Математические основы методов решений систем логических уравнений

Математические основы методов
решений систем логических
уравнений
(28.10.2016)
Максименкова Ольга Вениаминовна, старший преподаватель
департамента программной инженерии факультета
компьютерных наук НИУ ВШЭ
© Максименкова О.В., ДПИ ФКН НИУ ВШЭ 1

Прохождение квеста ЕГЭ 23
1. Соглашения о нотации
2. Обзор необходимых знаний по математике
3. Алгоритм решения систем однородных логических уравнений.
© Максименкова О.В., Незнанов А.А., ДПИ и ДАдиИИ ФКН НИУ ВШЭ 2
НО: Решение задачи не сводится к механическому выполнению действий.
Поскольку все выкладки должны производится безошибочно, то только
понимание и точное применение понятий , лежащих в основе метода даст вам
возможность быстро и аккуратно проверять собственное решение.

Будем знакомы
Ведущий вебинара:
Ольга Вениаминовна Максименкова
E-mail: omaksimenkova@hse.ru
Web-site:
http://hse.ru/staff/maksimenkova
Blog: http://stoptoscale.blogspot.ru
(RU)

Что вам нужно знать, уметь и понимать?
• Основные понятия
• Законы алгебры логики
• ДНФ, КНФ и СДНФ и СКНФ
• Перемножение матриц
• Основы теории графов
4© Максименкова О.В ДПИ ФКН НИУ ВШЭ

Алгебра логики
Соглашения о нотации и терминологии
Логические функции
КНФ, ДНФ, СКНФ и СДНФ

Алгебра логики.
Соглашения о нотации
Обозначение Название операции Пример
· Конъюнкция, логическое умножение 𝑨 ∙ 𝑩
+ Дизъюнкция, логическое сложение 𝑨 + 𝑩
¯
(черта сверху)
Логическое отрицание ഥ𝑨
→ Импликация 𝑨 → 𝑩
⊕ Строгая дизъюнкция, строгое логическое сложение 𝑨 ⊕ 𝑩
↔ Эквиваленция 𝑨 ↔ 𝑩
≡ Тождество 𝑨 ≡ 𝑩
© Максименкова О.В., ДПИ, ФКН НИУ ВШЭ 6

Основные понятие алгебры логики
Логическая функция – это функция логических переменных X1, X2, X3, …, XN
F = F(X1, X2, X3, …, XN),
которая может принимать только два значения: истина (1) и ложь (0)
Область определения логической функции – это количество S возможных
наборов значений аргументов
S = 2N, где N – количество переменных.

Алгебра логики: Основные понятия
Логическая функция имеет нормальную форму, если в ней
используются только три логические операции: дизъюнкции,
конъюнкции и отрицания переменных. Двойное отрицание или
отрицание выражений не используется.
Элементарная конъюнкция – логическое произведение
аргументов или их отрицаний.
Элементарная дизъюнкция – логическая сумма аргументов или
их отрицаний.
Конъюнкция (дизъюнкция) называется правильной
элементарной конъюнкцией, если каждый аргумент входит в неё
не более одного раза.

Примеры
• Элементарные конъюнкции
• 𝐴 ∙ ത𝐵 ∙ 𝐶
• ҧ𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 ∙ ഥ𝐷
• Элементарные дизъюнкции
• 𝐴 + ത𝐵 + 𝐶
• ҧ𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + ഥ𝐷
• Выберите номера выражений, содержащий НЕ элементарные
конъюнкции и дизъюнкции:
1. ഥ𝑨 ∙ ഥ𝑩 ∙ ഥ𝑪
2. 𝑨 + 𝑩 ∙ 𝑪
3. 𝑨 + ഥ𝑩
4. 𝑨 + ഥ𝑩 + ഥ𝑪
5. 𝑨 ∙ 𝑩
Напишите в чате!!!

