TOÁN 9-CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC VIET VÀ ỨNG DỤNG

https://www.facebook.com/groups/tailieutoancap123
TÀI LIỆU FILE WORD
TÀI LIỆU TOÁN 9
1
1/42
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN. HỆ THỨC VIET VÀ ỨNG DỤNG.
1.1 Giải phương trình bậc hai cơ bản.
Đối với đề toán là giải phương trình với phương trình là phuơng trình bạc hai đơn giản
(có dạng tổng quát ax2
+ 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0 ), học sinh có thể sử dụng phương pháp đưa về giải
phương trình tích, hoặc sử dụng công thức nghiệm (hoặc công thức nghiệm thu gọn) và
sử dụng cách nhẩm nghiệm để giải bài toán.
1. Định nghĩa
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng 𝑎𝑎𝑥𝑥2
+ 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0, trong đó
𝑥𝑥 là
ẩn; 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 là nhũng số cho truớc goi là các hệ số và 𝑎𝑎 ≠ 0.
2 . Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Đối với phương trình bậc hai 𝑎𝑎𝑥𝑥2
+ 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0(𝑎𝑎 ≠ 0) và biệt thức Δ = 𝑏𝑏2
− 4𝑎𝑎𝑎𝑎 :
• Nếu Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 𝑥𝑥1 =
−𝑏𝑏+√Δ
2𝑎𝑎
; 𝑥𝑥2 =
−𝑏𝑏−√Δ
2𝑎𝑎
.
• Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥2 = −
𝑏𝑏
2𝑎𝑎
.
• Nếu Δ < 0 thi phuơng trình vô nghiệm.
Chú ý: Nếu phương trình có a và c trái dấu thi Δ > 0. Khi đó phuơng trình có 2
nghiệm phân biệt.
3. Công thức nghiệm thu gọn
Đối với phương trình bạcc hai 𝑎𝑎𝑥𝑥2
+ 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0(𝑎𝑎 ≠ 0) và 𝑏𝑏 = 2𝑏𝑏′
, Δ′
=
𝑏𝑏′2
− 𝑎𝑎𝑎𝑎 :
• Nếu Δ′
> 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 𝑥𝑥1 =
−𝑏𝑏′+√Δ′
𝑎𝑎
; 𝑥𝑥2 =
−𝑏𝑏′−√Δ′
𝑎𝑎
• Nếu Δ′
= 0 thi phương trình có nghiệm kép 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥2 = −
𝑏𝑏′
𝑎𝑎
.
• Nếu Δ′
< 0 thì phuơng trình vô nghiệm.
Dạng 1 : Giải phương trình và phương trình quy về phương trình bậc hai
 A.LÝ THUYẾT
LIÊN HỆ ZALO : 0816457443

TÀI LIỆU TOÁN 9
2
2/42
1.2. Giải phương trình quy về phương trình bậc hai
1.2.1. Phương trình trùng phương
Cho phương trình: 𝑎𝑎𝑥𝑥4
+ 𝑏𝑏𝑥𝑥2
+ 𝑐𝑐 = 0(𝑎𝑎 ≠ 0)
Phương pháp 1: Đặt ẩn phụ:
Đặt 𝑡𝑡 = 𝑥𝑥2
(t ≥ 0) Ta được phương trình: 𝑎𝑎𝑡𝑡2
+ 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0 (2)
*) Nếu phương trình (2) (phương trình trung gian) có 2 nghiệm dương thì phương
trình trùng phương có 4 nghiệm.
*) Nếu phương trình trung gian có một nghiệm dương, một nghiệm âm hoặc có nghiệm
kép dương thì phương trình trùng phương có 2 nghiệm
*) Nếu phương trình trung gian có 2 nghiệm âm hoặc vô nghiệm thì phương trình
trùng phương vô nghiệm.
Cụ thể:
+) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm dương
phân biệt ⇔ �
Δ > 0
𝑃𝑃 > 0
𝑆𝑆 > 0
+) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có một nghiệm dương và
một nghiệm bằng 0 ⇔ �
Δ > 0
𝑃𝑃 = 0
𝑆𝑆 > 0
+) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có một một nghiệm kép
dương hoặc có hai nghiệm trái dấu ⇔ �
�
Δ = 0
𝑆𝑆 > 0
Δ > 0
𝑃𝑃 < 0
⇔ ��
Δ = 0
𝑆𝑆 > 0
𝑎𝑎. 𝑐𝑐 < 0
+) Phương trình (1) có 1 nghiệm ⇔ phương trình (2) có một nghiệm kép bằng 0 hoặc có
một nghiệm bằng không và nghiệm còn lại âm
⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡�
Δ = 0
𝑆𝑆 = 0
𝑃𝑃 = 0
�
Δ > 0
𝑃𝑃 = 0
𝑆𝑆 < 0

TÀI LIỆU TOÁN 9
3
3/42
+) Phương trình (1) có vô nghiệm ⇔ phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm
⇔ �
Δ < 0
�
Δ > 0
𝑃𝑃 > 0
𝑆𝑆 < 0
+) Nếu phương trình có 4 nghiệm thì tổng các nghiệm luôn bằng 0 và tích các nghiệm
luôn bằng
𝑐𝑐
𝑎𝑎
.
Phuơng pháp 2: Giải trục tiếp phuơng trình trùng phương bằng cách đuta về giải phurơng
trinh tích:
Biến đổi đưa về dạng phương trình tích : 𝐴𝐴 ⋅ 𝐵𝐵 = 0 ⇔ �
𝐴𝐴 = 0
𝐵𝐵 = 0
a) Nếu 𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2 là hai nghiệm của phương trình 𝑎𝑎𝑥𝑥2
+ 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0(𝑎𝑎 ≠ 0) thì 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 =
−𝑏𝑏
𝑎𝑎
và 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 =
𝑐𝑐
𝑎𝑎
b) Muốn tìm hai số 𝑢𝑢 và 𝑣𝑣, biết 𝑢𝑢 + 𝑣𝑣 = 𝑆𝑆; 𝑢𝑢𝑢𝑢 = 𝑃𝑃, ta giải phương trình:
𝑥𝑥2
− 𝑆𝑆𝑆𝑆 + 𝑃𝑃 = 0
(Điều kiện để có 𝑢𝑢 và 𝑣𝑣 là 𝑆𝑆2
− 4𝑃𝑃 ≥ 0 )
c) Nếu 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0 thì phương trình 𝑎𝑎𝑥𝑥2
+ 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0(𝑎𝑎 ≠ 0) có hai nghiệm 𝑥𝑥1 =
1; 𝑥𝑥2 =
𝑐𝑐
𝑎𝑎
Nếu 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0 thì phương trình 𝑎𝑎𝑥𝑥2
+ 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0(𝑎𝑎 ≠ 0) có hai nghiệm 𝑥𝑥1 =
−1; 𝑥𝑥2 =
−𝑐𝑐
𝑎𝑎
Sủ dụng hệ thức Vi-et, biến đổi biểu thức đã cho suất hiện tổng và tích các nghiệm tù đó
tính đuợc giá trị biểu thức.
Các hệ thúc thường gặp:
𝑥𝑥1
2
+ 𝑥𝑥2
2
= (𝑥𝑥1
2
+ 2𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2
2) − 2𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2
− 2𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 𝑆𝑆2
− 2𝑃𝑃.
𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 = ±�(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 4𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = ±�𝑆𝑆2 − 4𝑃𝑃.
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 = ±�(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 4𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = ±√𝑆𝑆2 − 4𝑃𝑃.
𝑥𝑥1
2
− 𝑥𝑥2
2
= (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2) = ±(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)�(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 4𝑥𝑥1𝑥𝑥2
= ±𝑆𝑆. �𝑆𝑆2 − 4𝑃𝑃.
Dạng 2 : Hệ thức Viet và ứng dụng

TÀI LIỆU TOÁN 9
4
4/42
𝑥𝑥1
3
+ 𝑥𝑥2
3
= (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)(𝑥𝑥1
2
− 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2
2) = (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)[(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2
− 3𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2]
= 𝑆𝑆 ⋅ (𝑆𝑆2
− 3𝑃𝑃).
𝑥𝑥1
4
+ 𝑥𝑥2
4
= (𝑥𝑥1
2)2
+ (𝑥𝑥2
2)2
= (𝑥𝑥1
2
+ 𝑥𝑥2
2)2
− 2𝑥𝑥1
2
𝑥𝑥2
2
=
= [(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2
− 2𝑥𝑥1𝑥𝑥2]2
− 2𝑥𝑥1
2
𝑥𝑥2
2
.
= (𝑆𝑆2
− 2𝑃𝑃)2
− 2𝑃𝑃2
.
1
𝑥𝑥1
+
1
𝑥𝑥2
=
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2
𝑥𝑥1𝑥𝑥2
=
𝑆𝑆
𝑃𝑃
.
1
𝑥𝑥1
−
1
𝑥𝑥2
=
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1
𝑥𝑥1𝑥𝑥2
= ±
�(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 4𝑥𝑥1𝑥𝑥2
𝑥𝑥1𝑥𝑥2
= ±
√𝑆𝑆2 − 4𝑃𝑃
𝑃𝑃
.
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
−
𝑥𝑥2
𝑥𝑥1
=
𝑥𝑥1
2
− 𝑥𝑥2
2
𝑥𝑥1𝑥𝑥2
=
(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2)
𝑥𝑥1𝑥𝑥2
= ±
(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)�(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 4𝑥𝑥1𝑥𝑥2
𝑥𝑥1𝑥𝑥2
= ±
𝑆𝑆 ⋅ √𝑆𝑆2 − 4𝑃𝑃
𝑃𝑃
𝑥𝑥1
3
− 𝑥𝑥2
3
= (𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2)(𝑥𝑥1
2
+ 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2
2) = (𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2)[(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2
− 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2] ⋅

Bài 1: Gọi 1 2
,
x x là hai nghiệm của phương trình: 2
2 2 0
x x
+ − + =. Không
giải phương trình, tính các giá trị của các biểu thức sau:
2 2 3 3
1 2 1 2 1 2
1 2
1 1
; ; | |;
A B x x C x x D x x
x x
=+ = + =− = +


Lời giải
Ta có 𝑎𝑎 = 1; 𝑐𝑐 = −(2 − √2). Và 𝑎𝑎 ⋅ 𝑐𝑐 < 0 nên phương trình luôn có hai
 B. BÀI TẬP

TÀI LIỆU TOÁN 9
5
5/42
nghiệm phân biệt.
Theo Vi-et có: �
𝑆𝑆 = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 =
−𝑏𝑏
𝑎𝑎
= −1
𝑃𝑃 = 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 =
𝑐𝑐
𝑎𝑎
= −2 + √2
𝐴𝐴 =
1
𝑥𝑥1
+
1
𝑥𝑥2
=
𝑥𝑥1𝑥𝑥2
=
−1
−2 + √2
.
𝐵𝐵 = 𝑥𝑥1
2
+ 𝑥𝑥2
2
= (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2
− 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 1 − (−2 + √2) = 3 − √2.
𝐶𝐶 = |𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2| = �(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2)2 = �(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 4𝑥𝑥1𝑥𝑥2
= �1 − 4(−2 + √2) = �9 − 4√2 = �(2√2)2 − 2√2 + 1 = �(2√2 − 1)2 = 2√2 − 1.
𝐷𝐷 = 𝑥𝑥1
3
+ 𝑥𝑥2
3
= (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)3
− 3𝑥𝑥1𝑥𝑥2(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2) = −1 + 3(−2 + √2) = −7 + 3√2.
Lời giải
a) Ta có 𝑎𝑎 = 1; 𝑐𝑐 = −7. Và 𝑎𝑎. 𝑐𝑐 < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-et ta có: �
𝑆𝑆 = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 =
−𝑏𝑏
𝑎𝑎
= 3
𝑃𝑃 = 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 =
𝑐𝑐
𝑎𝑎
= −7
𝐴𝐴 =
1
𝑥𝑥1 − 1
+
1
𝑥𝑥2 − 1
=
𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥1 − 2
𝑥𝑥1𝑥𝑥2 − (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥)2 + 1
=
1
−9
.
Bài 2: Gọi 1 2
,
x x là hai nghiệm của phương trình: 2
3 7 0
x x
− − =. Không giải
phương trình
a) Tính các giá trị của các biểu thức sau:
2 2
1 2
1 2
3 3
1 2 1 2
1 1
; .
1 1
;
A B x x
x x
C x x D x x
= + =
+
− −
=− =+
( )( )
4 4
1 2 1 2 2 1
; 3 3 .
E x x F x x x x
=
+ = + +
b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là
1
1
1
x −
và
2
1
1
x −
.

