1. Còng tõ ph−¬ng ph¸p n y,
nhÊt (Max) cña biÓu thøc
+ + +
®−îc nh÷ng b i to¸n míi.
qu¸t v t¹o ra
Sö dông bÊt ®¼ng thøc (B§T) ® biÕt m ®Æc biÖt l B§T C«-si l ph−¬ng ph¸p
th−êng ®−îc ¸p dông ®Ó gi¶i c¸c b i to¸n vÒ B§T nãi chung. Nh÷ng b i to¸n cùc trÞ, nhÊt
l tr−êng hîp cã thªm c¸c ®iÒu kiÖn phô th−êng g©y khã kh¨n cho ng−êi gi¶i trong
viÖc −íc l−îng hÖ sè v xÐt ®iÒu kiÖn ®Ó dÊu ®¶ng thøc xÈy ra. B i viÕt n y tr×nh b y mét
ph−¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ th«ng qua B§T C«-si ®Ó tõ ®ã, chuyÓn b i to¸n cùc trÞ vÒ viÖc gi¶i
mét ph−¬ng tr×nh (PT) hoÆc hÖ ph−¬ng tr×nh (HPT) m viÖc gi¶i quyÕt l dÔ d ng hoÆc cã
®−êng lèi râ r ng h¬n, ®ã l ph−¬ng ph¸p c©n b»ng hÖ sè
víi mét chót s¸ng t¹o, chóng ta cã thÓ tæng
Tr−íc hÕt xin nªu l¹i m kh«ng chøng minh hai B§T quen thuéc sau:
i) B§T C«-si tæng qu¸t: 1 2 1 2... ...n
n na a a n a a a+ + + ≥
ii) B§T C«-si suy réng:
1 1 2 2 ... n na a aα α α ≥ ( )( )1 2 1 2
1
...
1 2 1 2... ... n na a a
n na a a aαα α
α α + + ++ + +
Trong hai B§T trªn th× 1 2, ,..., na a a kh«ng ©m, 1 2, ,..., nα α α d−¬ng v dÊu ®¼ng thøc xÈy
ra khi v chØ khi 1 2 ... na a a= = = .
Chóng ta b¾t ®Çu tï b i to¸n sau:
VÝ dô 1. Cho c¸c sè thùc d−¬ng ,x y tháa m n ®iÒu kiÖn 3 3
1x y+ = (1). T×m gi¸ trÞ lín
( ; )P x y x y= +
Ph−¬ng ph¸p suy luËn:
Sù chªnh lÖch vÒ sè mò cña c¸c biÓu thøc 3 3
x y+ v ( ; )P x y x y= + gîi cho ta
sö dông B§T C«-si ®Ó h¹ bËc cña 3 3
x y+ . Nh−ng ta cÇn ¸p dông cho bao nhiªu sè v l
nh÷ng sè n o? C¨n cø v o bËc cña c¸c biÕn sè x v y trong c¸c biÓu thøc trªn, ta thÊy cÇn
ph¶i ¸p dông B§T C«-si lÇn l−ît cho 3
x v 3
y cïng víi 5 h»ng sè d−¬ng t−¬ng øng
kh¸c ®Ó l m xuÊt hiÖn x v y . MÆt kh¸c do x, y d−¬ng v vai trß cña chóng nh− nhau
nªn ta dù ®o¸n ( ; )P x y ®¹t Max khi x y= . Tõ (1) suy ra 3
1
2
x y= = v ta ®i ®Õn lêi gi¶i
nh− sau.
Lêi gi¶i. ¸p dông B§T C«-si cho 6 sè d−¬ng: 1 sè 3
x v 5 sè
1
, ta cã:
5 5
3 3 66
1 1
5. 6 . 6.2
2 2
x x x
− 
+ ≥ = 
 
DÊu “=” xÈy ra ⇔ 3
1
2
x =
T−¬ng tù nh− vËy:
5 5
3 3 66
1 1
5. 6 . 6.2
2 2
y y y
− 
+ ≥ = 
 
DÊu “=” xÈy ra ⇔ 3
1
2
y =
Céng theo vÕ c¸c B§T trªn ta ®−îc: ( )
5
3 3 6
( ) 5 6.2x y x y
−
+ + ≥ + (2)
DÊu “=” xÈy ra ⇔ 3
1
2
x y= = .
CAÂN BAÈNG HEÄ SOÁ TRONG BAÁT ÑAÚNG THÖÙC COÂ-SI
2
www.VNMATH.com

