Эконометрика: тема 7

Лекции по Эконометрике.
Системы одновременных уравнений
Н. В. Артамонов
МГИМО (У) МИД России
28 ноября 2017 г.
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 28 ноября 2017 г. 1 / 46

Содержание
1 Системы одновременных уравнений
Что это такое?
Примеры
Структурная и приведённая форма
Матричная запись
Условия на ошибку. Проблема оценивания
Идентифицируемость
Оценивание и статистические выводы
Косвенный метод наименьших квадратов
Двухшаговый метод наименьших квадратов (2SLS)

Было: одно уравнение регрессии
yi = xi β + ui

Было: одно уравнение регрессии
yi = xi β + ui
Стало: теперь рассмотрим систему уравнений регрессии.
Важно!
Зависимая переменная одного уравнения может выступать как
объясняющая переменная в другом уравнении.

Деление факторов
В системе уравнения факторы делятся на
эндогенные (зависимые переменные),
экзогенные,
предопределённые (лаговые значения эндогенных,
рассматриваются как экзогенные).

Деление факторов
В системе уравнения факторы делятся на
эндогенные (зависимые переменные),
экзогенные,
предопределённые (лаговые значения эндогенных,
рассматриваются как экзогенные).
Ключевая особенность
Эндогенные факторы могут выступать как объясняющие
переменные в некоторых уравнениях системы. Следовательно
для таких уравнений не выполнены условия Гаусса-Маркова
(условие экзогенности регрессоров).

Примеры

Базовый пример №1
Пример (Кейнсианская функция потребления)
Пусть C – потребление, Y – доход, I – инвестиции
Ci = β0 + β1Yi + ui
Yi = Ci + Ii
эндогенные: C и Y
экзогеные: I.

Базовый пример №2
Пример (Модель спроса-предложения)
P – цена и рынок в равновесии
Qd,i = δ11 + δ12Pi + xi β + ui
Qs,i = δ21 + δ22Pi + zi γ + vi
Qi = Qd,i = Qs,i
эндогенные: Q и P
экзогеные: x и z.

Ещё пример
Пример (Простая макромодель)
ct = α0 + α1yt + α2ct−1 + t (consumption)
it = β0 + β1rt + β2(yt − yt−1) + ζt (investment)
yt = ct + it + gt (demand)
эндогенные: ct, it, yt
экзогеные: rt, gt
предопределённые: ct−1, yt−1.

Пример (Klein’s Model I)
Ct = α0 + α1Pt + α2Pt−1 + α3(W p
t + W g
t ) + t (consumption)
It = β0 + β1Pt + β2Pt−1 + β3Kt−1 + ζt (investment)
W p
t = γ0 + γ1Xt + γ2Xt−1 + γ3At + ξt (private wage)
Xt = Ct + It + Gt (eq. demand)
Pt = Xt − Tt − W p
t (private proﬁt)
Kt = Kt−1 + It (capital stock)
эндогенные: Ct, It, W p
t , Xt, Pt, Kt
экзогеные: W g
t , At, Gt, Tt
предопределённые: Kt−1, Pt−1, Xt−1
Здесь At – тренд, G – гос.расходы, T – налоги, W g
– зарплаты в
гос.секторе.

Пример (Зарплата и занятость)
Пусть wage – месячная зарплата, hours – занятость. Рассмотрим
модель
ln(wagei ) = δ11 + δ21hoursi + xi β + ui
hoursi = δ12 + δ22 ln(wagei ) + zi γ + vi
эндогенные: wage, hours
экзогеные: x, z.

Примеры

Структурная форма системы одновременных уравнений:
отображает экономическую зависимость и имеет экономическую
интерпретацию.
Во всех примерах система уравнений имеет структурную форму.

Приведённая форма системы одновременных уравнений:
эндогенные факторы выражены через экзогенные и ошибки. В
такой записи в каждом уравнении системы объясняющие
переменные экзогенны.

Приведённая форма системы одновременных уравнений:
эндогенные факторы выражены через экзогенные и ошибки. В
такой записи в каждом уравнении системы объясняющие
переменные экзогенны.
Важно!
Как правило приведённая форма не имеет экономической
интерпретации!

