ا

1. ‫العراق‬ ‫جمﻬورية‬
‫التربية‬ ‫وزارة‬
‫للمناهج‬ ‫العامة‬ ‫املديرية‬
‫م‬2019 / ‫هـ‬1440 ‫العاشرة‬ ‫الطبعة‬
‫تنقيﺢ‬
‫التربية‬ ‫وزارة‬ ‫في‬ ‫متخصصة‬ ‫لجنة‬
‫ﺍﻟرياضﻴات‬
‫العﻠمي‬ ‫الﺴاﺩس‬ ‫لﻠﺼف‬
‫اﻻحيائي‬ ‫الفرع‬

2. :‫اﻟﻄﺒـﻊ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻔﻨﻲ‬ ‫اﳌﺸﺮف‬ :‫اﻟﻄﺒﻊ‬ ‫ﻋﻠـﻰ‬ ‫اﻟﻌﻠﻤـﻲ‬ ‫اﳌﺸـﺮف‬
‫ﻣﺤﺴﻦ‬ ‫ﺳﻌﺪ‬ ‫ﺻﻼح‬ ‫ﺟﺎﺳﻢ‬ ‫اﳌﺠﻴﺪ‬ ‫ﻋﺒﺪ‬ ‫أﻣﻴﺮ‬.‫د‬
‫اﻻﺳﻮاق‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫وﺗﺪاوﻟﻪ‬ ‫ﺑﻴﻌﻪ‬ ‫وﳝﻨﻊ‬ ‫ﻣﺠﺎﻧﺎ‬ ‫ﻳﻮزع‬ ‫اﻟﻘﺎﻧﻮن‬ ‫اﻟﻰ‬ ‫اﺳﺘﻨﺎدا‬

3. ‫مقدمة‬
‫كانت‬ ‫لتناولﻬا‬ ‫جديدة‬ ‫وطرائق‬ ،‫الرياضيات‬ ‫في‬ ‫حديثة‬ ‫مناهج‬ ‫املتقدم‬ ‫العالم‬ ‫دول‬ ‫مﻦ‬ ‫الكثير‬ ‫في‬ ‫ظﻬرت‬ ‫لقد‬
ً‫ا‬‫تطوير‬ ‫فيﻬا‬ ‫وأحدثت‬ ،‫واجلامعات‬ ‫املدارس‬ ‫في‬ ‫التعليمية‬ ‫العملية‬ ‫في‬ ‫أثرت‬ ‫الة‬ّ‫ع‬‫ف‬ ‫ديناميكية‬ ‫حركة‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫سبب‬
‫التعليم‬ ‫مناهج‬ ‫لتطوير‬ ‫العمل‬ ‫في‬ ‫يسارع‬ ‫وان‬ ‫الركب‬ ‫بﻬﺬا‬ ‫العراق‬ ‫يلتحق‬ ‫أن‬ ‫الﻀروري‬ ‫مﻦ‬ ‫أﺻبﺢ‬ ‫وعليه‬ ،ً‫ا‬‫جﺬري‬
‫عالقة‬ ‫فﻬناك‬ ،‫واملدنية‬ ‫احلﻀارة‬ ‫دعائم‬ ‫إرساء‬ ‫في‬ ً‫ا‬‫طليعي‬ ً‫ا‬‫دور‬ ‫تلعب‬ ‫التي‬ ‫الرياضيات‬ ‫في‬ ‫وﺧاﺻة‬ ‫واساليبه‬
‫وبني‬ ‫ﺧاﺻة‬ ‫بصفة‬ ‫واالقتصادية‬ ‫والتكنولوجيه‬ ،‫واملدنية‬ ‫والﺰراعية‬ ‫الصناعية‬ ‫التنمية‬ ‫احتياجات‬ ‫بني‬ ‫طردية‬
. ‫مستوياتﻬا‬ ‫مبختلف‬ ‫التعليمية‬ ‫املﺆسسات‬ ‫في‬ ‫الرياضيات‬ ‫مناهج‬
‫هﺬا‬ ‫تأليف‬ ‫مت‬ ‫ﺧاﺻة‬ ‫بصورة‬ ‫الرياضيات‬ ‫ومناهج‬ ‫عامة‬ ‫بصورة‬ ‫الدراسية‬ ‫املناهج‬ ‫تطوير‬ ‫ﺧطة‬ ‫ضوء‬ ‫وفي‬
.‫االحيائي‬ ‫الفرع‬ /‫العلمي‬ ‫السادس‬ ‫الصف‬ ‫لطلبة‬ ‫التعليم‬ ‫تنويﻊ‬ ‫مشروع‬ ‫ضمﻦ‬ ‫الكتاب‬
‫تناول‬ ،‫فصول‬ ‫ستة‬ ‫في‬ ‫الكتاب‬ ‫هﺬا‬ ‫مادة‬ ‫تقﻊ‬ ‫اذ‬ ،‫اجلامعية‬ ‫قبل‬ ‫الرياضيات‬ ‫سلسلة‬ ‫مﻦ‬ ‫حلقة‬ ‫آﺧر‬ ‫هو‬ ‫الﺬي‬
‫في‬‫الثانية‬‫الدرجة‬‫مﻦ‬‫معادالت‬‫وحل‬،‫التربيعية‬‫اجلﺬور‬‫وايجاد‬‫عليﻬا‬‫والعمليات‬،‫املركبة‬‫االعداد‬‫االول‬‫الفصل‬
.‫بداللتيﻬما‬ ‫وكتابته‬ ‫وسعته‬ ‫املركب‬ ‫العدد‬ ‫مقياس‬ ً‫ا‬‫واﺧير‬ ‫القطبية‬ ‫واالحداثيات‬ ،‫املركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬
،‫الناقﺺ‬ ،‫(املكافيء‬ ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬ ‫متﻀمنة‬ ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬ ‫على‬ ‫احتوى‬ ‫فقد‬ ‫الثاني‬ ‫الفصل‬ ‫اما‬
. ‫مخروطي‬ ‫قطﻊ‬ ‫لكل‬ ‫املركﺰي‬ ‫واالﺧتالف‬ ،‫ﺧاﺻة‬ ‫حاالت‬ ‫في‬ ‫منﻬا‬ ‫لكل‬ ‫القياسية‬ ‫واملعادلة‬ )‫الﺰائد‬
‫الﺰمنية‬ ‫الت‬ّ‫واملعد‬ ‫لالشتقاق‬ ‫القابلة‬ ‫للدوال‬ ‫العليا‬ ‫املشتقات‬ ‫على‬ ‫الثالث‬ ‫الفصل‬ ‫واشتمل‬
‫والتقعر‬ ،‫باستخدامﻬا‬ ‫والتقريب‬ ‫املتوسطة‬ ‫القيمة‬ ‫ومبرهنة‬ ‫رول‬ ‫ومبرهنة‬ ‫اﶈلية‬ ‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫والقيم‬
‫فقد‬ ‫واللوغارﲤية‬ ‫االسية‬ ‫الدوال‬ ‫اشتقاق‬ ‫اما‬ ،‫النسبية‬ ‫واحلدوديات‬ ‫احلدود‬ ‫كثيرات‬ ‫بعض‬ ‫بيان‬ ‫ورسم‬ ‫والتحدب‬
‫االساسية‬ ‫املبرهنة‬ ‫الى‬ ‫التطرق‬ ‫مت‬ ‫اذ‬ ،‫وتطبيقاته‬ ‫التكامل‬ ‫موضوع‬ ‫على‬ ‫احتوى‬ ‫الﺬي‬ ‫الرابﻊ‬ ‫الفصل‬ ‫في‬ ‫عرضت‬
.‫للتكامل‬
‫منحنيني‬‫بني‬‫املساحة‬‫وايجاد‬‫والدائرية‬‫واالسية‬‫واللوغارﲤية‬‫اجلبرية‬‫الدوال‬‫تكامالت‬‫ايجاد‬‫على‬‫التركيﺰ‬‫ثم‬
‫املعادالت‬ ‫موضوع‬ ‫على‬ ‫اخلامس‬ ‫الفصل‬ ‫واحتوى‬ ‫الدورانية‬ ‫املجسمات‬ ‫وحجوم‬ ‫السينات‬ ‫ومحور‬ ‫منحني‬ ‫وبني‬
.)‫احلل‬ ،‫الدرجة‬ ،‫(الرتبة‬ ‫التفاضلية‬ ‫باملعادالت‬ ‫اخلاﺻة‬ ‫املفاهيم‬ ‫على‬ ‫اقتصر‬ ‫والﺬي‬ ‫التفاضلية‬
.‫املتجانسة‬ ‫واملعادالت‬ ،‫املتغيرات‬ ‫فصل‬ ‫على‬ ‫اال‬ ‫التفاضلية‬ ‫املعادالت‬ ‫حل‬ ‫عند‬ ‫يركﺰ‬ ‫ولم‬
‫الﻬندسة‬ ‫مادة‬ ‫مﻦ‬ ‫العلمي‬ ‫اخلامس‬ ‫الصف‬ ‫في‬ ‫الطالب‬ ‫درسه‬ ‫ملا‬ ‫تكملة‬ ‫تﻀمﻦ‬ ‫فقد‬ ‫االﺧير‬ ‫الفصل‬ ‫اما‬
‫املتعلقة‬ ‫واملبرهنات‬ ‫العمودي‬ ‫االسقاط‬ ‫ومفاهيم‬ ‫املتعامدة‬ ‫واملستويات‬ ‫الﺰوجية‬ ‫بالﺰاوية‬ ‫واملتعلقة‬ ‫املجسمة‬
.‫املوضوعات‬ ‫بﻬﺬﻩ‬
‫والتمرينات‬‫واملسائل‬‫واالمثلة‬‫والفيﺰيائية‬‫احلياتية‬‫التطبيقات‬‫مﻦ‬‫كاف‬‫قدر‬‫وجود‬‫الكتاب‬‫هﺬا‬‫في‬‫روعي‬‫وقد‬
‫سبقته‬ ‫التي‬ ‫للصفوف‬ ‫الرياضيات‬ ‫كتب‬ ‫مﻊ‬ ‫الكتاب‬ ‫هﺬا‬ ‫موضوعات‬ ‫تترابﻂ‬ ‫ان‬ ‫امكاننا‬ ‫جﻬد‬ ‫وتوﺧينا‬ ، ‫املنوعة‬
.‫الطلبة‬ ‫بني‬ ‫الفردية‬ ‫الفروق‬ ‫مراعاة‬ ‫عﻦ‬ ً‫ال‬‫فﻀ‬ ‫الالحقة‬ ‫دراستﻬم‬ ‫في‬ ‫الطلبة‬ ‫يدرسه‬ ‫ما‬ ‫ومﻊ‬
‫او‬ ‫مدرسيﻬم‬ ‫او‬ ‫امورهم‬ ‫واولياء‬ ‫الطلبة‬ ‫مﻦ‬ ‫بناء‬ ‫نقد‬ ‫بكل‬ ‫ومرحبني‬ ، ‫كله‬ ‫ذلك‬ ‫في‬ ‫وفقنا‬ ‫قد‬ ‫نكون‬ ‫ان‬ ‫آملني‬
‫وتطويرﻩ‬ ‫الكتاب‬ ‫إلثراء‬ ‫واالهتمام‬ ‫االﺧتصاص‬ ‫ذوي‬ ‫مﻦ‬
‫التوفيق‬ ‫ولي‬ ‫واهلل‬
‫التنقيﺢ‬ ‫جلنة‬

4. ‫حصـة‬ )18( ‫االول‬ ‫الفصل‬
5
42
‫حصـة‬ )18( ‫الثاني‬ ‫الفصل‬
43
73
‫حصـة‬ )48( ‫الثالث‬ ‫الفصل‬
74
135
‫حصـة‬ )36( ‫الرابﻊ‬ ‫الفصل‬
136
178
‫حصـة‬ )18( ‫اخلامس‬ ‫الفصل‬
179
198
‫حصة‬ )12( ‫السادس‬ ‫الفصل‬
199
220
4
‫المحتويات‬
1
2
3
4
5
6

5. Compl e x Numbe r s ‫اﳌركبة‬ ‫اﻻﻋداﺩ‬
1
.‫احلقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫توسيع‬ ‫الى‬ ‫احلاجة‬ ]1-1[
.‫املركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫العمليات‬ ]1-2[
.‫املركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ]1-3[
.‫املركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫اجلذور‬ ]1-4[
.C ‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫املعادلة‬ ‫حل‬ ]1-5[
.‫املركبة‬ ‫لالعداد‬ ‫الهندسي‬ ‫التمثيل‬ ]1-6[
.‫املركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ]1-7[
.‫دﳝواﭬر‬ ‫مبرهنة‬ ]1-8[
Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
‫الول‬G π°üØdG
Chapter One
‫الرياﺿية‬ ‫العﻼﻗة‬ ‫اﻭ‬ ‫الرﻣﺰ‬ ‫اﳌﺼﻄﻠﺢ‬
R(z) = x = r cos θ
I (z) = y = r sin θ
arg (z) = θ
r = ||z|| = mod z
LHS
RHS
w
N
Z
Q
R
R (z):z ‫لﻠعدﺩ‬ ‫اﳊقيقي‬ ‫اﳉﺰﺀ‬
I (z): z ‫لﻠعدﺩ‬ ‫الﺘﺨيﻠي‬ ‫اﳉﺰﺀ‬
z ‫اﳌركب‬ ‫العدﺩ‬ ‫سعة‬
z ‫اﳌركب‬ ‫العدﺩ‬ ‫ﻣقياس‬
‫اﻻيﺴر‬ ‫الﻄرف‬
‫اﻻمين‬ ‫الﻄرف‬
‫الكﻠية‬ ‫األﻋداﺩ‬
‫الﻄبيعية‬ ‫اﻻﻋداﺩ‬
‫الﺼحيحة‬ ‫اﻻﻋداﺩ‬
‫النﺴبية‬ ‫اﻻﻋداﺩ‬
‫اﳊقيقية‬ ‫اﻻﻋداﺩ‬
‫اﳌركبة‬ ‫اﻻﻋداﺩ‬
5 C

6. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
6
.‫احلقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫توسيع‬ ‫الى‬ ‫احلاجة‬ ]1-1[
‫حل‬ ‫يوجد‬ ‫انه‬ ‫وعرفنا‬ ،)Linear Equation( ‫اخلطية‬ ‫املعادلة‬ ‫حل‬ ‫السابقة‬ ‫الصفوف‬ ‫في‬ ‫درسنا‬ ‫لقد‬
.‫ﺧطية‬ ‫معادلة‬ ‫الية‬ ‫احلقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫في‬ ‫واحد‬
‫ال‬ ‫آﺧر‬ ‫ونوع‬ ،‫احلقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫في‬ ‫حل‬ ‫منﻬا‬ ‫معني‬ ‫لنوع‬ ‫أنه‬ ‫تبني‬ ‫التربيعية‬ ‫للمعادلة‬ ‫دراستنا‬ ‫وعند‬
‫تعلمت‬ ‫وكما‬ )x2
+ 4x+ 5 =0( ، ) x2
+ 1 = 0(: ‫املعادالت‬ ‫مثل‬ ،‫املجموعة‬ ‫هﺬﻩ‬ ‫في‬ ‫حل‬ ‫لﻬا‬ ‫يوجد‬
‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫في‬ ‫حل‬ ‫لﻬا‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ً‫ا‬‫سالب‬ ً‫ا‬‫عدد‬ )b2
- 4ac( ‫مميﺰها‬ ‫يكون‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫املعادالت‬ ‫ان‬
.‫احلقيقية‬
‫توسيﻊ‬ ‫الى‬ ‫احلاجة‬ ‫الى‬ ‫ادى‬ ‫والﻬندسية‬ ‫الفيﺰياوية‬ ‫التطبيقات‬ ‫مﻦ‬ ‫العديد‬ ‫في‬ ‫املعادالت‬ ‫هﺬﻩ‬ ‫مثل‬ ‫ظﻬور‬ ‫ان‬
‫موضوع‬ ‫تكون‬ ‫سوف‬ ‫والتي‬ ‫املركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫هي‬ ‫منﻬا‬ ‫اوسﻊ‬ ‫مجموعة‬ ‫الى‬ ‫احلقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬
.‫الفصل‬ ‫هﺬا‬ ‫في‬ ‫دراستنا‬
)-1( ‫يساوي‬ ‫مربعه‬ ً‫ا‬‫حقيقي‬ ً‫ا‬‫عدد‬ ‫الجند‬ )x2
=-1( ‫أو‬ )x2
+1=0( ‫املعادلة‬ ‫حل‬ ‫نريد‬ ‫عندما‬ ‫إننا‬
‫التخيلية‬ ‫الوحدة‬ ‫ويسمى‬ )i( ‫بالرمﺰ‬ ‫له‬ ‫ونرمﺰ‬ ‫حقيقي‬ ‫غير‬ ‫وهو‬ −1 ‫يساوي‬ ‫عدد‬ ‫وجود‬ ‫نفترض‬ ‫لﺬلك‬
.‫القياس‬ ‫أو‬ ‫العد‬ ‫مﻊ‬ ‫تقرن‬ ‫التي‬ ‫االعداد‬ ‫مﻦ‬ ‫ليس‬ ‫وهو‬ )Imaginary Unit(
‫حساب‬ ‫نستطيﻊ‬ ‫ولﻬﺬا‬ ،‫الترتيب‬ ‫ﺧاﺻية‬ ‫عدا‬ ‫ما‬ ‫احلقيقية‬ ‫لالعداد‬ ‫اجلبرية‬ ‫اخلواص‬ ‫يحقق‬ )i( ‫العدد‬ ‫إن‬
:‫اآلتية‬ ‫األمثلة‬ ‫في‬ ‫كما‬ )i( ‫قوى‬
i2
= -1
i3
= i2
. i = )-1(.i = -i
i4
= i2
. i2
= )-1( )-1( = 1
i27
= i26
.i = )i2
(13
.i = )-1(13
.i = -i
i81
= i80
.i= )i2
(40
.i = )-1(40
.i = 1.i = i
i-7
= )i(-8
.i = )i2
(-4
.i = )-1(-4
. i = i
i-15
= i-16
.i = )i2
(-8
.i = )-1(-8
. i = i

7. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
7
i4n+r
= ir
, n ∈w , r= 0, 1, 2, 3 ‫حيث‬
whole Numbers w={0,1,2,...} ‫حيث‬
‫يكون‬ ‫عامة‬ ‫وبصورة‬
{- i, i , -1 ,1 } ‫املجموعة‬ ‫عناﺻر‬ ‫احد‬ ‫يكون‬ ‫فالناجت‬ ‫موجب‬ ‫ﺻحيﺢ‬ ‫لعدد‬ )i( ‫رفﻊ‬ ‫عند‬ ‫انه‬ ‫يعني‬ ‫وهﺬا‬
.)i( ‫الى‬ ‫اجلديد‬ ‫األس‬ ‫هو‬ ‫والباقي‬ )4( ‫على‬ )i( ‫أس‬ ‫نقسم‬ ‫حيث‬
.1 ‫والباقي‬ 6 ‫يساوي‬ 4 ‫على‬ 25 ‫قسمة‬ ‫ناجت‬ ‫ألن‬ i25
= i : ً‫ال‬‫فمث‬
. 3 ‫والباقي‬ 24 ‫يساوي‬ 4 ‫على‬ 99 ‫قسمة‬ ‫ناجت‬ ‫ألن‬ i99
= i3
= -i
:‫ﺻورة‬ ‫ابسﻂ‬ ‫في‬ ‫يلي‬ ‫ما‬ ‫اكتب‬
-1 -‫مثال‬
)a( i16
)b( i58
)c( i12n+93
)d( i-13
:‫احلل‬
)a( i16
= i4 )4( + 0
= i0
= 1
)b( i58
= i4 )14( + 2
= i2
= -1
)c( i12n+93
= )i4
(3n
. i93
= )1(3n
i4)23(+1
=)1()i(=i
)d( i-13
=
1
i13
=
i16
i13
=i3
= -i
‫مالحظـة‬
:ً‫ال‬‫فمث‬ i ‫بداللة‬ ‫ﺳالب‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫ألي‬ ‫التربيعية‬ ‫اجلﺬور‬ ‫كتابة‬ ‫ﳝكننا‬
−16 = 16 . −1 = 4 i
−25 = 25 . −1 = 5 i
−12 = 12 . −1 = 2 3
−15 = 15 . −1 = 15 i
i
i
i
i

8. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
8
‫يكون‬ ‫عامة‬ ‫وبصورة‬
≥ n −a = a . −1 = a i
i , ∀ a≥0
‫عدد‬ b ،‫حقيقي‬ ‫عدد‬ a ‫حيث‬ )a+bi( ‫العدد‬ ‫نسمي‬ ‫ماذا‬ ‫التخيلي‬ ‫العدد‬ ‫على‬ ‫تعرفنا‬ ‫أن‬ ‫بعد‬ ‫واآلن‬
‫؟‬i = −1 =
،‫حقيقي‬
‫مالحظـة‬
‫للزوﺝ‬ ً‫ا‬‫مناﻇر‬ ‫جعله‬ ‫ﳝكن‬ c = a + bi ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫اي‬ ‫ان‬
)a,b( ‫الوحيد‬ ‫املرتب‬
‫وان‬ .)a,0( ‫أو‬ a+0i ‫بالشكل‬ ‫كتابته‬ ‫ﳝكﻦ‬ a ‫احلقيقي‬ ‫فالعدد‬ ‫وبالعكس‬ ،‫حقيقيان‬ ‫عددان‬ b,a ‫أن‬ ‫اذ‬
. i= 0+1i ‫او‬ i ⇔ )0,1 ( :‫ان‬ ‫حيث‬ ) Imaginary Unit( i ‫العدد‬
‫والعدد‬ )pure Imaginary Number ( ‫بحت‬ ‫تخيلي‬ ‫عدد‬ )0 , b( ⇔ bi ‫للعدد‬ ‫يقال‬
. )Pure Real Number( ‫بحت‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫إنه‬ )a , 0( ⇔ a= a+0i
3 ‫التخيلي‬ ‫وجﺰؤﻩ‬ -2 ‫احلقيقي‬ ‫جﺰؤﻩ‬ ، ‫مركب‬ ‫عدد‬ -2 + 3i ‫فالعدد‬
0 ‫التخيلي‬ ‫وجﺰؤﻩ‬ -2 ‫احلقيقي‬ ‫جﺰؤﻩ‬ ، ‫مركب‬ ‫عدد‬ -2 ‫والعدد‬
-3 ‫التخيلي‬ ‫وجﺰؤﻩ‬ 0 ‫احلقيقي‬ ‫جﺰؤﻩ‬ ، ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫فﻬي‬ -3i ‫العدد‬ ‫اما‬
ٌ
‫مـــــركب‬ ٌ‫د‬‫عــــد‬ i = −1 =
‫حقيقيـان‬ ‫عـــددان‬ a,b ‫حيــث‬ c = a+bi ‫للعــــدد‬ ‫يقــــال‬
‫التخيلي‬ ‫جﺰؤﻩ‬ b ‫ويسمى‬ ) Real Part (‫احلقيقي‬ ‫جﺰؤﻩ‬ a ‫يسمى‬ ،)Complex Number(
a +bi ‫للصيغة‬ ‫ويقال‬ ‫بالرمﺰ‬ ‫املركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫الى‬ ‫ويرمﺰ‬ .)Imaginary Part(
.‫املركب‬ ‫للعدد‬ ‫اجلبرية‬ ‫أو‬ ‫العادية‬ ‫الصيغة‬
[1-1[ ‫تعـــريـف‬
C

9. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
9
: a+bi ‫ﺻورة‬ ‫على‬ ‫اآلتية‬ ‫األعداد‬ ‫اكتب‬
-2 -‫مثال‬
a)−5 b) −100 c)−1− −3 d)1+ −25
4
:‫احلل‬
a) −5 = −5+0 i
b) −100 = 100 −1 =10 i = 0+10 i
c) −1 − −3 = −1− 3 −1 = −1− 3 i
d)
1+ −25
4
=
1
4
+
25 −1
4
=
1
4
+
5
4
i
‫عدد‬ ‫ﺻورة‬ ‫على‬ ‫كتابته‬ ‫ﳝكﻦ‬ ‫اي‬ )a ,0( ‫أو‬ a+ 0i ‫بالشكل‬ ‫كتابته‬ ‫ﳝكﻦ‬ a ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫كل‬ ‫ان‬ ‫مبا‬
: ‫أن‬ ‫يبني‬ ‫هﺬا‬ ‫فان‬ ‫ﺻفر‬ ‫التخيلي‬ ‫جﺰؤﻩ‬ ‫مركب‬
‫الﺘﺨيﻠيان‬ ‫ﺟﺰﺀاهما‬ ‫ﻭتﺴاﻭﻯ‬ ‫اﳊقيقيان‬ ‫ﺟﺰﺀاهما‬ ‫تﺴاﻭﻯ‬ ‫اﺫا‬ ‫اﳌركبان‬ ‫العدﺩان‬ ‫يﺘﺴاﻭﻯ‬ ‫اﻱ‬
.‫ﻭﺑالعكﺲ‬
c1
= a1
+ b1
i , c2
= a2
+ b2
i : ‫كان‬ ‫اذا‬
c1
= c2
⇔ a1
= a2
, b1
= b2
: َّ‫ن‬‫فﺈ‬
[1-2[ ‫تعـــريـف‬
i
i i
i
‫مالحظـة‬
‫مجموعة‬ ‫من‬ ‫جزئية‬ ‫مجموعة‬ ‫هي‬ R ‫اﳊقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬
. R ⊂ ‫ان‬ ‫اي‬ ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
− = − +
− = − = = +
− − − = − − −1 = −1− 3 i
+ −
= +
−1
=
1
+
5
i
i
C
C

10. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
10
. ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫املعادلة‬ ‫حتققان‬ ‫اللتني‬ ‫احلقيقيتني‬ y , x ‫مﻦ‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬
- 3 -‫مثال‬
a( 2x -1 +2i = 1+)y+1(i .
b( 3x+4i = 2 +8yi
c( )2y+1( - )2x-1(i = -8+ 3i
:‫احلل‬
a( ∵ 2x-1 +2i = 1+)y+1(i
∴ 2x -1 = 1 ⇒ 2x = 2
⇒ x =1
2 = y+1 ⇒ y = 2-1
∴ y=1
b( 3x+4i = 2 + 8yi
∴ 3x = 2 , 4 = 8y ⇒
x= 2
3
, y = 4
8
= 1
2
c( ∵ )2y+1( - )2x-1(i = -8 + 3i
∴ 2y+1 = - 8 , - )2x -1 ( = 3 ⇒
2y = -9 , -2x = 2 ⇒
y = −9
2
, x = -1

11. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
11
.‫املركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫العمليات‬ ]1-2[
: ‫اﳌركبة‬ ‫اﻻﻋداﺩ‬ ‫ﻣﺠمﻮﻋة‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫اﳉمﻊ‬ ‫ﻋمﻠية‬ :‫ﹰ‬‫ﻻ‬‫اﻭ‬
‫فان‬ c1
, c2
∈ ‫حيث‬ c2
= a2
+ b2
i , c1
= a1
+ b1
i ‫ليكﻦ‬
c1
+ c2
= )a1
+ a2
( + )b1
+ b2
( i
‫مغلقة‬ ‫احلقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫الن‬ ) a1
+ a2
( ∈ R ،)b1
+b2
( ∈ R :‫أن‬ ‫تعلم‬ ‫وكما‬
. ‫اجلمﻊ‬ ‫عملية‬ ‫حتت‬
∴ )a1
+ a2
( + )b1
+ b2
( i ∈
.‫اجلمﻊ‬ ‫عملية‬ ‫حتت‬ ‫مغلقة‬ ‫املركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫اي‬
[1-3[ ‫تعـــريـف‬
: ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫املركبني‬ ‫العدديﻦ‬ ‫مجموع‬ ‫جد‬
-4 -‫مثال‬
a)3+4 2i, 5−2 2i
b)3, 2−5i
c)1−i, 3i
: ‫احلل‬
a)(3+4 2i)+(5−2 2i)=(3+5)+(4 2 −2 2)i
=8+2 2i
b)(3)+(2−5i)=(3+0i)+(2−5i)
=(3+2)+(0−5)i = 5−5i
c)(1−i)+3i =(1−i)+(0+3i)
=(1+0)+(−1+3)i =1+2i
i i
i
i i
i i i
i
i i i
i i
i i i i
i i
C
C

12. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
12
‫ﺍﳌرﻛﺒﺔ‬ ‫ﺍﻻﻋﺪﺍﺩ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﳉﻤﻊ‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺔ‬ ‫ﺧﻮﺍﺹ‬
:‫اآلتية‬ ‫باخلواص‬ ‫املركبة‬ ‫االعداد‬ ‫على‬ ‫اجلمﻊ‬ ‫عملية‬ ‫تتمتﻊ‬
∀c1
, c2
, c3 ∈
:‫فان‬
)1( c1
+ c2
= c2
+ c1
)Commutativity( . ‫االبدالية‬ ‫اخلاﺻية‬ *
)2( c1
+ )c2
+c3
( = )c1
+ c2
( +c3
)Associativity( .‫التجميعية‬ ‫اخلاﺻية‬ *
)3( )Additive Inverse( .‫اجلمعي‬ ‫النظير‬ *
)4( e = 0 = 0 + 0i ∈ ‫عرف‬ُ‫ي‬‫و‬ e ‫بالرمﺰ‬ ‫له‬ ‫يرمﺰ‬ Additive Identity .‫اجلمعي‬ ‫اﶈايد‬ ‫*العنصر‬
‫مالحظـة‬
‫العدد‬ ‫جمﻊ‬ ‫حاﺻل‬ ‫يساوي‬ ‫ﺁﺧر‬ ‫من‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫ﺃي‬ ‫طرﺡ‬ ‫ان‬
.‫الثاني‬ ‫املركب‬ ‫للعدد‬ ‫اجلمعي‬ ‫النظير‬ ‫مﻊ‬ ‫االوﻝ‬ ‫املركب‬
: ‫ناجت‬ ‫جد‬
-5 -‫مثال‬
)7-13i( - )9+4i(
: ‫احلل‬
)7-13i( - )9+4i(
=)7-13i( + )-9 -4i(
=)7-9( + )-13 - 4(i
= -2 - 17i
C
∀c ∈ = + ∃ ∈ + = + = ⇒ = − = − −
C
∀ ∈£ , c = a + bi ∃ z ∈£ + = + = ⇒ = − = − −
C
∀ ∈ = + ∃ ∈£ : c + z = z+ c = 0 ⇒ z = −c = −a − bi
C

13. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
13
:‫املعادلة‬ ‫حل‬
-6 -‫مثال‬
)2-4i( +x=-5+i
x ∈ ‫حيث‬
: ‫احلل‬
)2-4i( +x= -5+i
)2-4i(+)-2+4i(+x = )-5+i(+)-2+4i( ‫للطرفني‬ )2-4i( ‫للعدد‬ ‫اجلمعي‬ ‫النظير‬ ‫باضافة‬
∴ x = )-5+i(+)-2+4i(
= )-5-2(+)1+4(i
x = -7+5i
: ‫املركبة‬ ‫االعداد‬ ‫جمموعة‬ ‫على‬ ‫ال�سرب‬ ‫عملية‬ :ً‫ا‬‫ثاني‬
‫العدد‬ i2
‫مﻦ‬ ً‫ال‬‫بد‬ ‫ونعوض‬ ‫جبريني‬ ‫مقداريﻦ‬ ‫بصفتﻬما‬ ‫بﻀربﻬما‬ ‫نقوم‬ ‫مركبني‬ ‫عدديﻦ‬ ‫ضرب‬ ‫عملية‬ ‫اليجاد‬
:‫يأتي‬ ‫كما‬ )-1(
‫فان‬ c2
= a2
+ b2
i , c1
= a1
+b1
i ‫كان‬ ‫اذا‬
c1
. c2
= )a1
+b1
i( )a2
+ b2
i(
= a1
a2
+ + a1
b2
i + a2
b1
i + b1
b2
i2
= a1
a2
+ a1
b2
i + a2
b1
i - b1
b2
= )a1
a2
- b1
b2
(+ )a1
b2
+ a2
b1
(i
‫مالحظـة‬
‫فان‬ c = a + b i
m c = m a + m b i
m ∈R ، ‫كان‬ ‫اذا‬
C

14. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
14
: ‫فان‬ c1
,c2
∈ ‫حيث‬ c2
= a2
+ b2
i , c1
= a1
+ b1
i ‫ليكﻦ‬
c1
. c2
= )a1
a2
- b1
b2
( + )a1
b2
+ a2
b1
(i
‫الن‬ )a1
b2
+ a2
b1
( ∈ R ‫وان‬ )a1
a2
- b1
b2
( ∈ R : ‫تعلم‬ ‫وكما‬
‫الﻀرب‬ ‫عملية‬ ‫حتت‬ ‫مغلق‬ R
c1
. c2
∈ ‫فان‬ ‫لﺬلك‬
.‫الﻀرب‬ ‫عملية‬ ‫حتت‬ ‫مغلقة‬ ‫املركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫أي‬
[1-4[ ‫تعـــريـف‬
: ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كال‬ ‫ناجت‬ ‫جد‬
-7 -‫مثال‬
a)(2−3i)(3−5i)
b)(3+4i)2
c)i(1+i)
d)−
5
2
(4+3i)
e)(1+i)
2
+(1−i)
2
: ‫احلل‬
a)(2 − 3i)(3−5i) = (6 −15)+(−10 − 9)i
=−9−19i ‫بالتوزيﻊ‬ ‫الﻀرب‬ ‫حاﺻل‬ ‫ايجاد‬ ‫ﳝكﻦ‬ ‫او‬
)2-3i()3-5i(=6-10i-9i+15i2
= -9-19i
b)(3+4i)2 =9+24i +16i2
=9+24i −16
=−7+24i
(3+4i)2
= (3+4i)(3+4i) = (9 - 16) + (12+12) i = -7 +24i ‫ﺃﻭ‬
c)i(1+i)=i +i2 =−1+i
i i
i
i i
i
i i
i i i
i
i i i
i
i
i i i i i
C
C

15. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
15
d)−
5
2
(4+3i)=−10−
15
2
i
e)(1+i)
2
+(1−i)
2
=(1+2i+i2
)+(1−2i+i2
)
= 2i+)-2i(= 0
‫ﺍﳌرﻛﺒﺔ‬ ‫ﺍﻻﻋﺪﺍﺩ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻀرﺏ‬ ‫ﻋﻤﻠﻴﺔ‬ ‫ﺧﻮﺍﺹ‬
:‫اآلتية‬ ‫باخلواص‬ ‫املركبة‬ ‫االعداد‬ ‫على‬ ‫الﻀرب‬ ‫عملية‬ ‫تتمتﻊ‬
∀c1
, c2
, c3 ∈
)1( c1
× c2
= c2
× c1
)Commutativity(.‫االبدالية‬‫اخلاﺻية‬ *
)2( c1
× )c2
×c3
( = )c1
× c2
( ×c3
)Associativity( .‫التجميعية‬‫اخلاﺻية‬ *
)3( 1= )1+0i( ‫وهو‬ )Multiplicative Identity( ‫الﻀربي‬ ‫اﶈايد‬ ‫العنصر‬ ‫يتوفر‬ *
)Multiplicative Inverse( ‫الﻀربي‬ ‫النظير‬ *
)4(∀c ≠ 0 + 0i , ∃ z ≠ 0 + 0i :c z = z c = 1⇒ z =
1
c
‫الى‬ ‫ينتمي‬ )‫الصفر‬ ‫عﻦ‬ ‫(يختلف‬ ‫ضربي‬ ‫نظير‬ ‫له‬ ‫يوجد‬ ‫الصفر‬ ‫عدا‬c ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫لكل‬ ‫ان‬ ‫اي‬
.‫املركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬
Conjugate Number ‫املــركب‬ ‫العــدد‬ ‫مرافــــق‬ ]1-3[
∀ a, b∈R ، c = a-bi ‫املركب‬ ‫العدد‬ ‫هو‬ c=a+bi ‫املركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬
[1-5[ ‫تعـــريـف‬
. ‫وبالعكس‬ )-i( ‫هو‬ )i( ‫مرافق‬ ‫وكﺬلك‬ ،‫وبالعكس‬ 3-i ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫هو‬ 3+i :ً‫ال‬‫فمث‬
. 7 ‫هو‬ 7 ‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫وكﺬلك‬ ،‫وبالعكس‬ 5+4i ‫مرافق‬ 5-4i ‫وان‬
i i
i i i i i i
c
1
C
C

16. Complex Numbers ‫اﳌﺮﻛﺒﺔ‬ ‫اﻻﻋﺪاد‬
16
: ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻓﺘﺤﻘﻖ‬ c1
= 1 + i , c2
= 3 - 2i ‫ﻛﺎن‬ ‫اذا‬
-8 -‫ﻣﺜﺎل‬
(1) c1 ±c2 = c1 ±c2 (2)
c1 g c2 = c1 g c2
‫مالحظـة‬
:‫اآلتية‬ ‫اﳋواﺹ‬ ‫يحقق‬ ‫ﺃنه‬ ‫املرافق‬ ‫تعريﻒ‬ ‫من‬ ‫يتضﺢ‬
1) c1 ±c2 = c1 ± c2
2)
c1 g c2 = c1 g c2
3) c=c
4) c . c = a2
+b2
‫ﻓﺎن‬ c = a + bi ‫ﻛﺎن‬ ‫اذا‬
5) c=c ‫ﻓﺎن‬ ∈ R ‫ﻛﺎن‬ ‫اذا‬
6)
:‫اﳊﻞ‬
(1) c1 +c2 = (1+ i)+ (3− 2i)
=(4−i)= 4+i
c1 +c2 = (1+ i)+ (3− 2i)
=(1−i)+(3+2i) = 4+i
∴c1 +c2 = c1 +c2
(2)
c1 g c2 = (1+i)(3−2i)
= 3−2i +3i −2i2
= 5+i = 5 −i
c1 . c2 = (1+i) (3−2i) = (1- i) ( 3+2i)
∴c1 g c2 = c1 g c2
c
i i
i
i i
i i i
i i
i
i
i
i
i
i i
i
= (3+ 2)+(2 − 3)i =5−i
i i
c1
c2





 =
c1
c2
c2 ≠ 0
c1 −c2 = c1 −c2 ‫ان‬ ‫ﺑﻨﻔﺴﻚ‬ ‫ﺗﺄﻛﺪ‬
,
=
1
− 2i
×
2+
2+
=
1
− 2i
×
2+
2+
=
1
− 2i
×
2+
2+
=
1
− 2i
×
2+
2+
=
1
− 2i
×
2+
2+
=
1
− 2i
×
2+
2+
=
1
− 2i
×
2+
2+
=
1
− 2i
×
2+
2+
=
1
− 2i
×
2+
2+

17. Complex Numbers ‫اﳌﺮﻛﺒﺔ‬ ‫اﻻﻋﺪاد‬
17
.‫اﳌﺮﻛﺐ‬ ‫ﻟﻠﻌﺪد‬ ‫اﻟﻌﺎدﻳﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﺼﻴﻐﺔ‬ ‫وﺿﻌﻪ‬ c = 2 - 2i ‫ﻟﻠﻌﺪد‬ ‫اﻟﻀﺮﺑﻲ‬ ‫اﻟﻨﻈﻴﺮ‬ ‫ﺟﺪ‬
-9 -‫ﻣﺜﺎل‬
1
c
‫ﻫﻮ‬ c ‫ﻟﻠﻌﺪد‬ ‫اﻟﻀﺮﺑﻲ‬ ‫اﻟﻨﻈﻴﺮ‬
:‫اﳊﻞ‬
1
c
=
1
2− 2i
=
1
2− 2i
×
2+ 2i
2+ 2i
=
2+ 2i
4+ 4
=
2+ 2i
8
=
1
4
+
1
4
i
.‫اﳌﺮﻛﺐ‬ ‫ﻟﻠﻌﺪد‬ ‫ﺔ‬ّ‫ﻳ‬‫اﻟﻌﺎد‬ ‫ﺑﺎﻟﺼﻴﻐﺔ‬ 3− 2i
5 +i
‫اﻟﻌﺪد‬ ‫ﺿﻊ‬
-10 -‫ﻣﺜﺎل‬
:‫اﳊﻞ‬
3− 2i
5 +i
=
3− 2i
5 +i
×
5 −i
5 −i
=
(15 −2)+(−3−10)i
25+1
=
13−13i
26
=
1
2
−
1
2
i
c1
c2





 =
c1
c2
: ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻓﺘﺤﻘﻖ‬ c2
= 1 + i , c1
= 3 - 2i ‫ﻛﺎن‬ ‫اذا‬
-11 -‫ﻣﺜﺎل‬
: ‫اﳊﻞ‬
c1
c2





 =
3− 2i
1+i






i
i i i
i i
i
i
i
i i i
i i i
i i
i
i
i
3−2i
i
=
x+ yi
1− 5i
xi + yi2
= 3−15i −2i +10i2
− = 7 −17
∴ = −
=
. x, y ∈ R ‫ﻣﻦ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﻓﺠﺪ‬ ‫ﻣﺘﺮاﻓﻘﺎن‬ x − yi
1+ 5i
=
3− 2i
i
‫ﻛﺎن‬ ‫اذا‬
xi − y = −7 −17i
∴x = −17
= 7
,
− = − −
∴ = −
y = 7
3− 2i
i
=
x − yi
1+ 5i







18. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
18
=
3− 2i
1+i
×
1−i
1−i





 =
3− 3i − 2i + 2i2
1+1






=
1−5i
2





 =
1
2
−
5
2
i =
1
2
+
5
2
i
c1
c2
c1
c2
=
3− 2i
1+i
=
3+ 2i
1−i
=
3+2i
1−i
×
1+i
1+i
=
3+ 3i + 2i + 2i2
1+1
=
1+ 5i
2
=
1
2
+
5
2
i
∴
c1
c2





 =
c1
c2
:a+bi ‫بالصورة‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫ضﻊ‬
-12 -‫مثال‬
a(
1+i
1−i
b(
2 −i
3+ 4i
c(
1+ 2i
−2+i
i i i i i
i i
i
i i
i i
i
i
i i i i i
i i
i
i
i
i
i
i
i
i
‫مالحظـة‬
‫حيث‬ c2
‫املركب‬ ‫العدد‬ ‫على‬ c1
‫املركب‬ ‫العدد‬ ‫قسمة‬ ‫الجراء‬
:‫فيكون‬ ‫املقام‬ ‫مبرافق‬ c1
c2
‫املقدار‬ ‫ومقام‬ ‫بسط‬ ‫نضرب‬ ‫فاننا‬ c2
≠0
c1
c2
=
c1
c2
×
c2
c2

19. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
19
:‫احلل‬
a(
1+i
1−i
=
1+i
1−i
×
1+i
1+i
=
1+ 2i +i2
1+1
=
2i
2
= i = 0+i
b( 2 −i
3+ 4i
=
2 −i
3+ 4i
×
3− 4i
3− 4i
=
6 −8i − 3i + 4i2
9+16
=
2 −11i
25
=
2
25
−
11
25
i
c(
1+ 2i
−2+i
=
1+ 2i
−2+i
×
−2 −i
−2 −i
=
−2 −i − 4i − 2i2
4 +1
=
−5i
5
= −i = 0 −i
‫مالحظـة‬
‫كل‬ ‫مركبني‬ ‫عددين‬ ‫ضرب‬ ‫حاﺻل‬ ‫الى‬ x2
+y2
‫حتليل‬ ‫ﳝكن‬
: ‫وذلﻚ‬ a+bi ‫الصورة‬ ‫من‬ ‫منهما‬
x2
+y2
= x2
- y2
i2
= )x-yi()x+yi(
b,a ‫حيث‬ a+bi ‫ﺻورة‬ ‫مﻦ‬ ‫عاملني‬ ‫ضرب‬ ‫حاﺻل‬ ‫الى‬ 53 ، 10 ‫العدديﻦ‬ ‫مﻦ‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫حلل‬
-13 -‫مثال‬
. ‫نسبيني‬ ‫عدديﻦ‬
:‫احلل‬
● 10 = 9 + 1 ‫او‬ 10 = 1+9
= 9-i2
= 1-9i2
= )3-i()3+i( = )1-3i()1+3i(
●53 = 49 + 4 ‫او‬ 53 = 4 + 49
= 49 - 4i2
= 4 - 49i2
= )7 - 2i ( )7 + 2i( = )2-7i()2+7i(
i i i
i i i
i i i
i i
i i i i i i i
i
i
i
i
i i i i i i i i i
i
i
i

20. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
20
)
1
-1( ‫ن‬‫ي‬‫ر‬‫ا‬‫م‬
‫ت‬
:‫املركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫ضﻊ‬ .1
i5
, i6
, i124
, i999
, i4n+1
∀ , )2+3i(2
+ )12+2i(
)10 + 3i()0 + 6i( , )1+i(4
- )1-i(4
, 12+i
i
, , 3+ 4i
3− 4i
,
i
2+ 3i
, , 3+i
1+i






3
, ,
2+ 3i
1−i
×
1+ 4i
4 +i
. , )1+i(3
+ )1-i(3
:‫اآلتية‬ ‫املعادالت‬ ‫حتققان‬ ‫اللتني‬ ‫احلقيقيتني‬ y , x ‫مﻦ‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ .2
a( y+ 5i = (2x+i)(x+ 2i) b( 8i = (x+ 2i)(y+ 2i)+1
c(
1−i
1+i





+(x+ yi) = (1+ 2i)2
d( 2 −i
1+i
x+
3−i
2+i
y =
1
i
: ‫ان‬ ‫اثبت‬ .3
a(
1
2 −i
( )2
−
1
2+i
( )2
=
8
25
i b(
1−i
( )2
1+i
+
1+i
( )2
1−i
= −2
c( (1−i)(1−i2
)(1−i3
) = 4
b, a ‫حيث‬ a+ bi ‫الصورة‬ ‫مﻦ‬ ‫عاملني‬ ‫ضرب‬ ‫حاﺻل‬ ‫الى‬ 29 ،125 ، 41 ، 85 ‫االعداد‬ ‫مﻦ‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫حلل‬ .4
.‫نسبيان‬ ‫عددان‬
. ‫مترافقان‬ 3+i
2−i
,
6
x+ yi
‫ان‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬ ‫احلقيقيتني‬ y , x ‫قيمة‬ ‫جد‬ -5
i
i
i i
i
i
i
i
i i
i i
i i i i i i
i
i
i i i i
i i i
i i i
i
i i
i
i i i
n ∈ w

21. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
21
. ‫املركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫اجلذور‬ ]1-4[
‫منﻬما‬ ‫كل‬ ‫يحقق‬ ± a ‫هما‬ ‫حقيقيان‬ ‫عددان‬ ‫يوجد‬ ‫فانه‬ ً‫ا‬‫موجب‬ ً‫ا‬‫حقيقي‬ ً‫ا‬‫عدد‬ a ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫أنه‬ ‫تعلمت‬ ‫لقد‬
.0 ‫هو‬ ‫واحد‬ ‫جﺬر‬ ‫له‬ ‫فان‬ a = 0 ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫أما‬ .a ‫للعدد‬ ‫التربيعيني‬ ‫اجلﺬريﻦ‬ ± a ‫ويسمى‬ x2
= a ‫املعادلة‬
. ‫املركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫اجلﺬور‬ ‫دراسة‬ ‫سنتناول‬ ‫واآلن‬
.c = 8 + 6i ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫اجلﺬور‬ ‫جد‬
-14 -‫مثال‬
x + yi ‫هو‬ c ‫للعدد‬ ‫التربيعي‬ ‫اجلﺬر‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬
:‫احلل‬
∴(x+ yi)2
= 8+ 6i ⇒
x2
+ 2xyi +i2
y2
= 8+ 6i ⇒
(x2
− y2
)+ 2xyi = 8+ 6i ⇒
‫مركبني‬ ‫عدديﻦ‬ ‫تساوي‬ ‫تعريف‬ ‫مﻦ‬
x2
− y2
= 8.................(1)
2xy = 6 ⇒ y =
3
x
.......(2)





: ‫ينتج‬ )1( ‫املعادلة‬ ‫في‬ )2( ‫املعادلة‬ ‫مﻦ‬ ‫وبالتعويض‬
x2
−
3
x






2
= 8 ⇒
x2
−
9
x2
= 8 ⇒
x4
− 8x2
− 9 = 0 ⇒
(x2
− 9)(x2
+1) = 0 ⇒
x = ±3 or x2
= −1 ) x
X ∈ R ‫الن‬ ‫تﻬمل‬ ( x2
= −1
y =
3
±3
: ‫على‬ ‫نحصل‬ x ‫قيمة‬ ‫عﻦ‬ )2( ‫املعادلة‬ ‫في‬ ‫وبالتعويض‬
∴y = ±1
x 3 -3
y 1 -1
∴ c1
= 3 + i ‫و‬ c2
= -3 - i
-3 -i , 3 + i ‫هما‬ c ‫العدد‬ ‫جﺬري‬ ‫أن‬ ‫أي‬
i i
i i i
i i
: ‫ينتج‬ x2 ≠ 0‫في‬ ‫الطرفني‬ ‫بﻀرب‬
‫او‬

22. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
22
8i, -i ، -17 ، -25 : ‫لالعداد‬ ‫التربيعية‬ ‫اجلﺬور‬ ‫جد‬
-15 -‫مثال‬
:‫احلل‬
a(
c2
= −25 ⇒
c = ± −25 = ± 25i = ±5i
b( c2
= −17 ⇒
c = ± −17
⇒ c = ± 17 i
c( -i ‫للعدد‬ ‫التربيعي‬ ‫اجلﺬر‬ ‫هو‬ )x+yi( ‫ان‬ ‫نفرض‬
∴(x+ yi)2
= −i ⇒ x2
+ 2xyi + y2
i2
= 0 - i
x2
− y2
= 0.......(1)
2xy = −1
∴y =
−1
2x
.........(2)
:‫ينتج‬ )1( ‫باملعادلة‬ )2( ‫املعادلة‬ ‫مﻦ‬ ‫وبالتعويض‬
x2
−
1
4x2
= 0 ⇒
: ‫ينتج‬ 4x2 ≠ 0 ‫في‬ ‫الطرفني‬ ‫بﻀرب‬
4x4
−1= 0 ⇒
(2x2
−1)(2x2
+1) = 0
‫اما‬
)x ∈ R ‫الن‬ ‫يﻬمل‬ ( x2
= −
1
2
x = ±
1
2
‫او‬
∴y = −
1
±2x
1
2








y = ±+
= ±
1
2
i
i
i
i
±)2(
i
: ‫جند‬ x ‫قيمة‬ ‫عﻦ‬ )2( ‫في‬ ‫وبالتعويض‬
: ‫ان‬ ‫نفرض‬
: ‫ان‬ ‫نفرض‬

23. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
23
x 1
2
−
1
2
y −
1
2
1
2
±
1
2
−
1
2
i





 ‫هما‬ ‫التربيعيان‬ -i ‫العدد‬ ‫جﺬرا‬ ∴
d( ∴ (x+ yi)2
= 8i ⇒ 8i ‫للعدد‬ ‫التربيعي‬ ‫اجلﺬر‬ ‫هو‬ x+yi ‫ان‬ ‫نفرض‬
x2
+ 2xyi − y2
= 8 ⇒
0+8i
x2
− y2
= 0........................(1)
2xy = 8 ⇒ y =
4
x
..............(2)
: ‫ينتج‬ )1( ‫املعادلة‬ ‫في‬ )2( ‫املعادلة‬ ‫مﻦ‬ ‫وبالتعويض‬
x2
−
16
x2
= 0 ⇒
:‫ينتج‬ x2 ≠ 0 ‫في‬ ‫الطرفني‬ ‫وبﻀرب‬
x4
−16 = 0 ⇒
(x2
− 4)(x2
+ 4) = 0 ⇒
)x ∈ R ‫الن‬ ‫يﻬمل‬ ( x2
= -4 ‫اما‬
x2
= 4 ⇒ x = ±2 ‫او‬
y =
4
±2
= ±2 :‫ينتج‬ x ‫قيمة‬ ‫عﻦ‬ )2( ‫املعادلة‬ ‫في‬ ‫وبالتعويض‬
x 2 -2
y 2 -2
± )2+2i( ‫هما‬ ‫التربيعيان‬ 8i ‫العدد‬ ‫جﺬرا‬ ∴
i
i i
i

24. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
24
. ) ( ‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫املعادلة‬ ‫حل‬ ]1-5[
‫حلني‬ a, b, c ∈ R ‫وان‬ a ≠ 0 ‫حيث‬ ax2
+ bx + c = 0 ‫للمعادلة‬ ‫ان‬ ‫املتوسطة‬ ‫املرحلة‬ ‫مﻦ‬ ‫تعلمت‬
: ‫بالدستور‬ ‫ايجادهما‬ ‫ﳝكﻦ‬
x =
−b± b2
− 4ac
2a
‫يوجد‬ ‫ولكﻦ‬ ‫حقيقية‬ ‫حلول‬ ‫للمعادلة‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ‫فانه‬ ً‫ا‬‫سالب‬
V= b2
− 4ac ‫املميﺰ‬ ‫املقدار‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫أنه‬ ‫وعرفت‬
. ‫املركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫في‬ ‫حالن‬ ‫لﻬا‬
.‫املركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫في‬ x2
+ 4x + 5 = 0 ‫املعادلة‬ ‫حل‬
-16 -‫مثال‬
:)‫(الدستور‬ ‫القانون‬ ‫حسب‬
:‫احلل‬
x =
−b± b2
− 4ac
2a
=
−4± 16 −(4)(1)(5)
2(1)
=
−4 ± 16 − 20
2
=
−4 ± −4
2
=
−4 ± 2i
2
= −2±i
−2 −i , −2+i
‫مالحظـة‬
‫التي‬ ax2
+bx+ c = 0 ‫التربيعية‬ ‫املعادلة‬ ‫جذري‬ ‫ان‬ ‫نعلم‬ ‫الدستور‬ ‫من‬
: ‫هما‬ ‫حقيقية‬ ‫معامالتها‬
x2 =
−b− b2
− 4ac
2a
x1 =
−b+ b2
− 4ac
2a
x1 . x2 =
c
a
: ‫هو‬ ‫اجلﺬريﻦ‬ ‫ضرب‬ ‫وحاﺻل‬ x1 + x2 =
−b
a
: ‫هو‬ ‫اجلﺬريﻦ‬ ‫ومجموع‬
i
i
i i :‫هي‬ ‫املعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬ ً‫ا‬‫اذ‬
C
}
}

25. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
25
: ‫يأتي‬ ‫كما‬ ‫اخلواص‬ ‫هذه‬ ‫من‬ ‫االفادة‬ ‫وﳝكن‬
a,b,c ∈ R , ax2
+bx+c = 0 , a≠ 0 ‫املعادلة‬ ‫جﺬري‬ ‫احد‬ (y ≠ 0) x + yi ‫كان‬ ‫اذا‬ : ً‫ال‬‫او‬
. ‫لﻬا‬ ‫اآلﺧر‬ ‫اجلﺬر‬ ‫هو‬ x - yi ‫فان‬
:‫عﻦ‬ ‫عبارة‬ ‫هي‬ ‫والتي‬ x2
+
b
a
x+
c
a
= 0
x2
- )‫اجلﺬريﻦ‬ ‫مجموع‬ ( x + )‫اجلﺬريﻦ‬ ‫ضرب‬ ‫حاﺻل‬ ( = 0
. ± )2+2i( ‫جﺬراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫املعادلة‬ ‫جد‬
-17 -‫مثال‬
:‫هو‬ ‫اجلﺬريﻦ‬ ‫مجموع‬
:‫احلل‬
)2-2( + )2-2( i = 0
)2+2i()-2-2i( = -)2+2i(2
: ‫هو‬ ‫اجلﺬريﻦ‬ ‫ضرب‬ ‫حاﺻل‬
= -)4 + 8i + 4i2
(
= -8i
: ‫هي‬ ‫التربيعية‬ ‫املعادلة‬ ∴
x2
− 8i = 0 ⇒ x2
= 8i
. 3-4i ‫جﺬريﻬا‬ ‫وأحد‬ ‫حقيقية‬ ‫معامالتﻬا‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫املعادلة‬ ‫ن‬َّ‫كو‬
-18 -‫مثال‬
3-4i ‫جﺬريﻬا‬ ‫وأحد‬ ‫حقيقية‬ ‫املعادلة‬ ‫معامالت‬ ‫أن‬ ‫مبا‬
: ‫احلل‬
3+4i ‫وهو‬ ‫له‬ ‫املرافق‬ ‫هو‬ ‫االﺧر‬ ‫اجلﺬر‬ ∴
25 = ‫ضربﻬما‬ ‫وحاﺻل‬ 6 = ‫اجلﺬريﻦ‬ ‫مجموع‬
: ‫هي‬ ‫املعادلة‬ ∴
x2
- 6x + 25 = 0
i i
‫على‬ ‫نحصل‬ a≠ 0 ‫على‬ ax2
+bx+c = 0 ‫املعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫بقسمة‬ : ً‫ا‬‫ثاني‬
x2
−0x+(−8i) = 0 ⇒
)2+2i()-2-2i( =

26. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
26
)
1
-2( ‫ن‬‫ي‬‫ر‬‫ا‬‫م‬
‫ت‬
‫مترافقني؟‬ ‫جﺬراها‬ ‫يكون‬ ‫منﻬا‬ ‫اي‬ ‫وبني‬ ‫اآلتية‬ ‫التربيعية‬ ‫املعادالت‬ ‫حل‬ .1
a( z2
= −12 b( z2
− 2z+ 3+i = 0
c( 2z2
− 5z+13 = 0 d( z2
+ 2z+i(2 −i) = 0
e( 4z2
+ 25 = 0 f( z2
- 2z i + 3=0
:‫حيث‬ M,L ‫جﺬراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫املعادلة‬ ‫كون‬ .2
a( M= 1+ 2i L = 1−i b( m=
3−i
1+i
, L = (3−2i)2
:‫االتية‬ ‫املركبة‬ ‫لالعداد‬ ‫التربيعية‬ ‫اجلﺬور‬ ‫جد‬ .3
a( -6i b( 7+ 24i c(
4
1− 3 i
:‫هو‬ ‫جﺬريﻬا‬ ‫وأحد‬ ‫احلقيقية‬ ‫املعامالت‬ ‫ذات‬ ‫التربيعية‬ ‫املعادلة‬ ‫ما‬ .4
a( b( 5 −i c( 2 + 3i
4
‫هو‬ ‫وما‬ ‫؟‬a ∈ C ‫قيمة‬ ‫فما‬ x2
−ax+(5+ 5i) = 0 ‫املعادلة‬ ‫جﺬري‬ ‫احد‬ ‫هو‬ 3 + i ‫كان‬ ‫اذا‬ -5
‫االﺧر؟‬ ‫اجلﺬر‬
i
i i
i i
i
i
i
i
i
i i i
3
M

27. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
27
.‫املركبة‬ ‫لالعداد‬ ‫الهندسي‬ ‫التمثيل‬ ]1-6[
Geometric Representation of Complex Numbers.
‫مركب‬ ‫عــدد‬ ‫كـــل‬ ‫باقران‬ ‫فانه‬ .‫اﶈـــوريﻦ‬ ‫املتعامــــد‬ ‫االقليـــدي‬ ‫املستــوي‬ ‫ﳝـثل‬ )R2
‫(او‬ E2
‫كان‬ ‫اذا‬
‫وفي‬ . R2
‫الى‬ E ‫مﻦ‬ ‫تقابل‬ ‫تطبيق‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ E2
‫في‬ )x,y( ‫بالنقطة‬ )x,y ∈ R ‫(حيث‬ x+yi
ً‫ا‬‫هندسي‬ ‫تقابل‬ ‫والتي‬ E ‫في‬ ‫والطرح‬ ‫اجلمﻊ‬ ‫في‬ ‫البسيطة‬ ‫اجلبرية‬ ‫العمليات‬ ‫بعض‬ ً‫ا‬‫هندسي‬ ‫سنمثل‬ ‫املستوي‬ ‫هﺬا‬
.)R2
‫(او‬E2
‫في‬ ‫العمليات‬
‫سنطلق‬ ‫والتي‬ ً‫ا‬‫هندسي‬ ‫املركبة‬ ‫االعداد‬ ‫على‬ ‫العمليات‬ ‫بعض‬ ‫ﲤثيل‬ ‫الالحقة‬ ‫والبنود‬ ‫البند‬ ‫هﺬا‬ ‫في‬ ‫نتناول‬ ‫سوف‬
‫وسمي‬ )J. R . Argand, 1768 - 1822 ( ‫العالم‬ ‫الى‬ ‫نسبة‬ ‫ارجاند‬ ‫اشكال‬ ‫ﲤثلﻬا‬ ‫التي‬ ‫االشكال‬ ‫على‬
‫بشكل‬ ‫أو‬ )C.F. Gauss 1777-1855 ( ‫غاوس‬ ‫مبستوي‬ ،‫غاوس‬ ‫الشﻬير‬ ‫االملاني‬ ‫العالم‬ ‫باسم‬ ‫املستوي‬
)Complex Plane ( ‫املركب‬ ‫املستوي‬ ‫مبسﻂ‬
‫باﶈـور‬ )x-axis( ‫السيني‬ ‫اﶈور‬ ‫يسمى‬ ‫اذ‬
‫احلقيــقي‬ ‫اجلــﺰء‬ ‫عليـــــه‬ ‫ﳝثل‬ ‫حيث‬ ‫احلقيقي‬
‫الصـــادي‬ ‫اﶈـــــــور‬ ‫امــــا‬ ‫املـــركب‬ ‫للعــــدد‬
‫اﶈـــــــــور‬ ‫اســم‬ ‫عليــه‬ ‫فيطلق‬ )y - axis(
‫التخيــلي‬ ‫اجلﺰء‬ ‫عليــه‬ ‫يـمثــل‬ ‫والﺬي‬ ‫التخيلي‬
‫املركب‬ ‫العدد‬ ‫فان‬ ‫وبالتالي‬ .‫املركب‬ ‫للعدد‬
Imaginary
axis
Real axis
y
x
P )x,y(
0
θ
)1-1( ‫الشكل‬
z2
= x2
+ y2
i , z1
= x1
+ y1
i ‫كان‬ ‫لو‬
‫بالنـقطتيـﻦ‬ ‫مـمثــــالن‬ ‫مركبـــــــان‬ ‫عــــــددان‬
: ‫فــــان‬ p2
)x2
, y2
( , p1
)x1
, y1
(
z1
+ z2
= (x1
+x2
) + (y1
+y2
)i
‫بالنقطـــــــة‬ z1
+ z2
‫تـمثيــــــل‬ ‫ويـمكــﻦ‬
p3
(x1
+ x2
, y1
+ y2
)
.‫باملتجﻬات‬ ‫الـمتعلقة‬ ‫الـمعلومات‬ ‫مستخدمني‬
: )1- 2( ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫كما‬
y
x
0
p2
)z2
(
p1
)z1
(
p3
)z1
+z2
(
)1-2( ‫الشكل‬
0p1
u v
uu
+ 0p2
u v
uu
= 0p3
u v
uu
‫ان‬ ‫اي‬

28. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
28
‫جمﻊ‬ ‫هو‬ ‫مركبني‬ ‫عدديﻦ‬ ‫جمﻊ‬ ‫يكون‬ ‫وعليه‬ 0p
u v
uu
‫باملتجه‬ ‫ﲤثيله‬ ‫ﳝكﻦ‬ x + yi ‫املركب‬ ‫العدد‬ ‫ان‬
.‫متجﻬني‬
‫وعليه‬ ، ‫دورة‬ ‫نصف‬ 0 ‫حول‬ 0p2
u v
uu
‫دوران‬ ‫مﻦ‬ ‫ناجتة‬ ‫هي‬ p2
‫فﺈن‬ - z2
‫املركب‬ ‫العدد‬ ‫ﳝثل‬ p2
‫اعتبرنا‬ ‫اذا‬
: ‫فﺈن‬
z1
- z2
= z1
+)-z2
(
‫كما‬ 0p1
p3
p2
‫االضالع‬ ‫متوازي‬ ‫يشابه‬ 0p1
p4
p2
‫حيث‬ p4
‫بالنقطة‬ ‫يقترن‬ ‫والﺬي‬
.)1-3( ‫الشكل‬ ‫في‬
y
x
0
p2
)z2
(
p1
)z1
(
p3
)z1
+z2
(
p4
)z1
- z2
(
p2
)- z2
( 0p4
u v
uu
= p2 p1
u v
uuu
= 0p1
u v
uu
− 0p2
u v
uu
‫أن‬ ‫أي‬
)1-3( ‫الشكل‬

29. Complex Numbers ‫اﳌﺮﻛﺒﺔ‬ ‫اﻻﻋﺪاد‬
29
:‫ارﺟﺎﻧﺪ‬ ‫ﺷﻜﻞ‬ ‫ﻓﻲ‬ ً‫ﺎ‬‫ﻫﻨﺪﺳﻴ‬ ‫اﻻﺗﻴﺔ‬ ‫اﻟﻌﻤﻠﻴﺎت‬ ‫ّﻞ‬‫ﺜ‬‫ﻣ‬
-19 -‫ﻣﺜﺎل‬
a) (3+4i) + (5 + 2i) b) (6 - 2i) - (2 - 5i)
:‫اﳊﻞ‬
a) (3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6i
z1
= 3 + 4i ⇒ p1
(z1
) = p1
(3, 4)
z2
= 5 + 2i ⇒ p2
(z2
) = p2
(5, 2)
0p1
u v
uu
+ 0p2
u v
uu
= 0p3
u v
uu
: ‫ﻻﺣﻆ‬
.‫اﻟﻤﺘﺠﻬﺎت‬ ‫ﺟﻤﻊ‬ ‫اﻟﻰ‬ ‫ﻣﺸﺎﺑﻪ‬ ‫وﻫﻮ‬
0p1
p3
p2
‫وﻳﻜــــــــﻮن‬
op3
u v
uu
‫ﻫـﻮ‬ ‫ﻗـﻄﺮﻩ‬ ‫اﺿﻼع‬ ‫ﻣﺘﻮازي‬
y
x
0
p1
(z1
)
p2
(z2
)
p3
(z3
)
(1-4) ‫اﻟﺸﻜﻞ‬
b) (6 - 2i) - (2 - 5i) = (6 - 2i) + (-2 + 5i) = 4 + 3i
z1
= 6 - 2i ⇒ p1
(z1
) = p1
( 6, -2)
z2
= -2 + 5i ⇒ p2
(z2
) = p2
(-2, 5)
y
x
0
p1
(z1
) =
p2
(z2
)=
p3
(z3
)=
p2
(-2, 5)
p3
(4, 3)
p1
(6, -2)
(1-5) ‫اﻟﺸﻜﻞ‬
z3
= 4 + 3i ⇒ p3
(z3
) = p3
(4, 3)

30. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
30
)
1
-3( ‫ن‬‫ي‬‫ر‬‫ا‬‫م‬
‫ت‬
‫شكل‬ ‫على‬ ‫الجمعية‬ ‫ونظائرها‬ ‫االعداد‬ ‫هﺬﻩ‬ ‫ّل‬‫ث‬‫م‬ ‫ثم‬ ‫اآلتية‬ ‫االعداد‬ ‫مﻦ‬ ‫لكل‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫اكتب‬ .1
.‫ارجاند‬
z1
= 2 + 3i , z2
= -1 + 3i , z3
= 1-i , z4
= i
.‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫ومرافقاتﻬا‬ ‫االعداد‬ ‫ّل‬‫ث‬‫م‬ ‫ثم‬ ‫االتية‬ ‫األعداد‬ ‫مﻦ‬ ‫لكل‬ ‫المرافق‬ ‫العدد‬ ‫اكتب‬ .2
z1
= 5 + 3i , z2
= -3 +2i , z3
= 1 - i , z4
= -2i
‫ــ‬
: ‫مﻦ‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضﺢ‬ z = 4 + 2i ‫كان‬ ‫اذا‬ .3
z , z , -z
:‫مﻦ‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضﺢ‬ z2
= 1+ 2i , z1
= 4 - 2i ‫كان‬ ‫اذا‬ .4
-3z2
, 2z1
, z1
- z2
, z1
+ z2

31. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
31
.‫املركب‬ ‫للعدد‬Polar Form ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ]1-7[
‫هﺬا‬ ‫وفي‬ z = )x, y ( ‫والديكارتية‬ z=x +yi ‫الجبرية‬ ‫بصيغته‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫درسنا‬ ‫السابقة‬ ‫البنود‬ ‫في‬
. ‫االﺧرى‬ ‫الى‬ ‫احدهما‬ ‫وتحويل‬ . ‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫تدعى‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫اﺧرى‬ ‫ﺻيغة‬ ‫سندرس‬ ‫البند‬
:‫فان‬ )1-6( ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫كما‬ p )x,y ( ‫بالنقطة‬ ‫ّلناﻩ‬‫ث‬‫وم‬ z = x + yi ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لدينا‬ ‫كان‬ ‫فلو‬
‫القطبيــان‬ ‫االحـــداثيــان‬ ‫همــا‬ (r,θ)
‫القطب‬ ‫يـمثـــــل‬ 0 ‫حيث‬ p ‫للنقطــــة‬
y
x
P
0
θ
r
‫وهﺬا‬ ،‫االبتدائي‬ ‫الﻀلــﻊ‬ ‫يمثــل‬ ox ‫و‬
: ‫أن‬ ‫يعني‬
‫وان‬ r = op
op
uv
u
‫الى‬ ox
uv
u
‫مﻦ‬ θ ‫قياس‬ ‫ويكون‬
‫كـان‬ ‫اذا‬ ‫الساعـة‬ ‫عقـارب‬ ‫عكس‬ ‫بأتجـاﻩ‬
‫عقـارب‬ ‫اتجــاﻩ‬ ‫ومـﻊ‬ ،ً‫ا‬‫موجـبـ‬ ‫القيـاس‬
)1-6( ‫الشكل‬
‫ويكــون‬ ً‫ا‬‫سالب‬ ‫القياس‬ ‫كـــان‬ ‫اذا‬ ‫الساعة‬
: ‫فأن‬ ‫وعليــه‬ ‫الدائري‬ ‫بالقياس‬
R)z( = x = r cos θ ....)1(
I)z( = y = r sin θ ....)2(
z‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التخيلي‬ ‫للجﺰء‬ ‫يرمﺰ‬ I )z ( ‫بينما‬ z ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الحقيقي‬ ‫للجﺰء‬ ‫يرمﺰ‬ R)z (‫حيث‬
)Modulus of Complex Number( z ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مقياس‬ ‫يسمى‬ r
r = z = x2
+ y2
‫حيث‬
= z = +
‫له‬ ‫ويرمﺰ‬ z ‫مقياس‬ ‫او‬ ”mod z“ ‫ويقرأ‬ ‫سالب‬ ‫غير‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫وهو‬
:‫على‬ ‫نحصل‬ )2( ‫و‬ )1( ‫العالقتيﻦ‬ ‫ومﻦ‬
cosθ =
x
r
=
x
z
sinθ =
y
r
=
y
z
)Argument of Complex Number( ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ ‫يسمى‬ ‫فقياسﻬا‬ θ ‫اما‬
θ = arg(z) ‫بالشكل‬ ‫تكتب‬ ً‫ا‬‫واﺧتصار‬
y
x
(x,y)

32. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
32
‫مالحظـة‬
‫منها‬ ‫كل‬ ‫تختلﻒ‬ ‫التي‬ ‫القيﻢ‬ ‫من‬ ‫منته‬ ‫غير‬ ً‫ا‬‫عدد‬ θ ‫تاﺧﺬ‬ ‫ان‬ ‫ﳝكن‬
.‫الدورات‬ ‫من‬ ‫ﺻحيﺢ‬ ‫بعدد‬ ‫االﺧرى‬ ‫عن‬
‫سعة‬ ً‫ا‬‫ايﻀ‬ ‫يكون‬ ‫ﺻحيﺢ‬ ‫عدد‬ n ‫حيث‬ θ + 2nπ : ‫االعداد‬ ‫مﻦ‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫فان‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫سعة‬ θ ‫كانت‬ ‫فاذا‬
.‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لنفس‬
‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫القيمة‬ ‫لﻬا‬ ‫فيقال‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ ‫على‬ ‫الدالة‬ θ ∈ [0,2π) ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫اما‬
.)principle Value ( ‫المركب‬
.z ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫فجد‬ z = 1− 3i
= − 3i ‫كان‬ ‫اذا‬
-20 -‫مثال‬
:‫احلل‬
mod z = z = x2
+ y2
= 1+ 3 = 2
cos θ =
x
z
=
1
2
sin θ =
y
z
=
− 3
2 ‫االول‬ ‫الربﻊ‬ ‫في‬ θ ‫ان‬ ‫نستنتج‬
∴ arg )z( =
= π −
π
3
. z ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫فجد‬ z = -1 - i ‫كان‬ ‫اذا‬
-21 -‫مثال‬
: ‫احلل‬
mod z = z = 1+1 = 2
cos θ =
x
z
=
−1
2
sin θ =
y
z
=
−1
2
‫الثالث‬ ‫الربﻊ‬ ‫في‬ θ ‫ان‬ ‫نستنتج‬
∴ arg )z( = π +
π
4
=
5π
4
= = x2
+ y

33. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
33
z = (r cos θ +ir sin θ) = r(cos θ +i sin θ)
z = z cos(arg z)+i sin(arg z)
( ) ‫او‬
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ ‫هي‬ θ = arg )z( ، r = mod z= z ‫حيث‬
: ‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫اآلتية‬ ‫االعداد‬ ‫مﻦ‬ ‫كل‬ ‫عﻦ‬ ‫عبر‬
-22 -‫مثال‬
a) − 2+ 2i b) 2 3 − 2i
: ‫احلل‬
a) let z = −2+ 2i
mod z = z = 4 + 4 = 2 2
cos θ =
−2
2 2
= −
1
2
sin θ =
2
2 2
=
1
2
‫الثاني‬ ‫الربﻊ‬ ‫في‬ ‫تقﻊ‬ θ
∴ arg )z( = π −
−π
4
=
3π
4
.
: ‫هي‬ z ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬
z = r(cos θ +i sin θ)
z = 2 2(cos
3π
4
+i sin
3π (
‫الصفري‬ ‫املتجه‬ ‫الن‬ ‫وذلﻚ‬ ‫معرفة‬ ‫غير‬ z = 0 ‫املركب‬ ‫العدد‬ ‫ﺳعة‬ ‫)ان‬1
.‫اﲡاه‬ ‫له‬ ‫ليﺲ‬
‫املركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االﺳاﺳية‬ ‫والقيمة‬ ‫املقياﺱ‬ ‫من‬ ‫االفادة‬ ‫ﳑكن‬ )2
‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫تسمى‬ ‫اﺧرى‬ ‫بصورة‬ z = x+yi ‫املركب‬ ‫العدد‬ ‫بكتابة‬
: ‫يﺄتي‬ ‫وكما‬ Polar From
‫مالحظـة‬
= π −
−π
=
3π
4
.

34. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
34
b) l = − −
et z = − −
= −2 3 − 2i
mod z = 12+ 4 = 16 = 4
cos θ =
2 3
4
= −
3
2
sinθ =
−2
4
=
−1
2
‫الرابﻊ‬ ‫الربﻊ‬ ‫في‬ ‫تقﻊ‬ θ
∴ arg )z( = 2π −
π
6
=
11π
6
z = 4
= (cos
11π
6
+i sin
11π
6
) : ‫هي‬ z ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ∴

35. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
35
: ‫اآلتية‬ ‫االشكال‬ ‫الحظ‬
: ‫احلل‬
)1-7( ‫الشكل‬
)b( )0,1(
p)z2
( = )0,1(= 0+i
mod z2
= 1
arg z2
=
π
2
∴ z2
= 1 )cos +i sin (
y
x
π
2
π
2
)1,0(
p)z1
( = )1,0(= 1+0i
∴ z1
= 1 )cos 0 +i sin 0(
)a(
x
y
)-1,0( p)z3
( =)-1,0(=-1+0i
mod z3
= 1
arg z3
= π
∴ z3
= 1 )cos π +i sin π (
)c(
x
y
)d(
)0,-1(
p)z4
( = )0,-1(=0-i
mod z4
= 1
arg z4
=
3π
2
∴ z4
= 1 )cos
3π
2
+i sin
3π
2
(
y
x
:‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫مﻦ‬ ‫كل‬ ‫عﻦ‬ ‫عبر‬ -23 -‫مثال‬
a( 1 b( i c( -1 d( -i

36. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
36
:‫االتي‬ ‫نستنتج‬ ‫السابق‬ ‫املثال‬ ‫مﻦ‬
1= (cos0+i sin0)
−1= (cosπ +i sinπ)
i = (cos
π
2
+i sin
π
2
)
−i = (cos
3π
2
+i sin
3π
2
)
: ‫نﻀﻊ‬ ‫أن‬ ‫يمكﻦ‬ ‫السابق‬ ‫االستنتاج‬ ‫وبتطبيق‬
3 = 3×1= ( +
3
= × = (cos0+i sin0)
−2 = 2×(−1) = 2(cosπ +i sinπ)
5i = 5×i = 5(cos
π
2
+i sin
π
2
)
−7i = 7×(−i) = 7(cos
3π
2
+i sin
3π
2
)
De Moivre’s Theorem
.‫دﳝواﭬر‬ ‫مبرهنة‬ ]1-8[
z2 = cosφ + sinφ , z1 = cosθ + sinθ :‫بصورة‬ ‫تكتب‬ ‫ان‬ ‫يمكﻦ‬ z2
, z1
z1 × z2 =(cosθ +i sinθ)(cosφ +i sinφ) = θ +φ + θ +φ
(cosθ +i sinθ)2
= θ + θ ‫تصبﺢ‬ ‫العالقة‬ ‫فان‬ (φ =θ) ‫كان‬ ‫ولو‬
:‫يأتي‬ ‫كما‬ ‫برهنتﻬا‬ ‫ويمكﻦ‬
= (cosθ +i sinθ)2
= (cos2
θ + 2i sinθ cosθ −sin2
θ)
= (cos2θ −sin2θ)+ (2sinθ cosθ)
= θ + θ =
= (cos2
θ + θ + θ θ
= cos2θ + θ =
-
= θ +sin2
θ)+i(2sinθ cosθ)
= θ + sin2θ =
= (cos θ +sin θ)+ θ θ
= cos2θ +i sin2θ ==RHS
.‫ديمواﭬر‬ ‫بمبرهنة‬ ‫سميت‬ ‫والتي‬ ‫العالقة‬ ‫تعميم‬ ‫الى‬ )1664-1754( ‫ديمواﭬر‬ ‫العالم‬ ‫توﺻل‬ ‫وقد‬
i
i
i i
i
i i
i
i
i i
i
i
i
i
i
i
i i

37. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
37
‫فﺈن‬ θ ∈ R , n ∈ N ‫لكل‬
(cosθ +i sinθ)n
= cosn θ +i sinn θ
‫ديمواﭬر‬ ‫مبرهنة‬
’
)‫فقﻂ‬ ‫(لالطالع‬ :‫البرهان‬
: ‫يأتي‬ ‫وكما‬ ‫الرياضي‬ ‫االستقراء‬ ‫بطريقة‬ ‫المبرهنة‬ ‫هﺬﻩ‬ ‫برهان‬ ‫الى‬ ‫سنتوﺻل‬
:‫تصبﺢ‬ ‫العالقة‬ ‫فان‬ n =1 ‫لنعتبر‬ )1
. ‫ﺻحيحة‬ ‫عبارة‬ ‫وهي‬ (cosθ +i sinθ)1
= cos1 θ +i sin1 θ
. n = k ‫لكل‬ ‫ﺻحيحة‬ ‫العالقة‬ ‫ان‬ ‫ونفترض‬ k≥ 1 ‫لنأﺧﺬ‬ )2
.ً‫ا‬‫فرض‬ ‫ﺻحيحة‬ (cosθ +i sinθ)k
= cos k θ +i sin k θ ‫ان‬ ‫أي‬
n = k + 1 ‫عندما‬ ‫ﺻحيحة‬ ‫العالقة‬ ‫ان‬ ‫نثبت‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ )3
∴(cosθ +i sinθ)k+1
∴ θ + θ)k
= (cosθ +i sinθ)1
(cosθ +i sinθ)k
= (cosθ +i sinθ)(cos kθ +i sin kθ)
= cos(θ + kθ)+i sin(θ + kθ)
= cos(k +1)θ +i sin(k +1)θ
n = k + 1 ‫عند‬ ‫ﺻحيحة‬ ‫كﺬلك‬ ‫فﻬي‬ n=k , k≥1 ‫أي‬ n ‫عند‬ ‫ﺻحيحة‬ ‫العالقة‬ ‫كانت‬ ‫فاذا‬ ‫وعليه‬
.n ‫قيم‬ ‫لجميﻊ‬ ‫ﺻحيحة‬ ‫تعتبر‬ ‫المبرهنة‬ ‫فان‬ ‫الرياضي‬ ‫االستقراء‬ ‫وبواسطة‬
(cos
3
8
π +i sin
3
8
π)4
‫احسب‬
-24 -‫مثال‬
:‫احلل‬
= (cos
3
8
π +i sin
3
8
π)4
=
3π
+
3π
=
+ − = −
=
=
=
8
π +
8
π =
cos
3π
2
+i sin
3π
2
=
0+i(−i) = −ii
i
i
i
i
i
i
i
i i
i
i
i
i i
i
1

38. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
38
:‫فان‬ θ ∈ R , n ∈ N ‫لكل‬ ‫انه‬ ‫بيﻦ‬
-25 -‫مثال‬
(cosθ −i sinθ)n
= cos n θ −i sin n θ
: ‫احلل‬
‫االيسر‬ ‫الطرف‬
‫العالقة‬ ‫تصبﺢ‬ φ = −θ ‫وبجعل‬
= cosφ +i sinφ
[ ]
n
= cos n φ +i sinn φ
= cos(−n θ)+i sin(−n θ)
= cos n θ −i sin n θ ‫االيمﻦ‬ ‫الطرف‬
)‫م‬ . ‫هـ‬ . ‫(و‬
‫فان‬ ‫لكل‬
:‫دﳝواﭬر‬ ‫ملبرهنة‬ ‫نتيجة‬
‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ ‫احسب‬
-26 -‫مثال‬
:‫احلل‬
+
t z =1+i
Qmod z = 2, cosθ =
1
2
, sinθ =
1
2
∴ =
π
Qx = r cosθ , y = r sinθ
θ ∈ R , n ∈ N
= θ + θ
Z+
k = 0,1,2,...,n−1
i i
i
i
i
z
n θ + π
+
θ + π
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= −
= 2 − + = − + = − +
os
θ + 2πk
n
+i sin
θ + 2πk
n
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= 0,1,2,......., −1
z r
1
n
c
θ + π
+
θ + π
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= −
r
1
n
cos
θ + π
+
θ + π
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= −
os
θ + π
+
θ + π
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= −
i
i
(1+ )11
i

39. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
39
= =
π
4
∴z = 2(cos
π
4
+i sin
π
4
)
∴(1+i)" = ( 2)" (cos
π
4
+i sin
π
4
)"
= 2
11
2
(cos
11π
4
+i sin
π
4
)
= 2
11
2
(cos
3π
4
+i sin
3π
4
)
= 2
11
2
(−
1
2
+i
1
2
)
= 25
( −1) = 32( −1)
‫مالحظـة‬
cosθ +i sinθ
( )−1
= cos(−θ)+i sin(−θ)
[ ] = (cosθ −i sinθ)
:‫االتي‬ ‫بالشكل‬ ‫العالقة‬ ‫هﺬﻩ‬ ‫تعميم‬ ‫ويمكﻦ‬
cosθ +i sinθ
[ ]−n
= cos n θ −i sin n θ
‫حيث‬
‫المعادلة‬ ‫حل‬
-27 -‫مثال‬
:‫احلل‬
x3
+1= 0 ⇒
x3
= −1
x3
= cosπ +i sinπ
∴x = (cosπ +i sinπ)
1
3
∴x = cos
π + 2nπ
3
+i sin
π + 2nπ
3
n = 0,1,2 ‫حيث‬
i
i i
i
i
i
i i i
i
i
i
i
i
i
C
x ∈ £ + =
∈ x3
+1= 0
= =
π
∴ =
π
+
π
∴ + =
π
+
π
= (cos
11π
4
+
π
=
3π
+
π
= − +
= − = −
= =
π
∴ =
π
+
π
∴ + =
π
+
π
=
π
+ in
π
4
)
=
π
+
3π
= − +
= − = −
k
k
k

40. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
40
‫يكون‬ k= 0 ‫بوضﻊ‬
x = cos
π
3
+i sin
π
3
=
1
2
+
3
2
i
x = cosπ +i sinπ ‫يكون‬ k= 1 ‫بوضﻊ‬
= −1+i(0)
= −1
‫يكون‬ k= 2 ‫بوضﻊ‬
x = cos
5π
3
+i sin
5π
3
=
1
2
−
3
2
i
1
2
+
3
2
i , −1 ,
1
2
−
3
2
i





 : ‫هي‬ ‫للمعادلة‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬ ً‫ا‬‫اذ‬
‫له‬ ‫الخمسة‬ ‫الجﺬور‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ( 3 + i)2
: ‫للمقدار‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫اوجد‬
-28 -‫مثال‬
:‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ z ‫نﻀﻊ‬ z = 3 +i ‫ليكﻦ‬
:‫احلل‬
θ = θ
∴θ =
π
6
=
π
6
z = 3+1 = 2
∴ =
π
+
π






=
π
+
π






∴ =
π
+
π






=
π
+ π
+
π
+ π








= ،
θ
3
4
sinθ =
1
2
cosθ θ =
osθ
3
4
θ =
θ = θ
∴θ =
π
6
arg(z) =
π
6
= + =
∴ =
π
+
π






