Đề thi tóan cao cấp k15

1. ĐỀ SỐ 1, K15, THI NGÀY 24-12-2012
Câu 1.
Xét tính liên tục của hàm số sau tại tại 𝑥 = 0:
𝑓 𝑥 =
ln cos2
𝑥
𝑥2
𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ 0
0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 0
.
Câu 2.
Tính các giới hạn sau:
𝑎) lim
𝑥→0
arcsin𝑥 − 𝑥
𝑥2arctan𝑥
; 𝑏) lim
𝑥→0
1 + 𝑥
1
𝑥
𝑒
1
𝑥
.
Câu 3.
Tính các tích phân sau:
𝑎)
8𝑥3
+ 16𝑥
𝑥2 + 4 2
𝑑𝑥 ; 𝑏)
cos3
𝑥𝑑𝑥
sin 𝑥
3
−
𝜋
4
−
𝜋
2
.
Câu 4.
Tính tích phân suy rộng
1
𝑥2 sin
1
𝑥
∞
2
𝜋
𝑑𝑥.
Câu 5.
Giải phương trình 𝑦′
+ 𝑥𝑦 = 𝑒 𝑥2
𝑦3
.
Câu 6.
Giải phương trình sai phân 𝑥 𝑛+4 − 3𝑥 𝑛+3 + 3𝑥 𝑛+2 − 3𝑥 𝑛+1 + 2𝑥 𝑛 = 5 ∙ 2 𝑛+1
.
Câu 7.
Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất hai loại sản phẩm. Giả sử tổng chi phí kết hợp là
𝑇𝐶 = 3𝑄1
2
+ 5𝑄2
2
+ 7𝑄1 𝑄2. Giá của các loại sản phẩm lần lượt là 230$ và 305$. Hãy tìm mức sản lượng
các loại sản phẩm để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất.

2. ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1, NGÀY 24-12-2012
Câu 1 (1 điểm).
lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 = lim
𝑥→0
ln cos2
𝑥
𝑥2
= lim
𝑥→0
ln 1 − sin2
𝑥
𝑥2
= lim
𝑥→0
− sin2
𝑥
𝑥2
= −1 ≠ 𝑓 0 ,
nên 𝑓 gián đoạn tại 𝑥 = 0.
Câu 2 (1+1 điểm).
a) lim
𝑥→0
arcsin 𝑥−𝑥
𝑥2arctan 𝑥
= lim
𝑥→0
arcsin 𝑥−𝑥
𝑥3 =
𝐿
lim
𝑥→0
1
1−𝑥2
−1
3𝑥2 = lim
𝑥→0
1− 1−𝑥2
3𝑥2 1−𝑥2
= lim
𝑥→0
1− 1−𝑥2
3𝑥2 1−𝑥2 1+ 1−𝑥2
= lim
𝑥→0
1
3 1 − 𝑥2 1 + 1 − 𝑥2
=
1
6
.
b) Đây là giới hạn dạng 1∞
, nên lim
𝑥→0
1+𝑥
1
𝑥
𝑒
1
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑒
1
𝑥
1+𝑥
1
𝑥
𝑒
−1
.
lim
𝑥→0
1
𝑥
1 + 𝑥
1
𝑥
𝑒
− 1 = lim
𝑥→0
1 + 𝑥
1
𝑥 𝑒−1
− 1
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑒
1
𝑥
ln 1+𝑥 −1
− 1
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑒
1
𝑥
𝑥−
𝑥2
2
+𝑜 𝑥2 −1
− 1
𝑥
= lim
𝑥→0
𝑒
−𝑥
2
+
𝑜 𝑥2
𝑥 − 1
−𝑥
2 +
𝑜 𝑥2
𝑥
∙ lim
𝑥→0
−𝑥
2 +
𝑜 𝑥2
𝑥
𝑥
= 1 ∙ lim
𝑥→0
−1
2
+
𝑜 𝑥2
𝑥2
=
−1
2
.
Giới hạn phải tìm bằng 𝑒
−1
2 .
