رياضيات - الثالثة إعدادي | درس النظمات

1. ‫األولى‬ ‫الفقرة‬:‫النظمة‬ ‫تعريف‬
‫تعريف‬1:
‫هامة‬ ‫مالحظة‬1:
‫أمثلة‬:
‫الكتابة‬:‫بمجهولين‬ ‫األولى‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫معادلتين‬ ‫نظمة‬ ‫تسمى‬‫و‬‫بحيث‬‫و‬‫هما‬
‫المجهول‬ ‫معاملي‬‫و‬‫و‬‫المجهول‬ ‫معاملي‬ ‫هما‬.
‫الكتابة‬:‫بمجهولين‬ ‫األولى‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫معادلتين‬ ‫نظمة‬ ‫تسمى‬‫و‬‫بحيث‬‫و‬‫هما‬
‫المجهول‬ ‫معاملي‬‫و‬‫و‬‫المجهول‬ ‫معاملي‬ ‫هما‬.
‫الكتابة‬:‫بمجهولين‬ ‫األولى‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫معادلتين‬ ‫نظمة‬ ‫تسمى‬‫و‬‫بحيث‬‫و‬‫هما‬
‫المجهول‬ ‫معاملي‬‫و‬‫و‬‫المجهول‬ ‫معاملي‬ ‫هما‬.
‫تطبيقات‬:
‫النظمات‬Les Systèmes
‫النظمة‬‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫رياضية‬ ‫كتابة‬ ‫كل‬ ‫هي‬‫بمجهولين‬ ‫معادلتين‬‫بالرمز‬ ‫لها‬ ‫ونرمز‬
‫رياضية‬ ‫وبصيغة‬:
‫لتكن‬‫و‬‫و‬‫و‬‫و‬‫و‬‫حقيقية‬ ‫أعداد‬‫معلومة‬‫بحيث‬‫و‬‫و‬‫و‬‫منعدمة‬ ‫غير‬.
‫التالي‬ ‫الشكل‬ ‫على‬ ‫كتابة‬ ‫كل‬:‫تسمى‬‫بمجهولين‬ ‫األولى‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫معادلتين‬ ‫نظمة‬‫و‬
‫العددان‬‫و‬‫يسميان‬‫األول‬ ‫المجهول‬ ‫معاملي‬
‫العددان‬‫و‬‫يسميان‬‫الثاني‬ ‫المجهول‬ ‫معاملي‬
‫النظمة‬ ‫حل‬‫هوتحديد‬(‫أو‬‫إيجاد‬)‫األزواج‬ ‫أو‬ ‫الزوج‬()‫التي‬‫معا‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫معادلتي‬ ‫تحقق‬.
‫حل‬‫نظمة‬ ‫اية‬()‫شكل‬ ‫على‬ َ‫ا‬‫دائم‬ ‫يكون‬‫زوج‬().
‫أن‬ ‫نقول‬‫الزوج‬‫ما‬()‫هو‬‫حال‬‫للنظمة‬()‫كان‬ ‫إذا‬‫معا‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫معادلتي‬ ‫يحقق‬.
‫كان‬ ‫إذا‬‫ما‬ ‫زوجا‬()‫النظمة‬ ‫معادلتي‬ ‫إحدى‬ ‫يحقق‬ ‫ال‬()‫فإنه‬‫لها‬ ‫حال‬ ‫ليس‬.
‫تطبيقي‬ ‫تمرين‬1:
‫هو‬ ‫صحيحين‬ ‫عددين‬ ‫مجموع‬41‫فرقهما‬ ‫الوقت‬ ‫نفس‬ ‫وفي‬
‫هو‬6.
4)‫أكتب‬‫على‬ ‫المسألة‬ ‫هاته‬‫شكل‬‫بمجهولين‬ ‫معادلتين‬
‫و‬.
2)‫النظمة‬ ‫استنتج‬()‫المسألة‬ ‫هاته‬ ‫تحقق‬ ‫التي‬.