Алгебра логики: ДНФ и КНФ
• Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) – это дизъюнкция
попарно различных правильных элементарных конъюнкций
(логическая сумма логических произведений)
• 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ ҧ𝐶 + 𝐵 ∙ 𝐶 + ҧ𝐴 ∙ ത𝐵
• 𝑋 ∙ 𝑌 + ത𝑋 ∙ 𝑌 ∙ 𝑍 + 𝑋 ∙ ത𝑌 ∙ 𝑍
• Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) – это конъюнкция
попарно различных правильных элементарных дизъюнкций
(логическое произведение логических сумм)
• 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 ∙ 𝐴 + ത𝐵 + 𝐶
• 𝑋 + 𝑌 ∙ ത𝑋 + 𝑌 + 𝑍 ∙ 𝑋 + ത𝑌 + 𝑍

Алгоритм приведения логической
функции к ДНФ или КНФ
1. Избавиться от импликации, эквиваленции, исключающего
или;
2. Избавиться от отрицаний над сложными выражениями (з-н де
Моргана, закон двойного отрицания);
3. Раскрыть скобки (дистрибутивные з-ны);
4. Уменьшить количество вхождений переменных (з-ны алгебры
логики)

Алгебра логики: СКНФ и СДНФ
• Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ)
логической функции называется конъюнкция попарно
различных полных правильных элементарных дизъюнкций,
равных нулю на тех же наборах, что и функция.
• Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ)
логической функции называется дизъюнкция попарно
различных полных правильных элементарных конъюнкций,
равных единице на тех же наборах, что и функция.

Способы построения СКНФ и СДНФ
• По таблице истинности
• СДНФ
1. Отметить наборы переменных, на которых значение функции равно единице.
2. Для каждой такой строки строим полную конъюнкцию.
3. Записываем дизъюнкцию конъюнкций.
• СКНФ
1. Отметить наборы переменных с нулевыми значениями функции.
2. Для каждого такого набора написать полную дизъюнкцию.
3. Все дизъюнкции связываются операциями конъюнкции.
A B C F(A,B,C)
1 0 1 1
A B C F(A,B,C)
1 1 0 0
𝑨 ∙ ഥ𝑩 ∙ 𝑪
ഥ𝑨 + ഥ𝑩 + 𝑪

Построение СКНФ и СДНФ по таблицам
истинности: пример
A B C F(A,B,C)
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
• Единиц в таблице
истинности меньше,
удобнее строить СДНФ
ഥ𝑨 ∙ 𝑩 ∙ 𝑪
𝑨 ∙ ഥ𝑩 ∙ 𝑪
𝑨 ∙ 𝑩 ∙ 𝑪
+
+
𝑭 𝑨, 𝑩, 𝑪 = ഥ𝑨 ∙ 𝑩 ∙ 𝑪 + 𝑨 ∙ ഥ𝑩 ∙ 𝑪 + 𝑨 ∙ 𝑩 ∙ 𝑪

Построение СКНФ и СДНФ по таблицам
истинности: пример
A B C F(A,B,C)
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 0
• Нулей в таблице
истинности меньше,
удобнее строить СКНФ
ഥ𝑨 + ഥ𝑩 + 𝑪
𝑨 + ഥ𝑩 + 𝑪
ഥ𝑨 + ഥ𝑩 + ഥ𝑪
𝑭 𝑨, 𝑩, 𝑪 = 𝑨 + ഥ𝑩 + 𝑪 ∙ ഥ𝑨 + ഥ𝑩 + 𝑪 ∙ (ഥ𝑨 + ഥ𝑩 + ഥ𝑪)
×
×

Аналитический способ построения СДНФ
1. Переходим к ДНФ по алгоритму со слайда…
2. Неполные конъюнкции, чтобы получить полные, умножить на
выражение вида (𝑋 + ത𝑋 = 1)
3. Применить закон идемпотентности (𝑋 + 𝑋 = 𝑋), чтобы
исключить повторяющиеся конъюнкции.
Количество полных элементарных конъюнкций в СДНФ
соответствует количеству единиц в таблице истинности.

