2. Згадаємо, що при паралельному проектуванні в просторіЗгадаємо, що при паралельному проектуванні в просторі
використовують такі поняття як: площина проекційвикористовують такі поняття як: площина проекцій ((люба площиналюба площина αα),),
напрямок паралельного проектування (люба пряманапрямок паралельного проектування (люба пряма mm))..
m
α
3. Розглядаючи любу геометричну фігуру як множину точок, можноа побудувати вРозглядаючи любу геометричну фігуру як множину точок, можноа побудувати в
заданій площині проекцію даної фігури. Для цього вибирають любу точкузаданій площині проекцію даної фігури. Для цього вибирають любу точку
фігурифігури AA ((прообразпрообраз) і будують її паралельну проекцію на площину) і будують її паралельну проекцію на площину A’A’ ((образобраз).).
А
А’
m
α
4. Таким чином можна отримати зображенняТаким чином можна отримати зображення ((або «проекцію») любоїабо «проекцію») любої
плоскої або просторової фігури. (див.рис.)плоскої або просторової фігури. (див.рис.)
m
α
5. Приклад 1Приклад 1. Побудуйте переріз трикутної призми. Побудуйте переріз трикутної призми ABCA’B’C’ABCA’B’C’,, якийякий
проходить через точкипроходить через точки MM,, NN іі KK, які лежать в бічних гранях, які лежать в бічних гранях
A
B
C
C’
B’M
N
K
M’
K’
N’
Розвязок.
1) Побудуємо
проекції даних
трьох точок M, N і
K на площину
основи в напрямку,
паралельному
бічному ребру.
2) Сполучимо дві любі
дані точки
(наприклад, M і K).
3) Побудуємо образ
одержаного в п.2)
відрізка MK.
A’
6. A
B
C
A’
B’M
N
K
M’
K’
N’
4) Сполучимо відрізком
точки N’ і C,
позначивши буквою F’
точку перетину з
відрізком M’K’.
5) Так як F’∈M’K’, то
прообраз цієї точки
F∈MK. Побудуємо її.
6) Прямі NN’ і CC’ лежать
в одній площині
(подумайте чому?).
Побудуємо в цій
площині точку
R=CC’∩NF.
7) В бічних гранях ACC’ і
BCC’ у нас зявилися
по дві точки, які
належать перерізу,
тому закінчити
побудову перерізу RST
не важко.
F’
F
R
S
T
C’
7. Основною метою використання методу паралельних проекцій являється одержанняОсновною метою використання методу паралельних проекцій являється одержання додатковоїдодаткової точкиточки
перерізу (звичайно на одномуиз бічних ребер). Для цього можна використати слідуючу схему;перерізу (звичайно на одномуиз бічних ребер). Для цього можна використати слідуючу схему;
1) потрібно вибрати любу пару з даних точок перерізу; (1) потрібно вибрати любу пару з даних точок перерізу; (MM іі KK))
A C
A’ C’
B’M
N
K
M’
K’
N’
F’
R
S
T
2) побудувати їх проекції на основу призми; (M’ і K’)
3) напрямок паралельного проектування вибирають паралельно бічним ребрам; (AA’)
4) спочатку отримати образ допоміжної точки в площині проекцій (для цього використовують образи даних
точок перерізу і одну з вершин основи призми); (точка F’, вершина – С)
5) знайти прообраз додаткової точки; (точка F)
6) отримати додаткову точку перерізу; (точка R).
F
Запишіть схему в зошит!
8. Зауваження.Зауваження. Ще раз зверніть увагу на термін «Ще раз зверніть увагу на термін «любілюбі» в п.2) прикладу 1.» в п.2) прикладу 1.
Спробуйте самостійно, по схемі, в зошиті побудувати переріз з прикладу 1,Спробуйте самостійно, по схемі, в зошиті побудувати переріз з прикладу 1,
сполучаючи дві другі пари точок:сполучаючи дві другі пари точок: MM іі NN абоабо NN іі KK. Переконайтесь в. Переконайтесь в
однозначності отриманого результату (переріз получається таким же).однозначності отриманого результату (переріз получається таким же).
