تتناول الوثيقة تعريف الأنظمة الرياضية الخاصة بمعادلتين بمجهولين من الدرجة الأولى، حيث يتم التعريف بالمجهولين وكيفية إيجاد الحلول من خلال تحديد الأزواج التي تحقق المعادلتين. تتضمن النصوص أمثلة تطبيقية توضّح كيفية كتابة المعادلات والتأكد من صحة الحلول باستخدام طرق متعددة مثل التعويض أو التأليف الجبري. كما تتضمن تمارين عملية لتعزيز الفهم حول كيفية حل مثل هذه الأنظمة.

1. ‫األولى‬ ‫الفقرة‬:‫النظمة‬ ‫تعريف‬
‫تعريف‬1:
‫هامة‬ ‫مالحظة‬1:
‫أمثلة‬:
‫الكتابة‬:‫بمجهولين‬ ‫األولى‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫معادلتين‬ ‫نظمة‬ ‫تسمى‬‫و‬‫بحيث‬‫و‬‫هما‬
‫المجهول‬ ‫معاملي‬‫و‬‫و‬‫المجهول‬ ‫معاملي‬ ‫هما‬.
‫الكتابة‬:‫بمجهولين‬ ‫األولى‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫معادلتين‬ ‫نظمة‬ ‫تسمى‬‫و‬‫بحيث‬‫و‬‫هما‬
‫المجهول‬ ‫معاملي‬‫و‬‫و‬‫المجهول‬ ‫معاملي‬ ‫هما‬.
‫الكتابة‬:‫بمجهولين‬ ‫األولى‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫معادلتين‬ ‫نظمة‬ ‫تسمى‬‫و‬‫بحيث‬‫و‬‫هما‬
‫المجهول‬ ‫معاملي‬‫و‬‫و‬‫المجهول‬ ‫معاملي‬ ‫هما‬.
‫تطبيقات‬:
‫النظمات‬Les Systèmes
‫النظمة‬‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫رياضية‬ ‫كتابة‬ ‫كل‬ ‫هي‬‫بمجهولين‬ ‫معادلتين‬‫بالرمز‬ ‫لها‬ ‫ونرمز‬
‫رياضية‬ ‫وبصيغة‬:
‫لتكن‬‫و‬‫و‬‫و‬‫و‬‫و‬‫حقيقية‬ ‫أعداد‬‫معلومة‬‫بحيث‬‫و‬‫و‬‫و‬‫منعدمة‬ ‫غير‬.
‫التالي‬ ‫الشكل‬ ‫على‬ ‫كتابة‬ ‫كل‬:‫تسمى‬‫بمجهولين‬ ‫األولى‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫معادلتين‬ ‫نظمة‬‫و‬
‫العددان‬‫و‬‫يسميان‬‫األول‬ ‫المجهول‬ ‫معاملي‬
‫العددان‬‫و‬‫يسميان‬‫الثاني‬ ‫المجهول‬ ‫معاملي‬
‫النظمة‬ ‫حل‬‫هوتحديد‬(‫أو‬‫إيجاد‬)‫األزواج‬ ‫أو‬ ‫الزوج‬()‫التي‬‫معا‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫معادلتي‬ ‫تحقق‬.
‫حل‬‫نظمة‬ ‫اية‬()‫شكل‬ ‫على‬ َ‫ا‬‫دائم‬ ‫يكون‬‫زوج‬().
‫أن‬ ‫نقول‬‫الزوج‬‫ما‬()‫هو‬‫حال‬‫للنظمة‬()‫كان‬ ‫إذا‬‫معا‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫معادلتي‬ ‫يحقق‬.
‫كان‬ ‫إذا‬‫ما‬ ‫زوجا‬()‫النظمة‬ ‫معادلتي‬ ‫إحدى‬ ‫يحقق‬ ‫ال‬()‫فإنه‬‫لها‬ ‫حال‬ ‫ليس‬.
‫تطبيقي‬ ‫تمرين‬1:
‫هو‬ ‫صحيحين‬ ‫عددين‬ ‫مجموع‬41‫فرقهما‬ ‫الوقت‬ ‫نفس‬ ‫وفي‬
‫هو‬6.
4)‫أكتب‬‫على‬ ‫المسألة‬ ‫هاته‬‫شكل‬‫بمجهولين‬ ‫معادلتين‬
‫و‬.
2)‫النظمة‬ ‫استنتج‬()‫المسألة‬ ‫هاته‬ ‫تحقق‬ ‫التي‬.