TÀI LIỆU TOÁN 9
6
6/42
𝐵𝐵 = 𝑥𝑥1
2
+ 𝑥𝑥2
2
= (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2
− 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 23.
𝐶𝐶 = |𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2| = �(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2)2 = �(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 4𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = √37.
𝐷𝐷 = 𝑥𝑥1
3
+ 𝑥𝑥2
3
= (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)3
− 3𝑥𝑥1𝑥𝑥2(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2) = 72.
𝐸𝐸 = 𝑥𝑥1
4
+ 𝑥𝑥2
4
= (𝑆𝑆2
− 2𝑃𝑃)2
− 2𝑃𝑃2
= 527
𝐹𝐹 = (3𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)(3𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥1) = 10𝑥𝑥1𝑥𝑥2 + 3(𝑥𝑥1
2
+ 𝑥𝑥2
2) = −1.
Ta có: �
𝑆𝑆 =
1
𝑥𝑥1−1
+
1
𝑥𝑥2−1
=
𝑥𝑥2+𝑥𝑥1−2
𝑥𝑥1𝑥𝑥2−(𝑥𝑥1+𝑥𝑥)2+1
=
1
−9
𝑃𝑃 =
1
𝑥𝑥1−1
⋅
1
𝑥𝑥2−1
=
1
−9
Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm là
1
𝑥𝑥1−1
và
1
𝑥𝑥2−1
là: 𝑋𝑋2
+
1
9
𝑋𝑋 −
1
9
= 0
Phương pháp :
Các điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:
a) Tìm điều kiện tổng quát để phương trình 𝑎𝑎𝑥𝑥2
+ 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0(𝑎𝑎 ≠ 0) có:
1 Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ Δ ≥ 0
2 Vô nghiệm ⇔ Δ < 0
3 Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ Δ = 0
(Nếu 𝑎𝑎 = 0 thì 𝑏𝑏 ≠ 0 )
4 Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau ) ⇔ Δ > 0
5 Hai nghiệm cùng dấu ⇔ Δ ≥ 0 và 𝑃𝑃 > 0
6 Hai nghiệm trái dấu ⇔ Δ > 0 và 𝑃𝑃 < 0 (hoặc 𝑎𝑎. 𝑐𝑐 < 0 )
7 Hai nghiệm dương (lớn hơn 0 ) ⇔ Δ ≥ 0; 𝑠𝑠 > 0 và 𝑃𝑃 > 0
8 Hai nghiệm âm (nhỏ hơn 0 ) ⇔ Δ ≥ 0; 𝑆𝑆 < 0 và 𝑃𝑃 > 0
9 Hai nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 và 𝑆𝑆 = 0
10 . Hai nghiệm nghịch đảo của nhau ⇔ Δ ≥ 0 và 𝑃𝑃 = 1
Dạng 3.Phương trình chứa tham số

TÀI LIỆU TOÁN 9
7
7/42
10 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ 𝑎𝑎. 𝑐𝑐 < 0 và 𝑆𝑆 <
0
11 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ 𝑎𝑎. 𝑐𝑐 < 0 và
𝑆𝑆 > 0
12 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⟺ ac <0 ; S > 0
b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho 𝑥𝑥1 = 𝑝𝑝𝑥𝑥2(3) (với 𝑝𝑝 là một
số thực)
1- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt .
2- Áp dụng định lý Vi - ét tìm: 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 =
−𝑏𝑏
𝑎𝑎
(1) và 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 =
𝑐𝑐
𝑎𝑎
(2)
3- Kết hợp (1) và (3) giải hệ phương trình: �
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 =
−𝑏𝑏
𝑎𝑎
⇒ 𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2
𝑥𝑥1 = 𝑝𝑝𝑥𝑥2
4- Thay 𝑥𝑥1 và 𝑥𝑥2 vào (2) ⇒ Tìm giá trị tham số.
c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện: |𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2| = 𝑘𝑘(𝑘𝑘 ∈ 𝑅𝑅)
• Bình phương trình hai vế: (𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2)2
= 𝑘𝑘2
⇔ ⋯ ⇔ (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2
− 4𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 𝑘𝑘2
• Áp dụng định lý Vi-ét tính 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 và 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 thay vào biểu thức ⇒ kết luận.
d) Hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào 𝑚𝑚;
• Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
• Áp dụng định lý Vi-ét tìm 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 =
−𝑏𝑏
𝑎𝑎
(1) và 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 =
𝑐𝑐
𝑎𝑎
(2)
• Biến đổi kết quả không chứa tham số nữa.
Bước 1 : Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (Δ ≥ 0)
Bước 2: Áp dụng Vi-ét tính 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 và 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2
+/ Với bài toán: Tìm 𝑚𝑚 để phương trình có hai nghiệm > 𝛼𝛼 ⇒
�
(𝑥𝑥1 − 𝛼𝛼) + (𝑥𝑥2 − 𝛼𝛼) > 0
(𝑥𝑥1 − 𝛼𝛼) ⋅ (𝑥𝑥2 − 𝛼𝛼) > 0
Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm 𝑚𝑚
+/ Với bài toán: Tìm 𝑚𝑚 để phương trình có hai nghiệm < 𝛼𝛼 ⇒
�
(𝑥𝑥1 − 𝛼𝛼) + (𝑥𝑥2 − 𝛼𝛼) < 0
(𝑥𝑥1 − 𝛼𝛼) ⋅ (𝑥𝑥2 − 𝛼𝛼) > 0
Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm 𝑚𝑚
+/ Với bài toán: Tìm 𝑚𝑚 để phương trình có hai nghiệm, trong đó có 1 nghiệm 𝑥𝑥1 >
𝛼𝛼, nghiệm kia 𝑥𝑥2 < 𝛼𝛼 ⇒ (𝑥𝑥1 − 𝛼𝛼) ⋅ (𝑥𝑥2 − 𝛼𝛼) > 0 Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để
tìm 𝑚𝑚
Dạng 4 : So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ

TÀI LIỆU TOÁN 9
8
8/42
Bài 1 ( TS Bạc Liêu – 2020) Cho phương trình: 𝑥𝑥2
− 2𝑚𝑚𝑚𝑚 − 4𝑚𝑚 − 5 (1) ( 𝑚𝑚 là
tham số).
a) Giải phương trình (1) khi 𝑚𝑚 = −2.
b) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của 𝑚𝑚.
c) Gọi 𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm 𝑚𝑚 để:
1
2
𝑥𝑥1
2
− (𝑚𝑚 − 1)𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 2𝑚𝑚 +
33
2
= 762019.
Lời giải.
a) Thay 𝑚𝑚 = −2 vào phương trình (1) ta có:
𝑥𝑥2
+ 4𝑥𝑥 + 3 = 0 ⇔ 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 3) + (𝑥𝑥 + 3) = 0 ⇔ (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 + 1) = 0 ⇔ �
𝑥𝑥 = −3
𝑥𝑥 = −1
Vậy với 𝑚𝑚 = −2 thì phương trình có tập nghiệm 𝑆𝑆 = {−3; −1}.
b) Ta có: Δ′
= 𝑚𝑚2
− (−4𝑚𝑚 − 5) = (𝑚𝑚 + 2)2
+ 1 > 0, ∀𝑚𝑚.
Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của 𝑚𝑚.
c) Do phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m, gọi 𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2 là hai nghiệm
của phương trình (1).
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: �
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚
𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = −4𝑚𝑚 − 5.
Ta có:
1
2
𝑥𝑥1
2
− (𝑚𝑚 − 1)𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 2𝑚𝑚 +
33
2
= 762019
⇔ 𝑥𝑥1
2
− 2(𝑚𝑚 − 1)𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 − 4𝑚𝑚 + 33 = 1524038
⇔ 𝑥𝑥1
2
− 2𝑚𝑚𝑥𝑥1 − 4𝑚𝑚 − 5 + 2(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2) = 1524000
⇔ 2(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2) = 1524000( do 𝑥𝑥1 là nghiệm của (1) nên 𝑥𝑥1
2
− 2𝑚𝑚𝑥𝑥1 − 4𝑚𝑚 − 5 = 0)
⇔ 2 ⋅ 2𝑚𝑚 = 1524000
⇔ 𝑚𝑚 = 381000.
Vậy 𝑚𝑚 = 381000 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lời giải.
𝑥𝑥2
− (𝑚𝑚 − 1)𝑥𝑥 − 𝑚𝑚 = 0.
Bài 2 ( TS Bình Định 2020) Cho phương trình 𝑥𝑥2
− (𝑚𝑚 − 1)𝑥𝑥 − 𝑚𝑚 = 0.
Tìm 𝑚𝑚 để phương trình có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm còn lại.

TÀI LIỆU TOÁN 9
9
9/42
Thay 𝑥𝑥 = 2 vào phương trình (1) ta được
22
− (𝑚𝑚 − 1) − 2 − 𝑚𝑚 = 0 ⇔ 4 − 2𝑚𝑚 + 2 − 𝑚𝑚 = 0 ⇔ 3𝑚𝑚 = 6 ⇔ 𝑚𝑚 = 2
Thay 𝑚𝑚 = 2 vào phương trình (1) ta được
𝑥𝑥2
− 𝑥𝑥 − 2 = 0
Ta có các hẹ̄ số: 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0 nên phương trình có hai nghiệm phān biệt là 𝑥𝑥1 =
−1; 𝑥𝑥2 = 2.
Vậy với 𝑚𝑚 = 2 phương trình đã cho có một nghiệm bằng 2 , nghiệm còn lại là −1.
Bài 3 ( TS Ninh Bình 2020) Cho phương trình 𝑥𝑥2
− 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 − 4 = 0(𝑥𝑥 là ẩn số
và 𝑚𝑚 là tham số)
(0.2).
Chứng minh rằng phương trình (0.11) luôn có hai nghiệm phān biệt 𝑥𝑥1
và 𝑥𝑥2 với mọi 𝑚𝑚. Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của 𝑚𝑚 để
(5𝑥𝑥1 − 1)(5𝑥𝑥2 − 1) < 0.
Lời giải
Ta có Δ = (−𝑚𝑚)2
− 4(𝑚𝑚 − 4) = 𝑚𝑚2
− 4𝑚𝑚 + 16 = (𝑚𝑚 − 2)2
+ 12 > 0, ∀𝑚𝑚 ∈ ℝ nên
phương trình (0.11) luôn có hai nghiệm phân biệt 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 với mọi 𝑚𝑚.
Theo định lý Vi - ét ta có �
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚
𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 − 4
. Suy ra
(5𝑥𝑥1 − 1)(5𝑥𝑥2 − 1) < 0
⇔ 25𝑥𝑥1𝑥𝑥2 − 5(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2) + 1 < 0
⇔ 25(𝑚𝑚 − 4) − 5𝑚𝑚 + 1 < 0
⇔ 20𝑚𝑚 − 99 < 0
⇔ 𝑚𝑚 <
99
20
⇔ 𝑚𝑚 < 4,95.
Vì m dương nên 𝑚𝑚 ∈ {1; 2; 3; 4}.