=
π
+
π






i
i
i
i
i
i i
i
i

41. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
41
⇒ z2
= 22
(cos
π
6
+i sin
π
6
)2
∴θ =
π
=
π
= + =
∴z = 2 cos
π
6
+i sin
π
6
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
z2
= 4 cos
π
3
+i sin
π
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∴(z2
)
1
5
= 4
1
5
cos
π
3
+i sin
π
3
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1
5
= 4
5
cos
π
3
+ 2nπ
5
+i sin
π
3
+ 2nπ
5
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
‫ﺧامس‬ ‫جﺬر‬ ‫النه‬ k = 0, 1, 2,3,4 ‫حيث‬
‫يكون‬ k=0 ‫وبوضﻊ‬
‫يكون‬ k=1 ‫وبوضﻊ‬
z
2
5
= 4
5
cos
π
15
+i sin
π
15
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
z
2
5
= 4
5
cos
7π
15
+i sin
7π
15
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
z
2
5
= 4
5
cos
13π
15
+i sin
13π
15
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ‫يكون‬ k=2 ‫وبوضﻊ‬
‫يكون‬ k=3 ‫وبوضﻊ‬
‫يكون‬ k=4 ‫وبوضﻊ‬
z
2
5
= 4
5
cos
19π
15
+i sin
19π
15
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
z
2
5
= 4
5
cos
25π
15
+i sin
25π
15
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= 4
5
cos
5π
3
+i sin
25π
3
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
k
k

42. Complex Numbers ‫املركبة‬ ‫االعداد‬
42
)
1
-4( ‫ن‬j‫ر‬‫ا‬ª
J
:‫يأتي‬ ‫ما‬ ‫احسب‬ .1
a) cos
5
24
π +i sin
5
24
π
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
4
−
b) cos
7
12
π +i sin
7
12
π
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
−3
+
:‫يأتي‬ ‫التعميم)ما‬ ‫(او‬ ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ ‫احسب‬ .2
:‫يأتي‬ ‫ما‬ ‫بسﻂ‬ .3
a)
(cos2θ +i sin2θ)5
(cos 3θ +i sin 3θ(
θ + θ
θ + θ
b) (cosθ +i sinθ)8
(cosθ −i sinθ)4
Hint : x4
y4
= (xy)4
‫الطريقة‬ ‫ثم‬ ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫بأستخدام‬ −1+ 3 i ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجﺬور‬ ‫جد‬ .4
.]1-4[ ‫البند‬ ‫في‬ ‫المعروضة‬
.27i ‫للعدد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجﺬور‬ ‫جد‬ ‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫بأستخدام‬ .5
.‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫بأستخدام‬ )-16( ‫للعدد‬ ‫االربعة‬ ‫الجﺬور‬ ‫جد‬ .6
.‫ديموافر‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫بأستخدام‬ (−64i)
1
6
‫للعدد‬ ‫الستة‬ ‫الجﺬور‬ ‫جد‬ .7
i
i
i
i
i i
i
i
π + π
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ −
π + π
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
−
) ( 3 +i)9
π
⎤
⎦
⎥ c) (1−i)7
π
⎤
⎦
⎥
−
+
a) π + π
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ −
π + π
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
−
+
π + π
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ −
b) π + π
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
−
+
-9

43. 43
Conic Sections ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬
‫ين‬É‫ث‬dG π°üØdG
Chapter Two
2
.‫املخروطي‬ ‫القطع‬ ‫تعريف‬ ]2-1[
.‫املكافئ‬ ‫القطع‬ ]2-2[
.‫الناﻗﺺ‬ ‫القطع‬ ]2-3[
.‫الزائد‬ ‫القطع‬ ]2-4[
Conic Sections ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬
‫الرياﺿية‬ ‫العﻼﻗة‬ ‫اﻭ‬ ‫الرﻣﺰ‬ ‫اﳌﺼﻄﻠﺢ‬
F
e=
c
a
2a
‫البؤرة‬
‫اﳌركﺰﻱ‬ ‫اﻻخﺘﻼف‬
‫الثاﺑت‬ ‫العدﺩ‬

44. Conic Sections ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬
44
:‫دراستﻬا‬ ‫واهمية‬ ‫المخروطية‬ ‫القطوع‬
‫على‬ ‫تتحرك‬ ‫والنجوم‬ ‫الكواكب‬ ‫ترى‬ ‫سوف‬ ‫والطبيعة‬ ‫الكون‬ ‫في‬ ‫القطوع‬ ‫هﺬﻩ‬ ‫مثل‬ ‫وجود‬ ‫عﻦ‬ ً‫ال‬‫او‬ ‫لنبحث‬
)‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫تشبه‬ ‫المدارات‬ ‫(اي‬. ‫اهليلجية‬ ‫مدارات‬
‫بان‬ ‫المختصون‬ ‫يالحظ‬ ‫وااللكترون‬ ‫الﺬرة‬ ‫وفي‬
‫مــدارات‬ ‫على‬ ‫النواة‬ ‫حول‬ ‫تدور‬ ‫االلكترونات‬
‫االﺧــرى‬ ‫التطبيقات‬ ‫ومــﻦ‬ ،ً‫ا‬‫ايﻀـــــ‬ ‫اهليلجية‬
‫انتشــار‬ ‫في‬ ‫استخدامﻬــا‬ ‫المخروطية‬ ‫للقطوع‬
‫تكبيــر‬ ‫االت‬ ‫في‬ ‫نـــالحظﻬــا‬ ‫حيث‬ ‫الصــوت‬
‫انتشار‬ ‫في‬ ‫تستخدم‬ ‫وكﺬلك‬ ‫الحديثة‬ ‫الصوت‬
‫مجســـم‬ ‫فﻬــو‬ ‫السيــارة‬ ‫ضوء‬ ‫في‬ ‫كما‬ ‫الﻀوء‬
‫عندمــــا‬ . ً‫ا‬‫مصبـــــاح‬ ‫بﺆرته‬ ‫في‬ ‫وضﻊ‬ ‫مكافئ‬
‫ينعـكس‬ ‫المصبـاح‬ ‫مﻦ‬ ‫ضــوئي‬ ‫شعــاع‬ ‫ينطلق‬
‫وبصــورة‬ ‫المجســم‬ ‫السطﺢ‬ ‫على‬ ‫الشعاع‬ ‫هﺬا‬
‫مـﻦ‬ ‫المنطلقة‬ ‫االشعـــة‬ ‫جميﻊ‬ ‫وكﺬلك‬ .‫افقية‬
.‫السيـارة‬ ‫امام‬ ‫الطريق‬ ‫انارة‬ ‫الى‬ ‫يﺆدي‬ ‫مما‬ ‫المصباح‬
‫الصور‬ ‫ﺧالل‬ ‫مﻦ‬ ‫نالحظﻬا‬ ‫االﺧرى‬ ‫التطبيقات‬ ‫ومﻦ‬
:‫التالية‬

45. Conic Sections ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬
45
‫والفلكييﻦ‬‫الرياضييﻦ‬‫اهتمام‬‫محل‬‫دراستﻬا‬‫اﺻبحت‬‫التي‬‫المخروطية‬‫القطوع‬‫اهمية‬‫مدى‬‫سبق‬‫مما‬‫نالحظ‬
‫بعد‬ ‫الدراسات‬ ‫هﺬﻩ‬ ‫مواﺻلة‬ ‫في‬ ‫هام‬ ‫دور‬ ‫االسالمية‬ ‫العربية‬ ‫للحﻀارة‬ ‫وكان‬ ‫والميكانيكييﻦ‬ ‫الفﻀاء‬ ‫وعلماء‬
‫الﺬيﻦ‬ ‫العرب‬ ‫العلماء‬ ‫ومﻦ‬ . ‫وبابوس‬ ، ‫وابولتيوس‬ ، ‫مينشم‬ ‫امثال‬ ‫االغريق‬ ‫الرياضييﻦ‬ ‫اعمال‬ ‫على‬ ‫اطالعﻬم‬
‫وغيرهم‬ ‫الﻬيثم‬ ‫وابﻦ‬ ، ‫الكوهي‬ ‫واباسﻬل‬ ، ‫الخازن‬ ‫جعفر‬ ‫وابو‬ ‫قرة‬ ‫بﻦ‬ ‫ثابت‬ ‫المخروطية‬ ‫بالقطوع‬ ‫اهتموا‬
.‫كثيرون‬
-‫المكافئ‬‫القطﻊ‬-‫الدائرة‬ :‫المخروطية‬‫القطوع‬‫تولد‬‫كيفية‬‫على‬‫العلمي‬‫الخامس‬‫الصف‬‫في‬‫وتعرفنا‬‫سبق‬
:‫وكاالتي‬ ً‫ا‬‫هندسي‬ ‫القطوع‬ ‫هﺬﻩ‬ ‫على‬ ‫الحصول‬ ‫يتم‬ ‫حيث‬ .‫الﺰائد‬ ‫القطﻊ‬ -‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬
‫القائم‬ ‫الدائري‬ ‫المخروط‬ ‫سطﺢ‬ ‫قطﻊ‬ ‫اذا‬
‫املقطﻊ‬ ‫فان‬ ‫القائم‬ ‫الدائري‬ ‫املخروط‬ ‫رأس‬ ‫يحوي‬ ‫وال‬ ‫القائم‬ ‫الدائري‬ ‫املخروط‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ ‫مبستو‬ ✾
.)Circle( ‫دائرة‬ ‫يسمى‬ ً‫ا‬‫هندسي‬ ً‫ال‬‫شك‬ ‫ﳝثل‬
. ”Parabola “ ‫املكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫يسمى‬ ً‫ا‬‫هندسي‬ ً‫ال‬‫شك‬ ‫ﳝثل‬ ‫املقطﻊ‬ ‫فأن‬ ‫مولداته‬ ‫ألحد‬ ٍ‫مواز‬ ‫مبستو‬ ✾
‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫يسمى‬ ً‫ا‬‫هندسي‬ ً‫ال‬‫شك‬ ‫ﳝثل‬ ‫القطﻊ‬ ‫فأن‬ ‫مولداته‬ ‫احد‬ ‫يوازي‬ ‫وال‬ ‫لقاعدته‬ ٍ‫مواز‬ ‫غير‬ ‫مبستو‬ ✾
.”Ellipseّ“
‫فان‬ ‫القائم‬ ‫الدائري‬ ‫املخروط‬ ‫مولدات‬ ‫مﻦ‬ ‫مولديﻦ‬ ‫ويقطﻊ‬ ‫القائم‬ ‫الدائري‬ ‫املخروط‬ ‫محور‬ ‫يوازي‬ ‫مبستو‬ ✾
. ”Hyperbola“ ‫الﺰائد‬ ‫القطﻊ‬ ‫يسمى‬ ً‫ا‬‫هندسي‬ ً‫ال‬‫شك‬ ‫ﳝثل‬ ‫املقطﻊ‬
: ‫املخروطية‬ ‫للقطوع‬ ‫التالية‬ ‫االشكال‬ ‫الحظ‬
‫زائد‬ ‫ناقﺺ‬ ‫مكافئ‬ ‫دائرة‬
)2-1( ‫الشكل‬

46. Conic Sections ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬
46
:‫املخروطي‬ ‫القطع‬ ]2-1[
.
:‫هي‬ ‫بﻬا‬ ‫يتعيﻦ‬ ‫اساسية‬ ‫مفاهيم‬ ‫ثالثة‬ )‫الدائرة‬ ‫عدا‬ ‫(ما‬ ‫مخروطي‬ ‫قطﻊ‬ ‫لكل‬ ‫ان‬ ‫نالحظ‬ ‫سبق‬ ‫مما‬
. ”Focus“ ‫المخروطي‬ ‫القطﻊ‬ ‫بﺆرة‬ ‫تسمى‬ )x1
,y1
( ‫الثابتة‬ ‫النقطة‬ -1
.”Directrix“ ‫المخروطي‬ ‫القطﻊ‬ ‫دليل‬ ‫يسمى‬ ax +by +c = 0 ‫الثابت‬ ‫المستقيم‬ -2
.”Eccentricity“ ‫المركﺰي‬ ‫باالﺧتالف‬ ‫تسمى‬ )e( ‫النسبة‬ -3
‫مالحظـة‬
«Parabola» ‫املكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫في‬ e = 1
«Ellipse» ‫االناقص‬ ‫القطﻊ‬ ‫في‬ e < 1 .. 0 < e < 1
«Hyperbola» ‫الزائد‬ ‫القطﻊ‬ ‫في‬ e > 1
:‫المخروطي‬ ‫للقطﻊ‬ ‫العامة‬ ‫المعادلة‬ ]2-1-1[
:‫يأتي‬ ‫كما‬ ‫وذلك‬ ‫العامة‬ ‫المعادلة‬ ‫نستنتج‬ ‫المخروطي‬ ‫القطﻊ‬ ‫تعريف‬ ‫مﻦ‬
: ‫هي‬ )x1
, y1
( ‫والبﺆرة‬ )x,y( ‫بيـﻦ‬ ‫المســافة‬ ‫عندئــــﺬ‬ ، ‫المخروطي‬ ‫القطﻊ‬ ‫على‬ ‫نقطة‬ )x, y( ‫لتكﻦ‬
،
،‫نفسه‬‫المستوي‬‫في‬ ً‫ا‬‫ثابت‬ ً‫ا‬‫مستقيم‬ax+by+c=0 ‫وليكﻦ‬‫المستوي‬‫في‬‫ثابتة‬‫نقطة‬)x1
,y1
(‫لتكﻦ‬
‫المستقيم‬ ‫عﻦ‬ ‫بعدها‬ ‫الى‬ )x1
, y1
( ‫النقطة‬ ‫عﻦ‬ ‫منﻬا‬ ‫كل‬ ‫عد‬ُ‫ب‬ ‫نسبة‬ ‫التي‬ ‫النقاط‬ ‫كل‬ ‫مجموعة‬ ‫عندئﺬ‬
‫المخروطي‬ ‫بالقطﻊ‬ ‫يسمى‬ ‫هندسي‬ ‫شكل‬ ‫تكون‬ )e( ً‫ا‬‫ثابت‬ ً‫ا‬‫عدد‬ ‫تساوي‬ ax +by +c = 0
[2-1[ ‫تعـــريـف‬

47. Conic Sections ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬
47
: ‫هي‬ ax +by +c = 0 ‫والدليل‬ )x ,y( ‫بيﻦ‬ ‫والبعد‬
‫ان‬ ‫اي‬ )e( ‫تساوي‬ ‫المسافتيﻦ‬ ‫هاتيﻦ‬ ‫بيﻦ‬ ‫النسبة‬ ‫فان‬ ‫المخروطي‬ ‫القطﻊ‬ ‫تعريف‬ ‫وبموجب‬
‫الدليل‬ ‫تعريف‬ ‫تم‬ ‫قد‬ ‫ألنه‬ ‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫هﺬﻩ‬ ‫سنطبق‬ : ‫مالحظة‬
Parabola :‫املكافئ‬ ‫القطع‬ ]2-2[
: )2 - 2( ‫الشكل‬ ‫الحظ‬ MF = MQ ‫ان‬ ‫اي‬
‫القطـــﻊ‬ ‫بــــرأس‬ ”O“ ‫النقطــــة‬ ‫وتسمى‬
”Vertex“ ‫المكافئ‬
‫المــــــــار‬ )x( ‫المستقيـــــم‬ ‫ويسمـــى‬
‫بمحـــور‬ ‫الدليـــــل‬ ‫على‬ ‫والعمود‬ ‫بالبﺆرة‬
)2-2( ‫الشكل‬
= e =1‫ان‬ ‫الحظ‬ ‫حيث‬.‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬
y
Q)-p,y(
D
F)p,0(
M)x,y(
O
− + −
ax+by+ c
a2
+b2
− + −
+ +
=
⇒ − + − =
+ +
+
− + − =
+ +
( )
+
− + −
+ +
+
− + −
+ +
=
⇒ (x − x1 )2
+(y− y1 )2
= e .
ax+by+ c
a2
+b2
(x − x1 )2
+(y− y1 )2
= e2
.
ax+by+ c
( )
2
a2
+b2
(x − x1 )2
+(y− y1 )2
ax+by+ c
a2
+b2
(x − x1 )2
+(y− y1 )2
ax+by+ c
= e
⇒ − + − =
+ +
+
− + − =
+ +
( )
+
x
MF
MQ
‫القطﻊ‬ ‫معادلة‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫الطرفيﻦ‬ ‫وبتربيﻊ‬
‫الدرجة‬ ‫مﻦ‬ ‫معادلة‬ ‫وهي‬ ‫العامة‬ ‫المخروطي‬
‫الثانية‬
‫نقطة‬ ‫عﻦ‬ ‫منﻬا‬ ‫كل‬ ‫عد‬ُ‫ب‬ ‫يكون‬ ‫والتي‬ ‫المستوي‬ ‫في‬ M)x , y ( ‫النقﻂ‬ ‫مجموعة‬ ‫هو‬ ‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬
‫يسمى‬ ”D“ ‫معلوم‬ ‫مستقيم‬ ‫عﻦ‬ ‫لبعدها‬ ً‫ا‬‫دائم‬ ً‫ا‬‫مساوي‬ P> 0 ‫حيث‬ ‫البﺆرة‬ ‫تسمى‬ F)p,0( ‫ثابتة‬
. ‫البﺆرة‬ ‫يحوي‬ ‫ال‬ ‫الدليل‬
[2-2[ ‫تعـــريـف‬