A’
A
B
C
C’
B’M
N
K
M’
K’
N’
F’
F
R
S
T
A
B
C
A’ C’
B’M
N
K
M’
K’
N’
F’
F
R
S
T
Додаткова точка T Додаткова точка S
9. Приклад 2. Побудувати переріз чотирикутної призми ABCDA’B’C’D’,
який проходить через точки M∈AA’, N ∈(BCC’) і K∈(CDD’).
A
A’
B
B’
C
C’
D
D’
M
N
K
P
Q
R
Спостерігаючи
за ходом
побудови
перерізу,
складіть
алгоритм по
запропонованій
вище схемі.
N
’
K’
F
F’
Чотирикутник MPQR –
шуканий переріз
10. M
K
M’
K
’
Приклад 3. Побудувати переріз трикутної призми ABCA’B’C’, який
заданий трьома точками М∈ABB’, N∈ACC’ і K∈BCC’.
Розвязок. Як ми бачимо,
ніякі з трьох точок
перерізу не лежать в
одній грані призми.
Значить, метод «сліду»
нам не підходить.
Прослідкуємо поетапне
використання методу
паралельних проекцій
для побудови перерізу в
даному випадку.
1) Побудуємо образи M’,
N’ і K’ даних точок при
паралельному
проектуванні в напрямку,
паралельному бічному
ребру призми на її нижню
основу.
A
B
C
A’
B’
C’
N
N’
11. M
N
K
’
P’
L
2) Зобразимо відрізок
N’K’ як образ відрізка
NK.
3) Знайдемо точку P’
перетину відрізків M’C і
N’K’.
4) Так як P’∈N’K’, то
прообраз цієї точки
P∈NK. Побудуємо її.
5) Тепер зобразимо
прообраз відрізка M’C −
відрізок ML, де
L=MP∩CC’.
6) Точка L належить
площині перерізу
(MNK), значить, далі
можна використати
метод «слідів».
A
A’
B’
C
B
P
M’
C’
K
N’
12. M
L
E
D
K
’
A
B
C
P
P’N’
F
G
A’
B’
В підсумку одержали
шуканий переріз –
пятикутник FELDG!
Отже, наша мета в
побудові перерізу була
досягнута дякуючи появі
додаткової точки L.
K
M’
C’
N
При використанні
методу «слідів»
одержимо точку U.
Після чого закінчити
побудову перерізу не
важко.
U
13. M
N
K
можна вибирати любу основу призми.
Використовуючи вищеописаний алгоритм неодноразово можна обійтись без
методу «слідів».
Приклад 4.
14. Площина перерізу може задаватися:
1) трьома точками, які не лежать на одній прямій;
2) прямою і точкою,яка не лежить на ній;
3) двома прямими, які перетинаються;
4) двома паралельними прямими.
Всі ці випадки можна звести до першого, вибираючи на прямих зручні для нас точки.
A
A’
B
B’
C
C’
D
K
D’
Приклад 5.
Побудуйте переріз 4-
кутної призми, в
основі якої довільний
4-кутник, який
проходить через
діагональ і точку в
протилежних бічних
гранях.
15. Розвязок. Виберемо на діагоналі дві точки B і A’. Побудуємо переріз,
який проходить через три точки K, B і A’. При паралельній проекції на
нижню основу призми образами цих точок будуть точки K’, B і A.
A
A’
B
B’
C
C’
D
M
N
K
K’
F
F’
Проведемо відрізок
A’K і побудуємо його
образ – відрізок AK’.
Сполучимо точки B і
D, відмічаючи точку F’
перетину його з AK’.
Знайдемо прообраз
точки F’.
Відмітимо додаткову
точку M=BF∩ DD’.
Одержимо переріз
призм A’MNB,
послідовно
сполучаючи одержані
точки.
D’