‫الحل‬:
4)‫المجهول‬ ‫ليكن‬‫األول‬ ‫الصحيح‬ ‫العدد‬ ‫هو‬
‫المجهول‬ ‫و‬‫الثاني‬ ‫الصحيح‬ ‫العدد‬ ‫هو‬
‫األولى‬ ‫المعادلة‬ ‫لنحدد‬:
‫هو‬ ‫الصحيحين‬ ‫العددين‬ ‫مجموع‬ ‫أن‬ ‫بما‬41
‫فإن‬:
‫الم‬ ‫لنحدد‬‫الثانية‬ ‫عادلة‬:
‫فرق‬ ‫أن‬ ‫بما‬‫هو‬ ‫الصحيحين‬ ‫العددين‬6
‫فإن‬:
2)‫لدينا‬ ‫سبق‬ ‫ما‬ ‫حسب‬:
َ‫ا‬‫وأيض‬:
‫النظمة‬ ‫إذن‬()‫على‬ ‫هي‬ ‫المسألة‬ ‫هاته‬ ‫تحقق‬ ‫التي‬
‫التالي‬ ‫الشكل‬:
‫تطبيقي‬ ‫تمرين‬2:‫نعتبر‬‫النظمة‬()‫التالية‬:
4)‫الزوج‬ ‫هل‬‫؟‬ ‫األولى‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬
2)‫الزوج‬ ‫هل‬‫الثانية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬‫؟‬
3)‫حل‬ ‫استنتج‬‫النظمة‬().
‫الحل‬:
4)‫لدينا‬:
‫إذن‬‫الزوج‬ ‫ان‬ ‫نقول‬‫األولى‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫هو‬
‫للنظمة‬(.)
2)‫لدينا‬:
‫إذن‬‫الزوج‬ ‫ان‬ ‫نقول‬‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫هو‬‫الثانية‬
‫للنظمة‬(.)
3)‫للنظمة‬ َ‫ال‬‫ح‬ ‫لنستنتج‬():
‫السؤالين‬ ‫حسب‬ ‫أن‬ ‫بما‬4‫و‬2‫الزوج‬‫حل‬ ‫هو‬
‫النظمة‬ ‫معادلتي‬()َ‫ا‬‫مع‬.
‫النظمة‬ ‫حل‬ ‫فإن‬()‫الزوج‬ ‫هو‬.

2. ‫الثانية‬ ‫الفقرة‬:َ‫ا‬‫جبري‬ ‫النظمة‬ ‫حل‬ ‫طريقة‬(َ‫ا‬‫حسابي‬)
‫األولى‬ ‫الطريقة‬:‫التعويض‬ ‫طريقة‬
‫قاعدة‬1:
‫أمثلة‬:
‫تقويمي‬ ‫تمرين‬1:‫التالية‬ ‫نعتبرالنظمة‬:
1)‫الزوج‬ ‫هل‬‫للنظمة‬ َ‫ال‬‫ح‬‫؟‬
2)‫الزوج‬ ‫هل‬‫للنظمة‬ َ‫ال‬‫ح‬‫؟‬
3)‫الزوج‬ ‫هل‬‫للنظمة‬ َ‫ال‬‫ح‬‫؟‬
‫الحل‬:
1)‫لدينا‬:
‫إذن‬‫الزوج‬‫للنظمة‬ ‫االولى‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫هو‬
.
‫ولدينا‬‫أيضا‬:
‫إذن‬‫الزوج‬‫للنظمة‬ ‫الثانية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫هوأيضا‬
.
‫الزوج‬ ‫وبالتالي‬‫هو‬‫للنظمة‬ ‫حال‬.
2)‫لدينا‬:
‫الزوج‬ ‫إذن‬‫للنظمة‬ ‫االولى‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫هو‬
.
‫ولدينا‬‫أيضا‬:
‫الزوج‬ ‫إذن‬‫للنظمة‬ ‫الثانية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫ليس‬
.
‫الزوج‬ ‫وبالتالي‬‫ليس‬‫للنظمة‬ ‫حال‬.
3)‫لدينا‬:
‫الزوج‬ ‫إذن‬‫ليس‬‫للنظمة‬ ‫االولى‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬
.
‫الزوج‬ ‫وبالتالي‬‫ليس‬‫للنظمة‬ ‫حال‬.
‫تقويمي‬ ‫تمرين‬2:‫التالية‬ ‫نعتبرالنظمة‬:
1)‫الزوج‬ ‫أن‬ ‫تحقق‬‫النظمة‬ ‫لهاته‬ َ‫ال‬‫ح‬ ‫ليس‬.
2)‫الزوج‬ ‫أن‬ ‫تحقق‬‫النظمة‬ ‫لهاته‬ َ‫ال‬‫ح‬.