48. Conic Sections ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬
48
‫األﺻل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫والرأس‬ )x-axis(‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫بﺆرته‬ ‫الﺬي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫معادلة‬ ]2-2-1[
)2-3( ‫الشكل‬
‫معادلة‬ ‫ايجاد‬ ‫يمكﻦ‬ ‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫تعريف‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫وبناء‬ ‫المحوريﻦ‬ ‫المتعامد‬ ‫الديكارتي‬ ‫المستوي‬ ‫في‬
:‫يأتي‬ ‫وكما‬ ‫ممكنة‬ ‫ﺻورة‬ ‫ابسﻂ‬ ‫في‬ ‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬
‫والنقطة‬ ، ‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫دليل‬ ‫هو‬ D ‫والمستقيــم‬ ‫المكافئ‬ ‫القطــﻊ‬ ‫بﺆرة‬ ‫هي‬ F)p,0( ‫النقطـــة‬ ‫لتكــﻦ‬
‫منحني‬ ‫نقﻂ‬ ‫مﻦ‬ M)x,y( ‫والنقطة‬ ،D ‫المستقيم‬ ‫على‬ ‫عمودي‬ MQ ‫حيث‬ ‫الدليل‬ ‫على‬ ‫نقطة‬ Q)-p,y(
.‫المكافئ‬‫القطﻊ‬‫تعريف‬‫مﻦ‬.)A()2-3(‫الشكل‬‫في‬‫كما‬. )0,0(‫االﺻل‬‫نقطة‬‫في‬‫والرأس‬‫المكافئ‬‫القطﻊ‬
MF = MQ
y
Q
D
x = p
O
x
)p,y(
F)-p,0(
M)x,y(
A
y
Q)-p,y(
D
F)p,0(
M)x,y(
O
B
x
x = -p

49. Conic Sections ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬
49
‫الطرفيﻦ‬ ‫بتربيﻊ‬
(x − p)2
+(y− 0)2
= (x+ p)2
+(y− y)2
x2
− 2px+ p2
+ y2
= x2
+ 2xp+ p2
x2
− 2px+ p2
+ y2
= x2
+ 2xp+ p2
‫بالتبسيﻂ‬
>
y2
= 4 px , ∀p 0
y
Q)-p,y(
D
F)p,0(
M)x,y(
O
x
)2-4( ‫الشكل‬
y2
= -8x ‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫دليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البﺆرة‬ ‫جد‬ - 1- ‫مثال‬
y2
= -8x
y2
= 4
-4px ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫مﻊ‬ ‫بالمقارنة‬
> 0
=
⇒ 4p= 8 ⇒ p=
8
4
= 2
∴ p= 2
( ,0) = (2,0)
F (−p,0) = F (−2,0)
x = −
p ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
∴ = −
x = 2
x=-p ‫الدليل‬ ‫ومعادلة‬
)‫السينات‬‫لمحور‬‫تنتمي‬‫وبﺆرته‬‫االﺻل‬‫نقطة‬‫رأسه‬‫الﺬي‬‫المكافئ‬‫للقطﻊ‬‫القياسية‬‫(المعادلة‬

50. Conic Sections ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬
50
:‫علم‬ ‫اذا‬ ‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
- 2- ‫مثال‬
. ‫االﺻل‬ ‫نقطة‬ ‫والرأس‬ )3,0( ‫بﺆرته‬ )‫أ‬
. ‫االﺻل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬ 2x - 6 = 0 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬ )‫ب‬
‫احلل‬
)p,0( = )3,0( )‫أ‬
⇒ p = 3
∴ y2
= 4px )‫القياسية‬ ‫(المعادلة‬
⇒ y2
= )4( )3( x = 12x
y2
= 12x
2x - 6 = 0 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬ ‫مﻦ‬ )‫ب‬
2x = 6 ⇒ x = 3
∴ p = 3 )‫التعريف‬ ‫(بفﻀل‬
‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫بتطبيق‬
y2
= -4px
y2
= )-4( )3( x = -12 x ⇒ y2
= -12x
:‫أرسمه‬ ‫ثم‬ y2
= 4x ‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫دليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫بﺆرة‬ ‫جد‬
- 3- ‫مثال‬
: ‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫معادلة‬ ‫مﻊ‬ ‫بالمقارنة‬
‫احلل‬
y2
= 4px
⇒ 4p = 4 ⇒ p =1
F )1, 0( ‫البﺆرة‬
x = -1 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
y2
= 4x ⇒ y = ±2 x

51. Conic Sections ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬
51
x 0 1 2
y 0 ±2 ±2 2
y
F)1,0(
O
x
D
x = -1
)1,2(
)1,-2(
)2-5( ‫الشكل‬
‫في‬ ‫والرأس‬ 3,0
( ) ‫بﺆرته‬ ‫ان‬ ‫علم‬ ‫اذا‬ ‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ‫التعريف‬ ‫باستخدام‬
- 4- ‫مثال‬
.‫األﺻل‬ ‫نقطة‬
‫والنقطة‬،‫المكافئ‬‫القطﻊ‬‫منحني‬‫نقﻂ‬‫مﻦ‬M)x,y(‫النقطة‬‫ولتكﻦ‬، F ( 3,0) ‫البﺆرة‬
‫احلل‬
.‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫تعريف‬ ‫ومﻦ‬ D
sr
‫الدليل‬ ‫على‬ M ‫مﻦ‬ ‫المرسوم‬ ‫العمود‬ ‫تقاطﻊ‬ ‫نقطة‬ ‫هي‬ Q(− 3, y)
)‫الطرفيﻦ‬ ‫(بتربيﻊ‬
)‫(بالتبسيﻂ‬
(x − 3)2
+(y− 0)2
= (x+ 3)2
+(y− y)2
(x − 3)2
+ y2
= (x+ 3)2
x2
− 2 3x+ 3+ y2
= x2
+ 2 3x+ 3
y2
= 4 3x
)‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫(معادلة‬
)2-6( ‫الشكل‬
y
M)x,y(
0
x
D
F 3,0
( )
x = − 3
Q(− 3, y)

52. Conic Sections ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬
52
‫األﺻل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫والرأس‬ )y-axis(‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫بﺆرته‬ ‫الﺬي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫معادلة‬ ]2-2-2[
y
D
y = p
O
x
Q)x,p(
F)0, -p(
M)x,y(
A B
x
M)x,y(
y
F)0,p(
0
y = -p Q)x,-p(
D
‫والمستقيم‬ ، ‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫بﺆرة‬ ‫هي‬ F)0,p ( ‫النقطة‬ ‫لتكﻦ‬ ‫المحوريﻦ‬ ‫المتعامد‬ ‫الديكارتي‬ ‫المستوي‬ ‫في‬
‫والنقطة‬،‫الدليل‬‫على‬M‫مﻦ‬‫المرسوم‬‫العمود‬‫تقاطﻊ‬‫نقطة‬‫هي‬Q)x,-p (‫والنقطة‬ ‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫دليل‬ D
A )2-7( ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫كما‬ )0, 0( ‫االﺻل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫والرأس‬ ‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫منحني‬ ‫نقﻂ‬ ‫مﻦ‬ M)x,y (
MF = MQ ‫فان‬ ‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫تعريف‬ ‫على‬ ً‫ا‬‫وبناء‬
)‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫(بتربيﻊ‬
)‫(بالتبسيﻂ‬
⇒ (x − 0)2
+(y− p)2
= (x − x)2
+(y+ p)2
⇒ x2
+(y− p)2
= (y+ p)2
x2
+ y2
− 2py+ p2
= y2
+ 2py+ p2
x2
= 2py+ 2py
x2
= 4 py , ∀p> 0
⇔ =
‫المكافئ‬ ‫للقطﻊ‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
P>0 ‫حيث‬ ‫االﺻل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫رأسه‬ ‫الﺬي‬ ‫المكافئ‬ ‫للقطﻊ‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫يمثل‬ ‫االتي‬ ‫الجدول‬
)2-7( ‫الشكل‬
‫املعــادلـــة‬ ‫البﺆرة‬ ‫الدليل‬ ‫اﶈور‬ ‫القطﻊ‬ ‫فتحة‬
x2
= 4py (0 , p) y= -p y- axis ‫االعلى‬ ‫نحو‬
x2
= - 4py (0 , - p) y = p y- axis ‫االسفل‬ ‫نحو‬
y2
= 4px (p , 0) x = -p x- axis ‫اليمني‬ ‫نحو‬
y2
= - 4px (-p , 0) x = p x- axis ‫اليسار‬ ‫نحو‬

53. Conic Sections ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬
53
.3x2
- 24y = 0 ‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫دليل‬ ‫ومعادلة‬ ‫البﺆرة‬ ‫جد‬
- 5- ‫مثال‬
‫احلل‬
3x2
- 24y = 0 ] )3( ‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫بقسمة‬ [
x2
= 8y
x2
= 4py ‫المكافئ‬ ‫للقطﻊ‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫مﻊ‬ ‫بالمقارنة‬
⇒ 4p = 8 ⇒ p=2
‫نجد‬ P ‫قيمة‬ ‫ومﻦ‬
F )0,2( ‫البﺆرة‬
y = -2 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
-: ‫ان‬ ‫علم‬ ‫اذا‬ ‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
- 6- ‫مثال‬
. ‫االﺻل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬ )0,5( ‫بﺆرته‬ )‫أ‬
. ‫االﺻل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬ y = 7 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬ )‫ب‬
)‫(أ‬ ‫احلل‬
F )0,5( ⇒ p =5
x2
= 4py ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬
x2
= 20y )‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫(معادلة‬
)‫(ب‬ ‫احلل‬
y = 7
p = 7
x2
=- 4py )‫القياسية‬ ‫(المعادلة‬
x2
= -28y

54. Conic Sections ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬
54
- 7- ‫مثال‬
.‫االﺻل‬ ‫نقطة‬ ‫ورأسه‬ )2 , -4( ، )2,4( ‫بالنقطتيﻦ‬ ‫يمر‬ ‫الﺬي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
.‫السيني‬ ‫المحور‬ ‫حول‬ ‫متناظرتان‬ ‫النقطتان‬
‫احلل‬
‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ً‫ا‬‫اذ‬
y2
= 4 px , ∀p> 0
)2 ,4( ‫النقطة‬ ‫ولتكﻦ‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫تحققان‬ ‫اللتيﻦ‬ ‫النقطتيﻦ‬ ‫احدى‬ ‫نعوض‬
‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ p = 2 ‫نعوض‬
⇒16 = (4)(p)(2)
16 = 8p⇒ p=
16
8
⇒ p= 2
⇒ y2
= (4)(2)x
⇒ y2
= 8x ‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫معادلة‬
‫بالنقطة‬ ‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫دليل‬ ‫ويمر‬ ‫االﺻل‬ ‫نقطة‬ ‫رأسه‬ ‫الﺬي‬ ‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
- 8- ‫مثال‬
)3 ,-5(
:‫هما‬ ‫البﺆرة‬ ‫موقﻊ‬ ‫تحديد‬ ‫لعدم‬ ‫القياسية‬ ‫للمعادلة‬ ‫احتماليﻦ‬ ‫يوجد‬
‫احلل‬
‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫البﺆرة‬ :ً‫ا‬‫ثاني‬
y2
= 4px
x = 3 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
p = 3
y2
= - 4px )‫القياسية‬ ‫(المعادلة‬
y2
= -12x
‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتمي‬ ‫البﺆرة‬ : ً‫ال‬‫او‬
x2
= 4py
y = -5 ‫الدليل‬ ‫معادلة‬
p = 5
x2
= 4py
x2
= 20y

55. Conic Sections ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬
55
)
2
-1( ‫ن‬j‫ر‬‫ا‬ª
J
. ‫ﻟﻬﺎ‬ ‫اﻟﺒﻴﺎﻧﻲ‬ ‫اﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‬ ‫ارﺳﻢ‬ ‫ﺛﻢ‬ ‫ﻳﺂﺗﻲ‬ ‫ﻣﻤﺎ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‬ ‫ﻟﻠﻘﻄﻊ‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺟﺪ‬ .1
. ‫اﻻﺻﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫واﻟﺮأس‬ (5 , 0) ‫اﻟﺒﺆرة‬ -‫أ‬
. ‫اﻻﺻﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫واﻟﺮأس‬ (0 ,-4) ‫اﻟﺒﺆرة‬ -‫ب‬
.‫اﻻﺻﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫واﻟﺮأس‬ (0, 2) ‫اﻟﺒﺆرة‬ -‫ج‬
. ‫اﻻﺻﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫واﻟﺮأس‬ 4y - 3 = 0 ‫اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‬ ‫اﻟﻘﻄﻊ‬ ‫دﻟﻴﻞ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ -‫د‬
-:‫اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‬ ‫ﻟﻠﻘﻄﻊ‬ ‫واﻟﺪﻟﻴﻞ‬ ‫اﻟﻤﺤﻮر‬ ‫وﻣﻌﺎدﻟﺘﻲ‬ ‫واﻟﺮأس‬ ‫اﻟﺒﺆرة‬ ‫ﺟﺪ‬ ‫ﻳﺄﺗﻲ‬ ‫ﻣﻤﺎ‬ ‫ﻛﻞ‬ ‫ﻓﻲ‬ .2
a) x2
= 4y b) 2x + 16y2
= 0
.‫اﻻﺻﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫واﻟﺮاس‬ (2 ,-5) ، (-2 , - 5) ‫ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ‬ ‫ﻳﻤﺮ‬ ‫اﻟﺬي‬ ‫اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‬ ‫اﻟﻘﻄﻊ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺟﺪ‬ .3
‫ان‬ ً‫ﺎ‬‫ﻋﻠﻤ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ‬ ‫ﺟﺪ‬ ‫اﻻﺻﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫واﻟﺮأس‬ (-3 ,4) ‫ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻳﻤﺮ‬ ‫اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‬ ‫اﻟﻘﻄﻊ‬ ‫دﻟﻴﻞ‬ ‫ﻛﺎن‬ ‫اذا‬ .4
. ‫اﻟﻤﺤﻮرﻳﻦ‬ ‫ﻷﺣﺪ‬ ‫ﺗﻨﺘﻤﻲ‬ ‫ﺑﺆرﺗﻪ‬
‫أرﺳﻢ‬ ‫و‬ ‫ودﻟﻴﻠﻪ‬ ‫ﺑﺆرﺗﻪ‬ ‫ﺟﺪ‬ ‫ﺛﻢ‬ A ‫ﻗﻴﻤﺔ‬ ‫ﺟﺪ‬ (1, 2) ‫ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ﻳﻤﺮ‬ Ax2
+8y= 0 ‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ‬ ‫ﻣﻜﺎﻓﺊ‬ ‫ﻗﻄﻊ‬ .5
.‫اﻟﻘﻄﻊ‬
‫اﻟﻤﻜﺎﻓﺊ‬ ‫اﻟﻘﻄﻊ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺟﺪ‬ . ‫اﻟﺘﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام‬ .6
.‫اﻻﺻﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫واﻟﺮأس‬ (7 ,0) ‫اﻟﺒﺆرة‬ -‫أ‬
. ‫اﻻﺻﻞ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫واﻟﺮأس‬ .y = 3 ‫اﻟﺪﻟﻴﻞ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺔ‬ -‫ب‬

56. Conic Sections ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬
56
:Ellipse ‫الناﻗﺺ‬ ‫القطع‬ ]2-3[
)‫(البﺆرتان‬‫ثابتتني‬‫نقطتني‬‫عﻦ‬‫بعديﻬا‬‫مجموع‬‫يكون‬‫التي‬‫املستوي‬‫في‬‫النقﻂ‬‫مﻦ‬‫مجموعة‬‫الناقﺺ‬‫القطﻊ‬
.‫ثابت‬ ‫عدد‬
[2-3[ ‫تعـــريـف‬
.‫االﺻل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركﺰﻩ‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بﺆرتاﻩ‬ ‫ناقﺺ‬ ‫قطﻊ‬ ]2-3-1[
)2 - 8( ‫الشكل‬ ‫في‬ ‫كما‬
)2-8( ‫الشكل‬
c > 0 , a > 0 , 2a ‫هو‬ ‫الثابت‬ ‫والعدد‬ F2
)-c , 0( , F1
)c, 0 ( ‫هما‬ ‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫بﺆرتا‬
‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫بمركﺰ‬ ‫البﺆرتيﻦ‬ ‫بيﻦ‬ ‫الواﺻلة‬ ‫المستقيمة‬ ‫القطعة‬ ‫منتصف‬ ‫في‬ ‫تقﻊ‬ ‫التي‬ ‫النقطة‬ ‫تسمى‬
‫القطﻊ‬ ‫ويقطﻊ‬ )Focal axis( ‫البﺆري‬ ‫بالمحور‬ ‫بالبﺆرتيﻦ‬ ‫المار‬ ‫المستقيم‬ ‫ويسمى‬ ،)Center(
‫الكبير‬ ‫بالمحور‬ ‫الرأسيﻦ‬ ‫بيﻦ‬ ‫الواﺻلة‬ ‫المستقيم‬ ‫قطعة‬ ‫وتسمى‬ ‫القطﻊ‬ ‫رأسا‬ ‫تسميان‬ ‫نقطتيﻦ‬ ‫في‬ ‫الناقﺺ‬
‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫نقاط‬ ‫مﻦ‬ P)x, y ( ‫نقطة‬ ‫اي‬ ‫بعدي‬ ‫مجموع‬ ‫ويساوي‬ ً‫ا‬‫ايﻀ‬ )2a( ‫وطولﻬا‬ )Major axis(
:‫ان‬ ‫اي‬ ‫البﺆرتيﻦ‬ ‫عﻦ‬
p F1
+ pF2
= 2a
‫مركﺰ‬ ‫مﻦ‬ ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫على‬ ‫العمود‬ ‫المستقيم‬ ‫تقاطﻊ‬ ‫نقطتي‬ ‫بيﻦ‬ ‫الواﺻلة‬ ‫المستقيمة‬ ‫القطعة‬ ‫وتسمى‬
‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬
F2
)-c,0( F1
)c,0(
y
x
)0,0(
p)x ,y(