‫الحل‬:
4)‫المجهول‬ ‫ليكن‬‫األول‬ ‫الصحيح‬ ‫العدد‬ ‫هو‬
‫المجهول‬ ‫و‬‫الثاني‬ ‫الصحيح‬ ‫العدد‬ ‫هو‬
‫األولى‬ ‫المعادلة‬ ‫لنحدد‬:
‫هو‬ ‫الصحيحين‬ ‫العددين‬ ‫مجموع‬ ‫أن‬ ‫بما‬41
‫فإن‬:
‫الم‬ ‫لنحدد‬‫الثانية‬ ‫عادلة‬:
‫فرق‬ ‫أن‬ ‫بما‬‫هو‬ ‫الصحيحين‬ ‫العددين‬6
‫فإن‬:
2)‫لدينا‬ ‫سبق‬ ‫ما‬ ‫حسب‬:
َ‫ا‬‫وأيض‬:
‫النظمة‬ ‫إذن‬()‫على‬ ‫هي‬ ‫المسألة‬ ‫هاته‬ ‫تحقق‬ ‫التي‬
‫التالي‬ ‫الشكل‬:
‫تطبيقي‬ ‫تمرين‬2:‫نعتبر‬‫النظمة‬()‫التالية‬:
4)‫الزوج‬ ‫هل‬‫؟‬ ‫األولى‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬
2)‫الزوج‬ ‫هل‬‫الثانية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬‫؟‬
3)‫حل‬ ‫استنتج‬‫النظمة‬().
‫الحل‬:
4)‫لدينا‬:
‫إذن‬‫الزوج‬ ‫ان‬ ‫نقول‬‫األولى‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫هو‬
‫للنظمة‬(.)
2)‫لدينا‬:
‫إذن‬‫الزوج‬ ‫ان‬ ‫نقول‬‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫هو‬‫الثانية‬
‫للنظمة‬(.)
3)‫للنظمة‬ َ‫ال‬‫ح‬ ‫لنستنتج‬():
‫السؤالين‬ ‫حسب‬ ‫أن‬ ‫بما‬4‫و‬2‫الزوج‬‫حل‬ ‫هو‬
‫النظمة‬ ‫معادلتي‬()َ‫ا‬‫مع‬.
‫النظمة‬ ‫حل‬ ‫فإن‬()‫الزوج‬ ‫هو‬.

2. ‫الثانية‬ ‫الفقرة‬:َ‫ا‬‫جبري‬ ‫النظمة‬ ‫حل‬ ‫طريقة‬(َ‫ا‬‫حسابي‬)
‫األولى‬ ‫الطريقة‬:‫التعويض‬ ‫طريقة‬
‫قاعدة‬1:
‫أمثلة‬:
‫تقويمي‬ ‫تمرين‬1:‫التالية‬ ‫نعتبرالنظمة‬:
1)‫الزوج‬ ‫هل‬‫للنظمة‬ َ‫ال‬‫ح‬‫؟‬
2)‫الزوج‬ ‫هل‬‫للنظمة‬ َ‫ال‬‫ح‬‫؟‬
3)‫الزوج‬ ‫هل‬‫للنظمة‬ َ‫ال‬‫ح‬‫؟‬
‫الحل‬:
1)‫لدينا‬:
‫إذن‬‫الزوج‬‫للنظمة‬ ‫االولى‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫هو‬
.
‫ولدينا‬‫أيضا‬:
‫إذن‬‫الزوج‬‫للنظمة‬ ‫الثانية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫هوأيضا‬
.
‫الزوج‬ ‫وبالتالي‬‫هو‬‫للنظمة‬ ‫حال‬.
2)‫لدينا‬:
‫الزوج‬ ‫إذن‬‫للنظمة‬ ‫االولى‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫هو‬
.
‫ولدينا‬‫أيضا‬:
‫الزوج‬ ‫إذن‬‫للنظمة‬ ‫الثانية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫ليس‬
.
‫الزوج‬ ‫وبالتالي‬‫ليس‬‫للنظمة‬ ‫حال‬.
3)‫لدينا‬:
‫الزوج‬ ‫إذن‬‫ليس‬‫للنظمة‬ ‫االولى‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬
.
‫الزوج‬ ‫وبالتالي‬‫ليس‬‫للنظمة‬ ‫حال‬.
‫تقويمي‬ ‫تمرين‬2:‫التالية‬ ‫نعتبرالنظمة‬:
1)‫الزوج‬ ‫أن‬ ‫تحقق‬‫النظمة‬ ‫لهاته‬ َ‫ال‬‫ح‬ ‫ليس‬.