‫الحل‬:
1)‫لدينا‬:
‫إذن‬‫الزوج‬‫النظمة‬ ‫لهاته‬ ‫االولى‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫هو‬.
‫أيضا‬ ‫ولدينا‬:
‫إذن‬‫الزوج‬‫النظمة‬ ‫لهاته‬ ‫الثانية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫ليس‬.
‫الزوج‬ ‫وبالتالي‬‫ليس‬‫حال‬‫النظمة‬ ‫لهاته‬.
2)‫لدينا‬:
‫إذن‬‫الزوج‬‫لهاته‬ ‫االولى‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫هو‬
‫النظمة‬.
‫أيضا‬ ‫ولدينا‬:
‫إذن‬‫الزوج‬‫لهاته‬ ‫الثانية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫أيضا‬ ‫هو‬
‫النظمة‬.
‫الزوج‬ ‫وبالتالي‬‫حال‬‫النظمة‬ ‫لهاته‬.
‫نظمة‬ ‫أية‬ ‫لحل‬‫التالية‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫التعويض‬ ‫طريقة‬ ‫باستعمال‬:
‫األولى‬ ‫الخطوة‬:‫نكتب‬(‫نحدد‬ ‫أو‬ ‫نعبر‬ ‫أو‬)‫المجهولين‬ ‫أحد‬(‫أو‬)‫األخر‬ ‫بداللة‬‫المعادلتين‬ ‫إحدى‬ ‫في‬.
‫الثانية‬ ‫الخطوة‬:‫األخرى‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫بتعبيره‬ ‫السابقة‬ ‫الخطوة‬ ‫في‬ ‫عليه‬ ‫المحصل‬ ‫المجهول‬ ‫نعوض‬,‫من‬ ‫معادلة‬ ‫على‬ ‫فنحصل‬
‫واحد‬ ‫بمجهول‬ ‫االولى‬ ‫الدرجة‬,‫األول‬ ‫المجهول‬ ‫قيمة‬ ‫على‬ ‫للحصول‬ ‫بحلها‬ ‫نقوم‬ ‫ثم‬.
‫الثالثة‬ ‫الخطوة‬:‫الخطو‬ ‫في‬ ‫عليه‬ ‫المحصل‬ ‫التعبير‬ ‫في‬ ‫بقيمته‬ ‫األول‬ ‫المجهول‬ ‫نعوض‬‫األولى‬ ‫ة‬,‫المجهول‬ ‫قيمة‬ ‫على‬ ‫فنحصل‬
‫النظمة‬ ‫لهاته‬ ‫حال‬ ‫نستنتج‬ ‫ثم‬ ‫الثاني‬.
‫مثال‬1:
‫لدينا‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫أي‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫مثال‬2:
‫لدينا‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫أي‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫مثال‬3:
‫لدينا‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫أي‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:

3. ‫الثانية‬ ‫الطريقة‬:‫الخطية‬ ‫التأليفة‬ ‫طريقة‬
‫قاعدة‬2:
‫أمثلة‬:
‫إذن‬:
‫هو‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫حل‬ ‫وبالتالي‬‫الزوج‬
().
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫هو‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫حل‬ ‫وبالتالي‬‫الزوج‬
().
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫هو‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫حل‬ ‫وبالتالي‬‫الزوج‬
().
‫التأ‬ ‫طريقة‬ ‫باستعمال‬ ‫نظمة‬ ‫أية‬ ‫لحل‬‫الخ‬ ‫نتبع‬ ‫الخطية‬ ‫ليفة‬‫التالية‬ ‫طوات‬:
‫األولى‬ ‫الخطوة‬:‫األول‬ ‫المجهول‬ ‫تحديد‬:
‫في‬ ‫النظمة‬ ‫معادلتي‬ ‫من‬ ‫معادلة‬ ‫كل‬ ‫نضرب‬‫منا‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬‫و‬ ‫سب‬‫منعدم‬ ‫غير‬‫على‬ ‫نحصل‬ ‫أن‬ ‫بشرط‬‫معاملي‬
‫األخر‬ ‫المجهول‬‫متقابالن‬ ‫عددان‬‫فن‬ ‫بطرف‬ ‫طرفا‬ ‫عليهما‬ ‫المحصل‬ ‫المعادلتين‬ ‫بجمع‬ ‫نقوم‬ ‫ثم‬ ‫؛‬‫حصل‬‫من‬ ‫معادلة‬ ‫على‬
‫األولى‬ ‫الدرجة‬‫واحد‬ ‫بمجهول‬‫األول‬ ‫المجهول‬ ‫قيمة‬ ‫على‬ ‫للحصول‬ ‫بحلها‬ ‫نقوم‬ ‫ثم‬ ‫؛‬.