TÀI LIỆU TOÁN 9
10
10/42
Lời giải
a) Ta có Δ = 4𝑚𝑚2
− 4(2𝑚𝑚 − 3) = 4𝑚𝑚2
− 8𝑚𝑚 + 12 = 4(𝑚𝑚2
− 2𝑚𝑚 + 3) =
4[(𝑚𝑚 − 1)2
+ 2] > 0, ∀𝑚𝑚. Vậy phương trình có hai nghiệm phān biệt với mọi giá trị của
𝑚𝑚.
b) Theo định lí Vi-ét có
�
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚
𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚 − 3.
Xét 𝑚𝑚 ∈ ℤ. Khi đó,
1
𝑥𝑥1
+
1
𝑥𝑥2
=
𝑥𝑥1+𝑥𝑥2
𝑥𝑥1⋅𝑥𝑥2
=
2𝑚𝑚
2𝑚𝑚−3
=
2𝑚𝑚−3+3
2𝑚𝑚−3
= 1 +
3
2𝑚𝑚−3
. Biểu thức
1
𝑥𝑥1
+
1
𝑥𝑥2
nhận giá trị là một số nguyền khi và chỉ khi 2𝑚𝑚 − 3 ∈ {±1; ±3}. Xét các trường hợp sau
• 2𝑚𝑚 − 3 = 1 ⇔ 𝑚𝑚 = 2.
• 2𝑚𝑚 − 3 = −1 ⇔ 𝑚𝑚 = 1.
• 2𝑚𝑚 − 3 = 3 ⇔ 𝑚𝑚 = 3.
• 2𝑚𝑚 − 3 = −3 ⇔ 𝑚𝑚 = 0.
Vậy 𝑚𝑚 ∈ {0; 1; 2; 3}.
Lời giải
Phương trình có hai nghiệm 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 khi và chi khi
Δ′
≥ 0 ⇔ (𝑚𝑚 + 1)2
− (𝑚𝑚2
+ 3) ≥ 0 ⇔ 2𝑚𝑚 − 2 ≥ 0 ⇔ 𝑚𝑚 ≥ 1.
Khi đó, áp dụng định lý Vi-ét ta có �
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2(𝑚𝑚 + 1)
𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚2
+ 3
Vi 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚2
+ 3 > 0, ∀𝑚𝑚 ≥ 1 nên |𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2| = 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚2
+ 3. Khi đó ta có;
Bài 4 ( TS Quảng Ngãi 2020) Cho phương trình 𝑥𝑥2
− 2𝑚𝑚𝑚𝑚 + 2𝑚𝑚 − 3 = 0 với 𝑚𝑚 là
tham số.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi 𝑚𝑚.
b) Gọi 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm các giá trị
nguyên của 𝑚𝑚 để biểu thức
1
𝑥𝑥1
+
1
𝑥𝑥2
nhạ̄n giá trị là một số nguyên.
Bài 5 (TS Quảng Ninh 2020) Tìm giá trị của 𝑚𝑚 để phương trình 𝑥𝑥2
− 2(𝑚𝑚 +
1)𝑥𝑥 + 𝑚𝑚2
+ 3 = 0 có hai nghiệm 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 thoả mãn |𝑥𝑥1| + |𝑥𝑥2| = 10.

TÀI LIỆU TOÁN 9
11
11/42
|𝑥𝑥1| + |𝑥𝑥2| = 10 ⇔ (|𝑥𝑥1| + |𝑥𝑥2|)2
= 100
⇔ 𝑥𝑥1
2
+ 2|𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2| + 𝑥𝑥2
2
= 100
⇔ 𝑥𝑥1
2
+ 2𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2
2
= 100
⇔ (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2
= 100.
Mà 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2(𝑚𝑚 + 1) nên ta có
4(𝑚𝑚 + 1)2
= 100 ⇔ (𝑚𝑚 + 1)2
= 25 ⇔ �
𝑚𝑚 = 4 (thoả mãn)
𝑚𝑚 = −6 (loại).
Vậy 𝑚𝑚 = 4 thoả mãn đề bài.
Lời giải
a) Ta có Δ′
= 1 − 𝑚𝑚 − 3 = −𝑚𝑚 − 2.
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi Δ′
≥ 0 ⇔ 𝑚𝑚 ≤ −2.
b) Với 𝑚𝑚 ≤ −2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2.
Theo định lý Vi-ét ta có �
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2
𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 + 3
Theo bài ra ta có 𝑥𝑥1
2
+ 𝑥𝑥2
2
− 3𝑥𝑥1𝑥𝑥2 − 4 = 0 ⇔ (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2
− 5𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 − 4 = 0.
Từ đó suy ra 4 − 5(𝑚𝑚 + 3) − 4 = 0 ⇔ 𝑚𝑚 = −3 (thỏa mãn điều kiện 𝑚𝑚 ≤ −2).
Vậy 𝑚𝑚 = −3 là giá trị cần tìm.
Lời giải
Ta có: 2
2 4 0
x x m
+ + =
(*)
Bài 6 ( TS Quảng Trị 2020) Cho phương trình 𝑥𝑥2
− 2𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 + 3 = 0 (1) (với 𝑚𝑚
là tham số).
a) Tìm tất cả các giá trị của 𝑚𝑚 để phương trình (1) có nghiệm.
b) Gọi 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 là các nghiệm của phương trình (1). Tìm tất cả các giá trị
của 𝑚𝑚 để 𝑥𝑥1
2
+ 𝑥𝑥2
2
− 3𝑥𝑥1𝑥𝑥2 − 4 = 0.
Bài 7 ( TS HƯNG YÊN 2021-2022) Cho phương trình 2
2 4 0
x x m
+ + = (m là tham số).
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm 1 2
,
x x thỏa
mãn 2 2
1 2 10
x x
+ =

TÀI LIỆU TOÁN 9
12
12/42
' 2
2 2.m
∆ = −
'
4 2m
∆ = −
Phương trình (*) có hai nghiệm 1 2
,
x x khi '
0
∆ ≥
4 2 0
m
− ≥
2
m
⇔ ≤
Với 2
m ≤ thì phương trình (*) có hai nghiệm 1 2
,
x x
 Theo hệ thức Vi ét:
1 2
1 2
4
2
2
.
2
x x
m
x x
−

+ = =
−



 =


 Theo đề bài:
2 2
1 2 10
x x
+ =
( )
2
1 2 1 2
2 10
x x x x
⇔ + − =
( )
2
2 2. 10
2
m
⇒ − − =
4 10
m
⇔ − =
6
m
⇔ =
− (nhận)
Lời giải
Phương trình 2
2 0
x mx m
− + − = có 2 nghiệm khi và chỉ khi 0
∆ > .
2
( ) 4( 2) 0
m m
⇔ − − − >
2
4 8 0
m m
⇔ − + >
2
( 2) 4 0
m
⇔ − + > (luôn đúng).
Do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt 1 2
,
x x .
Bài 8 ( TS Lào Cai 2021-2022) Tìm các giá trị của tham số m để
phương trình: 2
2 0
x mx m
− + − = có hai nghiệm 1 2
;
x x thóa mãn:
1 2
2 5
x x
− = .

TÀI LIỆU TOÁN 9
13
13/42
Theo hệ thức Vi -ét ta có: 2 2
1 2
2
x x m
x x m
 + =

= −

.
Theo bài ra ta có:
1 2
2 5
x x
− =
( )
2
1 2
20
x x
⇒ − =
2 2
1 2 2 2
2 20
x x x x
⇔ + − =
( )
2 2
1 2 1 2 1 2
2 4 20
x x x x x x
⇔ + + − =
( )
2
1 2 1 2
4 20
x x x x
⇔ + − =
2
4( 2) 20
m m
⇔ − − =
2
4 12 0(1)
m m
⇔ − − =
Ta có 2
2 1.( 12) 16 0
m
′
∆ = − − = > nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
1
2
2 16
6
1
2 16
2
1
m
m
 +
= =


 −
= = −


Lời giải
Phương trình: ( )
2 2
2 1 2 0
x m x m m
− + + + =
(1)
Bài 9 (TS Nam Định 2021-2022) Cho phương trình ( )
2 2
2 1 2 0
x m x m m
− + + + =
(với
m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai
nghiệm phân biệt 1 2
;
x x (với 1 2
x x
< ) thỏa mãn: 1 2
3
x x
= .

TÀI LIỆU TOÁN 9
14
14/42
Phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn x có:
( ) ( )
2 2 2 2
' 1 2 2 1 2 1
m m m m m m m
∆ = − + − + = + + − − =
 
  >0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2
;
x x với mọi m , mà 1 2
x x
< nên:
1 1 1
x m m
= + − = 2 1 1 2
x m m
= + + = +
1 2
;
x x thỏa mãn: 1 2
3
x x
= 3 2
m m
⇒ = +
( )
( )
( )
( )
1 2
1 2
3 <
3 2 3 6
3
3 6
3 2 <
2
m tm x x
m m m m
m m
m m m tm x x
= −

= +
 + =
 
⇔ ⇔ ⇔
 −
 
=
− −
=
− + =


 

Vây tất cả các giá trị của m thỏa mãn đề bài là: 3
m = − và
3
2
m = − .
Lời giải
2
12 4 0
x x
− + =
Xét 2 2
( 6) 1.4 32 0
b ac
′ ′
∆ = − = − − = > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2
,
x x
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: 1 2
1 2 1 2
12
4 0, 0
x x
x x x x
 + =

= ⇒ > >

Ta có:
( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2
2
2 2 2
2 2
1 2 1 2
1 2
2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
1 2
2 12 2.4
1156
2 12 2 4
x x x x
x x
x x
T
x x x x x x
x x
 
+ −
  + −
+  
 
 
= = = = =
 
+ + + +
+
 
Nhận xét 2 2
1 2
0
x x
+ > và 1 2
0
x x
+ > với mọi 1 2
, 0
x x > suy ra 0
T >
Bài 10 ( TS Nghệ AN 2021-2022) Cho phương trình 2
12 4 0
x x
− + = có
hai nghiệm dương phân biệt 1 2
, .
x x Không giải phương trình, hãy tính
giá trị của biểu thức
2 2
1 2
1 2
x x
T
x x
+
=
+
.

TÀI LIỆU TOÁN 9
15
15/42
2
1156 34
T T
⇒ = = =
Vây 34
T = .
Lời giải
Δ′
= 𝑚𝑚 + 2
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ > 0 ⇔ 𝑚𝑚 + 2 > 0 ⇔ 𝑚𝑚 > −2
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: �
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2(𝑚𝑚 + 1)
𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚2
+ 𝑚𝑚 − 1
Do đó:
1
𝑥𝑥1
+
1
𝑥𝑥2
= 4 ⇔
𝑥𝑥1𝑥𝑥2
= 4 ⇔
2(𝑚𝑚 + 1)
𝑚𝑚2 + 𝑚𝑚 − 1
= 4
⇔ �
𝑚𝑚2
+ 𝑚𝑚 − 1 ≠ 0
𝑚𝑚 + 1 = 2(𝑚𝑚2
+ 𝑚𝑚 − 1)
⇔ � 𝑚𝑚2
+ 𝑚𝑚 − 1 ≠ 0
2𝑚𝑚2
+ 𝑚𝑚 − 3 = 0
⇔ �
𝑚𝑚 = 1
𝑚𝑚 = −
3
2
Kết hợp với điều kiện ⇒ 𝑚𝑚 ∈ �1; −
3
2
� là các giá trị cần tìm.
Bài 12 : Cho phương trình 𝑥𝑥2
− 2(𝑚𝑚 − 1)𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 − 3 = 0(𝑚𝑚 là tham số).
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho
mà không phụ thuộc vào 𝑚𝑚.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của 𝑃𝑃 = 𝑥𝑥1
2
+ 𝑥𝑥2
2
(với 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 là nghiệm của phương
trình đã cho)
Bài 11 : Cho phương trình 𝑥𝑥2
− 2(𝑚𝑚 + 1)𝑥𝑥 + 𝑚𝑚2
+ 𝑚𝑚 − 1 = 0(𝑚𝑚 là tham
số).Tìm 𝑚𝑚 để phương trình có hai nghiệm phân biệt 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 thỏa mãn
điều kiện
1
𝑥𝑥1
+
1
𝑥𝑥2
= 4

TÀI LIỆU TOÁN 9
16
16/42
Lời giải
a) Δ = [−(𝑚𝑚 − 1)]2
− 1 ⋅ (𝑚𝑚 − 3) = 𝑚𝑚2
− 3𝑚𝑚 + 4 = �𝑚𝑚 −
3
2
�
2
+
7
4
> 0, ∀𝑚𝑚
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
( ) 1 2
1 2
1 2
1 2
2 2
2 1
2 2 6
3
x x m
x x m
x x m
x x m
 + = −
+ = − 