Аналитический способ построения
СДНФ: пример
• Определить количество решений логического уравнения:
𝑨 ∙ ഥ𝑩 + 𝑨 ∙ ഥ𝑪 + 𝑨 ∙ 𝑩 ∙ 𝑪 = 𝟏
• Рассуждения и выкладки:
1. Функция уже приведена к ДНФ
2. Домножим неполные конъюнкции на выражение вида (𝑋 + ത𝑋 = 1):
𝐴 ∙ ത𝐵 ∙ 𝐶 + ҧ𝐶 + 𝐴 ∙ ҧ𝐶 ∙ 𝐵 + ത𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 = 1
3. Раскроем скобки:
𝐴 ∙ ത𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ ത𝐵 ∙ ҧ𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ ҧ𝐶 + 𝐴 ∙ ത𝐵 ∙ ҧ𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 = 1
4. Применим закон идемпотентности:
𝐴 ∙ ത𝐵 ∙ 𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ ҧ𝐶 + 𝐴 ∙ ത𝐵 ∙ ҧ𝐶 + 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 = 1
5. Получена СКНФ, состоящая из четырёх элементарных полных
конъюнкций. Количество решений логического уравнения: 4

Логические уравнения и системы
логических уравнений
• Логическое уравнение вида:
𝐹 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑁 = 1
• Система из К логических уравнений N переменных:
𝐹1 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑁 = 1
𝐹2 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑁 = 1
𝐹3 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑁 = 1
…
𝐹 𝐾 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑁 = 1
• Такая система может быть сведена к уравнению:
𝐹1 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑁 𝐹2 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑁 … 𝐹 𝐾 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑁 = 1

Методы решения
1. Метод рассуждений
• Для несложных уравнений
2. Построение таблицы истинности
• Малое количество переменных (для N переменных число строк в таблице
2N)
3. Построение дерева решений
• Когда уравнение можно решать последовательным добавлением
логических переменных.
4. Построение СДНФ заданного выражения

• Логическое уравнение вида:
𝐹 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑁 = 0
• Методы решения
1. Построить СКНФ – число сомножителей равно количеству нулевых
значений в таблице истинности, то есть количеству решений
уравнения;
2. Получить количество решений R уравнение вида 𝐹 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑁 = 1,
тогда ответ будет равен общему количеству наборов, минус R: 2N-R
3. Добавить отрицание к обеим частям уравнения: 𝐹 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑁 = 1

• Отметим, что для решения систем вида:
𝐹1 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑁 = 0
𝐹2 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑁 = 0
𝐹3 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑁 = 0
…
𝐹 𝐾 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑁 = 0
Применим только третий метод с предыдущего слайда.

Общие методы решения логических
уравнений и систем логических уравнений
1. Метод отображений (авт. Мирончик Е.А.)*
2. Метод битовых векторов/цепочек (авт. Поляков К.Ю.,
Ройтберг М.А.)*
3. Метод решения систем однородных логических уравнений
(авт. Авдошин С.М., Ахметсафина Р.З.)
• Операции над матрицами
• Рекуррентные формулы
• Многодольные графы и поиск количества путей в многодольных графах
*Ссылки на описание метода отображений и метода битовых векторов см. на слайде «Использованная
литература»

Элементы теории матриц
Что такое матрицы
Операции над матрицами

Основные понятия и определения
24© Максименкова О.В., ДПИ ФКН НИУ ВШЭ
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
… . . . … …
𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 … 𝑎 𝑚𝑛
Пусть дано некоторое числовое поле K. Прямоугольную таблицу чисел из
поля K будем называть матрицей.
Под числовым полем понимают любую совокупность чисел, в пределах которой всегда выполнимы и однозначны
четыре операции: сложение, вычитание, умножение и деление на число, отличное от нуля.
В общем случае матрица называется прямоугольной (с размерами
mxn).

Примеры матриц
𝐴 =
0 3 7
1 −1 0
0 0
2
3
11
1
2
−2
𝐵 =
2𝑖 + 9 1 14
−𝑖 +
2
2
𝑖 −1
𝐶 =
1 1 1
0 1 1
0 0 1
Какие из матриц можно перемножить?

Элементы матрицы
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
… . . . … …
𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 … 𝑎 𝑚𝑛
Первый индекс
-номер строки
Второй индекс-
номер столбца
Числа, составляющие матрицу, называются её элементами и характеризуются
своим положением в таблице.