2. + ≥ ≥
+ ≥ ≥
®¹t Min khi
dù ®o¸n
Tõ (1) v (2) suy ra:
6 5
( ; ) 2P x y x y= + ≤ DÊu b»ng xÈy ra ⇔ 3
1
2
x y= = , tháa m n ®iÒu kiÖn (1).
VËy { } 6 5
( ; ) 2Max P x y = .
VÝ dô 2. Cho c¸c sè thùc d−¬ng ,x y tháa m n ®iÒu kiÖn 3 3
1x y+ ≤ (3). T×m gi¸ trÞ lín
nhÊt (Max) cña biÓu thøc ( ; ) 2P x y x y= +
Ph−¬ng ph¸p suy luËn:
ë vÝ dô 1, chóng ta ® nhanh chãng dù ®o¸n ®−îc Max ( ; )P x y ®¹t ®−îc khi x y= ,
tõ ®ã tÝnh ®−îc ,x y . Nh−ng trong b i to¸n n y, vai trß cña x v y l kh«ng b×nh ®¼ng.
Tuy nhiªn ta h y gi¶ sö ( ; )P x y ®¹t Max khi
x
y
α
β
=

=
n o ®ã v dù ®o¸n ,α β ë ®iÒu kiÖn
biªn cña (3), tøc l 3 3
1α β+ = (4). Ta viÕt:
( )
5
53 3 3 3 26
5. 6 . 6.x x xα α α+ ≥ = ( )
5
53 3 3 3 26
5. 6 . 6.y y yβ β β+ ≥ =
Suy ra ( ) ( )
5 5
3 3 3 3 2 2
5. 6. 6.x y x yα β α β+ + + ≥ +
§Ó xuÊt hiÖn ( ; )P x y ë vÕ ph¶i, ta cÇn chän ,α β sao cã tû lÖ:
5
2
6. xα :
5
2
6. yβ =1. x : 2. y
⇔
5
2
5
1 1
2 4
α α
β β
 
= ⇔ = 
 
(5) VËy tõ (4) v (5) ta thu ®−îc HPT: 5
3 3
1
4
1
α
β
α β

=

 + =
⇔
3 5
5
3 5
1
1 2 2
4
1 2 2
α
β
 =
 +


 =
 +
B»ng c¸ch l m ng−îc l¹i c¸c b−íc trªn ta sÏ thu ®−îc { } ( )
5
56( ; ) 1 2 2Max P x y = +
NhËn xÐt. Tõ c¸ch ph©n tÝch trªn ta thÊy cã thÓ thay ®æi d÷ kiÖn cña b i to¸n sao cho
HPT sau khi c©n b»ng hÖ sè cã thÓ gi¶i ®−îc. Ch¼ng h¹n nh− c¸c b i to¸n d−íi ®©y:
B i to¸n 1. Cho c¸c sè nguyªn d−¬ng , ,m p q sao cho { },m Max p q≥ . H y t×m
GTLN cña biÓu thøc ( ; ) p q
P x y ax y= + trong hai tr−êng hîp sau, biÕt r»ng a l
h»ng sè d−¬ng v x, y l c¸c biÕn sè kh«ng ©m tháa m n ®iÒu kiÖn 1m m
x y+ ≤ :
i)
2
m q
p
+
= ii)
2
3
m q
p
+
=
B i to¸n 2. Cho c¸c sè thùc d−¬ng a, b, c, d v c¸c sè nguyªn m, n tháa m n ®iÒu kiÖn
0m n> > . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc ( ; ; ) n n n
P x y z ax by cz= + + trong ®ã
, ,x y z l c¸c biÕn sè kh«ng ©m tháa m n ®iÒu kiÖn m m m
x y z d+ + ≤ .
VÝ dô 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc ( )2 2 2
( ; ; )P x y z a x y z= + + . Trong ®ã a l sè
thùc d−¬ng v x, y, z l c¸c biÕn sè tháa m n ®iÒu kiÖn 1xy yz zx+ + = (6)
Ph−¬ng ph¸p suy luËn: Do vai trß cña x v y l nh− nhau nªn ta ( ; ; )P x y z
( 0)x y zα α= = > (7). ¸p dông B§T C«-si cho hai sè d−¬ng ta cã
2 2
2 2x y xy xy+ ≥ ≥
( )
22
2 2x z x z xzα α α ⇔ 2 21
2x z xzα
α
+ ≥
( )
22
2 2y z y z yzα α α ⇔ 2 21
2y z yzα
α
+ ≥
Tõ c¸c B§T trªn suy ra:
www.VNMATH.com

3. chØ phô
t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu
( ) ( )2 2 21
1 2 2x y z xy yz zxα
α
 
