Исследование операций и методы оптимизации

1. ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ И
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
ДмитрийЯКУБОВ

2. СОДЕРЖАНИЕ ВЕБИНАРА
• ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ И ЕГО
МЕТОДОЛОГИЯ
• ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ
• ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
• СИМПЛЕКС-МЕТОД И ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

3. ВВЕДЕНИЕ
Необходимо отправить на
орбиту максимальный груз
Число топливных баков: 1, 2, 3, 4
Число ступеней: 1, 2, 3
Скорость: V1 (7,9 км/с)
Тип топлива: керосин, гептил
Масса груза: 4700 кг
Стартовая масса: 287 т

4. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ – методология
принятия решений, базирующаяся на
системном анализе, исследовании операций,
теории статистических решений, теории игр,
теории оптимального управления,
экономической кибернетике.

5. ОБЪЕКТ ТЕОРИИ ОПЕРАЦИЙ
Объектом изучения данной дисциплины
являются операции в экономике, технике,
биологии и т.п., представляющие собой
совокупность действий, приводящих систему
к некоторой цели. Предметом же является
исследование этих операций с помощью
математических методов их моделирования.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

6. ОПЕРАЦИЯ
Операция – это всякое действие,
объединенное единым замыслом и
направленное к достижению определенной
цели. Операция есть всегда управляемое
мероприятие, характеризующее ее
организацию.
Воздействие  Результат
Optimus (лат.) - наилучший

7. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ реального
объекта – любое математическое описание,
отражающее с требуемой точностью
поведение этого объекта в заданных
условиях.

8. ВЫБОР УПРАВЛЯЕМЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ
УПРАВЛЯЕМЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ (decision
variables): необходимо провести различие
между теми величинами, значения которых
можно варьировать и выбирать с целью
достижения наилучшего результата и
величинами, которые фиксированы или
определяются внешними факторами.
Пример: ток базы, напряжение КЭ, Кусиления

9. ОГРАНИЧЕНИЯ НА
УПРАВЛЯЕМЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Ограничения (constraints): в реальных
условиях на выбор значений управляемых
переменных наложены ограничения,
связанные с ограниченностью ресурсов,
мощностей и других возможностей.
Совокупность всех ограничений определяет
допустимое множество задачи оптимизации.
Пример: напряжение питания, Крассеяния

10. ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ
ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ (objective function) –
числовой критерий, минимальному или
максимальному значению которого
соответствует наилучший вариант поведения
исследуемого объекта.
EXTREMUM (лат.) – высший, наилучший.
MINIMUM (лат.) – минимальное значение
MAXIMUM (лат.) – максимальное значение

11. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ

12. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ
ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ – минимизировать
(максимизировать) целевую функцию с
учётом ограничений на управляемые
переменные.
f(x)  min (max)
x ∈ 𝑈
f(x) – целевая функция
U – допустимое множество

13. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ
ОПТИМИЗАЦИИ
• Аэропорт: составление расписания и
распределение самолётов по терминалам
• Задача коммивояжёра: посетить всех
заказчиков с минимальным расходом
топлива
• Транспортная задача: проложить
кратчайший маршрут с учётом ограничений
(Яндекс.Карты)

14. ИНСТРУМЕНТЫ
МОДЕЛИРОВАНИЯ
MATLAB Optimization Toolset, ANSYS и др.

15. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
• Линейное программирование – целевая
функция линейна, а множество, на котором
ищется экстремум целевой функции,
задается системой линейных равенств и
неравенств.
• Нелинейное программирование – целевая
функция и ограничения нелинейны.

16. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Нелинейное программирование:
• Выпуклое программирование – целевая
функция выпукла и выпукло множество, на
котором решается экстремальная задача,
• Квадратичное программирование –
целевая функция квадратична, а
ограничениями являются линейные
равенства и неравенства.