Особые случаи
Матрица размером mx1 называется вектор-столбцом.
Матрица размером 1xn называется вектор-строкой.
𝐴 =
𝑎1
𝑎2
⋮
𝑎 𝑚
𝐴 = 𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎 𝑛

Операции над матрицами: сложение
• Суммой двух матриц A и B одинакового размера mxn
называется матрица C того же размера, каждый элемент
которой равен сумме соответствующих элементов (то есть
стоящих в тех же позициях) исходных матриц.
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚; 𝑗 = 1,2, … 𝑛.
• Свойства сложения
• Коммутативность 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴
• Ассоциативность 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶)
1 2
3 4
+
5 6
7 8
=
1 + 5 2 + 6
3 + 7 4 + 8
=
6 8
10 12
a21 b21 C21=a21+b21

Операции над матрицами: умножение на
константу и разность
• Произведением матрицы A размера mxn и константы C
называется матрица B того же размера, каждый элемент
которой равен произведению C и элемента матрицы A,
стоящему в той же позиции.
𝑏𝑖𝑗 = 𝐶 ∙ 𝑎𝑖𝑗, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚; 𝑗 = 1,2, … 𝑛.
• Разность двух матриц A и В вычисляется как сумма матриц A и
−B.
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚; 𝑗 = 1,2, … 𝑛.

Операции над матрицами: произведение
• Произведением двух матриц А размера (m  q) и B размера
(q  n), в которых количество столбцов матрицы А равно
количеству строк матрицы В, называется матрица С размера
(m  n), у которой количество строк m равно количеству строк
первой матрицы, а количество столбцов n равно количеству
столбцов второй. Каждый элемент сij матрицы С равен сумме
попарных произведений элементов соответствующей строки
первой матрицы и элементов соответствующего столбца второй.
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1 ∙ 𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2 ∙ 𝑏2𝑗 + ⋯ 𝑎𝑖𝑞 ∙ 𝑏 𝑞𝑗 = ෍
𝑘=1
𝑞
𝑎𝑖𝑘 ∙ 𝑏 𝑘𝑗 ,
𝑖 = 1, 2, … , 𝑚, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛
• Произведение матриц, вообще говоря, не коммутативно
𝐴 ∙ 𝐵 ≠ 𝐵 ∙ 𝐴

𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
∙
𝑏11 𝑏12
𝑏21 𝑏22
𝑏31 𝑏32
=
𝑎11 𝑏11 + 𝑎12 𝑏21 + 𝑎13 𝑏31 𝑎11 𝑏12 + 𝑎12 𝑏22 + 𝑎13 𝑏32
𝑎21 𝑏11 + 𝑎22 𝑏21 + 𝑎23 𝑏31 𝑎21 𝑏12 + 𝑎22 𝑏22 + 𝑎23 𝑏32
Произведение матриц – это несложное механическое действие, которое
требует выработки навыка.
Самостоятельно после вебинара порешайте задачи:
• OnlineMSchool (http://ru.onlinemschool.com/math/practice/matrix/multiply/)
• KHANACADEMY (https://www.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-
matrices/multiplying-matrices-by-matrices/e/multiplying_a_matrix_by_a_matrix)
• Math worksheets 4 Kids
(http://www.mathworksheets4kids.com/matrices/multiplication/7.pdf)
(http://www.mathworksheets4kids.com/matrices/multiplication/8.pdf)

Проверим понимание: вопросы
1. Что будет результатом произведениям вектора-строки А (1xq)
на матрицу B размера qxm?
2. Что будет результатом произведения матрицы A размера mxq
и вектор-столбца B размерности qx1?
3. Что будет результатом произведения вектора-строки А (1xq) и
вектора строки В (qx1)?
4. Что будет результатом произведения вектора-столбца А (qx1)
на вектор-строку В (1xp)?

Проверим понимание: ответы
1. Что будет результатом произведениям вектора-строки А (1xq)
на матрицу B размерности qxm?
• Вектор-строка (1xm)
2. Что будет результатом произведения матрицы A размерности
mxq и вектор-столбца B размерности qx1?
• Вектор-столбец (mx1)
3. Что будет результатом произведения вектора-строки А (1xq) и
вектора строки В (qx1)?
• число
4. Что будет результатом произведения вектора-столбца А (qx1)
на вектор-строку В (1xp)?
• Матрица (qxp)

Дополнительное задание: для тех, кто
любит программирование
• Напишите программу, позволяющую перемножать
вещественные матрицы (размеры по измерениям не
превосходят 10).
• Программа должна проверять соотношение размерностей матриц.
• Печать исходные матрицы и матрицу-произведение.
• Для некорректных данных выводить сообщения.

