Limit Trigonometri

1 | Matematika Peminatan SMA/MA Kelas XII
BAB 1
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Peta Konsep
Kata Kunci :
Grafik Fungsi Trigonometri, Definisi Limit Trigonometri, Metode Substitusi, Pemfaktoran
dan Menyederhanakan
Limit
Fungsi Trigonometri
Grafik
fungsi trigonometri
Pengertian Limit Melalui
Pengamatan Grafik Fungsi
Menyelesaikan Limit Fungsi
Trigonometri
Rumus dasar Limit Fungsi
Trigonometri
Metode
Menyederhanakan
Pemahaman Secara Intuisi
Limit Trigonometri
Metode Substitusi Langsung
Dan Pemfaktoran
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net
Di unduh dari : www.m4th-lab.net
web penyedia bank soal UN dan SBMPTN terlengkap

BAB 1
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Masih ingatkah anda definisi
yang telah dipelajari dalam
matematika wajib kelas X ?
Limit suatu fungsi aljabar.
Limit fungsi:
Suatu limit f(x) dikatakan
mendekati a {f(x), a} sebagai
suatu limit.
Bila x mendekati a {x → a},
Dinotasikan Lim F(x) = L
Limit fungsi bagian dari
pengantar kalkulus (hitungan
diferensial dan integral),
namun dasar kalkuls yang
disefinisikan Augustin-Louis
Cauchy 1789-1857)
berkebangsaan prancis
Ada dua macam cara untuk memahami pengertian limit fungsi di suatu titik, yaitu :
1) Pengamatan grafik di sekitar titik yang di tinjau. Dapat diseskripsikan menggunakan
alat peraga dua buah potongan kawat dan satu lembar film tipis. Film ini ditempatkan
vertikal/tegak lurus terhadap sumbu x dengan arah permukaaannya menghadap ke
kanan dan ke kiri.
2) Perhitungan nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau. Dapat dipahami dengan
cara menghitung nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau.
Pada pokok bahasan ini kita akan membicarakan cara Limit fungsi trigonometri
terutama menjelaskan, menentukan dan menyelesaikan limit fungsi trigonometri. Kami
menganggap pembaca telah mengenal trigonometri dan akraf dengan definisi fungsi
trigonometri yang berdasarkan sudut dan segitiga siku-siku.
Mengingat petingnya memahami limit trigonometri alangkah baiknya kita
dingingatkan kembali dengan sifat-sifat dasar sinus dan cosinus serta grafik fungsi
trigonometri berikut ini:
 x
x sin
)
2
sin( 
  , x
x cos
)
2
cos( 
 
 x
x sin
)
sin( 

 , x
x cos
)
cos( 
 x
x cos
)
2
sin( 


, x
x sin
)
2
cos( 


Kompetensi Dasar
Materi
Pembelajaran
Kegiatan Pembelajaran
3.1 Menjelaskan
dan
menentukan
limit fungsi
trigonometri
4.1 Menyelesaikan
masalah
berkaitan
dengan limit
fungsi
trigonometri
Limit fungsi
Trigonometri
 Mencermati gambar yang
berkaitan dengan limit
fungsi trigonometri.
 Menyelesaikan masalah
yang berkaitan dengan limit
 Menerapkan limit fungsi
trigonometri dalam
pemecahan masalah.
 Mempresentasikan gambar
yang berkaitan dengan limit
fungsi trigonometri
 Mempresentasikan
pemecahan masalah yang
berkaitan dengan limit
fungsi trigonometri
penerapan limit fungsi
trigonometridalam
pemecahan masalah.
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

A. Grafik Fungsi Trigonometri
Sketsa grafik fungsi trigonometri y = f(x). Pasangan-pasangan (x, f(x)) merupakan koordinat
titik-titik yang dilalui oleh grafik fungsi f. Koordinat titik-titik yang diperoleh dihubungkan
sehingga terbentuk kurva mulus.
Berikut ini adalah grafik fungsi di bawah ini untuk syarat 0 ≤ x ≤ 360o
!
a. y = sin x b. y = cos x c. y = tan x
Penyelesaian :
a. y = sin x
Gambar 1.1
b. y = cos x
Gambar 1.2
c. y = tan x
Gambar 1.3
Bahkan dengan pengamatan sekilas saja kita dapat melihat empat hal tentang grafik-grafik ini:
1) Sin x dan cos x keduanya berkisar antara -1 dan 1
2) Kedua grafik berulang dengan sendirinya pada selang yang berdampingan sepanjang 2π.
3) Grafik y = sin x simetris terhadap titik asal, y = cos x simetris terhadap sumbu y
4) Grafik y = sin x sama seperti y = cos x, tetapi digeser
2

satuan ke kanan
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

B. Pengertian Limit Fungsi Melalui Pengamatan Grafik Fungsi
Percobaan sebuah film tipis ditempatkan tegak lurus (vertikal) terhadap sumbu x dengan
arah permukaan menghadap kekanan dan kekiri. Kawat 1 berada disebelah kiri film dan kawat 2
berada disebelah kanan film. Kedua kawat ini digerakan vertikal ke atas dan ke bawah atau
horizontal ke kanan dan ke kiri mendekati film, seperti gambar berikut ini:
a) 1
)
(
lim L
x
f
a
x


, 2
)
(
lim L
x
f
a
x



dan 2
1 L
L  b) 1
)
(
lim L
x
f
a
x


, 2
)
(
lim L
x
f
a
x



& 2
1 L
L 
Gambar 1.4
penjelasan point :
a. maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a ada dan nilai limit itu sama dengan L
b. maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada
1
)
(
lim L
x
f
a
x



, tetapi )
(
lim x
f
a
x 

tidak ada maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada
Gambar 1.5
)
(
lim x
f
a
x 

tidak ada, tetapi 2
)
(
lim L
x
f
a
x



maka limit fungsi f(x) untuk x mendekati a tidak ada
Gambar 1.6
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

)
(
lim x
f
a
x 

tidak ada, tetapi )
(
lim x
f
a
x 

tidak ada maka limit f(x) untuk x mendekati a tidak ada
Gambar 1.7
Suatu seketika titik ujung kawat menyatukan film, sehingga dapat diperkirakan
berapa tinggi titik ujung kawat terhadap sumbu x. Untuk memperkirakan ketinggian itu,
bentuk kawat dapat dianggap sebagai grafik fungsi y = f (x) dalam daerah asal x < a, x >a
dan posisi film sebagai garis tegak dengan persamaan x = a.
Dalam matematika, perkiraan ketinggian ujung kawat terhadap sumbu x di
ucapkan sebagai limit fungsi f(x) untuk x mendekati a dari arah kanan maupun kiri
(tergantung titik ujung kawat yg digerakan dari arah mana). Misalkan bahwa ketinggian
yang diperkirakan itu adalah 1
L dan 2
L , maka notasi singkat limit dapat dirangkum dengan
daftar seperti diperlihatkan pada tabel 1.1 berikut ini:
Kegiatan 1.1
Menjelaskan dengan mencermati gambaran berkaitan dengan limit
Tabel 1.1 Hasil Pengamatan grafik diatas dapat dirangkum pada tabel 1.1 berikut :
No
Gambar
Limit kiri )
(
lim x
f
a
x 

Limit Kanan )
(
lim x
f
a
x 

)
(
lim x
f
a
x
1.4 a Ada, nilai 1
L Ada, nilai 2
L Ada nilai L ,karena L
L
L 
 2
1
1.4 b Ada, nilai 1
L Ada, nilai 2
L ..............., 2
1 L
L 
1.5 a,b Ada, nilai 1
L ............... ...............
1.6 a,b ............... Ada, nilai 2
L ...............
1.7a,b,c,d ............... ............... ...............
Berdasarkan deskripsi di atas, ada atau tidak adanya nilai limit suatu fungsi di suatu titik
bila peubahnya mendekati titik itu dapat didefinisikan dengan menggunakan konsep limit
kiri )
(
lim x
f
a
x 

dan limit kanan )
(
lim x
f
a
x 

sebagai berikut.
Definisi :
Suatu fungsi f(x) di definisikan untuk x di sekitar a, maka L
x
f
a
x


)
(
lim jika dan hanya
jika L
x
f
x
f
a
x
a
x

 



)
(
lim
)
(
lim
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

C. Pemahaman Secara Intuisi Limit Fungsi Trigonometri Melalui Perhitungan
Pengertian limit fungsi trigonometri di suatu titik dapat pula di pahami dengan cara
menhitung nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau. Misal suatu fungsi f (x), akan ditentukan
nilai limit fungsi f(x) untuk x mendekati a. Perhitungan dapat dilakukan dengan cara membuat
daftar nilai-nilai fungsi f(x) untuk nilai-nilai x mendekati a. Perhatikan soal berikut ini:
Kegiatan 1.2
Menentukan dan menjelaskan limit fungsi trigonometri di sekitar titik
Tentukan nilai limit fungsi trigonometri soal dibawah ini:
1) Cari ...
sin
lim
0

 x
x
x
Penyelesaian :
Tidak ada muslihat aljabar yang akan menyederhanakan penyelesaian persamaan ini, tentu saja
kita tidak bisa mencoret x. Kalkulator akan menolong kita memperoleh gagasan tentang limit itu,
Gunakan kalkulator anda (mode radian) untuk memeriksa nilai-nilai pada tabel 1.2berikut ini:
X 1 0,5 0,1 0,01 → 0 ← -0,01 -0,1 -0,5 -1
x
x
sin
... ... ... ... ... ? ... 0,99998 0,99833 0,95885 0,84147
Kesimpulan yang diperoleh bahwa : ....
sin
lim
0

 x
x
x
Ternyata keadaan tidak semudah apa yang kelihatan. Kalkulator mungkin mengecoh kita,
demikian juga dengan intuisi kita. Perhatikan contoh berikut :
2) Cari ...
000
.
10
cos
lim 2
0









x
x
x
Penyelesaian :
Dengan mengkuti prosedur sebelumnya , kita susun tabel yang diperlihatkan pada tabel dibawah
ini. Kesimpulan yang disarankan adalah bahwa limit yang diinginkan adalah 0. Tetapi itu salah, Jika
kita ingat kembali grafik y = cos x, kita sadari bahwa cos x mendekati 1 untuk x mendekati 0. Jadi
nilai limit fungsi trigonometri dapat dilihat pada tabel 1.3 berikut ini:
x ±1 ±0,5 ±0,1 ±0,01 → 0







000
.
10
cos
2 x
x 0,99995 0,24991 0,009990 0,000000005 ... ?
Kesimpulan yang diperoleh bahwa :
...
.....
....
lim
....
lim
000
.
10
cos
lim
0
2
0
2
0












 x
x
x
x
x
Perhatikan contoh berikut ini yang mengetengahkan pertanyaan rumit tentang limit. Anda
di minta menentukan penyelesaian limit fungsi trigonometri dengan menentukan nilai-nilai x yang
mendekati 0 (gunakan kalkulator.
3) Cari ...
1
sin
lim
0







 x
x
Penyelesaian :
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

Dengan mengkuti prosedur sebelumnya , kita susun tabel untuk menghitung nilai )
1
sin(
x
pada
semua nilai x pada tabel 1.4 yang diperlihatkanberikut ini:
X

2

2
2

3
2

4
2

5
2

6
2

7
2

8
2
→ 0






x
1
sin 1 0 -1 0 ... ... ... ... ... ?
Berdasarkan tabel menunjukan bahwa nilai selalu berulang antara -1 dan 1 banyak sekali secara
tak berhingga. Jelas 





x
1
sin tidak berada dekat suatu bilangan unik L bilamana x mendekati 0.
Kesimpulannya 






 x
x
1
sin
lim
0
....
D. Menyelesaikan Limit Fungsi Trigonometri
Perhatikan contoh limit-linit fungsi yang telah dipelajari sebelumnya :
...
sin
lim
0

 x
x
x
...
000
.
10
cos
lim 2
0









x
x
x
...
1
sin
lim
0







 x
x
Limit diatas dapat ditulis sebagai )
(
lim x
f
a
x
dengan f(x) adalah fungsi-fungsi yang memuat
perbandingan trigonometri. Bentuk limit fungsi semacam itu disebut limit fungsi trigonometri.
Dalam beberapa kasus pada prinsipnya sama seperti cara menentukan limit fungsi aljabar.
Pertama anda menyelesaikan soal limit tersebut dengan cara substitusi langsung, jika hasil yang
diperoleh bukan bentuk tak tentu
0
0
, hasil tersebut merupakan nilai limit yang dicari. Jika hasilnya
bentuk taktentu
0
0
, anda dapat menggunakan rumus-rumus trigonometri yang telah anda kenal,
baik pada pembilang maupun penyebut untuk menyederhanakannya. Dengan demikia, pembilang
dan penyebut tersebut tidak lagi melibatkan Fungsi trigonometri yang menyebabkan bentuk
0
0
.
1) Rumus Dasar Limit Fungsi Trigonometri
Pada pembahasan limit fungsi trigonometri dapat diselesaikan menggunakan rumus dasar
limit fungsi trigonometri dibawah ini:
1
sin
lim
sin
lim
0
0



 x
x
x
x
x
x
1
tan
lim
tan
lim
0
0



 x
x
x
x
x
x
 Berikut ini pembuktian rumus 1
sin
lim
sin
lim
0
0



 x
x
x
x
x
x
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

Pada gambar 1.8 di perlihatkan lingkaran berpusat o dan jari-jari (r) = 1 satuan dengan
besar sudut AOP = x radian. Jika besar sudut x mendekati nol, maka titik P (cos x, sin x) akan
mendekati A (1,0). Dalam keadaan demikian diperoleh hubungan :
1
cos
lim
0


x
x
dan 0
sin
lim
0


x
x
Perhatikan garis PB tegak lurus sumbu x dan menyinggung busur lingkaran kecil BC di titik
B. Jadi jelas bahwa : Luas sektor OBC ≤ Luas Δ OBP ≤ Luas sektor OAP
Berdasarkan rumus luas :
Luas sektor OBC = ½. (OB)2
. X = ½. Cos2
x. x
Luas Δ OBP = ½. OB.PB = ½. Cosx. sin x
Luas sektor OAP = ½. (OA)2
. X = ½. (1)2
. X= ½ x
Dengan demikian diperoleh hubungan
½. Cos2
x. x ≤ ½. Cosx. sin x ≤ ½ x (masing-masing dikalikan
x
x cos
.
2
) diperoleh
x
cos ≤
x
x
sin
≤
x
cos
1
: untuk x mendekati nol, hubungan menjadi:
1
sin
lim
1
0


 x
x
x
atau 1
sin
lim
1
0


 x
x
x
Pertidaksamaan terakhir ini menunjukan bahwa: 1
sin
lim
sin
lim
0
0



 x
x
x
x
x
x
Kegiatan 1.3
Menemukan rumus umum limit fungsi trigonometri dengan cara mandiri
Untuk menyelesaikan soal limit fungsi trigonometri diperlukan rumus-rumus sebagai berikut:
 1
tan
lim
tan
lim
0
0



 x
x
x
x
x
x
Bukti:
...
)
(....)(...
...
sin
lim
........
1
lim
cos
sin
lim
tan
lim
0
0
0
0








x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

b
a
bx
ax
bx
ax
x
x




sin
lim
sin
lim
0
0
atau
b
a
bx
ax
bx
ax
x
x




tan
lim
tan
lim
0
0
Bukti :
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