Cách khác:
lim
𝑥→0
ln
1 + 𝑥
1
𝑥
𝑒
1
𝑥
= lim
𝑥→0
1
𝑥
ln 1 + 𝑥
𝑥
− 1 = lim
𝑥→0
ln 1 + 𝑥 − 𝑥
𝑥2
=
𝐿
lim
𝑥→0
1
1 + 𝑥 − 1
2𝑥
= lim
𝑥→0
−1
2 1 + 𝑥
=
−1
2
.
Câu 3 (1+1 điểm).
𝑎)
8𝑥3
+ 16𝑥
𝑥2 + 4 2
𝑑𝑥 =
4𝑥2
+ 8
𝑥2 + 4 2
𝑑 𝑥2
+ 4 =
𝑡=𝑥2+4 4𝑡 − 8 𝑑𝑡
𝑡2
=
4
𝑡
−
8
𝑡2
= 4 ln 𝑡 +
8
𝑡
+ 𝐶 = 4 ln 𝑥2
+ 4 +
8
𝑥2 + 4
+ 𝐶.
𝑏)
cos3
𝑥𝑑𝑥
sin 𝑥
3
−
𝜋
4
−
𝜋
2
=
1 − sin2
𝑥 𝑑 sin 𝑥
sin 𝑥
3
−
𝜋
4
−
𝜋
2
=
𝑡= sin 𝑥
3
1 − 𝑡6
𝑑𝑡3
𝑡
−
1
2
6
−1

3. = 3 𝑡 − 𝑡7
𝑑𝑡
−
1
2
6
−1
= 3
𝑡2
2
−
𝑡8
8
|−1
−
1
2
6
= 3
1
2
3
1
2
−
1
16
−
1
2
−
1
8
=
21
16 2
3 −
9
8
.
Câu 4 (1 điểm).
1
𝑥2
sin
1
𝑥
∞
2
𝜋
𝑑𝑥 =
𝑡=
1
𝑥
− sin 𝑡 𝑑𝑡
0
𝜋
2
= sin 𝑡 𝑑𝑡
𝜋
2
0
= − cos
𝜋
2
+ cos0 = 1.
Câu 5 (1 điểm).
 Giả sử 𝑦 ≠ 0. Ta có: 𝑦′
+ 𝑥𝑦 = 𝑒 𝑥2
𝑦3
⟺ 𝑦′
𝑦−3
+ 𝑥𝑦−2
= 𝑒 𝑥2
.
Thay 𝑧 = 𝑦−2
⟹ 𝑧′
= −2𝑦′
𝑦−3
, ta có phương trình vi phân tuyến tính:
1
−2
𝑧′
+ 𝑥𝑧 = 𝑒 𝑥2
⟺ 𝑧′
− 2𝑥𝑧 = −2𝑒 𝑥2
.
Phương trình này có nghiệm tổng quát là
𝑧 = −2𝑒 𝑥2
𝑒−2 𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒2 𝑥𝑑𝑥
= −2 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒 𝑥2
= −2𝑥 + 𝐶 𝑒 𝑥2
.
.
Tích phân tổng quát của phương trình đã cho là
𝑦2
−2𝑥 + 𝐶 𝑒 𝑥2
− 1 = 0. (0,5 điểm)
 Dễ thấy 𝑦 ≡ 0 cũng là một nghiệm của phương trình đã cho. (0,5 điểm)
Câu 6 (1,5 điểm).
 Phương trình đặc trưng
4
- 33
+ 32
- 3 + 2 = 0  ( - 1)( - 2)(2
+ 1) = 0
có tập nghiệm {1; 2; 𝑖; −𝑖}. (0,5 điểm)
 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là
𝑥 𝑛 = 𝐶1 + 𝐶22 𝑛
+ 𝐶3 cos
𝑛𝜋
2
+ 𝐶4 sin
𝑛𝜋
2
. (0,5 điểm)
 Một nghiệm riêng 𝑥 𝑛
∗
của xn+4 – 3xn+3 + 3xn+2 – 3xn+1 + 2xn = 102n
có dạng 𝑥 𝑛
∗
= 𝐴𝑛2 𝑛
. Thay vào
phương trình đã cho rồi giản ước cho 2n
ta có
A[(n+4)24
– 3(n+3)23
+ 3(n+3)22
– 3(n+1)2 + 2n] = 10.