Пример (Кейнсианская функция спроса)
Структурная форма (по смыслу 0 < β1 < 1)
Yi = Ci + Ii

Пример (Кейнсианская функция спроса)
Структурная форма (по смыслу 0 < β1 < 1)
Yi = Ci + Ii
Приведённая форма
Ci =
β0 + β1Ii + ui
1 − β1
Yi =
β0 + Ii + ui
1 − β1

Примеры

Пусть
y1, . . . , ym – эндогенные переменные,
x1, . . . , xk – экзогенные переменные

Пусть
Общая система одновременных регрессионных уравнений
γ11yi1 + · · · + γm1yim = β01 + β11xi1 + · · · + βk1xik + ui1
...
γ1myi1 + · · · + γmmyim = β0m + β1mxi1 + · · · + βkmxik + uim
Условие нормировки γ11 = γ22 = · · · = γmm = 1 (почему?).

Пусть
Общая система одновременных регрессионных уравнений
...
γ1myi1 + · · · + γmmyim = β0m + β1mxi1 + · · · + βkmxik + uim
Условие нормировки γ11 = γ22 = · · · = γmm = 1 (почему?).
Далее всегда m – число эндогенных переменных (=число
уравнений), k – число экзогенных переменных.

Обозначим
yi =



yi1
...
yim


 xi =





1
xi1
...
xik





ui =



ui1
...
uim




Обозначим
yi =



yi1
...
yim


 xi =





1
xi1
...
xik





ui =



ui1
...
uim



Матрицы коэффициентов
Γ
m×m
=



γ11 · · · γ1m
...
...
...
γm1 · · · γmm


 B
(k+1)×m
=





β01 β02 · · · β0m
β11 β12 · · · β1m
...
...
...
...
βk1 βk2 · · · βkm





Условие на матрицы: det Γ = 0 (матрица обратима)

Матричная запись структурной формы системы регрессионных
уравнений
yi Γ = xi B + ui i = 1, . . . , n
Частный случай: если матрица Γ верхнетреугольная, то система
называется рекурсивной.

Матричная запись структурной формы системы регрессионных
уравнений
yi Γ = xi B + ui i = 1, . . . , n
Частный случай: если матрица Γ верхнетреугольная, то система
называется рекурсивной.
Матричная запись приведённой форма системы одновременных
уравнений
yi = xi Π + vi Π
(k+1)×m
= BΓ−1
vi = ui Γ−1

Далее обозначим
Y
n×m
=



y1
...
yn


 =



y11 · · · y1m
...
...
...
yn1 · · · ynm


 X
n×(k+1)
=



x1
...
xn


 U
n×m
=



u1
...
un




Y
n×m
=



y1
...
yn


 =



y11 · · · y1m
...
...
...
yn1 · · · ynm


 X
n×(k+1)
=



x1
...
xn


 U
n×m
=



u1
...
un



Тогда для всех наблюдений системы уравнений структурной
формы можно записать в виде
YΓ = XB + U

Y
n×m
=



y1
...
yn


 =



y11 · · · y1m
...
...
...
yn1 · · · ynm


 X
n×(k+1)
=



x1
...
xn


 U
n×m
=



u1
...
un



Тогда для всех наблюдений системы уравнений структурной
формы можно записать в виде
YΓ = XB + U
Запись систем в приведённой форме имеет вид
Y = XΠ + V Π = BΓ−1

Примеры

Условия на ошибку
1 E(ui |X) = 0,
2 E(ui ui |X) = Σ,
3 E(ui uj |X) = 0, i = j.

1 E(ui |X) = 0,
2 E(ui ui |X) = Σ,
3 E(ui uj |X) = 0, i = j.
В матричном виде
1 E(U|X) = 0,
2 E(1
n
U U) = Σ

Проблема оценивания
Для приведённой формы
yi = xi Π + ui
выполнены условия CLRM-модели.

yi = xi Π + ui
Вывод: OLS-метод оценивая даёт эффективные и состоятельные
оценки + инференции.

yi = xi Π + ui
Вывод: OLS-метод оценивая даёт эффективные и состоятельные
оценки + инференции.
Проблема: приведенная форма не имеет экономического смысла!
(как правило)

Цель
Необходимо (состоятельно) оценить коэффициенты структурной
формы, так именно она имеет экономический смысл.