+ + + ≥ + + 
 
VÕ ph¶i cña B§T trªn l h»ng sè, v× vËy ta cÇn t×m α ®Ó cã tû lÖ:
1
1 : 2 :1aα
α
 
+ = 
 
2
2 1 0aα α⇔ − − = ⇒
1 1 8
4
a
a
α
+ +
= ,
1 1 8
0
4
a
a
α
− +
= < lo¹i.
Cïng víi (6) v (7) ta cã HPT:
1xy yz zx
x y zα
+ + =

= =
( )2 2
2 1z
x y z
α α
α
 + =
⇔ 
= =
Gi¶i HPT n y víi α nh− trªn ta ®−îc: ( )
( )
2
2
16
8 1 8 1 1
4
8 1 8 1 1
a
z
a a
a
x y
a a
 = ±

+ + +

⇔ 
 = = ±
+ + +
B»ng c¸ch l m ng−îc l¹i ta tÝnh ®−îc { }
4
( ; ; )
1 1 8
xy yz zx
Min P x y z
aα
+ +
= =
+ +
NhËn xÐt. B»ng c¸ch l m t−¬ng tù nh− trªn chóng ta cã thÓ gi¶i trän vÑn ®−îc b i to¸n
tæng qu¸t h¬n sau:
B i to¸n 3. Cho c¸c h»ng thùc d−¬ng a, b, c v c¸c biÕn sè x, y, z tháa m n ®iÒu kiÖn
1xy yz zx+ + ≥ . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 2 2 2
( ; ; )P x y z ax by cz= + + .
VÝ dô 4. XÐt c¸c sè thùc d−¬ng a, b, c tháa m n ®iÒu kiÖn 21 2 8 12ab bc ca+ + ≤
. H y thøc
1 2 3
( ; ; )P a b c
a b c
= + + .
(§Ò thi chän §TVN dù thi IMO 2001)
Ph−¬ng ph¸p suy luËn: §Æt
1 1 1
, ,a b c
x y z
= = =
. §iÒu kiÖn cña b i to¸n të th nh 2 8 21 12x y z xyz+ + ≤ (9).
V ta cÇn t×m Min cña biÓu thøc ( ; ; ) 2 3P x y z x y z= + +
Gi¶ sö ( ; ; )P x y z ®¹t Min khi
x z
y z
α
β
=

=
¸p dông B§T C«-si suy réng ta cã:
12 2 8 21xyz x y z≥ + + ≥ 2 8 21
x y
zα β
α β
  
≥ + + ≥   
   
( )
1
82 2 8 21
21
2 8 21
x y
z
βα α β
α β
α β
+ +   
≥ + +          
⇒ ( )8 21 2 21 2 8
,x y z Aβ α α β
α β+ + +
≥ (10)
Trong ®ã biÓu thøc ( ),A α β chØ phô thuéc v o ,α β .
Còng theo B§T C«-si suy réng ta cã:
( ), ,P x y z = x + 2y + 3z= 2 3
x y
zα β
α β
  
+ + ≥   
   
( )
1
2 2 3
3
2 3
x y
z
βα α β
α β
α β
+ +   
≥ + +          
= ( )( )
1
2 3 2 3,B x y zα β α βα β + + (11)
Trong ®ã biÓu thøc ( ),B α β thuéc v o ,α β .
§èi chiÕu (10) v (11) ta thÊy cÇn chän ,α β sao cho cã tû lÖ: ( ) ( ) ( ): 2 :3 8 21 : 2 21 : 8 2α β β α β α= + + +
8 21
8 2 3
2 21 2
8 2 3
β α
β α
α β
β α
+
= +
⇔ 
+ =
 +
2
2
2 8 24 63
16 4 6 63
α αβ β
β αβ α
 + = +
⇔ 
+ = +
Tõ PT thø nhÊt ⇒
( )
2
2 63
8 3
α
β
α
−
=
−
. Thay v o PT thø hai ta cã:
www.VNMATH.com

4. (13)
( ) ( )
2
2 2
2 63 2 63
16 4 6 63
8 3 8 3
α α
α α
α α
 − −
+ = +  − − 
3 2
4 78 306 567 0α α α⇔ + − − =
( )( )2
2 9 2 48 63 0α α α⇔ − + + =
9
2
α⇔ = ( do 0α > )
15
8
β⇒ = .
Khi ( ), ,P x y z ®¹t Min th× tÊt c¶ c¸c B§T trªn ®Òu trë th nh ®¼ng thøc, nghÜa l
2 8 21 12 3
9 5
2 4
18 2
5 3
x y z x
x z z y
y z z z
α
β
 
