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高中數學多項式函數
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目目目目 次次次次
摘要摘要摘要摘要 ........................................................................................................................................................................................................................................................ 1111
第壹章緒論第壹章緒論第壹章緒論第壹章緒論 ................................................................................................................................................................................................................................ 3333
第一節研究背景與動機 ..............................................3
第二節研究目的與問題 ..............................................6
第三節名詞解釋 ....................................................7
第四節研究限制 ....................................................9
第貳章文獻探討第貳章文獻探討第貳章文獻探討第貳章文獻探討 ............................................................................................................................................................................................................ 11111111
第一節多項式函數的簡介 ...........................................11
第二節理論基礎 ...................................................18
第三節多項式函數解題試題的優良試題舉例 ...........................33
第參章多項第參章多項第參章多項第參章多項式式式式函數函數函數函數解題解題解題解題試題的開發研究與測試結果試題的開發研究與測試結果試題的開發研究與測試結果試題的開發研究與測試結果........................................................................................ 54545454
第一節解題試題的開發 .............................................56
第二節整卷測驗的結果 .............................................94
第肆章總結與建議第肆章總結與建議第肆章總結與建議第肆章總結與建議 ................................................................................................................................................................................................ 101101101101
第一節總結與建議 ................................................101
第二節示範教材的舉例 ............................................106
參考文獻參考文獻參考文獻參考文獻 ................................................................................................................................................................................................................................ 132132132132
中文部份 ........................................................132
英文部分 ........................................................136
附錄附錄附錄附錄 ................................................................................................................................................................................................................................................ 138138138138
附錄一、研究用模擬試卷封面 ......................................138
附錄二、多項式函數整卷四回（A，B，C，D 卷） .....................139
附錄三、微積分整卷七回（E，F，G，H，I，J，K 卷） ................155
附錄四、學生施測問卷設計 ........................................185
附錄五、學生施測評價回饋表 ......................................186
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勢與各版本的關連性，所以大考中心為了釐清考試命題的方向，開始依據課程標
準所列之測驗目標，並站在「一綱多本」的角度去開發、設計新試題，待研究結
果成熟即正式出版相關刊物，供大家參考(大考中心，2003)。
以往世界各主要課程綱要的編寫多會参照認知、情意、技能等三大方向，
這是依據 Bloom 在 1956 年所提出的理論，然而隨著近年來學者開始強調有意義
的、建構式學習之後，終於在 2001 年出版了修訂的版本；在新的修訂版中教育
目標被分類為知識向度與認知歷程向度(Anderson et al，2001)，並強調新的學習
概念潮流下，教師們在教學中配合課程綱要外，更應融入認知歷程向度的概念，
幫助學生建立起更完整的數學能力。既然培養學生的數學能力是大家努力的目
標，且「數學能力」這名詞當時也沒有一個確切的定義，於是 NAEP( National
Assessment of Education Progress )在 1996 年進行的數學科評量中，將數學能力分
為：概念的瞭解、程序性的知識、以及解題能力。
當然，大考中心也在各教育界學者專家周詳的討論下，於 1999 年針對學生
數學的認知過程，將其分為「概念性」、「程序性」與「解題能力解題能力解題能力解題能力」等三個層面，
其測驗目標即為評量學生是否有這三方面的知能（林福來等，1999）。另外，「大
學多元入學新方案」於民國九十一年開始實施，方案中無論「甄選入學制」或「考
試分發制」，都需用到大考中心所舉辦的方式作為評量工具。其中評量數學能力
的考科有三種:
一﹑學科能力測驗數學考科
二﹑指定科目考試數學甲
三﹑指定科目考試數學乙
其後，為因應及銜接九年一貫課程的需要，學測與指考的命題即參考九十五
年正式實施的「普通高級中學課程暫行綱要」（以下簡稱「95 課綱」）(教育部，
2005)。然『工欲善其事，必先利其器』，不管新考科的推出或者課綱的異動，
高中數學教師都應該站在教學與學生學習的角度去思考，去研發一份良好的數學
教材，因為好的教材不但提供教師脈絡分明的教學層次，也能夠引發學生的學習
