2. Operator
Suat instruksi matematis yang dikenakan pada fungsi
gelombang akan menghasilkan fungsi lainnya.
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ( )
O operator
X operator posisi
P operator momentum
H Operator Hamiltonan operator energi
3. Contoh
ˆ
ˆ ( , ) ( ) .
( , )
ˆ ( , ) ( , )
bt bt
bt
d
O
dt
O r t A be b Ae
r t Ae
O r t b r t
Fungsi Semula
Fungsi
eigen
Nilai eigen
4.
5.
6.
2 2
2
2
2
ˆ
ˆ ( ) ( )
2 2
( )
2
( )
2
r
P
H V r V r
m m
i
r V r
m
V r
m r
7. Komutator
Di dalam mekanika kuantum, variabel-vanabel dinamis pada
umumnya tidak komut. Misalkan A dan B adalah dua variabel
dinamis, umumnya berlaku
Selanjutnya, didefinisikan hubungan komutasi atau
komutator antara A dan B ,
AB BA
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, 0
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
,
A B AB BA
B A AB BA
8. 2
2
2
ˆ ˆ
, 0
ˆ ˆ
, 0
ˆ ˆ
, 0
x
y
z
L L
L L
L L
Contoh Operator yang tak
rukun
Contoh Operator
Komutasi (bersifat rukun)
0,
1,
ˆ
ˆ ,
{
i j ij
jika i j
ij jika i j
x P i
9. Mekanika Gelombang
Notasi Dirac:
( , ) ( , ) 1
*
N r t r t
f g f g dV
Jika : BraxKet=1 , maka ternormalkan
Misal:
ˆ ( , ) ( , )
H r t E r t
Suatu operator dikatakan Hermitian
jika:
†
ˆ ˆ
A A
Ingat!!
*
†
*
†
†
† †
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
A A
A A
AB B A
BA
10. *( , ). ( , )d 0
n m
r t r t r
Jika :
Artinya : 𝜙𝑛 𝑑𝑎𝑛 𝜙𝑚 bersifat orthogonal
*( , ). ( , )d 1
n m
r t r t r
Jika :
Artinya : 𝜙𝑛 𝑑𝑎𝑛 𝜙𝑚 bersifat orthonormal
11. Asas-asasDalam MekanikaKuantum
1. Fungsi gelombang
2. Observabel
3. Persamaan Swanilai
4. Nilai Harap
5. Persamaan Gerak Kuantum : Persamaan Schrodinger
ˆ ψ ψm
ˆ
ψ ψ
ψ ψ
12. Setiap sistem mikro terdapat suatu fungsi gelombang IΨ
atau fungsi keadaan yang memuat informasi lengkap
mengenai sistem tersebut.
ψ ψ ψ 1
N Syarat normalisasi dari IΨ
Dalam bentuk mekanika gelombang
ψ*ψdr 1
ψ ψ
ψ* ψ
N
Setiap observabel dinyatakan atau diwakili oleh suatu
operator Ω yang linear dan hermitian adalah yang
memenuhi:
†
ˆ ˆ
ψ ψ ψ ψ *
N
Sifat hermitian dari suatu operator sama dengan
ˆ ˆ
,
H † †
ˆ ˆ
,
H
13. Pengukuran observabel yang beroperatorkan Ω terhadap
suatu sitem dengan fungsi gelombang IΨ akan
menghasilkan nilai pasti.
ˆ ψ ψ
Adalah pasti atau swanilai.
Agar real diperlukan yang bersifat Hermitian, syarat real:
*
Eigen nilai/ swanilai real :
†
†
ˆ ψ ψ ........................(1)
ˆ
ψ ψ ψ ψ .........(2)
ˆ
ψ ψ * * ψ ψ .....(3)
ˆ ˆ
( ) ψ ψ ψ ψ *
ˆ ˆ
14.
ψ ψ * ψ ψ
* ψ ψ 0
ψ ψ 0
* 0
*
Swanilai yang harus bersifat real.
Dari eigen nilai yang real dapatlah disusun swavektor yang
lengkap dan orthogonal
ψ ψ 0 ψ ψ
m n m n
Setiap eigen vektor mempunyai nilai yang berbeda disebut
dengan eigen vektor tak merosot atau tak terdegenarasi.
15. Nilai harap dari suatu pengukuran observabel p,r,x,H, dsb
yang bersepadanan dengan operatornya.