2)‫الزوج‬ ‫أن‬ ‫تحقق‬‫النظمة‬ ‫لهاته‬ َ‫ال‬‫ح‬.
‫الحل‬:
1)‫لدينا‬:
‫إذن‬‫الزوج‬‫النظمة‬ ‫لهاته‬ ‫االولى‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫هو‬.
‫أيضا‬ ‫ولدينا‬:
‫إذن‬‫الزوج‬‫النظمة‬ ‫لهاته‬ ‫الثانية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫ليس‬.
‫الزوج‬ ‫وبالتالي‬‫ليس‬‫حال‬‫النظمة‬ ‫لهاته‬.
2)‫لدينا‬:
‫إذن‬‫الزوج‬‫لهاته‬ ‫االولى‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫هو‬
‫النظمة‬.
‫أيضا‬ ‫ولدينا‬:
‫إذن‬‫الزوج‬‫لهاته‬ ‫الثانية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫أيضا‬ ‫هو‬
‫النظمة‬.
‫الزوج‬ ‫وبالتالي‬‫حال‬‫النظمة‬ ‫لهاته‬.
‫نظمة‬ ‫أية‬ ‫لحل‬‫التالية‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫التعويض‬ ‫طريقة‬ ‫باستعمال‬:
‫األولى‬ ‫الخطوة‬:‫نكتب‬(‫نحدد‬ ‫أو‬ ‫نعبر‬ ‫أو‬)‫المجهولين‬ ‫أحد‬(‫أو‬)‫األخر‬ ‫بداللة‬‫المعادلتين‬ ‫إحدى‬ ‫في‬.
‫الثانية‬ ‫الخطوة‬:‫األخرى‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫بتعبيره‬ ‫السابقة‬ ‫الخطوة‬ ‫في‬ ‫عليه‬ ‫المحصل‬ ‫المجهول‬ ‫نعوض‬,‫من‬ ‫معادلة‬ ‫على‬ ‫فنحصل‬
‫واحد‬ ‫بمجهول‬ ‫االولى‬ ‫الدرجة‬,‫األول‬ ‫المجهول‬ ‫قيمة‬ ‫على‬ ‫للحصول‬ ‫بحلها‬ ‫نقوم‬ ‫ثم‬.
‫الثالثة‬ ‫الخطوة‬:‫الخطو‬ ‫في‬ ‫عليه‬ ‫المحصل‬ ‫التعبير‬ ‫في‬ ‫بقيمته‬ ‫األول‬ ‫المجهول‬ ‫نعوض‬‫األولى‬ ‫ة‬,‫المجهول‬ ‫قيمة‬ ‫على‬ ‫فنحصل‬
‫النظمة‬ ‫لهاته‬ ‫حال‬ ‫نستنتج‬ ‫ثم‬ ‫الثاني‬.
‫مثال‬1:
‫لدينا‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫أي‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫مثال‬2:
‫لدينا‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫أي‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫مثال‬3:
‫لدينا‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫أي‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:

3. ‫الثانية‬ ‫الطريقة‬:‫الخطية‬ ‫التأليفة‬ ‫طريقة‬
‫قاعدة‬2:
‫أمثلة‬:
‫إذن‬:
‫هو‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫حل‬ ‫وبالتالي‬‫الزوج‬
().
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫هو‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫حل‬ ‫وبالتالي‬‫الزوج‬
().
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫هو‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫حل‬ ‫وبالتالي‬‫الزوج‬
().
‫التأ‬ ‫طريقة‬ ‫باستعمال‬ ‫نظمة‬ ‫أية‬ ‫لحل‬‫الخ‬ ‫نتبع‬ ‫الخطية‬ ‫ليفة‬‫التالية‬ ‫طوات‬:
‫األولى‬ ‫الخطوة‬:‫األول‬ ‫المجهول‬ ‫تحديد‬:
‫في‬ ‫النظمة‬ ‫معادلتي‬ ‫من‬ ‫معادلة‬ ‫كل‬ ‫نضرب‬‫منا‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬‫و‬ ‫سب‬‫منعدم‬ ‫غير‬‫على‬ ‫نحصل‬ ‫أن‬ ‫بشرط‬‫معاملي‬
‫األخر‬ ‫المجهول‬‫متقابالن‬ ‫عددان‬‫فن‬ ‫بطرف‬ ‫طرفا‬ ‫عليهما‬ ‫المحصل‬ ‫المعادلتين‬ ‫بجمع‬ ‫نقوم‬ ‫ثم‬ ‫؛‬‫حصل‬‫من‬ ‫معادلة‬ ‫على‬
‫األولى‬ ‫الدرجة‬‫واحد‬ ‫بمجهول‬‫األول‬ ‫المجهول‬ ‫قيمة‬ ‫على‬ ‫للحصول‬ ‫بحلها‬ ‫نقوم‬ ‫ثم‬ ‫؛‬.