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難度類別 答對率(得分率)
難 15%~25%
中偏難 25%~40%
中偏易 40%~55%
易 55%~75%
四四四四、、、、多多多多項式函數之項式函數之項式函數之項式函數之示範教材示範教材示範教材示範教材
根據高中數學「98 課綱」標準，參考各版本第一冊及選修 II 編寫教科書的
方式，將開發過之新試題，按照該單元主題，依循「概念」、「程序」以及「解題」
測驗目標的特性，安排有例題、隨堂練習以及課後習題，由易至難穿插在該課文
的重點分析之間，呈現一份正式的教科書的範本。 本研究選擇兩個主題進行示
範教學之教材，主題一為多項式函數之「餘式定理與因式定理餘式定理與因式定理餘式定理與因式定理餘式定理與因式定理」，主題二為多項
式函數微積分之「三次函數之圖形三次函數之圖形三次函數之圖形三次函數之圖形」，分別介紹如後( 第四章第二節 ) 。
第四節研究限制第四節研究限制第四節研究限制第四節研究限制
一、 本研究試題測試樣本為彰化縣一所高中一個班、桃園縣一所高中兩個
班、台北市一所高中兩個班以及台北縣一所高中，計 247 位學生為研
究對象，探討其新開發試題施測的狀況形，研究結果僅呈現個案班級
在其特定教學情境下進行施測的情形，所獲得之結論可提供教師在教
學或評量時之參考，但在不同情境下不宜過度推論。
二、 本研究之「多項式函數單元」之解題試題研究開發部分，係以 95 課
程暫行綱要之教材為主，斟酌 98 課程綱要所列之教學目標，以及研
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記載了人類最早的數學成就。
與古埃及人一樣，生活在底格里斯河和幼發拉底河流域（現今伊拉克境
內）的古代巴比倫人，也在四千多年前創造了他們自己的一種解應用問
題的方法，根據 O.Neugebauer 的說法，巴比倫人在西元前 1600~1800
就已經有了專門求矩形邊長的公式，此公式相當於一元二次方程式
2
0x ax b− + = 的求根公式，其中a 為矩形周長的一半，b 為矩形的面
積。然而在西元 1050 年前後，中國數學家賈讓創造了一種解這類問題
的方法-「增乘開方術」，西元 1247 年，南宋的秦九韶更進一步推廣賈
讓的方法，可求得任意方程式的近似根。求近似根的原理及負數的介
紹，早在中國古老的「九章算術」就已經出現。
在方程式發展的另一道路上，希臘數學家也積極地推進著方程式理論，
其中最傑出的貢獻者就是丟番圖（Diophantus），他是世界數學史上第一
個較有系統地引用一套編寫符號的數學家，突破傳統的“文字代數”使
方程式能透過縮寫與符號被簡單地表示出來。西元二世紀，希臘數學家
海倫就利用配方的方法解出了形如 2
0ax bx c+ + = 的二次方程式，不過
真正使二次方程式的公式解法有較大發展的還是後來的印度數學家婆
羅摩及多( Brahmagupta,m，約 598 左右）提出的二次方程式的求根公式。
西元十二世紀，印度數學家拜斯伽羅（Bhaskara，1114~1185 左右）
則對一次和二次方程式有了更詳盡的討論，並作了很大的推進：「一是
把婆羅摩及多的公式，給出了完整而又清楚的表述。二是把三種形式的
方程式給予一個統一的求根公式。三是確認二次方程式有兩個根，承認
負根的存在。」 儘管拜斯伽羅在實際的計算中還是把負根捨棄不取，
不過這一重要的跨步對後來的數學影響深遠，且對認識n 次方程式有n
個根也頗具啟發。
此外，在方程式的發展史上，阿拉伯人也扮演了重要的角色，他們
繼承了希臘和印度所開創的許多成果，當然阿拉伯人也有自己的創造，
像方程式的“根”及“代數”等名稱。西元 820 年阿拉伯數學家阿爾‧
花拉子米（Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi，780~ 850）根據 印度數學
家婆羅摩及多 和 希臘數學家丟番圖的著作寫了一本 『aldschebr ,
Walmukábala』 的書， 介紹解方程式的方法，其中首創了相當於現今的
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“移項”和“合併同類項”的方法。隨著時代的演進“ algebra ”這詞就
成了拉丁文的代數學名詞。在中國直到西元 1859 年，才由晚清數學家
李善蘭將“ algebra ”譯成為 “代數” 。
(二) 三次與四次方程式
十二世紀，歐洲人進入阿拉伯，他們從阿拉伯這一窗口看到了中
國，希臘和印度數學的輝煌成就，自然也吸收了這些成果，並從十五世
紀末開始了他們自己的獨立研究，其中解三次方程式、四次方程式便是
他們早期的一個研究課題。 首先義大利波羅那大學的教授費洛
（Scipione del Ferro,1464 ~ 1526）發現了形如 3
0x ax b+ + = 的三次方
程式的公式解法，不過費洛並沒有發表這項成就（當時的風氣，常把發
現或發明保留，好作為日後與別人競賽的資本），他只把解法告訴他的
學生菲歐（Antonio Maria Fior），結果卻引發一場數學史上著名的雙人競
賽。 由於菲歐自信，除了費洛和他之外，不會有第三個人能解三次方
程式，然而卻有一個外號叫做塔爾塔里亞的人，他是首位將數學應用於
科學的學者，西元 1546 年發表一本論兵法、火藥和射擊原理的書，明
確提出拋物體始終是在衝力和引力的影響下，沿著拋物線運動，以及火
炮射程與炮筒傾斜角的關係。
他宣稱能解三次方程式，於是菲歐便向塔爾塔里亞提出挑戰，雙方
約定 30 天之內解 30 個三次方程式，結果塔爾塔里亞大約只花了兩個小
時就把 30 道題解完，獲得壓倒性的勝利。在這著名的雙人賽後，義大
利米蘭大學醫學教授卡當諾（Girolamo Cardano,1501~1576），也很想學會
三次方程式的解法，就在卡當諾的引誘，懇求與真誠的保證下，塔爾塔
里亞終於用隱晦的方式，將三次方程式的解法告訴了卡當諾，然而卡當
諾卻失信了，他在 1545 年出版的「大法」（Ars Magna）一書中公開了此
項秘密。
事實上「大法」一書，也載錄了費拉里的四次方程式的公式解法，也
首先引進複數根的概念，不過數學家們仍抱著排斥的態度，直到十八世
紀瑞士數學家尤拉（L. Euler,1707~1783）才正式將 1− 定為虛數i 。
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(三) 五次以上方程式
費拉里成功地解決四次方程式的公式解法後，的確給了歐洲數學家們
極大的鼓舞，他們也積極地尋求五次以上方程式的求根公式，不過卻一
直無法成功，儘管如此，西元 1770 ~ 1771 年法國數學家 Joseph Louis
Lagrange 歸納出了一般性的「Lagrange 預解式」模式，為研究方程式根式
解的領域打開一條新的道路。德國數學家高斯（Carl Friedrich Gauss,1777 ~
1855）也於 1799 年證明了根的存在性問題「代數基本定理：每一個複係
數n 次方程式，至少有一個複數根」。沿著「Lagrange 預解式」所開闢的
道路，挪威的年輕數學家阿貝爾 Niels Henrik Abel,1802~1829，著有「代
數方程理論」和「橢圓函數論」）終於在 1826 年解決了這個問題。
阿貝爾得出的結論是：「一般的五次方程式，沒有根式解。且五次以
上的一般方程式，其討論的方法與五次類似」。 而所謂的沒有根式解，
是指無法用其係數，經過加、減、乘、除、及開方等運算來得出它的解。
1832 年法國的年輕數學家伽羅瓦（Evariste Galois,1811~1832）則是提出「群
論」的概念，更能洞見了方程式求解的本質。1858 年法國數學家 Charles
Hermite 證明：「五次方程式的根，是可以用其係數，經過加、減、乘、
除、開方和橢圓函數的組合表示出來」。1880 年法國數學家 Henri Poincar
é 發現：「n 次一般方程式的根，是可以用其係數，經過加、減、乘、除、
開方和 Fuchs 函數的組合表示出來」，而這其實又是黎曼面理論的均勻化
問題的應用。
二二二二、、、、 多項式函數微積分的歷史淺介多項式函數微積分的歷史淺介多項式函數微積分的歷史淺介多項式函數微積分的歷史淺介
(一)發跡緣由
十六世紀末、十七世紀初，在數學家發展代數學的同一時間，另外有
一批人正設法利用數學去瞭解宇宙，這些人通常被稱作「自然哲學家」
（natural philosopher），而其中最有名的一位應該就是伽利略（Galileo Galilei,
1564-1642）。伽利略一生中大多數時間都定居在義大利的佛羅倫斯。他的
研究涵蓋天文學以及運動物理學。此外，他還將數學分析融入觀察與實驗