Pada suatu sistem dinyatakan dengan fungsi gelombang
IΨ diberikan oleh nilai harap
• Nilai harap momentum garis
ˆ
ψ P ψ
p
ψ ψ
Dengan ketidakpastian
2
2
P= P P
• Nilai harap posisi
ˆ
ψ x ψ
x
ψ ψ
Dengan ketidakpastian
17. Contoh Soal
1. Keadaan kuantum bersifat ortogonal dan masing-masing
memiliki tenaga pasti dengan tingkat tenaga pasti E0, 3E0, dan 5E0. Sebuah
partikel pada saat t=0 menduduki keadaan kuantum
berapa nilai harap tenaga dan ketidakpastiannya?
1 2 3
ψ , ψ , ψ
1 2 3
ψ ψ 2 ψ 5 ψ
18. Keadaan Stasioner
Suatu keadaan yang memiliki energi pasti, yaitu:
E=0, artinya energi tetap dan memiliki
persamaan swanilai atau schrodinger yang gayut
waktu.
19. 2 2
2
0
jika ,maka 2
,maka 0
n ax n ax
n ax
n genap x e dx x e dx
n ganjil x e dx
n F(n) n F(n)
0 1
2
𝜋
𝑎
1 1
2𝑎
2 1
4
𝜋
𝑎3
3 1
2𝑎2
4 3
8
𝜋
𝑎5
5 1
𝑎3
6 15
16
𝜋
𝑎7
7 1
3𝑎4
20. Sebuah partikel dengan massa m memiliki fungsi gelombang
Dengan A, , dan b adalah konstanta.
a. Tentukan A agar (x) ternormalkan
b. Tentukanlah nilai harap posisi dan ketakpastiannya
c. Tentukanlah nilai harap momentum dan ketakpastiannya
d. Apakah x.P memenuhi asas ketakpastian Heisenberg (x.P =h/2)
e. Hitunglah nilai harap energi kinetik 𝑇 dan ketakpastiannya
f. Stasionerkah keadaan kuantum tersebut.
2
( )
x b
x Ae
21. Sebuah partikel dengan massa m memiliki fungsi gelombang
Dengan A, , dan b adalah konstanta.
a. Tentukan A agar (x) ternormalkan
b. Tentukanlah nilai harap posisi dan ketakpastiannya
c. Tentukanlah nilai harap momentum dan ketakpastiannya
d. Apakah x.P memenuhi asas ketakpastian Heisenberg (x.P =h/2)
e. Hitunglah nilai harap energi kinetik 𝑇 dan ketakpastiannya
f. Stasionerkah keadaan kuantum tersebut.
2
x
x Axe
22. Rumus Persamaan Gerak Kuantum
Pada saat awal mula-mula t=0 sampai dengan t tertentu:
Keadaan diatas dikatakan dengan keadaan evolusi.
Akan berlaku persamaan schrodinger
Persamaan Schrodinger gayut waktu
Persamaan swanilai
ˆ
ψ , ,
i r t H r t
t
ψ , 0 ψ
ψ , ψ ,
r t r
r t r t
Ĥψ , ψ ,
r t E r t
23.
2
ψ ,
ψ 0
ψ ,
0
ψ
ψ ,
i ψ ,
ψ ,
ψ , ψ ,
ψ , ψ ,
ψ ,
ψ ,
ψ ,
ψ ,
ln ψ ,
ln ψ , ln ψ
ψ ,
ln
ψ
ψ ,
ψ
r t t
r t
r t t
r
r t dt
E r t
t r t i
r t E r t dt
dt
i
t r t i r t i
d r t i
Edt
r t i
d r t i
E dt
r t
i
r t E t
i
r t r Et
r t i
Et
r
r t
r
ψ , ψ
i
Et
i
Et
e
r t r e
24.
25. Keadaan kuantum suatu zarah bermassa m dibatasi geraknya
dalam ruang satu dimensi sepnjang sumbu x disajikan oleh
fungsi gelombang , tentukan energi E dan
potensialnya V(x) jika keadaan tersebut keadaan stasioner.
2
ψ ax
x Ae
2 2
2
2 2
2
2 2 2
2
ˆψ ψ
( ) ψ ψ
2
ψ ( )ψ ψ
2
2
( )
H x E x
V x x E x
m x
x V x x E x
m x
Sehingga
a a
E dan V x x
m m
Penyelesaian:
26. Keadaan kuantum suatu zarah bermassa m
dibatasi geraknya dalam ruang satu dimensi
sepanjang sumbu x disajikan oleh fungsi
gelombang , tentukan energi E
dan potensialnya V(x) jika keadaan tersebut
keadaan stasioner.
2
)
(
)
( b
x
Ae
x
27. Implikasi Azas Mekanika Kuantum
Asaz Ketakpastian Heiseberg
1 2 1 2
1 ˆ ˆ
,
2i
Posisi dan momentum
1 ˆ
ˆ
. ,
2
1
.
2
.