‫الثانية‬ ‫الخطوة‬:‫الثاني‬ ‫المجهول‬ ‫تحديد‬:
‫الثاني‬ ‫المجهول‬ ‫قيمة‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫األولى‬ ‫الخطوة‬ ‫في‬ ‫المتبعة‬ ‫الطريقة‬ ‫وبنفس‬,‫النظمة‬ ‫لهاته‬ ‫حال‬ ‫نستنتج‬ ‫ثم‬.
‫مثال‬1:‫التالية‬ ‫النظمة‬ ‫نعتبر‬:
‫أوال‬ ‫لنحدد‬:
‫لدينا‬:
(‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫نضرب‬1‫في‬1‫طرفي‬ ‫و‬
‫المعادلة‬2‫في‬3-)
‫أن‬ ‫يعني‬:
)‫بطرف‬ ‫طرفا‬ ‫معا‬ ‫المعادلتين‬ ‫نجمع‬)
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫ثانيا‬ ‫لنحدد‬:
‫لدينا‬:
(‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫نضرب‬1‫في‬1‫طرفي‬ ‫و‬
‫المعادلة‬2‫في‬2-)
‫أن‬ ‫يعني‬:
(‫بطرف‬ ‫طرفا‬ ‫معا‬ ‫المعادلتين‬ ‫نجمع‬)
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫ي‬ ‫تال‬ ‫ال‬ ‫وب‬‫الزوج‬ ‫هو‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫حل‬
‫مثال‬2:‫التالية‬ ‫النظمة‬ ‫نعتبر‬:
‫أوال‬ ‫لنحدد‬:
‫لدينا‬:
(‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫نضرب‬1‫في‬1‫طرفي‬ ‫و‬
‫المعادلة‬2‫في‬4-)
‫أن‬ ‫يعني‬:
)‫بطرف‬ ‫طرفا‬ ‫معا‬ ‫المعادلتين‬ ‫نجمع‬)
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫ثانيا‬ ‫لنحدد‬:
‫لدينا‬:
(‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫نضرب‬1‫في‬1‫طرفي‬ ‫و‬
‫المعادلة‬2‫في‬5)
‫أن‬ ‫يعني‬:
(‫بطرف‬ ‫طرفا‬ ‫معا‬ ‫المعادلتين‬ ‫نجمع‬)
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫ي‬ ‫تال‬ ‫ال‬ ‫وب‬‫الزوج‬ ‫هو‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫حل‬
‫مثال‬3:‫التالية‬ ‫النظمة‬ ‫نعتبر‬:
‫أوال‬ ‫لنحدد‬:
‫لدينا‬:
(‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫نضرب‬1‫في‬1‫طرفي‬ ‫و‬
‫المعادلة‬2‫في‬1)
‫أن‬ ‫يعني‬:
)‫بطرف‬ ‫طرفا‬ ‫معا‬ ‫المعادلتين‬ ‫نجمع‬)
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫ثانيا‬ ‫لنحدد‬:
‫لدينا‬:
(‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫نضرب‬1‫في‬1‫طرفي‬ ‫و‬
‫المعادلة‬2‫في‬2)
‫أن‬ ‫يعني‬:
(‫بطرف‬ ‫طرفا‬ ‫معا‬ ‫المعادلتين‬ ‫نجمع‬)
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫ي‬ ‫تال‬ ‫ال‬ ‫وب‬‫الزوج‬ ‫هو‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫حل‬

4. ‫الثالثة‬ ‫الفقرة‬:‫النظمات‬ ‫باستعمال‬ ‫المسائل‬ ‫حل‬
‫قاعدة‬3:
‫أمثلة‬:
‫تطبيقي‬ ‫تمرين‬1:‫باستعمال‬ ‫التالية‬ ‫النظمات‬ ‫حل‬‫طريقة‬
‫التعويض‬:
S2))‫؛‬( S1)
S4))‫؛‬( S3)
‫تطبيقي‬ ‫تمرين‬2:‫باستعمال‬ ‫التالية‬ ‫النظمات‬ ‫حل‬‫طريقة‬‫التأليفة‬
‫الخطية‬:
S2))‫؛‬( S1)
S4))‫؛‬( S3)
‫تقويمي‬ ‫تمرين‬1:‫النظمة‬ ‫نعتبر‬(S)‫التالية‬:
1)‫الزوج‬ ‫أن‬ ‫تحقق‬‫للنظمة‬ ‫حال‬ ‫ليس‬.