Цель
Плохая новость: OLS-метод даёт смещённые и несостоятельные
оценки и, как следствие, неправильные инференции.

Цель
Плохая новость: OLS-метод даёт смещённые и несостоятельные
оценки и, как следствие, неправильные инференции.
Почему так? Так как среди регрессоров есть эндогенные
факторы и, следовательно, E(uij |X, Y∗
) = 0 (не выполнено
условие экзогенности регрессоров).
Другими словами эндогенные объясняющие переменные
“коррелируют” с ошибкой.

Примеры

Определение
Уравнение из системы называется точно идентифицируемым,
если его коэффициенты однозначно выражаются через
коэффициенты приведённой формы.

Уравнение из системы называется сверхидентифицируемым,
если его коэффициенты неоднозначно выражаются через

Уравнение из системы называется сверхидентифицируемым,
если его коэффициенты неоднозначно выражаются через
Уравнение из системы называется неидентифицируемым, если
его коэффициенты нельзя выразить через коэффициенты
приведённой формы.

Структурная форма
Yi = Ci + Ii

Yi = Ci + Ii
Ci =
β0 + β1Ii + ui
1 − β1
= π10 + π11Ii + vi1
Yi =
β0 + Ii + ui
1 − β1
= π20 + π21Ii + vi2

Yi = Ci + Ii
Ci =
β0 + β1Ii + ui
1 − β1
= π10 + π11Ii + vi1
Yi =
β0 + Ii + ui
1 − β1
= π20 + π21Ii + vi2
Тогда β1 = π11/π21 = π21/(1 − π21) и первое уравнение
сверхидентифицированно.

Для уравнения j определим
mj – количество эндогенных факторов, включённых в число
регрессоров данного уравнения,

m∗
j – количество эндогенных факторов, не включённых в
число регрессоров (не считая зависимой переменной)
данного уравнения,

m∗
kj – количество экзогенных факторов, включенных в число

m∗
k∗
j – количество экзогенных факторов, не включенных в
число регрессоров данного уравнения.

m∗
k∗
j – количество экзогенных факторов, не включенных в
число регрессоров данного уравнения.
Из определения
mj + m∗
j + 1 = m kj + k∗
j = k

Порядковое условие идентифицируемости
Необходимое условие идентифицируемости
Уравнение j
неидентифицируемо при k∗
j + 1 < mj ,
точно идентифицируемо при k∗
j + 1 = mj ,
сверхидентифицируемо при k∗
j + 1 > mj
(+1 из-за включённой константы).

Если уравнение точно иденифицируемо или
сверхидентифицировано, то будем говорить что это уравнение
идентифицируемо.

Если уравнение точно иденифицируемо или
сверхидентифицировано, то будем говорить что это уравнение
идентифицируемо.
Тогда уравнение j идентифицировано при k∗
j + 1 ≥ mj

Yi = Ci + Ii
Тогда для первого уравнения
m1 = 1 m∗
1 = 0 k1 = 0 k∗
1 = 1.
Так как k∗
j + 1 > mj , то первое уравнение
сверхидентифицированно.

Примеры

Цель
Состоятельно оценить каждое уравнение структурной формы
системы одновременных + инференции.
Важно!
Каждое уравнение системы будет оцениваться раздельно

Цель
Важно!
Основная проблемы: OLS-оценки коэффициентов структурной
формы смещены и несостоятельны и дают неверные инференции
(следствие эндогенных объясняющих переменных).

Цель
Важно!
Основная проблемы: OLS-оценки коэффициентов структурной
формы смещены и несостоятельны и дают неверные инференции
(следствие эндогенных объясняющих переменных).
Но: OLS-оценки приведённой формы состоятельны и
эффективны и дают правильные инференции.