⇒
 
= −
= −
 

1 2 1 2
2 4 0
x x x x
⇔ + − − = không phụ thuộc vào m .
c) ( ) ( )
2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 4( 1) 2 3 4 8 4 2 6
P x x x x x x m m m m m
= + = + − = − − − = − + − + .
2
2 5 15 15
4 10 10 2 ,
2 4 4
m m m m
 
= − + = − + ≥ ∀
 
 
Do đó min
15
4
P = và dấu " "
= xảy ra khi
5 5
2 0
2 4
m m
− = ⇔ =
Vậy min
15
4
P = với
5
4
m = .
Lời giải
Phương trình 𝑥𝑥2
− (2𝑚𝑚 + 2)𝑥𝑥 + 2𝑚𝑚 = 0 ⇔ 𝑥𝑥2
− 2(𝑚𝑚 + 1)𝑥𝑥 + 2𝑚𝑚 = 0
Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 là
�
Δ′
≥ 0
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 0
𝑥𝑥1𝑥𝑥2 ≥ 0
⇔ �
𝑚𝑚2
+ 1 ≥ 0
2(𝑚𝑚 + 1) ≥ 0 ⇔ 𝑚𝑚 ≥ 0
2𝑚𝑚 ≥ 0
Theo hệ thức Vi-ét: �
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2(𝑚𝑚 + 1)
𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚
Ta có √𝑥𝑥1 + √𝑥𝑥2 ≤ √2 ⇔ 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 2√𝑥𝑥1𝑥𝑥2 ≤ 2
Bài 13 : Cho phương trình ( )
2
2 2 2 0
x m x m
− + + =
( m là tham số). Tìm m
để phương trình có hai nghiệm 1 2
,
x x thỏa mãn 1 2 2
x x
+ ≤

TÀI LIỆU TOÁN 9
17
17/42
⇔ 2𝑚𝑚 + 2 + 2√2𝑚𝑚 ≤ 2 ⇔ 𝑚𝑚 = 0 (thoả mãn)
Vậy 𝑚𝑚 = 0 là giá trị cần tìm.
Lời giải
a) Ta có Δ = [−2(𝑚𝑚 − 1)]2
− 4 ⋅ 1 ⋅ (2𝑚𝑚 − 5) = 4𝑚𝑚2
− 12𝑚𝑚 + 22
= (2𝑚𝑚)2
− 2.2𝑚𝑚 ⋅ 3 + 9 + 13 = (2𝑚𝑚 + 3)2
+ 13 > 0, ∀𝑚𝑚
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi 𝑚𝑚.
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có �
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚 − 2
𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚 − 5
(I)
Theo giả thiết 𝑥𝑥1 < 1 < 𝑥𝑥2 ⇒ �
𝑥𝑥1 − 1 < 0
𝑥𝑥2 − 1 > 0
⇒ (𝑥𝑥1 − 1)(𝑥𝑥2 − 1) < 0 ⇒ 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 −
(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2) + 1 < 0 (II)
Thay (I) vào (II) ta có: (2𝑚𝑚 − 5) − (2𝑚𝑚 − 2) + 1 < 0 ⇔ 0𝑚𝑚 − 2 < 0, đúng với mọi 𝑚𝑚.
Vậy với mọi 𝑚𝑚 thì phương trình trên có hai nghiệm 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 thỏa mãn 𝑥𝑥1 < 1 < 𝑥𝑥2
Lời giải
2
2 1 2 5 0(
x m x m m
− − + − = là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với
mọi m .
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm 1 2
,
x x thỏa mãn
Bài 15 :Cho phương trình 2
2 3 0
x x m
− + + = ( m là tham số).
a) Tìm m để phương trình có nghiệm 1
x = − . Tính nghiệm còn lại.
b) Tìm m để hai nghiệm phân biệt 1 2
,
x x thỏa mãn hệ thức 3 3
1 2 8
x x
+ =

TÀI LIỆU TOÁN 9
18
18/42
a) Vì phương trình 𝑥𝑥2
− 2𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 + 3 = 0 có nghiệm 𝑥𝑥 = −1 nên ta có:
(−1)2
− 2 ⋅ (−1) + 𝑚𝑚 + 3 = 0 ⇔ 𝑚𝑚 + 6 = 0 ⇔ 𝑚𝑚 = −6.
Ta có phương trình: 𝑥𝑥2
− 2𝑥𝑥 + (−6) + 3 = 0 ⇔ 𝑥𝑥2
− 2𝑥𝑥 − 3 = 0
Ta có 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0 nên phương trình có hai nghiệm: 𝑥𝑥1 = −1; 𝑥𝑥2 =
−𝑐𝑐
𝑎𝑎
= 3
Vậy 𝑚𝑚 = 6 và nghiệm còn lại là 𝑥𝑥 = 3.
b) Δ′
= 12
− 1. (𝑚𝑚 + 3) = −𝑚𝑚 − 2
Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ′
> 0 ⇔ 𝑚𝑚 < −2
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: �
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2
𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 + 3
Ta có 𝑥𝑥1
3
+ 𝑥𝑥2
3
= 8
⇔ (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)3
− 3𝑥𝑥1𝑥𝑥2(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2) = 8
⇔ 23
− 3 ⋅ (𝑚𝑚 + 3) ⋅ 2 = 8
⇔ 6(𝑚𝑚 + 3) = 0
⇔ 𝑚𝑚 + 3 = 0
⇔ 𝑚𝑚 = −3 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy 𝑚𝑚 = −3 là giá trị cần tìm.
Lời giải
a) Δ′
= (−𝑚𝑚)2
− 1 ⋅ �𝑚𝑚2
−
1
2
� =
1
2
> 0, ∀𝑚𝑚.
Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị 𝑚𝑚.
b) Hai nghiệm của phương trình là �
𝑥𝑥1 = 𝑚𝑚 −
√2
2
𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 +
√2
2
Bài 16: Cho phương trình 2 2 1
2 0
2
x mx m
− + − = ( m là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với
mọi giá trị m .
b) Tìm m để hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng
nhau.

TÀI LIỆU TOÁN 9
19
19/42
Theo đề bài ta có �𝑚𝑚 −
√2
2
� = �𝑚𝑚 +
√2
2
� ⇔ 𝑚𝑚2
− √2𝑚𝑚 +
1
2
= 𝑚𝑚2
+ √2𝑚𝑚 +
1
2
⇔ 2√2𝑚𝑚 =
0 ⇔ 𝑚𝑚 = 0
c) Giả sử phương trình có hai nghiệm là 𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2. Theo đề bài đó là số đo của 2 cạnh góc
vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 nên ta có 𝑥𝑥1
2
+ 𝑥𝑥2
2
= 32
= 9
Vậy ta có:
�𝑚𝑚 −
√2
2
�
2
+ �𝑚𝑚 +
√2
2
�
2
= 9 ⇔ 2𝑚𝑚2
− 8 = 0 ⇔ 𝑚𝑚2
− 4 = 0 ⇔ �
𝑚𝑚 = 2
𝑚𝑚 = −2
Lời giải
Δ = (−𝑚𝑚2)2
− 4.1. (𝑚𝑚 + 1) = 𝑚𝑚4
− 4𝑚𝑚 − 4
Phương trình có nghiệm nguyên khi Δ = 𝑚𝑚4
− 4𝑚𝑚 − 4 là số chính phương
Nếu �
𝑚𝑚 = 0
𝑚𝑚 = 1
thì Δ < 0 (loại)
Nếu 𝑚𝑚 = 2 thì Δ = 4 = 22
(nhận)
Nếu 𝑚𝑚 ≥ 3 thì 2𝑚𝑚(𝑚𝑚 − 2) > 5 ⇔ 2𝑚𝑚2
− 4𝑚𝑚 − 5 > 0
⇔ Δ − (2𝑚𝑚2
− 4𝑚𝑚 − 5) < Δ < Δ + 4𝑚𝑚 + 4
⇔ 𝑚𝑚4
− 2𝑚𝑚2
+ 1 < Δ < 𝑚𝑚4
⇔ (𝑚𝑚2
− 1)2
< Δ < (𝑚𝑚2)2
Δ không là số chính phương.
Vậy 𝑚𝑚 = 2 là giá trị cần tìm
Bài 17: Tìm tất cả các số tự nhiên m để phương trình
2 2
1 0(
x m x m m
− + + = là tham số) có nghiệm nguyên.

TÀI LIỆU TOÁN 9
20
20/42
Lời giải
a) Phương trình tương đương với :
⇔ 22
− 2(𝑚𝑚 − 1)2 + 2𝑚𝑚 − 5 = 0
⇔ 4 − 4𝑚𝑚 + 4 + 2𝑚𝑚 − 5 = 0
⇔ −2𝑚𝑚 + 3 = 0
⇔ 𝑚𝑚 =
3
2
Thay 𝑚𝑚 =
3
2
vào phương trình ban đầu ta có : 𝑥𝑥2
− 𝑥𝑥 − 2 = 0
Ta có 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 1 − (−1) − 2 = 0
Nên nghiệm còn lại là 𝑥𝑥 = −1.
b) Tìm các giá trị của 𝑚𝑚 để phương trình có hai nghiệm 𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2 thỏa mãn √𝑥𝑥1 − √𝑥𝑥2 = 2.
Ta có Δ′
= (𝑚𝑚 − 1)2
− (2𝑚𝑚 − 5) = 𝑚𝑚2
− 4𝑚𝑚 + 6 = (𝑚𝑚 − 2)2
+ 2 > 0, ∀𝑚𝑚 ∈ ℝ.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2 vói mọi 𝑚𝑚 ∈ ℝ.
Theo định lí Viet ta có �
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2(𝑚𝑚 − 1)
𝑥𝑥1𝑥𝑥1 = 2𝑚𝑚 − 5
Để √𝑥𝑥1 − √𝑥𝑥2 = 2.
Điều kiện: �
𝑥𝑥1 ≥ 0
𝑥𝑥2 ≥ 0
⇔ �
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 0
𝑥𝑥1𝑥𝑥2 ≥ 0
⇔ �
2(𝑚𝑚 − 1) ≥ 0
2𝑚𝑚 − 5 ≥ 0
⇔ �
𝑚𝑚 > 1
𝑚𝑚 >
5
2
⇔ 𝑚𝑚 ≥
5
2
.
Theo đề bài √𝑥𝑥1 − √𝑥𝑥2 = 2 ⇔ 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 2√𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 4
Bài 18 : ( Thi Thử Quận Long Biên Hà Nội 2019-2020) Cho phương
trình: ( )
2
2 1 2 5 0
x m x m
− − + − = với m là tham số.
a)Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 2 . Tìm nghiệm còn
lại.
b)Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm 1 2
;
x x thỏa
mãn 1 2 2
x x
− =
.

TÀI LIỆU TOÁN 9
21
21/42
⇔ 2(𝑚𝑚 − 1) − 2√2𝑚𝑚 − 5 = 4
⇔ √2𝑚𝑚 − 5 = 𝑚𝑚 − 3( đk: 𝑚𝑚 ≥ 3)
⇔ 2𝑚𝑚 − 5 = (𝑚𝑚 − 3)2
⇔ 𝑚𝑚2
− 8𝑚𝑚 + 14 = 0 ⇔ �
𝑚𝑚1 = 4 + √2(𝑇𝑇𝑇𝑇)
𝑚𝑚2 = 4 − √2( L)
Vậy 𝑚𝑚 = 4 + √2.
Lời giải
a) Δ′
= 12
− (𝑚𝑚 + 3) = −𝑚𝑚 − 2.
Để phương trình (1) có nghiệm 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 cần Δ ≥ 0 ⇔ −𝑚𝑚 − 2 ≥ 0 ⇔ 𝑚𝑚 ≤ −2
Vì phương trình có nghiệm 𝑥𝑥 = −1 nên ta có: (−1)2
− 2. (−1) + 𝑚𝑚 + 3 = 0 ⇔ 𝑚𝑚 =
−6 (thỏa mãn).
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 =
−(−2)
1
= 2 ⇔ −1 + 𝑥𝑥2 = 2 ⇔ 𝑥𝑥2 = 3.
Vậy 𝑚𝑚 = −6 thì phương trình 𝑥𝑥2
− 2𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 + 3 = 0 có một nghiệm là 𝑥𝑥 = −1 và
nghiệm còn lại là 𝑥𝑥 = 3.
b)
Phương trình: 𝑥𝑥2
− 2𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 + 3 = 0(1).
Để phương trình (1) có hai nghiệm 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 cần 𝑚𝑚 ≤ −2.
Áp dụng định lí Vi - ét ta có: �
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 =
−(−2)
1
= 2
𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 =
𝑚𝑚+3
1
= 𝑚𝑚 + 3
.
Theo bài ra: 𝑥𝑥1
3
+ 𝑥𝑥2
3
= 8 ⇔ (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)3
− 3𝑥𝑥1
2
𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥1𝑥𝑥2
2
= 8
Bài 19: ( Thi thử Quận Hoàng Mai – HN -2020) Cho phương trình
2
2 3 0
x x m
− + + = ( m là tham số).
a) Tìm m đế phương trình có nghiệm 1
x = − . Tìm nghiệm còn lại.
b) Tìm m đế phương trình có hai nghiệm 1 2
,
x x thỏa mãn hệ thức
3 3
1 2 8
x x
+ =
.