‫الثانية‬ ‫الخطوة‬:‫الثاني‬ ‫المجهول‬ ‫تحديد‬:
‫الثاني‬ ‫المجهول‬ ‫قيمة‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫األولى‬ ‫الخطوة‬ ‫في‬ ‫المتبعة‬ ‫الطريقة‬ ‫وبنفس‬,‫النظمة‬ ‫لهاته‬ ‫حال‬ ‫نستنتج‬ ‫ثم‬.
‫مثال‬1:‫التالية‬ ‫النظمة‬ ‫نعتبر‬:
‫أوال‬ ‫لنحدد‬:
‫لدينا‬:
(‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫نضرب‬1‫في‬1‫طرفي‬ ‫و‬
‫المعادلة‬2‫في‬3-)
‫أن‬ ‫يعني‬:
)‫بطرف‬ ‫طرفا‬ ‫معا‬ ‫المعادلتين‬ ‫نجمع‬)
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫ثانيا‬ ‫لنحدد‬:
‫لدينا‬:
(‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫نضرب‬1‫في‬1‫طرفي‬ ‫و‬
‫المعادلة‬2‫في‬2-)
‫أن‬ ‫يعني‬:
(‫بطرف‬ ‫طرفا‬ ‫معا‬ ‫المعادلتين‬ ‫نجمع‬)
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫ي‬ ‫تال‬ ‫ال‬ ‫وب‬‫الزوج‬ ‫هو‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫حل‬
‫مثال‬2:‫التالية‬ ‫النظمة‬ ‫نعتبر‬:
‫أوال‬ ‫لنحدد‬:
‫لدينا‬:
(‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫نضرب‬1‫في‬1‫طرفي‬ ‫و‬
‫المعادلة‬2‫في‬4-)
‫أن‬ ‫يعني‬:
)‫بطرف‬ ‫طرفا‬ ‫معا‬ ‫المعادلتين‬ ‫نجمع‬)
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫ثانيا‬ ‫لنحدد‬:
‫لدينا‬:
(‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫نضرب‬1‫في‬1‫طرفي‬ ‫و‬
‫المعادلة‬2‫في‬5)
‫أن‬ ‫يعني‬:
(‫بطرف‬ ‫طرفا‬ ‫معا‬ ‫المعادلتين‬ ‫نجمع‬)
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫ي‬ ‫تال‬ ‫ال‬ ‫وب‬‫الزوج‬ ‫هو‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫حل‬
‫مثال‬3:‫التالية‬ ‫النظمة‬ ‫نعتبر‬:
‫أوال‬ ‫لنحدد‬:
‫لدينا‬:
(‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫نضرب‬1‫في‬1‫طرفي‬ ‫و‬
‫المعادلة‬2‫في‬1)
‫أن‬ ‫يعني‬:
)‫بطرف‬ ‫طرفا‬ ‫معا‬ ‫المعادلتين‬ ‫نجمع‬)
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫ثانيا‬ ‫لنحدد‬:
‫لدينا‬:
(‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫نضرب‬1‫في‬1‫طرفي‬ ‫و‬
‫المعادلة‬2‫في‬2)
‫أن‬ ‫يعني‬:
(‫بطرف‬ ‫طرفا‬ ‫معا‬ ‫المعادلتين‬ ‫نجمع‬)
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫ي‬ ‫تال‬ ‫ال‬ ‫وب‬‫الزوج‬ ‫هو‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫حل‬

4. ‫الثالثة‬ ‫الفقرة‬:‫النظمات‬ ‫باستعمال‬ ‫المسائل‬ ‫حل‬
‫قاعدة‬3:
‫أمثلة‬:
‫تطبيقي‬ ‫تمرين‬1:‫باستعمال‬ ‫التالية‬ ‫النظمات‬ ‫حل‬‫طريقة‬
‫التعويض‬:
S2))‫؛‬( S1)
S4))‫؛‬( S3)
‫تطبيقي‬ ‫تمرين‬2:‫باستعمال‬ ‫التالية‬ ‫النظمات‬ ‫حل‬‫طريقة‬‫التأليفة‬
‫الخطية‬:
S2))‫؛‬( S1)
S4))‫؛‬( S3)
‫تقويمي‬ ‫تمرين‬1:‫النظمة‬ ‫نعتبر‬(S)‫التالية‬:
1)‫الزوج‬ ‫أن‬ ‫تحقق‬‫للنظمة‬ ‫حال‬ ‫ليس‬.