2)‫الزوج‬ ‫أن‬ ‫تحقق‬‫للنظمة‬ ‫حال‬.
3)‫النظمة‬ ‫مختلفتين‬ ‫بطريقتين‬ ‫حل‬.
‫تقويمي‬ ‫تمرين‬2:‫النظمة‬ ‫نعتبر‬(S)‫التالية‬:
1)‫الزوج‬ ‫هل‬‫للنظمة‬ ‫حل‬.
2)‫الزوج‬ ‫هل‬‫للنظمة‬ ‫حل‬.
3)‫النظمة‬ ‫مختلفتين‬ ‫بطريقتين‬ ‫حل‬.
‫التالية‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫النظمات‬ ‫باستعمال‬ ‫مسألة‬ ‫أية‬ ‫لحل‬:
‫األولى‬ ‫الخطوة‬:‫معطياتها‬ ‫تحديد‬ ‫مع‬ ‫بتمعن‬ ‫و‬ ‫جيدا‬ ‫المسألة‬ ‫قراءة‬.
‫الثانية‬ ‫الخطوة‬:‫المناسبين‬ ‫المجهولين‬ ‫اختيار‬‫و‬.
‫الثالثة‬ ‫الخطوة‬:‫ا‬ ‫صياغة‬‫المسألة‬ ‫هاته‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬ ‫التي‬ ‫لنظمة‬.
‫الرابعة‬ ‫الخطوة‬:‫الحل‬ ‫هذا‬ ‫صحة‬ ‫من‬ ‫التحقق‬ ‫مع‬ ‫عليها‬ ‫المحصل‬ ‫النظمة‬ ‫حل‬.
‫الخامسة‬ ‫الخطوة‬:‫مع‬ ‫المسألة‬ ‫حل‬‫الحل‬ ‫هذا‬ ‫صحة‬ ‫من‬ ‫التحقق‬.
‫المسألة‬1:
‫أحمد‬ ‫اشترى‬‫كتابا‬‫و‬3‫دفاتر‬‫قدره‬ ‫بثمن‬55‫درهما‬‫و‬‫أختاه‬ ‫اشترت‬
‫النوع‬ ‫نفس‬ ‫من‬ ‫فاطمة‬‫كتابين‬‫و‬5‫دفاتر‬‫قدره‬ ‫بثمن‬111‫درهما‬.
‫الواحد‬ ‫الدفتر‬ ‫و‬ ‫الواحد‬ ‫الكتاب‬ ‫ثمن‬ ‫بالدرهم‬ ‫حدد‬.
‫الحل‬:‫المسألة‬ ‫هاته‬ ‫لحل‬‫التالية‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬:
‫المسألة‬ ‫هاته‬ ‫معطيات‬ ‫تحديد‬:
-‫و‬ ‫كتابا‬ ‫أحمد‬ ‫اشترى‬3‫دفاتر‬‫ب‬55‫درهما‬.
-‫و‬ ‫كتابين‬ ‫فاطمة‬ ‫اشترت‬5‫ب‬ ‫دفاتر‬111‫ومن‬ ‫درهما‬
‫النوع‬ ‫نفس‬.
‫المناسبين‬ ‫المجهولين‬ ‫اختيار‬‫و‬:
‫المجهول‬ ‫ليكن‬‫الواحد‬ ‫الكتاب‬ ‫ثمن‬ ‫هو‬‫والمجهول‬‫هو‬
‫الواحد‬ ‫الدفتر‬ ‫ثمن‬.