....
....
lim
....
....
lim
....
....
lim
....
....
....
....
sin
lim
sin
lim
0
0
0
0
0 






x
x
x
x
x
x
x
x
x
bx
ax
bx
ax
...
...
...
...
....
sin
lim
0



x
x
bx
bx
x
Bukti :
....
....
lim
....
....
lim
....
....
lim
....
....
....
....
tan
lim
tan
lim
0
0
0
0
0 






x
x
x
x
x
x
x
x
x
bx
ax
bx
ax
...
...
...
...
tan
lim
0



x
x
bx
ax
x

b
a
bx
ax
bx
ax
x
x



 sin
tan
lim
tan
sin
lim
0
0
Bukti :
....
....
lim
....
....
lim
....
....
lim
....
....
....
....
tan
sin
lim
tan
sin
lim
0
0
0
0
0 






x
x
x
x
x
x
x
x
x
bx
ax
bx
ax
...
...
...
...
tan
sin
lim
0



x
x
bx
ax
x
2) Metode substitusi langsung dan Pemfaktoran
Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini:
1. 1
(....)
....
cos
sin
lim 






x
x
x
2. ...
....
....
(....)
2
....
1
2
cos
2
cos
1
cos
2
2
cos
1
lim
2










 x
x
x
3. ...
....
....
....
....
...
0
cos
0
sin
0
sin
lim
cos
sin
sin
lim
0
0






 
 x
x x
x
x
4. ...
....
....
lim
......
...
lim
)
1
...)(
(.........
)
1
sin(
...)
(.........
lim
3
4
)
1
sin(
)
3
2
(
lim
1
1
1
2
1
















 x
x
x
x x
x
x
x
x
x
5.
......
...
lim
......)
)(........
2
(
...
lim
4
4
)
2
cos(
1
lim
2
2
2
2 












x
x
x x
x
x
x
3) Metode Menyederhanakan
Kegiatan 1.4
Menentukan Limit trigonometri dengan cara Menyederhanakan Secara Mandiri
1)Tentukan Limit :
2
1
cos
sin
1
lim 2
2



 x
x
x
Langkah 1 :
Substitusi 2


x , diperoleh
...
...
...)
(cos
...
1
...
cos
...
sin
1
lim 2
2
2






x
Karena hasil
0
0
(Bukan penyelesaian)
Langkah 2 :
Anda harus merubah penyebut x
2
cos
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

Bentuk ........)
)(........
sin
1
(
cos2
x
x 
 dengan demikian :








 .......)
)(........
sin
1
(
...
sin
1
lim
.
cos
sin
1
lim
2
2
2
x
x
x
x
x
x
Langkah 3 :
Menyederhakan faktor penyebut 0 pada pembilang dan penyebut
...
...
lim
.
cos
sin
1
lim
2
2
2






x
x x
x
Langkah 4 :
Mensubstitusi x = µ/2 ke fungsi yang tersisa
2
1
...
...
.
cos
sin
1
lim 2
2




 x
x
x
2) Tentukan Limit : ...
3
sin
2
cos
1
lim
0


 x
x
x
x
Jika kita substitusikan x = 0 diperoleh bentuk 0/0. Maka perlu mengubahnya lewat identitas
trigonometri.










 ...
2
1
sin
2
1
cos
1
lim
...
)
2
1
sin
2
1
(cos
1
lim
3
sin
2
cos
1
lim
2
2
0
2
2
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
...
...
lim
...
2
1
sin
2
1
sin
lim
0
2
2
0 



x
x
x
x
=
...
...
lim
)
3
)(
3
).(sin
2
1
).(
2
1
.(
2
3
).
2
1
).(sin
2
1
)(
2
1
).(sin
2
1
.(
2
lim
0
0 


x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
...
...
lim
)
3
)(
3
).(sin
2
1
).(
2
1
.(
2
3
).
2
1
).(sin
2
1
)(
2
1
).(sin
2
1
.(
2
lim
0
0 


x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
12
1
6
1
.
1
.
1
.
1
.
2
1

Untuk lebih memahami konsep menyederhanakan limit trigonometri perhatikan soal dibawah ini :
Contoh Metode Menyederhanakan
 







 3
2
0
3
0
3
0 16
)
4
sin
2
(
2
tan
lim
16
....)
.....
(.........
2
tan
lim
16
2
tan
8
cos
2
tan
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4
)
....
....
)(
(...)(....
)
8
...
)(
2
...
)(
2
(
lim 2
0




 x
x
x
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net


4
1
cos
4
1
lim
........
..........
..........
.......
..........
lim
)
cos
sin
2
(
sin
lim
.........
..........
.........
..........
lim
)
2
sin
2
1
(
1
)
sin
2
1
(
1
lim
4
cos
1
2
cos
1
lim
2
0
0
2
2
0
0
2
2
0
0


















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 1
)]
2
(
[
)]
2
(
sin[
lim
2
)
2
sin(
lim
2
cos
lim
2
2
2














 





x
x
x
x
x
x
x
x
x

4
1
)
1
.(
2
2
1
2
)
2
sin(
2
1
lim
)
2
sin(
lim
2
2
2









 x
x
x
x
x
x
x
2
2tan
1 tan
tan2 a
a
a


Uji Kompetensi 1.1
Sederhanakanlah dan selesaikanlah limit-limit dibawah ini:
1) 
 x
x
x 2
6
sin
lim
0
8) 
 x
x
x 5
2
tan
lim
0
2) 
 x
x
x 3
4
tan
lim
0
9) 
 x
x
x 5
2
tan
lim
0
...
3) ...
tan
.
3
tan
.
2
tan
lim
0

 x
x
x
x
x
10) ...
3
tan
2
sin
lim 2
2
0

 x
x
x
4) 






)
4
(
)
4
sin(
lim
4 x
x
x
... 11) ...
3
2
)
1
sin(
).
1
3
(
lim 2
1





 x
x
x
x
x
5) 







)
3
(
)
3
sin(
lim
3 x
x
x
... 12) 




)
3
cos(
lim
2
x
x
...
6) 




)
2
sin(
lim
2
x
x
... 13) 




)
4
(
sin
lim 2
2
x
x
7) 



 2
3
6
sin
)
1
(
lim 3
2
0 x
x
x
x
x
... 14) 





)
3
3
)
3
sin(
lim
3 x
x
x
x
Uji Kompetensi 1.2
1. )
1
...(
2
tan
2
1
sin
lim
0

 x
x
x
x
x
2. 

 2
0
)
1
2
(cos
lim
x
x
x
... sifat identitas [‒ 2 sin2
a]
cos 2a = cos
2
a ‒ sin
2
a
cos 2a = 2 cos
2
a ‒ 1
cos 2a = 1 ‒ 2 sin
2
a
Sudut rangkap
Kesamaan setengah sudut
2
cos
1
)
2
sin(
x
x 


2
cos
1
)
2
cos(
x
x 


R
n
x
n
nx 
),
2
(
sin
2
1
cos 2


Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

3. ..
3
sin
2
cos
1
lim
0


 x
x
x
x
x
x
x
2
1
sin
2
1
cos
cos 2
2


4. )
8
1
.......(
2
tan
cos
1
lim 2
0


 x
x
x
5. )
4
...(
2
tan
1
4
cos
lim
0



 x
x
x
x
TUGAS MANDIRI TERSTRUKTUR 1.1
1. 

 2
0
)
1
(cos
lim
x
x
x
... -(1/2)
Indentitas trigonometri
2. ...
)
5
cos
3
(cos
lim 2
0


 x
x
x
x
(8)
Rumus Penjumlahan dan Selisih Sinus dan cosinus
3. 3
0
sin
1
tan
1
lim
x
x
x
x




= .... (1/4) kalikan akar sekawan & menyederhanakan
4. )
2
...(
2
cos
2
sin
)
cos
3
(cos
lim
2


 x
x
x
x
x

5. ...
2
2
cos
3
sin
3
sin
lim 3
0


 x
x
x
x
x
TUGAS MANDIRI TIDAK TERSTRUKTUR 1.1
1. ...
3
cos
cos
4
lim
2
0



 x
x
x
x
x
(1/2) (SBMPTN2013)
a. Selisih Sinus dan cosinus dan menyederhanakan
2. 





)
1
(
2
1
cot
).
1
2
(
)
1
(
2
sin
lim
2
0
x
x
x
x
x
(1) (SIMAK UI)
Rumus Penjumlahan dan Selisih Sin dan cos
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

BAB 2
LIMIT KETAKHINGGAAN
FUNGSI ALJABAR DAN TRIGONOMETRI
Peta Konsep
Kata Kunci :
Limit Fungsi Ketakhinggaan, Limit bentuk ∞/∞ , Limit ∞-∞ dan Aplikasi Limit ∞
Limit Ketakhinggaan
Fungsi Aljabar &
Trigonometri
Bentuk




 )
(
)
(
lim
x
g
x
f
x
Bentuk







)
(
)
(
lim x
g
x
f
x
Aplikas
Limit Fungsi


x
lim Aljabar 

x
lim Trigonometri
Pengertian dan
Nilai Limit Ketakhinggaan
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

BAB 2
LIMIT KETAKHINGGAAN FUNGSI ALJABAR & TRIGONOMETRI
Tak hingga adalah
suatu nilai yang
demikian besar.
Saking besarnya nilai
tak hingga sehingga
bilangan apapun akan
dianggap kecil
dibandingkan dengan
nilai ∞. Untuk
memahami limit tak
hingga ini kita baca
dulu paradok filsuf
Zeno dan Elen tentang
perlombaan kelinci
dan kura-kura.
Seekor kelinci akan berlomba dengan seekor kura-kura dengan syarat pada detik pertama
jarak yang ditempuh 1/10 jarak sebelumnya. kelinci berlari dengan kelajuan 10m/s dan kura-kura
hanya 1 m/s. Oleh kura-kura lebih lambat diputuskan kura-kura start 10 m didepan anjing.
Pertanyaan yang muncul siapakah yang menjadi pemenang lomba tersebut?
Oleh karena kelinci berlari jauh lebih cepat daripada kura-kura, kelinci merasa akan dapat
menangkap kura-kura. Masalahnya, begitu kelinci telah menempuh jarak 10 m pertama dan tiba
ditempat kura-kura mula-mula berada, kura-kura telah maju 1 m, dan masih memimpin didepan
kelinci. Saat kelinci telah menempuh jarak 1 m, kura-kura telah maju lagi 0,1 m sehingga masih
tetap memimpin didepan.Demikian seterusnya, kelinci terus mendekat dan lebih mendekat dan
lebih mendekat ke kura-kura, tetapi tidak pernah berhasil menangkap kura-kura.
Kelinci kura-kura
kec 10 m/s kec 1 m/s
10 meter
Kita dapat menghitung total jarak yang ditempuh kelinci dari sebelah kiri dan kura-kura
dari sebelah kanan, dengan t menyatakan selang waktu (s) ketika kelinci berhasil menangkap kura-
kura sebagai berikut: (10 m/s) t = (1 m/s) t + 10 m
Penyelesaiannya adalah t =
9
11 m/s dimana kelinci telah berlari sejauh (10 m/s) )
9
10
( s = m
9
100
Teka-teki yang diajukan zeno cerita paradoksnya adalah bisa terjadi bahwa :
9
100
...
100
1
10
1
1
10 



 ................*)
Ruas kiri dari persamaan *) menyatkan penjumlahan bilangan-bilangan dengan karakteristik
tertentu tanpa batas, sedangkan ruas kanannya menyatakan hasil tertentu. Coba perhatikan ruas
kiri persamaan *) yaitu : ...
100
1
10
1
1
10 


 (deret geometri)
Kompetensi Dasar
Materi
Pembelajaran
Kegiatan Pembelajaran
3.2 Menjelaskan dan
menentukan
limit di
ketakhinggaan
fungsi aljabar
dan fungsi
trigonometri
4.2 Menyelesaikan
masalah
berkaitan dengan
eksistensi limit di
ketak-hinggaan
fungsi aljabar
dan fungsi
trigonometri
Limit
fungsi
trigonometri
 Mencermati pengertian yang
berkaitan dengan limit fungsi
trigonometri dan limit di
ketakhinggaan fungsi aljabar.
 Menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan limit di
ketakhinggaan fungsi trigonometri
dan fungsi aljabar.
 Menggunakan limit di
ketakhinggaan fungsi aljabar dan
fungsi trigonometri dalam
pemecahan masalah
 Menyajikan penyelesaian masalah
berkaitan dengan eksistensi limit di
ketak-hinggaan fungsi aljabar dan
fungsi trigonometri
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

