=
v
หรือ ˆA Aa=
v
ˆa
A
v

7. 7
เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่สำาคัญมากคือ เวกเตอร์ โดยที่เวกเตอร์หนึ่ง
หน่วยในทิศทางตามแกนในระบบพิกัดฉาก คือ แกน x , y และ z ดังรูป โดย
เวกเตอร์ตั้งฉากซึ่งกันและกัน
เวกเตอร์ทั้งสามมีขนาดเท่ากับ 1 หน่วยและมีทิศทางคงที่
เวกเตอร์ทั้งสามเรียงกันตามกฎมือขวา
ˆˆ ˆ, ,i j k
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

8. 8
การบวกเวคเตอร์
 ปริมาณสเกลาร์ สามารถบวก ลบ คูณ หรือ หาร ได้
แบบตัวเลขทั่วไป
 การบวกเวกเตอร์ ในการบวกเวกเตอร์สองเวกเตอร์
ใดๆเข้าด้วยกันนั้น จะต้องคำานึงทั้งขนาดและ
ทิศทาง การบวกเวกเตอร์โดยวิธีทางเรขาคณิต
สามารถทำาได้โดย
 การวาดรูป
 การแยกองค์ประกอบเวคเตอร์

9. 9
การวาดรูป
 การนำาหางของเวกเตอร์ตัวที่สองมาต่อเข้ากับหัวของ เวก
เตอร์ตัวแรก และจะได้ผลลัพธ์คือเวกเตอร์ที่หางอยู่ที่หาง
ของเวกเตอร์ตัวแรกและหัวอยู่ที่หัวของเวกเตอร์ตัวที่สอง
เช่น
BAR

+=

10. 10
การวาดรูป
 จากรูป รถยนต์เคลื่อนที่ไปในทิศตะวัน
ออกได้การขจัด = 275 m หลังจากนั้น
เคลื่อนที่ตามเวคเตอร์ ได้ระยะขจัด 125
m ในทิศทางทำามุม 55.00
เหนือของตะวัน
ตก จงหาการขจัดลัพธ์ในการเคลื่อนที่นี้
 การขจัดลัพธ์ มีค่า 228 m ทำามุม 26.70
กับแกน x
(ใช้มาตราส่วน 1 cm : 10.0 m )
B

BAR

+=
R

A


11. 11
การลบเวคเตอร์
 เวคเตอร์ที่เป็นลบคือเวกเตอร์
ทั้งสองมีขนาดเท่ากันแต่ทิศทาง
ตรงกันข้ามกัน
 การลบเวคเตอร์วิธีทำาเหมือน
กับการบวกเวคเตอร์ ดังสมการ
)( BABA

−+=−

12. การบวกและการลบเวกเตอร์โดยวิธี
ตรีโกณมิติ
เวกเตอร์ และ ทำามุมกัน เมื่อรวมกันได้เวก
เตอร์ โดยเวกเตอร์ลัพธ์ ทำามุมกับ เป็นมุม
ดังรูป
α θ

13. 13
การแยกองค์ประกอบเวคเตอร์ ใน
2 มิติ
 จากรูป เวคเตอร์ อยู่ใน 2 มิติ สามารถแยกองค์ประกอบ
ของเวคเตอร์ ให้อยู่ในแกน x และ y ที่ตั้งฉากกัน โดย
 องค์ประกอบเวคเตอร์ ตามแกน x แทนด้วย
องค์ประกอบเวคเตอร์ ตามแกน x แทนด้วย
a

xa

ya

a
r
xa
ya
x
y
o
θ
โดย ,
ขนาดและทิศทาง
2 2
x ya a a= + tan
y
x
a
a
θ =;
a

a

a

iaa xx
ˆ=
 jaa yy
ˆ=

jaiaa yx
ˆˆ +=

ดังนั้น

14. 14
การแยกองค์ประกอบเวคเตอร์ ใน
2 มิติ
BAC

+=

15. 15
ตัวอย่าง: การแยกองค์ประกอบของ
เวคเตอร์ใน 2 มิติ
นักวิ่งวิ่งได้ระยะทาง 145 m ทำา
มุม 20.0o
ตะวันออกกับทิศเหนือ
(แทนด้วย A) และจากนั้นวิ่งต่อ
ไปอีก 105 m ทำามุม 35.0o
ใน
ทิศตะวันตกเฉียงใต้ (แทน
ด้วยB). จงหาการกระจัดลัพธ์
ของนักวิ่งคนนี้
A
B
C
200
350
y
x