‫المسألة‬ ‫هاته‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬ ‫التي‬ ‫النظمة‬ ‫صياغة‬:
-‫األولى‬ ‫المعادلة‬ ‫لنحدد‬:
‫و‬ ‫كتابا‬ ‫اشترى‬ ‫أحمد‬ ‫أن‬ ‫بما‬3‫ب‬ ‫دفاتر‬55‫درهما‬
‫فأن‬:
-‫الثانية‬ ‫المعادلة‬ ‫لنحدد‬:
‫اشترت‬ ‫فاطمة‬ ‫أن‬ ‫بما‬‫النوع‬ ‫نفس‬ ‫من‬‫كتابين‬‫و‬5‫دفاتر‬
‫ب‬111‫درهما‬
‫فأن‬:
‫على‬ ‫هي‬ ‫المسألة‬ ‫هاته‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬ ‫التي‬ ‫النظمة‬ ‫إذن‬
‫التالي‬ ‫الشكل‬:
‫المحصل‬ ‫النظمة‬ ‫حل‬‫الحل‬ ‫هذا‬ ‫صحة‬ ‫من‬ ‫التحقق‬ ‫مع‬ ‫عليها‬:
‫الخطية‬ ‫التأليفة‬ ‫طريقة‬ ‫باستعمال‬ ‫النظمة‬ ‫لنحل‬:
-‫المجهول‬ ‫أوال‬ ‫لنحدد‬
‫لدينا‬:
(‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫نضرب‬1‫في‬5‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫و‬2‫في‬3-)
‫أن‬ ‫يعني‬:
(‫بطرف‬ ‫طرفا‬ ‫معا‬ ‫المعادلتين‬ ‫نجمع‬)
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
-‫ثانيا‬ ‫لنحدد‬‫المجهول‬
‫لتحديد‬ ‫المتبعة‬ ‫الطريقة‬ ‫وبنفس‬‫المجهول‬‫المجهول‬ ‫نحصل‬‫هو‬:
‫ي‬ ‫تال‬ ‫ال‬ ‫وب‬‫هو‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫حل‬‫الزوج‬
‫مع‬ ‫المسألة‬ ‫حل‬‫الحل‬ ‫هذا‬ ‫صحة‬ ‫من‬ ‫التحقق‬:
-‫هو‬ ‫الواحد‬ ‫الكتاب‬ ‫ثمن‬
-‫ثمن‬‫الدفتر‬‫هو‬ ‫الواحد‬

5. ‫تطبيقات‬:‫النظمات‬ ‫باستعمال‬ ‫التالية‬ ‫المسائل‬ ‫حل‬ ‫الالزمة‬ ‫للخطوات‬ ‫بإتباعك‬
‫الرابعة‬ ‫الفقرة‬:‫مبيانيا‬ ‫النظمة‬ ‫حل‬ ‫طريقة‬
‫قاعدة‬4:
‫المسألة‬2:
‫على‬ ‫أمين‬ ‫يتوفر‬9‫نقدية‬ ‫قطع‬‫من‬‫مختلفتين‬ ‫فئتين‬5‫و‬ ‫دراهم‬01
‫دراهم‬.‫هو‬ ‫أمين‬ ‫عليه‬ ‫يتوفر‬ ‫الذي‬ ‫المبلغ‬ ‫أن‬ ‫علما‬60‫در‬‫هما‬‫فما‬ ‫؛‬
‫؟‬ ‫فئة‬ ‫كل‬ ‫من‬ ‫النقدية‬ ‫القطع‬ ‫هوعدد‬
‫الحل‬:‫لحل‬‫هاته‬‫المسألة‬‫نتبع‬‫الخطوات‬‫التالية‬:
‫تحديد‬‫معطيات‬‫هاته‬‫المسألة‬:
-‫فئتي‬ ‫من‬ ‫النقدية‬ ‫القطع‬ ‫عدد‬5‫و‬ ‫دراهم‬01‫هو‬ ‫دراهم‬9
-‫هو‬ ‫اإلجمالي‬ ‫المبلغ‬60‫درهما‬
‫اختيار‬‫المجهولين‬‫المناسبين‬‫و‬:
‫المجهول‬ ‫ليكن‬‫فئة‬ ‫من‬ ‫النقدية‬ ‫القطع‬ ‫عدد‬ ‫هو‬5‫و‬ ‫دراهم‬
‫المجهول‬‫فئة‬ ‫من‬ ‫النقدية‬ ‫القطع‬ ‫عدد‬ ‫هو‬01‫دراهم‬
‫صياغة‬‫النظمة‬‫التي‬‫تحقق‬‫شروط‬‫هاته‬‫المسألة‬:
-‫األولى‬ ‫المعادلة‬ ‫لنحدد‬:
‫فئتي‬ ‫من‬ ‫النقدية‬ ‫القطع‬ ‫عدد‬ ‫أن‬ ‫بما‬5‫و‬ ‫دراهم‬01‫دراهم‬
‫هو‬9
‫فإن‬:
-‫الثانية‬ ‫المعادلة‬ ‫لنحدد‬:
‫هو‬ ‫اإلجمالي‬ ‫المبلغ‬ ‫أن‬ ‫بما‬60‫درهما‬
‫فإن‬:
‫على‬ ‫هي‬ ‫المسألة‬ ‫هاته‬ ‫شروط‬ ‫تحقق‬ ‫التي‬ ‫النظمة‬ ‫إذن‬
‫التالي‬ ‫الشكل‬:
‫حل‬‫النظمة‬‫المحصل‬‫عليها‬‫مع‬‫التحقق‬‫من‬‫صحة‬‫هذا‬‫الحل‬:
‫باستعمال‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫لنحل‬‫التعويض‬ ‫طريقة‬:
‫لدينا‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫إذن‬:
‫هو‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫حل‬ ‫وبالتالي‬‫الزوج‬
‫حل‬‫المسألة‬‫مع‬‫التحقق‬‫من‬‫صحة‬‫هذا‬‫الحل‬:
-‫فئة‬ ‫من‬ ‫النقدية‬ ‫القطع‬ ‫عدد‬5‫دراهم‬‫هو‬6‫ألن‬
-‫فئة‬ ‫من‬ ‫النقدية‬ ‫القطع‬ ‫وعدد‬01‫هو‬ ‫دراهم‬3‫ألن‬
‫المسألة‬0:
‫حضر‬211‫متفرجا‬‫مسرحيا‬ ‫عرضا‬,‫اإلجمالي‬ ‫المدخول‬ ‫فكان‬
‫هو‬45111‫درهما‬.‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫التذكرة‬ ‫ثمن‬ ‫أن‬ ‫علمت‬ ‫إذا‬
‫هو‬ ‫األولى‬311‫دراهم‬‫هو‬ ‫الثانية‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫التذكرة‬ ‫وثمن‬
011‫دراهم‬‫؟‬ ‫درجة‬ ‫كل‬ ‫من‬ ‫المقاعد‬ ‫عدد‬ ‫هو‬ ‫فما‬ ‫؛‬
‫المسألة‬2:
‫بملء‬ ‫شخص‬ ‫قام‬265‫لترا‬‫في‬ ‫الزيتون‬ ‫زيت‬ ‫من‬01‫قنينة‬‫من‬
‫سعتي‬2‫لتر‬‫من‬ ‫و‬5‫لترات‬.
‫سعة‬ ‫كل‬ ‫من‬ ‫المستعملة‬ ‫القنينات‬ ‫عدد‬ ‫حدد‬
‫المسألة‬3:
‫فأجاب‬ ‫يملك‬ ‫الذي‬ ‫القني‬ ‫و‬ ‫الدجاج‬ ‫عدد‬ ‫عن‬ ‫فالح‬ ‫سئل‬:
"‫ما‬ ‫عندي‬‫مجموعه‬31‫رأسا‬".‫عدد‬ ‫و‬ ‫الدجاج‬ ‫عدد‬ ‫هو‬ ‫ما‬
‫لدى‬ ‫القني‬‫هذا‬‫أن‬ ‫علمت‬ ‫إذا‬ ‫الفالح؟‬‫أرجل‬ ‫عدد‬ ‫مجموع‬
‫هو‬ ‫القني‬ ‫و‬ ‫الدجاج‬02.
‫المسألة‬4:
‫الكتب‬ ‫من‬ ‫صنفين‬ ‫كتب‬ ‫بائع‬ ‫باع‬‫هو‬ ‫مجموعها‬20‫كتابا‬‫قدره‬ ‫بثمن‬
‫بحيث‬‫الواحد‬ ‫الكتاب‬ ‫ثمن‬‫األول‬ ‫الصنف‬ ‫من‬
‫هو‬‫هو‬ ‫الثاني‬ ‫الصنف‬ ‫ومن‬.
‫صنف‬ ‫كل‬ ‫كتب‬ ‫عدد‬ ‫حدد‬
‫التالية‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫مبيانيا‬ ‫نظمة‬ ‫أية‬ ‫لحل‬:
‫ا‬‫األولى‬ ‫لخطوة‬:‫المجهو‬ ‫بعزل‬ ‫نقوم‬‫ل‬‫وحيدا‬(‫المجهول‬ ‫بكتابة‬ ‫أو‬‫المجهول‬ ‫لة‬ ‫بدال‬)‫في‬‫للحصول‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫معادلتي‬ ‫كلتا‬
‫معادلتين‬ ‫على‬‫لمستقيمين‬ ‫مختصرتين‬.