U1 = 10 dan
10
1
1
2


U
U
r (banyak suku n tak hingga)
Sesuai dengan rumus deret geometri tak hingga :
...
100
1
10
1
1
10 


 =
10
1
1
)
10
1
1
(
1
lim










n
n
U
,
Sekarang bagaimana menghitung
...*)
9
1
11
9
100
10
1
1
)
10
1
1
(
1
lim 











n
n
U
A. Limit Fungsi Berbentuk )
(
lim x
f
x 

Kegiatan 2.1
Pengertian dan nilai limit fungsi ketakhinggaan
Pandanglah fungsi
)
1
(
)
( 2
x
x
x
f

 digambarkan grafikya secara agak cermat pada gambar 2.1.
Kita mengajukan pertanyaan ini: apa yang terjadi pada f (x) bila x menjadi semakin lama semakin
besar? Dalam lambang kita menanyakan nilai )
(
lim x
f
x 

Gambar 2.1
Bilamana kita menuliskan x →∞, kita tidak mengatakan bahwa pada suatu tempat jauh ke
arah kanan pada sumbu x, terdapat suatu bilangan lebih besar dari pada semua bilangan
lain yang didekati oleh x. Melainkan, kita menggunkan x →∞ sebagai cara singkat untuk
mengatakan bahwa x menjadi semakin besar tanpa batas.
Dalam tabel 2.1, kita telah mendaftarkan nilai-nilai
)
1
(
)
( 2
x
x
x
f

 untuk beberapa nilai x.
Kelihatan bahwa f(x) menjadi semakin kecil bilamana x menjadi semakin besar. Kita tuliskan
....
1
lim
)
(
lim 2






 x
x
x
f
x
x
Dari pengalaman dengan bilangan-bilangan negatif besar akan mengantarkan kita bahwa
....
1
lim
)
(
lim 2






 x
x
x
f
x
x
Tabel 2.1
X )
1
(
)
( 2
x
x
x
f


10 ...
100 ....
1000 .....
↓ ↓
∞ ....
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

Definisi Cermat Limit x → ± ∞, Dalam analogi dengan definisi ε, σ kita untuk limit-limit biasa,
kita membuat definisi berikut :
Gambar 2.1
(Limit bila x →∞). Andai f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. Kita katakan
bahwa L
x
f
x



)
(
lim jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat bilangan M yang berpadanan
sedemikian sehingga: 



 L
x
f
M
x )
(
(Limit bila x →-∞). Andai f terdefinisi pada [-∞, c) untuk suatu bilangan c. Kita katakan
bahwa L
x
f
x



)
(
lim jika untuk masing-masing ε > 0, terdapat bilangan M yang berpadanan
sedemikian sehingga: 



 L
x
f
M
x )
(
Jadi Jelas Jika k bilangan bulat positif, maka
0
1
lim
)
(
lim 




 k
x
x x
x
f 0
1
lim
)
(
lim 






 k
x
x x
x
f
B. Menyelesaikan Bentuk




 )
(
)
(
lim
x
g
x
f
x
Buktikan bahwa 0
1
lim 2



 x
x
x
Penyelesaian :
Di sini kita menggunakan trik baku yaitu dengan membagi pembilang dan penyebut dengan
pangkat tertinggi yang muncul di penyebut, yakni x2
0
1
0
0
1
lim
1
lim
1
lim
1
1
1
lim
1
lim
1
lim
2
2
2
2
2
2






















x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Kegiatan 2.2
Memahami dan mengetahui cara penyelesaian bentuk limit taktentu ∞/∞
Tentukan Limit : ...
2
8
5
2
4
lim 3
2
3






 x
x
x
x
x
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

Langkah 1 :
Tentukan pangkat tertinggi dari x yang terdapat pada fungsi pecahan polinomial tersebut.
Pangkat tertingginya adalah 3
x
Langkah 2 :
Kalikan baik pembilang sama penyebut dengan kebalikan pangkat tertinggi yaitu 3
1
x
..
..........
...
...
...
1
..
5
4
lim
....
..........
..........
..........
....
..........
..........
..........
lim
...
...
1
...
2
8
5
2
4
lim
3
3
2
3



















x
x
x
x
x
x
x
x
x
Langkah 3 :
Substitusikan nilai 

x , kemudian perhatikan bahwa setiap bentuk 0
1
lim 

 n
x x
untuk n
positif, sehingga akan diperoleh nilai limit yang dinyatakan :
2
1
...
...
0
...
...
...
...
4
lim 







x
Berdasarkan soal diatas Cari hubungan (kaitan) antara hasil limit yang diperoleh, yaitu
2
1
dengan suku-suku yang memiliki x dengan pangkat tertinggi pada pembilang dan penyebutnya.
...
...
lim
)
(
)
(
lim 




 m
m
n
n
x
x x
p
x
a
x
g
x
f
Uji Kompetensi 2.1
Carilah Nilai limit berikut atau tunjukan bahwa limit tersebut tidak ada bahwa dalam
pengertian tak-terhingga sekalipun.
1) ...
5
2
6
4
3
lim 2
2






 x
x
x
x
x
7) ...
5
sin
lim 2
2







2) ...
1
4
2
lim 3
2




 x
x
x
x
8) ...
sin
lim 


x
x
3) ...
1
2
3
6
4
lim 2
2
3






 x
x
x
x
x
9) ...
1
sin
lim 

 x
x
4) ...
2
2
3
lim 3
2
3




 x
x
x
x
x
10) ...
sin
lim 

 x
x
x
5) ...
1
2
lim 4
3




 x
x
x
x
11) ...
1
sin
lim 

 x
x
x
6) ...
1
2
lim 2
3
3
5





 x
x
x
x
x
12) ...
)
1
sin(
lim 


 x
x
x
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

Kegiatan 2.3
Menemukan cara singkat penyelesaian bentuk limit taktentu ∞/∞
Perhatikan Uji kompetensi 2.1 sebelumnya telah diperoleh penyelesaian masing-masing soal.
Daftarkan suku tertinggi pembilang f(x), suku tertinggi penyebutnya g(x), Untuk memahami dan
mengetahui cara penyelesaian bentuk limit taktentu ∞/∞
Soal untuk
Suku tertinggi
)
(
)
(
x
g
x
f
Hasil
limit
Pembila
ng f(x)
Penyeb
ut g(x)
1 x →∞ 2
3x 2
2x 2
2
2
3
x
x
2
3
2 x →-∞ ... ... ... ...
3 x →∞ ... ... ... ...
4 x →-∞ ... ... ... 0
5 x →∞ ... ... ... ...
6 x →-∞ ... 3
x ...
-∞
Perhatikan kolom diatas, perhatikan eksponen tertinggi pembilang f(x) maupun penyebut g(x).
Dari pengamatan tersebut bisakah anda menentukan cara singkat untuk menghitung:
...
...
lim
)
(
)
(
lim 1
1





 




 r
x
q
x
p
c
x
b
x
a
x
g
x
f
m
m
m
m
n
n
n
n
x
x
 Jika pangkat tertinggi n = m maka hasil limit =
...
...
 Jika pangkat tertinggi n > m maka hasil limit =
...
...
 Jika pangkat tertinggi n < m maka hasil limit =
...
...
Apa yang bisa anda simpulkan dari hubungan ketiganya tersebut:
................................................................................................................................................
............................................................................................................................................
Uji Kompetensi 2.2
Tentukan nilai limit dibawah ini:
1. 




4
3
lim
2
x
x
x
... (1) perhatikan √x2
= x,
Pada pembilang kita kalikan 3
1
x
sedangkan penyebut kita kalikan dengan
2
1
x
2.
...
4
lim
6
3




x
x
x
(-1) pangkat tertinggi 6
x = - x3
atau
6
3
1
1
x
x


Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

C. Menyelesaikan Bentuk limit 






)
(
)
(
lim x
g
x
f
x
Kegiatan 2.4
Memahami dan mengetahui cara penyelesaian limit taktentu 






)
(
)
(
lim x
g
x
f
x
Tentukan Limit : ...
7
3
1
5
(
lim 





x
x
x
Langkah 1 : Kalikan bentuk akar dengan bentuk kawannya
.
.......
..........
.......
..........
7
3
1
5
(
lim








x
x
x
x
Langkah 2 : lakukan operasi perkalian dan penjumlahan bentuk akar
7
3
1
5
6
2
lim
.......
..........
.......
lim
.......
..........
(.......)
(.....)
lim
.......
..........
)
..........
(
)
..........
(
lim
2
2





















x
x
x
x
x
x
x
Langkah 3 : lakukan operasi penyelesaian limit hanya bergantung pada suku yg dimiliki x
dengan pangkat tertinggi baik pembilang maupun penyebut



x
lim
.....
.....
2
7
3
1
5
6
2





 x
x
x
x



x
lim









 x
x
x
x
lim
...)
(...
2
lim
...)
(....
.....
2
...
Substitusikan x = ∞, sehingga diperoleh nilai limitnya, yaitu ∞
Uji Kompetensi 2.3
Tentukan nilai limit berikut ini :
1. )
4
5
...(
3
4
)
5
4
(
lim 2






x
x
x
x
2. ...
1
2
)
4
(
lim 





x
x
x
3.   )
2
1
...(
5
6
4
)
1
2
(
lim 2







x
x
x
x
4. ...
1
1
lim
2
2





x
x
x
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

Kegiatan 2.5
Menemukan cara singkat penyelesaian bentuk limit tanda akar
Diket: c
bx
ax
x
f 

 2
)
( , r
qx
px
x
g 

 2
)
( :
a. Jika a = p, tunjukan bahwa
a
q
b
x
g
x
f
x
2
)
(
)
(
lim





b. Jika a > p, tunjukan bahwa 




)
(
)
(
lim x
g
x
f
x
c. Jika a < p, tunjukan bahwa 




)
(
)
(
lim x
g
x
f
x
d. Jika a = p, b = q, tunjukan bahwa 0
)
(
)
(
lim 



x
g
x
f
x
Langkah Pembuktian tersebut gunakan seperti kegiatan 2. 4:
Langkah 1 : Kalikan bentuk akar dengan bentuk kawannya
Langkah 2 : lakukan operasi perkalian dan penjumlahan bentuk akar
Langkah 3 : lakukan operasi penyelesaian limit hanya bergantung pada suku yg dimiliki x dengan
pangkat tertinggi baik pembilang maupun penyebut
Tentukan Nilai Limit :
1. ...
2
lim 2





x
x
x
x
2.   )
3
5
...(
1
)
2
(
lim 3 3







x
x
x
Klu No 2 : ...
)
)(
( 3
3
2
2
b
a
b
ab
a
b
a 




  
b
x
a
x 


 )
1
(
,
,
)
2
(
3 3
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

D. Aplikas Limit Fungsi



x
x
f lim
)
(
1. Limit Aljabar
Jumlah penduduk di sebuah desa diperkirakan t tahun dari sekarang akan menjadi :
2
)
2
(
000
.
10
000
.
20



t
N
Berapakah jumlah penduduk kota tersebut dalam jangka waktu yang sangat panjang
dimasa depan? (t →∞),Maka:
orang
t
t
N
t
t
t
000
.
20
0
000
.
20
)
2
(
000
.
10
lim
000
.
20
)
2
(
000
.
10
000
.
20
lim
lim 2
2















2. Limit Trigonometri
Perpindahan sebuah partikel pada saat t detik diberikan oleh s = 10 sin 2t dengan s
adalah jarak yg dinyatakan dalam m. Tentukan kecepatan partikel pada saat
det
6


t
Kec = v(t) =
t
t
s
t
t
s
t
s
t
t 












)
(
)
(
lim
lim
 
B
A
B
A
B
A 



2
1
sin
)
(
2
1
cos
.
2
sin
sin
Jadi :
det
/
10
)
2
1
(
20
60
cos
.
20
)
6
(
2
cos
20
2
cos
20
1
).
0
2
cos(
20
sin
.
lim
).
2
cos(
20
lim
sin
).
2
cos(
20
lim
lim
m
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
s
t
t
t
t


































Kegiatan 2.6
Memahami dan mengetahui Aplikasi Limit fungsi



x
x
f lim
)
(
1. Hubungan antara inang dan jumlah parasit adalah sebagai berikut. Jumlah parasit
untuk kerapatan inang(jumlah inang persatuan luas) x pada satu periode waktu
tertentu bisa dinyatakan oleh :
x
x
y
45
10
900

 Jika kerapatan inang terus meningkat
tanpa batas?
...
...
...
...
...
...
...
lim
...
10
lim
...
...
lim
...
45
10
...
.
900
lim
45
10
900
lim
lim 




















x
x
x
x
x
x x
x
x
x
y
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

2. Jumlah senyawa baru terbentuk mengikuti fungsi ,
2
)
( 2
t
t
t
t
f 

 f(t)jumlah
senyawa dalam miligram dan t menyatakan waktu dalam detik. Tentukan jumlah
senyawa yang terbentuk jika terus menerus?
Penyelesaian
TUGAS MANDIRI TAK TERSTRUKTUR 2.2
1. Bagaimana juga perpindahan partikel s(t) = 5.cos 2t, tentukan kec partikel pada
saat t =1/6 µ dan t =µ
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

BAB 3
ASIMTOT FUNGSI ALJABAR
DAN TRIGONOMETRI
Peta Konsep
Kata Kunci :
Definisi Asimtot, Asimtot datar dan asimtot tegak
Asimtot
Fungsi Aljabar dan
Trigonometri
DEFINISI ASIMTOT FUNGSI
MENENTUKAN
ASIMTOT
FUNGSI
ASIMTOT FUNGSI TEGAK ASIMTOT FUNGSI
MENDATAR
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

