1. พีชคณิตบูลีน
Boolean Algebra

2. เนื้อหา
 พื้นฐานพีชคณิตบูลีน
 กฎพื้นฐานและทฤษฎีต่างๆ
 ตารางค่าความจริง
 เกตตรรกะและวงจร
 การลดรูปวงจร
2
วิชา 4442103 คณิตศาสตร์ดิสครีต คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยอีสาน

3. พื้นฐานพีชคณิตบูลีน
จอร์จ บูล (George Boole) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ ผู้คิดค้นพีชคณิตบูลีน

4. พื้นฐานพีชคณิตบูลีน
 ระบบของคณิ ต ศาสตร์ ทางตรรกะ ซึ่งเกี่ยวข้องกับทฤษฎี ของบูลีน
(Boolean Theory) เป็นทฤษฎีที่ใช้ในการคานวณทางลอจิก โดยใช้
หลักเลขฐาน 2 (0 กับ 1)
 มีความสาคัญในการออกแบบวงจรลอจิ กเกท เป็นพื้นฐานของการ
ออกแบบอุปกรณ์ดิจิตอล
 ผู้คิดค้น : จอร์จ บูล (George Boole) นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ
คิดค้นเมื่อปี ค.ศ. 1854

5. กฎพื้นฐานและทฤษฎีต่างๆ
 กฎของ OR
 กฎของ AND
 กฎของการคอมพลีเมนท์ (Laws of Complementation)
 กฎการสลับที่ (Commutative Laws)
 กฎการจัดกลุ่ม (Associative Laws)
 กฎการกระจาย (Distributive Laws)
 กฎการลดทอน (Absorbtive Laws)
 ทฤษฎีของเดอมอร์แกน (DeMorgan’s Theorems)

6. กฎของ OR
กฎข้อที่ 1 𝐴+0= 𝐴
กฎข้อที่ 2 𝐴+1=1
กฎข้อที่ 3 𝐴+ 𝐴= 𝐴
กฎข้อที่ 4 𝐴+ 𝐴=1

7. กฎของ AND
กฎข้อที่ 5 𝐴 .0 = 0
กฎข้อที่ 6 𝐴 .1 = 𝐴
กฎข้อที่ 7 𝐴. 𝐴= 𝐴
กฎข้อที่ 8 𝐴. 𝐴=0

8. กฎของการคอมพลีเมนท์
กฎข้อที่ 9 0=1
กฎข้อที่ 10 1=0
กฎข้อที่ 11 ถ้า 𝐴 = 0 แล้ว 𝐴จะเท่ากับ 1
กฎข้อที่ 12 ถ้า 𝐴 = 1 แล้ว 𝐴จะเท่ากับ 0
กฎข้อที่ 13 𝐴= 𝐴

9. กฎการสลับที่
 เป็นกฎของการสลับที่ AND Gate และ OR Gate
กฎข้อที่ 14 𝐴+ 𝐵 = 𝐵+ 𝐴
กฎข้อที่ 15 𝐴. 𝐵 = 𝐵. 𝐴

10. กฎการจัดกลุ่ม
กฎข้อที่ 16 𝐴+ 𝐵+ 𝐶 = 𝐴+ 𝐵 + 𝐶
กฎข้อที่ 17 𝐴+ 𝐵 + 𝐶+ 𝐷
= 𝐴+ 𝐵+ 𝐶+ 𝐷
กฎข้อที่ 18 𝐴. 𝐵. 𝐶 = 𝐴. 𝐵 . 𝐶

11. กฎการกระจาย
กฎข้อที่ 19 𝐴 . 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶
กฎข้อที่ 20 𝐴 + 𝐵𝐶 = (𝐴 + 𝐵)(𝐴 + 𝐶)
กฎข้อที่ 21 𝐴 + 𝐴. 𝐵 = 𝐴 + 𝐵

12. กฎการลดทอน
 กฎข้อนี้ช่วยในการลดความซับซ้อนของวงจรลอจิกเกตให้อยู่ในรูป
แบบอย่างง่าย ซึ่งมีกฎดังนี้
กฎข้อที่ 22 𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝐴
กฎข้อที่ 23 𝐴. 𝐴 + 𝐵 = 𝐴
กฎข้อที่ 24 𝐴. 𝐴 + 𝐵 = 𝐴