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從事類似的研究。大概在 1660 年左右，人們已經能夠視實際的需要解出
這一類問題，然而，卻尚未有一個一般化的方法出現。
(二)萌芽與誕生
微積分誕生在十七世紀，但其思想的萌芽可以追溯到古希臘時代，阿
基米德 (Archimedes，公元前約 287～212 ) 用“窮盡法”去求拋物線、雙
曲線和某些特殊螺線的切線，並且計算了圓與拋物線弓形的面積(Sherman
Stein，2004；陳可崗譯，2007)。但事實上，微積分概念的發展需要輔助工
具，而且積分與微分幾乎在同一時期，其中先驅人物之一就是卡瓦列利，
他認為「平面是無限多平行線的集合」，無疑是積分的根本概念(岡部恒治
著，2008；蔡青雯譯)。在兩千多年來，計算由曲線圍成的區域面積，圓
的周長與面積等這樣的問題，一直吸引許許多多的智者。隨著生產技術與
科學的發展，求運動物體的速度和位移，曲線的切線與長度，由曲線圍成
的區域面積，曲面所圍成的立體體積等問題成為當時迫切需要解決的科學
問題。
牛頓 ( Newton 1642～1727) 和萊布尼茲 ( Leibniz 1646～1716 ) 在前
人思想與計算方法的基礎上，分別獨立發現了微分與積分之間的關係，使
得原本平行發展的兩個概念，終於能結合在一起。積分學主要源自於對面
積與體積的計算，而刺激微分學發展的主要問題是求曲線的切線、瞬時變
化率與極大極小值問題。17 世紀，當時數學家已經能計算一些特殊函數
的導數與它們圖形下的面積，而牛頓與萊布尼茲他們分別獨立發現“微積
分基本定理”，就像加和減與乘和除一樣，呈現了函數求導數與積分之間
是逆運算的關係，這個定理發現之後，“微積分”這個學科就正式登上數
學的舞台。(高 雄 市 立 三 民 高 級 中 學 資訊網，2009 )
(三)微積分與應用數學
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第二節理論基礎第二節理論基礎第二節理論基礎第二節理論基礎
本節有兩個部份，第一個是介紹大考中心的理論，包括 98 與 95 課綱多項函數綱
要之異同以及大考中心針對學測與指考所設定的測驗目標；第二個是個別的理
論，包括多項式函數的教與學、測驗分析理論、「解題」試題及應用問題之相關
理論介紹。
一一一一、、、、大考中心理論大考中心理論大考中心理論大考中心理論
「「「「98989898 課綱課綱課綱課綱」」」」公布後，各界對於新課程之部分內涵仍有所誤解或不瞭解而
產生疑慮與擔憂。基於事緩則圓，且教育部之決策有必要讓社會各界安心，
避免衍生不必要之困擾，除分階段舉辦全國多場說明會及研習之外，也提早
公布讓學校課務安排有多一點的準備時間，家長及學生較不會有急迫感( 教
育部「新聞稿」」」」，2008 )。
本研究之「多項式函數單元」之解題試題研究開發部分，係以 95 課程
暫行綱要之教材為主，斟酌 98 課程綱要所列之教學目標，並針對並針對並針對並針對 95959595 暫綱暫綱暫綱暫綱的的的的
在學同學進行施測在學同學進行施測在學同學進行施測在學同學進行施測；所以，本文將 98 與 95 課程綱要其多項式函數多項式函數多項式函數多項式函數((((第一冊必
修)與微積分微積分微積分微積分((((選修 II))))之課程綱要分別比較如下：
(一)、98 與 95 課綱多項函數綱要之異同
1. 必修科必修科必修科必修科目目目目「數學」課程綱要比較
(1)(1)(1)(1)目標之比較：98 與 95 課綱相同
甲、培養學生具備以數學思考問題、分析問題及解決問題的能力。
乙、培養學生具備實際生活應用和學習相關學科所需的數學知能。
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丙、培養學生欣賞數學內涵中以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美的特質。
(2)(2)(2)(2) 核心能力之比較：98 課綱有七大核心能力，95 課綱則沒有。
甲、演算能力：能熟練多項式、分式、根式、指對數、三角的運算
及估算。
乙、抽象化能力：能將具體世界中的概念以數學形式表徵。
丙、推理能力：能認識證明，並進行推論。
丁、連結能力：能整合數學內部知識並與具體世界連結。
戊、解題能力：能解決數學形式與生活情境中的數學問題。
己、溝通能力：能正確、流暢地利用口語或文字表達解題想法。
庚、使用計算工具的能力:能使用計算器來處理繁瑣的計算與解決較
複雜的問題。
(3)(3)(3)(3) 多項式函數多項式函數多項式函數多項式函數教材綱要教材綱要教材綱要教材綱要之比較之比較之比較之比較
民國九十五年正式實施的「普通高級中學課程暫行綱要」(民國九
十三年八月三十一日發布、民國九十四年一月二十日修正發布，以下簡
稱「95 課綱」)，包括高一、高二的必修課程，及高三的選修課程數學
(Ⅰ)、數學(Ⅱ)；為因應 95 課綱，九十八年的指定科目數學考科仍分
為數學甲、數學乙，且這兩個考科的測驗內容有所不同。而在民國九
十七年一月二十四日發布的 98 課綱有課程分級：高二數學分為 A、B
兩版，B 版之內容包含 A 版; 95 課綱則沒有。茲將必修科目「數學第
一冊」之教材綱要比較如下:
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主題 子題 98989898 課綱課綱課綱課綱 95959595 課綱課綱課綱課綱
多
項
式
函
數
1.
簡 單 多
項 式 函
數 及 其
圖形
1.1 一次函數
1.2 二次函數
1.3 單項函數：奇偶奇偶奇偶奇偶
性性性性、單調性、圖形
平移
1.1 一次函數
1.2 二次函數
1.3 單項函數：單調性、圖
形平移
2.
多 項 式
的 運 算
與 應用
2.1 乘法、除法(含一
次綜合除法)、
2.2 除法原理(含餘式
定理、因式定理)
2.3 插值多項式函數插值多項式函數插值多項式函數插值多項式函數
2.1 乘法、除法(含一次綜
合除法)、
2.2 除 法 原 理 ( 含 餘 式 定
理、因式定理)
3.
多 項 式
方 程式
3.1 二次方程式的根
與 複 數 系 [ 複 數複 數複 數複 數
平 面 則 置 於 選平 面 則 置 於 選平 面 則 置 於 選平 面 則 置 於 選
修修修修]
3.2 有理根判定法、勘
根定理、 n
a 的意
義
3.3 實係數多項式的
代數基本定理、虛
根成對定理
3.1 二次方程式的根與
複數系[複數平面複數平面複數平面複數平面
已 置 於 本 冊 必 修 第 一已 置 於 本 冊 必 修 第 一已 置 於 本 冊 必 修 第 一已 置 於 本 冊 必 修 第 一
章章章章]
3.2 有理根判定法、勘根定
理、 n
a 的意義
3.3 實係數多項式的代數基
本定理、虛根成對定理
4.
多 項 式
函 數 的
圖 形 與
多 項 不
等式
4.1 辨識已分解的多
項式函數圖形及處
理其不等式問題
4.1 辨識已分解的多項式函
數圖形及處理其不等式
問題
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2. 選修科目「數學 II」課程綱要比較
(1)(1)(1)(1) 目標目標目標目標之比較之比較之比較之比較
98989898
課課課課
綱綱綱綱
提供學生適才適性的學習機會，針對不同學生的需要，選
修課程共分四類：標準課程、基礎課程、統整課程和進階課
程。
95959595
課課課課
綱綱綱綱
一、以多項式函數為主體引導學生瞭解微積分學的內容，意
義及方法。
二、提供學生在大學學習相關學科的基礎知能。
(2)(2)(2)(2) 多項式函數微積分教材綱要多項式函數微積分教材綱要多項式函數微積分教材綱要多項式函數微積分教材綱要之比較之比較之比較之比較
主題 子題 98989898 課綱課綱課綱課綱 95959595 課綱課綱課綱課綱
一、
極
限
與
函
數
1.數列
及其
極限
1.1 兩數列的比較
1.2 數列的極限及極
限的性質
1.3 無窮等比級數、
循環小數
1.4 夾擠定理夾擠定理夾擠定理夾擠定理
( 高一上必修第一冊第一冊第一冊第一冊 )
1.1 介紹等比數列介紹等比數列介紹等比數列介紹等比數列、、、、級數以級數以級數以級數以
及及及及∑ 的應用的應用的應用的應用。。。。
1.2 引入極限的直觀意
義,知道收斂和發散
之不同。
認識無窮等比級數可
以用極限的概念來計
算。
2.函數
的
概念
2.1 函數的定義、圖
形、四則運算
與合成函數合成函數合成函數合成函數
( 高三下選修I )
2.1 複習一次函數與直線複習一次函數與直線複習一次函數與直線複習一次函數與直線
方程式方程式方程式方程式。。。。
2.22.22.22.2 複習二次函數與拋物複習二次函數與拋物複習二次函數與拋物複習二次函數與拋物
線方程式線方程式線方程式線方程式。。。。