BAB 3
ASIMTOT FUNGSI ALJABAR DAN TRIGONOMETRI
Bagaimana
menentukan
limit-limit Tak
terhingga dari
fungsi bentuk
2
1
lim
2 
 x
x
?
A. DEFINISI ASIMTOT FUNGSI
Kegiatan 3.1
Definisi Asimtot secara geometri
Misalkan fungsi f ditentukan dengan rumus
2
1
)
(


x
x
f dan daerah asalnya
adalah R
x
x
Df 
,
{
 dan }
0

x .
Coba perhatikan tabel yang menyatakan hubungan x dan
2
1

x
Tabel 3.1 berikut ini.
...
2
1
lim
)
(
lim
2


 


 x
x
f
x
c
x
X ... ... ... ... ...
2
1

x
... ... ... ... ...
...
2
1
lim
)
(
lim
2


 


 x
x
f
x
c
x
X ... ... ... ... ...
2
1

x
... ... ... ... ...
Berdasarkan Tabel diatas tanpa bahwa adalah tidak masuk akal untuk menanyakan limit
...
2
1
lim
2


 x
x
, tetapi kita pikirkan adalah beralasan bila kita menulis



 


 2
1
lim
)
(
lim
2 x
x
f
x
c
x



 


 2
1
lim
)
(
lim
2 x
x
f
x
c
x
3.3 Menjelaskan
asimtot (datar
dan tegak)
kurva fungsi
aljabar dan
fungsi
trigonometri
4.3 Menyelesaikan
masalah yang
berkaitan
dengan
asimtot (datar
dan tegak)
fungsi aljabar
dan fungsi
trigonometri
 Asimtot
(datar dan
tegak) kurva
fungsi aljabar
 Asimtot
(datar dan
tegak) kurva
fungsi
trigonometri
 Mencermati gambar yang berkaitan
dengan limit fungsi trigonometri dan
limit fungsi aljabar menuju tak hingga
secara geometri.
 Mengilustrasikan dengan gambar
konsep limit fungsi trigonometri dan
limit di ketakhinggaan fungsi aljabar
secara geometri
berkaitan dengan asimtot kurva
fungsi aljabar dan fungsi trigonometri
 Menyajikan penyelesaian masalah
yang berkaitan dengan asimtot kurva
fungsi aljabar dan fungsi trigonometri
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

Berikut ini grafik fungsi
2
1
lim
2 
 x
x
, dapat ditunjukan :
Gambar 3.1
Berikut adalah definisi yang berkaitan dengan situasi ini.
Definisi
(Limit tak terhingga). Kita katakan bahwa 

)
(x
f jika untuk tiap bilangan positif M,
berpandangan suatu 0

 sedemikian sehingga M
x
f
c
x 



 )
(
0 
Terdapat definisi-definisi yang berpadanan dari




)
(
lim x
f
c
x




)
(
lim x
f
c
x




)
(
lim x
f
c
x
............(*)
Secara umum limit fungsi f(x) untuk x mendekati ∞ dapat didefinisikan dengan menggunakan
bilangan positif  dan M sebagai berikut.
Definisi
Misal fungsi f terdefinisi dalam daerah asal 
f
D [ a, ∞)
Fungsi f(x) mempunyai 


)
(
lim x
f
x
L jika dan hanya jika untuk setiap bilangan  positif
didapatbilangan positif M, demikian sehingga jika x > M maka 
 L
x
f )
(
Jika 


)
(
lim x
f
x
L atau 


)
(
lim x
f
x
L, maka garis mendatar dengan persamaan y = L
dinamakan sebagai asimtot datar bagi fungsi y = f(x)
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

Seperti halnya dalam )
(
lim x
f
c
x
yang dapat menjadi besar tnpa batas ∞ atau menjadi kecil
tanpa batas -∞



)
(
lim x
f
c
x
atau 


)
(
lim x
f
c
x
............(**)
Jadi kaitan terhadap asimtot secara ringkas , jika garis y = L atau x = c adalah asimtot
tegak/datar dari grafik y = f(x) jika salah satu pernyataan-pernyataan berikut benar.




)
(
lim x
f
c
x




)
(
lim x
f
c
x




)
(
lim x
f
c
x




)
(
lim x
f
c
x
B. MENENTUKAN ASIMTOT FUNGSI
Kegiatan 3.2
Memahami dan mengetahui grafik asimtot
1. Tentukan nilai limit berikut ini :
Diketahui fungsi 2
1
)
(
x
x
f  , dengan daerah asal R
x
x
Df 
,
{
 dan }
0

x .
Hitunglah :
a. )
(
lim
0
x
f
x 

dan )
(
lim
0
x
f
x 

2
1
)
(
x
x
f 
... ... ... ... ... ...
a. )
(
lim
0
x
f
x 

... ... ... ... ... ...
2
1
)
(
x
x
f 
... ... ... ... ... ...
b. )
(
lim
0
x
f
x 

... ... ... ... ... ...
b. Apakah )
(
lim
0
x
f
x
ada? Jika ada tentukan nilai )
(
lim
0
x
f
x
2
1
)
(
x
x
f 
... ... ... ... ... ... ... ... ...
2
1
)
(
x
x
f 
c. )
(
lim
0
x
f
x 

... ... ... ... ... ... ... ... ...
d. )
(
lim
0
x
f
x 

Jadi Grafik fungsi
)
(
lim
0
x
f
x
= ...
x
y
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

2. Cari nilai limit menggunakan konsep 2
1 )
1
(
1
lim


 x
x
dan 2
1 )
1
(
1
lim


 x
x
Penyelesaian :
Sama konsepnya seperti diatas maka diperoleh
...
)
1
(
1
lim 2
1



 x
x
dan ...
)
1
(
1
lim 2
1



 x
x
Karena kedua limit adalah ∞, kita dapat menuliskan : ...
)
1
(
1
lim 2
1


 x
x
Grafik fungsiya :
Jadi garis x = 1 adalah asimtot tegak, sementara garis y = 0 adalah asimtot datar
3. Carilah asimtot – asimtot tegak dan datar dari grafik
)
1
(
2
)
(


x
x
x
f
Penyelesaian :
Kita harapkan sebuah asimtot tegak pada titik yang penyebutnya nol, dan kita
benar karena




 )
1
(
2
lim
1 x
x
x
dan 



 )
1
(
2
lim
1 x
x
x
, sebaliknya
...
...
...
...
...
1
...
...
2
lim
)
1
(
2
lim 




 


 x
x
x
x
x
x
dan 2
...
...
...
...
1
...
...
2
lim
)
1
(
2
lim 




 


 x
x
x
x
x
x
Sehingga :
f(x) = y = .... merupakan asimtot .........
x = 1 merupakan asimtot ........
Grafik fungsinya :
y
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

Uji Kompetensi 3.1
1. Diketahui fungsi
2
3
)
(



x
x
x
f , dengan daerah asal R
x
x
Df 
,
{
 dan }
2

x .
Hitunglah :
a. )
(
lim
2
x
f
x 

dan )
(
lim
2
x
f
x 

b. Apakah )
(
lim
0
x
f
x
ada? Jika ada tentukan nilai )
(
lim
0
x
f
x
2. Dengan menganalisis grafik, tunjukan bahwa:
a. 




)
1
2
(
lim x
x
dan 




)
1
2
(
lim x
x
c. 




)
2
4
(
lim x
x
dan 




)
1
4
(
lim x
x
b. 




)
1
(
lim 2
x
x
dan 




)
1
(
lim 2
x
x
d. 




)
4
(
lim 2
x
x
dan 




)
4
(
lim 2
x
x
3.
x
x
x sin
cos
1
lim
0



TUGAS MANDIRI BERSTRUKTUR 3.1
Tentukan nilai limit berikut ini menggunakan alat bantu :
3
)
3
cos(
lim
3 


 x
x
x
dan
2
cos
lim
2




 x
x
x
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

BAB 4
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Peta Konsep
Kata Kunci :
Definisi Turunan Trigonometri, Sifat-sifat, Aturan Rantai, Fungsi Implisit, Persamaan
Parameter, Aplikasi turunan
Turunan
Trigonometri
Definisi
Turunan
Sifat -Sifat
Turunan
Menyelesaikan
Turunan
Fungsi
Implisit
Persamaan
Parameter
Aplikasi
Turunan
Fungsi
Trigonometri
Laju
Perubahan
Fungsi
Trigonometri
Kecepatan &
Percepatan
Fungsi
Trigonometri
Aturan
Rantai
Kecepatan
Sudut
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

BAB 4
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Dalam buku matematika
sebelumnya, kita telah
mempelajari beberapa fungsi
trigonometri, yaitu
fungsi sinus f(x) = sin x,
fungsi cosinus f(x) =cos x,
fungsi tangen f(x) = tan x.
Selanjutnya berdasarkan pengamatan menunjukan bahwa limit fungsi trigonometri memiliki nilai.
Untuk itu pada pokok bahasan ini kita membuktikan apakah turunan fungsi aljabar menghasilkan
fungsi aljabar pula. Begitu pula halnya dengan turunan fungsi trigonometri ternyata hasilnya juga
merupakan fungsi trigonometri seperti pada pembahasan berikut.
Uji Kompetensi Awal
Tentukan turunan dari fungsi berikut : f(x) = 2x2
&
x
x
f
1
)
( 
A. Definisi Turunan :
h
x
f
h
x
f
x
f
h
)
(
)
(
lim
)
(
'
0




Kegiatan 4.1
Menemukan konsep rumus turunan fungsi trigonometri
1. Turunan dari f ( x ) = sin x
Menentukan turunan dari f(x) = sin x, anda harus mengingat kembali identitas trigonometri sudut
rangkap dan limit fungsi trigonometri (hal 19), yaitu : sin (x+y) = sin x cos y + cos x sin y
0
cos
1
lim
0


 x
x
x
dan 1
sin
lim
0

 x
x
x
Langkah 1 :
Tentukan dulu f (x+h), kemudian tuliskan f(x). Terakhir, kurangkan kedua persamaan tersebut
untuk mendapatkan f(x+h) – f(x)
f(x+h) = sin ( x + h) = ...
f(x) = sin x
Langkah 2 :
Hitunglah f’(x) =...
3.4 Menjelaskan
turunan fungsi
trigonometri
4.4 Menyelesaikan
masalah yang
berkaitan
dengan
turunan fungsi
trigonometri
 Turunan
fungsi
trigonometri
 Mencermati konsep turunan
fungsi trigonometri dan sifat-
sifatnya.
 Menentukan turunan fungsi
trigonometri dengan
menggunakan sifat-sifatnya
berkaitan dengan turunan
fungsi trigonometri
 Menyajikan penyelesaian
masalah yang berkaitan
dengan turunan fungsi
trigonometri
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

h
h
x
f
h
x
f
x
f
h
h
...
lim
)
(
)
(
lim
)
(
'
0
0 





h
x
x
x
x
f
h
sinh
cos
sin
cosh
.
sin
lim
)
(
'
0




 h
x
x
h
sinh
cos
cosh)
1
(
sin
lim
0























 


 ...
...
cos
...
...
...
sin
lim
0
x
x
h
kemudian, keluarkan faktor yang tidak mengandung unsur h dari limit, yaitu sin x dan cos x.












 



 ...
...
lim
.
cos
...
...
...
lim
.
sin
)
(
'
0
0 h
h
x
x
x
f
oleh karena, 0
cosh
1
lim
0


 h
h
dan 1
sinh
lim
0

 h
h
Maka f ‘ (x) = cos x,
Jadi turunan dari f(x) = sin x adalah f ‘ (x) = cos x,
2. Turunan dari f ( x ) = cos x
Menentukan turunan dari f(x) = cos x, anda harus mengingat kembali identitas trigonometri sudut
rangkap dan limit fungsi trigonometri (hal 19), yaitu : cos (x+y) = cos x cos y + sin x sin y
0
cos
1
lim
0


 x
x
x
dan 1
sin
lim
0

 x
x
x
Langkah 1 :
f(x+h) = cos ( x + h) = ...
f(x) = cos x
Langkah 2 :
Hitunglah f’(x)
h
h
x
f
h
x
f
x
f
h
h
...
lim
)
(
)
(
lim
)
(
'
0
0 





h
x
f
h
......
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
lim
)
(
'
0


h
h
......
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
lim
0




















 


 ...
...
sin
...
...
...
cos
lim
0
x
x
h
kemudian, keluarkan faktor yang tidak mengandung unsur h dari limit, yaitu sin x dan cos x.
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net













 



 ...
...
lim
.
sin
...
...
...
lim
.
cos
)
(
'
0
0 h
h
x
x
x
f
oleh karena, 0
cosh
1
lim
0


 h
h
dan 1
sinh
lim
0

 h
h
Maka f ‘ (x) = -sin x,
Jadi turunan dari f(x) = cos x adalah f ‘ (x) = -sin x,
3. Turunan dari f ( x ) = tan x
Menentukan turunan dari f(x) = tan x, anda harus mengingat kembali identitas trigonometri sudut
rangkap dan limit fungsi trigonometri (hal 19), yaitu :
y
x
y
x
x
tan
tan
1
tan
tan
tan


 dan 1
tanh
lim
0

 h
x
Langkah 1 :
f(x+h) = tan ( x + h) = ...
f(x) = tan x
Langkah 2 :
Hitunglah f’(x)
h
h
x
f
h
x
f
x
f
h
h
...
lim
)
(
)
(
lim
)
(
'
0
0 





...
......
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
lim
)
(
'
0


h
x
f
tanh)
.
tan
1
(
)
tan
1
tanh(
lim
2
0 x
h
x
h 



tanh)
.
tan
1
(
1
lim
).
tan
1
(
lim
.
tanh
lim
0
2
0
0 x
x
h h
h
h 





Oleh karena
1
tanh
lim
0

 h
h
, ↔ )
tan
1
(
lim 2
0
x
h


= (1 + tan2
x) dan
tanh)
.
tan
1
(
1
lim
0 x
h 

=1
Maka f ‘ (x) = 1 + tan2x = sec2 x
Jadi turunan dari f(x) = tan x adalah f ‘ (x) = 1 + tan2x = sec2 x
Buktikan turunan sebagai berikut ini :
 y = cot x → y’ = -coses2
x dan
 y = sec x → y’= sec x. tan x
 y = coses x → y’= - cosec x. cot x
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

