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2016年度秋学期 画像情報処理 第１４回 逆投影法による再構成 (2017. 1. 19)
- 4. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
- 5. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
- 6. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
- 7. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
- 8. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
- 9. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 投影定理 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 「断面」がすべてそろえば，２次元逆フーリエ変換で ２次元関数が再構成できる
- 10. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない
- 11. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy
- 12. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 13. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 14. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 15. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 16. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
- 17. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くす ことはできない
- 18. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くす ことはできない →補間を行う
- 19. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 20. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 21. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 22. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 23. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」
- 24. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 断面は極座標 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は 正方座標
- 25. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フーリエ変換法による再構成の問題点 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 断面は極座標 周波数空間の誤差は，画像全体に ひろがるアーティファクトを生む 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は 正方座標
- 28. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 x y f(x, y)
- 29. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は x y f(x, y)
- 30. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は x y f(x, y)
- 31. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影 （線積分）がわかれば求 められる x y f(x, y)
- 32. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影 （線積分）がわかれば求 められる x y f(x, y)
- 33. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影 （線積分）がわかれば求 められる x y f(x, y) なら，それらの線積分をすべて 合計してみれば？
- 34. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 素朴な再構成 ー 逆投影 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影 （線積分）がわかれば求 められる x y f(x, y) なら，それらの線積分をすべて 合計してみれば？ どの線積分にも f(x, y) は含まれているのだから， 合計したら f(x, y) が強調される？
- 37. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では
- 38. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0
- 39. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり
- 40. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は
- 41. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ)
- 42. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが 逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ)
- 43. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが 逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
- 44. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが 逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
- 45. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが 逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 復元できているのか？ f(x, y) とどれほど違うのだろうか？
- 46. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ逆投影
- 47. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
- 48. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
- 49. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
- 50. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
- 51. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′
- 52. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′
- 53. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′
- 54. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′
- 55. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′
- 56. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′
- 57. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′
- 58. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk]
- 59. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 三角関数を合成
- 60. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 三角関数を合成 θ = π − α のときだけ0
- 61. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているのだろうか？ h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 三角関数を合成 θ = π − α のときだけ0
- 62. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが… b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′
- 63. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが… b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′
- 64. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが… b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
- 65. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが… b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
- 66. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが… 積分すると1 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
- 67. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが… 積分すると1 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ b(x, y) = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 dx′ dy′ = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) よって
- 68. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元できているといえなくもないが… 積分すると1 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ b(x, y) = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 dx′ dy′ = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) よって コンヴォリューションに なっている
- 69. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元するには b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2
- 70. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元するには フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2
- 71. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元するには フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2
- 72. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元するには フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y なので
- 73. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 復元するには フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y なので
- 74. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)]
- 75. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0
- 76. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 周波数0の成分は
- 77. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は
- 78. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は
- 79. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 全体の 平均が0
- 80. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 全体の 平均が0
- 81. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 全体の 平均が0
- 82. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 全体の 平均が0
- 83. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっている ことになる 全体の 平均が0
- 84. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっている ことになる おかしい。吸収率なんだから 全体の 平均が0
- 85. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっている ことになる おかしい。吸収率なんだから 0 全体の 平均が0
- 86. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっている ことになる おかしい。吸収率なんだから 0 全体の 平均が0
- 87. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっている ことになる おかしい。吸収率なんだから 0 値は正のはず 全体の 平均が0
- 88. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっている ことになる おかしい。吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の 平均が0
- 89. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっている ことになる おかしい。吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の 平均が0
- 90. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっている ことになる おかしい。吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の 平均が0
- 91. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. これでいいのでしょうか？ つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっている ことになる おかしい。吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも fx = fy = 0 で発散している 全体の 平均が0
- 92. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 再び投影定理 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
- 93. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 再び投影定理 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 復元
- 94. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 再び投影定理 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 復元 ２次元逆フーリエ変換
- 95. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 再び投影定理 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy 復元 ２次元逆フーリエ変換
- 96. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
- 97. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
- 98. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ
- 99. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ
- 100. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
- 101. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
- 102. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
- 103. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 投影定理より
- 104. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) 投影定理より
- 105. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 投影定理より
- 106. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
- 107. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
- 108. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ
- 109. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ
- 110. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ
- 111. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ s = x cos θ + y sin θ
- 112. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
- 113. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
- 114. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
- 115. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ の逆フーリエ変換|ξ|Gθ(ξ)
- 116. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換|ξ|Gθ(ξ)
- 117. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換|ξ|Gθ(ξ) ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
- 118. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換|ξ|Gθ(ξ) ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ とおくと，
- 119. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換|ξ|Gθ(ξ) ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ とおくと，
- 120. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ補正逆投影法 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換|ξ|Gθ(ξ) ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ とおくと， 投影を， 「周波数空間で |ξ| 倍するフィルタ」を 適用してから，逆投影
- 121. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. コンヴォリューション逆投影法 ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
- 122. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. コンヴォリューション逆投影法 ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
- 123. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. コンヴォリューション逆投影法 ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍
- 124. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. コンヴォリューション逆投影法 ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション
- 125. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. コンヴォリューション逆投影法 ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ˆg(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション
- 126. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. コンヴォリューション逆投影法 ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ˆg(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション 最初からこれを定義しておけば フーリエ変換の必要はない
- 127. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. コンヴォリューション逆投影法 ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ˆg(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション 最初からこれを定義しておけば フーリエ変換の必要はない 極座標→直交座標の変換は実空間で行うので， 誤差が画面全体に拡散することはない
- 128. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ関数 ξ H(ξ) ξmax– ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax– ξmax (a) (b) (c)
- 129. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ関数 ξ H(ξ) ξmax– ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax– ξmax (a) (b) (c) |ξ|
- 130. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ関数 ξ H(ξ) ξmax– ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax– ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax
- 131. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ関数 ξ H(ξ) ξmax– ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax– ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax
- 132. 2016年度秋学期 画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. フィルタ関数 ξ H(ξ) ξmax– ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax– ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax 高い周波数成分を増幅すると ノイズを強調してしまうので， 抑える