2.2.32.2.32.2.32.2.3 複習拋物線的光學性複習拋物線的光學性複習拋物線的光學性複習拋物線的光學性
質質質質。。。。
3.函數
的
極限
3.1 函數的極限
3.2 連續函數、介值
定理
3.1 引入引入引入引入 x∆ 並以直觀說明並以直觀說明並以直觀說明並以直觀說明
極限的意義極限的意義極限的意義極限的意義。。。。
3.2 連續函數、介值定理
1.微分 1.1 導數與切線
1.2 微分的加、減、
乘運算
1.1 引入引入引入引入 y∆ 及及及及 /y x∆ ∆ 討論討論討論討論
函數割線的斜率函數割線的斜率函數割線的斜率函數割線的斜率
1.2 以二次函數說明割線
斜率的極限是切線的斜
率。
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1.3 定義導數及切線方程
式。
1.4 以二項式定理或分解
因
式求極限得出多項式
的導函數，並介紹導函
數常用的符號。
二、
多
項
式
函
數
微
積
分
2.函 數
性 質
的 判
定
2.1 遞增、遞減、凹
凸性、函數極值
的一階與二階檢
定法
2.2 三次多項式的繪
圖
2.1 函數圖形的遞增、遞減
和臨界點。
2.2 函數圖形的凹性和反
曲點。
2.3 函數極值的一階二階
檢定。
2.4 含對三次多項式實根
個數的瞭解及極值的
應用。
3.積分
的
意義
3.1 定積分的意義
3.2 微積分基本定理
3.3 多項式函數的定
積分與不定積分
的計算
(不涉及分部積不涉及分部積不涉及分部積不涉及分部積
分分分分與與與與
變數變換法變數變換法變數變換法變數變換法)
3.1 直觀說明黎曼和對一直觀說明黎曼和對一直觀說明黎曼和對一直觀說明黎曼和對一
再細分的分割所取的再細分的分割所取的再細分的分割所取的再細分的分割所取的
極限是面積極限是面積極限是面積極限是面積。。。。
3.2 在等分割時，對 2
y x=
出黎曼和的極限。
3.3 介紹定積分符號，反導
函數（反微分）符號。
3.4 求多項式函數圖形與
直線 ,x a x b= = 與
0y = 圍出的面積
4.積分
的
應用
以求圓面積、球體體
積角 錐體體積、解
自由落體方程式為
主
4.1 以求圓面積、球體體
積角錐體體積、解自
由落體方程式為主
附
錄
一、微積分基本定理
二、牛頓求根法
一、微積分基本定理
二、牛頓求根法(開平方根
的近似值)
- 32. 31
其一是為微積分鋪路，其二是科學領域碰到與多項式相關的問題；因
為數乙的考試範圍不含微積分，所以多項式的考題應以測驗綱所提到
的重要定理或其他科學用到多項式的實例為重點；一則考基本代數能
力，另一則測試應用能力( 許志農，2006 )。
2. 命題方向
解題能力是指考生能運用推理分析、使用數學語言表達解題過程，
並能綜合所學過的觀念，使用相關的數學知識或策略轉換問題等。定
位上，指定科目考試是比學科能力測驗較進階的測驗。解題能力試題
的難度往往較高，對學測數學而言，是佔比率較少的部分，但對數學
甲及數學乙來說，卻是重要的一環。
3. 內容特色
數學的命題方式，大略可分為概念題、推理題、情境題及啟發性試
題等，而這當中的推理題、情境題及啟發性試題的設計，大都是可直接
呈現測驗目標中的解題能力，了解這些命題的理念，有助於解題能力試
題的選題、修題與開發，而能更進一步地達到測驗目標( 大考中心，
2002 )。以下將就各類分別介紹如下:
((((1111)))) 推理題推理題推理題推理題
推理題的基本理念是從測驗目標中的解題能力來發展。它可
以分為非引導式試題、引導式試題及偵錯題三類：
甲.非引導式試題：基本上是給出假設，求證結論的傳統式證明
題。
乙.引導式試題：將一完整證明的數個關鍵步驟由淺入深各自成
一小題。考生可先回答幾題，再根據前面的結
果來解答後面的問題。
丙.偵錯題：對某一問題提出證明，過程中隱藏一些學生易犯的
錯誤，例如說要求學生將過程中的錯誤找出並說明
- 35. 34
一一一一﹑﹑﹑﹑多項式函數的基本性質多項式函數的基本性質多項式函數的基本性質多項式函數的基本性質
((((一一一一)))) 學測試題學測試題學測試題學測試題
1. 〔84.學測〕
已知兩多項式：
10
2 9 10
0
( ) 1 2 3 ...... 10 11 ( 1) i
i
P x x x x x i x= + + + + + = +∑＝
與
5
2 4 8 10 2
0
( ) 1 3 5 ...... 9 11 (2 1) i
i
Q x x x x x i x
=
= + + + + + = +∑ ，則 ( )P x 和 ( )Q x
的乘積中， 9
x 的係數為 。
答：110
2. 〔84.學測〕
設 m 為實數，若二次函數 2
10 6y mx x m= + + + 的圖形在直線 2y = 的上
方，則 m 的範圍為：
(1) 0m >
(2) 2 29m > − +
(3) 0 2 29m< < − +
(4) 2 29 2 29m− − < < − +
(5) 2 29m > − + 或 2 29m < − −
答： )2(
3. 〔86.學測〕
設
3 10
2 2
1 8
( ) ( ) ( )
n n
f x x n x n
= =
= − + −∑ ∑ ，若 ( )f x 在 x a= 處有最小值，則選出下列
正確的選項？
(1) a 為整數
(2) 5.9a <
- 36. 35
(3) 5.1a >
(4) 5.04 <−a
(5) 5.06 <−a
答： )3)(2(
4. 〔87.學測〕
設 a 與b 均為實數，且二次函數 2
( ) ( 1)f a a x b= − + 滿足 (4) 0f > ， (5) 0f <
。試問下列何者為真？
(1) (0) 0f >
(2) ( 1) 0f − >
(3) ( 2) 0f − >
(4) ( 3) 0f − >
(5) ( 4) 0f − > 。
答： )3)(2)(1(
5. 〔87.學測〕
設 ( )f x 為一多項式。若( 1) ( )x f x+ 除以 2
1x x+ + 的餘式為
5 3x + ，則 ( )f x 除以 2
1x x+ + 的餘式為 。
答：2 5x +
6. 〔90.學測〕
設多項式 ( )f x 除以 2
5 4x x− + ，餘式為 2x + ；除以 2
5 6x x− + ，餘式為
3 4x + ，則多項式 ( )f x 除以 2
4 3x x− + ，餘式為 。
答：5 2x −
- 37. 36
7. 〔92 學測〕
設k 為一整數﹒若方程式 2
7 1 0kx x+ + = 有兩個相異實根，且兩根的乘積介於
5
71
與
6
71
之間，則k ＝ 。
答:1
8. 〔95 學測〕
學生練習計算三次多項式 ( )f x 除以一次多項式 ( )g x 的餘式﹒已知 ( )f x 的三
次項係數為3，一次項係數為2 .甲生在計算時把 ( )f x 的三次項係數錯看成
(其它係數沒看錯），乙生在計算時把 ( )f x 的一次項係數錯看成 2− （其它係
數沒看錯）.而甲生和乙生算出來的餘式剛好一樣.試問 ( )g x 可能等於以下哪
些一次式？
(1) x
(2) 1x −
(3) 2x −
(4) 1x +
(5) 2x + ﹒
答:(1)(3)(5)
((((二二二二)))) 指考試題指考試題指考試題指考試題
1. 〔81.數乙〕
多項式 5 2 3
( 2 3)x x x+ + + 除以 4
( 1)x x+ + 所得的餘式為__________。
答： 3 2
9 27 27x x x+ + +
- 38. 37
2. 〔86.數乙〕
設方程式 4 3 2
3 10 0x x bx cx+ + + + = 有四個相異有理根，則其最大根為
__________。
答：2
3. 〔93 數乙〕
設a 為實數，令α 、 β 為二次方程式 2
( 2) 0x ax a+ + − = 的兩個根﹒試問當
a 為何值時，| |α β− 有最小值？答:a ＝__________。
答:3
4. 〔95.數甲〕
以 O 表坐標平面的原點。給定一點 )3,4(A ，而點 ( )B x，0 在正 x 軸上變動。
若 ( )xℓ 表 AB 長，則 OAB∆ 中兩邊長比值
x
x ℓ（ ）
的最大值為
。（化成最簡分數）
答：
5
3
5. 〔96.數甲〕
設 ( )P x 是一個五次實係數多項式。若 ( )P x 除以 3x − 的餘式是 2 ，且商
( )Q x 是一個係數均為正數的多項式，試問下列哪些選項是正確的？
(1) ( ) 0P x = 與 ( ) 0Q x = 有共同的實根
(2) 3 是 ( ) 2P x = 唯一的實根
(3) ( )P x 不能被 4x − 整除
(4) ( ) 0P x = 一定有小於 3 的實根
(5) ( )P x 除以( 3)( 3)x x− + 的餘式也是 2 。
答案： )4)(3(
- 40. 39
4. 〔〔〔〔87.數甲〕〕〕〕
如圖，圓 2 2