 
+ + = =
  
= = ⇔ = 
 
 
= = = 

Tíi ®©y, ®iÓm mÊu chèt cña b i to¸n ® ®−îc gi¶i quyÕt v ta ®i ®Õn mét lêi gi¶i
t−¬ng ®èi ng¾n gän cho b i to¸n nh− sau:
Lêi gi¶i.§Æt 1 1 1
5 2
3 , ,
4 3
x x y y z z= = = khi ®ã ®iÒu kiÖn (9) trë th nh
1 1 1 1 1 1
5 2 5 2
2.3 8. 21. 12.3 . .
4 3 4 3
x y z x y z+ + ≤ 1 1 1 1 1 13 5 7 15x y z x y z⇔ + + ≤ .
( ) ( )1 1 1, , , ,P x y z P x y z= = 1 1 1
5 2
3 2. 3
4 3
x y z= + + = ( )1 1 1
1
6 5 4
2
x y z+ +
¸p dông B§T C«-si tæng qu¸t cho 15 sè d−¬ng ta cã: 3 5 715
1 1 1 1 1 1 1 1 115 3 5 7 15x y z x y z x y z≥ + + ≥ (12)
( ) ( )1 1 1
1
, , 6 5 4
2
P x y z x y z= + + ≥ 6 5 415
1 1 1
1
.15.
2
x y z≥
Tõ (12) suy ra 6 5 4
1 1 1 1x y z ≥ , do ®ã tõ (13) ta ®−îc ( )
15
, ,
2
P x y z ≥
§¼ng thøc xÈy ra 1 1 1 1x y z⇔ = = =
1 1 1
5 5 2 2
3 3, ,
4 4 3 3
x x y y z z⇔ = = = = = =
1 4 3
, ,
3 5 2
a b c⇔ = = =
VËy Min ( )
15
, ,
2
P a b c = .
NhËn xÐt. Së dÜ ta ®Æt c¸c biÕn míi 1 1 1, ,x y z l v× ta ® x¸c ®Þnh ®−îc bé sè (x,y,z) ®Ó
( ), ,P x y z ®¹t Min. MÆt kh¸c viÖc xÐt dÊu b»ng sÏ trë nªn dÔ d ng h¬n bÕu c¸c biÕn
tham gia khi xÈy ra dÊu ®¼ng thøc l b»ng nhau v ®Òu b»ng 1.
Mét ®iÒu thó vÞ v ®¸ng chó ý ë ®©y l c¸c B§T (12), (13) t−¬ng ®èi ®¬n gi¶n,
nh−ng qua phÐp ®æi biÕn ® trë th nh B§T kh¸c phøc t¹p h¬n rÊt nhiÒu. Chóng ta h y
thö vËn dông ®iÒu n y ®Ó t¹o ra nh÷ng b i to¸n míi rÊt thó vÞ, xuÊt ph¸t tõ bæ ®Ò sau:
Bæ ®Ò: Cho c¸c sè thùc , , , 0α β γ λ ≥ v , , , 0x y z t > . Khi ®ã ta cã:
i) NÕu ( )x y z t xyztα β γ λ α β γ λ+ + + ≤ + + + th× ( ) ( ) ( )x y zβ γ λ γ λ α λ α β+ + + + + + + + +
( ) ( )3tα β γ α β γ λ+ + + ≥ + + + (14)
ii) NÕu( ) ( ) ( )x y zβ γ λ γ λ α λ α β+ + + + + + + + +( ) ( )3tα β γ α β γ λ+ + + ≥ + + + th×
( )x y z t xyztα β γ λ α β γ λ+ + + ≥ + + + (15)
Chøng minh. Tr−êng hîp 0α β γ λ= = = = th× bæ ®Ò hiÓn nhiªn ®óng. Ta xÐt khi
2 2 2 2
0α β γ λ+ + + > .
i) ¸p dông B§T C«-si suy réng ta cã:
( )xyzt x y z tα β γ λ α β γ λ+ + + ≥ + + + ≥( )( )
1
x y z tα β γ λ α β γ λα β γ λ + + +≥ + + +
1x y z tβ γ λ γ λ α λ α β α β γ+ + + + + + + +
⇒ ≥
Nh− vËy: ( ) ( )x yβ γ λ γ λ α+ + + + + ++ ( ) ( )z tλ α β α β γ+ + + + + ≥ ( )3 α β γ λ≥ + + + ×
( )
1
x y z tβ γ λ γ λ α λ α β α β γ α β γ λ+ + + + + + + + + + +× ≥ ( )3 α β γ λ≥ + + +
§¼ng thøc xÈy ra 1x y z t⇔ = = = = .
www.VNMATH.com