13. ตัวอย่าง1 - กฎการลดทอน
 จงพิสูจน์ว่าสมการบูลีน AB+ABC =AB เป็นจริง
วิธทำ
ี
F = AB + ABC
= AB(1+C) : ดึงตัวร่วม กฎข้อที่ 19
= AB . 1 : เอกลักษณ์ กฎข้อที่ 2
∴ F = AB : กฎข้อที่ 6

14. ตัวอย่าง2 - กฎการลดทอน
 จงพิสูจน์ว่า (A+B)(A+C)+BC = A+BC
วิธทำ
ี F = (A+B)(A+C)+BC
= AA+AC+AB+BC+BC :กระจาย กฎข้อที่ 19
= A+AC+AB+BC+BC : กฎข้อที่ 7
= A+AB+AC+BC+BC : จัดรูป
= A(1+B)+AC+BC(1+BC) : ดึงตัวร่วม กฎข้อที่ 19
= A+AC+BC :1+B = 1 กฎข้อที่ 2
= A(1+C)+BC : กฎข้อที่ 19
= A+BC : กฎข้อที่ 2

15. ทฤษฎีของเดอมอร์แกน (DeMorgan’s Theorems)
 ใช้ในการลดรูปสมการที่ซับซ้อน มีกฎอยู่ 2 ข้อ ดังนี้
 กฎข้อที่ 1 𝐴 + 𝐵 = 𝐴. 𝐵
 กฎข้อที่ 2 𝐴. 𝐵 = 𝐴 + 𝐵
 เทคนิคการจา : การแยกตัวแปร เครื่องหมายตรงกันข้าม

16. ตัวอย่าง - การลดทอนโดยใช้ทฤษฎีเดอมอร์แกน
 𝐴 + 𝐵𝐶
วิธีทำ 𝐴 + 𝐵𝐶 = 𝐴 + 𝐵𝐶 ;เอาคอมพลีเมนท์ออก
= 𝐴. (𝐵 + 𝐶) ; สลับเครื่องหมาย
= 𝐴. (𝐵 + 𝐶 ) ; ใส่คอมพลีเมนท์คืน
∴ 𝐴 + 𝐵𝐶 = 𝐴. (𝐵 + 𝐶 )

17. ตัวอย่าง2 - การลดทอนโดยใช้ทฤษฎีเดอมอร์แกน
 𝐹 = (𝐴 + 𝐵)(𝐶 + 𝐷)
วิธทำ
ี
𝑭 = (𝐴 + 𝐵)(𝐶 + 𝐷) ; ใช้ทฤษฎีเดอมอร์แกน
= (𝐴 + 𝐵)(𝐶 + 𝐷) ; เอาคอมพลีเมนท์ออก
= 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 ; กลับเครื่องหมาย
= 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 ; นาคอมพลีเมนท์มาใส่คืน
∴ 𝑭 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷

18. ตารางค่าความจริง (Truth Table)
 เป็นตารางที่บอกถึงฟังก์ชันเอาท์พุทของวงจรลอจิก
 มีความสัมพันธ์กับวงจรลอจิก
 ใช้พิสูจน์หาค่าความจริงของสมการลอจิกได้

19. รูปแบบมาตรฐานของฟังก์ชันบูลีน
 Standard Form of Boolean Function
 ฟังก์ชันบูลีนมีพื้นฐานบนเลขฐานสองกระทากัน มีค่าเป็น 0 หรือ 1
 มักกระทากันด้วย AND GATE, OR GATE, NOT GATE (INVERTER)

20. รูปแบบของตัวดาเนินการ

21. ผลรวมของผลคูณ (The Sum of Production)
 โดยทั่วไปสมการจะถูกเขียนขึ้นแทนด้วย F ฟังก์ชัน
 จานวนกรณีค่าความจริง คานวณได้จาก
จานวนกรณี = 2n โดย n คือจานวนตัวแปร

22. ตัวอย่างตารางค่าความจริง
 𝐹 = 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝐴 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵 𝐶 + 𝐴𝐵𝐶
 F มีตัวแปรทั้งหมด 3 ตัว ดังนั้นเป็นไปได้ทั้งหมด 23 = 8 กรณี
A B C F
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1

23. ผลรวมของผลคูณ (ต่อ)
จาก 𝐹 = 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝐴 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵 𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 จะ
เห็นได้ว่ามีทั้งหมด 4 เทอมที่ทาการบวก(OR) กันอยู่ เราเรียกแต่ละ
เทอมว่า มิน-เทอม (Minterms) ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่า F คือผลรวมของ
4 มินเทอม