Cho n = 0  A = 1  𝑥 𝑛
∗
= 𝑛2 𝑛
.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 𝑥 𝑛
∗
= 𝐶1 + 𝐶22 𝑛
+ 𝐶3 cos
𝑛𝜋
2
+ 𝐶4 sin
𝑛𝜋
2
+ 𝑛2 𝑛
. (0,5 điểm).
Câu 7 (1,5 điểm).
Hàm lợi nhuận của sản phẩm là
Π 𝑄1; 𝑄1 = 230𝑄1 + 305𝑄2 − 3𝑄1
2
− 5𝑄2
2
− 7𝑄1 𝑄2. (0,5 điểm)
Π 𝑄1
′
= 230 − 6𝑄1 − 7𝑄2
Π 𝑄2
′
= 305 − 7𝑄1 − 10𝑄2
Giải hệ:
230 − 6𝑄1 − 7𝑄2 = 0
305 − 7𝑄1 − 10𝑄2 = 0
,
ta có 𝑄1 = 15; 𝑄2 = 20.
Π 𝑄1
2
"
= −6, Π 𝑄2
2
"
= −10, Π 𝑄1 𝑄2
"
= −7 ⟹ 𝐷 = Π 𝑄1
2
"
Π 𝑄2
2
"
− Π 𝑄1 𝑄2
" 2
= 11. (0,5 điểm)
𝐷 > 0, Π 𝑄1
2
"
< 0 ⟹ Π đạt cực đại tại 𝑄1 = 15, 𝑄2 = 20 và tại đó 𝜋 = 4775. (0,5 điểm)

4. ĐỀ SỐ 2, K15, THI NGÀY 24-12-2012
Câu 1.
Hàm cầu của một loại sản phẩm độc quyền là 𝑃 = 600 − 2𝑄 $ và tổng chi phí là 𝐶 = 0,2𝑄2
+ 28𝑄 +
200 &. Tìm mức sản xuất 𝑄 để lợi nhuận tối đa, tìm mức giá 𝑃 và lợi nhuận khi đó.
Nếu chính quyền đặt thuế 22 $ cho mỗi đơn vị sản phẩm thì lợi nhuận tối đa đạt được với mức giá bao
nhiêu?
Câu 2.
Tính các giới hạn sau:
𝑎) lim
𝑥→0
cos 𝑥𝑒 𝑥
− cos 𝑥𝑒−𝑥
𝑥3
; 𝑏) lim
𝑥→+∞
𝑥 + 2 𝑥
1
𝑥.
Câu 3.
Tìm cực trị của hàm số
𝑧 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2
2𝑦 − 𝑦2
(𝑥 > 0; 𝑦 > 0).
Câu 4.
Tính các tích phân sau:
𝑎)
𝑑𝑥
𝑥 𝑥2 − 1
; 𝑏)
𝑑𝑥
2 cos 𝑥 + 3
𝜋
2
0
.
Câu 5.
Xét sự hội tụ và tính tích phân suy rộng sau (nếu hội tụ)
𝑑𝑥
𝑥2 + 1 2
∞
0
.
Câu 6.
Giải phương trình 𝑦′
+ 2𝑥𝑦 = 2𝑥3
𝑦3
.
Câu 7.
Giải phương trình 𝑦𝑡+2 + 4𝑦𝑡+1 + 3𝑦𝑡 = 16.

5. ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 2, NGÀY 24-12-2012
Câu 1 (1 điểm).
Hàm lợi nhuận của sản phẩm là
𝜋 𝑄 = 𝑇𝑅 − 𝐶 = 𝑃 ∙ 𝑄 − 0,2𝑄2
+ 28𝑄 + 200 = −2,2𝑄2
+ 572𝑄 − 200.
Do 𝜋 𝑄 = −2,2 𝑄 − 130 2
+ 36980 ≤ 𝜋 130 = 36980, nên với 𝑄 = 130 ta có lợi nhuận tối đa. Khi
đó, 𝑃 = 600 − 2 ∙ 130 = 340. (0,5 điểm)
Khi tính cả thuế, ta có 𝜋 𝑄 = −2,2𝑄2
+ 572𝑄 − 200 − 22𝑄 = −2,2𝑄2
+ 550𝑄 − 200.