5. Cho c¸c sè thùc d−¬ng a,b,c
Chóc c¸c b¹n th nh
cÇn thiÕt khi häc to¸n .chóng theo
tËp sau v h y cè g¾ng më réngh¬n n÷a. §Ó kÕt thóc
tr−êng hîp nhiÒu biÕnC¸c b¹n h y thö tiÕp tôc suy nghÜ
to¸n míi.
v
Chøng minh r»ng:
56
ii) ¸p dông B§T C«-si suy réng ta cã:
( ) ( )3 xα β γ λ β γ λ+ + + ≥ + + +( ) ( ) ( )y z tγ λ α λ α β α β γ+ + + + + + + + + ≥
( )3 α β γ λ≥ + + + ×( )
1
x y z tβ γ λ γ λ α λ α β α β γ α β γ λ+ + + + + + + + + + +×
1 x y z tβ γ λ γ λ α λ α β α β γ+ + + + + + + +
⇒ ≥ ( )
1
x y z t xyztα β γ λ α β γ λ+ + +⇔ ≥
Nh− vËy:
x y z tα β γ λ+ + + ≥( )( )
1
x y z tα β γ λ α β γ λα β γ λ + + +≥ + + + ≥ ( )xyztα β γ λ≥ + + +
§¼ng thøc x¶y ra 1x y z t⇔ = = = = .
Bæ ®Ò ®−îc chøng minh.
Sö dông bæ ®Ò trªn b»ng c¸ch thay v o nh÷ng gi¸ trÞ ®Æc biÖt v b»ng nh÷ng c¸ch
ph¸t biÓu kh¸c nhau, ta sÏ cã nh÷ng kÕt qu¶ kh¸c nhau:
- Víi 1, 0, 3, 5, 7t λ α β γ= = = = = , thay x, y, z, t lÇn l−ît bëi 3x,
5
4
y ,
2
3
z v o (14), sau
®ã ®Æt
1 1 1
, ,a b c
x y z
= = ta ®−îc B i to¸n vÝ dô 4.
- Thay 1, 1, 1, 2, 3t λ α β γ= = = = = v o (14) v ®Æt
1 2 4
, ,
2 3 3
x y z
a b c
= = = ta cã b i to¸n:
B i to¸n 4.Cho c¸c sè thùc d−¬ng a, b, ctháa m n ®iÒu kiÖn 72ab + 9bc + 24ca ++ 18abc ≤
3 10 16
15
a b c
+ + ≥ . §¼ng thøc x¶y ra khi n o?
- Thay
1 1 1
1, 1, , ,
2 3 6
t λ α β γ= = = = = v o (14) v ®Æt
1 2 4
, ,
2 3 3
x y z
a b c
= = = ta cã b i to¸n sau:
B i to¸n 5. Cho c¸c sè thùc d−¬ng a, b, c tháa m n ®iÒu kiÖn ( )2
8 27 16a b c abc+ + ≤ .
Chøng minh r»ng:
5 10 22
6
4 9 9a b c
+ + ≥ . §¼ng thøc x¶y ra khi n o?
- V× khi xÈy ra ®¼ng thøc ë hai B i to¸n 4 v 5 ®Òu cã
1 2 4
, ,
2 3 3
a b c= = = nªn khi kÕt hîp
hai b i to¸n trªn ta cã:
B i to¸n 6. tháa m n ®iÒu kiÖn 72ab + 9bc + 24ca + 18abc≤
( )2
8 27 16a b c abc+ + ≤ . Chøng minh r»ng:
17 19 166
21
4 9 9a b c
+ + ≥ .
§¼ng thøc x¶y ra khi n o?
56
- Thay
1
, 1, 1, 2, 3t
x
λ α β γ= = = = = v o (14) v ®Æt
1 2 4
, ,
2 3 3
x y z
a b c
= = = ta cã b i to¸n sau:
B i to¸n 7. Cho c¸c sè thùc a, b, c d−¬ng tháa m n ®iÒu kiÖn
3 10 16
12 21
3 3
a
a b c
+ + + ≤ ,
chøng minh r»ng
1 4 4 28
2
2 3 9
a
a b c abc
+ + + ≥ . §¼ng thøc x¶y ra khi n o?
B»ng c¸ch thay ®æi d÷ kiÖn b i to¸n theo h−íng trªn chóng ta sÏ cã ®−îc rÊt nhiÒu b i
theo h−íng trªn v theo h−íng tæng qu¸t cho
b i viÕt n y, ®Ò nghÞ c¸c b¹n gi¶i mét sè b i
c¸ch cña m×nh. §ã l mét viÖc l m thùc sù
c«ng!
www.VNMATH.com