B. SIFAT-SIFAT TURUNAN
)
(
).
(
)
( x
v
x
u
x
f  → )
(
'
).
(
)
(
).
(
'
)
(
' x
v
x
u
x
v
x
u
x
f 

)
(
)
(
)
(
x
v
x
u
x
f  → 2
)
(
)
(
'
).
(
)
(
).
(
'
)
(
'
x
v
x
v
x
u
x
v
x
u
x
f


Kegiatan 4.2
Penggunaan Sifat-sifat Turunan dalam menyelesaikan persamaan Trigonometri
Tentukan turunan sebagai berikut ini (menggunakan sifat2):
1. f(x) = x2
.sin x → f(x)’ = (x2
cos x + 2x sin x)
2.
x
x
x
f
cos
1
cos
)
(

 →
x
x
f
2
sin
1
1
)
(
'



3.
x
x
x
f
cot
2
)
(  → x
x
x
x
x
x
x
x
x
f 


 sin
.
(cos
sin
sin
sin
.
cos
)
(
' 2
3
)
Penyelesaian
1) f(x) = x2
.sin x → )
(
).
(
)
( x
v
x
u
x
f 
...
..........
..........
)
( 
x
u → ...
..........
..........
)
(
' 
x
u
...
..........
..........
)
( 
x
v → ...
..........
..........
)
(
' 
x
v
)
(
'
).
(
)
(
).
(
'
)
(
' x
v
x
u
x
v
x
u
x
f 

......)
..........
.......)(.
(.........
.......)
..........
........)(
(.........
)
(
' 

x
f
..
..........
..........
..........
..........
...
..........
..........
..........
..........
)
(
' 

x
f
...
..........
..........
..........
..........
)
(
' 
x
f
2)
x
x
x
x
f
cos
sin
cos
)
(


...
..........
..........
)
( 
x
u → ...
..........
..........
)
(
' 
x
u
...
..........
..........
)
( 
x
v → ...
..........
..........
)
(
' 
x
v
.........)
(.........
........)
(.......)(
..)
..........
(.......)(
)
(
)
(
'
).
(
)
(
).
(
'
)
(
' 2




x
v
x
v
x
u
x
v
x
u
x
f
..........
..........
.......
..........
..........
..........
..........
)
(.........
.......
..........
..........
..........
..........
2

 =


........
..........
..........
.......
..........
..........
..........
..........
.........
3)
x
x
x
f
cot
2
)
( 
...
..........
..........
)
( 
x
u → ...
..........
..........
)
(
' 
x
u
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

...
..........
..........
)
( 
x
v → ...
..........
..........
)
(
' 
x
v
.........)
(.........
........)
(.......)(
..)
..........
(.......)(
)
(
)
(
'
).
(
)
(
).
(
'
)
(
' 2




x
v
x
v
x
u
x
v
x
u
x
f
..........
..........
.......
..........
..........
..........
..........
)
(.........
.......
..........
..........
..........
..........
2

 =


........
..........
..........
.......
..........
..........
..........
..........
.........
Buktikan turunan sebagai berikut ini :
x
x
x
f
tan
1
sec
)
(

 →
x
x
x
x
x
f
cos
sin
2
1
cos
sin
)
(
'



C. TURUNAN BALIKAN TRIGONOMETRI
1
1
;
1
1
)
(
'
sin
)
(
2
1






 
x
x
x
f
x
x
f 2
1
1
1
)
(
'
tan
)
(
x
x
f
x
x
f



 
1
1
;
1
1
)
(
'
cos
)
(
2
1







 
x
x
x
f
x
x
f 1
;
1
1
)
(
'
sec
)
(
2
1




 
x
x
x
x
f
x
x
f
Pembuktian : 1
1
;
1
1
)
(
'
sin
)
(
2
1






 
x
x
x
f
x
x
f
Bukti :
Sekarang kita diferensialkan kedua ruas menurut x, dengan menggunakan aturan rantai pada ruas
kanan maka : )
(sin
)
cos(sin
.
cos
1 1
1
x
D
x
y
D
y x
x




)
(sin
1
1 1
2
x
D
x x



Pada langkah terahir, kita menggunakan kesamaan pada segitiga :
2
1
1
)
sin(cos
) x
x
i 

 2
1
1
)
sec(tan
) x
x
iii 


2
1
1
)
cos(sin
) x
x
ii 


1
)
tan(sec
) 2
1




x
x
iv
Kita simpulkan bahwa 1
1
;
1
1
)
(
'
sin
)
(
2
1






 
x
x
x
f
x
x
f
Contoh : ...
)
(
'
),
1
3
(
sin
)
( 1


 
x
f
x
x
f (gunakan aturan rantai)
x
x
x
D
x
x
f x
6
9
3
)
1
3
(
)
1
3
(
1
1
)
(
'
2
2







Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

D. MENYELESAIKAN DAN MENYAJIKAN PERMASALAHAN BERKAITAN DENGAN TURUNAN
FUNGSI TRIGONOMETRI
1. Teorema Aturan Rantai
Jika fungsi y = (fog)(x) = f (g(x) = f (u) dan u = g(x), maka turunan fungsi (fog)(x)tersebut =
(fog)’(x) = f’(g(x). g’(x) atau
dx
du
du
dy
dx
dy
.

Kegiatan 4.3
Menggunakan konsep sifat-sifat dan aturan rantai fungsi trigonometri
Carilah turunan dibawah ini menggunakan sifat-sifat aturan rantai:
1) F(x) = cos (x2
– 5x) → f’(x) = - (2x – 5) sin (x2
- 5x)
Dik : y = f(x) = cos(x2
-5x)
Langkah 1 :
Pemisalan u = x2
– 5x sehingga y = cos u,
Maka du = 2x dan dy = -sin u
Langkah 2 : Substitusi ke rumus aturan rantai ↔
dx
du
du
dy
dx
dy
.

=
dx
d
du
u
d ....)
(.........
.
)
cos
(.
= )
5
2
).(
sin
( 
 x
U .......
..........
..........
)
5
2
).(
5
sin(
( 2




 x
x
x
2) F(X) = sin 4
(5x) → f’(x) = - 20 sin3
(5x).cos(5x)
Dik : y = f(x) = cos(x2
-5x)
Langkah 1 :
Pemisalan
v = 5x , u = sin v, dan y = u4
Maka dy = 4u3
du, du = cos v dv , dan dv = 5 dx
Langkah 2 :
Substitusi ke rumus aturan rantai :
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
.
.

=
 
dx
d
x
dv
d
x
......
.
.
.)
(.........
.
.......... = 4u3
. Cosv.5 = .....................
3) 2
2
)
sin
1
(
)
( x
x
f 
 → x
x
x
f 3
cos
sin
4
)
(
' 

)
sin
1
(
.
)
sin
1
(
2
)
(
' 2
1
2
2
x
dx
d
x
x
f 

 









dx
x
d
x
x
x
f
)
(sin
).(
sin
2
(
0
).
sin
1
(
2
)
(
' 2
 
)
).(.......
sin
2
(
......).
(.........
2
)
(
' x
x
f 
 x
x 3
cos
sin
4


Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

4) Tentukan nilai t , dinyatakanfungsi trigonometri sebagai berikut: 2
2
3
sin
)
(
t
x
x
f  , Jika
dx
x
df
x
f
)
(
)
(
'  dan 6
36
' 





 
f
Gunakan sifat turunan fungsi
)
(
)
(
)
(
x
v
x
u
x
f  , bahwa : 2
)
(
)
(
).
(
'
)
(
).
(
'
)
(
'
x
v
x
u
x
v
x
v
x
u
x
f

 ,
maka 2
2
3
sin
)
(
t
x
x
f 
U(x) = sin2
(3x) → u’(x) = 2.(sin 3x).(cos 3x).3 = 3. 2 sin3x cos 3x = 3. Sin 6x
V(x) = .... → v’(x) = ...
Jadi diperoleh :
....
)
3
(....)(sin
.(....)
6
sin
3
)
(
'
x
x
x
f

 =
...
...
Selanjutnya substitusi
36


x , pada f ’(x), maka diperoleh
6
36
' 





 
f , jadi .........
......
..........
......
..........
...
..........
...
..........
36
' 







 
f
6 = 2
....
t
↔ 6 t2
= ........
↔ t2
= ,
....
1
t = ±
...
...
=
↔
......
......
1 
t dan
......
......
2 
t
5) F(x) = Tan 2
9x
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
.
 = (.......)
.........)
.(........
9
tan
(....)
)
9
(
.
)
(tan
.
)
(tan 2
x
dx
x
d
dv
v
d
du
u
d

(.......)
.........)
.(........
9
tan
(....) x
dx
dy
 = 18 tan 9x sec2
9x
6)
x
x
x
f
cot
1
sin
)
(
2


U(x) = sin2
x → u’(x) = ...
V(x) = .... → v’(x) = csc2
x
2
)
(
)
(
).
(
'
)
(
).
(
'
)
(
'
x
v
x
u
x
v
x
v
x
u
x
f

 =
..
..........
..........
)
..........
.....)(...
(.........
........)
..........
....)(....
(......... 
..
..........
..........
)
..........
.....)(...
(.........
........)
..........
....)(....
(......... 

Uji Kompetensi 4.1
Tentukan turunan sebagai berikut ini (aturan rantai):
1. 5 3
sin
)
( x
x
f  3) )
2
(
sin 2
4


 x
y 4) )
1
(
tan 1

 
x
y
2. )
4
4
cos(
.
2
)
(


 x
x
f → )
4
4
sin(
.
8
)
(
'



 x
x
f
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

2. Turunan Fungsi Implisit Trigonometri
Fungsi yang telah kita turunkaan sebelumnya, variabel terikat y bisa nyatakan dalam
variabel bebas x sebagai fungsi y = f(x), misalnya y = 3.sin2x (bentuk eksplisit)
Sedangkan fungsi seperti x2
+ y2
= 4 adalah bentuk implisit, fungsi tersebut bisa diubah menjadi
bentuk eksplisit menjadi:
Y2
= 4 – x2
Bagaimana jika bentuk 2x2
+ yx2
+ 1 = 0 apakah bisa diubah menjadi bentuk eksplisit y = f(x).
Untuk mendapatkan
dx
dy
dari suatu bentuk implisit kita menggnakan aturan rantai. Teknik untuk
mendapatkan
dx
dy
dari bentuk implisit ini disebut sebagai turunan fungsi implisit
Kegiatan 4.4
Menggunakan konsep aturan Implisit
1) Cos y = x + sin x , (Turunkan Kedua ruas terhadap x)
d(Cos y) =d( x) + d(sin x)
)
cos(
)
(
1
)
(
sin
dx
dy
dx
dy
dx
dy
y 


)
sin
cos
1
(
x
x
dx
dy



2) 1
sin 
 y
xy , (langkahnya sama seperti soal 1)
1
sin
)
( 
 y
xy , (x.y) sifat aturan perkalian turunan
0
(......)
.
.
. 








dx
dy
dx
dy
x
y
dx
dx
→ 0
cos
.
.
.... 








dx
dy
y
dx
dy
x
y
dx
dy
y ........)
(......
 ↔ y
y
x
dx
dy


 )
cos
(
x
x
y
dx
dy
cos



Tentukan
dx
dy
dalam x dan y fungsi berikut ini (aturan Implisit):
1. x
x
y tan
cot 

2. x
y
xy 
 2
2
)
cos(
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

3. Turunan dari Persamaan Parameter
Persamaan parabola y2
=4px bisa dipenuhioleh persamaan x = pt2
dan y =2pt, dengan t
sebagai parameternya. Oleh karena itu persamaan x = pt2
dan y = 2pt disebut persamaan
parameter dari y2
=4px.
Jika kita beri dua persamaan parameter x = x(t) dam y = y(t) dan diminta menentukan
dx
dy
, maka
lebih mudah bagi kita menyelesaikan dengan menggunakan aturan rantai, yaitu :
dt
dx
dt
dy
dx
dy
atau
dx
dt
dt
dy
dx
dy

 .
Kegiatan 4.5
Menentukan Turunan dari Persamaan Parameter
Jika kurva-kurva didefinisiskan dengan persamaan yang diberikan, tentukan
dx
dy
yang dinyatakan
dalam t.
1) t
x 4
 dan 5
3 2

 t
y
Penyelesaian : 2
1
)
1
(
2
1
2
)
...
...
.(
4
.
4




 t
t
t
dt
dx
dan ...

dt
dy
Maka :
dt
dx
dt
dy
dx
dy
 =
...
...
= ....
2) t
x sin
2
1
 dan t
y cos
4 

Penyelesaian : t
dt
dx
cos
2
.
 dan ...

dt
dy
Maka :
dt
dx
dt
dy
dx
dy
 = t
tan
2
1
...
...