24. ผลรวมของผลคูณ (ต่อ)
ฟังก์ชันบูลีน 3 ตัวแปร จะประกอบด้วยมินเทอมทั้งหมด 23=8
โดยแถวหนึ่งจะมี 1 มินเทอมเรียงตามลาดับจาก 0 – 7 มินเทอม
มินเทอมแทนด้วยสัญลักษณ์
m0, m1,m2,…,m2n-1 ;โดย n คือจานวนตัวแปร

25. ตัวอย่างมินเทอมของตัวแปร 3 ตัว
เลขฐานสอง มินเทอมของ A,B,C
A B C
0 0 0 𝑚0 = 𝐴 𝐵 𝐶
0 0 1 𝑚1 = 𝐴 𝐵 𝐶
0 1 0 𝑚2 = 𝐴 𝐵𝐶
0 1 1 𝑚3 = 𝐴 𝐵𝐶
1 0 0 𝑚4 = 𝐴𝐵 𝐶
1 0 1 𝑚5 = 𝐴𝐵 𝐶
1 1 0 𝑚6 = 𝐴𝐵𝐶
1 1 1 𝑚7 = 𝐴𝐵𝐶

26. ผลคูณของผลบวก (The Product of Sum)
 เป็นเหมือนส่วนกลับของ “ผลรวมของผลคูณ” เพียงแค่เปลี่ยนเครื่องหมาย
ตรงกันข้าม
F = A + B + C . A + B + C . A + B + C . (A + B + C)
เราเรียกแต่ละเทอมว่า แมกซ์เทอม (Maxterms) เขียนสัญลักษณ์
แทนด้วย ตัว M ใหญ่ เพราะฉะนั้น F คือผลคูณของ 4 แม็กซ์เทอม

27. ผลคูณของผลบวก (ต่อ)
ฟังก์ชันบูลีน 3 ตัวแปร จะประกอบด้วยแม็กเทอมทั้งหมด
23=8 โดยแถวหนึ่งจะมี 1 แม็กซ์เทอมเรียงตามลาดับจาก 0 – 7 แม็กซ์-
เทอม
แม็กเทอมแทนด้วยสัญลักษณ์
M0, M1,M2,…,M2n-1 ;โดย n คือจานวนตัวแปร

28. ตัวอย่างแม็กซ์เทอมของตัวแปร 3 ตัว
เลขฐานสอง แม็กซ์เทอมของ A,B,C
A B C
0 0 0 M0 = A + B + C
0 0 1 M1 = A + B + C
0 1 0 M2 = A + B + C
0 1 1 M3 = A + B + C
1 0 0 M4 = A + B + C
1 0 1 M5 = A + B + C
1 1 0 M6 = A + B + C
1 1 1 M7 = A + B + C

29. การลดรูปวงจร
 มี 2 วิธี ดังนี้
 ใช้ทฤษฎีพีชคณิตบูลีน ( Boolean Algebra)
 แผนภาพคานอร์ (Karnaugh Map)

30. ลดรูปโดย ใช้ทฤษฎีพีชคณิตบูลีน
ลักษณะ
 อาศัยทฤษฎีของพีชคณิตบูลีน
 ต้องใช้ทักษะในการแก้โจทย์
 มีความยาก หากขนาดของวงจรใหญ่ๆ หรือ มีความซับซ้อน

31. ลดรูปโดย ใช้แผนผังคานอร์ (Karnaugh Map)
 เป็นระบบที่ดัดแปลงมาจาก พีชคณิตบูลีน ให้อยู่ในรูปตาราง
 ทาการลดรูปสมการลอจิกได้อย่างรวดเร็ว
 สามารถลดรูปสมการที่มีตัวแปรไม่เกิน 6 ตัว

32. K-Map
A
B 0 1
AB
C 00 01 11 10
0
0
1
1
K-Map 2 ตัวแปร
K-Map 3 ตัวแปร
AB
CD 00 01 11 10
00
01
11
จานวนช่องตาราง = 2n
; n คือ จานวนตัวแปร
10
K-Map 4 ตัวแปร