2
x P x P
i
x P i
i
x P
Waktu dan energi
1 ˆ
ˆ
. ,
2
t E t E
i
"Tidak mungkin mengetahui atau mendapatkan
posisi dan momentum suatu partikel dengan
tepat secara serempak atau bersamaan
28. Persamaan Gerak Heisenberg
1 2 1 2
1 ˆ ˆ
,
2
ˆ ˆ ˆ
,
:observabel
ˆ , i
i i
i
d i
H
dt t
Ex x
x
d i
x H x
dt t
2
2
ˆ ˆ
) ( )
2
ˆ ˆ
( ),
2
j
j
i
p
H V x
m
p
i
V x x
m
2
2
1 ˆ ˆ
) ,
2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
, . ,
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
, ,
ˆ
2
j i
j i j j i
j j i j i j
j
P x
m
P x P P x
P P x P x P
i P
Aplikasi Pers. Gerak Heisenberg untuk melukiskan
asas korespodensi( perpadanan) yang
dikemukakan oleh Ehrenfest
29. Untuk membuktikan persamaan gerak Heisenberg,
ditinjau persamaan nilai harap
Diderivatifkan terhadap waktu dengan meninjau asas
ke 5 mekanika kuantum
S.R.S diperolehlah persamaan gerak Heisenberg.
ˆ
ψ ψ
ψ ψ
1 ˆ
ψ ψ
N
†
ˆ
ψ ψ
dualnya
ˆ
ψ ψ
d i
H
dt
d i
H
dt
30. Contoh:
Buktikan bahwa
Penyelesaian:
d P V
dt x
2
2
ˆ
ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
ˆ
( ),
2
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, ( ),
2
ˆ
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, , ( ),
2
ˆ ˆ
( ),
j
i
j
i i
j j i j j i i
i
d P i P
H P
dt t
P
i P
V x P
m t
P
i P
P V x P
m t
i P
P P P P P P V x P
m t
i
V x P
ˆ ˆ
( ),
( )
( )
i
d P i
V x P
dt
i V x
i
x
V x
x
31. Untuk x
m
p
t
x
m
p
i
i
dt
x
d
m
p
i
p
i
m
p
x
p
x
p
p
m
x
p
m
t
x
x
x
V
m
p
i
dt
x
d
x
V
m
p
H
t
x
x
H
i
dt
x
d
ˆ
ˆ
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2
2
1
ˆ
ˆ
,
ˆ
ˆ
,
ˆ
ˆ
2
1
ˆ
,
ˆ
2
1
ˆ
ˆ
),
(
2
ˆ
ˆ
)
(
2
ˆ
ˆ
dimana
ˆ
ˆ
,
ˆ
ˆ
2
2
2
Aplikasi Pers. Gerak
Heisenberg untuk melukiskan
asas korespodensi
(perpadanan) yang
dikemukakan oleh Ehrenfest.
32. Osilator Harmonis
Persamaan Schrodinger
Dengan penyelesaian pers. Schrodinger dengan sautu
fungsi gelombang.
Untuk keadaan dasar diperoleh energi keadaan dasar
Secara umum
2 2
2
2
ψ 1
ψ ψ
2 2
d
kx E
m dx
1
2
E
2
n
ψ f ( ) ax
n x A x e
n
n x
x
f
x
didalam
polinomial
sebuah
)
(
33. Energi Osilator Harmonis dapat ditulis
1
2
n
E n
0
1
2
1
0
2
3
1
2
5
2
2
n E
n E
n E
dst
34. Operator Hermitian OHS
Dengan Metode Aljabar:
a+= Operator eskalator naik
a- = Operator eskalator naik
2 2
2 2
2
ψ 1
ψ ψ
2 2
d
m x E
m dx
†
ˆ ˆ
ˆ ˆ
a a
a a
35. Bagaimana bentuk perkalian ???
ˆ ˆ
a a
Jika dikenakan fungsi gelombang
Dengan cara yang sama
Sehingga
36. Jika merupakan penyelesaian persamaan Schrodinger yang
memiliki energi E, maka 𝑎+ψ juga merupakan penyelesaian
persamaan Schrodinger tetapi memiliki energi (𝐸 + ℏ𝜔).
Bukti:
Oleh karena 𝑎+ dapat menaikkan energi satu state maka 𝑎+
disebut operator eskalator naik.
37. Sebaliknya
Jika merupakan penyelesaian persamaan Schrodinger yang
memiliki energi E, maka 𝑎−ψ juga merupakan penyelesaian
persamaan Schrodinger tetapi memiliki energi (𝐸 − ℏ𝜔).
Bukti:
Oleh karena 𝑎− dapat menurunkan energi satu state maka 𝑎−
disebut operator eskalator turun.