3) t
t
x sin
2
2
sin 
 dan t
t
y cos
2
2
cos 

Penyelesaian : .....

dt
dx
dan ...

dt
dy
Maka :
dt
dx
dt
dy
dx
dy
 = 
...
..........
..........
...
..........
..........
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

4. Aplikasi Turunan Fungsi Trigonometri
Masalah pertama berkaitan dengan laju perubahan suatu fungsi terhadap variabel bebasnya,
misalnya laju perubahan y = f(x) terhadap x. Laju perubahan fungsi y = f(x) terhadap x
adalah
dx
dy
yang dinyatakan dalam x,
Kecepatan adalah turunan pertama dari fungsi perpindahan. Untuk perpindahan x = x (t), maka :
Kecepatan :
dt
dx
x
v 
)
(
Percepatan adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan atau turunan kedua dari fungsi
perpindahan. Kecepatan :
dt
dv
x
a 
)
(
Kegiatan 4.6
Aplikasi Turunan dalam kehidupan sehari-hari
4.1 Laju Perubahan Fungsi Trigonometri
Daya nyata 0
P (dalam satuan votl amper) suatu rangkaian listrik yang daya aktifnya P (satuan
watt) dan sudut impedansinya θ, diberikan oleh 
sec
.
0 P
P  . Jika P adalah konstan pada 20 W,
tentukan laju perubahan 0
P jika θ berubah pada laju 0,050 rad/menit saat θ = 450.
Penyelesaian :
Dik : Laju perubahan sudut θ terhadap waktu adalah

dt
d
0,050 rad/menit saat θ = 450.
Dit : Laju perubahan daya nyata 0
P yaitu 
dt
dPo
...
Jb : Perhatikan )
(
0 
f
P  , sedangkan ),
(t
f

 sehingga
laju perubahan
dt
d
d
dP
dt
dPo 

.
0
 ,

sec
.
0 P
P  , 20

P , jadi 
sec
.
20
0 
P
Dengan demikinan 
 tan
.
sec
20

dt
dPo
Maka :
dt
d
d
dP
dt
dPo 

.
0
 = (............................)(........................)
dt
dPo
= 0
0
45
tan
.
45
sec
....... = ...)
.....)(...
.(.....)(. = 2
jadi laju perubahannya 2

dt
dPo
Watt/menit
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

4.2 Kecepatan dan Percepatan Fungsi Trigonometri
Gerakan sebuah partikel diberikan oleh 







4
2
cos
6

t
s . Tentukan nilai prpindahan, kecepatan
dan percepatan. Tentukan juga waktu tersingkat ketika nilai-nilai maksimum itu terjadi.
Penyelesaian :
Dik : 







4
2
cos
6

t
s
Perpindahan s maksimum = 6 ini tercapai ketika 1
4
2
cos 








t ,
0
cos
4
2
cos 








t ↔ 

2
.
0
4
2 n
t 








2t ......
....
....


 ↔ t 
.
.
....
....
n


 (*) dengan n = 0, 1, 2, 3, ...
Waktu tersingkat untuk perpindahan maksimum ditentukan dengan mensubstitusi n € A yang
memberikan t nilai positif terkecil
n = 0 → t 

(...).
8


 ↔ t 
....
....

 (Tidak memenuhi)
n = 1 → t 

(...).
8


 ↔ t 
....
....
 (Memenuhi)
Jadi, perpindahan s maks = 6 tercapai waktu tersingkat t 
8
7

Kecepatan partikel v adalah 







 )
4
2
cos(
6
)
(

t
dt
d
dt
ds
x
v
6
)
( 
x
v 





 )
4
2
cos(

t ↔ 6
)
(
' 
x
v (...)
)
4
2
(
(........) 








t

)
(
' x
v )
...
....
....
.....(....
12 

Kec maks adalah .
12

maks
v ini tercapai ketika 1
4
2
sin 









t ,















2
sin
4
2
sin


t ↔
 

 2
.
n
x 
 atau  

 2
.
)
1800
n
x 

















 


2
.
2
4
2 n
t dan 



2
.
2
4
2 n
t 
























 

2
.
....
....
2
2 n
t dan 
 2
.
....
....
...
...
2 n
t 
















 
.
....
....
n
t dan 
.
....
....
n
t 







Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

n = 0 → t ...
(...).
8
...



 
 ↔ t 
....
....

n = 1 → t 


...
...
(...).
8
...



 ↔ t 
....
....

Jadi, Kec maks = 12 tercapai waktu tersingkat t 
8
5

Percepatan partikel a adalah 








 )
4
2
sin(
12
)
(

t
dt
d
dt
dv
x
a
12
)
( 

x
a 





 )
4
2
sin(

t ↔ ......
)
( 
x
a (...)
)
4
2
(
(........) 








t

)
(
' x
v )
...
....
....
.....(....
24 

Perc max adalah .
24

maks
a ini tercapai ketika 1
4
2
cos 









t ,


cos
4
2
cos 







t ↔  

 2
.
n
x 
 atau  

 2
.
) n
x 


 



2
.
4
2 n
t 







 dan   


2
.
4
2 n
t 
















 
2
.
....
....
2 n
t dan 
 2
.
...
...
2 n
t 















 
.
....
....
n
t dan 
.
....
....
n
t 








n = 0 → t ...
(...).
8
...


 
 ↔ t 
....
....


n = 1 → t 
...
...
 ↔ t 


...
...
(...).
8
...




Jadi, perc maks = 24 tercapai waktu tersingkat t 
8
3

4.3 Kecepatan Sudut Fungsi Trigonometri
1. Sebuah permainan anak berbentuk kincir raksasa yang memiliki diameter 10 m sedang
dimainkan di sebuah arena bermain. Kincir tersebut berputar dengan kec sudut
12

  radian/det tepat diatas permukaan tanah, tentukan laju perubahan posisi kedudukan
terhadap arah vertikal pada kincir tersebut pada ketinggian 7,5 m dari permukaan tanah
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

Hubungan ketinggian dari permukaan tanah h(t), radius R, dan sudut θ (t) seperti gambar diatas,
dapat dirumuskan sebagai berikut :
 
)
(
cos
1
))
(
cos(
)
( t
R
t
R
R
t
h 
 


 : R = 5 m dan h = 7,5 m
 

cos
1
(......)
(.......) 
 ↔
...
...
)
(.........
cos 


 → 

3
2
......... 
 radian
Diketahui kec sudut
12



dt
d
rad/det, maka laju perubahan ketinggian dapat dirumuskan sebagai
berikut :
dt
d
d
dh
dt
dh 

 ↔ )
...
...
)(
cos
( 

R
R
d
d
dt
dh


...)
(.........
(
... 


d
d
R
d
d
dt
dh

  
.........)
(
(.....)
...
R




=


sin
...
R
dt
dh
 ↔ 

3
2
sin
5
...

dt
dh
= 3
...
...
Jadi, laju perubahan posisi kedudukan terhadap arahvertikal pada kincir tersebut pada ketinggian
7,5 m dari permukaan tanah ketika dudukan kincir tersebut bergerak naik adalah 3
24
5
1. Tentukan turunan sebagai berikut ini (aturan rantai): ,
2
4
tan
3 








x
y Jika x berkurang
pada laju 0,4 rad/s. Tentkan laju perubahan y terhadap waktu ketika
48


x
2. Sebuah partikel sedang bergerak dengan persamaan perpindahan )
3
2
cos(
5


 t
x , dengan
x dalam meter dan t dalam sekon. Tentukan :
 kecepatan maksimum partikel saat (0 ≤ t ≤ 2µ ) dan
 percepatan maksimum partikel saat (0 ≤ t ≤ 2µ )
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

BAB 5
NILAI MAKSIMUM & MINIMUM, SELANG
KEMONOTONAN DAN KEMIRINGAN GARIS
SINGGUNG KURVA FUNGSI TRIGONOMETRI
Peta Konsep
Kata Kunci :
Nilai Maksium dan Minimum, Selang kemonotonan dan Kemiringan garis singgung
Nilai Maksimum & Nilai
Minimum, Kemonotonan,
Garis Singgung Fungsi
Trigonometri Fungsi
Trigonometri
Maksimum
dan Minimum
Nilai
Maksimum dan Minimum
Menentukan Titik Stasioner,
Kemonotonann, Kemiringan
Bentuk
A cos x + B sin x =
k cos ( x- ᾱ )
Bentuk
A sin x+ B cos x
Titik Stasioner dan
Kemonotonann, Fungsi
Gradien dan
Garis singgung Kurva
Definisi & Teorema
Kemonotonan
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

BAB 5
NILAI MAKSIMUM, NILAI MINIMUM, SELANG KEMONOTONAN DAN KEMIRINGAN GARIS
A. MAKSIMUM DAN MINIMUM
Gambar 5.1
Dalam kehidupan ini kita sering menghadapi masalah guna mendapatkan cara terbaik
untuk melalukan sesuatu. Sebagi contoh, seorang petani ingin memiliki kombinasi tanaman yang
dapat menhasilkan keuntungan terbesar. Seorang dokter ingin memilih dosis terkecil obat yang
akan menyembuhkan penyakit tertentu. Seorang kepala pabrik akan menekan sekecil mungkin
biaya penyebaran barangnya. Kadang kala salah satu dari masalah diatas dapat dirumuskan
sehingga melibatkan pemaksimuman atau peminimuman suatu fungsi pada suatu himpunan yang
dirinci
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan mempunyai maksimum relatif/minimum relatif pada suatu
interval pada x = Xo, apabila f(xo) adalah nilai terbesar/terkecil dari nilai pendahulu/penyerta dari
fungsi tersebut. Pada gambar 5.1 diatas titik A(a,f(a)) adalah titik maksimum relatif pada kurva
sebab f(a) > f(x) pada setiap sekitar (neighbourhood) sekecil apapun 0 < Ix – aI < θ. Dan dikatan
bahwa y = f(x) mempunyai maksimum relatif {f(x)=f(a)} jika x = a. Dan dengan jalan yang sama titik
C (c,f(c)) adalah minimum relatif dari kurva, dan dikatakan y = f(x) mempunyai nilai minimum
relatif {f(x)=f(c)} jika x = c.
3.5 Menjelaskan keberkaitan
turunan pertama fungsi
dengan nilai maksimum, nilai
minimum, dan selang
kemonotonan fungsi, serta
kemiringan garis singgung
kurva fungsi trigonometri
4.5 Menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan nilai
maksimum, nilai minimum,
dan selang kemonotonan
fungsi, serta kemiringan garis
singgung kurva fungsi
trigonometri
 Nilai maksimum
fungsi
tigonometri
 Nilai minimum
fungsi
trigonomerti
 Selang
kemonotonan
fungsi
trigonometri
 Kemiringan garis
singgung kurva
fungsi
trigonometri
 Mencermati keterkaitan turunan fungsi
trigonometri dengan nilai maksimum dan
minimum.
 Menentukan titik stationer,selang
kemonotonan dan garis singgung kurva
 Mempresentasikan cara mencari turunan
fungsi trigonometri
 Mempresentasikan pemecahan masalah
yang berkaitan dengan turunan fungsi
trigonometri
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

Definisi
Andai S[a,c], daerah asal f, memuat titik c.Kita katakan bahwa:
1) )
(c
f adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S
1) )
(c
f adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S
1) )
(c
f adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S
1) )
(c
f adalah nilai ekstrim f pada S jika nilai maksimum atau nilai munimum
Untuk titik A, f’(x) berubah tanda dari positif – nol – negatif, dikatakan f mempunyai nilai balik
maksimum f(a) pada x = a
Untuk titik B, f’(x) berubah tanda dari negatif – nol – negatif, dikatakan f mempunyai nilai belok
horizontal f(b) pada x = b
Untuk titik C, f’(x) berubah tanda dari negatif – nol – positif, dikatakan f mempunyai nilai balik
minimum f(c) pada x = c
B. NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI TRIGONOMETRI
Kegiatan 5.1
Menemukan konsep nilai maksimum dan minimum fungsi trigonometri
1) Bentuk A cos x + B sin x = k cos ( x - ᾱ )
Bagaimana menentukan Nilai maksimum dan minimum dari fungsi: 3 cos x + 4 sin x
↔ (cos x cos a + k sin x sin a) = 3 cos x + 4 sin x
Diperoleh k cos a = 3 (KW I dan IV) dan sin a = 4 (KW I dan II),
0
1
,
53
,
....
....


 

a
b
tg (KW I), 2
2
2
2
(....)
(....) 


 b
a
k = .....
...... 

Nilai Maksimum = +5 dan Nilai Minimum = -5 dan Grafiknya :
Gambar 5.2
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

2) Bentuk A Sin X + B Cos X
Bagaimana menentukan nilai maksimum dari fungsi:
10
cos
.
sin
24
sin
14
cos
4
)
( 2
2



 x
x
x
x
x
f
Kita bisa saja menyelesaikan soal ini dengan menggunakan syarat titik stasioner : 0
)
( 
x
f ,
kemudian menentukan jenis stasioner mana yang termasuk nilai balik maksimum. Tetapi cara
penyelesaian seperti ini memerlukan waktu hitung yang lebih lama dan cukup rumit.
Kita bisa mengerjakan soal seperti ini dengan lebih efisien dan sederhana jika kita bisa
menentukan rumus nilai ekstrim y = A sin x + B cos x yang sangat mudah diingat.
Syarat kurva y = A sin x + B cos x mencapai ekstrim adalah y’=0
0
(......)
(........)
' 

 B
A
y ↔ (......)
(........) B
A 
.....
....
cos
sin

x
x
↔
.....
....
......... 
Kemungkinan I
B
A
x



tan
Hipotesa = 2
2
2
2
(........)
(........)
(........)
(........) 


2
2
sin
B
A
A
x


 dan
2
2
cos
B
A
B
x



Nilai ekstrim fungsi : y = A sin x + B cos x
.........
..........
]
(.......)
[(.......)
....
..........
...
..........
....
..........
...
..........
.
2
2
















 B
A
y
2
2
B
A
y 


Kemungkinan II
B
A
x 
tan
Hipotesa = 2
2
2
2
(........)
(........)
(........)
(........) 