16x y+ = 內含一橢圓
2 2
1
16 9
x y
+ = 。設圓內部在兩直線
1x = ， 2x = 之間的面積為 C ，而橢圓內部在此兩直線之間的面積
為 E ，則
E
C
等於 。
答：
3
4
5. 〔〔〔〔89.數甲〕〕〕〕
設 a 為一非零實數，試問方程式 3 2
0x x x a+ − + = 的根可能的情形為何？
(1) 有三個負根
(2) 有兩個負根和一個正根
(3) 有一個負根和兩個正根
(4) 有三個正根
(5) 僅有一個實根。
答： )5)(3)(2(
6. 〔〔〔〔89.數甲〕〕〕〕
設曲線 3 2
y x ax bx c= + + + 之圖形如下圖，且與 0y = 在原點相切。若此切
線與曲線所圍的區域（圖中上色部分）的面積為 3，試求常數 a，b ，c 之
值。
答： )0,0,6(),,( −=cba
- 41. 40
7. 〔90.數甲〕
如下圖，上色部分為拋物線 (2 )y x x= − 與直線 y x= 及 x 軸所圍成的區域
，求此區域之面積。
答:
6
7
8. 〔91.數甲〕
設 n 為正整數，坐標平面上有一等腰三角形，它的三個頂點分別是
(0，2)，
1
(
n
，0) ，
1
(
n
− ，0)。假設此三角形的外接圓直徑長
等於 nD ，則lim
n→∞
nD ＝ 。
答：2
9. 〔91 數甲〕
m 為實數，已知四次方程式 0143 34
=+− mxx 無實根，求m 的範圍。
答: 1 1m− < <
10.〔92 數甲〕
( )f x 是一個首項係數為1的實係數三次多項式，k 是一個常數。已知當
0k < 或 4k > 時， ( ) 0f x k− = 只有一個實根；當0 4k< < 時， ( ) 0f x k− =
有三個相異實根﹒請選出正確的選項。
(1) ( ) 4 0f x − = 和 ( ) 0f x′ = 有共同實根
(2) ( ) 0f x = 和 ( ) 0f x′ = 有共同實根
- 42. 41
(3) ( ) 3 0f x + = 的任一實根大於 ( ) 6 0f x − = 的任一實根
(4) ( ) 5 0f x + = 的任一實根小於 ( ) 2 0f x − = 的任一實根。
答:(1)(2)(4)
11. 〔93.數甲〕
已知整係數多項式 ( )f x 滿足 (2) (4) (6) 0f f f= = = ，而且除了 2x = ，4 ，
6 之外， ( )f x 的函數值恆正。下列選項有哪些必定是正確的？
(1) ( )f x 的次數至少為 6
(2) ( )f x 的次數為奇數
(3) (1)f 為奇數
(4) (4) 0f ′ = 。
答： )4)(1(
12. 〔94 數甲〕
考慮雙曲線 122
=− xy 圖形的上半部（如右圖），取此雙曲線上 x 坐標為 n
的點與漸近線 xy = 的距離，記為 nd ，其中n 為正整數﹒則lim( )n
n
n d
→∞
． ＝
__________（以四捨五入取到小數兩位）。
答: 35.0
13. 〔95 數甲〕
考慮多項式函數 352)( 2345
+−−+= xxxxxf ，試問以下哪些選項是正
確的？
(1)
( )
( 100)
limk
f k
f k→∞ ＋
0= （k 為正整數）
(2)
1
( ) (1)
1
limx
f x f
x→
－
－
0=
(3) 函數 )(xf 在區間 ]1,
2
1
[ 遞增
- 43. 42
(4) 若 0≥x ，則 0)( ≥xf
(5) 在坐標平面上 )(xfy = 的圖形與直線 3=y 恰有兩個交點.
答: )5)(4)(2(
14. 〔95 數甲〕
傳說中孫悟空的「如意金箍棒」是由「定海神針」變形得來的.這定海神
金在變形時永遠保持為圓柱體，其底圓半徑原為12公分且以每秒1公分的
等速率縮短，而長度以每秒20 公分的等速率增長.已知神針之底圓半徑只
能從12公分縮到4 公分為止，且知在這段變形過程中，當底圓半徑為10公
分時其體積最大。
(1) 試問神針在變形開始幾秒時其體積最大？
(2) 試求定海神針原來的長度。
(3) 假設孫悟空將神針體積最小時定形成金箍棒，試求金箍棒的長度。
答:(1) 2=t 秒 (2)60 公分 (3)220 公分
15. 〔96.數甲〕
張師傅想為公司設計底面為正方形且沒有蓋子的一個長方體紙盒，裡面白
色，外面灰色。在灰色部分的面積為 432 平方公分的限制之下，為了使紙
盒的容量達到最大，他應將此無蓋長方體紙盒的底面每邊邊長設計為
公分。
答：12
16. 〔96 數甲〕
考慮坐標平面上函數 3
2 3y x x= + + 的圖形（ x 為任意實數），試問下列
哪些選項是正確的？
- 44. 43
(1) 圖形有最高點，也有最低點
(2) 圖形有水平切線
(3) 圖形與任一水平直線恰有一交點
(4) 若( ),a b 在圖形上，則( ), 6a b− − + 也在圖形上
(5) 圖形與三直線 0, 1, 0x x y= = = 所圍成的區域之面積大於4
答: )5)(4)(3(
貳貳貳貳﹑﹑﹑﹑民間民間民間民間教科書優良試題教科書優良試題教科書優良試題教科書優良試題
目前國內所使用之教科書或補充講義等參考書籍，有龍騰、翰林、南一、三
民、全華、泰宇、康熙等七家出版社，本論文因篇幅關係，以 95 課程暫時綱要
所列之章節安排次序，每一單元列出二題較為適切的解題題型，以供研究參考，
並做為教師教學及評量命題時之依據。但因 98 課程綱要課程章節有所更動，本
論文將不列入「最高公因式與最低公倍式」。
針對不同程度的學生，提供不同的教材，作適當的評量，是每位教師的責
任，民間教科書優良試題是一個資源豐富的資料庫，每個試題在該年施測時，
無論成效如何，只要經過適當的修題，都可當成我們教學或評量的良好素材。
一一一一﹑﹑﹑﹑多項式函數的基本性質多項式函數的基本性質多項式函數的基本性質多項式函數的基本性質
單元單元單元單元 AAAA 多項式多項式多項式多項式的運算及餘因式定的運算及餘因式定的運算及餘因式定的運算及餘因式定理理理理
1. 〔〔〔〔龍騰 P 141〕〕〕〕
設 51648)( 23
+−+= xxxxf
(1) 將 )(xf 表成 )12( +x 的多項式。
(2) 求 )499.0(−f 的值到小數點以下第三位（第四位四捨五入）。
答: 1,16,28,8)1( ==== dcba 986.12)2(
- 45. 44
2. 〔〔〔〔南一 P 164〕〕〕〕
設 324
)1()()2()( +−=+= xxxgxxf ， ，試求：
(1) )(g)( xxf ⋅ 乘積中各項係數和。
(2） )(g)( xxf ⋅ 乘積中偶次項係數和。
答: 81)1( 54)2(
3. 〔康熹 P 141〕
設 ( )f x 是三次多項式，且 (1) (2) (3) 0f f f= = = ， (4) 6f = − ，求 ( )f x 除以
1x + 的餘式。
答：24
4. 〔南一 P 176〕
大雄在練習計算三次多項式 ( )f x 除以一次多項式 ax − 的餘式時，把
( )f x 常數項13，錯看成 13− （其餘係數沒看錯），結果得餘式為17 ，
試問正確的餘式為何？
答：43
單元單元單元單元 BBBB 多項式函數多項式函數多項式函數多項式函數
1. 〔翰林 P 201〕
一長方形 PQRS 內接於等腰三角形 ABC ，
如右圖 所示。 ABC∆ 的底邊 AB 6= ，高
CD 8= ，求長方形的最大面積。
2. 〔龍騰 P 176〕
在圓形噴水池中央安裝一個垂直且高出水面2 公尺的噴水柱，若柱頭向上
噴水且水流方向均沿相同的拋物線落下（如下圖）。今要在噴水口上方 h 公公公公
答：12
- 46. 45
尺尺尺尺處加裝一半徑1公尺的圓盤，為了美觀，設計師希望水流最高點恰在圓
盤邊緣，且落點處距噴水柱3公尺，那h 麼應為多少公尺？
答:
2
3
單元單元單元單元 CCCC 多項式方程式多項式方程式多項式方程式多項式方程式
1. 〔全華 P 211〕
設 ba， 為實數，且多項方程式 01023
=+++ bxaxx 有一根為 i+2 ，則此
方程式的實根為何？
答: 2−
2. 〔泰宇講義 第 13429 題〕
英偉在解完某一題實係數三次方程式，不小心把翻墨汁把試卷污損了，只
能看到原方程式為 0....7 23
=+− xx ，而解出的根只能判斷出有二根為
ia − 與 bi+3 （其中 ba， 為不是0 的實數），則原方程式為 。
答: 010167 23
=−+− xxx
單元單元單元單元 DDDD 多項式不等式多項式不等式多項式不等式多項式不等式
1. 〔翰林習作 P 106〕
把一無蓋容器打開，平鋪於地上如右圖所示，欲使其
容積至少為 48 立方公分，則 x 之範圍為 。
- 47. 46
答:1 2x≤ ≤
2. 〔全華 P 225〕
若 kkxxy 222
++= 的圖形恆在直線 4−−= xy 的上方，試求實數 k 的
範圍.