TÀI LIỆU TOÁN 9
22
22/42
⇔ (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)3
− 3𝑥𝑥1𝑥𝑥2(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2) = 8
⇔ 23
− 3.2(𝑚𝑚 + 3) = 8
⇔ 6(𝑚𝑚 + 3) = 0
⇔ 𝑚𝑚 + 3 = 0
⇔ 𝑚𝑚 = −3 (thỏa mãn).
Vậy 𝑚𝑚 = −3 thì phương trình 𝑥𝑥2
− 2𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 + 3 = 0 có hai nghiệm 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 thỏa mãn
𝑥𝑥1
3
+ 𝑥𝑥2
3
= 8.
Lời giải
Ta có: Δ′
= (𝑚𝑚 + 1)2
− 𝑚𝑚2
+ 3 = 2𝑚𝑚 + 4.
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì: 2𝑚𝑚 + 4 > 0 ⇔ 𝑚𝑚 > −2.
Theo hệ thức Vi-ét ta có: 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2(𝑚𝑚 + 1) và 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚2
− 3.
Ta có:
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
+
𝑥𝑥2
𝑥𝑥1
= 2
⇔ (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2
− 4𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 0 ⇔ 4(𝑚𝑚 + 1)2
− 4(𝑚𝑚2
− 3) = 0
⇔ 4𝑚𝑚2
+ 8𝑚𝑚 + 4 − 4𝑚𝑚2
+ 12 = 0 ⇔ 𝑚𝑚 = −2
Từ (1) và (2) suy ra không có giá trị m thỏa mãn để:
𝑥𝑥1
𝑥𝑥2
+
𝑥𝑥2
𝑥𝑥1
= 2.
Bài 20 ( TS Long An – 2017)Cho phương trình: ( )
2 2
2 1 3 0
x m x m
− + + − =. . Tìm
tát cả giá trị của tham số m để phương trình trên có hai nghiệm phân
biệt 1 2
,
x x . thỏa mãn: 1 2
2 1
2
x x
x x
+ =
.
Bài 21 ( TS Nam Định 2017)Cho phương trình 2
1 0
x x m
− + + = (1) ( m
là tham số)
a) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi 1 2
,
x x là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1). Tìm các giá
trị của m sao cho 2
1 1 2 2
3 7
x x x x
+ + =
.

TÀI LIỆU TOÁN 9
23
23/42
Lời giải
a) Có Δ = −4𝑚𝑚 − 3. Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ > 0 ⇔ 𝑚𝑚 < −
3
4
.
b) Áp dụng hệ thức vi-ét, ta có �
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 1
𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 + 1
.
Khi đó 𝑥𝑥1
2
+ 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥2 = 7 ⇔ 𝑥𝑥1(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2) + 3𝑥𝑥2 = 7 ⇔ 𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 = 7.
Tù̀ đó ta có hệ phương trình �
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 1
𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 = 7
⇔ �
𝑥𝑥1 = −2
𝑥𝑥2 = 3
⇒ 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = −2.3 = 𝑚𝑚 + 1 ⇒ 𝑚𝑚 = −7.
Vậy 𝑚𝑚 = −7 thỏa mãn điều kiện đề bài.
Lời giải
Phương trình có hai nghiệm 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 ⇔ Δ ≥ 0 ⇔ [−(2𝑚𝑚 + 1)]2
− 4(𝑚𝑚2
− 1) ≥ 0 ⇔
4𝑚𝑚 + 5 ≥ 0 ⇔ 𝑚𝑚 ≥ −
5
4
.
Vì 𝑥𝑥1 là nghiệm của phương trình nên ta có:
𝑥𝑥1
2
− (2𝑚𝑚 + 1)𝑥𝑥1 + 𝑚𝑚2
− 1 = 0 ⇔ 𝑥𝑥1
2
= (2𝑚𝑚 + 1)𝑥𝑥1 − 𝑚𝑚2
+ 1.
Thay vào hệ thức 𝑥𝑥1
2
− (2𝑚𝑚 + 1)𝑥𝑥1 + 𝑚𝑚2
− 1 = 0 ta có:
(𝑥𝑥1
2
− (2𝑚𝑚 + 1)𝑥𝑥1 + 𝑚𝑚2)(𝑥𝑥2 + 1) = 1 ⇔ (𝑥𝑥1 + 1)(𝑥𝑥2 + 1) = 1
⇔ 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 1 = 1 ⇔ 𝑚𝑚2
− 1 + 2𝑚𝑚 + 1 + 1 = 1
⇔ �
𝑚𝑚 = 0 (không thỏa mãn)
𝑚𝑚 = −2 (thỏa mãn)
Bài 22:( TS Quảng Ninh 2017) Cho phương trình ( )
2 2
2 1 1 0
x m x m
− + + − = (
m là tham số).
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm 1 2
;
x x thỏa

TÀI LIỆU TOÁN 9
24
24/42
Lời giải
a) Thay 𝑚𝑚 = −1, ta có phương trình 𝑥𝑥2
+ 2𝑥𝑥 − 3 = 0 ⇔ �
𝑥𝑥 = 1
𝑥𝑥 = −3
.
Vậy phương trình có hai nghiệm: 𝑥𝑥1 = 1, 𝑥𝑥 = −3.
b) Ta thấy 𝑎𝑎. 𝑐𝑐 = −𝑚𝑚2
+ 𝑚𝑚 − 1 = − �𝑚𝑚 −
1
2
�
2
−
3
4
< 0, ∀𝑚𝑚.
Vậy với mọi 𝑚𝑚 phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu 𝑥𝑥1 < 0 < 𝑥𝑥2(𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2).
Từ đó suy ra |𝑥𝑥2| − |𝑥𝑥1| = 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥1 = 2.
Theo dịnh lí Vi-et: 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 − 1 nên 𝑚𝑚 − 1 = 2 ⇔ 𝑚𝑚 = 3.
Vậy 𝑚𝑚 = 3.
Lời giải
Phương trình đã cho: 𝑥𝑥2
− 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 − 1 = 0 (có ẩn số 𝑥𝑥 ).
a. Δ = (−𝑚𝑚)2
− 4(𝑚𝑚 − 1) = 𝑚𝑚2
− 4𝑚𝑚 + 4 = (𝑚𝑚 − 2)2
≥ 0 với mọi 𝑚𝑚.
Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 với mọi 𝑚𝑚.
Bài 23 ( TS Thái Bình 2017) Cho phương trình
( ) ( )
2 2
1 1 1
x m x m m
− − − + − .
a) Giải phương trình với 1
m = − .
b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) luôn có hai
nghiệm phân biệt. Giả sử hai nghiệm là ( )
1 2 1 2
;
x x x x
< , khi đó tìm
m để 2 1 2
x x
− =
.
Bài 24 ( TS Tiền Giang 2017) Cho phương trình: 2
1 0
x mx m
− + − = (có
ẩn số x ).
a. Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm 1 2
,
x x với
mọi m .
b. Cho biểu thức
( )
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2 1
x x
B
x x x x
+
=
+ + +
. Tìm giá trị của m để 1
B = .

TÀI LIỆU TOÁN 9
25
25/42
b. Theo dịnh lí Vi-ét ta có: �
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚
𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 − 1
.
Ta có:
𝐵𝐵 =
2𝑥𝑥1𝑥𝑥2 + 3
𝑥𝑥1
2
+ 𝑥𝑥2
2
+ 2(1 + 𝑥𝑥1𝑥𝑥2)
=
2𝑥𝑥1𝑥𝑥2 + 3
(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 − 2𝑥𝑥1𝑥𝑥2 + 2(1 + 𝑥𝑥1𝑥𝑥2)
=
2𝑥𝑥1𝑥𝑥2 + 3
(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2 + 2
=
2(𝑚𝑚 − 1) + 3
𝑚𝑚2 + 2
=
2𝑚𝑚 + 1
𝑚𝑚2 + 2
.
𝐵𝐵 = 1 ⇔
2𝑚𝑚 + 1
𝑚𝑚2 + 2
= 1 ⇔ 𝑚𝑚2
− 2𝑚𝑚 + 1 = 0 ⇔ (𝑚𝑚 − 1)2
= 0 ⇔ 𝑚𝑚 = 1.
Vậy với 𝑚𝑚 = 1 thì 𝐵𝐵 = 1.
Lời giải
a) Ta có: Δ′
= [−(𝑚𝑚 − 2)]2
− (−2𝑚𝑚) = (𝑚𝑚 − 2)2
+ 2𝑚𝑚 = 𝑚𝑚2
− 4𝑚𝑚 + 4 + 2𝑚𝑚 =
𝑚𝑚2
− 2𝑚𝑚 + 4 = (𝑚𝑚 − 1)2
+ 3 > 0, ∀𝑚𝑚
Do Δ′
> 0, ∀𝑚𝑚 nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Theo câu a, Δ′
> 0, ∀𝑚𝑚 nên phương trình luôn có hai nghiệm 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 thỏa hệ thức Vi-ét:
�
𝑆𝑆 = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 =
−𝑏𝑏
𝑎𝑎
= −[−2(𝑚𝑚 − 2)] = 2(𝑚𝑚 − 2) = 2𝑚𝑚 − 4
𝑃𝑃 = 𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 =
𝑐𝑐
𝑎𝑎
= −2𝑚𝑚
Có 𝑥𝑥1 là nghiệm của phương trình nên ta có 𝑥𝑥1
2
− 2(𝑚𝑚 − 2)𝑥𝑥1 − 2𝑚𝑚 = 0 ⇔ 𝑥𝑥1
2
=
2(𝑚𝑚 − 2)𝑥𝑥1 + 2𝑚𝑚
Theo đề toán: 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥1
2
⇔ 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 = 2(𝑚𝑚 − 2)𝑥𝑥1 + 2𝑚𝑚
⇔ 2𝑚𝑚 − 4 − 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥1 = 2(𝑚𝑚 − 2)𝑥𝑥1 + 2𝑚𝑚
⇔ −4 − 2𝑥𝑥1 = (2𝑚𝑚 − 4)𝑥𝑥1
⇔ 𝑥𝑥1 =
4
2 − 2𝑚𝑚
⇔ 𝑥𝑥1 =
2
1 − 𝑚𝑚
Bài 25 : Cho phương trình: ( )
2
2 2 2 0
x m x m
− − − =
(1) với x là ẩn số.
a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt 1 2
,
x x
b) Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức
2
2 1 1
x x x
− =