2
2
sin
B
A
A
x

 dan
2
2
cos
B
A
B
x


Nilai ekstrim fungsi : y = A sin x + B cos x
.........
..........
]
(.......)
[(.......)
....
..........
...
..........
....
..........
...
..........
.
2
2















 B
A
y
2
2
B
A
y 

Karena A2
> 0 dan B2
> 0, maka pastilah :
Nilai minimum 2
2
min B
A
y 

 ,
Nilai maksimum 2
2
B
A
ymaks 

Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

Nilai maksimum dari fungsi: 10
cos
.
sin
24
sin
14
cos
4
)
( 2
2



 x
x
x
x
x
f
Penyelesaian : kita mengubah menjadi bentuk umum
A Sin nx + B Cos nx dengan n > 0
10
)
cos
.
sin
.(.......
12
)
sin
10
sin
4
(
cos
4
)
( 2
2
2




 x
x
x
x
x
x
f
10
)
2
.(sin
12
]
sin
10
..)
..........
.........
[(........
)
( 2




 x
x
x
f
.
..........
......
..........
sin
10
..)
..........
........
(.........
4
)
( 2




 x
x
f
Gunakan sifat : x
x sin
2
1
2
cos 
 dan x
x 2
cos
1
sin
2 2


.
..........
......
..........
)
sin
2
......(
)
1
(
4
)
( 2



 x
x
f
......
..........
)
2
cos
1
.......(
14
)
( 


 x
x
f
x
x
x
f 2
sin
12
2
cos
5
19
)
( 


Perhatikan 19 adalah bilangan tetap sehingga f(x) maksimum jika )
2
sin
12
2
cos
5
( x
x 
 juga
maksimum. Bentuk : )
2
sin
12
2
cos
5
( x
x 
 atau )
2
cos
5
2
sin
12
( x
x  sudah identik sama
A Sin nx + B Cos nx
Maka Nilai maksimum mum
NilaiMaksi
x
f 
19
)
(
2
2
2
2
.....)
(
(.....)
19
19
)
( 





 B
A
x
f
32
.......
....
(.....)
(.....)
.....
)
( 





x
f
Uji Kompetensi 5.1
1. Nilai Maksimum dan minimum : x
x
x
f cos
3
sin
)
( 

2. Nilai Min dari fungsi :


 2
2
sec
2
tan
1
)
(


w dan Cos 2θ + cos θ
3. Nilai Maks dari fungsi: 
 2
sin
9
sin
12  dan 
 6
4
cos
sin 
Nilai Maksimum  dari k dimana k
2
sin
2
cos
5




dan 0 < θ < π Kunci k=3
Langkah penyeleaian :
Klu : k
2
sin
2
cos
5




(M) berarti


sin
2
cos
5
2


k (TM)
Gunakan sifat pembagian turunan
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

C. MENENTUKAN TITIK STASIONER, SELANG KEMONOTONAN, DAN KEMIRINGAN GARIS
1. Kemonotonan
Pada grafik berikuti
f (x)
Turun Naik
C
Gambar 5.3
Menyatakan bahwa f turun di kiri c dan naik di
kanan c.
Definisi ; Andai f terdefinisi pada selang I
(buka, tutup atau tak satupun) kita katakan:
i) f Naik pada I jika untuk setiap pasang
bil x1 dan x2 dalam I
x1 < x2 → f (x1) < f (x2)
ii) f turun pada I jika untuk setiap pasang
bil x1 dan x2 dalam I
x1 < x2 → f (x1) > f (x2)
iii) f minoton murni pada I jika ia naik
pada I atau turun pada I
Turunan Pertama da Kemonotonan
Ingat bahwa turunan pertama f’(x)
memberi kita kemiringan dari garis
singgung pada grafik f di titik x.
Kemudian,
Jika f’(x) > 0, maka garis singgung naik
kekanan (lihat gambar 5.4). Serupa
Jika f’(x) < 0, maka garis singgung
menurun kekanan (lihat gambar 5.4)
Pada grafik berikuti:
0
f’(x)>0 f’(x)<0
Gambar 5.4
Teorema Kemonotonan : Andai f kontinu pada
selang I terdiferensial pada setiap titik dalam I:
Jika f’>0 untuk semua x titik dalam I, maka f
Naik pada I dan f’<0 untuk semua x titik dalam
I, maka f turun pada I
2. Titik Stasioner dan Kemonotonan Suatu Fungsi
Gambar 5.5
Titik stasioner terjadi jika terpenuhi f’(x) = 0, yaitu titik dimana gradiennya kurva = nol
Perhatikan Gambar 5.5 bahwa jika suatu titik bergerak sepanjang kurva dari a ke b, maka
nilai fungsi bertambah apabila absis bertambah. Dan juga jika titik bergerak sepanjang kurva dari
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

b ke c maka nilai fungsi berkurang apabila absis bertambah. Dikatakan bahwa f naik pada selang
tertutup [a,b] dan f turun pada selang tertutup [b,c]. Bila fungsi f naik atau turun ada suatu selang
maka f dikatakan monoton pada selang tersebut.
Gambar 5.6
Kurva grafik fungsi y = f(x) (gambar 5.6) terlihat bahwa untuk x < a, gradien garis singgung
g1 positif, yang berarti f’
(x) > 0, dan f naik pada interval itu. Untuk x > 0, gradien garis singgung
selalu negatif sehingga f’
(x) < 0, dan f turun pada interval tersebut.Sedang untuk x = a, gradien
garis singgung di titik tersebut = 0, garis singgung sejajar sumbu x, sehingga f’
(x) = 0, dalam hal ini f
tidak naik dan tidak turun dan dikatakan f stasioner di x = a, Sehingga kurva y = f (x) akan: Naik
jika f’
(x) > 0, Turun Jika f’
(x) < 0, Stasioner Jika f’
(x) = 0
Contoh soal :
1) Jika f(x) = 2x3
- 3x2
- 12x + 7 tunjukan dimana f naik dan f turun
Penyelesaian :
f(x) = 2x3
- 3x2
- 12x + 7 → f’(x) = 6x2
– 6x -12 = 6 (x+1)(x-2), kita perlu menentukan :
Naik jika f’
(x) > 0, Turun Jika f’
(x) < 0↔ (x+1)(x-2) > 0 dan (x+1)(x-2) < 0
Titik pemisah adalah -1 dan 2 ; titik-titik ini membagi sumbu-x menjadi tiga selang
(-∞, 1),(-1,2) dan (2,∞).
Dengan demikian titij uji : X = -2 , x = 0 dan x = 3, kita simpulkan:
f’
(x) > 0 pada yang pertama dan terakhir
f’
(x) < 0 pada selang tengah.
Menurut Teorema :
f naik pada (-∞, -1) dan *2, ∞)
f turun pada [-1,2]
2) Tentukan titik stasioner, nilai stasioner, serta jenisnya untuk fungsi trigonometri
f(x) = sin 2x, 0 ≤ x ≤ π
(+) 0 ( - ) 0 ( +)
-1 2
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

Penyelesaian :
f(x) = sin 2x, 0 ≤ x ≤ π → f’(x) = 2 cos 2x
syarat titik stasioner adalah f’(x) = 0 sehingga 2 cos 2x = 0
↔ cos 2x = 0 ↔ cos 2x = cos 0 ↔ 
2
1
cos
2
cos 
x
 

 2
.
n
x 
 atau  

 2
.
) n
x 

 →







 
 2
.
2
1
2 n
x atau 







 
 2
.
2
1
2 n
x →







 
 .
4
1
n
x atau 







 
 .
4
1
n
x
Untuk k = 0, diperoleh 
4
1

x dan 
4
3

x yang absis stasioner

4
1

x → 1
2
1
sin
4
1
2
sin
4
1
)
( 














 


x
f

4
3

x → 1
2
3
sin
4
3
2
sin
4
3
)
( 















 


x
f
Jadi titik stasionernya :
)
1
,
4
1
(  dengan nilai stasioner 1 (Maksimum) atau )
1
,
4
3
( 
 dengan nilai stasioner -1 (Minimum)
Jenis Stasionernya :
 Gambar selangnya dan tetapkan titik uji setiap selang :
Absis titik uji tanda
 Untuk setiap absis titik uji, perikas tanda dari f’(x) dengan mensubstitusikan x ke f’(x) = 2
cos 2x
x = 0 diperoleh 2 cos 2(0) = 2 (positif)

2
1

x diperoleh )
2
1
(
2
cos
2  = 2 (negatif)


x diperoleh )
(
2
cos
2  (positif)
Sehingga diperoleh:

4
1

x terdapat titik balik maksimum )
1
,
4
1
(  dengan nilai balik maksimumnya 1
)
4
1
( 

f

4
3

x terdapat tik balik maksimum )
1
,
4
3
( 
 , dengan nilai balik maksimumnya 1
)
4
3
( 


f
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

Kegiatan 5.2
Menentukan Titik Stasioner dan Jenisnya
Budi berjalan di sebuah lintasan yang dinyatakan fungsi: 2
)
2
2
sin(
2
)
( 



x
x
f , dimana f(x)
merupakan ketinggian dari permukaan tanah yang dinyatakan dengan satuan m dan x merupakan
waktu yang dinyatakan dalam detik. Jika budi mulai berjalan dari x = 0 det dan berhenti pada x
=1,5 π det, tunjukan manakah interval budi saat menanjak dan menuruni lintasan.
Penyelesaian :
2
)
2
2
sin(
2
)
( 



x
x
f → )
2
2
cos(
4
)
(
'


 x
x
f
Syarat stasioner 0
)
(
' 
x
f ↔ 0
)
2
2
cos(
4 


x


...
...
cos
)
2
2
cos( 

x ↔
 

 2
.
n
x 
 atau  

 2
.
) n
x 





2
.
...
...
)
2
2
( n
x 

 atau 


2
.
...
...
)
2
2
( n
x 





 2
.
...
...
...
...
2 n
x 

 atau 

 2
.
...
...
...
...
2 n
x 




 .
...
...
n
x 
 atau 
 .
... n
x 

ambil n = bil bulat
n = -1 maka
...
.
(...)
...
...


 
 n
x ...
(...).
... 

 

x
n = 0 maka
...
.
(...)
...
...


 
 n
x ...
(...).
... 

 

x
n = -1 maka
...
.
(...)
...
...


 
 n
x ...
(...).
... 

 

x
Sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi interval : 
2
3
0 
 x
Adalah ........
......,
......,
..., 


 x
x
x
x
Tunjukan Uji tanda absis stasioner (interval budi saat menanjak dan menurun)
... ... ... ... ...
f’(x) ... ... ... ... ...
gradien ... ... ... ... ...
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

Jadi interval budi yang memenuhi :
Budi Saat menanjak
{f’(x)>0} : 
....
... 
 x atau 
 ....
... 
 x
Budi Saat menurun
{f’(x)>0} : 
....
... 
 x
Jadi
Nilai Balik Maksimumnya = ... Nilai Balik Minimumnya = ...
3. GRADIEN DAN GARIS SINGGUNG KURVA
Gambar 5.7
Gradien AB =
1
2
1
2 )
(
)
(
x
x
x
f
x
f
mAB


 , Ambil
h
x
x 
 1
2 atau h
x
x 
 1
2 ,
sehingga
h
x
f
h
x
f
mAB
)
(
)
( 1
1 


Apabila yang terjadi jika B kita geser sepanjang kurva y = f(x) mendekati A/ dengan kata lain jika
kita ambil h → 0 ? tampak garis AB makin mendekati garis singgung di titik A. Dengan demikian
gradien garis ab mendekati gradien garis singgung kurva/garis g di titik A ))
(
,
( 1
1 x
f
x
Definisi Turunan
h
x
f
h
x
f
m
m
h
AB
h
)
(
)
(
lim
lim 1
1
0
0






Menentukan persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) dan titik singgung A (x1, y1), maka
1
1
x
x
y
y
mAB


 Atau )
( 1
1 x
x
m
y
y 


Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

Kegiatan 5.3
Garis singgung Kurva Fungsi Trigonometri
Sebuah kurva memiliki persamaan y = sin3
– 3 sin x. Tentukan persamaan garis singgung pada titik
dimana
3


x
Penyelesaian :
y = sin3
– 3 sin x → x
x
dx
d
x
y cos
3
)
(sin
)
(sin
3
' 1
3

 
m ↔ x
x
x
y cos
3
)
(cos
sin
3
'
...
2


↔ .......}
..........
{.........
cos
3 x
m  dengan
3


x , maka m
..}
..........
..........
{.........
3
cos
3


m .....}
......)
(....){(..
3 

Selanjutnya titik singgung y1 = substirusi
3
1


x
.........
....
..........
)
...
...
...
(
3
)
...
...
...
(
3
sin
)
3
(sin 3
3
1 







y
Diperoleh titik ...)
.,........
(.........
)
,
( 1
1 
y
x Pers grs singgungnya: )
( 1
1 x
x
m
y
y 

 →
)
.........
.......(
(.....) 1
1 

 x
y
.........
.......
........ 

 x
y
.........................................
Persm grs singgungnya adalah 0
3
9
8
3 


 
y
x
Uji Kompetensi 5.2
Tentukn persamaan garis singgung x
x
x
f cos
2
cos
)
( 2

 , pada titik dengan x = π
Penyelesaian :
x
x
x
f cos
2
cos
)
( 2

 ↔ .....
..........
..........
)
(
' 
x
f
Substitusi x1 = π, ke x
x
x
f cos
2
cos
)
( 2

 untuk memperoleh y1
.........
....
..........
cos
)
(cos 2
1 


 

y
Diperoleh titik ...)
.,........
(.........
)
,
( 1
1 
y
x Pers grs singgungnya: )
( 1
1 x
x
m
y
y 


Persamaan Garis Singgunya : ...........................
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

BAB 6
DIFERENSIAL LANJUT FUNGSI TRIGONOMETRI
Peta Konsep
Kata Kunci :
Diferensial Lanjut Triginometri
Diferensial Lanjut
Trigonometri
Teorema
Nilai Balik
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