答:
2
5
2
3
<<− k
二二二二﹑﹑﹑﹑多項式函數微積分多項式函數微積分多項式函數微積分多項式函數微積分
單元單元單元單元 EEEE 函數圖形及函數圖形及函數圖形及函數圖形及極限概念極限概念極限概念極限概念
1. 〔龍騰 P 12〕
某灌溉渠的橫截面是等腰梯形，如下圖。其底寬2 公尺，渠深1公尺，邊
坡的傾角是45°。設水深為 x 公尺，橫截面的面積為 ( )f x 平方公尺。
(1) 寫出函數 ( )f x 。
(2) 求函數 ( )f x 的定義域。
(3) 求函數 ( )f x 的值域。
答:(1) xx 22
+
(2)定義域為{ }0 1,x x x R≤ ≤ ∈│
(3)值域為{ }0 3,y y y R≤ ≤ ∈│
2. 〔南一 P 16〕
右圖是阿傑從住家到學校騎自行車上學的“距離
—時間”圖。途中曾停下修車，然後快速前行，
總計花去25 分鐘抵達學校。
(1) 用“分段定義”寫出 “ ts −− ”的函數關
係（ )(tSs = ）。
(2) 離家後前10分鐘是等速，其速度是多少（公
里/分）？最後5分鐘也是等速，其速度是多少（公里/分)？
- 48. 47
(3) 離家後第23分鐘，距學校還有多少公里？
答: )61).(1(2)()80.(
4
5
)()1( 21 ≤≤−=≤≤= tttStttS ， ；
公里距甲地分
3
10
,
3
8
)2(
3. 〔翰林 P 36〕
求實數 ba， 使得
0
lim
→x x
bax 1－＋
4= 。
答: 1,8 == ba
4. 〔泰宇講義第 20949 題〕
設a 、b 為定數，若
1
lim
→x
2
1
3
1
ax bx
x
+ +
=
−
，則 =a _______， =b ______。
答：4 ， 5−
單元單元單元單元 FFFF 割線割線割線割線、、、、導數及切線斜率導數及切線斜率導數及切線斜率導數及切線斜率
1. 〔龍騰 P 32〕
天燈又名孔明燈，是諸葛亮被司馬懿困於平陽城時，為了向漢軍求助解
圍，所發明的一種傳遞訊息方式。設有一天燈升空後，經t 分鐘後離地面
的高度 ( )H t （公尺）為
2
( ) 4 1 (0 10)H t t t t= + + ≤ ≤ 。
(1) 求 2t = 到 4t = 時，天燈的平均速度。
(2) 求 2t = 時，天燈的瞬時速度。
答: (1)10 公尺/秒 (2)8 公尺/秒
- 49. 48
2. 〔康熹 P 40 〕
設某一物體自高空落下﹐其降落時的高度與所經過時間 x（秒）的關係為
21
( )
2
f x gx= − 500+ （公尺）﹐其中 9.8g = 2
（公尺／秒 ） 表重力加速度﹒
(1) 試求該物體自 2x = （秒）至 5x = （秒）之間的平均速度。
(2) 試分別求物體在 2x = （秒）及 5x = （秒）時的瞬時速度。
答: (1) 34.3（公尺／秒） (2) 19.6（公尺／秒）﹐49（公尺／秒）﹒
3. 〔南一 P 53〕
如右圖，已知 )3,1( −Q 在曲線
xxy 4: 3
−=Γ 上，以點 )3,1( −Q
為切點之切線為 L ，試求：
(1) L 的斜率。
(2) L 的方程式。
(3) L 與Γ 之所有交點坐標。
答: 1)1( − 2)2( −−= xy )0,2)(3( −
4. 〔龍騰 P 49〕
設 ( )f x 為二次函數，直線 L 為拋物線 ( )y f x= 在 1x = 處的切線，且此拋
物線過(0,2) 與( 1,0)− 兩點( 如下圖 )。若 L 之斜率為 1− ，試問:
(1) 函數 ( )f x 。
(2) L 之方程式。
答: 2
(1) ( ) 2f x x x= − + + (2) 3x y+ =
- 50. 49
單元單元單元單元 GGGG 函數的增減函數的增減函數的增減函數的增減、、、、凹向凹向凹向凹向與極值與極值與極值與極值
1. 〔翰林 P 82〕
設函數 )(g x 為四次多項式函數，其圖形以 )16,2()0,0( ， 為兩個反曲點且通過
點 )16,2( 的切線平行於 x 軸，求 )(g x 。
答: xxx 164 34
+−
2. 〔康熹 P 70〕
設 3 2
( ) 3 ( 2) 5f x ax x a x= + + + + 是實係數三次函數。
(1) 若 ( )f x 是 R 上的一遞增函數，試求a 的範圍。
(2) 若( 1, )b− 是 ( )f x 圖形上的反曲點，試求 ba, 之值。
答: 1)1( ≥a 4,1)2( == ba
3. 〔全華 P 83〕
已知曲線 cbxaxxy +++= 23
所有切線斜率中，以 )10,2( − 為切點的切線斜
率 27− 為最小，試求 cba ,, 的值及函數的極值。
答: 36,15,6 =−=−= cba
4. 〔南一 P 83〕
經過市場調查，某商品每件成本48 元，售價120元，每月平均可銷售700
件；若每件每次降價3元，則每月就可多銷售35件，試求：
(1) 售價訂為多少元時，每月總收入為最多。
(2) 售價訂為多少元時，每月的利潤為最多。
答: 90)1( 元(2)114元
- 51. 50
單元單元單元單元 HHHH 三次函數的圖形三次函數的圖形三次函數的圖形三次函數的圖形
1. 〔康熹 P 92〕
已知實係數三次函數 ( )f x 有極大值 (1) 4f = ，且滿足
0
( )
lim 2
x
f x
x→
= ，
試求 ( )f x ﹒
答: 3 2
6 8 2x x x− + +
2. 〔南一 P 95〕
若過原點 )0,0(O 恰有兩條直線與 1)( 23
++= kxxxf 的圖形相切，則 k
值為何？
答: 3
單元單元單元單元 IIII 極值的應用極值的應用極值的應用極值的應用
1. 〔康熹 P 95〕
若想設計底面為正方形且沒有蓋子的一個長方體紙盒，在表面積為144平方
公分的限制之下，此無蓋長方體紙盒的最大容量是多少？
答:96 3 立方公分
2.〔龍騰 P 96〕
咳嗽是利用氣管的收縮所產生的壓力差﹐加速氣體的流動﹐進而將氣管中
的氣體或異物快速的排出體外﹒假設氣管原來的半徑為 1﹐當氣管收縮後
的半徑為r 時﹐氣體流動的速度 ( )v r 可用底下的函數
( ) ( ) 4
1v r k r r= −
來表示﹐其中k 為常數﹒問﹕當氣管的半徑收縮為多少時﹐氣體流動速度
會最快？ 答:
4
5
r =
- 52. 51
3. 〔龍騰 P 97〕
如下圖，已知在兩拋物線 2
6y x= − + 與 2
2 12y x= −
所圍成的區域中，作一內接矩形 ABCD﹐其一組
對邊 AB ，CD分別平行於 x 軸，且兩頂點 ,A B 在
2
6y x= − + 上，而另兩頂點 ,C D 在 2
2 12y x= − 上
，試求矩形 ABCD的最大面積。
答:24 2
單元單元單元單元 JJJJ 黎曼和黎曼和黎曼和黎曼和與定積分與定積分與定積分與定積分
1. 〔全華 P 130〕
求拋物線 12
+= xy 與直線 0,2,0 === yxx 所圍成的區域面積時，我們考
慮 ]2,0[ 區間的n 等分割，然後分別以各分割區間的左端點函數值與右端
點函數值為長條矩形的高，求得各長條矩形面積的下和 nL 與上和 nU .