2)‫الزوج‬ ‫أن‬ ‫تحقق‬‫للنظمة‬ ‫حال‬.
3)‫النظمة‬ ‫مختلفتين‬ ‫بطريقتين‬ ‫حل‬.
‫تقويمي‬ ‫تمرين‬2:‫النظمة‬ ‫نعتبر‬(S)‫التالية‬:
1)‫الزوج‬ ‫هل‬‫للنظمة‬ ‫حل‬.
2)‫الزوج‬ ‫هل‬‫للنظمة‬ ‫حل‬.
3)‫النظمة‬ ‫مختلفتين‬ ‫بطريقتين‬ ‫حل‬.
‫التالية‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫النظمات‬ ‫باستعمال‬ ‫مسألة‬ ‫أية‬ ‫لحل‬:
‫األولى‬ ‫الخطوة‬:‫معطياتها‬ ‫تحديد‬ ‫مع‬ ‫بتمعن‬ ‫و‬ ‫جيدا‬ ‫المسألة‬ ‫قراءة‬.
‫الثانية‬ ‫الخطوة‬:‫المناسبين‬ ‫المجهولين‬ ‫اختيار‬‫و‬.
‫الثالثة‬ ‫الخطوة‬:‫ا‬ ‫صياغة‬‫المسألة‬ ‫هاته‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬ ‫التي‬ ‫لنظمة‬.
‫الرابعة‬ ‫الخطوة‬:‫الحل‬ ‫هذا‬ ‫صحة‬ ‫من‬ ‫التحقق‬ ‫مع‬ ‫عليها‬ ‫المحصل‬ ‫النظمة‬ ‫حل‬.
‫الخامسة‬ ‫الخطوة‬:‫مع‬ ‫المسألة‬ ‫حل‬‫الحل‬ ‫هذا‬ ‫صحة‬ ‫من‬ ‫التحقق‬.
‫المسألة‬1:
‫أحمد‬ ‫اشترى‬‫كتابا‬‫و‬3‫دفاتر‬‫قدره‬ ‫بثمن‬55‫درهما‬‫و‬‫أختاه‬ ‫اشترت‬
‫النوع‬ ‫نفس‬ ‫من‬ ‫فاطمة‬‫كتابين‬‫و‬5‫دفاتر‬‫قدره‬ ‫بثمن‬111‫درهما‬.
‫الواحد‬ ‫الدفتر‬ ‫و‬ ‫الواحد‬ ‫الكتاب‬ ‫ثمن‬ ‫بالدرهم‬ ‫حدد‬.
‫الحل‬:‫المسألة‬ ‫هاته‬ ‫لحل‬‫التالية‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬:
‫المسألة‬ ‫هاته‬ ‫معطيات‬ ‫تحديد‬:
-‫و‬ ‫كتابا‬ ‫أحمد‬ ‫اشترى‬3‫دفاتر‬‫ب‬55‫درهما‬.
-‫و‬ ‫كتابين‬ ‫فاطمة‬ ‫اشترت‬5‫ب‬ ‫دفاتر‬111‫ومن‬ ‫درهما‬
‫النوع‬ ‫نفس‬.
‫المناسبين‬ ‫المجهولين‬ ‫اختيار‬‫و‬:
‫المجهول‬ ‫ليكن‬‫الواحد‬ ‫الكتاب‬ ‫ثمن‬ ‫هو‬‫والمجهول‬‫هو‬
‫الواحد‬ ‫الدفتر‬ ‫ثمن‬.