17. ЗАДАЧА О ДИЕТЕ
Для обеспечения питанием экипажа МКС
имеется n видов продуктов (мясо, молоко т
т.д.). Каждый продукт характеризуется
набором питательных веществ (белки, жиры,
витамины). Известны содержание i-
питательного вещества в единице j-продукта:
aij – содержание i-вещества в j-продукте.
i = (1,m); j = 1,n.

18. ЛИНЕЙНОЕ
ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Известны также:
• стоимость единицы j-продукта
• минимальная потребность человека в i-
питательном веществе
Пусть также х – количество выбранного
продукта
ТРЕБУЕТСЯ СОСТАВИТЬ РАЦИОН
МИНИМАЛЬНОЙ СТОИМОСТИ

19. ОГРАНИЧЕНИЯ ЗАДАЧИ
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 ≥ 𝑏2
𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 + ⋯ + 𝑎3𝑛 𝑥 𝑛 ≥ 𝑏3
…
𝑎 𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + 𝑎𝑚3 𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏𝑚
Всего: n продуктов, m питательных веществ
𝑗=1
𝑛
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖 𝑖 = 1, 𝑚

20. ЗАДАЧА О ДИЕТЕ
Ограничения:
𝑗=1
𝑛
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖 𝑖 = 1, 𝑚
Целевая функция: 𝑍 =
𝑗=1
𝑛
𝑐𝑗 𝑥𝑗 → 𝑚𝑖𝑛
𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1, 𝑛
Найти такие значения количества продуктов х, при которых с учётом
требований по минимальному количеству питательных веществ b общая
стоимость пищевой корзины Z была бы минимальной.

21. ОБЩИЙ ВИД ЗАДАЧИ ЛП
Общий вид:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏1
Канонический вид:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
Общая задача сводима к канонической путём
добавления псевдопеременной.

22. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
Двумерный случай Трёхмерный случай
Поиск осуществляется перебором вершин.
Линия уровня: <c,x> = const.

23. СИМПЛЕКС-МЕТОД
Пусть задача линейного программирования
записана в каноническом виде:
𝑓 𝒙 = < 𝒄, 𝒙 > → 𝑚𝑖𝑛
𝐴𝒙 = 𝑏, 𝑏 ∈ 𝐸𝑚
𝒙 ≥ 0
Матрица А размера mxn имеет ранг m. Тогда
система уравнений совместна и имеет
бесчисленное множество решений.

24. БАЗИСНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
Из общего числа n переменных выбираем
только m переменных. Назовём переменные
х1, х2 … хm базисными. Остальные
переменные xm+1 … xn – свободные.
Единичная матрица для первых m столбцов:
𝑥𝑖 +
𝑗=𝑚+1
𝑛
𝛼𝑖𝑗 𝑥𝑗 = 𝑏𝑖

25. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ
Общее решение системы уравнений имеет
вид:
𝑥𝑖 = 𝑏𝑖 −
𝑗=𝑚+1
𝑛
𝛼𝑖𝑗 𝑥𝑗 𝑖 = 1, 𝑚
Каждому набору m базисных переменных
соответствует своё базисное решение.

26. СЛЕДСТВИЯ
• Допустимое решение – все компоненты базисного решения
неотрицательны
• Невырожденное решение – содержит не более, чем n-m нулевых
компонент.
Каждое допустимое базисное решение – угловая точка (вершина)
допустимого множества задачи
Симплекс-метод – это направленный перебор
допустимых базисных решений с
последовательным уменьшением целевой
функции 𝑓 𝒙 = 𝑓 𝒙 𝟎 + 𝑗=𝑚+1
𝑛
𝑝𝑗 𝑥𝑗 𝑝𝑗 = 𝑐𝑗 −
𝑖=1
𝑚
𝑐𝑖 𝛼𝑖𝑗, 𝑗 = 𝑚 + 1, … 𝑛