BAB 6
DIFERENSIAL LANJUT
Dalam pokok bahasan
sebelumnya kita telah
membahas tentang
menentukan titik stasioner
dan jenisnya dengan
menggunakan uji tanda
turunan pertama/absis
stasioner (metode 1). Untuk
pembahasan berikut ini kita
akan menentukan uji
turunan kedua (metode 2).
Dalam materi matematika wajib telah dinyatakan bahwa ada kaitan antara tanda dari
kedua fungsi pada titik stasioner *f’’(x) dengan x = c adalah absis titik stasioner+ dengan jenis titik
stasionernya. Ini dinyatakan dalam teorema berikut :
Teorema Nilai Balik
Misalkan y = f(x) terdefinisi pada selang a < x < b yang muat c, f’(x) dan f”(x) ada untuk setiap
titik pada selang a < x < b. Misal juga f’(c) = 0, yang berarti x = c adalah absis titik stasioner.
1) Jika f”(c) < 0 atau negatif → f(c) adalah nilai balik maksimum
2) Jika f”(c) > 0 atau positif → f(c) adalah nilai balik minimum
Mari kita terapkan teorema metode 2 ini menentukan mana dari kedua absis stasioner
yang telah dihitung sebelumnya, yang merupakan absis titik maks dan minimum (lihat uraian
dibawah ini). Karena metode2 adalah metode uji tanda turunan kedua, maka kita perlu
menentukan dahulu turunan kedua f” (x) sebelum mengujinya.
Penyelesaian metode 1 :
f(x) = sin 2x, 0 ≤ x ≤ π
f’(x) = 2 cos 2x = 2. Cos 2x
f”(x)= x
x
x
x
d
u
u
d
2
sin
4
)
2
)(
2
sin
.(
2
)
2
(
)
(cos
2 









Dalam menentukan absisnya sebelumnya Metode 1 diperoleh:
Untuk k = 0, diperoleh 
4
1

x dan 
4
3

x yang absis stasioner

4
1

x → 1
2
1
sin
4
1
2
sin
4
1
)
( 














 


x
f
3.6 Menjelaskan
keberkaitan turunan
kedua suatu fungsi
dengan titik belok dan
selang kecekungan
kurva fungsi
trigonometri
4.6 Menyelesaikan masalah
yang berkaitan
dengan titik belok dan
selang kecekungan
kurva fungsi
trigonometri
Diferensial
lanjut
 Mencermati penerapan
turunan kedua fungsi
trigonometri dalam
pemecahan masalah,
 Mencermati konstruksi
trigonometri,
pemecahan masalah
yang berkaitan dengan
trigonometri.
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net


4
3

x → 1
2
3
sin
4
3
2
sin
4
3
)
( 















 


x
f
Jadi titik stasionernya : )
1
,
4
1
(  dengan nilai stasioner 1 (Maksimum) atau )
1
,
4
3
( 
 dengan nilai
stasioner -1 (Minimum)
Metode ke 2:
x
x
f 2
sin
4
)
(
" 
 , jadi :
4
)
1
(
4
2
1
sin
4
)]
4
1
.(
2
sin[
.
4
)
4
1
(
" 






 


f
Karena Jika f”(c) < 0 → -4 < 0 (maksimum)
4
)
1
(
4
2
3
sin
4
)]
4
3
.(
2
sin[
.
4
)
4
3
(
" 






 


f
Karena Jika f”(c) > 0 → 4 > 0 (minimum)
Jadi, untuk menentukan nilai maksimum dan minimum, kita harus membandingkan kedua diatas
dengan ujung selang yaitu 0 ≤ x ≤ π
Nilai maksimum dan minimum f(x) =sin 2x untuk kedua titik maksimum dan minimum,
Nilai Max, 
4
1

x → 1
2
1
sin
4
1
2
sin
)
4
1
( 













 


f
Nilai Max, 
4
3

x → 1
2
3
sin
4
3
2
sin
)
4
3
( 














 


f
Untuk kedua ttik ujung-ujung selang

)
0
(

x =0 →   0
0
sin
0
2
sin
)
0
( 


f


x →   0
2
sin
2
sin
)
( 

 


f ,
Jika keempat nilai ini kita bandingkan, maka jelas terbukti :
nilai maksimum adalah 1 dan nilai minimum adalah -1 (Terbukti Benar)
Kegiatan 6.1
Menentukan Nilai balik maks dan minimum menggunakan Teorema Nilai Balik
Tentukan Nilai minimum mutlak f(x) = 2 sin x + cos 2x , 0 ≤ x ≤2 π
Penyelesaian :
f(x) = 2 sin x + cos 2x , 0 ≤ x ≤2 π
f’(x) = .............................................
titik stasionernya f’(x) = 0, maka 2 (cos x –sin 2x) = 0
cos x – sin 2x = 0 ↔ cos x = sin 2x ↔
)
2
2
1
cos(
cos x
x 
  → )
2
2
1
( x
x 
 
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

 

 2
.
n
x 
 atau  

 2
.
) n
x 

 →

 2
.
)
2
2
1
( n
x
x 

 atau 
 2
.
)
2
2
1
( n
x
x 




 2
.
)
2
1
(
3 n
x 
 
 2
.
2
1
n
x 




 2
.
...
)
...
1
(
n
x 
 
 2
.
...
1
n
x 

Untuk n = 0, diperoleh
0

n → 
 
..
1
x .... atau 
 
..
1
x ....
1

n → ...
2
.
...
1
...
1


 

x ...
2
(...).
...
1


 

x (TM)
...

n → ...
2
.
...
1
...
1


 

x
...

n → ...
2
.
...
1
...
1


 

x (TM)
Jadi ada empat absis titik stasioner yang diperoleh {....,....,....,....}
Mari selanjutnya kita terapkan metode 2 ini untuk menentukan mana keempat absis stasioner
yang telah dihitung sebelumnya, yang merupakan abisi titik minimum. Karena metode ke 2
adalah metode uji tanda turunan kedua, mari kita perlu menentukan dahulu turunan kedua f”(x)
sebelum mengujinya.
f(x) = 2 sin x + cos 2x , 0 ≤ x ≤2 π
f’(x) = .............................................
f”(x) = 2(-sinx)-2(2 cos 2x) = ........................
keempat absis disubstitusi ke persaman turunan kedua
3
.
)
...
...
(
4
)
...
...
(
2
)
..
2
cos(
4
)
..
1
sin(
.
2
)
...
1
(
" 










f
Karena Jika f”(c) < 0 → -3 < 0 (maksimum)
...
)
...
...
(
4
)
...
...
(
2
)
..
2
cos(
4
)
..
1
sin(
.
2
)
...
1
(
" 









f
Karena Jika f”(c) > 0 → .... > 0 (minimum)
...
)
...
...
(
4
)
...
...
(
2
)
..
....
cos(
4
)
..
...
sin(
.
2
)
...
...
(
" 









f
Karena Jika f”(c) < 0 → ... < 0 (...................)
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

...
)
...
...
(
4
)
...
...
(
2
)
..
6
cos(
4
)
..
...
sin(
.
2
)
...
...
(
" 









f
Karena Jika f”(c) < 0 → ... > 0 (..................)
Jadi, ada dua absis minimum yaitu 
2
1

x dan 
2
3

x
Untuk menentukan nilai minimum mutlak, maka kita harus membandingkan kedua nilai minimum
dengan nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung selang (0 ≤ x ≤2 π) yaitu x = 0 dan x = 2π
Nilai minimum f(x) = 2 sin x + cos 2x, untuk kedua titik balik minimum.

2
1

x → ...
)
1
(
(...)
2
)
2
2
cos(
)
..
...
sin(
.
2
)
...
...
( 









f

2
3

x → 3
)
1
(
(...)
2
)
3
cos(
)
..
...
sin(
.
2
)
...
...
( 






 


f
Untuk kedua titik di ujung-ujung selang
0

x → ...
)
1
(
(...)
2
)
0
cos(
)
0
sin(
.
2
)
0
( 





f

2

x → ..
)
1
(
(...)
2
)
2
cos(
)
2
sin(
.
2
)
2
( 




 


f
Jadi Keempat nilai ini, nilai paling kecil adalah -3
Nilai minimum mutlak dari f(x) = 2 sin x + cos 2x adalah -3 yang terjadi ketika 
2
3

x
Uji Kompetensi 6.1
Jika nilai minimum dari fungsi 







 x
x
f 2
4
cos
2
1
)
(

dalam selang
2
0


 x adalah 1,
tentukan nilai dari x
Tentukan nilai x dalam selang 0 < x < 2π dimana
x
x
x
f
sin
2
cos
3
)
(

 adalah stasioner. Tentukan nilai
maksimum mutlak dan minimum mutlak dalam selang yang di berikan
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

BAB 7
STATISTIK INFERENSIAL
Peta Konsep
Kata Kunci :
Statistik Inferensial, Variabel acak, Fungsi Probabilitas, dan Distribusi Binomial
Statistik
Inferensial
Konsep
Variabel Acak
Fungsi
Probabilitas
Fungsi
Distribusi Binomial
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

BAB 7
STATISTIK INFERENSIAL
Statistik Inferensial adalah
staistik yang digunakan untuk
menganalisa data sampel dan
hasilnya akan
digeneralisasikan/diinferensial
kan kepada populasi dimana
sampel diambil.
Sering juga dikenal dengan
cakupan metode yang
berhubungan dengan
menganalisi sebuah
data/sampel untuk kemudian
sampai pada
peramalan/pendugaan/penarik
an kesimpulan mengenai
seluruh data induknya.
Statistik inferensial ada 2 macam yaitu :
 Statistik Parametrik, yaitu ilmu statistik yang mempertimbangnkan jenis sebaran atau
distribusi data, yaitu pakah data menyebar secara normal atau tidak. Dengan kata lain,
data yang akan dianalisis menggunakan statistik parametrik harus memenuhi asumsi
normalitas. Pada umumnya, jika data tidak menyebar normal, maka data seharusnya
dikerjakan dengan metode statistik non-parametrik, atau setidak-tidaknya dilakukan
tranformasi terlebih dahulu agar data mengikuti sebaran normal, sehingga bisa dikerjakan
dengan statistik parametrik. Contoh metode statistik parametrik : uji-Z (1 atau 2 sampel),
Uji-t (1 atau 2 sampel), Korelasi pearson, Perancangan percobaan (one or two way anova
parametrik). Ciri statistik parametrik : Data dengan skala interval dan rasio, Data menyebar
berrdistribusi normal.
 Statistik Non-Parametrik, yaitu statistik bebas sebaran (tidak mensyaratkan bentuk
sebaran parametrik populasi, baik normal atau tidak). Selain itu, statistik ini biasanya
menggunakan skala sosial, yaitu nominal dan ordinal yang umumnya tidak berdistribusi
normal. Contoh metode statistik Non-parametrik : uji tanda (sign test), Rank sum test
(wilcoxon), Rank correlation test (spearman), Fisher probability exact test, chi-square test.
Ciri-ciri statistik non parametrik : Data tidak berdistribusi normal, umumnya data nominal
atau ordinal, penelitian sosial, umumnya jumlah sampel kecil.
Dalam statistik inferensial diadakan pendugaan parameter, mebuat hipotesis serta melakukan
pengujian hipotesis tersebut sehingga sampai pada kesimpulan yang berlaku umum. Metode
seperti ini disebut juga sattistik induktif, karena kesimpulan yang diambil ditarik berdasarkan pada
informasi dari sebagian data saja. Pengambilan kesimpuln dari statistik inferensial yang hanya
didasarkan pada sebagian data saja yang menyebabkan sifat data tak pasti, memungkinkan
terjadinya kesalahan dalam pengambilan keputusan, sehingga pengetahuan mengenai teori
peluang mutlak diperlukan dalam melakukan metode –metode satistik inferensial.
3.7 Menjelaskan dan
menentukan
distribusi
peluang binomial
berkaitan
dengan fungsi
peluang binomial
4.7 Menyelesaikan
masalah
berkaitan
dengan
distribusi
peluang binomial
suatu percobaan
(acak) dan
penarikan
kesimpulannya
Statistik
inferensial
 Mencermati konsep
variabel acak.
 Mencermati konsep dan
sifat fungsi distribusi
binomial.
 Melakukan penarikan
kesimpulan melalui uji
hipotesis dari suatu
masalah nya yang terkait
dengan distribusi peluang
binomial
 Menyelesaikan masalah
berkaitan dengan distribusi
peluang binomial suatu
percobaan (acak) dan
penarikan kesimpulannya
 Menyajikan penyelesaian
masalah berkaitan dengan
distribusi peluang binomial
suatu percobaan (acak) dan
penarikan kesimpulannya
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

A. KONSEP VARIABEL ACAK
Suatu kejadian disebu acak (random event), kalu kejadian tersebut tak dapat ditentukan dengan
pasti sebelumnya.
Kegiatan 7.1
Mencermati konsep variabel acak dan fungsi probabilitas
Perhatikan kegiatan berikut ini :
Percobaan
Perkiraan mucul( sangat sukar
ditentukan terlebih dahulu
muncul/keluar
Probabilitas/
Peluang
Mata uang logam Rp. 500 dilempar Gambar burung ...
Suatu dadu dilempar Mata dadu 5 ...
Satu kartu diambil dari satu set karu
Bridge
Kartu AS ...
Probabilitas ialah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya kejadian acak. Kalau
A = suatu kejadian acak, maka P(A) = 0,90, berarti probabilitas bahwa A terjadi sebesar 0,90 atau
90%.
Perhatikan kegiatan berikut :
Pelembaran mata uang logam Rp. 500 dilempar 3 kali. Dimana B = muncul gambar burung, dan B’
= muncul Angka. Hasil pelemparan tersebut :
Pelemparan
Mungkin
Probabilitas Hasil perlemparan
... ...
Ada .....kemungkinan,
masing-masing dengan probabilitas .....
Misal x = banyaknya B setiap pelemparan, maka nilai x = 0,1,2,3.
X disebut variabel acak diskrit yaitu hasil suatu ekperiment atau
variabel yang nilainya tak dapat ditentukan dengan pasti,
sebelum terjadi.
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
X = 0, berasal B’B’B ’→ P (X = 0) =
8
1
X = 1, berasal ......,.........,......... → P (X = 1) = ...
X = 2, berasal ......,.........,......... → P (X = ...) = ...
X = 3, berasal BBB → P (X = 3) = ...
Di download dari:
www.m4th-lab.net
www.m4th-lab.net

Limit Trigonometri

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Limit Trigonometri

Similar to Limit Trigonometri (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Limit Trigonometri