Как состоятельно оценить?
Два подхода к оцениваю:
1 косвенный метод наименьших квадратов,
2 двухшаговый метод наименьших квадратов.

Как состоятельно оценить?
Два подхода к оцениваю:
1 косвенный метод наименьших квадратов,
2 двухшаговый метод наименьших квадратов.
Важно!
Из общих соображений есть надежда состоятельно оценить
коэффициенты только (точно или сверх-) идентифицированных
уравнений структурной формы.

Примеры

Алгоритм
1 оцениваем (OLS) приведённую форму системы
одновременных уравнений,
2 используя теоретические соотношения (между
коэффициентами структурной и проведенной формы)
получаем оценки коэффициентов структурной формы через
оценки коэффициентов приведённой формы:
ˆΠOLS ⇒ ˆΓ, ˆB

Алгоритм
1 оцениваем (OLS) приведённую форму системы
одновременных уравнений,
2 используя теоретические соотношения (между
коэффициентами структурной и проведенной формы)
получаем оценки коэффициентов структурной формы через
оценки коэффициентов приведённой формы:
ˆΠOLS ⇒ ˆΓ, ˆB
В теории всё красиво, но есть существенные недостатки.

Сложности практического применения:
Нужно знать теоретические формулы перехода от
коэффициентов приведённой формы к коэффициентам
структурной. Их вывод непростая задача!

Следовательно, невозможно реализовать алгоритм в
эконометрических программах!

Если уравнение сверхидентифицировано, то проблема с
однозначностью оценок.

Если уравнение сверхидентифицировано, то проблема с
однозначностью оценок.
Самое важное: проблемы с инференциями, т.к. неизвестны
распределения оценок!

Примеры

Двухшаговый метод наименьших квадратов 2SLS1
– стандартный
способ оценивая линейной регрессии в присутствии эндогенных
регрессоров.
1
2SLS=2 Stage Least Squares

Алгоритм:
1 Оцениваем (OLS) приведённую форму (раздельно каждое
уравнение) и вычисляем предсказанные значения
ˆyi = xi
ˆΠOLS .
1

Алгоритм:
ˆyi = xi
ˆΠOLS .
2 Раздельно оцениваем каждое уравнение структурной формы,
заменяя эндогенные объясняющие переменные на их
предсказанные значения из предыдущего пункта.
1

Алгоритм:
ˆyi = xi
ˆΠOLS .
2 Раздельно оцениваем каждое уравнение структурной формы,
заменяя эндогенные объясняющие переменные на их
предсказанные значения из предыдущего пункта.
Важно!
На первом шаге фактически оцениваются линейные регрессии
каждого из эндогенных факторов на все экзогенные.
1

Ci = β0 + β1Yi + ui Ci = π01 + π11Ii + v1i
Yi = Ci + Ii Yi = π02 + π12Ii + v2i

Как получить 2SLS-оценки ˆβ0 & ˆβ1?

1 Оцениваем (OLS) регрессию Yi = π02 + π12Ii + v2i и находим
предсказанные значения ˆYi .

1 Оцениваем (OLS) регрессию Yi = π02 + π12Ii + v2i и находим
предсказанные значения ˆYi .
2 Оцениваем (OLS) регрессию Ci = β0 + β1
ˆYi + ui

Состоятельность
Если уравнение структурной формы идентифицированноa
, то
2SLS-оценки коэффициентов этого уравнения состоятельныb
.
a
точно или сверх-
b
уравнения системы оцениваем раздельно!

, то
.
a
b
Важно!
2SLS для систем одновременных уравнений является частным
случаем Метода Инструментальных Переменных (IV) и
Обобщённого Метода Моментов (GMM)a
a
GMM = Generalized Methods of Moments (Lars Hansen, Nobel Prize
2013)

, то
.
a
b
Важно!
2SLS для систем одновременных уравнений является частным
случаем Метода Инструментальных Переменных (IV) и
Обобщённого Метода Моментов (GMM)a
a
GMM = Generalized Methods of Moments (Lars Hansen, Nobel Prize
2013)
Следствие: для идентифицированного уравнения статистические
выводы основаны на инференциях метода инструментальных
переменных.