‫المسألة‬ ‫هاته‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬ ‫التي‬ ‫النظمة‬ ‫صياغة‬:
-‫األولى‬ ‫المعادلة‬ ‫لنحدد‬:
‫و‬ ‫كتابا‬ ‫اشترى‬ ‫أحمد‬ ‫أن‬ ‫بما‬3‫ب‬ ‫دفاتر‬55‫درهما‬
‫فأن‬:
-‫الثانية‬ ‫المعادلة‬ ‫لنحدد‬:
‫اشترت‬ ‫فاطمة‬ ‫أن‬ ‫بما‬‫النوع‬ ‫نفس‬ ‫من‬‫كتابين‬‫و‬5‫دفاتر‬
‫ب‬111‫درهما‬
‫فأن‬:
‫على‬ ‫هي‬ ‫المسألة‬ ‫هاته‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬ ‫التي‬ ‫النظمة‬ ‫إذن‬
‫التالي‬ ‫الشكل‬:
‫المحصل‬ ‫النظمة‬ ‫حل‬‫الحل‬ ‫هذا‬ ‫صحة‬ ‫من‬ ‫التحقق‬ ‫مع‬ ‫عليها‬:
‫الخطية‬ ‫التأليفة‬ ‫طريقة‬ ‫باستعمال‬ ‫النظمة‬ ‫لنحل‬:
-‫المجهول‬ ‫أوال‬ ‫لنحدد‬
‫لدينا‬:
(‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫نضرب‬1‫في‬5‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫و‬2‫في‬3-)
‫أن‬ ‫يعني‬:
(‫بطرف‬ ‫طرفا‬ ‫معا‬ ‫المعادلتين‬ ‫نجمع‬)
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
-‫ثانيا‬ ‫لنحدد‬‫المجهول‬
‫لتحديد‬ ‫المتبعة‬ ‫الطريقة‬ ‫وبنفس‬‫المجهول‬‫المجهول‬ ‫نحصل‬‫هو‬:
‫ي‬ ‫تال‬ ‫ال‬ ‫وب‬‫هو‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫حل‬‫الزوج‬
‫مع‬ ‫المسألة‬ ‫حل‬‫الحل‬ ‫هذا‬ ‫صحة‬ ‫من‬ ‫التحقق‬:
-‫هو‬ ‫الواحد‬ ‫الكتاب‬ ‫ثمن‬
-‫ثمن‬‫الدفتر‬‫هو‬ ‫الواحد‬

5. ‫تطبيقات‬:‫النظمات‬ ‫باستعمال‬ ‫التالية‬ ‫المسائل‬ ‫حل‬ ‫الالزمة‬ ‫للخطوات‬ ‫بإتباعك‬
‫الرابعة‬ ‫الفقرة‬:‫مبيانيا‬ ‫النظمة‬ ‫حل‬ ‫طريقة‬
‫قاعدة‬4:
‫المسألة‬2:
‫على‬ ‫أمين‬ ‫يتوفر‬9‫نقدية‬ ‫قطع‬‫من‬‫مختلفتين‬ ‫فئتين‬5‫و‬ ‫دراهم‬01
‫دراهم‬.‫هو‬ ‫أمين‬ ‫عليه‬ ‫يتوفر‬ ‫الذي‬ ‫المبلغ‬ ‫أن‬ ‫علما‬60‫در‬‫هما‬‫فما‬ ‫؛‬
‫؟‬ ‫فئة‬ ‫كل‬ ‫من‬ ‫النقدية‬ ‫القطع‬ ‫هوعدد‬
‫الحل‬:‫لحل‬‫هاته‬‫المسألة‬‫نتبع‬‫الخطوات‬‫التالية‬:
‫تحديد‬‫معطيات‬‫هاته‬‫المسألة‬:
-‫فئتي‬ ‫من‬ ‫النقدية‬ ‫القطع‬ ‫عدد‬5‫و‬ ‫دراهم‬01‫هو‬ ‫دراهم‬9
-‫هو‬ ‫اإلجمالي‬ ‫المبلغ‬60‫درهما‬
‫اختيار‬‫المجهولين‬‫المناسبين‬‫و‬:
‫المجهول‬ ‫ليكن‬‫فئة‬ ‫من‬ ‫النقدية‬ ‫القطع‬ ‫عدد‬ ‫هو‬5‫و‬ ‫دراهم‬
‫المجهول‬‫فئة‬ ‫من‬ ‫النقدية‬ ‫القطع‬ ‫عدد‬ ‫هو‬01‫دراهم‬
‫صياغة‬‫النظمة‬‫التي‬‫تحقق‬‫شروط‬‫هاته‬‫المسألة‬:
-‫األولى‬ ‫المعادلة‬ ‫لنحدد‬:
‫فئتي‬ ‫من‬ ‫النقدية‬ ‫القطع‬ ‫عدد‬ ‫أن‬ ‫بما‬5‫و‬ ‫دراهم‬01‫دراهم‬