57. Conic Sections ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬
57
‫تسميان‬ ‫ونﻬايتاﻩ‬ b>0 ‫حيث‬ )2b( ‫وطولﻬا‬ ) Minor axis( ‫الصغير‬ ‫بالمحور‬ ‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫مﻊ‬
.‫القطبيﻦ‬
F2
)-c,0( F1
)c,0(
v1
)a,0(
v2
)-a,0(
y
x
‫قطب‬
‫قطب‬
)0,b(
)0,-b(
)0,0(
)2-9( ‫الشكل‬
.‫االﺻل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركﺰﻩ‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بﺆرتاﻩ‬ ‫الﺬي‬ ‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫معادلة‬ ]2-3-2[
)2 - 9( ‫الشكل‬ ‫الحظ‬
)‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫(بتربيﻊ‬
)4 ‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫(بقسمة‬
)‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫(بتربيﻊ‬
‫بالتبسيﻂ‬
1+ 2
⇒ (x − c)2
+(y− 0)2
+ (x+ c)2
+(y− 0)2
= 2a
⇒ (x − c)2
+ y2
+ (x+ c)2
+ y2
= 2a
⇒ (x − c)2
+ y2
+ 2a − (x+ c)2
+ y2
⇒ (x − c)2
+ y2
+ 4a2
− 4a (x+ c)2
+ y2
+(x+ c)2
+ y2
⇒ x2
− 2cx+ c2
+ y2
= 4a2
− 4a (x+ c)2
+ y2
+ x2
+ 2cx+ c2
+ y2
⇒ 4a (x+ c)2
+ y2
= 4a2
+ 4cx
⇒ a (x+ c)2
+ y2
= a2
+ cx
a2
x2
+ 2cx+ c2
+ y2
[ ]= a4
+ 2a2
cx+ c2
x2
a2
x2
+ 2a2
cx + a2
c2
+ a2
y2
= a4
+ 2a2
cx + c2
x2
a2
x2
− c2
x2
+ a2
y2
= a4
− a2
c2
x2
(a2
− c2
)+ a2
y2
= a2
(a2
− c2
) ..........(1)
p)x ,y(
‫رأس‬
‫رأس‬
=
=
∵ PF1
+ PF2
= 2a

58. Conic Sections ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬
58
b> 0 ‫حيث‬ b2
= a2
-c2
‫ان‬ ‫وبفرض‬ a2
- c2
> 0 ‫فان‬ ً‫ا‬‫دائم‬ a> c ‫ان‬ ‫بما‬
1 ‫في‬ 2 ‫نعوض‬
a2
b2
‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫بقسمة‬
= +
⇒ b2
= a2
− c2
...........(2)
⇒ x2
b2
+ a2
y2
= a2
b2
⇒
x2
a2
+
y2
b2
=1
.‫االﺻل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركﺰﻩ‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بﺆرتاﻩ‬ ‫الﺬي‬ ‫الناقﺺ‬ ‫للقطﻊ‬ ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫تمثل‬
. ‫المركﺰي‬ ‫باالﺧتالف‬ c
a
‫النسبة‬ ‫وتسمى‬
.‫الواحد‬ ‫مﻦ‬ ‫اقل‬ ً‫ا‬‫دائم‬ ‫ويكون‬ e=
c
a
‫ان‬ ‫أي‬
.‫الصادات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتميان‬ ‫والبﺆرتان‬ ‫االﺻل‬ ‫نقطة‬ ‫مركﺰﻩ‬ ‫الﺬي‬ ‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫معادلة‬ ]2-3-3[
)2 - 10( ‫الشكل‬ ‫الحظ‬
‫على‬ ‫بﺆرتاﻩ‬ ‫الﺬي‬ ‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫لمعادلة‬ ‫السابق‬ ‫االشتقاق‬ ‫ﺧطوات‬ ‫بنفس‬
‫التعريف‬ ‫وباستخدام‬ ‫االﺻل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركﺰﻩ‬ ‫السينات‬ ‫محور‬
:‫المعادلة‬ ‫على‬ ‫نحصل‬
‫في‬ ‫والمركﺰ‬ ‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫البﺆرتان‬ ‫حيث‬
.‫االﺻل‬ ‫نقطة‬
: ‫اآلتي‬ ‫بالجدول‬ ‫سبق‬ ‫ما‬ ‫نلخﺺ‬
y
x
F2
)0, -c(
F1
)0, c(
)b,0(
)0,0(
)-b,0(
v2
)0,-a(
v1
)0,a(
)2-10( ‫الشكل‬
x2
b2
+
y2
a2
=1

59. Conic Sections ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬
59
‫محور‬ ‫على‬ ‫بﺆرتاﻩ‬ ‫ناقﺺ‬ ‫قطﻊ‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫بﺆرتاﻩ‬ ‫ناقﺺ‬ ‫قطﻊ‬
. ‫االﺻل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركﺰﻩ‬ ‫السينات‬ . ‫االﺻل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركﺰﻩ‬ ‫الصادات‬
1(
x2
a2
+
y2
b2
= 1
x2
b2
+
y2
a2
= 1 ‫المعادلة‬
2( F1
)c,0( , F2
)-c,0( F1
)0,c( , F2
)0,-c( ‫البﺆرتان‬
3( V1
)a, 0( , V2
)-a,0( V1
)0,a( , V2
)0,-a( ‫الرأسان‬
4( c = a2
−b2
5( a > c , a > b
6( 2a = ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
7( 2b = ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
8( 2c = ‫البﺆرتيﻦ‬ ‫بيﻦ‬ ‫المسافة‬
9( A= abπ = A ‫لﻬا‬ ‫ويرمﺰ‬ ‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫منطقة‬ ‫مساحة‬
10( P= 2π
a2
+b2
2
, P ‫له‬ ‫ويرمﺰ‬ ‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫محيﻂ‬
11( e=
c
a
=
a2
−b2
a
, e< 1 ‫الواحد‬ ‫مﻦ‬ ‫اقل‬ ً‫ا‬‫دائم‬ ‫ويكون‬ ‫المركﺰي‬ ‫االﺧتالف‬ ”e“
‫والرأسيﻦ‬ ‫البﺆرتيﻦ‬ ‫مﻦ‬ ‫كل‬ ‫واحداثي‬ ‫المحوريﻦ‬ ‫مﻦ‬ ‫كل‬ ‫طول‬ ‫جد‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬
- 9- ‫مثال‬
. ‫المركﺰي‬ ‫واالﺧتالف‬
1(
x2
25
+
y2
16
= 1
2( 4x2
+ 3y2
=
4
3
)Area(
)Perimeter(
π =
22
7
) (
,

60. Conic Sections ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬
60
. a > b ‫حيث‬
x2
a2
+
y2
b2
= 1 ‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫مﻊ‬ ‫بالمقارنة‬
)1( ‫احلل‬
‫وحدة‬ ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
‫وحدة‬ ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
‫البﺆرتان‬
‫الرأسان‬
< 1 )‫المركﺰي‬ ‫(االﺧتالف‬
⇒ a2
= 25 ⇒ a = 5 ⇒ 2a = 10
b2
= 16 ⇒ b= 4 ⇒ 2b= 8
c = a2
−b2
= 25 −16 = 9 = 3
∴ c = 3
∴F1 (3,0) , F2 (−3,0)
V1 (5,0) , V2 (−5,0)
e=
c
a
=
3
5
4x2
+3y2
=
4
3
3
4
‫بـ‬ ‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫بﻀرب‬ )2( ‫احلل‬
‫وحدة‬ ‫الكبير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
‫وحدة‬ ‫الصغير‬ ‫المحور‬ ‫طول‬
‫البﺆرتان‬
‫الرأسان‬
< 1 )‫المركﺰي‬ ‫(االﺧتالف‬
3x2
+
9y2
4
= 1
x2
1
3
+
y2
4
9
= 1
⇒ a2
=
4
9
⇒ a =
2
3
⇒ 2a =
4
3
b2
=
1
3
⇒ b=
1
3
⇒ 2b=
2
3
c = a2−b2 ⇒ c =
4
9
−
1
3
=
1
9
=
1
3
F1 0,
1
3





 , F2 0,−
1
3






V1 0,
2
3





 , V2 0,−
2
3






∴e=
c
a
=
1
3
2
3
=
1
2
a2
−b2
F1
F2
F1 F2
V1
V1
V2
V2

61. Conic Sections ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬
61
‫النقطتان‬ ‫ورأساﻩ‬ F2
)-3,0( , F1
)3,0 ( ‫بﺆرتاﻩ‬ ‫الﺬي‬ ‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
- 10- ‫مثال‬
.‫االﺻل‬ ‫نقطة‬ ‫ومركﺰﻩ‬ V2
)-5,0( , V1
)5,0(
:‫االﺻل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫والمركﺰ‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫يقعان‬ ‫والرأسان‬ ‫البﺆرتان‬
‫احلل‬
∴
x2
a2
+
y2
b2
= 1
⇒ c = 3 ⇒ c2
= 9
⇒ a = 5 ⇒ a2
= 25
⇒ c2
= a2
−b2
⇒ b2
= a2
− c2
= 25 − 9 = 16
x2
25
+
y2
16
= 1 ‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫معادلة‬
‫المحوريﻦ‬ ‫على‬ ‫محوراﻩ‬ ‫وينطبق‬ ‫االﺻل‬ ‫نقطة‬ ‫مركﺰﻩ‬ ‫الﺬي‬ ‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
- 11- ‫مثال‬
‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫ومﻦ‬ ‫وحدات‬ 8 ‫طوله‬ ً‫ا‬‫جﺰء‬ ‫السينات‬ ‫محور‬ ‫مﻦ‬ ‫ويقطﻊ‬ ‫االحداثييﻦ‬
.‫ومحيطه‬ ‫منطقته‬ ‫ومساحة‬ ‫البﺆرتيﻦ‬ ‫بيﻦ‬ ‫المسافة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ،‫وحدة‬ 12 ‫طوله‬ ً‫ا‬‫جﺰء‬
‫احلل‬
2b= 8 ⇒ b= 4 ⇒ b2
= 16
2a = 12 ⇒ a = 6 ⇒ a2
= 36
x2
16
+
y2
36
= 1
c = a2−b2 = 36 −16 = 2 5
⇒ 2c = 4 5
A = abπ ‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫منطقة‬ ‫مساحة‬
= )‫مربعة‬ ‫(وحدة‬،
⇒ (6)(4)π = 24π π =
22
7
∵P=
=
Q 2π
a2
+b2
2
⇒ 2π
36 +16
2
= 2π
52
2
⇒ 2π 26 ‫وحدة‬
a2
−b2
‫وحدة‬ ‫البﺆرتيﻦ‬ ‫بيﻦ‬ ‫المسافة‬
y
x
2a=12
2b=8
a
b
)2-11( ‫الشكل‬
=
‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫محيﻂ‬
A = π
P
a
b

62. Conic Sections ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬
62
2c = 6 ⇒ c = 3
2a − 2b= 2 ÷2
[ ]
a = b= 1⇒ a = 1+b.......(1)
c2
= a2
−b2
9 = (1+b)2
−b2
9 =1+ 2b+b2
−b2
9 =1+ 2b
b= 4........(2)
= + =
‫بﺆرتيه‬ ‫واحدى‬ ‫االﺻل‬ ‫نقطة‬ ‫مركﺰﻩ‬ ‫ناقﺺ‬ ‫قطﻊ‬ ‫معادلة‬ kx2
+ 4y2
= 36 ‫لتكﻦ‬
- 12- ‫مثال‬
.K∈R ‫قيمة‬ ‫جد‬ ( 3,0)
‫احلل‬
kx2
+ 4y2
= 36 ÷ 36
[ ]
x2
36
k
+
y2
4
= 1
( 3,0) ‫البﺆرة‬ ‫مﻦ‬
‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫مﻊ‬ ‫وبالمقارنة‬
b2
= 9 , c2
= 3 .... )1(
⇒ c = 3 ⇒ c2
= 3
x2
a2
+
y2
b2
=1
⇒ a2
=
36
k
........(1)
2
= 9
= − ⇒ = − ⇒ = + =
∴ =
⇒ =
⇒ = =
=
c2
= a2
- b2
...... )2(
) 2( ‫في‬ )1( ‫عﻦ‬ ‫بالتعويض‬
3 =
36
k
−9 ⇒ k = 3
9
1
‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬ ‫وبﺆرتاﻩ‬ ‫االﺻل‬ ‫نقطة‬ ‫في‬ ‫مركﺰﻩ‬ ‫الﺬي‬ ‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
- 13- ‫مثال‬
.‫وحدة‬ )2( ‫يساوي‬ ‫المحوريﻦ‬ ‫طولي‬ ‫بيﻦ‬ ‫والفرق‬ ، ‫وحدات‬ )6( ‫البﺆرتيﻦ‬ ‫بيﻦ‬ ‫والمسافة‬
‫احلل‬
-
,
∵
∵
‫بالتعويض‬

63. Conic Sections ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬
63
= +
=
a =1+ 4 = 5
a2
= 25
x2
25
+
y2
16
=1
‫المكافئ‬ ‫القطﻊ‬ ‫بﺆرة‬ ‫بﺆتيه‬ ‫واحدى‬ ‫االﺻل‬ ‫نقطة‬ ‫مركﺰﻩ‬ ‫الﺬي‬ ‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬
- 14- ‫مثال‬
. ‫وحدات‬ )10( ‫يساوي‬ ‫الصغير‬ ‫محورﻩ‬ ‫وطول‬ , y2
- 12x =0
‫احلل‬
y2
−12x = 0
y2
= 12x
y2
= 4px )‫القياسية‬ ‫المعادلة‬ ‫مﻊ‬ ‫(بالمقارنة‬
4 p=12 ⇒ p= 3
F1 (3,0) , F2 (−3,0) : ‫هما‬ ‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫بﺆرتا‬
⇒ c = 3 ⇒ c2
= 9
2b=10
b= 5 ⇒ b2
= 25
c2
= a2
− 25
9 = a2
− 25
a2
= 34
⇒
x2
34
+
y2
25
=1 ‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫معادلة‬
F2
F1
‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫معادلة‬
∵
∵
)1( ‫في‬ )2( ‫تعويض‬

64. Conic Sections ‫املخروطية‬ ‫القطوع‬
64
: ‫بﺆرتاﻩ‬ ‫الﺬي‬ ‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫معادلة‬ ‫جد‬ ، ‫التعريف‬ ‫باستخدام‬
- 15- ‫مثال‬
6 = ‫الثابت‬ ‫والعدد‬ F2
)-2,0( , F1
)2,0 (
:‫الناقﺺ‬ ‫للقطﻊ‬ ‫تنتمي‬ ∀p
P
∀p(x, y)
‫احلل‬
‫الطرفيﻦ‬ ‫بتربيﻊ‬
4 ‫على‬ ‫بالقسمة‬
‫الطرفيﻦ‬ ‫بتربيﻊ‬
⇒ pF1 + pF2 = 2a
(z− 2)2
+ y2
+ (x+ 2)2
+ y2
= 6
(x − 2)2
+ y2
= 6 − (x+ 2)2
+ y2
(x − 2)2
+ y2
= 36 −12 (x+ 2)2
+ y2
+(x+ 2)2
+ y2
x2 − 4x+ 4 + y2
= 36 −12 (x+ 2)2
+ y2
+ x2
+ 4x+ 4 + y2
12 (x+ 2)2
+ y2
= 36+ 8x
3 (x+ 2)2
+ y2
= 9+ 2x
9 x2
+ 4x+ 4 + y2
[ ]= 81+ 36x+ 4x2
9x2
+ 36x+ 36 + 9y2
= 81+ 36x+ 4x2
5x2
+ 9y2
= 81− 36
5x2
+ 9y2
= 45
x2
9
+
y2
5
= 1
x
x2
PF1
+PF2
.Graph The Ellipse ‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫رسم‬ ‫طريقة‬ ]2-4-4[
: ‫القطﻊ‬ ‫هﺬا‬ ‫ولرسم‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬ ‫تنتميان‬ ‫بﺆرتاﻩ‬ ‫ناقﺺ‬ ‫قطﻊ‬ ‫معادلة‬
x2
a2
+
y2
b2
= 1 ‫لتكﻦ‬
V1
)a , 0( , V2
)-a,0 ( ‫النقطتيﻦ‬ ‫نعيﻦ‬ .1
M1
)0 , b( , M2
)0,-b ( ‫النقطتيﻦ‬ ‫نعيﻦ‬ .2
.‫متصل‬ ‫بمنحني‬ ‫الترتيب‬ ‫على‬V1
M1
V2
M2
‫االربعة‬ ‫النقاط‬ ‫بيﻦ‬ ‫نصل‬ .3
F1
)c , 0( , F2
)-c,0 ( ‫البﺆرتيﻦ‬ ‫نعيﻦ‬ .4
‫الناقﺺ‬ ‫القطﻊ‬ ‫معادلة‬