(1) 試求 nL 與 nU 。
(2) 欲使 nU - nL <
100
1
，則n 的最小值為何？
(3) 求此區域面積。
答: 2
3
44
3
14
)1(
nn
Ln +−= ， 2
3
44
3
14
nn
Un ++=
801)2(
3
14
)3(
2. 〔龍騰 P 118〕
在坐標平面上， x 與 y 坐標都是整數的點稱為格子點﹒令落在以原點
為圓心，正整數 n 為半徑的圓內或圓上的格子點數為 na ，數學家已證明
- 53. 52
數列 na 會滿足不等式： 2 2
( 3 ) ( 3 )nn n a n nπ π− ≤ ≤ + ，
試利用此不等式求極限值 2
lim n
n
a
n→∞
。
答:π
3. 〔南一 P 142〕
設 )(xf 為一個多項式函數，且滿足 xxdttf
x
a
3)( 2
−=∫ ，
(1) 求 )(xf 。
(2) 求a 。
答: 32)1( −xf 30)2( 或
4. 〔龍騰 P 134〕
設二次函數 2
( )f x x bx c= + + 的圖形通過點(1,0) ﹐( ,0)a ﹐其中 1a > ﹐如右
圖所示。
(1)若藍色區域與黃色區域的面積相等﹐則
a 的值為何？
(2)若藍色區域面積是黃色區域面積的 2 倍﹐
則 a 的值為何？
答: 3)1( 32)2( +
單元單元單元單元----KKKK 定積分的應用定積分的應用定積分的應用定積分的應用
1. 〔康熹 P 164〕
試求由 1y x= + 的圖形，與鉛直線 0x = ， 2x = 及 x 軸所圍成的梯形區域
繞 x 軸旋轉一圈所得立體的體積。（此立體為上、下底半徑各為 1，3，高
為 2 的直圓錐）
- 55. 54
第參章第參章第參章第參章 多項多項多項多項式式式式函數試題的開發研究與測試結果函數試題的開發研究與測試結果函數試題的開發研究與測試結果函數試題的開發研究與測試結果
本文研究之主要目的為高中數學 98 課綱其多項函數之解題試題及應用問解題試題及應用問解題試題及應用問解題試題及應用問
題題題題開發，欲使試卷內容(包括概念題、程序題)趨於完善，研究小組參考了許多
國內專家學者的研發計畫(大考中心，2008)，並做了以下諮詢的步驟：
（一）邀請大學教授邀請大學教授邀請大學教授邀請大學教授、、、、高中老師審題高中老師審題高中老師審題高中老師審題
在研究用測試前，邀請大學教授、六位高中教師來審視這十一份題目，
以檢視試題的敘述是否清楚、題目條件是否充足、答案是否正確無誤。另
外，亦請老師提供考生可能的作答情形。
（二）召開研究用考卷施測諮詢會議召開研究用考卷施測諮詢會議召開研究用考卷施測諮詢會議召開研究用考卷施測諮詢會議
於研究用試卷定稿後，舉辦試卷諮詢會議，邀請施測班級的高中教師
討論找到適合施測時間，並針對十一份試卷(附錄一附錄一附錄一附錄一、、、、二二二二、、、、三三三三)內容提供意
見，以求試題與解析內容更加完善。
（三）辦理學生問卷調查說明辦理學生問卷調查說明辦理學生問卷調查說明辦理學生問卷調查說明
本研究依據 98 年「普通高級中學課程綱要」編製了參考試卷，同時也
想要廣泛蒐集高中學生對試卷之意見，因此於試卷完成正式施測之階段，
進行由問卷中得到高中學生對研究用試卷的想法，問卷調查內容及統計數
據之整理可詳見附錄四附錄四附錄四附錄四、、、、五五五五。
（四）進行試題答對率分析及題型確定諮詢會進行試題答對率分析及題型確定諮詢會進行試題答對率分析及題型確定諮詢會進行試題答對率分析及題型確定諮詢會議議議議
本研究在施測及蒐集完高中學生對試卷之意見之後，隨即進行小組試
題答對率分析以了解適合學生學習之試卷題型，並與教授、六位高中教師
召開題型確定諮詢會議。
除了試題開發之外，本研究的另目的為編製 98 課綱多項式函數研究用試卷
之試題分析(十二宮格)以及示範教材(第四章)，其主要的研究流程如下圖：
- 58. 57
1. (1) 設 3 2 4
( ) (23 75 61 8)f x x x x= + + + ﹐則以 2
3 2x x+ + 去除 ( )f x 之餘式
為 。
(2) 承(1)， 4
(23756108) 除以102 101× 之餘數為___________。
說明：因為計算過程繁覆，加上答對率低於 15％，所以予以刪除 。
2.若將曲線 3
1 : ( ) 7 1y f x x xΓ = = − + 向 x 軸正向平移 1 單位成為 2 : ( )y g xΓ = ，
回答以下問題：
(1) 求 ( )g x = 。
(2) 求兩曲線 1 2,Γ Γ 所圍區域之面積為 。
說明：此題答對率為 11.5%；因為答對率低於 15％，學生的反應情形不佳，
所以建議修題建議修題建議修題建議修題如下:
◎將函數 3
( )f x x x= − 的圖形向 x 軸正向平移 1 單位，成為新曲線的
( )g x 的圖形 ，且令兩圖形所圍成的區域面積為 R 。選出正確選項:
(1)
3 2
( ) 3 2g x x x x= − +
(2) 兩圖形的交點座標為(0,0),(1,0) (2,6)及
(3) 1x< <若0 ，則 ( ) ( )g x f x>
(4)
1
2
R =
二二二二、、、、將題意不清的試題給予修題將題意不清的試題給予修題將題意不清的試題給予修題將題意不清的試題給予修題
對於一開始命題的部份試題，因為有些題目在小組審題的時候，經過
教授指導或者是組員提出「題意不清」的意見，或者預試階段學生反應不
佳時，會將該題進行修題或者刪除。
- 59. 58
如：
1.設一拋物線 2
y x ax b= + + ﹐ ,a b R∈ ﹐若通過(3﹐2) 且頂點在直線 L﹕
1 0x y− − = 上﹐則a b+ = (兩解) 。
說明：此題題意不是很清楚，所以審題小組建議修題建議修題建議修題建議修題如下:
◎ 設一拋物線 2
5y x ax= + + ，a R∈ ，試回答以下問題:
(1) 求頂點座標 (以a 表示)
(2) 若頂點在直線 L ﹕ 1 0x y− − = 上，則a = ____________(兩解)。