‫هو‬9
‫فإن‬:
-‫الثانية‬ ‫المعادلة‬ ‫لنحدد‬:
‫هو‬ ‫اإلجمالي‬ ‫المبلغ‬ ‫أن‬ ‫بما‬60‫درهما‬
‫فإن‬:
‫على‬ ‫هي‬ ‫المسألة‬ ‫هاته‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬ ‫التي‬ ‫النظمة‬ ‫إذن‬
‫التالي‬ ‫الشكل‬:
‫حل‬‫النظمة‬‫المحصل‬‫عليها‬‫مع‬‫التحقق‬‫من‬‫صحة‬‫هذا‬‫الحل‬:
‫باستعمال‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫لنحل‬‫التعويض‬ ‫طريقة‬:
‫لدينا‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫هو‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫حل‬ ‫وبالتالي‬‫الزوج‬
‫حل‬‫المسألة‬‫مع‬‫التحقق‬‫من‬‫صحة‬‫هذا‬‫الحل‬:
-‫فئة‬ ‫من‬ ‫النقدية‬ ‫القطع‬ ‫عدد‬5‫دراهم‬‫هو‬6‫ألن‬
-‫فئة‬ ‫من‬ ‫النقدية‬ ‫القطع‬ ‫وعدد‬01‫هو‬ ‫دراهم‬3‫ألن‬
‫المسألة‬0:
‫حضر‬211‫متفرجا‬‫مسرحيا‬ ‫عرضا‬,‫اإلجمالي‬ ‫المدخول‬ ‫فكان‬
‫هو‬45111‫درهما‬.‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫التذكرة‬ ‫ثمن‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫إذا‬
‫هو‬ ‫األولى‬311‫دراهم‬‫هو‬ ‫الثانية‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫التذكرة‬ ‫وثمن‬
011‫دراهم‬‫؟‬ ‫درجة‬ ‫كل‬ ‫من‬ ‫المقاعد‬ ‫عدد‬ ‫هو‬ ‫فما‬ ‫؛‬
‫المسألة‬2:
‫بملء‬ ‫شخص‬ ‫قام‬265‫لترا‬‫في‬ ‫الزيتون‬ ‫زيت‬ ‫من‬01‫قنينة‬‫من‬
‫سعتي‬2‫لتر‬‫من‬ ‫و‬5‫لترات‬.
‫سعة‬ ‫كل‬ ‫من‬ ‫المستعملة‬ ‫القنينات‬ ‫عدد‬ ‫حدد‬
‫المسألة‬3:
‫فأجاب‬ ‫يملك‬ ‫الذي‬ ‫القني‬ ‫و‬ ‫الدجاج‬ ‫عدد‬ ‫عن‬ ‫فالح‬ ‫سئل‬:
"‫ما‬ ‫عندي‬‫مجموعه‬31‫رأسا‬".‫عدد‬ ‫و‬ ‫الدجاج‬ ‫عدد‬ ‫هو‬ ‫ما‬
‫لدى‬ ‫القني‬‫هذا‬‫أن‬ ‫علمت‬ ‫إذا‬ ‫الفالح؟‬‫أرجل‬ ‫عدد‬ ‫مجموع‬
‫هو‬ ‫القني‬ ‫و‬ ‫الدجاج‬02.
‫المسألة‬4:
‫الكتب‬ ‫من‬ ‫صنفين‬ ‫كتب‬ ‫بائع‬ ‫باع‬‫هو‬ ‫مجموعها‬20‫كتابا‬‫قدره‬ ‫بثمن‬
‫بحيث‬‫الواحد‬ ‫الكتاب‬ ‫ثمن‬‫األول‬ ‫الصنف‬ ‫من‬
‫هو‬‫هو‬ ‫الثاني‬ ‫الصنف‬ ‫ومن‬.
‫صنف‬ ‫كل‬ ‫كتب‬ ‫عدد‬ ‫حدد‬
‫التالية‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫مبيانيا‬ ‫نظمة‬ ‫أية‬ ‫لحل‬:
‫ا‬‫األولى‬ ‫لخطوة‬:‫المجهو‬ ‫بعزل‬ ‫نقوم‬‫ل‬‫وحيدا‬(‫المجهول‬ ‫بكتابة‬ ‫أو‬‫المجهول‬ ‫لة‬ ‫بدال‬)‫في‬‫للحصول‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫معادلتي‬ ‫كلتا‬
‫معادلتين‬ ‫على‬‫لمستقيمين‬ ‫مختصرتين‬.