Рекуррентные
последовательности

Рекуррентная последовательность
• Последовательности, в которых каждый член определяется как
некоторая функция предыдущих, называются рекуррентными
(возвратными)
• Процесс последовательного определения элементов таких
последовательностей называется рекуррентным процессом

Рекуррентная формула
• Рекуррентная формула - формула, сводящая вычисление n-го
члена какой-либо последовательности (чаще всего числовой) к
вычислению нескольких предыдущих её членов.
• Рекуррентная формула k-го порядка, выражающая n-й член
рекуррентной последовательности через k предыдущих:
𝑎 𝑛 = 𝑓 𝑛, 𝑎 𝑛−1, 𝑎 𝑛−2, … , 𝑎 𝑛−𝑘
• Примеры
𝑅 𝑘 = 𝑅 𝑘−1 + 3 𝑘 − 1 , 𝑅1 = 0
0, 3, 9, 18, 30, …
𝑆 𝑛 = 34 ∙ 𝑆 𝑛−1 − 𝑆 𝑛−2 + 2, 𝑆0 = 0, 𝑆1 = 1
0, 1, 36, 1225, 41616,…

Теория графов

Соглашения о терминологии
• Обозначение графа: G = (V, E), где идентификаторами (номерами) вершин и
ребер выступают числа натурального ряда:
 V = {v1, v2, … , vp} = {0, 1, … , p1}, p = |V| – число вершин;
 E = {e1, e2, … , eq} = {0, 1, … , q1}, q = |E| – число ребер.
• Граф – неориентированный граф без петель и кратных рёбер.
• Мультиграф – граф, содержащий кратные рёбра.
• Кратными (или мультирёбрами) называются рёбра, инцидентные одной и
той же паре вершин.
• Петля – ребро, инцидентное только одной вершине (соединяет вершину с
самой собой).
• Две вершины смежны, если они соединены ребром.
• Два ребра смежны, если они имеют общую вершину.

Соглашения о терминологии
• Маршрут – чередующаяся последовательность
a = v0, e1, v1, e2, …, vn-1, en, vn = b
вершин и ребер графа такая, что ei = {vi-1, vi}, 1  i  n. Вершины a и b
– концевые вершины (концы) маршрута.
• Цепь – маршрут, все рёбра которого различны. Если все вершины
цепи различны, то цепь простая, иначе – составная.
• Длина цепи – число рёбер в ней.
• Цикл – цепь, в которой первая и последняя вершины совпадают. Если
все вершины цикла, кроме концевых, различны, то цикл простой,
иначе – составной.
• Одна вершина достижима из другой, если есть цепь, их
соединяющая.
• Граф связный, если из одной вершины достижимы все остальные,
иначе граф несвязный и состоит из компонент связности

Способы представления графов: матрица
смежности
Матрица смежности графа – квадратная матрица A с числом строк и столбцов,
равным p. Элемент Ai j = 1, если существует дуга (i, j), в противном случае Ai j = 0. Для
мультиграфов вместо 1 заносится кратность мультиребра.
0 1 0 0 1
1 0 1 1 1
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 1 0 1 0
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5
5
1
2
34
1
7
2
3
4
5
6
5 2
34
4
7
12
3
5
6
9
8
0 1 0 0 1
1 0 2 0 1
0 2 0 2 0
0 0 2 0 2
1 1 0 2 0
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5

Многодольные графы: двудольный
• Двудольный граф, если G = (AB, E) и каждое ребро соединяет
вершину из A с вершиной B.