Do 𝜋 𝑄 = −2,2 𝑄 − 125 2
+ 34175 ≤ 𝜋 125 = 34175, nên với 𝑄 = 125 ta có lợi nhuận tối đa. Khi
đó, 𝑃 = 600 − 2 ∙ 125 = 350. (0,5 điểm)
Câu 2 (1+1 điểm).
1) lim
𝑥→0
cos 𝑥𝑒 𝑥 −cos 𝑥𝑒−𝑥
𝑥3 = lim
𝑥→0
−2 sin 𝑥
𝑒 𝑥 +𝑒−𝑥
2
sin 𝑥
𝑒 𝑥 −𝑒−𝑥
2
𝑥3 = lim
𝑥→0
−2𝑥
𝑒 𝑥 +𝑒−𝑥
2
𝑥
𝑒 𝑥−𝑒−𝑥
2
𝑥3
=
−1
2
lim
𝑥→0
𝑒2𝑥
− 𝑒−2𝑥
𝑥
=
−1
2
lim
𝑥→0
𝑒4𝑥
− 1
𝑥
lim
𝑥→0
1
𝑒2𝑥
=
−4
2
= −2.
2) lim
𝑥→+∞
𝑥 + 2 𝑥
1
𝑥 = lim
𝑥→+∞
𝑒
ln 𝑥+2 𝑥
𝑥 =
𝐿
lim
𝑥→+∞
𝑒
1+2 𝑥 ln 2
𝑥+2 𝑥
=
𝐿
lim
𝑥→+∞
𝑒
2 𝑥 ln 2 2
1+2 𝑥 ln 2 = lim
𝑥→+∞
𝑒
ln 2 2
1
2 𝑥 +ln 2
= 𝑒ln 2
= 2.
Câu 3 (1,5 điểm).
𝑧 𝑥
′
= 2 − 2𝑥 2𝑦 − 𝑦2
; 𝑧 𝑥
′
= 2𝑥 − 𝑥2
2 − 2𝑦 (𝑥 > 0; 𝑦 > 0).
 𝑧(𝑥; 𝑦) có hai điểm dừng là 𝑀1 1; 1 ; 𝑀2 2;2 .
 𝑧 𝑥2
′′
= −2 2𝑦 − 𝑦2
; 𝑧 𝑦2
′′
= −2 2𝑥 − 𝑥2
; 𝑧 𝑥𝑦
′′
= 2 − 2𝑥 2 − 2𝑦 .
𝐷 𝑥; 𝑦 = 𝑧 𝑥2
′′
𝑧 𝑦2
′′
− 𝑧 𝑥𝑦
′′ 2
= 4 2𝑥 − 𝑥2
2𝑦 − 𝑦2
− 2 − 2𝑥 2
2 − 2𝑦 2
. (0,5 điểm)
 𝐷 1; 1 = 4 > 0; 𝑧 𝑥2
′′
= −2 < 0 ⟹ hàm số đạt cực đại tại 𝑀1 1; 1 ; 𝑧 1; 1 = 1. (0,5 điểm)
 𝐷 2; 2 = −16 < 0 ⟹ hàm số không đạt cực trị tại 𝑀2 2; 2 . (0,5 điểm)
Câu 4 (1+1 điểm).
𝑎)
𝑑𝑥
𝑥 𝑥2 − 1
=
𝑥𝑑𝑥
𝑥2 𝑥2 − 1
=
𝑡= 𝑥2−1 𝑡𝑑𝑡
𝑡2 + 1 𝑡
=
𝑑𝑡
𝑡2 + 1
= arctan𝑡 + 𝐶 = arctan 𝑥2 − 1 + 𝐶.
𝑏)
𝑑𝑥
2 cos 𝑥 + 3
𝜋
2
0
=
𝑡=tan
𝑥
2
2
1 + 𝑡2
2
1 − 𝑡2
1 + 𝑡2 + 3
𝑑𝑡
1
0
= 2
𝑑𝑡
𝑡2 + 5
𝑑𝑡
1
0
=
2
5
arctan
𝑡
5
|0
1
=
2
5
arctan
1
5
.