2. 假設某知名電視公司之營運利潤曲線為二次函數 2
3y x mx= + − (定義: x 代
表營運期間， y 代表營運利潤)，該公司欲使其營運圖形恆在直線
7 0x y− − = 的上方，則求實數m 的範圍為 。
說明：此題題意不清；因為營運期間的範圍沒能嚴謹定義，且利潤範圍亦無
說明，所以審題小組建議修題建議修題建議修題建議修題如下:
◎ 座標平面上，假設拋物線 2
3y x mx= + − ，m R∈ 與直線 7 0x y− − = 不
相交，則m 的範圍為 。
三三三三、、、、正式施測的試題正式施測的試題正式施測的試題正式施測的試題，，，，儘量以創新為主儘量以創新為主儘量以創新為主儘量以創新為主
和小組成員開會討論後，認為一般坊間參考書、課本例題會影響施測結果，
希望正式施測的試題將儘量以創新為主，因此將題目刪除。另外，部份多項式函
數以及微積分的解題試題，本組成員參考了國內外理工科系相關領域的理念，在
整卷的題型上加上科學與生活上的應用，希望能夠引起學習的動機，澄清高中課
程相關的概念。
如：
- 60. 59
1.在圓形噴水池中央欲安裝一個垂直且高出水面 2 公尺的噴水柱﹐若柱頭向
上噴水且水流方向均沿相同的拋物線落下（如下圖）﹒今要在噴水口上方 h
公尺公尺公尺公尺處加裝一半徑 1 公尺的圓盤﹐為了美觀﹐設計師希望水流最高點恰在
圓盤邊緣﹐且落點處距噴水柱 3 公尺﹐那麼h 應為多少公尺﹖ (龍騰課本)
說明： 施測的試題將儘量以創新為主，因此將題目移至優良教科書試題優良教科書試題優良教科書試題優良教科書試題。
2. 傳說中孫悟空的「如意金箍棒」是由「定海神針」變形得來的.這定海神
金在變形時永遠保持為圓柱體，其底圓半徑原為12公分且以每秒1公分的
等速率縮短，而長度以每秒20 公分的等速率增長.已知神針之底圓半徑只
能從12公分縮到4 公分為止，且知在這段變形過程中，當底圓半徑為10公
分時其體積最大。〔95 數甲〕
(1) 試問神針在變形開始幾秒時其體積最大？
(2) 試求定海神針原來的長度。
(3) 假設孫悟空將神針體積最小時定形成金箍棒，試求金箍棒的長度。
說明 :施測的試題將儘量以創新為主，因此本研究小組決定修題如下:
◎ 有一個具有伸縮功能的長方體，其底部為邊長 12 公分之正方形、高為 3 公分；
當狀況發生時，長方體底部的邊長會以每秒 1 公分等速減至 2 公分，同時高
也以每秒 1 公分等速增 長至 13 公分。假設狀 況發生且經過 x 秒時
(0 10x≤ ≤ )，該長方體的體積為 ( )f x (立方公分)。
- 61. 60
(1) 求函數 ( )f x 。
(2) 求長方體體積的最大值。
四四四四、、、、小組成員討論後小組成員討論後小組成員討論後小組成員討論後，，，，將部份程序試題改歸類為解題試題將部份程序試題改歸類為解題試題將部份程序試題改歸類為解題試題將部份程序試題改歸類為解題試題
在小組審題的過程中，難免會遇到程序試題與解題能力試題性質類似
的爭議，本組成員感謝教授的不吝指導，以及小組成員的幫忙，各類題型
得以順利歸類，歸類的方式除了根據大考中心三大類的測驗目標之外，也
參考了該題的解題步驟、情境狀況以及圖形的描述，再做最後的確認。以
下是部份程序試題改為解題能力試題的狀況，
如：
1. 設函數 3 2
( ) 9 15f x x x px= − + − 的圖形與 x 軸
交於 ( ,0)A α ， ( ,0)B β ， ( ,0)C γ 三點， 且
AB BC= ，如右圖所示。
(1) 求 B 點坐標。
(2) 求 p 值。
說明 :本題設計方程式求根並反推係數的解題過程，若曾經學過等差數列的
學生，對於等差中項應用在方程式根與係數關係的處理應該不陌
生；只是學生在處理等差數列的問題時，如果欠缺處理中間項的解
題技巧或步驟，應不只是程序題而已，故將此題歸類為解題試題。
2. 假設某蜘蛛覓食的路徑為一個二次函數 ( )f x ( 6 6x− ≤ ≤ )表示如下:
( )f x = 2
9x− +
已知該蜘蛛爬到 P 點時，其視線 L 恰好發現一隻昆蟲在點 (5,0)Q 處，如下圖
所示。
xO A B C
( )f x 的圖形
y
- 62. 61
(1) 求 P 點坐標（ , ）。
(2) 若視線 L 之方程式為 ax y b+ = ,
則數對 ( , )a b = ( , )。
說明：多項式的切線解題是利用一階導函數列出切線斜率的關係式，求出
切點的 x 坐標；進而檢測學生是否能夠進一步求切線方程式。本題
處理的需要較多的概念及解題步驟，應不只是程序題而已，故將此
題歸類為解題能力試題。
五五五五、、、、為將概念為將概念為將概念為將概念試題試題試題試題、、、、程序程序程序程序試題試題試題試題、、、、解題能力試題合為一張試卷解題能力試題合為一張試卷解題能力試題合為一張試卷解題能力試題合為一張試卷
考量到正式施測試卷，要將概念試題、程序試題、解題試題整合為一張
試卷及測試時間為 50 分鐘兩個因素，需要先將某些試題予以刪除；因為一
般上課只有 50 分鐘，加上扣掉上下課前後干擾因素，老師在施測之前必須
做好控管的動作；比如先與同學協調好上課前 3 分鐘準備就座，還有下課
之後最好能夠與下一節課的老師先行溝通，避免影響他們的教學時間。
一般而言，小考的題數大概在 11 題至 13 題之間，概念試題、程序試題、解
題試題的題數比大約為 3：5：4 或者是 2：5：5，有些單元則概念試題或
者解題試題較少，看各單元性質而定。
如：
(一) 單元單元單元單元 FFFF(割線、導數及切線斜率)與單元單元單元單元 K (K (K (K (定積分的應用)之題型
內容較偏重程序題與偏重程序題與偏重程序題與偏重程序題與解題解題解題解題，所以概念概念概念概念題型之呈現較少。
(二) 單元單元單元單元 IIII (極值的應用)之題型內容較偏重程序題與偏重程序題與偏重程序題與偏重程序題與解題試題解題試題解題試題解題試題，所以
沒有概念題沒有概念題沒有概念題沒有概念題之題型呈現
y
x•
( )f x 的圖形
O
L
P•
•
( 3,0)− (5,0)Q