‫ا‬‫الثانية‬ ‫لخطوة‬:‫نسمي‬(‫نرمز‬ ‫أو‬)‫لل‬‫ا‬ ‫المختصرتين‬ ‫بالمعادلتين‬ ‫المعرفين‬ ‫مستقيمين‬‫ب‬ ‫األولى‬ ‫الخطوة‬ ‫في‬ ‫عليهما‬ ‫لمحصل‬‫و‬
‫مثاال‬.
‫ا‬‫ل‬‫الثالثة‬ ‫خطوة‬:‫المستقيم‬ ‫هذين‬ ‫بإنشاء‬ ‫نقوم‬‫ين‬‫و‬‫م‬ ‫في‬.‫م‬.‫م‬
‫ا‬‫ل‬‫الرابعة‬ ‫خطوة‬:‫هذين‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫إحداثيتي‬ ‫زوج‬ ‫وهو‬ ‫النظمة‬ ‫لهاته‬ ‫حال‬ ‫مبيانيا‬ ‫نستنتج‬‫المستقيم‬‫ين‬‫و‬‫حالة‬ ‫في‬
‫تقاطعهما‬.

6. ‫مالحظ‬‫هامة‬ ‫ة‬2:
‫أ‬
‫أمثلة‬:
‫المستقيمان‬ ‫كان‬ ‫إذا‬‫و‬‫متقاطعان‬‫النظمة‬ ‫فإن‬‫وحيد‬ ‫حل‬ ‫تقبل‬‫وهو‬‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫إحداثيتي‬ ‫زوج‬.
‫المستقيما‬ ‫كان‬ ‫إذا‬‫ن‬‫و‬‫متوازيان‬‫النظمة‬ ‫فإن‬‫حل‬ ‫لها‬ ‫ليس‬.
‫المستقيمان‬ ‫كان‬ ‫إذا‬‫و‬‫منطابقان‬‫النظمة‬ ‫فإن‬‫الح‬ ‫من‬ ‫النهاية‬ ‫ما‬ ‫تقبل‬‫ل‬‫ول‬‫وهي‬‫نقط‬ ‫إحداثيتي‬ ‫زوج‬
‫المستقيم‬‫أ‬‫و‬
‫مثال‬1:‫لنحل‬‫مبيانيا‬‫النظمة‬‫التالية‬:
‫لدينا‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫ليكن‬ ‫إذن‬‫هي‬ ‫المختصرة‬ ‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫المستقيم‬‫الشكل‬ ‫على‬
‫التالي‬:
‫و‬‫هي‬ ‫المختصرة‬ ‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫المستقيم‬‫التالي‬ ‫الشكل‬ ‫على‬:
‫المستقيمين‬ ‫لننشىء‬‫و‬‫م‬ ‫في‬.‫م‬.‫م‬:
‫أن‬ ‫مبيانيا‬ ‫نالحظ‬‫المستقيمين‬‫و‬‫متقاطعي‬‫ن‬‫و‬‫زوج‬
‫هو‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫إحداثيتي‬:
‫الزوج‬ ‫هو‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫حل‬ ‫وبالتالي‬
‫مثال‬2:‫لنحل‬‫مبيانيا‬‫النظمة‬‫التالية‬:
‫لدينا‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫ليكن‬ ‫إذن‬‫هي‬ ‫المختصرة‬ ‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫المستقيم‬‫الشكل‬ ‫على‬
‫التالي‬:
‫و‬‫هي‬ ‫المختصرة‬ ‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫المستقيم‬‫التالي‬ ‫الشكل‬ ‫على‬:
‫المستقيمين‬ ‫لننشىء‬‫و‬‫م‬ ‫في‬.‫م‬.‫م‬:
‫أن‬ ‫مبيانيا‬ ‫نالحظ‬‫المستقيمين‬‫و‬‫متقاطعي‬‫ن‬‫و‬‫زوج‬‫إحداثيتي‬
‫هو‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬:
‫الزوج‬ ‫هو‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫حل‬ ‫وبالتالي‬
‫تطبيقي‬ ‫تمرين‬:‫حل‬‫مبيانيا‬‫التالية‬ ‫النظمات‬:
‫؛‬‫؛‬‫؛‬‫؛‬