6. Câu 5 (1 điểm).
𝐼 =
𝑑𝑥
𝑥2 + 1
=
𝑥
𝑥2 + 1
− 𝑥𝑑
1
𝑥2 + 1
=
𝑥
𝑥2 + 1
+ 2
𝑥2
𝑥2 + 1 2
𝑑𝑥
=
𝑥
𝑥2 + 1
+ 2
𝑥2
+ 1 − 1
𝑥2 + 1 2
𝑑𝑥 =
𝑥
𝑥2 + 1
+ 2𝐼 − 2
𝑑𝑥
𝑥2 + 1 2
⟹
𝑑𝑥
𝑥2 + 1 2
=
𝑥
2 𝑥2 + 1
+
1
2
𝐼 =
𝑥
2 𝑥2 + 1
+
1
2
arctan𝑥 + 𝐶. (0,5 điểm)
𝑑𝑥
𝑥2 + 1 2
∞
0
= lim
𝑡⟶∞
𝑑𝑥
𝑥2 + 1 2
𝑡
0
= lim
𝑡⟶∞
𝑡
2 𝑡2 + 1
+
1
2
arctan𝑡 = 0 +
1
2
𝜋
2
=
𝜋
4
. (0,5 điểm)
Cách khác:
𝑑𝑥
𝑥2 + 1 2
∞
0
=
𝑥=tan 𝑡 1
tan2 𝑡 + 1 2
𝜋
2
0
𝑑 tan 𝑡 = cos2
𝑡
𝜋
2
0
𝑑𝑡
1 + cos 2𝑡
2
𝜋
2
0
𝑑𝑡 =
𝑡
2
+
sin 2𝑡
4
|0
𝜋
2
=
𝜋
4
.
Câu 6 (1 điểm).
 Giả sử 𝑦 ≠ 0. Ta có: 𝑦′
+ 2𝑥𝑦 = 2𝑥3
𝑦3
⟺ 𝑦′
𝑦−3
+ 2𝑥𝑦−2
= 2𝑥3
.
Thay 𝑧 = 𝑦−2
⟹ 𝑧′
= −2𝑦′
𝑦−3
, ta có phương trình vi phân tuyến tính:
1
−2
𝑧′
+ 2𝑥𝑧 = 2𝑥3
⟺ 𝑧′
− 4𝑥𝑧 = −4𝑥3
.
Phương trình này có nghiệm tổng quát là
𝑧 = −4𝑥3
𝑒−4 𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒4 𝑥𝑑𝑥
= −4𝑥3
𝑒−2𝑥2
𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒2𝑥2
= 𝑥2
𝑑𝑒−2𝑥2
+ 𝐶 𝑒2𝑥2
= 𝑥2
𝑒−2𝑥2
− 𝑒−2𝑥2
𝑑𝑥2
+ 𝐶 𝑒2𝑥2
= 𝑥2
𝑒−2𝑥2
+
𝑒−2𝑥2
2
+ 𝐶 𝑒2𝑥2
= 𝑥2
+
1
2
+ 𝐶𝑒2𝑥2
.
Tích phân tổng quát của phương trình đã cho là
𝑦2
𝑥2
+
1
2
+ 𝐶𝑒2𝑥2
− 1 = 0. (0,5 điểm)
 Dễ thấy 𝑦 ≡ 0 cũng là một nghiệm của phương trình đã cho. (0,5 điểm)
Câu 7 (1,5 điểm).
Phương trình đặc trưng 𝑘2
+ 4𝑘 + 3 = 0 có các nghiệm là −1; −3.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là
𝑦𝑡 = 𝐶1 −1 𝑡
+ 𝐶2 −3 𝑡
. (0,5 điểm)
Một nghiệm riêng của phương trình 𝑦𝑡+2 + 4𝑦𝑡+1 + 3𝑦𝑡 = 16 có dạng 𝑦𝑡
∗
= 𝐴.
Thay vào phương trình này, ta có: 𝐴 + 4𝐴 + 3𝐴 = 16 ⟺ 𝐴 = 2. (0,5 điểm)
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 𝑦𝑡 = 𝑦𝑡 + 𝑦𝑡
∗
= 𝐶1 −1 𝑡
+ 𝐶2 −3 𝑡
+ 2. (0,5 điểm)