16. 16
Vector x component y
component
A Ax= (145m)sin20.00
= 49.6m Ay=
(145m)cos20.00
= 136m
B Bx= (105m)cos35.00
= 86.0m By= -
(105m)sin35.00
= -60.2m
C Cx= Ax + Bx = 135.6 m Cy = Ay + By =
75.8 m
mCCC yx 35.155)8.75()6.135( 2222
=+=+=ขนาดของเวคเตอร์ขนาดของเวคเตอร์
C:C:
มุมที่เวคเตอร์มุมที่เวคเตอร์ CC ทำากับแกนทำากับแกน
x:x:
011
2.29)
6.135
8.75
(tan)(tan === −−
m
m
C
C
x
y
θ
ตัวอย่าง: การแยกองค์ประกอบของ
เวคเตอร์ใน 2 มิติ
องค์ประกอบของเวคเตอร์องค์ประกอบของเวคเตอร์
C :C :
jCiCC yx
ˆˆ +=


17. 17
การแยกองค์ประกอบของเวกเตอร์ใน 3 มิติ
ถ้าให้ มีทิศจากจุด O ไปยังจุด P โดยทำามุม x, θy และ z
กับแกน x, y และ z ดังรูป องค์ประกอบของเวคเตอร์ ใน 3
มิติ เขียนได้ดังนี้
r
r
A

* P
xA
yA
zA
x
z
y
o xθ
zθ
A

yθ
A

kAjAiAA zyx
ˆˆˆ ++=

xx AA θcos=โดย
yy AA θcos=
zz AA θcos=

18. ★ เวคเตอร์
ทิศทาง
：
，cos
A
Ax
x =θ
222
zAAAA yx ++=
ขนาด
r
r
A

* P
xA
yA
zA
x
z
y
o xθ
zθ
yθ
องค์ประกอบของเวกเตอร์ใน 3 มิติ
kAjAiAA zyx
ˆˆˆ ++=

，cos
A
Ay
y =θ
A
Az
z =θcos

19. การแยกองค์ประกอบของเวกเตอร์ใน 3
มิติ
θ
φ
y
z
x
จากรูปเขียนเป็นสมการได้
ว่า
หรือ
, และ เป็นเวกเตอร์องค์ประกอบของ ใน
แนวแกน x, y และ z

20. Example: จงเขียนเวกเตอร์ A ในรูปเวก
เตอร์หนึ่งหน่วย
300
450
3
หน่วย
Ax = 3sin30 cos45
หน่วย
= 3(1/2)(0.707)
หน่วย
Ay = 3sin30 sin45
หน่วย
= 3(1/2)(0.707)
หน่วย
Az = 3cos30
หน่วย
= 3(0.866)
หน่วย
∴ = 1.06 i + 1.06 j + 2.6 k หน่วย
x
y
z
ANS^^ ^

21. ★ เวคเตอร์ตำาแหน่ง PQ (
)
2 1r r r∆ = −
r r
r∆

x
y
Q
2r
1r
 P r

∆
o 2 1x x−
2 1y y−
1x 2x
$ $
$ $
2 2 2
1 1 1
( )
( )
r x i y j z k
x i y j z k
∆ = + + −
+ +
 $
$
$ $
2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )r x x i y y j z z k∆ = − + − + −
 $
$ $r xi y j zk∆ = ∆ + ∆ + ∆
 $
เวคเตอร์ตำาแหน่ง

22. Example: แท่งไม้ AB, ใช้คำ้าหลังคา โดยแรงของ
แท่งไม้ที่คำ้าหลังคามีค่า 228 N ทิศ BA ดังรูป จง
เขียนเวคเตอร์ของแรงของแท่งไม้นี้
22