38. Bagaimana jika operator eskalator turun 𝑎− dikenakan pada
fungsi gelombang keadaan dasar 0 ???
39. Sifat hermitian:
†
†
ˆ ˆ
ˆ ˆ
a a
H H
Operator Hermitian untuk osilator Harmonis Sederhana
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
1
ˆ
2 2
ˆψ ψ
1
ψ ψ
2 2
1
ψ ψ
2 2
1
ψ ψ
2 2
P
H m x
m
H E
P
m x E
m
P
m x Eu
m
P m
x E
mu u
2
2 2 2
2 2
2
2
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
) P P P
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
)Q Q
P
P um P um
um
m x u
x
u m
Dimensi energi, agar
tak berdimensi maka
E=Eu
40. Sehingga
Dengan penjabaran
Dan definisikan
s.r.s
2 2
2 2
ˆ
P̂ Q
ψ ψ
2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
Q P Q P
1 ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
P Q QP PQ
2 2
2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
Q+ P Q P
ˆ ˆ
ˆ ˆ
QP PQ
2
2 2
E
i i i
atau
i i i
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
Q P Q P Q P Q P
i i dan i i
ˆ
ˆ,
x P i
ˆ ˆ
Q,P i
41. Maka
2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
Q P Q P
1 ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
P Q QP PQ
2 2
2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
Q P Q P 1
2
2 2
ˆ ˆ
ˆ ˆ
Q P Q P 1
2
2 2
i i i
i i
i i
Dengan
s.r.s
†
ˆ ˆ
Q P
ˆ
2
ˆ ˆ
Q P
ˆ
2
i
a
i
a
2 2 † †
1 1 1
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
P Q atau
2 2 2
aa a a
42. Persamaan Swanilai dengan operator Hamiltonan dalam
bentuk 𝑎 dan 𝑎†
Bagaimana kaedah komutasi 𝑎 dan
𝑎†
???
†
†
1
ˆ ˆ
) ψ =Eψ
2
1
ˆ ˆ
) ψ =Eψ
2
a aa
b a a
43.
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, 0
a a aa aa
† † † † † †
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
, 0
a a a a a a
† † †
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
,
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
Q P Q P Q P Q P
2 2 2 2
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
Q QP+ PQ P Q QP PQ P
2 2
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
Q P QP PQ Q P QP PQ
2 2
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
Q P Q,P Q P Q,P
2 2
1
a a aa a a
i i i i
i i i i
i i
i i
45. Operator Eskalator Turun
1
2 2
2
1
† 2
2
2
1
1
ˆ ψ ψ
ˆ ψ ψ
ˆ ˆ
ψ ψ
ψ ψ
ˆ ψ ψ
ˆ ψ ψ
E E
n n n
n n n
n n n
n
n
n n n
n n
a
a
aa
N
n
n
maka
a
a n
Operator Eskalator Naik
†
1
ˆ ψ 1 ψ
n n
a n
Ex:
†
1 1 1
ˆ ψ 1 1 ψ
ψ
n n
n
a n
n
46. Jika:
Dan
Maka
†
1
†
1
ˆ ψ ψ
ˆ
ψ ψ
n n
n n
a n
a
n
†
2 1
†
1 2
ˆ ψ 1 ψ
ˆ
ψ ψ
1
n n
n n
a n
a
n
† †
2
†
0
ˆ ˆ
ψ ψ
1
ˆ
ψ ψ
!
n n
n
n
a a
n n
a
n
Dengan
energi
1
2
E n
48. Hubungan antara 𝑎, 𝑎+
dengan 𝑄
†
ˆ ˆ
Q P
ˆ
2
ˆ ˆ
Q P
ˆ
2
i
a
i
a
a
a
Q ˆ
ˆ
2
1
ˆ
Hubungan antara 𝑎, 𝑎+
dengan 𝑃
a
a
i
P ˆ
ˆ
2
1
ˆ
Hubungan antara 𝑎, 𝑎+
dengan 𝑥
a
a
m
x
a
a
x
m
ˆ
ˆ
2
ˆ
ˆ
ˆ
2
1
ˆ
Hubungan antara 𝑎, 𝑎+
dengan 𝑝
a
a
m
i
p
a
a
i
m
p
ˆ
ˆ
2
1
ˆ
ˆ
ˆ
2
1
ˆ
49. Contoh Soal
Sebuah osilator harmonik satu dimensi dengan massa m dan frekuensi
sudut pada awal menduduki keadaan kuantum.
merupakan keadaan stasioner pada aras energi
ke-n.
a) Tentukan energi OHS pada keadaan awal tersebut
b) Tentukan nilai harap posisi pada saat t sembarang
1 3
ψ ψ 2 ψ
n