‫ا‬‫الثانية‬ ‫لخطوة‬:‫نسمي‬(‫نرمز‬ ‫أو‬)‫لل‬‫ا‬ ‫المختصرتين‬ ‫بالمعادلتين‬ ‫المعرفين‬ ‫مستقيمين‬‫ب‬ ‫األولى‬ ‫الخطوة‬ ‫في‬ ‫عليهما‬ ‫لمحصل‬‫و‬
‫مثاال‬.
‫ا‬‫ل‬‫الثالثة‬ ‫خطوة‬:‫المستقيم‬ ‫هذين‬ ‫بإنشاء‬ ‫نقوم‬‫ين‬‫و‬‫م‬ ‫في‬.‫م‬.‫م‬
‫ا‬‫ل‬‫الرابعة‬ ‫خطوة‬:‫هذين‬ ‫تقاطع‬ ‫نقطة‬ ‫إحداثيتي‬ ‫زوج‬ ‫وهو‬ ‫النظمة‬ ‫لهاته‬ ‫حال‬ ‫مبيانيا‬ ‫نستنتج‬‫المستقيم‬‫ين‬‫و‬‫حالة‬ ‫في‬
‫تقاطعهما‬.

6. ‫مالحظ‬‫هامة‬ ‫ة‬2:
‫أ‬
‫أمثلة‬:
‫المستقيمان‬ ‫كان‬ ‫إذا‬‫و‬‫متقاطعان‬‫النظمة‬ ‫فإن‬‫وحيد‬ ‫حل‬ ‫تقبل‬‫وهو‬‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫إحداثيتي‬ ‫زوج‬.
‫المستقيما‬ ‫كان‬ ‫إذا‬‫ن‬‫و‬‫متوازيان‬‫النظمة‬ ‫فإن‬‫حل‬ ‫لها‬ ‫ليس‬.
‫المستقيمان‬ ‫كان‬ ‫إذا‬‫و‬‫منطابقان‬‫النظمة‬ ‫فإن‬‫الح‬ ‫من‬ ‫النهاية‬ ‫ما‬ ‫تقبل‬‫ل‬‫ول‬‫وهي‬‫نقط‬ ‫إحداثيتي‬ ‫زوج‬
‫المستقيم‬‫أ‬‫و‬
‫مثال‬1:‫لنحل‬‫مبيانيا‬‫النظمة‬‫التالية‬:
‫لدينا‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫ليكن‬ ‫إذن‬‫هي‬ ‫المختصرة‬ ‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫المستقيم‬‫الشكل‬ ‫على‬
‫التالي‬:
‫و‬‫هي‬ ‫المختصرة‬ ‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫المستقيم‬‫التالي‬ ‫الشكل‬ ‫على‬:
‫المستقيمين‬ ‫لننشىء‬‫و‬‫م‬ ‫في‬.‫م‬.‫م‬:
‫أن‬ ‫مبيانيا‬ ‫نالحظ‬‫المستقيمين‬‫و‬‫متقاطعي‬‫ن‬‫و‬‫زوج‬
‫هو‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬ ‫إحداثيتي‬:
‫الزوج‬ ‫هو‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫حل‬ ‫وبالتالي‬
‫مثال‬2:‫لنحل‬‫مبيانيا‬‫النظمة‬‫التالية‬:
‫لدينا‬:
‫أن‬ ‫يعني‬:
‫ليكن‬ ‫إذن‬‫هي‬ ‫المختصرة‬ ‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫المستقيم‬‫الشكل‬ ‫على‬
‫التالي‬:
‫و‬‫هي‬ ‫المختصرة‬ ‫معادلته‬ ‫الذي‬ ‫المستقيم‬‫التالي‬ ‫الشكل‬ ‫على‬:
‫المستقيمين‬ ‫لننشىء‬‫و‬‫م‬ ‫في‬.‫م‬.‫م‬:
‫أن‬ ‫مبيانيا‬ ‫نالحظ‬‫المستقيمين‬‫و‬‫متقاطعي‬‫ن‬‫و‬‫زوج‬‫إحداثيتي‬
‫هو‬ ‫تقاطعهما‬ ‫نقطة‬:
‫الزوج‬ ‫هو‬ ‫النظمة‬ ‫هاته‬ ‫حل‬ ‫وبالتالي‬
‫تطبيقي‬ ‫تمرين‬:‫حل‬‫مبيانيا‬‫التالية‬ ‫النظمات‬:
‫؛‬‫؛‬‫؛‬‫؛‬