23. ผลคูณแบบสเกลาร์ของเวคเตอร์ 2
เวคเตอร์
• ผลคูณแบบสเกลาร์หรือผลคูณแบบดอตของ 2 เวคเตอร์คือ
P และ Q มีนิยาม ดังนี้
( )resultscalarcosθPQQP =•
rr
• คุณสมบัติการดอต:
- การสลับที่,
- การกระจาย,
PQQP
rrrr
•=•
( ) 2121 QPQPQQP
rrrrrrr
•+•=+•
Example: จงหาผลคูณแบบ
สเกลาร์ของเวคเตอร์ และ
.
25º
x
y
A
B
|A| = 50
|B| = 30
A

B


24. • ผลคูณแบบดอตของเวคเตอร์ในระบบพิกัดฉาก
0ˆˆ0ˆˆ0ˆˆ1ˆˆ1ˆˆ1ˆˆ =•=•=•=•=•=• ikkjjikkjjii
( ) ( )kQjQiQkPjPiPQP zyxzyx
ˆˆˆˆˆˆ ++•++=•

2222
PPPPPP
QPQPQPQP
zyx
zzyyxx
=++=•
++=•


Example:
ผลคูณแบบสเกลาร์ของเวคเตอร์ 2
เวคเตอร์
andkjiAIf ˆ5ˆ4ˆ2 +−=

BAdeterminkiB

.,ˆ6ˆ3 +=

25. การประยุกต์ผลคูณแบบดอต
1. มุมระหว่างเวคเตอร์ 2 เวคเตอร์:
x x y y z z
2 2 2 2 2 2
x y z x y z
A B A B A BA B
cos( )
A B A A A B B B
θ
+ +•
= =
⋅ + + ⋅ + +
A B A B cos( )θ• = ⋅ ⋅
Example: จงหามุมระหว่างเวคเตอร์ A กับ B.
andkjiAIf ˆ5ˆ4ˆ2 +−=

kiB ˆ6ˆ3 +=


26. Example: จากรูปจงหามุมระหว่างเส้นลวดที่ยึด
เสาที่ขึงเน็ตวอลเล่ย์บอล ดังนี้
a. เส้นลวด AB กับ AC
b. เส้นลวด AD กับ AC
c. เส้นลวด AB กับ AD

27. การประยุกต์ผลคูณแบบดอต
2. Projection of a vector บนแกนที่กำาหนด:
OL
OL
PP
Q
QP
PQQP
OLonPofprojectionPP
==
•
=•
==
θ
θ
θ
cos
cos
cos


zzyyxx
OL
PPP
PP
θθθ
λ
coscoscos ++=
•=

• For an axis defined by a unit vector:

28. ผลคูณแบบเวคเตอร์หรือผลคูณแบบค
รอส
• ผลคูณแบบครอสคือ การนำาเวคเตอร์ 2 เวคเตอร์มาคูณกัน
โดยผลลัพธ์จะได้ปริมาณเวคเตอร์ โดย จากรูปจะได้ ขนาด
ของเวคเตอร์
1.เวคเตอร์ลัพธ์ จะตั้งฉากกับระนาบของ และ
2.ขนาดของเวคเตอร์ลัพธ์ คือ
3. ทิศทางของเวคเตอร์ลัพธ์ V เป็นตามกฏมือขวา
• คุณสมบัติ
- สลับที่ไม่ได้
- กระจายได้
( )BABA

×−=×
( ) 2121 BABABBA

×+×=+×
θsinABBxAC ==

C
C

A

B


29. ผลคูณแบบครอสบนแกนพิกัด
ฉาก
• ผลคูณแบบครอสของเวคเตอร์หนึ่งหน่วย
0ˆˆˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆ0ˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ0ˆˆ
=×=×−=×
−=×=×=×
=×−=×=×
kkikjjki
ijkjjkji
jikkijii
• ผลคูณแบบครอส
( ) ( )kBjBiBkAjAiAC zyxzyx
ˆˆˆˆˆˆ ++×++=

( ) ( ) ( ) kBABAjBABAiBABA xyyxzxxzyzzy
ˆˆˆ −+−+−=
Memory Aid:
x y z
x y z
ˆ ˆ ˆi j k
C A B A A A
B B B
= × =
  

30. Example: ผลคูณแบบครอส
BxAcalculatethen,k5-ji2Bandj4-i3AIf

ˆˆˆˆˆ +==