Многодольные графы: двудольный
• Для описания двудольного графа можно использовать матрицу
двудольного графа

Количество рёбер между долями графа
• Общее количество рёбер между долями графа определяется
суммой элементов матрицы двудольного графа:
1. Умножаем единичную вектор-строку из пяти элементов на матрицу
двудольного графа:
1 1 1 1 1 ∙
1 0 1 0
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1
0 0 1 1
= 1 1 3 3
2. Полученную вектор-строку умножаем на единичный вектор-столбец из
четырёх элементов:
1 1 3 3 ∙
1
1
1
1
= 1 ∙ 1 + 1 ∙ 1 + 1 ∙ 3 + 1 ∙ 3 = 8

Многодольный граф
• Рассмотрим граф, состоящий из последовательности
двудольных графов. Такой граф называют многодольным
графом порядка t, где t – количество долей.

Матрицы долей многодольного графа

Определение количества путей
1. Для определения количества путей из каждой вершины
первой доли в каждую вершину третьей доли надо
перемножить матрицы двудольных графов M1 и M2.
Элементы полученной матрицы M = M1·M2 соответствуют
количеству путей из вершины ai в вершину сj, где i – номер
строки, j – номер столбца матрицы M.

2. Для определения количества путей из всех вершин первой
доли в каждую вершину третьей доли надо умножить
единичную вектор-строку размерности 4 на матрицу M. В
полученном векторе-строке i-й элемент соответствует общему
количеству путей из первой доли в вершину сi

3. Для определения количества путей из всех вершин первой
доли во все вершины третьей доли надо умножить вектор-
строку, полученную на шаге 2, на единичный вектор-столбец.
1 + 5 + 2 + 3 = 11
Осталось разобраться с многодольным графом, состоящим из К одинаковых
двудольных графов.

Постановка задачи: обозначения
• K – количество одинаковых двудольных графов, составляющих
многодольный граф;
• Q – количество вершин в каждой доле;
• F0 – единичная вектор-строка размерности Q;
• FK – вектор-строка размерности Q, элементами которой
являются количества путей из первой доли в каждую вершину K-
ой доли.
• I – единичный вектор-столбец размерности Q;

Постановка задачи: определение числа
путей
• R – общее количество путей из всех вершин первой доли
многодольного графа во все вершины K-й доли.
• Тогда можно записать: 𝑅=𝐹0×𝑀 𝐾×𝐼
• Или в виде рекуррентной формулы
𝐹𝑖=𝐹𝑖−1×𝑀, 𝑖=1,2,…,𝐾
𝑅=𝐹 𝐾×𝐼
Пример использования этого метода и общий алгоритм решения систем
однородных логических уравнений мы рассмотрим в следующий раз.

Использованная литература
1. Авдошин С. М., Ахметсафина Р. З., Максименкова О. В.
Информатика: Логика и алгоритмы. Эффективные методы решения
задач: Пособие для самостоятельной подготовки.-- М., СПб.:
Просвещение, 2013.
2. Авдошин С.М., Ахметсафина Р.З., и др. Информатика и ИКТ: ЕГЭ: Учебно-
справочные материалы (Серия «Итоговый контроль: ЕГЭ»).– М.; СПб.:
Просвещение, 2012. – 295 с.
3. Незнанов А.А., Кохов В.А. Алгоритмизация решения переборных задач
анализа графов.– М.: Издательский дом МЭИ, 2007. – 80 с.
4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.-- М.: Наука, 1967.
5. Мирончик Е.А., Метод отображения // Информатика, № 10, 2013, с. 18-26.
6. Е.А. Мирончик. Люблю ЕГЭ за В15, или Ещё раз про метод отображения //
Информатика, № 7-8, 2014, с. 26-32.
7. К.Ю. Поляков [http://kpolyakov.spb.ru/school/ege.htm]
8. К.Ю. Поляков, М.А. Ройтберг. Системы логических уравнений: решение с
помощью битовых цепочек // Информатика, № 12, 2014, с. 4-12.
[http://andr7791.ucoz.ru/eg/logicheskie_uravnenija_poljakov.pdf]

Математические основы методов решений систем логических уравнений

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Viewers also liked

Viewers also liked (11)

Similar to Математические основы методов решений систем логических уравнений

Similar to Математические основы методов решений систем логических уравнений (20)

More from Olga Maksimenkova

More from Olga Maksimenkova (18)

Математические основы методов решений систем логических уравнений