TÀI LIỆU TOÁN 9
26
26/42
Thay 𝑥𝑥1 =
2
1−𝑚𝑚
vào (1), ta được: �
2
1−𝑚𝑚
�
2
− 2(𝑚𝑚 − 2) �
2
1−𝑚𝑚
� − 2𝑚𝑚 = 0
⇔
4
(1 − 𝑚𝑚)2
−
4(𝑚𝑚 − 2)(1 − 𝑚𝑚)
(1 − 𝑚𝑚)2
−
2𝑚𝑚(1 − 𝑚𝑚)2
(1 − 𝑚𝑚)2
= 0
⇒ 4 − 4(−𝑚𝑚2
+ 3𝑚𝑚 − 2) − 2𝑚𝑚(1 − 2𝑚𝑚 + 𝑚𝑚2) = 0
⇔ 4 + 4𝑚𝑚2
− 12𝑚𝑚 + 8 − 2𝑚𝑚 + 4𝑚𝑚2
− 2𝑚𝑚3
= 0
⇔ 2𝑚𝑚3
− 8𝑚𝑚2
+ 14𝑚𝑚 − 12 = 0
⇔ 𝑚𝑚3
− 4𝑚𝑚2
+ 7𝑚𝑚 − 6 = 0
⇔ (𝑚𝑚 − 2)(𝑚𝑚2
− 2𝑚𝑚 + 3) = 0
⇔ 𝑚𝑚 = 2
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Lời giải
a) Ta có: Δ′
= (−1)2
− (−2𝑚𝑚2) = 1 + 2𝑚𝑚2
> 0, ∀m
Do Δ′
> 0, ∀𝑚𝑚 nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Theo câu 𝑎𝑎, Δ′
> 0, ∀𝑚𝑚 nên phương trình luôn có hai nghiệm 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 thỏa hệ thức Vi-ét:
�
𝑆𝑆 = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 =
−𝑏𝑏
𝑎𝑎
= −(−2) = 2
𝑃𝑃 = 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 =
𝑐𝑐
𝑎𝑎
= −2𝑚𝑚2
Có: 𝑥𝑥1
2
= 4𝑥𝑥2
2
⇔ �
𝑥𝑥1 = 2𝑥𝑥2
𝑥𝑥1 = −2𝑥𝑥2
TH1: �
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2
⇔ �
𝑥𝑥1 =
4
3
𝑥𝑥2 =
2
3
thay vào (3) .Ta được:
4
3
⋅
2
3
= −2𝑚𝑚2
(vô lý)
TH2: �
𝑥𝑥1 = −2𝑥𝑥2
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2
⇔ �
𝑥𝑥1 = 4
𝑥𝑥2 = −2
thay vào (3). Ta được: 4(−2) = −2𝑚𝑚2
⇔ 𝑚𝑚2
= 4 ⇔
Bài 26 :Cho phương trình: 2 2
2 2 0
x x m
− − =(1) với x . là ẩn số.
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt
với mọi m .
b) Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức
2 2
1 2
4
x x
= .

TÀI LIỆU TOÁN 9
27
27/42
𝑚𝑚 = ±2
Vậy m = ±2 là giá trị cần tìm .
Lời giải
a) Với 𝑚𝑚 = 6 phương trình (1) trở thành 𝑥𝑥2
− 5𝑥𝑥 + 6 = 0 (∗)
Δ = 25 − 4.6 = 1 > 0. Suy ra phương trình có hai nghiệm: 𝑥𝑥1 = 3; 𝑥𝑥2 = 2.
b) Ta có: Δ = 25 − 4𝑚𝑚
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 thì Δ > 0 ⇔ 𝑚𝑚 <
25
4
.
Kết hợp với hệ thức Vi-ét, ta có :
Từ (2) và (4) suy ra: 𝑚𝑚 = 4. Thử lại thì thoả mãn. Vậy 𝑚𝑚 = 4 là giá trị cần tìm.
Lời giải
Đặt 𝑋𝑋 = 𝑥𝑥2
(𝑋𝑋 ≥ 0)
Phương trình trở thành 𝑋𝑋4
− (𝑚𝑚2
+ 4𝑚𝑚)𝑋𝑋2
+ 7𝑚𝑚 − 1 = 0 (1)
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt dương
⇔ �
Δ > 0
𝑆𝑆 > 0
𝑃𝑃 > 0
⇔ �
(𝑚𝑚2
+ 4𝑚𝑚)2
− 4
𝑚𝑚2
+ 4𝑚𝑚 > 0
7𝑚𝑚 − 1 > 0
Với điều kiện (I), (1) có 2 nghiệm phân biệt dương 𝑋𝑋1, 𝑋𝑋2.
⇒ Phương trình đã cho có 4 nghiệm
𝑥𝑥1,2 = ±�𝑋𝑋1
𝑥𝑥3,4 = ±�𝑋𝑋2
⇒ 𝑥𝑥1
2
+ 𝑥𝑥2
2
+ 𝑥𝑥3
2
+ 𝑥𝑥4
2
= 2(𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2) = 2(𝑚𝑚2
+ 4𝑚𝑚)
Bài 27 :Cho phương trình: 2
5 0
x x m
− + = (1) ( m là tham số).
Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm 1 2
,
x x thỏa mãn: 1 2 3
x x
− =
.
Bài 28: Cho phương trình ( )
4 2 2
4 7 1 0
x m m x m
− + + − = . Định m để phương
trình có 4 nghiệm phân biệt và tổng bình phương tất cả các nghiệm
bằng 10

TÀI LIỆU TOÁN 9
28
28/42
Vậy ta có 2(𝑚𝑚2
+ 4𝑚𝑚) = 10 ⇒ 𝑚𝑚2
+ 4𝑚𝑚 − 5 = 0 ⇒ �
𝑚𝑚 = 1
𝑚𝑚 = −5
Với 𝑚𝑚 = 1, (I) thỏa mãn
Với 𝑚𝑚 = −5, (I) không thỏa mãn.
Vậy 𝑚𝑚 = 1 là giá trị cần tìm.
Lời giải
a) Δ = (2𝑚𝑚 + 1)2
− 4(𝑚𝑚2
+ 𝑚𝑚 − 6) = 25 > 0 ⇔ 25 > 0 với mọi giá trị của 𝑚𝑚.
Vậy phương trình () luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi 𝑚𝑚.
b) Theo Vi-et ta có: �
𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚2
+ 𝑚𝑚 − 6
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚 + 1
Để phương trình ( ∗) có hai nghiệm âm thì: �
𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 > 0
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 < 0
⇔ �𝑚𝑚2
+ 𝑚𝑚 − 6 > 0
2𝑚𝑚 + 1 < 0
⇔
�
𝑚𝑚 < −3 hoăc 𝑚𝑚 > 2
𝑚𝑚 < −
1
2
⇔ 𝑚𝑚 < −3
Vậy với 𝑚𝑚 < −3 thì phương trình (*) luôn có hai nghiệm âm.
c) Với Δ = 25 suy ra 𝑥𝑥1 = 𝑚𝑚 − 2; 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚 + 3
Theo giả thiết, ta có: |𝑥𝑥1
3
− 𝑥𝑥2
3| = 50 ⇔ |(𝑚𝑚 − 2)3
− (𝑚𝑚 + 3)3| = 50 ⇔
|5(3𝑚𝑚2
+ 3𝑚𝑚 + 7)| = 50
⇔ 𝑚𝑚2
+ 𝑚𝑚 − 1 = 0 ⇔
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡𝑚𝑚1 =
−1 + √5
2
𝑚𝑚2 =
−1 − √5
2
Bài 29: Cho phương trình: ( ) ( )
2 2
2 1 6 0 *
x m m m
− + + + − =
a) Tìm m để phương trình ( )
* có hai nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm.
c) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm 1 2
,
x x thỏa mãn
3 3
1 2 50
x x
− =.

TÀI LIỆU TOÁN 9
29
29/42
Lời giải
a) Ta có: Δ′
= (m − 1)2
+ 𝑚𝑚 + 1 = �𝑚𝑚 −
1
2
�
2
+
7
4
> 0, ∀𝑚𝑚. Nên phương trình (1) luôn
có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Theo hệ thức Vi- ét ta có
�
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −2(𝑚𝑚 − 1)
𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = −(𝑚𝑚 + 1)
Để phương trình (1) có một nghiệm lớn hơn 1 , một nghiệm nhỏ hơn 1 thì
(x1 − 1)(x2 − 1) < 0
⇔ 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 − (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2) + 1 < 0
⇔ −(𝑚𝑚 + 1) + 2(𝑚𝑚 − 1) + 1 < 0
⇔ 𝑚𝑚 < 2
b) Để phương trình có hai nghiệm đều nhỏ hơn 2 thì
�
(𝑥𝑥1 − 2)(𝑥𝑥2 − 2) > 0
𝑥𝑥1 − 2 + 𝑥𝑥2 − 2 < 0
⇔ �
𝑥𝑥1𝑥𝑥2 − 2(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2) + 4 > 0
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 < 4
⇔ �𝑚𝑚 >
1
3
𝑚𝑚 > −1
⇔ 𝑚𝑚 >
1
3
Bài 30: Cho phương trình bậc hai: ( ) ( ) ( )
2
2 1 1 0 1
x m x m
+ − − + =
a) Tìm giá trị m để phương trình (1) có một nghiệm lớn hơn 1 và một
nghiệm nhỏ hơn 1 .
b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm đều nhỏ hơn 2 .
C. BÀI TẬP TỔNG HỢP

TÀI LIỆU TOÁN 9
30
30/42
Lời giải
a) Ta có: Δ = (2𝑚𝑚 + 3)2
− 4 ⋅ 1 ⋅ (𝑚𝑚2
+ 3𝑚𝑚 + 2)
= 4𝑚𝑚2
+ 12𝑚𝑚 + 9 − 4𝑚𝑚2
− 12𝑚𝑚 − 8
= 1 > 0
Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi 𝑚𝑚.
b) Vì phương trình có một nghiệm bằng 2 nên ta thay 𝑥𝑥 = 2 vào phương trình có:
22
− (2𝑚𝑚 + 3)2 + 𝑚𝑚2
+ 3𝑚𝑚 + 2 = 0
⇔ 4 − 4𝑚𝑚 − 6 + 𝑚𝑚2
+ 3𝑚𝑚 + 2 = 0
⇔ 𝑚𝑚2
− 𝑚𝑚 = 0
⇔ 𝑚𝑚(𝑚𝑚 − 1) = 0
⇔ �
𝑚𝑚 = 0
𝑚𝑚 = 1
Theo hệ thức Vi-et ta có: �
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚 + 3
𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚2
+ 3𝑚𝑚 + 2
thay 𝑥𝑥1 = 2: �
2 + 𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚 + 3
2𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚2
+ 3𝑚𝑚 + 2
-Với 𝑚𝑚 = 0 thay vào ta có: �
2 + 𝑥𝑥2 = 3
2. 𝑥𝑥2 = 2
⇒ 𝑥𝑥2 = 1
• Với 𝑚𝑚 = 1 thay vào ta có: �
2 + 𝑥𝑥2 = 5
2𝑥𝑥2 = 6
⇒ 𝑥𝑥2 = 3
c) Theo trên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa:
�
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚 + 3
𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚2
+ 3𝑚𝑚 + 2
Vi −3 < 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 < 6 nên �
−3 < 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2
𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 < 6
⇔ �
0 < 𝑥𝑥1 + 3 < 𝑥𝑥2 + 3
𝑥𝑥1 − 6 < 𝑥𝑥2 − 6 < 0
2 2
2 3 3 2 0
x m x m m
− + + + + =
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2 . Tìm nghiệm
còn lại.
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 1 2
3 6
x x
− < < <
d) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương

TÀI LIỆU TOÁN 9
31
31/42
⇔ �
(𝑥𝑥1 + 3) + (𝑥𝑥2 + 3) > 0
(𝑥𝑥1 + 3)(𝑥𝑥2 + 3) > 0
(𝑥𝑥1 − 6) + (𝑥𝑥2 − 6) < 0
(𝑥𝑥1 − 6)(𝑥𝑥2 − 6) > 0
⇔ �
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 6 > 0
𝑥𝑥1𝑥𝑥2 + 3 ⋅ (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2) + 9 > 0
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 12 < 0
𝑥𝑥1𝑥𝑥2 − 6(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2) + 36 > 0
⇔
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
2𝑚𝑚 + 3 + 6 > 0
𝑚𝑚2
+ 3𝑚𝑚 + 2 + 3(2𝑚𝑚 + 3) + 9 > 0
2𝑚𝑚 + 3 − 12 < 0
𝑚𝑚2
+ 3𝑚𝑚 + 2 − 6(2𝑚𝑚 + 3) + 36 > 0
⇔
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
2𝑚𝑚 + 9 > 0
𝑚𝑚2
+ 9𝑚𝑚 + 20 > 0
2𝑚𝑚 − 9 < 0
𝑚𝑚2
− 9𝑚𝑚 + 20 > 0
⇔
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧𝑚𝑚 >
−9
2
(𝑚𝑚 + 4)(𝑚𝑚 + 5) > 0
𝑚𝑚 <
9
2
(𝑚𝑚 − 4)(𝑚𝑚 − 5) > 0
⇔
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎧𝑚𝑚 >
−9
2
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
𝑚𝑚 < −5
𝑚𝑚 > −4
𝑚𝑚 <
9
2
�
𝑚𝑚 < 4
𝑚𝑚 > 5
⇔ −4 < 𝑚𝑚 < 4
Vậy −4 < 𝑚𝑚 < 4
Cách 2: Ta tính Δ = 1 > 0 ⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt :
𝑥𝑥2 =
2𝑚𝑚 + 3 + 1
2
= 𝑚𝑚 + 2
𝑥𝑥1 =
2𝑚𝑚 + 3 − 1
2
= 𝑚𝑚 + 1
Vì − 3 < 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 < 6 nên − 3 < 𝑚𝑚 + 1 < 𝑚𝑚 + 2 < 6
⇔ �
𝑚𝑚 + 1 > −3
𝑚𝑚 + 2 < 6
⇔ �
𝑚𝑚 > −4
𝑚𝑚 < 4
⇔ −4 < 𝑚𝑚 < 4
b) Phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia :
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt :

TÀI LIỆU TOÁN 9
32
32/42
𝑥𝑥1 =
2𝑚𝑚+3−1
2
= 𝑚𝑚 + 1; 𝑥𝑥2 =
2𝑚𝑚+3+1
2
= 𝑚𝑚 + 2
Theo yêu cầu đề toán : nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia :
Trường hợp 1: 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1
2
⇔ 𝑚𝑚 + 2 = (𝑚𝑚 + 1)2
⇔ 𝑚𝑚 + 2 = 𝑚𝑚2
+ 2𝑚𝑚 + 1
⇔ 𝑚𝑚2
+ 𝑚𝑚 − 1 = 0
⇔ 𝑚𝑚 =
−1 ± √5
2
Trường hợp 2: 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥2
2
(𝑚𝑚 + 1) = (𝑚𝑚 + 2)2
(∗)
⇔ 𝑚𝑚2
+ 4𝑚𝑚 + 4 − 𝑚𝑚 − 1 = 0
⇔ 𝑚𝑚2
+ 3𝑚𝑚 + 3 = 0
Δ < 0 ⇒ Phương trình (*) vô nghiệm.
Kết luận: 𝑚𝑚 =
−1±√5
2
là giá trị cần tìm
Lời giải
a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì 𝑚𝑚 ≠ 0 và 𝑎𝑎. 𝑐𝑐 < 0
⇔ 𝑚𝑚(𝑚𝑚 − 3) < 0
⇔ �
�
𝑚𝑚 < 0
𝑚𝑚 − 3 > 0
�
𝑚𝑚 > 0
𝑚𝑚 − 3 < 0
⇔ �
�
𝑚𝑚 < 0
𝑚𝑚 > 3
�
𝑚𝑚 > 0
𝑚𝑚 < 3
⇔ 0 < 𝑚𝑚 < 3
b) Đề phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì
2
2 2 3 0
mx m x m
+ − + − =
a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm
âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m .
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
1 2
x x
+

TÀI LIỆU TOÁN 9
33
33/42
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝑚𝑚 ≠ 0
Δ > 0
𝑆𝑆 < 0
𝑃𝑃 < 0
⇔
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝑚𝑚 ≠ 0
4(𝑚𝑚 − 2)2
− 4𝑚𝑚(𝑚𝑚 − 3) > 0
−2(𝑚𝑚 − 2)
𝑚𝑚
< 0
𝑚𝑚 − 3
𝑚𝑚
< 0
⇔ �
𝑚𝑚 ≠ 0
𝑚𝑚2 ⇔ �
𝑚𝑚
𝑚𝑚
0 < 0
⇔ 2 < 𝑚𝑚 < 3
⇔
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧𝑚𝑚 ≠ 0
𝑚𝑚 < 4
�
𝑚𝑚 < 0
𝑚𝑚 > 2
0 < 𝑚𝑚 < 3
c) Để phương trình đã cho có nghiệm 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 thì 𝑚𝑚 ≠ 0 và Δ ≥ 0 ⇔ 𝑚𝑚 ≠ 0 và 𝑚𝑚 ≤ 4
Khi đó theo Vi-ét ta có: �
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 =
−2(𝑚𝑚−2)
𝑚𝑚
= −2 +
4
𝑚𝑚
𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 =
𝑚𝑚−3
𝑚𝑚
= 1 −
3
𝑚𝑚
⇔ �
3(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2) = −6 +
12
𝑚𝑚
4𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 4 −
12
𝑚𝑚
⇒
3(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2) + 4𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = −2.
Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào 𝑚𝑚.
d) Với 𝑚𝑚 ≠ 0 và 𝑚𝑚 ≤ 4 thì phương trình luôn có hai nghiệm 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 thỏa mãn
�
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 =
−2(𝑚𝑚 − 2)
𝑚𝑚
𝑥𝑥1𝑥𝑥2 =
𝑚𝑚 − 3
𝑚𝑚
Ta có: 𝐴𝐴 = 𝑥𝑥1
2
+ 𝑥𝑥2
2
= (𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2
− 2𝑥𝑥1𝑥𝑥2
= �
−2(𝑚𝑚 − 2)
𝑚𝑚
�
2
− 2 ⋅
𝑚𝑚 − 3
𝑚𝑚
=
4(𝑚𝑚2
− 4𝑚𝑚 + 4)
𝑚𝑚2
−
2𝑚𝑚 − 6
𝑚𝑚
=
4𝑚𝑚2
− 16𝑚𝑚 + 16 − 2𝑚𝑚2
+ 6𝑚𝑚
𝑚𝑚2

TÀI LIỆU TOÁN 9
34
34/42
=
2𝑚𝑚2
− 10𝑚𝑚 + 16
𝑚𝑚2
= 2 −
10
𝑚𝑚
+
16
𝑚𝑚2
= �
4
𝑚𝑚
�
2
− 2 ⋅
4
𝑚𝑚
⋅
5
4
+
25
16
+
7
16
= �
4
𝑚𝑚
−
5
4
�
2
+
7
16
≥
7
16
𝐴𝐴min =
7
16
. Dấu """ xảy ra khi
4
𝑚𝑚
=
5
4
⇔ 𝑚𝑚 =
16
5
(tm)
Vậy GTNN của 𝑥𝑥1
2
+ 𝑥𝑥2
2
là
7
16
xảy ra khi 𝑚𝑚 =
16
5
Lời giải
a) Thay m = −1 vào (1) ta có: 𝑥𝑥2
+ 4𝑥𝑥 + 4 = 0 ⇔ (𝑥𝑥 + 2)2
= 0 ⇔ 𝑥𝑥 = −2
Vậy với 𝑚𝑚 = −1 thì phương trình có nghiệm 𝑥𝑥 = −2.
b) Ta có: Δ′
= m + 1
Để pt (1) có nghiệm thì Δ′
≥ 0 ⇔ m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ −1.
Vậy với 𝑚𝑚 ≥ −1 thì pt (1) có nghiệm.
c) Áp dụng hệ thức Viet ta có: 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2(𝑚𝑚 − 1); 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚2
− 3𝑚𝑚
1
𝑥𝑥1
+
1
𝑥𝑥2
= −1
⇔ 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 0
⇔ 2𝑚𝑚 − 2 + 𝑚𝑚2
− 3𝑚𝑚 = 0
⇔ 𝑚𝑚2
− 𝑚𝑚 − 2 = 0 (2)
Bài 33: Cho phương trình: ( )
2 2
2 1 3 0
x m x m m
− − + − =
(1)
a) Giải phương trình khi m 1
= − .
b) Tìm m để pt (1) có nghiệm.
c) Tìm m đề (1) có hai nghiệm 1 2
x ,x thỏa mãn
1 2
1 1
1
x x
+ =
−

TÀI LIỆU TOÁN 9
35
35/42
Ta có: a − b + c = 1 − (−1) − 2 = 0
Phương trình (2) có hai nghiệm m1 = −1; m2 = 2
Vậy với 𝑚𝑚 ∈ {−1; 2} thì 𝑝𝑝𝑝𝑝(1) có hai nghiệm 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 thỏa mãn
1
𝑥𝑥1
+
1
𝑥𝑥2
= −1.
Lời giải
a) Δ′
= (𝑚𝑚 + 1)2
− 1.4𝑚𝑚 = 𝑚𝑚2
− 2𝑚𝑚 + 1 = (𝑚𝑚 − 1)2
Để PT có nghiệm kép ⇔ Δ′
= 0 ⇔ 𝑚𝑚 − 1 = 0 ⇔ 𝑚𝑚 = 1
b) 𝑥𝑥 = 4 là một nghiệm của phương trình nên ta có
⇒ 42
− 2(𝑚𝑚 + 1) ⋅ 4 + 4𝑚𝑚 = 0
⇔ −4𝑚𝑚 + 8 = 0 ⇔ 𝑚𝑚 = 2
Với 𝑚𝑚 = 2 phương trình trở thành 𝑥𝑥2
− 6𝑥𝑥 + 8 = 0
⇔ (𝑥𝑥 − 2)(𝑥𝑥 − 4) = 0
⇔ �
𝑥𝑥 − 2 = 0
𝑥𝑥 − 4 = 0
⇔ �
𝑥𝑥 = 2
𝑥𝑥 = 4
2
2 1 4 0
x m x m
− + + =
a) Xác đinh m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó
b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4 . Tính
nghiệm còn lại.
c) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu
(trái dấu)
d) Với điều kiện nào cửa m thì phương trình có hai nghiệm cùng
dương (cùng âm)
e) Định m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp
đôi nghiệm kia
f) Định m để phương trình có hai nghiệm 1 2
;
x x thỏa mãn 1 2
2 2
x x
− =
−
g) Định m để PT có hai nghiệm 1 2
;
x x sao cho 2 2
1 2 1 2
2 2
A x x x x
= + − nhận
giá trị nhỏ nhất.

TÀI LIỆU TOÁN 9
36
36/42
Vậy nghiệm còn lại của phương trình là 𝑥𝑥 = 4
c) Δ′
= (𝑚𝑚 − 1)2
≥ 0∀𝑚𝑚
Phương trình có hai nghiệm 𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2. Áp dụng đinh lý Vi-et:
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚 + 2
𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 4𝑚𝑚
• Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu ⇔ 4𝑚𝑚 > 0 ⇔ 𝑚𝑚 > 0
• Để phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ 4𝑚𝑚 < 0 ⇔ 𝑚𝑚 < 0
c) với 𝑚𝑚 > 0PT có hai nghiệm cùng dấu.
TH1: 𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2 cùng dấu dương
⇔ 2𝑚𝑚 + 2 > 0 ⇔ 𝑚𝑚 > −1
Kết hợp 𝑚𝑚 > −1 với điều kiện 𝑚𝑚 > 0 ⇒ 𝑚𝑚 > 0
TH2: 𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2 cùng dấu âm
⇔ 2𝑚𝑚 + 2 < 0 ⇔ 𝑚𝑚 < −1
𝑚𝑚 < −1 với điều kiện 𝑚𝑚 > 0
Vậy không có giá trị 𝑚𝑚 để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm
e) Áp dụng đinh lý Vi-et:
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚 + 2 (∗)
𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 4𝑚𝑚(∗∗)
Không mất tính tổng quát ta giả sử: 𝑥𝑥1 = 2𝑥𝑥2 ⇔ 𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 = 0
Kết hợp với (*) ta có hệ phương trình: �
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚 + 2
𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 = 0
⇔ �
𝑥𝑥2 =
2𝑚𝑚+2
3
⇔ �
𝑥𝑥2 =
2𝑚𝑚+2
3
𝑥𝑥1 =
4𝑚𝑚+4
3
Thay vào phương trình (**) ta có
𝑥𝑥1 ⋅ 𝑥𝑥2 = 4𝑚𝑚 ⇔
2(𝑚𝑚 + 1) ⋅ 4(𝑚𝑚 + 1)
9
= 4𝑚𝑚
⇔ 2(𝑚𝑚 + 1)2
= 9𝑚𝑚
⇔ 2𝑚𝑚2
− 5𝑚𝑚 + 2 = 0
𝑚𝑚1 = 2; 𝑚𝑚2 =
1
2
. (Thỏa mãn.)