33. K-Map แสดงตามรหัส
A
B 0 1
AB
C 00 01 11 10
0 AB AB
0 AB C ABC ABC ABC
1 AB AB 1 AB C ABC ABC ABC
K-Map 2 ตัวแปร
K-Map 3 ตัวแปร
AB
CD 00 01 11 10
00 ABCD ABCD ABCD ABCD
01 ABCD ABCD ABCD ABCD
11 ABCD ABCD ABCD ABCD
10 ABCD ABCD ABCD ABCD
K-Map 4 ตัวแปร

34. การแทนสมการ K-Map
วิธีกำร
 ใส่ 1 ลงในช่องที่มีคุณสมบัติตรงกับ ผลบวกของผลคูณ (Min Term)
 ใส่ 0 ลงในช่องที่มีคุณสมบัติตรงกับ ผลคูณของผลบวก (Max Term)
- Min Term ใส่ 1 ลงใน K-Map
- Max Term ใส่ 0 ลงใน K-Map

35. ตัวอย่าง แทนMin Term สมการ 2 ตัวแปร
 Q1 = AB + AB + AB
วิธทำ
ี
1. สมการนี้มี 2 ตัวแปร ดังนั้น K-Map มีจานวนช่อง 22 = 4 ช่อง
2. ใส่ 1 ลงในตาราง ตามตาแหน่ง Min Term โดย AB = 00, AB = 10,
AB= 11
A
B 0 1
0 1 1
1 1

36. ตัวอย่าง2 แทนMin Term สมการ 3 ตัวแปร
 𝑄2 = 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝐴 𝐵𝐶 + 𝐴 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵 𝐶 + ABC
วิธทำ
ี
1. สมการนี้มี 3 ตัวแปร ดังนั้น K-Map มีจานวนช่อง 23 = 8 ช่อง
2. ใส่ 1 ลงในตาราง ตามตาแหน่ง Min Term โดย𝐴 𝐵 𝐶 = 000, 𝐴 𝐵𝐶 =
010, 𝐴 𝐵𝐶= 011, 𝐴𝐵 𝐶=101, ABC =111
AB
C 00 01 11 10
0 1 1
1 1 1 1

37. ตัวอย่าง3 แทนMin Term สมการ 4 ตัวแปร
 𝑄3 = 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 + 𝐴 𝐵 𝐶𝐷 + 𝐴 𝐵𝐶𝐷 + 𝐴𝐵 𝐶 D +
𝐴𝐵 𝐶𝐷 + 𝐴𝐵𝐶 𝐷+𝐴𝐵𝐶 𝐷 + 𝐴𝐵𝐶𝐷
วิธีทำ
1. ABCD =0000,ABCD=0011, ABCD=0111,A BCD=0101,
ABCD=1011, ABCD=1100, ABCD=1101, ABCD=1111
AB
CD 00 01 11 10
00 1 1
01 1 1
11 1 1 1 1
10

38. วิธีการรวมเทอมบน K-Map
 ใส่ 1 ในกรณี Min Term, 0 ในกรณี Max Term ในช่อง K-Map ที่มีคุณสมบัติ
ตรงกัน
 รวมเทอมที่อยู่ติดกันได้ครั้งละ 2n ช่อง(1,2,4,8,16,…) ให้ได้มากที่สุด
 เทอมที่ถูกจับกลุ่มไปแล้วสามารถนามาจับกับกลุ่มอื่นได้อีก
 มองหาผลลัพธ์ โดยตัวแปรที่ซ้ากันบ้าง แล้วนามา AND กันถ้าเป็น Min Term
หรือจับมา OR กันถ้าเป็น Max Term
 ผลลัพธ์สุดท้ายได้จาก
 นาผลลัพธ์มา ORกัน ในกรณีของ Min Term
 หรือนาผลลัพธ์มา AND กัน ในกรณีของ Max Term

39. ตัวอย่างการลดรูปโดยใช้ K-Map
 𝑄1 = 𝐴 𝐵 + 𝐴𝐵 + 𝐴𝐵 = 𝐴 + 𝐵
A 𝐁
B 0 1
0 1 1
1 1
A

40. ตัวอย่าง 2 การลดรูปโดยใช้ K-Map
 Q2 = AB + AB + AB = A + B
A 𝐁
B 0 1
0 1 1
1 1
𝐀

41. ตัวอย่าง 3 การลดรูปโดยใช้ K-Map
 Q3 = AB + AB + AB + AB =1
A 1
B 0 1
0 1 1
1 1 1