Пример: зарплата и занятость
Рассмотрим модель, связывающую недельную занятость hours и
месячную зарплату wage замужних женщин
hours = β0 + β1 log(wage) + β2age + β3kidslt6 + β4nwifeinc + u1
log(wage) = γ0 + γ1hours + γ2exper + γ3exper2
+ u2
где age – возраст (30 – 60), exper – опыт работы (0 – 45), kidslt6
– число детей до 6 лет, nwifein – прочий доход (например, доход
мужа).
Эндогенные: hours & wage(почему?)
Экзогенные: все остальные (почему?)

Модель
+ u2
Тогда m = 2, k = 5 (почему?)

Модель
+ u2
Первое уравнение: m1 = 1, m∗
1 = 0, k1 = 3, k∗
1 = 2.
Второе уравнение: m2 = 1, m∗
2 = 0, k2 = 2, k∗
2 = 3.

Модель
+ u2
Первое уравнение: m1 = 1, m∗
1 = 0, k1 = 3, k∗
1 = 2.
Второе уравнение: m2 = 1, m∗
2 = 0, k2 = 2, k∗
2 = 3.
Вывод
Выполнено k∗
j + 1 > mj (j = 1, 2). Следовательно, оба уравнения
сверхидентифицированны.

Оценим первое уравнение используя OLS
Модель 1: МНК, использованы наблюдения 1–428
Зависимая переменная: hours
Коэффициент Ст. ошибка t-статистика P-значение
const 1450,93 231,409 6,2700 0,0000***
lwage −8,60369 51,8125 −0,1661 0,8682
age 0,662825 5,12738 0,1293 0,8972
kidslt6 −333,670 100,497 −3,3202 0,0010***
nwifeinc −6,27351 3,54931 −1,7675 0,0779*

Оценим первое уравнение используя 2SLS
Модель 1: 2МНК, использованы наблюдения 1–428
Зависимая переменная: hours
Независимые переменные: lwage
Инструменты: const age kidslt6 nwifeinc exper expersq
Коэффициент Ст. ошибка z P-значение
const 271,085 489,687 0,5536 0,5799
lwage 1379,04 373,169 3,6955 0,0002***
age −4,71108 8,53523 −0,5520 0,5810
kidslt6 −331,776 165,002 −2,0107 0,0444**
nwifeinc −19,2852 6,75034 −2,8569 0,0043***

Оценим второе уравнение используя OLS
Модель 1: МНК, использованы наблюдения 1–428
Зависимая переменная: lwage
Коэффициент Ст. ошибка t-статистика P-значение
const 0,869709 0,106259 8,1848 0,0000***
hours −7,94255e–05 4,64312e–05 −1,7106 0,0879*
exper 0,0519436 0,0141945 3,6594 0,0003***
expersq −0,00107898 0,000418370 −2,5790 0,0102**

Оценим второе уравнение используя 2SLS
Модель 2: 2МНК, использованы наблюдения 1–428
Зависимая переменная: lwage
Независимые переменные: hours
Инструменты: const age kidslt6 nwifeinc exper expersq
Коэффициент Ст. ошибка z P-значение
const 0,902515 0,224356 4,0227 0,0001***
hours −0,000121335 0,000256606 −0,4728 0,6363
exper 0,0542150 0,0197219 2,7490 0,0060***
expersq −0,00111228 0,000464285 −2,3957 0,0166**

2SLS: практическая реализация
Практическая реализация 2SLS в эконометрических программах.
Для оценки одного уравнения системы:

1 выбираем метод оценивания: метод инструментальных
переменных,

2 указываем зависимую переменную и фактические
регрессоры (эндогенные и экзогенные) для данного
уравнения,

2 указываем зависимую переменную и фактические
регрессоры (эндогенные и экзогенные) для данного
уравнения,
3 в качестве инструментов указываем все экзогенные
переменные системы одновременных уравнений.

Эконометрика: тема 7

Recommended

Recommended

More Related Content

Featured

Featured (20)

Эконометрика: тема 7