27. ПРИМЕР ЗАДАЧИ ЛП
x* = (3,2), f* = f(x) = -15

28. ПРИВЕДЕНИЕ К
КАНОНОЧЕСКОМУ ВИДУ
Дополнительные переменные х3, х4, х5:
f(x) = -3x1 -3x2  min
x3 + x1 + 2x2 = 7
x4 + 2x1 + x2 = 8
x5 + + x2 = 3, xj ≥ 0, 𝑗 = 1. . 5
Базисные переменные х3, х4, х5. Тогда решение:
x3= 7 – x1 -2x2
x4 = 8 – 2x1 – x2
x5 = 3 - x2
Положив свободные переменные равными нулю, получаем базисное
решение х0 = (0, 0, 7, 8, 3)

29. СИМПЛЕКС-ТАБЛИЦА
Переменные x1…xm – базисные, xm+1…хn – свободные
𝑝𝑗 = 𝑐𝑗 −
𝑖=1
𝑚
𝑐𝑖 𝛼𝑖𝑗, 𝑗 = 𝑚 + 1, … , 𝑛
Если все коэффициенты pj ≥ 0, в точке х0 - минимум. (Т)

30. СИМПЛЕКС-ТАБЛИЦА
x1 x2 b
x3 1 2 7
x4 2 1 8
x5 0 1 3
p -3 -3 0

31. АЛГОРИТМ
• просматривается последняя строка (индексная) таблицы и среди
коэффициентов этой строки (исключая столбец свободных членов )
выбирается наименьшее отрицательное число при отыскании max,
либо наибольшее положительное при задачи на min. Если такового
нет, то исходное базисное решение является оптимальным и данная
таблица является последней;
• просматривается столбец таблицы, отвечающий выбранному
отрицательному (положительному) коэффициенту в последней
строке- ключевой столбец, и в этом столбце выбираются
положительные коэффициенты. Если таковых нет, то целевая
функция неограниченна на области допустимых значений
переменных и задача решений не имеет;

32. • среди выбранных коэффициентов столбца выбирается тот, для
которого абсолютная величина отношения соответствующего
свободного члена (находящегося в столбце свободных членов) к этому
элементу минимальна. Этот коэффициент называется
разрешающим, а строка в которой он находится ключевой;
• в дальнейшем базисная переменная, отвечающая строке
разрешающего элемента, должна быть переведена в разряд
свободных, а свободная переменная, отвечающая столбцу
разрешающего элемента, вводится в число базисных. Строится новая
таблица, содержащая новые названия базисных переменных:
• разделим каждый элемент ключевой строки (исключая столбец
свободных членов) на разрешающий элемент и полученные
значения запишем в строку с измененной базисной переменной
новой симплекс таблицы. Строка разрешающего элемента
делится на этот элемент и полученная строка записывается в новую
таблицу на то же место.

33. ПРИМЕР ЗАДАЧИ О ДИЕТЕ

34. ЗАДАЧА О ДИЕТЕ (2)

35. ЗАДАЧА О ДИЕТЕ (3)

36. ЗАДАЧА О ДИЕТЕ (4)
ФУНКЦИЙ MATLAB
linprog()

37. ОПТИМИЗАЦИЯ И ЖИЗНЬ
Лауреатами Нобелевской премии по экономике за 2012г. стали
американцы Элвин Рот (фото) и Ллойд Шепли. Премия присуждена "за
теорию устойчивого распределения и практику моделирования рынка".
Речь идет о выборе наилучшего способа распределения ограниченного
числа ресурсов между пользователями. К примеру, Элвин Рот успешно
использовал математические алгоритмы для таких проблем, как
распределение учащихся по школам в Нью-Йорке и сведение доноров
почек с реципиентами.
http://top.rbc.ru/economics/15/10/2012/674346.shtml

38. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
• А.Б.Петровский «Теория принятия решений»
• М.Интрилигатор «Математические методы оптимизации и
экономическая теория»

39. ЖЕЛАЕМ УСПЕХОВ!