TÀI LIỆU TOÁN 9
37
37/42
Vậy với 𝑚𝑚1 = 2; 𝑚𝑚2 =
1
2
thì phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn nghiệm này bằng
hai lần nghiệm kia.
f) Định 𝑚𝑚 để phương trình có hai nghiệm 𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2 thỏa mãn 2𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 = −2
�
2𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 = −2 (1)
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2𝑚𝑚 + 2 (2)
𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 4𝑚𝑚 (3)
Từ phương trình (1) và (2) ta có hệ phương trình
�
3𝑥𝑥1 = 2𝑚𝑚
𝑥𝑥2 = 2𝑥𝑥1 + 2
⇔ �
𝑥𝑥1 =
2𝑚𝑚
3
𝑥𝑥2 =
4𝑚𝑚 + 6
3
Thay vào phương trình (3) ta có:
2𝑚𝑚
3
⋅
4𝑚𝑚+6
3
= 4𝑚𝑚
⇔ 𝑚𝑚2
− 3𝑚𝑚 = 0
⇔ 𝑚𝑚(𝑚𝑚 − 3) = 0 ⇔ �
𝑚𝑚 = 0
𝑚𝑚 = 3
(thỏa mãn).
Vậy với m = 0 hoặc 𝑚𝑚 = 3 thì phương trình có hai nghiệm 𝑥𝑥1; 𝑥𝑥2 thỏa mãn
2𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 = −2
g) 𝐴𝐴 = 2𝑥𝑥1
2
+ 2𝑥𝑥2
2
− 𝑥𝑥1𝑥𝑥2
= 2(𝑥𝑥1
2
+ 𝑥𝑥2
2) − 𝑥𝑥1𝑥𝑥2
= 2(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2)2
− 5𝑥𝑥1𝑥𝑥2
= 2(2𝑚𝑚 + 2)2
− 5.4𝑚𝑚
= 8𝑚𝑚2
− 4𝑚𝑚 + 8
= 8 �𝑚𝑚 −
1
4
�
2
+
15
2
≥
15
2
∀𝑚𝑚
⇒ 𝐴𝐴min =
15
2
. Dấu " = " xảy ra ⇔ 𝑚𝑚 =
1
4
(tm)
Vậy 𝑚𝑚 =
1
4
để 𝐴𝐴 đạt giá trị nhó nhất.

TÀI LIỆU TOÁN 9
38
38/42
Lời giải
a) Xét phương trình 𝑚𝑚𝑥𝑥2
− (5𝑚𝑚 − 2)𝑥𝑥 + 6𝑚𝑚 − 5 = 0
Để để phương trình có hai nghiệm đối nhau thì:
�
𝑎𝑎 ≠ 0
Δ > 0
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 0
⇔ �
𝑚𝑚 ≠ 0
(5𝑚𝑚 − 2)2
− 4 ⋅ 𝑚𝑚 ⋅ (6𝑚𝑚 − 5) > 0
5𝑚𝑚 − 2
𝑚𝑚
= 0
⇔ �
𝑚𝑚 ≠ 0
𝑚𝑚2
+ 4 > 0
5𝑚𝑚 − 2 = 0
(luôn đúng với mọi 𝑚𝑚� ⇔ 𝑚𝑚 =
2
5
(thỏa mãn)
Vậy 𝑚𝑚 =
2
5
thì phương trình có hai nghiệm đối nhau.
b) Xét phương trình 𝑚𝑚𝑥𝑥2
− (5𝑚𝑚 − 2)𝑥𝑥 + 6𝑚𝑚 − 5 = 0
Để để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau thì:
�
𝑎𝑎 ≠ 0
Δ > 0
𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 = 1
⇔ �
𝑚𝑚 ≠ 0
(5𝑚𝑚 − 2)2
− 4 ⋅ 𝑚𝑚. (6𝑚𝑚 − 5) > 0
6𝑚𝑚 − 5
𝑚𝑚
= 1
⇔ �
𝑚𝑚 ≠ 0
𝑚𝑚2
+ 4 > 0
6𝑚𝑚 − 5 = 𝑚𝑚
(luôn đúng với ∀𝑚𝑚 ) ⇔ 𝑚𝑚 = 1 (thỏa mãn)
Vậy 𝑚𝑚 = 1 thì phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau.
Bài 35: Cho phương trình bậc hai ( )
2
5 2 6 5 0
mx m x m
− − + − =
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau.
Bài 36: Tỉm giá trị m để phương trình:
a) 2
2 3 0
x mx m
+ + − = có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị
tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
b) ( )
2
2 1 3 0
x m x m
− − + − = có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị
tuyệt đối.

TÀI LIỆU TOÁN 9
39
39/42
Lời giải
a) Xét phương trình 2𝑥𝑥2
+ 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 − 3 = 0 để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì:
𝑎𝑎. 𝑐𝑐 < 0 ⇔ 2. (𝑚𝑚 − 3) < 0 ⇔ 𝑚𝑚 < 3. (1)
Với 𝑚𝑚 < 3, áp dụng hệ thức 𝑉𝑉𝑉𝑉 - ét ta có:
�
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 =
−𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑥𝑥1𝑥𝑥2 =
𝑐𝑐
𝑎𝑎
⇔ �
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 =
−𝑚𝑚
2
𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 =
𝑚𝑚 − 3
2
Có nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương suy ra :
|𝑥𝑥1| > |𝑥𝑥2| trong đó 𝑥𝑥1 < 0; 𝑥𝑥2 > 0 nên −𝑥𝑥1 > 𝑥𝑥2 ⇔ 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 < 0 ⇔
−𝑚𝑚
2
< 0 ⇔ 𝑚𝑚 >
0. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < 𝑚𝑚 < 3.
Vậy 0 < 𝑚𝑚 < 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối
lớn hơn nghiệm dương.
b) 𝑥𝑥2
− 2(𝑚𝑚 − 1)𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 − 3 = 0 có hai nghiệm trái đấu và bằng nhau về giá trị tuyệt
đối.
Xét phương trình: 𝑥𝑥2
− 2(𝑚𝑚 − 1)𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 − 3 = 0 (2) có:
(𝑎𝑎 = 1; 𝑏𝑏 = −2(𝑚𝑚 − 1); 𝑐𝑐 = 𝑚𝑚 + 3)
PT (2) có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối
Các chuvên đề Toán 9 - Đồng hành vào 10
⇔ �
𝑎𝑎 ≠ 0
𝑃𝑃 < 0
𝑆𝑆 = 0
⇔ �
𝑎𝑎 ≠ 0
𝑎𝑎. 𝑐𝑐 < 0
−𝑏𝑏
𝑎𝑎
= 0
⇔ �
1 ≠ 0
1. (𝑚𝑚 − 3) < 0
2(𝑚𝑚 − 1)
1
= 0
⇔ �
𝑚𝑚 − 3 < 0
𝑚𝑚 − 1 = 0
⇔ �
𝑚𝑚 < 3
𝑚𝑚 = 1
⇔ 𝑚𝑚 = 1
Vậy với m = 1 thì pt đã cho có hai nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.
2 2
2 1 3 0 1
x m x m m
− − + − =
a) Giải phương trình khi m 1
= − .
b) Tìm m để pt (1) có nghiệm.
c) Tìm m để (1) có hai nghiệm 1 2
,
x x thỏa mãn
1 2
1 1
1
x x
+ =
−

TÀI LIỆU TOÁN 9
40
40/42
Lời giải
a) Thay m = −1 vào (1) ta có: 𝑥𝑥2
+ 4𝑥𝑥 + 4 = 0 ⇔ (𝑥𝑥 + 2)2
= 0 ⇔ 𝑥𝑥 = −2
Vậy với 𝑚𝑚 = −1 thì phương trình có nghiệm 𝑥𝑥 = −2.
b) Ta có: Δ′
= m + 1
Để pt (1) có nghiệm thì Δ′
≥ 0 ⇔ m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ −1.
Vậy với 𝑚𝑚 ≥ −1 thì pt (1) có nghiệm.
c) Áp dụng hệ thức Viet ta có: 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 2(𝑚𝑚 − 1); 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 𝑚𝑚2
− 3𝑚𝑚
1
𝑥𝑥1
+
1
𝑥𝑥2
= −1
⇔ 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 0
⇔ 2𝑚𝑚 − 2 + 𝑚𝑚2
− 3𝑚𝑚 = 0
⇔ 𝑚𝑚2
− 𝑚𝑚 − 2 = 0
Ta có: a − b + c = 1 − (−1) − 2 = 0
Phương trình (2) có hai nghiệm m1 = −1; m2 = 2
Vậy với 𝑚𝑚 ∈ {−1; 2} thì pt (1) có hai nghiệm 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 thỏa mãn
1
𝑥𝑥1
+
1
𝑥𝑥2
= −1.
LLL
Bài 1: Giải các phương trình:
a) ( )( )
2 2
1 2 40
x x x x
+ − + + = ;
b) 2
2
1 1
2 6 0
x x
x x
   
+ + + − =
   
   
.
2
5 3 2 0
x m x m
+ − − − =
. (1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm 1 3
x = với mọi giá
trị của m ;
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép;
c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm 2 1 2
x = − .
Bài 3: Không giải phương trình, hãy tính tổng các bình phương và hiệu
các bình phương các nghiệm của phương trình:
 D. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

TÀI LIỆU TOÁN 9
41
41/42
a) 2
5 6 0
x x
+ + =;
b) 2
7 2 0
x x
− + =.
Bài 4: Không giải phương trình, xét dấu các nghiệm của phương trình
sau:
a) ( ) 2
1 2 7 1 2 0
x x
+ + + − = ;
b) 2
5 8 1 0
x x
+ + =;
c) 2
2 2 2 0
x x
− + =.
Bài 5: Cho phương trình ( ) ( )
2
4 2 3 2 0
m x m x
+ − − − =. (1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m ;
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm là 1 . Khi đó tìm nghiệm thứ
hai của phương trình.
2
2 1 2 0
x m x m
+ + + =
. (1)
a) Chứng tỏ rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2
,
x x
với mọi giá trị của m ;
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm 1 2
,
x x không phụ thuộc vào m , từ
đó hãy biểu thị 2
x theo 1
x ;
c) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
1 2
A x x
= + .
2
2 5 2 0
mx m x m
+ − + − =.
a) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm;
b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 2
,
x x sao
cho ( )( )
1 2
6 1 6 1 2
x x
− − =
− .
Bài 8: Cho phương trình 2
10 0
x x m
− + =
.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm 1 2
,
x x sao cho:
a) 1 2
4
x x
= ;
b) 3 3
1 2 370
x x
+ = .
Bài 9: Cho phương trình 2
2 2 1 0
x mx m
− − − = .
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm 1 2
,
x x thỏa mãn
1 2
3 14
x x
+ =

TÀI LIỆU TOÁN 9
42
42/42
2 2
2 1 4 13 0
x m x m m
− − + + + =
.
a) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm;
b) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm âm.
....................................................HẾT.......................................................
Tham gia nhóm ☛
ĐỂ CẬP NHẬT TÀI LIỆU MỚI NHẤT .

TOÁN 9-CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC VIET VÀ ỨNG DỤNG

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to TOÁN 9-CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC VIET VÀ ỨNG DỤNG

Similar to TOÁN 9-CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC VIET VÀ ỨNG DỤNG (20)

More from Blue.Sky Blue.Sky

More from Blue.Sky Blue.Sky (18)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

TOÁN 9-CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC VIET VÀ ỨNG DỤNG